2. PRODUCTO CARTESIANO
Sean A y B conjuntos. Al conjunto
formado por todos los pares ordenados
de primera componente en A y segunda
componente en B, se le denota A x B y
se le llama producto cartesiano de A y B.
Simbólicamente se expresa así:
A x B = {(x, y) / x Î A Ù y Î B}.
En consecuencia:
(x, y) Î A x B Û x Î A Ù y Î B
(x, y) Ï A x B Û x Ï A Ú y Ï B
3. Para entender la idea de producto cartesiano debemos saber que se trata de una
operación entre dos conjuntos, de tal modo que se forma otro conjunto con
todos los pares ordenados posibles.
Por ejemplo, dado los conjuntos A = {1, 2, 3, 4} y B = {a, b}, su producto cartesiano
es:
A × B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b), (4, a), (4, b)}
Los elementos de A x B son pares ordenados. Cada par que se forma con un
elemento del conjunto A y uno del conjunto B, en ese orden, recibe el nombre de par
ordenado. Sus elementos se colocan entre paréntesis, separados por coma.
4. Ejemplo 2
Definidos los conjuntos :
A= {1,4,6}
B= {2,3,5}
Obtenemos el producto cartesiano de A por B, colocando en una tabla los elementos
del conjunto A en el eje horizontal y los de B en vertical, en la intersección colocamos
los pares ordenados correspondientes, percatarse que en el par ordenado, en primer
lugar se coloca el elemento de A, del eje horizontal y en segundo lugar el de B, del
eje vertical.
La enumeración de los elementos del conjunto de pares ordenados, sería el
siguiente:
A x B= {(1,2),(1,3),(1,5),(4,2),(4,3),(4,5),(6,2),(6,3),(6,5)}
Representación Gráfica .
5. PROPIEDADES
El conjunto vacío actúa como el cero del producto cartesiano, pues no posee
elementos para construir pares ordenados:
Un producto cartesiano donde algún factor sea el conjunto vacío es vacío. En particular:
El producto cartesiano de dos conjuntos no es conmutativo en general, salvo en
casos muy especiales. Lo mismo ocurre con la propiedad asociativa.
En general:
6. Probar que el producto cartesiano no es conmutativo
A={3}
B={2}
A x B = {(3,2)}
Ax B ≠ BxA
B x A = {(2,3)}
Probar que el producto cartesiano no es asociativo
A = {7}
B = {8}
C = {5}
(A x B) x C ≠ A x (B x C)
A x B {(7,8)}
(A x B) x C = {(7,8), 5}
Ahora hagamos :
B x C = {(8,5)} Así; A x (B x C)= {[7,(8,5) ])}
Finalmente:
( A x B) x C ≠A x (B x C)
7. Puesto que el producto cartesiano
puede representarse como una
tabla o un plano cartesiano, es
fácil ver que el cardinal del
conjunto producto es el producto
de los cardinales de cada factor:
El producto cartesiano de un
número finito de conjuntos finitos
es finito a su vez. En particular, su
cardinal es el producto de los
cardinales de cada factor:
El producto cartesiano de una familia de conjuntos no vacíos que incluya algún
conjunto infinito es infinito a su vez.
8. EJEMPLOS
1) Exprese gráficamente
el producto de los
siguientes pares
ordenados:
A= [2,4]
B= [-1,2 ]
2) Sean :
A = {x / x e N ^ 1 <= x < 4}
B = {x / x e R ^ 1 <= x <= 3}.
Representar A x B en el
plano cartesiano.
Soluciones
1)
2)
9. 3) Sean A = {1, 2} y B = {3, 4, 5} el
producto cartesiano A x B será:
A x B = {(1, 3),(1, 4),(1, 5),(2,
3),(2, 4),(2, 5)}.
4) Sean: A = {x / x R ^ 1 < x <= 3 }
B = {x / x R ^ -2 <= x < 2
}.
Soluciones:
3)
4)
A x B es el conjunto de los puntos
interiores al rectángulo PQRS y los
puntos que pertenecen a los segmentos
10. EJERCICI
1.- Muestre con un ejemplo que si A yOS conjuntos arbitrarios entonces no es
B son
siempre cierto que A×B = B ×A. ¿Bajo qué condiciones es cierta esta igualdad?
