DOCUMENTO

1. 1
Introducción a la Teoría de Conjuntos
Demetrio Ccesa Rayme

2. 2
¿Qué es un conjunto?
 Un conjunto es una colección de objetos considerada
como un todo.
 Los objetos de un conjunto son llamados elementos
o miembros del conjunto.
 Los elementos de un conjunto pueden ser cualquier
cosa: números, personas, letras, otros conjuntos,
etc.
 Los conjuntos se denotan por letras mayúsculas: A,
B, C, etc.
 Un conjunto no posee elementos repetidos.

3. 3
 Ejemplo
 a  A (a pertenece a A)
 b  A (b no pertenece a A)
a
Relación de pertenencia
e
i
b
c
o
u
V

4. 4
Formas de expresión de un conjunto
 Para indicar un conjunto de utilizan llaves.
 Hay distintas formas de expresarlo
 Enumerando sus elementos
A = {a, e, i, o, u}
 Indicando alguna caracterización de sus
elementos
A = { x / x es una vocal }
Tal que

5. 5
Conjunto vacío
 Es aquel que no contiene elementos
 Representación:  o {}
 Ejemplo:
B = { x / x  N ^ 2x = 1}
B es un conjunto que no contiene elementos dado
que ningún número natural multiplicado por 2
puede dar como resultado 1
 B = {}

6. 6
Cardinalidad de un conjunto
 Se refiere a la cantidad de elementos que
contiene un conjunto
 Ejemplo:
La cardinalidad de A = { x / x es una vocal } es 5
La cardinalidad de B = { x / x  N ^ 2x = 1} es 0
 Un conjunto puede contener infinitos
elementos.

7. 7
Igualdad de conjuntos
 Dos conjuntos son iguales si ambos tienen
los mismos elementos o si ambos son vacíos
 Dados los conjuntos
 A = { 0 , 3 }
 B = { x / x (x – 3) = 0 }
 C = { x / x (x – 3) (x – 1) = 0 }
A = B ?
A = C ?

8. 8
Subconjuntos de un conjunto
 Si A y B son conjuntos tales que todo
elemento de B es también elemento de A,
diremos que
 B es un subconjunto de A
 B es una parte de A
 B está incluido A.
 Esto se simboliza como B  A
B
A

9. 9
Subconjuntos de conjuntos
 Dados los conjuntos
 A = { 0 , 3 }
 B = { x / x (x – 3) = 0 }
 C = { x / x (x – 3) (x – 1) = 0 }
 A  C
 C  A pues 1  C y 1  A.

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Conjunto de partes de un conjunto
 Si A es un conjunto, llamaremos el conjunto
de partes de A, al conjunto formado por
todos los subconjuntos de A, y lo
denotaremos P(A).
 En otras palabras:
P(A) = { B / B  A }

11. 11
Conjunto de partes de un conjunto
 Ejemplos
 A = {1} A tiene 1 elemento
P(A) = { {}, {1} } P(A) tiene 2 elementos
 A = {1, 2} A tiene 2 elementos
P(A) = { { }, {1}, {2}, {1,2} } P(A) tiene 4 elementos

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Operaciones de conjuntos
 Existen varias formas de obtener nuevos
conjuntos a partir de otros existentes:
 Unión
 Intersección
 Diferencia
 Complemento

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Operaciones de Conjuntos
A  B = {x / x  A  x  B }
UNION

14. 14
Operaciones de Conjuntos
A  B = { x / x  A  x  B }
INTERSECCION

15. 15
Operaciones de Conjuntos
B – A = {x / x  B  x  A }
DIFERENCIA

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Operaciones de Conjuntos
Si A  B CBA= {x / x  B  x  A }
CBA = B – A
COMPLEMENTO
B
A

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Ejercicios
 Dados los conjuntos
A = { 1, 2, 3} , B = {1, 2, 4, 5} y C = { 2, 3, 4}
Calcular
 A  B =
 A  B =
 A – B =
 B – A =
 A  B  C =
 A – ( B – C) =
{ 1,2 }
{ 1, 2, 3, 4, 5 }
{ 3 }
{ 4, 5 }
{ 2 }
{ 2, 3 }

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Ejercicio
Colorear la parte que representa el conjunto
(A  B) – ( A  C)

19. 19
Ejercicio
Colorear la parte que representa el conjunto
(A  B) – ( A  C)

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Autoevaluación
 En esta dirección
http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/evaluteo.htm
hay una autoevaluación de conjuntos.

