Relaciones y funciones: productos cartesianos, relaciones y composición

Trabajo Práctico Nº 3
Relaciones y Funciones
1) Sea A = { 1 ; 2 }. Construya el conjunto P(A) x A.
2) a) Dé un ejemplo de conjuntos A ; B ; C y D tales que : A ⊂ C y B ⊂ D.
Observe que A x B ⊂ C x D.
b) Suponiendo que A x B ⊂ C x D ¿se sigue de esto necesariamente
que A ⊂ C y B ⊂ D ?. Explique.
3) Sean A = { x ∈ N / 1 ≤ x ≤ 5 } y B = { 3 ; 4; 5 }. Se define R ⊂ A x B
mediante (x,y) ∈R ⇔ x + y ≤ 5.
i) Definir R por extensión. ii) Representar A x B y R. iii) Determinar R-1
.

4) Se consideran A = { 1; 2; 3; 4; 5 } ; B={ 1; 4; 6; 16 } ; C = {2 ;3 ;8 ;10}
y las relaciones R ⊂ A x B ; S ⊂ B x C, definidas por :
(x,y) ∈ R ⇔ y = x2
y (y,z) ∈ S ⇔ z = y/2
Se pide : i) Determinar R y S por extensión.
ii) Definir la composición S º
R ⊂ A x C por extensión.
iii)Determinar los dominios e imágenes de las tres relaciones.
5) Analizar si las siguientes relaciones son o no de equivalencia.
R = { ( -1,-3) ; (-2,0) ; (0,0) ; (-1,-1) } en A = { -3, -2, -1, 0 }
S = { (2,2) ; (2,1) ; (3,3) ; (1,1) ; (3,2) ; (0,0) } en B = { x ∈ N0
/ x ≤ 3 }
6) Sea A un conjunto de libros. Sea R1
una relación binaria definida en
A /(a,b) ∈ R1
⇔ el libro a cuesta mas y tiene menos hojas que b. ¿ Es R1
reflexiva ? ¿ simétrica ? ¿ antisimétrica ? ¿ transitiva ?.

7) Sea R una relación binaria sobre el conjunto de todas las sucesiones
de ceros y unos, tal que :
R = {(a, b) / a ∧ b son sucesiones que tienen el mismo número de ceros}.
¿ Es R reflexiva ? ¿ simétrica ? ¿ antisimétrica ? ¿ transitiva ? ; ¿ es
relación de equivalencia ? ¿ es relación de orden ?
8) Sea R una relación binaria sobre el conjunto de todos los enteros positivos ,
tal que : R = {(a, b) / a - b es un entero positivo impar}. ¿ Es R reflexiva ?
¿ simétrica ? ¿ antisimétrica ? ¿ transitiva ? ; ¿ es una relación de equivalencia ?
¿ es una relación de orden ?
9) Descubrir la falla del razonamiento en la siguiente argumentación, que
pretende probar que la reflexividad es una consecuencia de la simetría y de la
transitividad : x R y ⇒ x R y ∧ y R x ⇒ x R x

10) a) Determinar si el conjunto P = { A1
; A2
} constituye una
partición de Z con A1
= {x ∈ Z : 2  x} y A2
= { x ∈ Z : 2  x }
b) Determinar si el conjunto Q constituye una partición de Z ;
Q = { N; Z-
}
11) Dado el conjunto de conjuntos M = {A, B, C, ∅}, donde A = {1, 2, 3, 4}
B = {1, 3} C = {3} Clasificar en M la relación “ ⊂ ”.
12) Analizar si (N, ≤) y (N,  ) son láttices.
13) Representar gráficamente las siguientes relaciones :
a) f : R → R / f(x) = -5 x b) g : Zpares → Z / g(x) =
c) h : N → N / h(x) = 2 x + 3
x
2
1

14) Sean las relaciones fi
: R → R con i = 1,2, . . . . 6 dadas por las
fórmulas :
f1
(x) = - 3 x + 4
f2
(x) = - x2
+ 4 x – 3 f4
(x)=
f3
(x) = log 2
( 2x - 3 )
f6
(x) = f5(x) =





<≤−+
=
>−
0x2si1x
0xsi3
0xsi1x
3





>
≤≤
<
1xsixln
1x0si1
0xsi2x
3x
2
+
a) Determine en cada caso el Dominio y la Imagen para que la relación
resulte una función
b) Represente gráficamente cada una de las fi
c) Clasifique cada una de las fi
d) En los casos que sea posible, determine y represente gráficamente f-1

Conjunto de partes Se escribe P(A)
y está formado por todos los subconjuntos posibles que pueden
formarse con los elementos del conjunto A, incluido el conjunto vacío
se lee “partes de A”
Sea A { a, b, c }
P(A)= { {a}; {b}, {c}; {a,b}; {a,c}; {b,c}; {a,b,c} ∅ }
• a
• b
• c
• a
• b
• c
• a • b
• a • c
• b • c
{a}
{b}
{c}
{a,b}
{a,c}
{b,c}
•a • b • c {a, b, c}
A
{ } = ∅
entonces el conjuntos de partes de A es:
El número de
elementos que
conforman
P(A) es 2n
donde n = #A
#A se lee cardinal del
conjunto A y es igual a
la cantidad de
elementos que tiene el
conjunto A

Producto Cartesiano
Dado un conjunto A = { a, b }
• a
A
y un conjunto B = { 1, 2 }
• 1
BEl producto cartesiano A x B se
forma con todos los pares ordenados
posibles conformados por elementos
del conjunto A en el primer lugar del
par ordenado y elementos del conjunto
B en el segundo lugar del par ordenado
• b • 2
A x B = { (a, 1),(a, 2), (b, 1),(b, 2) }
También podemos representar el producto cartesiano en un par de ejes coordenados
a b
A
B
2
1
(b, 1)
(b, 2)
(a, 1)
(a, 2)
A x B En el eje de abscisas (x) el conjunto A
En el eje de ordenadas (y) el conjunto B
y los pares ordenados en las intersecciones de
las perpendiculares a cada uno de los ejes, que
pasan por los elementos involucrados

1) Si A = { 1, 2 }
Recuerda que cada uno de los subconjuntos posibles formados con
los elementos del conjunto A, es un elemento de P(A)
P(A) xA = { (∅,1); (∅,2); ({1},1); ({1},2); ({2},1); ({2},2); ({1,2},1); ({1,2},2) }
observa que en cada par ordenado, el 1er
elemento ∈ P(A)
y el 2do
elemento ∈ A
2) a) Si A = { a } B = { 2 } C = { a, b } D = { 1, 2 }
ubicamos ahora A ⊂ C y B ⊂ D
• a
C
• 1
B
• b • 2
A
D
C x D = {(a,1); (a,2); (b,2) }(b,1);
a b
B
2
1
(b, 1)
(b, 2)
(a, 1)
(a, 2)
A x B
A x B = { (a,2) }
entonces A x B ⊂ C x D
el único par ordenado de AxB; (a,2) ∈ CxD
C x D
en ejes cartesianos
P(A) = { ∅; {1}; {2}; {1,2} }
11 22