2.- Sean: A, el conjunto de todos los números reales que están entre 1 y 3
incluyendo el 1 y el 3; B el conjunto de los números enteros entre 2 y 5,
incluyendo al 2 y al 5. Hacer un diagrama cartesiano de: A x B y B x A.
3.- El primer elemento de cada par ordenado de un producto cartesiano:
Conteste (V) si es verdadero o (F) si es falso.
a)Pertenece al segundo conjunto.
(
b)Pertenece al primer conjunto .
(
c)Puede pertenecer a cualquiera de los dos conjuntos . (
)
)
)
5.- ¿Cuántas pares ordenados tendría el producto cartesiano? de F = (8,9,7,5) y
G= (1,2,3,4,5)
“No basta tener un buen ingenio, lo principal es aplicarlo bien” René
11.
12. RELACIONES
Sea un ejemplo de la vida diaria:
A = {x /x es mujer} B = {x /x es hombre}
A x B = {(x, y) / x es mujer ; y es hombre}
De este conjunto se diferencian algunos pares ordenados, por ejemplo:
(Ana, Pedro) de forma que....”Ana es novia de Pedro”.....
Análogamente: (María, Juan)
De todos los pares de A x B, sólo algunos cumplirán con este “vínculo” entre una muje
y un hombre. Se dice entonces que se tiene definida una relación entre las mujeres y
los hombres, o sea entre A y B.
En este caso se indica que: Ana R Pedro ó que (A, P) e R
María R Juan ó que (M, J) e R
Sin embargo el par (J, P) No e R.
13. De esta manera, es posible definir el concepto de relación “R” es una relación de A
en B si y sólo si R es un subconjunto de A x B.
Notación:
1.- (a, b) R indica que a A está en relación con b B por medio de R. Se indica
con:
aRb. (a, b) R ó aRb.
2.- Al conjunto A se lo denomina conjunto de partida y al conjunto B conjunto de
llegada.
Ejemplo:
Sea A = {1; 2; 3} , B = {2; 4}
A x B = {(1, 2); (1, 4); (2, 2); (2, 4); (3, 2); (3, 4)}
R1 = {(x, y) A x B / x ³ y} = {(2, 2); (3, 2)}
R2 = {(x, y) A x B / x y} = {(1, 2); (1, 4); (2, 2); (2, 4)}
R3 = {(x, y) A x B / y = x+1 } = {(1, 2); (3, 4)}
15. Dominio de una relación
Se llama Dominio de una relación, al conjunto formado por las
primeras componentes de los pares ordenados que pertenecen a la
relación. Se indica con: Dom R ó DR
Imagen de una relación
Se llama Imagen de una relación, al conjunto de las segundas
componentes de los pares ordenados que pertenecen a la relación. Se
indica con: Im R ó IR
Ejemplo:
El dominio e imagen para cada una de las relaciones definidas en el ejemplo anterior es:
Dom R1 = { 2; 3}
Im R1 = {2}
Dom R2 = {1; 2}
Im R2 = {2; 4}
Dom R3 = {1; 3}
Im R3 = {2; 4}
16. EJEMPLOS
A) Sean los conjuntos A y B
A={3,4,5}
B={1,3,5,7}
El producto cartesiano de estos conjuntos es:
A x B={(3,1),(3,3),(3,5),(3,7),(4,1),(4,3),(4,7),(5,1),(5,3),(5,5),(5,7)}
Establecemos condiciones para relacionar pares de estos conjuntos. Se formarán
subconjuntos con las características precisas siguientes:
Que a = b. De este modo (3,3) y (5,5) son dos pares ordenados que configuran
una relación “R” de pares ordenados cuyos elementos son iguales y están
incluidos en el producto A x B. Luego, R = {(3,3), (5,5)} es una relación de A en B.