21. 21
Producto Cartesiano
 El producto cartesiano de dos conjuntos A y
B, denotado A × B, es el conjunto de todos
los posibles pares ordenados cuyo primer
componente es un elemento de A y el
segundo componente es un elemento de B.
A × B = { (x,y) / x  A ^ y  B }

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Producto Cartesiano
 Ejemplo:
Si A = { a , b , c } y B = { 1 , 2 }
AxB = { (a,1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2) }
Note que
A tiene 3 elementos
B tiene 2 elementos
A x B tiene 6 elementos.

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Producto Cartesiano
 Ejemplo:
A = { oro, copa, basto, espada }
B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 }
A x B = { (oro, 1), (oro,2),…,(oro,12), (copa,1),
(copa,2), …,(copa,12), …,(espada,12) }
Note que
A tiene 4 elementos
B tiene 12 elementos
A x B tiene 48 elementos (todas las cartas del mazo)

24. 24
Producto Cartesiano
Representación en forma de Tabla
 Ejemplo:
A = { , } B = { , , }

25. 25
Producto Cartesiano
Representación en forma de Diagrama
 Ejemplo:
A = { , } B = { , , }

26. 26
Producto Cartesiano
 Ejemplo:
A = { , } B = { , , }

27. 27
Gráfico cartesiano
 Dados los conjuntos
A = { 1 , 2 } y B = { 1 , 2 , 3 }
el gráfico cartesiano de A x B es:
La primera
componente de cada
elemento del producto
cartesiano es la
abscisa
La segunda
componente de cada
elemento del producto
cartesiano es la
ordenada

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Ejercicio : indicar el gráfico cartesiano de
A x B donde
A = { x / x  R  –1 x  1 }
B = R

29. 29
Ejercicio : indicar el gráfico cartesiano de
A x B donde
A = { x / x  R  2  x < 5 }
B = { x / x  R  1 < x  3}

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Relación entre elementos de conjuntos
 Hay casos en que no todos los pares ordenados
de un producto cartesiano de dos conjuntos
responden a una condición dada.

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Relación entre elementos de conjuntos
 Se llama relación entre los conjuntos A y B a un
subconjunto del producto cartesiano A x B.
 Este puede estar formado por un solo par
ordenado, varios o todos los que forman parte
de A x B.

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Relaciones
 Dado el siguiente diagrama que relaciona los
elementos de A con los de B
b está
relacionado
con 1
3 es el
correspondiente
de d

33. 33
Conjuntos de salida y de llegada de un
relación
 A es el conjunto de salida y B es el conjunto
de llegada

34. 34
Dominio de una relación
 Dom(R) =  x / xA  (x,y)  R 
Dom(R) = {b, c, d}

35. 35
Imagen de una relación
 Im(R) =  y / yB  (x,y) R 
Im(R) = {1, 3, 4}

36. 36
Notación
 Si R es una relación entre A y B , la expresión x R y
significa que (x,y)  R , o sea, que x está
relacionado con y por la relación R.
 Ej: b R 1 porque (b,1)  R

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Relación definida en un conjunto
 Cuando los conjuntos de partida y de llegada
de una relación R son el mismo conjunto A,
decimos que R es una relación definida en
A, o, simplemente, una relación en A.
 Una relación R en A es entonces un
subconjunto de A2 = A x A

38. 38
Relación definida en un conjunto
 Ejemplo:
Sea H = { x / x es un ser humano} y R la
relación “es madre de”
 R es una relación en H. Por qué?
 Como Ana es la madre de Luis, decimos que el
par (Ana,Luis)  R.
 Note que los pares que verifiquen R son un
subconjunto de H x H.