2 b) Si A x B ⊂ C x D ¿se sigue de esto necesariamente
que A ⊂ C y B ⊂ D ?. Explique.
Si a ∈ A (a, b) ∈ A x B,
Si a es elemento del conjunto A, entonces el elemento a con
cualquier otro elemento del conjunto B forma un par ordenado del
producto cartesiano A x B
Por la consigna del ejercicio A x B ⊂ C x D , entonces . . .
si (a, b) ∈ A x B entonces (a, b) ∈ C x D luego a ∈ C, luego A ⊂ C
Análogamente puede hallarse que B ⊂ D
si b ∈ B ⇒ (a, b) ∈ A x B, ∀a ∈ A
por la consigna del ejercicio A x B ⊂ C x D , entonces . . .
si (a, b) ∈ A x B entonces (a, b) ∈ C x D luego b ∈ D, luego B ⊂ D
⇒ ∀b ∈ B
si el elemento a pertenece al conjunto
A
entonces
al producto cartesiano A x B
el par ordenado (a, b) pertenece
para todo elemento b que pertenece al conjunto B

Relaciones Dado un producto cartesiano A x B,
si se verifica que entre los elementos de algunos (o todos) los pares
ordenados que lo conforman se cumple una cierta propiedad,
existe una relación R
• 1
A
• 2
B
• 2 • 3
Sean A = { 1, 2 } y B = { 2, 3 }
Definimos R ⊂ A x B : (x,y) ∈ R ⇔ y =
2x
En A x B = { (1, 2); (1, 3); (2, 2); (2, 3) }
De analizar los pares ordenados que conforman A x B resulta que algunos pueden
verificar (otros no) o puede suceder que todos verifiquen e incluso también puede
suceder que ningún par ordenado verifique la condición
en el par (1, 2) x = 1 y = 2
Analizamos
2 = 2 ⋅ 1 entonces (1, 2) ∈ R
en el par (1, 3) x = 1 y = 3 3 ≠ 2 ⋅ 1 entonces (1, 3) ∉ R
R = { (1, 2) }
Y = 2 x
∧ Y ∈ B⊂
incluida en el producto cartesiano A xB si y solo si para todo par ordenado (x, y)
que pertenece a la relación R se verifica que el elemento x pertenece al conjunto A
y que el elemento y pertenece al conjunto B
A x B ⇔ ∀(x,y) ∈ R : x ∈ A

La relación antes vista R = { (1, 2) } definida por comprensión será:
R = { (x, y) / x ∈ A ∧ y ∈ B ∧ y = 2x }
Observe que la definición por comprensión considera:
los elementos que componen la relación pares ordenados (x, y)
a qué conjunto pertenecen cada uno de los elementos x ∈ A ; y ∈ B
cómo se vinculan los elementos de cada par ordenado y = 2x
B
3
2
(2, 2)
(2, 3)
(1, 2)
(1, 3)
R ⊂ A x
B
A x B
Ejes cartesianos
La relación se representa en ejes cartesianos,
1 2 A
en diagrama de Venn y en tablas
• 1
A
• 2
B
• 2 • 3
2 3
1 x -
2 - -
B
A
R
Diagramas de Venn Tabla de R

3) Si A = { x ∈ N / 1 ≤ x ≤ 5 }
B = { 3, 4, 5 }
por extensión A = {1, 2, 3, 4, 5 }
Se define R ⊂ A x B mediante
(x,y) ∈ R ⇔ x + y ≤ 5. • 1
A
• 5
B
• 3
• 3
R
• 2
• 4
• 5
• 41 + 3 = 4 < 5 → (1, 3) ∈ R
1 + 4 = 5 = 5 → (1, 4) ∈ R
1 + 5 = 6 > 5 → (1, 5) ∉ R
2 + 3 = 5 = 5 → (2, 3) ∈ R
2 + 4 = 6 > 5 → (2, 4) ∉ R
2 + 5 = 7 > 5 → (2, 4) ∉ R
3 + 3 = 6 > 5 → (3, 3) ∉ R
3 + 4 = 7 > 5 → (3, 4) ∉ R
3 + 5 = 8 > 5 → (3, 5) ∉ R
4 + 3 = 7 > 5 → (4, 3) ∉ R
4 + 4 = 8 > 5 → (4, 4) ∉ R
4 + 5 = 9 > 5 → (4, 5) ∉ R
5 + 3 = 8 > 5 → (5, 3) ∉ R
5 + 4 = 9 > 5 → (5, 4) ∉ R
5 + 5 = 10 > 5 → (5, 5) ∉ R
R = { (1, 3), (1, 4), (2, 3)}
en Diagrama de Venn
1 2 3 4 5 A
B
5
4
3
(1,3)
(1,4)
(1,5)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
(3,3)
(3,4)
(3,5)
(4,3)
(4,4)
(4,5)
(5,3)
(5,4)
(5,5)
A x B
R
En Gráfico cartesiano
R-1
se conforma con los pares
ordenados de R, pero cambiando
el orden de los elementos en
cada par Si
(x,y) ∈ R entonces (y,x) ∈R-1
R-1
= { (3, 1); (4, 1); (3, 2) }
R-1
= { (y, x) ∈ BxA ⇔ y + x ≤ 5 }

Composición de Relaciones
Sean los conjuntos A; B y C
Y entre ellos se establecen
relaciones
R: A → B y S: B → C
Definimos la composición de R y S,
que se escribe S ° R Como una relación que va de A en C
(a, w) ∈ S ° R ⇔ (a, 2) ∈ R y (2, w) ∈ S
A B C
•a
•b
•1
•2
•v
•w
S ° R = { (a, w) }
Puede suceder:
C
•a
•b
•1
•2
•v
•w
A B
Entonces:
S ° R = { (b, w); (b, v) }
R
S
R S
S ° R

4) Se consideran A = { 1; 2; 3; 4; 5 } ; B={ 1; 4; 6; 16 }
A x B = { (1,1); (1,4); (1,6); (1,16); (2,1); (2,4); (2,6); (2,16); (3,1); (3,4);
(3,6); (3,16); (4,1); (4,4); (4,6); (4,16); (5,1); (5,4); (5,6); (5,16) }
de analizar cuales son los pares ordenados que verifican la condición y = x2
surge que
• 1
• 2
• 3
• 4
• 5
• 1
• 4
• 16
• 6
R = { (1,1);R = { (1,1); (2,4);(2,4); (4,16) }(4,16) }
A B
(x,y) ∈ R ⇔ y = x2
; R ⊂ A x B
(y,z) ∈ S ⇔ z = y/2 ; S ⊂ B x C
• 1
• 4
• 6
•16
• 2
• 3
• 8
• 10
B
C
B x C = { (1,2); (1,3); (1,8); (1,10); (4,2); (4,3); (4,8); (4,10);
(6,2); (6,3); (6,8); (6,10); (16,2); (16,3); (16,8); (16,10) }
S = { (4,2);S = { (4,2); (6,3);(6,3); (16,8) }(16,8) }
analizando los pares ordenados que verifican la condición z = y / 2 surge que
y la relación R ⊂ A x B ;
C = {2 ;3 ;8 ;10}
S ⊂ B x C, definidas por :

