Este documento presenta definiciones y fórmulas para calcular áreas y volúmenes de figuras geométricas planas y sólidas como polígonos, políedros, prismas, pirámides, cilindros, conos y esferas. Incluye ejemplos y actividades para practicar el cálculo de estas medidas.

1. NIVELACIÓN
MATEMÁTICA
2014
d3
a
n i d tr í a
U
e
om
Ge

2. DEFINICIÓN
• POLIGONOS:
Es una figura plana (bidimensional) con lados rectos.
(Nota: un círculo no es un polígono puesto que tiene su lado
curvo).
• EJEMPLOS:

3. ÁREAS Y PERÍMETROS DE LAS
FIGURAS ELEMENTALES
TRIÁNGULO
ROMBO
CUADRADO
TRAPECIO
RECTÁNGULO
CIRCUNFERENCIA
CÍRCULO

4. TRIÁNGULO
área
Base por altura
partido por dos
base ⋅ altura
2
perímetro
Suma de los
tres lados
a+b+c

5. b
Área =
b
base
b⋅h
2
E
J
E
M
P
L
O
S
3 cm
4 cm
4⋅3
= 6 cm 2
2
3 cm
2 cm
2⋅3
= 3 cm 2
2

6. EJEMPLO
c
a
4 cm
3 cm
5 cm
b
3 + 5 + 4 = 12 cm
Perímetro = a + b + c

7. CUADRADO
perímetro
área
Lado por lado = lado al cuadrado
l ⋅l = l2
Suma de los
lados
l + l + l + l = 4l

8. l
l
Área =
E
J
E
M
P
L
O
l ⋅ l = l2
5 cm
5 cm
5 ⋅ 5 = 52 = 25 cm 2
Debe ser muy
parecida a la
del rectángulo
b
a
a
Áre
=a
·b

9. EJEMPLO
l
l
3 cm
3 cm
4·3 = 12 cm
Perímetro = l + l + l + l = 4·l

10. RECTÁNGULO
perímetro
área
Lado mayor
por lado menor
a ⋅b
Suma de los
lados
2a + 2b

11. a
E
b J
E
M
P
L
O
Área = a · b
3 cm
5 cm
5 ⋅ 3 = 15 cm 2
Si los lados fuesen
iguales valdría para
el cuadrado
b
a
a=
Áre
a ·b

12. EJEMPLO
b
3 cm
a
5 cm
2·(5+3) = 16 cm
Perímetro = a + b + a + b = 2·a + 2·b = 2·(a+b)

13. ROMBO
perímetro
área
Diagonal mayor por
diagonal menor
partido por dos
D⋅d
2
Suma de los
lados
l + l + l + l = 4l

14. EJEMPLO
D
8 cm
d
Área =
D⋅d
2
5 cm
8⋅5
= 20 cm 2
2

15. EJEMPLO
l
3 cm
l
3 cm
4·3 = 12 cm
Perímetro = l + l + l + l = 4·l

16. TRAPECIO
perímetro
área
Semisuma
de las bases
por la altura
Suma de los
lados
b1 + b2
⋅h
2
a+b+c+d

17. 3 cm
bases
altura
b2
E
J
E
M
P
L
O
h
b1
Área =
( b1 + b2 ) ⋅ h
2
2 cm
5 cm
( 5 + 3) ⋅ 2 = 8 cm 2
2
Si las bases fuesen
iguales tendríamos
un rectángulo
b
a
a
Áre
·b
=a

18. EJEMPLO
5 cm
b2
a
c
b1
4 cm
3 cm
7 cm
7+3+5+4 = 19 cm
Perímetro = b1 + c + b2 + a

19. CIRCUNFERENCIA Y CIRCULO
circunferencia
círculo
π (pi) por el
radio al
cuadrado
Será un circulo o será
una circunferencia
Y entonces
¿qué es?
Ni una cosa ni otra
Un balón
de playa
Como es posible que
no sepa lo que es
una esfera
π ⋅r 2
2 ⋅π ⋅ r
Diámetro por π
π≅3,14159...

20. EJEMPLO
r
10 cm
π ⋅102 ≅ 314,159 cm 2
Área =
π ⋅r
2
Siempre es un
valor
aproximado

21. EJEMPLO
r
5 cm
2 ⋅ π ⋅ 5 ≅ 31,4159cm
longitud = 2 ⋅ π
⋅r
Siempre es un
valor
aproximado

22. DEFINICIÓN
• POLIEDROS:
Es un cuerpo geométrico cerrado delimitado por cuatro o más
regiones poligonales. Las regiones poligonales que limitan
al poliedro se laman caras del poliedro, los lados de estos
reciben el nombre de aristas y concurren a un punto
llamado vértice.
• EJEMPLOS:

23. ¿Existe relación entre el número de
caras, vértices y aristas de cada uno?
En un poliedro convexo cualquiera se
cumple la siguiente relación:
n°caras+n°vértices=n°aristas+2
Esta relación es llamada el
TEOREMA DE EULER

24. CONVEXO Y CÓNCAVO
CONVEXO
CÓNCAVO
Todas sus caras se
pueden “apoyar” en el
plano
No todas sus caras se
pueden “apoyar” en el
plano

25. ACTIVIDAD 1
1) Sabiendo que el número de vértices de
un prisma es 20 y el número de aristas
es 30, ¿cuántas caras tiene?
2) El número de vértices de una pirámide es
11 y el número de aristas 20, ¿cuántas
caras tiene?