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Representación de una relación
 Sea A = { a , b , c , d} y
R = { (a, b), (a, c), (b, c), (c, c), (c, d), (d, c) }
Para poder construir el grafo dirigido A debe contener
un número finito de elementos
Los vértices del
grafo son los
elementos A y las
aristas dirigidas
representan los
elementos de R

40. 40
Representación de una relación
 Sea A = { a , b , c , d} y
R = { (a, b), (a, c), (b, c), (c, c), (c, d), (d, c) }
R puede representarse como matriz donde 1 indica
que hay relación y 0 que no hay relación

41. 41
Propiedades de las relaciones definidas en
un conjunto
 Si establecemos una relación entre los elementos
de un mismo conjunto, existen cinco propiedades
fundamentales que pueden cumplirse en esa
relación
 Propiedad reflexiva
 Propiedad simétrica
 Propiedad asimétrica
 Propiedad antisimétrica
 Propiedad transitiva

42. 42
Propiedad reflexiva
 La propiedad reflexiva dice que todos los elementos
de un conjunto están relacionados con si mismo
R es reflexiva si para todo x  A, el par (x,x)  R

43. 43
Propiedad simétrica
 La propiedad simétrica dice que si un elemento está
relacionado con otro, éste segundo también está
relacionado con el primero
R es simétrica si siempre que un par (x,y)  R, el par
(y,x) también pertenece a R

44. 44
Propiedad Simétrica
 Ejemplo
 Dado A = {3, 4, 2} decir si las siguientes
relaciones en A2 son simétricas
R = {(2, 3), (3, 4), (4, 3), (3, 2), (4, 4)}
S = {(3, 2), (4, 3), (2, 2), (3, 4)}

45. 45
Propiedad asimétrica
 Una relación es asimétrica si ningún par
ordenado de la relación cumple la propiedad
simétrica.

46. 46
Propiedad antisimétrica
 Una relación es
antisimétrica cuando
sólo cumplen la
propiedad simétrica
los pares de
elementos iguales y
no la cumplen los
pares formados por
distintos elementos.

47. 47
Propiedad antisimétrica
 Ejemplo
 Dado A = {2, 4, 6} decir si las siguientes
relaciones en A2 son antisimétricas
R = {(2, 2), (4, 4)}
S = {(2, 4)}
T ={(4, 6), (2, 2), (6, 4), (4, 2)}

48. 48
Propiedad transitiva
 La propiedad transitiva dice que si un elemento está
relacionado con otro y éste está a su vez
relacionado con un tercero, el primer elemento está
relacionado con el tercero.
R es transitiva si
x , y ,z , (x,y)  R  (y,z)  R  (x,z)  R

49. 49
Propiedad transitiva
 Ejemplo
 Dado A = {2, 4, 6, 3} decir si las siguientes
relaciones en A2 son transitivas
R = {(2, 2), (2, 3), (4, 6), (6, 2), (4, 2), (4, 3), (6, 3)}
S = {(2, 2), (4, 4), (4, 2), (2, 6), (6, 4), (6, 2)}

50. 50
Ejercicio
 Dado A = {1, 2, 3} decir a que tipo
pertenecen las siguientes relaciones
 R1 = {(1, 1), (2, 1), (2, 2), (3, 2), (2, 3), (3, 3)}.
 R2 = {(1, 1)}.
 R3 = {(1, 2)}.
 R4 = {(1, 1), (2, 3), (3, 2)}.

51. 51
Ejercicio
 Sea A = {2, 3, 4, 5, 6}
R = {(x, y) / xA, yA, | x – y | es divisible por 3}
 Escribir por extensión a R.