• 1
• 2
• 3
• 4
• 5
• 1
• 4
• 16
• 6
A B
S = { (y,z) ∈ B x C / z = y/2 }
• 2
• 3
• 8
• 10
C
El dominio de la relación R es
un conjunto formado por todos
los elementos del primer
conjunto (A), que intervienen
en la relación
La imagen de la relación R es un
conjunto formado por todos los
elementos del segundo conjunto
(B) que intervienen en la relación
Dm R = { 1, 2, 4 } Im R = { 1, 4, 16 }
Dm S = { 4, 6, 16 } Im R = { 2, 3, 8 }
• 1
• 4
• 16
• 6
B
R
S
Si R = { (x,y) ∈ A x B / y = x2
}
El dominio de la relación S es un
elementos del primer conjunto (A),
que intervienen en la relación
La imagen de la relación R es un
elementos del segundo conjunto
(B) que intervienen en la relación

S • R es la composición de dos relaciones
Sean R: A → B S • R = S[R]
Que se lee S cerito R ó R compuesta con S
• 1
• 2• 3
• 4• 5
• 1
• 4
• 16
• 6
A B
• 2
• 3
• 8 • 10
C
• 1 • 4
• 16
• 6
BR S
Se conforma con los
elementos de A y de C
De manera que (x,z) ∈ S • R ⇔ (x,y) ∈ R ∧ (y,z) ∈ S
(1, 1) ∈ R pero 1 ∈ B no se relaciona con ningún elemento de C
(2,4) ∈ R y (4,2) ∈ S entonces (2,2) ∈ S • R
3 ∈ A no se relaciona con ningún elemento de B
5 ∈ A no se relaciona con ningún elemento de B
(4,16) ∈ R y (16,8) ∈ S entonces (4,8) ∈ S • R
S • R = {(2,2);(4,8)}
• 1
• 2• 3
• 4• 5
• 1
• 4
• 16
• 6
A B
• 2
• 3
• 8
• 10
CR S
Dm S • R = { 2, 4 }
Im S • R = { 2, 8 }
y S: B → C

Propiedades de las Relaciones
Cuando decimos que una Relación R está definida en A2
, decimos que :
Los pares ordenados (x, y) de la relación están conformados por
elementos x ∈ A y elementos y ∈ A
si consideramos los elementos de A relacionándose consigo mismo, (o no)
puede suceder que :
Cada elemento del
conjunto A se relaciona
consigo mismo
A
•a
•b
∀x
Es ReflexivaEs Reflexiva
Si algún(os) elemento(s) de
A se relaciona(n) consigo
mismo.
A
•a •b
Es No reflexivaEs No reflexiva
∃ x
Si ningún elemento de A se
relaciona consigo mismo
A
•a •b
Es ArreflexivaEs Arreflexiva
∀x
para todo elemento x se verifica que
si x pertenece al conjunto A
entonces
el par ordenado (x, x)
pertenece a la
Relación R
x ∈ A: ⇒ (x, x) ∈ R
existe(n) xtal que
x pertenece al conjunto A
y el par ordenado (x, x) no
pertenece a la Relación R
/ x ∈ A ∧ (x, x) ∉
R
para todo elemento x se verifica que
si x pertenece al conjunto A
entonces el par ordenado (x, x) no
pertenece a la Relación R
: x ∈A ⇒ (x, x) ∉ R
5-65-6 11117-8-97-8-9
55 66 77 88 99 1111

Es SiméticaEs Simética
Si para cada par de elementos de A, (x,y)
que se relacionan, el par simétrico
también pertenece a la relación
A
•a •b
∀x ∀y ∈ A : (x, y) ∈
R
Si algún(os) par(es) de elementos de A, (x,y) que
se relacionan, tiene(n) par(es) simétrico(s) que
también pertenece(n) a la relación, pero otro(s) no
A
•a •b
•c
Es No simétricaEs No simétrica
∃x ∃y ∈ A
Si ningún par de elementos de A, (x,y) que se
relacionan, tiene par simétrico que también
pertenece a la relación
A
•a •b
•c
Es AsimétricaEs Asimétrica
∀x ∀y ∈ A : (x, y) ∈ R ⇒ (y, x) ∉ R
Es AntisimétricaEs Antisimétrica
Si en cada par de elementos de A,
(x,y) que admite simétrico,
sucede que x = y
A
•a •b
⇒ (y, x) ∈ R •c
/ (x, y) ∈ R ∧ (y, x) ∉ R
∀x ∀y ∈ A : (x, y) ∈ R ∧ (y, x) ∈ R ⇒ x = y
•c
5-65-6 11117-8-97-8-9
55 66
77 88
99 1111

Si para todos los elementos x, y, z que verifican que (x,y) ∈ R y
(y,z) ∈ R entonces el par ordenado (x, z) ∈ R
A
•a •b
•c
∀x,y,z ∈A : (x,y) ∈ R
Es transitivaEs transitiva
Si algunos de los elementos x, y, z verifican que (x,y) ∈ R y
(y,z) ∈ R pero el par ordenado (x, z) ∉ R (otros no)A
•a •b
•c
•d
∃x ∃y ∃z ∈ A / (x,y) ∈ R
Es No transitivaEs No transitiva
A
•a •b
•c
•d
Es AtransitivaEs Atransitiva
Si todos los elementos x, y, z verifican que si (x,y) ∈ R y
(y,z) ∈ R entonces el par ordenado (x, z) ∉ R
∀x ∀ y ∀z ∈ A : (x,y) ∈ R
∧ (y,z) ∈ R ⇒ (x,z) ∈ R
∧ (y,z) ∈ R ∧ (x,z) ∉ R
∧ (y,z) ∈ R ⇒ (x,z) ∉ R
5-65-6 11117-8-97-8-9
55 66 77 88 99 1111

Clasificación de las Relaciones
Si R es una relación es reflexiva, simétrica y transitiva
Es Relación de EquivalenciaEs Relación de Equivalencia
Si R es una relación es reflexiva, antisimétrica y transitiva
Es Relación de Orden amplioEs Relación de Orden amplio
Si R es una relación de Orden (amplio o estricto) donde . . .
Es Relación de Orden parcialEs Relación de Orden parcial
∃a, ∃b / (a, b) ∉ R ∧ (b, a) ∉ R
dicho de otra manera,
hay pares ordenados de
elementos que no se
relacionan entre sí de
ninguna forma
en caso contrario . . .
Si R es una relación de Orden (amplio o estricto) donde . . .
Es Relación de Orden totalEs Relación de Orden total
a ≠ b ⇒ (a, b) ∈ R ∨ (b, a) ∈ R dicho de otra manera, todos los
elementos diferentes se relacionan
entre sí al menos de una forma
Si R es una relación es arreflexiva, asimétrica y transitiva
Es Relación de Orden estrictoEs Relación de Orden estricto
5-65-6 11117-8-97-8-9
55 66 77 88 99 1111