17. b) Sean A = {Pablo, Pedro, Luis} y B = {Peugeot, Chevrolet, Fiat, Renault} y R sea
definida del siguiente modo
aRb = “a prefiere marca b”
Entonces la enumeración de los elementos podría ser R = {(Pablo, Fiat), (Pedro,
Peugeot), (Luis, Renault)}
c) Sea R definida en N por medio de la condición:
a R n ↔ a = b²
Entonces R = {(1,1), (4,2), (9,3), (16,4)…..} Es un conjunto infinito, por lo tanto
conviene escribirlo por comprensión o propiedad {(a,b) e N x N / a= b²}
18. COMPOSICION DE LAS RELACIONES
Sean R: X ↔ Y y S :Y ↔ Z dos relaciones. La composición de R y S, que
se deno-ta como R o S, contiene los pares ( x, z ) si y sólo si existe un objeto
intermedio y tal que ( x, y ) está en R y ( y, z )está en S.
Por consiguiente,
x(R oS)z =Ǝy (xRy a yRz)
Esta definición implica que (x, ) está en la composición de las relaciones
hermana y padre, si existe un individuo y tal que x es hermana de y e y es un
padre de z. Esto es exactamente la relación tía. De esto se sigue, que la
relación tía es la composición de la relación hermana y padre como hemos
afirmado. En general, para determinar si (x, z) está en la relación R o S, se
necesita siempre un intermediario y la hermana, en el caso de la relación tía, tal
que sean válidas xRy e yRz.
19. EJEMPLO:
Se tienen cinco personas A, B, C, D y E. C es dueño del camión
llamadoMachakito y E es dueño del camión llamado Imperioso. A es amigo de
B y D, B es amigo de C y C es amigo de E. Sea R la relación "x es amigo de y"
y sea S la relación "y es dueño del camión z".“ Calcular la relación R o S.
SOLUCIÓN:
Si R es la relación "x tiene a y como amigo" y si S es la relación "y
es el dueño del camión z " entonces el par ( x, z ) está en R o S si existe un
intermediario y tal que x tiene a y como amigo e y es dueño del camión z. Las
relaciones R y S están dadas por
R={ (A, B), (A, D), (B, C), (C, E)}
S = {(C, Machakito), (E, Imperioso)}
Ahora bien:
R o S - {(B, Machakito), (C, Imperioso)}
B tiene acceso a un camión a través del intermediario C, que es
dueño de Machakito y C tiene acceso a un camión a través de
intermediario £, que es dueño de Imperioso.
20. (x1, z2 ) € S o R a través del intermediario y1
La composición de dos
relaciones se puede representar
mediante un grafo. Sean R : X ↔ Y
y S : Y ↔ Z. Ahora se dibujan todos
los nodos de X a la izquierda, todos
los nodos de Z a la derecha, y todos
los nodos del conjunto
intermediario Y en el medio.
Asumimos que los miembros de X van
desde xl hasta x4,, los miembros de Y
van desde y1 hasta y4, y los miembros
de Z van desde z1 hasta z5. De
acuerdo con lo que hemos dicho
antes, el par (x i, z k)está en R o S si y
sólo si existe un intermediario y j. tal
que hay un arco que va,
desde xj. hasta yi y desde éste
a z k. Por ejemplo, (x1, z4) está en R o
S porque existe un arco
desde x1 hasta y2, y desde éste existe
un arco a z4. Por otra parte (x1, z3) no
está en R o 5, porque no existe
y j a través del cual x1pueda acceder a
z3. A continuación se enumeran
sistemáticamente todos los pares
de R o S:
(x1, z1) € S o R a través del intermediario y2
(x1, z4) € S o R a través del intermediario y2
(x4, z3) € S o R a través del intermediario y3
La relación resultante entonces es
R o S = {(x1, z2), (x1, z2), (x1, z4), (x4, z3)}
22. Ejercicios
1) Sean A = { x N / 1 x 5 } y B = { 3 ; 4; 5 }. Se define R
mediante
(x,y) R
x + y 5.
i) Definir R por extensión.
ii) Representar A x B y R.
iii) Determinar R-1.
2) se consideran a = { 1; 2; 3; 4; 5 } ; b={ 1; 4; 6; 16 } ; c =
{2 ;3 ;8 ;10} y las relaciones r a x b ; s b x c, definidas por :
(x,y) r
y = x2
y
(y,z) s
z = y/2
se pide :
i) determinar r y s por extensión.
ii) definir la composición s º r a x c por extensión.
iii)determinar los dominios e imágenes de las tres relaciones.
AxB