52. 52
Casos especiales
 Como casos especiales de las relaciones en
un conjunto se define:
 Relaciones de orden: Permite ordenar los
elementos a través de la relación.
 Relación de equivalencia: Permite marcar
características similares entre los
elementos de un conjunto

53. 53
Relación de orden
 La relación de orden es aquella en que los elementos
pueden ordenarse a través de la relación.
 Ejemplo

54. 54
Relación de Orden
 Pueden definirse dos tipos de relación:
 Relación de orden amplio.
 Relación de orden estricto.

55. 55
Relación de orden amplio
 Una relación de orden amplio es aquella
que cumple las propiedades reflexiva,
antisimétrica y transitiva.

56. 56
Relación de orden amplio
Ejemplo: R = “… es menor o igual que…”

57. 57
Ejemplo: Indicar si las siguientes
relaciones son de orden amplio
 Sea A es el conjunto de los naturales y
R = {(x,y) / x,y  A ^ “x divide a y”}
 Sea A es el conjunto de los subconjuntos de
un conjunto dado y
R = {(x,y) / x,y  A ^ “x está incluído en y”}

58. 58
Relación de orden estricto
 Una relación de orden estricto es aquella que
cumple con las propiedades asimétrica y
transitiva, y no cumple con la propiedad reflexiva.

59. 59
Relación de orden estricto
Ejemplo: R = “… es menor que…”

60. 60
Relación de equivalencia
 Permite marcar características similares entre los
elementos de un conjunto

61. 61
Relación de equivalencia
 Permite marcar características similares entre los
elementos de un conjunto mediante su clasificación,
determinando una partición del mismo en clases de
equivalencia.
Se llama partición de
un conjunto A, a todo
conjunto de
subconjuntos no vacíos,
disjuntos dos a dos, de
modo que la unión de
dichos conjuntos
formen el conjunto A.

62. 62
Clase de Equivalencia
 Sea R una relación de equivalencia y K el conjunto
sobre el que está definida, llamaremos clase de
equivalencia del elemento a  K, al subconjunto a
de K formado por todos los elementos de K que
están relacionados con a por R. Esto es:
a = {x / x  K ^ a R x }
Así, llamamos
representante de la clase al
elemento a y diremos que, si
x  a, a es equivalente a x
por R

63. 63
Conjunto Cociente
 Sea R una relación de equivalencia y K el conjunto
sobre el que está definida, llamaremos conjunto
cociente K por R y lo notaremos K/R a la partición
de K formada por todas las clases de equivalencia
determinadas en K dada R.
Es decir, el conjunto cociente
es el conjunto de todas las
clases de equivalencia que se
puedan formar con los
elementos de K, dada R.

64. 64
Ejemplo de Relación de Equivalencia
 Sea H el conjunto formado por todos los seres
humanos.
R= {(x, y) / x,y  H ^ "x es compatriota de y"}
 R es reflexiva puesto que toda persona es
compatriota de si mismo.
 R es simétrica, puesto que "si x es compatriota
de y, y es compatriota de x".
 R es transitiva, por que "si x es compatriota de
y e y es compatriota de z, entonces x es
compatriota de z".

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Ejemplo de Relación de Equivalencia
 Sea H el conjunto formado por todos los seres
humanos.
R= {(x, y) / x,y  H ^ "x es compatriota de y"}
 Dado un elemento a de H, su clase de
equivalencia estará formada por sus
compatriotas.
 El conjunto cociente de H por R, H/R, es el
conjunto formado por todas las clases de
equivalencias.
 H/R es una partición de H.

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Ejercicio
 ¿ Cuál de las siguientes relaciones en S son de
equivalencia?
 R = {(a, b)/ a y b tienen la misma madre},
donde S = {a / a es cualquier persona}
 S es el conjunto de números enteros y R es la
relación “x es congruente con y módulo 2”, es
decir, que x e y tienen el mismo resto al ser
divididos por 2.