5 a) si R = { ( -1,-3) ; (-2,0) ; (0,0) ; (-1,-1) } en A = { -3, -2, -1, 0 }
Para clasificar la relación, la representamos en diagrama de Venn
A
-3
-2-1
0
En el diagrama de Venn y en la definición por
extensión se aprecia que hay elementos que se
relacionan consigo mismo
Pero otros elementos como el –3 no se relacionan consigo
mismo, vemos que el par ordenado (-3, -3) ∉ R
entonces ∃x ∈ A / (x, x) ∉ R la relación es No ReflexivaNo Reflexiva
En el diagrama de Venn se aprecia que hay elementos que se relacionan entre sí
en un solo sentido, por ejemplo: (-1, -3) ∈ R pero (-3,-1) ∉ R ; pero también hay
pares ordenados que tienen simétrico, como: (-1,-1) ∈ R y (0, 0) ∈ R.
Escribir ∃x, ∃y ∈A / (x, y) ∈ R ∧ (y, x) ∉ R la relación es No simétricaNo simétrica
Pero vemos también que los pares ordenados que admiten simétrico, son pares
ordenados donde el primer elemento es igual que el segundo
Entonces se aplica que en cada par de elementos
de R que admiten simétrico, x = y Es antisimétricaEs antisimétrica
( -1, -1 ) ∈ R ∧ ( -1, -3 ) ∈ R ⇒ ( -1, -3 ) ∈ R
( -2, 0 ) ∈ R ∧ ( 0, 0 ) ∈ R ⇒ ( -2, 0 ) ∈ R
No es Relación de EquivalenciaNo es Relación de Equivalencia
( -1, -1 ) ∈ R ∧ ( -1, -1 ) ∈ R ⇒ ( -1, -1 ) ∈ R
( 0, 0 ) ∈ R ∧ ( 0, 0 ) ∈ R ⇒ ( 0, 0 ) ∈ R
5 b5 b
ReflexivaReflexiva
SimétricaSimétrica
TransitivaTransitiva
ClasificaciónClasificación

5 b) S = { (2,2) ; (2,1) ; (3,3) ; (1,1) ; (3,2) ; (0,0) } en B = { x ∈ N0
/ x ≤ 3 }
Para clasificar la relación, la representamos en diagrama de Venn
A
3
2
1
0
En el diagrama de Venn y en la definición por
extensión se aprecia que todos los elementos del
conjunto A se relacionan consigo mismo
∀x: x ∈ A ⇒ (x, x) ∈ R la relación es
Reflexiva
En el diagrama de Venn se aprecia que hay elementos que se
relacionan entre sí en un solo sentido, por ejemplo: (3, 2) ∈ R ;
pero (2, 3) ∉ R pero también hay pares ordenados que tienen
simétrico, como: (1, 1) ∈ R y (0, 0) ∈ R.
∃x, ∃y ∈A / (x, y) ∈ R ∧ (y, x) ∉ R la relación es No
simétrica
Pero vemos también que los pares ordenados que admiten simétrico, son pares
ordenados donde el primer elemento es igual que el segundo
Entonces se aplica que en cada par de elementos
de R que admiten simétrico, x = y Es antisimétrica
( 3, 3 ) ∈ R ∧ ( 3, 2 ) ∈ R ⇒ ( 3, 2 ) ∈ R
( 3, 2 ) ∈ R ∧ ( 2, 1 ) ∈ R ∧ ( 3, 1 ) ∉ R Es No transitivaEs No transitiva
Podemos
escribir
pero . . .
No es Relación de EquivalenciaNo es Relación de Equivalencia
ReflexivaReflexiva

6) (a,b) ∈ R1
⇔ el libro a cuesta mas y tiene menos hojas que el libro b.
Asumimos que A es un conjunto de libros
que en precio y cantidad de hojas es tan
amplio como sea posible
Por ejemplo . . .
Libro 1 $ 30 60 hojas
R1 = { (1, 2); (1,4); (1,5); (3,1);
Esta relación no tiene pares reflexivos, porque ningún libro cuesta mas que lo
que él mismo cuesta ni tiene menos hojas que las que tiene. Es ArreflexivaEs Arreflexiva
La relación no tiene pares simétricos, porque si el libro 1 cuesta mas y tiene
menos hojas que el libro 2, no puede suceder que el libro 2 cueste mas y tenga
menos hojas que el libro 1.
(1, 5) ∈ R ∧ (5,4) ∈ R ⇒ (1,4) ∈ RPor ejemplo . . .
entonces necesariamente el libro a
cuesta mas y tiene menos hojas que
el libro c (a, c) ∈ R
y en general, si un libro a cuesta
mas y tiene menos hojas que b
(a, b) ∈ R
y el libro b cuesta mas y tiene menos
hojas que el libro c (b, c) ∈ R
( a, b )( a, b ) ∈∈ RR ∧∧ ( b, c )( b, c ) ∈∈ RR ⇒⇒ ( a, c )( a, c ) ∈∈ RR
(3,2); (3,4); (3,5); (5,4) }
Si (1,2) ∈ R ⇒ (2, 1) ∉ R. Es AsimétricaEs Asimétrica
Es Relación de Orden EstrictoEs Relación de Orden Estricto
ReflexivaReflexiva

7) Sea R una relación binaria sobre el conjunto de todas las sucesiones
de ceros y unos, tal que :
R = { (a, b) / a ∧ b son sucesiones que tienen el mismo número de ceros }.
Los elementos que conforman los pares ordenados son
sucesiones de ceros y unos, por ejemplo :
00; 01; 010; 000; 100; 1010; 00110010; 1110100; etc. . .
R es un conjunto infinito . . . porque son infinitas las sucesiones de ceros y unos
Sabido es que cada cadena tendrá
exactamente la cantidad de ceros
que ella misma tiene
así, afirmamos que :
∀x: x ∈ A ⇒ (x, x) ∈ R la relación es Reflexivala relación es Reflexiva
si la cadena x tiene igual cantidad
de ceros que la cadena y (x, y) ∈ R
la cadena y tendrá igual cantidad
de ceros que la cadena x
⇒ (y, x) ∈ R la relación es Simétricala relación es Simétrica
si la cadena x tiene igual cantidad de ceros que
la cadena y
y la cadena y tiene igual cantidad
de ceros que la cadena zentonces la cadena x tiene igual
cantidad de ceros que la cadena z
(x, y) ∈ R ⇒ (x, z) ∈ R∧ (y, z) ∈ R la relación es Transitivala relación es Transitiva
ReflexivaReflexiva
Por tanto R es Relación de EquivalenciaPor tanto R es Relación de Equivalencia