26. 3) Determina la veracidad de las siguientes
proposiciones. Justifica tus respuestas.
a.- Un poliedro puede tener el mismo
número de vértices que de aristas.
b.- Un poliedro puede tener el mismo
número de caras y de aristas.
c.- Un poliedro puede tener el mismo
número de vértices que de caras

27. ÁREA PRISMA
La figura área plana con la que podemos construir el prisma
(red) es lo que corresponde a el área de ese prima
En el caso particular de los prismas el área total está formada por rectángulos
(corresponden a las caras laterales) y por los polígonos que forman las bases.

28. VOLÚMEN PRISMA
Todos estos cuerpos tienen la misma altura y sus bases tienen
igual área, sin embargo, sus inclinaciones son distintas. Según
el principio de Cavalieri: como las áreas transversales son
iguales, los volúmenes también lo son, por lo tanto, resulta fácil
calcular el volumen, ya que basta con determinar solo el del
paralelepípedo correspondiente.

29. ÁREA TOTAL PRISMA
• Es igual a la suma de las áreas de cada una de sus caras
laterales y basales, es decir:
AT = AL + 2 AB
donde
AT : área total ; AL : área lateral ; AB : área basal
VOLÚMEN PRISMA
V = AB ⋅ h
donde
AB : área basal y h : altura

30. ACTIVIDAD 2
1) Calcula el área de los
siguientes prismas:
2) Calcula el volumen de un
cubo de arista 12 cm.
3) Calcula el volumen de un
prisma triangular regular de
arista 10 cm y altura 6 cm

31. ÁREA PIRÁMIDE
Al igual que el área de un prisma, éste
corresponde a la suma de todas las áreas
de los polígonos que la componen.

32. VOLÚMEN PIRÁMIDE
Observa la figura:
El prisma triangular fue descompuesto en tres pirámides
regulares.
Las tres pirámides tienen el mismo volumen, por lo tanto, el
volumen de una pirámide corresponde a un tercio del prima
que le corresponde.

33. 1
1
V = V prisma = AB ⋅ h
3
3
donde
AB : área basal y h : altura
• Una pirámide regular tiene todas sus
aristas de igual medida
• Si la base de una pirámide tiene n lados,
entonces el número de caras es n+1

34. ACTIVIDAD 3
1) Calcula en cada caso el
volumen del prisma y el de la
pirámide. Comprueba la
relación existente entre dichos
volúmenes.
2) Determina el área total de
las siguientes pirámides:
a)Calcula el área lateral y el área total
de una pirámide hexagonal de 30 cm
de arista lateral y 12 cm de arista de la
base.
b)Calcula el área lateral y el área total
de una pirámide pentagonal de 15 cm
de arista lateral y 24 cm de arista de la
base. La apotema de la base mide
16,52 cm.

35. CUERPOS REDONDOS O SÓLIDOS
DE REVOLUCIÓN
• CILINDRO: Las secciones definidas por el plano transversal
tienen igual área, por lo tanto, tenemos que el área de las bases es
equivalente, además:
2 ⋅ AB + AL = 2πr 2 + H ( 2πr )
 Área:
 Volumen: A B ⋅ H = π ⋅ r 2 ⋅ H donde H : altura cilindro

36. • CONO
 Área: π ⋅ r ⋅ ( g + r ) donde g : generatriz
 Volumen: Al igual que entre los prismas y las pirámides,
existe la misma relación entre el cilindro y el cono.
1
1
⋅ A B ⋅ H = ⋅ π ⋅ r 2 ⋅ H donde H : altura cono
3
3

37. • ESFERA: Se puede obtener a partir de la
rotación de una semicircunferencia sobre
un eje.
 Área:
4 ⋅π ⋅ r 2
 Volumen: 4
3
⋅π ⋅ r
3

38. ACTIVIDAD 4
1) ¿Cuál es el área total de un tubo de
acero con forma cilíndrica, si su radio
basal mide 5 cm y su largo 2 mt?
3
2) ¿Cuántos cm de pintura se
necesitan para pintar 100 de estos
tubos? (1 lt de pintura rinda
2
aproximadamente 3 m).
3) ¿Qué condición debe cumplir el radio
y la altura de un cilindro para que su
área lateral sea equivalente a la
suma de las áreas basales?
4) Se construyó un pozo como el de la
figura. Si la altura es de 120 cm, el
grosor es de 40 cm y el hueco mide
1 mt, ¿cuál es el volumen del pozo?

39. 5) Calcula el área de un cono recto cuya
generatriz mide 20 cm y cuyo radio basal
es de 15 cm
6) Calcula el volumen y el área de una
esfera de 6 cm de radio
7) Una esfera está inscrita en un cubo de
6 cm de arista, es decir, las caras son
tangentes a la esfera. Calcula el
volumen de la esfera y el área de la
superficie esférica.