8) Sea R una relación binaria sobre el conjunto de todos los enteros
positivos , tal que : R = {(a, b) / a - b es un entero positivo impar}.
La relación R está conformada por pares ordenados de números
enteros positivos (naturales) tal que la diferencia entre ellos sea un
entero positivo impar
En primer lugar corresponde descartar los pares ordenados que estén
conformados por el mismo elemento , por ejemplo (2, 2); (3, 3); (4, 4)
En cualquiera de esos casos x – x = 0 y 0 NO es entero positivo impar
luego, la relación es Arreflexivala relación es Arreflexiva
Si tomo dos números enteros positivos, puedo efectuar x – y con resultado
positivo, solamente si x > y, en ese caso, al efectuar b – a el resultado será negativo
∀x: x ∈ A ⇒ (x, x) ∉ R
∀x ∀y ∈ A : (x, y) ∈
R
luego, la relación es Asimétricala relación es Asimétrica
Supongamos tres enteros positivos x, y, z; de manera que x > y > z
Si x es par e y es impar x – y será entro positivo impar,
(x,y) ∈ R
si z es par
∧ (y,z) ∈ Rx – z será entero positivo par
y – z entero
positivo
impar
pero (x,z) ∉ R
Si x es impar e y es par x – y será entro positivo impar,
(x,y) ∈ R
si z es impar
∧ (y,z) ∈ Rx – z entero
positivo par
pero (x,z) ∉ R
y – z entero
positivo
impar
luego, la relación es Atransitivala relación es Atransitiva
⇒ (y, x) ∉ R
ReflexivaReflexiva

9) El razonamiento falso dice que:
si x R y ⇒ x R y ∧ y R x ⇒ x R x de otra manera
( x, y ) ∈ R
el par ordenado ( x, y )
pertenece a la relación R
⇒ x R x
porque la relación debe ser
simétrica (por hipótesis)
⇒ x R y ∧ y R x
y también transitiva
por hipótesis
Si una relación es simétrica y transitiva . . . es reflexiva
Supongamos una relación definida en A
A
a x
y
Igualmente, ahora decimos que si
( y, x ) ∈ R ⇒ y R y⇒ y R x ∧ x R y
Hasta aquí, la reflexividad parece ser una consecuencia
de la simetría y de la transitividad
Pero si algún elemento del conjunto A no se relaciona con ningún
otro, no se establecen la simetría ni la transitividad
(por ejemplo el elemento a)
Luego este elemento no tiene porqué relacionarse consigo mismo
Observa que la relación definida en A es
simétrica y transitiva, pero No Reflexiva
( x, y ) ∈ R ∧ (y,x) ∈ R ⇒ (x,x) ∈ R
ReflexivaReflexiva

PARTICION DE UN CONJUNTO
Dado un conjunto A cualquiera no vacío, es posible establecer
una partición de A
A
1
2
4
3
Conformando con los elementos de A
subconjuntos Ai ; Aj ; . . . .
A1
A2
A3
5
Así tenemos por ejemplo
A1 = { 1; 4 } A2 = { 2; 3 } A3 = { 5 }
Donde:
Todos los subconjuntos son distintos de l conjunto
vacío (tienen algún elemento) Ai ≠ ∅
La intersección entre todos los subconjuntos
tomados de a dos, es vacía. Ai ∩ Aj = ∅
La unión de todos los subconjuntos es igual al
conjunto particionado . . ∪ . Aj ∪ Aj ∪ . . = A
1) A1 ≠ ∅; A2 ≠ ∅; A3 ≠ ∅
2) A1 ∩ A2 = ∅ A1 ∩ A3 = ∅ A2 ∩ A3 = ∅
3) A1 ∪ A2 ∪ A3 = AP = {AP = {A11; A; A22; A; A33 } es partición de A} es partición de A

10) a) A1
= {x ∈ Z : 2  x} y A2
= { x ∈ Z : 2  x } con P = { A1
; A2
}
A1 está conformado por todos los números
enteros que son divisibles por 2
A1 = { enteros pares}
A2 está conformado por todos los números
enteros que no son divisibles por 2
A2 = { enteros impares}
1) A1 ≠ ∅ y A2 ≠ ∅ 2) A1 ∩ A2 = ∅ 3) A1 ∪ A2 = A
P = { AP = { A11; A; A22 } es partición de Z (números enteros )} es partición de Z (números enteros )
b) Evaluar si Q = { N; Z-
} es partición de Z
Son subconjuntos de Q
N (naturales)
Z
-
(enteros negativos)
1) N ≠ ∅ y
Z
-
≠ ∅
2) N ∩ Z
-
= ∅ 3) N ∪ Z
-
≠ Z
porque en N están todos los enteros positivos
(Z +
) y en (Z
-
) los enteros negativos pero . . . 0 ∉ N y 0 ∉ Z-
si un entero es par, no es impar; y
viceversa
los enteros pares con los impares; conforman
la totalidad de los elementos del conjunto de
números enteros
Q = { N; ZQ = { N; Z--
} NO es partición de Z} NO es partición de Z
(no verifica la tercera condición)(no verifica la tercera condición)

11) Dado el conjunto de conjuntos M = {A, B, C, ∅}, donde
A = {1, 2, 3, 4} B = {1, 3} C = {3}
A
1
2
3 4
C
B
escribimos por extensión la relación “⊂” definida en M
todo conjunto está incluido en sí mismo
cada elemento se relaciona
consigo mismo
Es ReflexivaEs Reflexiva
si A ≠ B y B ⊂ A; A ⊄ B No SimétricaNo Simétrica
Si C ⊂ B ; y B ⊂ A ⇒ C ⊂ A
Es una Relación de Orden AmplioEs una Relación de Orden Amplio
(A,A); (B,B); (C,C); (∅,∅);
el conjunto vacío está en todos los conjuntos
(∅,C); (∅,B); (∅,A);(C,B); (C,A); (B,A) }R = {
La Relación en
diagrama de Venn será :
C
BA
∅
M
AntisimétricaAntisimétricaPero al ser reflexiva, cada par
reflexivo, tiene simétrico, entonces . . . en la relación de inclusión
siempre está presente la
transitividad . . .

LATTICES
Un conjunto ordenado es láttice si
cualesquiera dos elementos en el
conjunto tienen
Cota SuperiorCota Superior
MínimaMínima
y únicay única
Cota InferiorCota Inferior
MáximaMáxima y únicay única
Un conjunto es ordenado si sus
elementos se vinculan mediante una
relación de orden
Sea A = { a, b, c, d, e, f, g }
ReflexivaReflexiva AntisimétricaAntisimétrica TransitivaTransitiva
Relación de ordenRelación de orden
a
•
••
•
•
•
•
db
c
e f
g
Construimos un gráfico donde la reflexividad se muestra con •
para significar que cada elemento se relaciona consigo mismo
unimos con un segmento los elementos que se relacionan entre sí,
por ser antisimétrica. ej (a,b); (a,d); (c,e) ∈ R pero (b,a); (d,a);
(e,c) ∉ R
y aceptamos la transitividad en el sentido del recorrido de los
elementos que se vinculan a través de los segmentos
y se define en él la relación R
(a,b) ∈ R ∧ (b,e) ∈ R ⇒ (a,e) ∈ R
(a,c) ∈ R ∧ (c,f) ∈ R ⇒ (a,f) ∈ R
por ejemplo :
(a,f) ∈ R ∧ (f,g) ∈ R ⇒ (a,g) ∈ R
R = { (a,a);(b,b); (c,c); (d,d); (e,e); (f,f);
(g,g)}
(a,b); (a,c); (a,d); (a,e); (a,f); (a,g); (b,e);
(b,g); (c,e); (c,f); (c,g); (d,f); (d,g); (f,g);(e,g);

Sea el conjunto ordenado A
a
•
••
•
•
•
•
db
c
e f
g
en el que se define una relación de orden R (reflexiva, antisimétrica
y transitiva)
Tomando dos elementos
cualesquiera, por ejemplo
para (a,b) c. s. mím. = b
para (b,c)
c. i. Máx. = a
para (e,f)
se aprecia que, efectivamente para dos elementos
cualesquiera de A, existen c.s.mín y c.i. Máx. y son únicas
siempre que el gráfico resulta una retícula cerrada, como en este caso,
el conjunto con la relación en él definida es Láttice (retícula)
R = { (a,a); (b,b); (c,c); (d,d); (e,e); (f,f); (g,g); (a,b); (a,c); (a,d);
(a,e); (a,f); (a,g);(b,e); (b,g);(c,e); (c,f); (c,g);(d,f);
(d,g)}(f,g);
(e,g);
para (c,d)
para (b,g)
para (d,e)
c. s. mím. = e
c. i. Máx. = a
c. s. mím. = g
c. i. Máx. = c
c. s. mím. = f
c. i. Máx. = a
c. s. mím. = g
c. i. Máx. = b
c. s. mím. = g
c. i. Máx. = a

Si analizáramos la misma relación pero
en un conjunto B = { a, b, c, d }
a
•
••
•
db
c
Si bien los pares (a,b); (a,c); (a,d)
tienen c.s.mín y c.i. Máx. únicas
Los pares (b,c); (b,d) por ejemplo, NO tienen c.s.mín única
(elementos que no están en la misma línea y la retícula no se cierra)
Entonces en este caso NO hay LátticeNO hay Láttice
Observa que las retículas
están abiertas
Por extensión será: R = { (a,a); (b,b); (c,c); (d,d); (a,b); (a,c); (a,d) }
De manera que los pares reflexivos se representan
Los pares antisimétricos se representan uniendo con una línea
(que se entiende siempre en un solo sentido –hacia abajo-)
Si analizamos la relación por extensión veremos que se
trata de una relación transitiva
Pero . . .
Tampoco son Láttice retículas como
a
•
•
• •
d
b
c
•
• •
d
b
c
• •
•
a
e f
Ello se debe a que hay pares de elementos
que no tienen única c.s.min y/ó c.i.Máx

12 a) Analizar si (N, ≤) es Láttice
N = { 1, 2, 3, 4, 5, . . . . . }
el conjunto N está conformado por
1
•
•
•
•
•
4
2
3
5
.
.
( N, ≤ ) significa que N es un conjunto
ordenado según la relación ≤
cada elemento se relaciona consigo mismo, es reflexivoes reflexivo
La relación es antisimétricaes antisimétrica. (1,2) ∈ R; (2,3) ∈ R; (1,3) ∈ R; . . . . .
y transitivay transitiva es apreciable que entre los elementos 3 y 4
la cota superior mínima es 5 la cota inferior máxima es 2
y así sucesvamente, para
cualquier par de valores (m, n)
entre los elementos 2 y 5
la cota superior mínima es 4
la cota inferior máxima es 3
habrá cota superior mínima = n
si tomamos un par de valores donde m = n
Se verifica entonces que (( N,N, ≤≤ ) es láttice) es láttice
(por ser relación de orden)
y cota inferior máxima = m
coinciden las c.s.mín = c.i.Máx = m = n
12 b12 b

12 b) Analizar si (N, /) es Láttice 1
23
9
1218
6
•
•
••
•
••
4
•
5
•
Analizaremos para algunos elementos
de N y trataremos de “generalizar”
las situaciones que encontremos,
basándonos en propiedades conocidas
1 divide a cualquier natural, entonces
comenzamos con el 2 y el 3
vinculamos al 2 y 3 los naturales que son
múltiplos precisamente de 2 y 3 que son el 4; 6 y 9
e irán apareciendo números primos a medida que avanzamos
(divisibles solamente por sí mismos y por la unidad)
y continuamos buscando múltiplos de 4; 6 y 9 el 12 y el 18 por ejemplo
y la retícula puede seguir creciendo, por tratarse de un conjunto infinito;
Es claro que, tomados dos elementos cualesquiera siempre
hay una cota inferior máxima única ( 1 )
cada natural es divisible pos sí
mismo, entonces es reflexiva
por ejemplo el 3 y el 5 dividen a 15

1
23
9
1218
6
•
•
••
•
••
4
•
5
•
Pero lo que parece no estar claro
es si hay cota superior mínima
(única)
la retícula parece no cerrarse
cuando los valores crecen (parte
inferior del grafo)
Pero tenga presente que cada vez que aparezcan
en la retícula dos vértices (elementos) que
parezcan “no cerrarse”; sin dudas habrá algún
número natural que resulta divisible por ambos,
por ejemplo el producto de ambos
36•
Finalmente, tomados dos elementos cualesquiera de N { m, n }
Puede
suceder
que m = n ó
bien que m
≠ n
Si m = n coinciden las cota sup. Mím y cota inf. Máx. que es el mismo m =n
Si m ≠ n existe siempre mínimo común múltiplo y máximo común divisor de m y n; que
son respectivamente las cota sup. Mím y cota inf. Máx. de {m, n}
Luego ( N,( N,  ) es Láttice) es Láttice
Si analizamos (N0, )
Es fácil advertir que 0 no divide a 0
Luego ésta no es una
relación reflexiva y por ello
no es de orden
entonces ( N( N00,,  ) NO es Láttice) NO es Láttice
15•

FUNCIONES
Una relación R ⊂ A x B es función . . .
Si verifica dos condiciones: ExistenciaExistencia UnicidadUnicidad
Existencia verifica si para cada elemento del
conjunto A existe una imagen en B
Simbólicamente ∀a ∈ A
1
2
3
2
3
4Unicidad, si cada elemento del conjunto A se
relaciona con un solo elemento del conjunto B
Simbólicamente (a, b) ∈ f
A B
A = { 1, 2, 3 } B = { 2, 3,4 }
R : (a, b) ⇔ b = a + 1
: ∃b ∈ B/ (a, b) ∈ f
para todo elemento a que pertenece al conjunto A se verifica
que existe un elemento b que pertenece al conjunto B
tal que el par ordenado (a, b) pertenece a f
Dados dos conjuntos
definimos en el producto
cartesiano A x B una Relación
y
∧ (a, c) ∈ f ⇒ b = c
Si el par ordenado (a, b) pertenece a f y el par ordenado (a, c) pertenece a f
entonces b es igual a c
Es función si cada elemento del conjunto A se relaciona
con uno y solo un elemento del conjunto B
13a13a 13b13b
1313 1414
14 i14 i 14 ii14 ii 14 iii14 iii
14 iv14 iv 14 v14 v 14 vi14 vi
13c13c

1
2
3
2
4
A B
En situaciones como
también se verifica que
para cada elemento del conjunto A
existe una imagen en B (existencia)
cada elemento del conjunto A se relaciona con
un solo elemento del conjunto B (unicidad)
Situaciones como . . .
Es funciónEs función
1
2
3
2
4
A B
no verifica la condición de
existencia
el elemento 2 ∈ A pero no tiene un
correspondiente en B
NO es funciónNO es función
1
2
3
1
3
4
A B
2
En el caso . . . no verifica la condición de
unicidad
el elemento 1 ∈ A se relaciona con dos
elementos diferentes de la imagen (B )
NO es funciónNO es función
1313 1414
13a13a 13b13b
14 i14 i 14 ii14 ii
14 iii14 iii 14 iv14 iv
14 v14 v 14 vi14 vi
13c13c

Clasificación de funciones
Una función es inyectivaUna función es inyectiva si dos elementos cualesquiera diferentes
del dominio tienen imágenes diferentes
1
2
3
2
3
4
A B
En este caso tenemos
función inyectivafunción inyectiva
∀x1 ∀x2 ∈ A : x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2)
Porque cada elemento del
conjunto A tiene imagen
diferente en el conjunto B
Una función es sobreyectivaUna función es sobreyectiva si todos los
elementos del conjunto B (codominio) son
Imagen de la función, es decir que todos los
elementos del conjunto B admiten al menos un
antecedente en el dominio
En este caso tenemos
función sobreyectivafunción sobreyectiva
Porque todos los elementos del conjunto B tienen un
antecedente con el que se relacionan en el conjunto A
Si una función esSi una función es inyectivainyectiva yy sobreyectivasobreyectiva . . . es BIYECTIVA. . . es BIYECTIVA
∀y ∈ B, ∃x ∈ A / y = f(x)
1313 1414
13a13a 13b13b
14 i14 i 14 ii14 ii
14 v14 v 14 vi14 vi
13c13c

Puede suceder que . . .
1
2
3
2
3
4
A B
se verifica que 1 ≠ 2 pero f(1) = f(2) = 2
función NO inyectivafunción NO inyectiva
asimismo el elemento 3 del conjunto B no
admite antecedente en el conjunto A
función NO sobreyectivafunción NO sobreyectiva
1
2
3
2
4
A B
Si . . . se verifica que 1 ≠ 2 pero f(1) = f(2) = 2
función NO inyectivafunción NO inyectiva
pero todos los elementos del
conjunto B admiten
antecedente en A
funciónfunción
sobreyectivasobreyectiva
1
2
3
2
4
A B
3
1
cada elemento del conjunto A tiene
imagen diferente en el conjunto B
función inyectivafunción inyectivapero no todos los
elementos del conjunto B
admiten antecedente en A
función NO sobreyectivafunción NO sobreyectiva1313 1414
13a13a 13b13b
14 i14 i 14 ii14 ii
14 v14 v 14 vi14 vi
13c13c

Para representar cualquier función se debe conocer . . .
Cuál es el dominio donde está
definida la función . . .
y cuál es la imagen que se corresponde
con el dominio de la función
Dm Im
y se estudia la ley de variación de la función
definida por y = f(x) . . .
Y = f(x)
x y
esto se hace asignándo valores xi en la
expresión y = f(x); encontrando el
resultado yi que le corresponde a f(xi)
el dominio de la función son los
valores que puede tomar xi en f(x)
La imagen de la función son los valores
que se corresponden con cada valor
del dominio de la función
recuerde siempre que: si un valor del
conjunto “de salida A” no tiene
imagen, la expresión no es función
(Existencia)
Representación Gráfica de Funciones
Si dos elementos diferentes del
codominio (conjunto B) son
imagen del mismo elemento de A,
la expresión no es función
(Unicidad)
1313 1414
13a13a
13b13b
14 i14 i 14 ii14 ii
14 v14 v 14 vi14 vi
13c13c

Podemos representar gráficamente una función en un par de
ejes coordenados
en el eje de abscisas (x)
el dominio N
En el eje de ordenadas (y)
la imagen N
1 2 3 4 N
N
5
4
3
2
1
Sea f
x x + 1 y
Si la misma ley de variación (y = x + 1)
estuviera definida de R → R
Pero al ser el dominio todos los puntos del eje x
(reales), la función está definida para todo x
La función ahora es
f : R → R / f(x) = x + 1
Sea la función f que va de Naturales
en Naturales tal que “f de x” es igual a x + 1
: N → N / f(x) = x + 1
y confeccionamos una
tabla, asignándole
valores a x para hallar
valores de y
si 1 1 + 1 2
si 2 2 + 1 3
si 3 3 + 1 4
si 4 4 + 1 5
el dominio ahora será Reales
R
R
y la imagen también Reales
debemos unir todos los puntos obtenidos
x
y
1313 1414
13a13a
13b13b
14 i14 i 14 ii14 ii
14 v14 v 14 vi14 vi
13c13c

13 a) Para representar f: R → R / f(x) = - 5 x
Primero reconocemos que el dominio son todos los números reales
Entonces cualquier valor de x debe tener un correspondiente en y
Trazamos un par de ejes coordenados
y confeccionamos una tabla de valores
x - 5 x Y
1 -5 · 1 - 5
-1 -5 · (-1) 5
0 -5 · 0 0
2 -5 · 2 -10
-2 -5 · (-2) 10
Y finalmente porque es una relación que va de Reales en Reales,
trazamos con línea llena una recta que une los puntos
identificados
FuncionesFunciones
Rep. GráficaRep. Gráfica
13 b13 b 13 c13 c

13 b) Para representar g: Zpares → Z / g(x) =
reconocemos el dominio y la imagen de la relación
Entonces serán pares ordenados (x,y) válidos solamente aquellos
donde x e y sean números enteros
x Y
2 ½ · 2 1
-2 ½ · (-2) - 1
4 ½ · 4 2
-4 ½ · (-4) - 2
Y la relación queda
representada por
puntos porque va de
Enteros pares en
Enteros.
(no corresponde el
trazado de linea
llena)
x
2
1
x
2
1
- 6 ½ · (-6) - 3
6 ½ · 6 3
0 ½ · 0 0
FuncionesFunciones
13 c13 c

13 c) Para representar h(x) = 2x + 3 definida de N en N
Primero reconocemos cual es el dominio En este caso tanto el dominio
como la imagen son el
conjunto de los números
naturales (N)Significa que serán pares ordenados de
la relación aquellos en los que x ∈ N y
resulta de aplicar x en h(x), que
también h(x) ∈ N
Trazamos un par de
ejes coordenados
Y confeccionamos
una tabla de
valores para g(x)
x 2x + 3 Y
1 2 · 1 + 3 5
2 2 · 2 + 3 7
3 2 · 3 + 3 9
4 2 · 4 + 3 11
5 2 · 5 + 3 13
Y la función queda representada por puntos porque va de
Naturales en Naturales
y cual es la imagen de la relación
FuncionesFunciones

14 i) Para analizar el dominio de la expresión y = –3x + 4
consideramos que la variable x puede tomar cualquier valor real
entonces Dm = { x / x ∈ R } Dm = [ - ∝; ∝ ]
de la misma manera, los valores que tome y para los diferentes
valores de x, van a estar contenidos en la recta de los reales
entonces Im = { x / x ∈ R } Im = [ - ∝; ∝ ]
x - 3 x + 4 Y
1 - 3 · 1 + 4 1
-1 - 3 · (-1) + 4 7
2 - 3 · 2 + 4 - 2
Cada valor del dominio (x)
tiene un valor diferente en
la imagen (y)
InyectivaInyectiva
Todos los elementos de la
imagen (eje y) admiten un
antecedente en el dominio
(eje x)
SobreyectivaSobreyectivaPor ser una función
inyectiva y sobreyectiva
Es función biyectivaEs función biyectiva
es una función
que va de
Reales en
Reales
FuncionesFunciones
14 ii14 ii 14 iii14 iii 14 iv14 iv 14 v14 v 14 vi14 vi

14 ii) Para analizar el dominio de la expresión y = – x2
+ 4x - 3
consideramos que la variable x puede tomar cualquier valor real
entonces Dm = { x / x ∈ R } Dm = [ - ∝; ∝ ]
Trazamos un par de ejes
coordenados y para
confeccionar la tabla de
valores buscamos los valores
de x que hacen 0 la función
(raíces)
x - x2
+ 4x - 3 Y
1 - 12
+ 4 · 1 - 3 0
3 - 32
+ 4 · 3 - 3 0
2 - 22
+ 4 · 2 - 3 1
Antes de definir la imagen, vamos a representar gráficamente la parábola
=
−
−−−±−
)1(2
)3)(1(444 2
=
−
−±−
2
12164
3
1
2
1
=
=
x
x
con estos valores empezamos
la representación gráfica
El vértice de la parábola estará en
un punto equidistante Tomamos valores a la izquierda
y a la derecha de los ya
hallados
0 - 02
+ 4 · 0 - 3 - 3
4 - 42
+ 4 · 4 - 3 - 3
-1 -(-1)2
+ 4·(-1) - 3 - 8
5 - 52
+ 4 · 5 - 3 - 8
y finalmente trazamos la curva uniendo
todos los puntos ( R → R )
FuncionesFunciones
Rep. GráficaRep. GráficaClasificaciónClasificación
14 iii14 iii 14 iv14 iv 14 v14 v 14 vi14 vi

La Relación definida por y = – x2
+ 4 x – 3 que tiene una gráfica
tiene el dominio en Reales
Dm = { x / xDm = { x / x ∈∈ R }R }
De observar el gráfico, vemos que la relación
no tiene valores de y mayores que 1
Im = { x / xIm = { x / x ∈∈ RR ∧∧ xx ≤≤ 1 }1 }
en el gráfico y en la tabla se nota que
hay valores diferentes del dominio (x)
que tienen la misma imagen (y);
f(0) = - 02
+ 4 · 0 – 3 = - 3
f(4) = - 42
+ 4 · 4 – 3 = - 3
No InyectivaNo Inyectiva
con solo un par
de valores del
dominio que
admita la misma
imagen, es
suficiente para
que la función
sea No InyectivaIgualmente es posible ver que, de los elementos del
conjunto de llegada (Reales - eje Y), solamente los menores
o iguales que 1 pertenecen a la imagen de la función
No SobreyectivaNo Sobreyectiva
por ejemplo
FuncionesFunciones

14 iii) Antes de analizar la expresión y = log2 (2x - 3)
Recordamos que a la función logarítmica la podemos definir mediante :
cbloga = ⇔ bac
= ejemplo : 8238
3
2 =⇔=log
Las calculadoras en general, con la tecla Log x entregan valores
de logaritmo decimal; es decir de logaritmos en base 10
y con la tecla Ln x entregan valores de logaritmo natural; ( logaritmos en base e )
Si deseamos conocer un logaritmo con base distinta de 10 ó e debe . . .
plantear la siguiente expresión : =xloga
NO porque si el logaritmo es decimal, NO se coloca la base
¿ en la tecla de la
calculadora falta la base ?
alog
xlog con la calculadora (que
resuelve solo logaritmos
decimales), podemos resolver
un logaritmo que no es
decimal
Ejemplo : calcula log2 8 =
=82log =
2
8
log
log
=
30102999570
9030899870
,
,
3
14 iv14 iv 14 v14 v 14 vi14 vi

14 iii) Ahora representamos gráficamente log2 (2x - 3)
x [log(2x-3)]/log2 Y
2 0/0,301030 0
2,5 0,301030/0,301030 1
3,5 0,602060/0,301030 2
5,5 0.903090/0,301030 3
9,5 1,204120/0,301030 4
Vamos a confeccionar una tabla de valores
1,75 –0,301030/0,301030 -1
si x = 1,5
trazamos entonces en x = 1,5 la
asíntota de la función
investigamos qué pasa a la izquierda de
la asíntota, por ejemplo para x = 0
porque no existe ningún valor al
se cual pueda elevar 2 y obtener
como resultado un negativo
recuerda que :
=− )x(log 322
=
−
2
32
log
)xlog(
1,65 –0,522879/0,301030 -2,26
1,55 -1/0,301030 -3,32
2x – 3 = 0
Sabemos que el
log 0 ∃
siempre que
2x – 3 > 0
habrá algún valor
para f(x)
2x – 3 toma valores negativos
y la función no está definida
en esos valores ( x < 1.5 )
trazamos la curva
con los puntos conocidos (sin tocar la asíntota)
FuncionesFunciones

la relación definida por y= log2 ( 2x – 3 ) se representa en el gráfico
x toma solamente valores mayores que 1,5 entonces:
Dm = { x / x ∈ R ∧ x > 1,5 }
Im = { x / x ∈ R }
Cada valor del dominio (eje x) tiene un
valor diferente en la imagen (eje y)
Función InyectivaFunción Inyectiva
Todos los elementos del codominio (eje y)
son imagen de la función -admiten un
antecedente en el dominio (eje x)-
Función SobreyectivaFunción Sobreyectiva
Por ser una función
inyectiva y sobreyectiva
Es función biyectivaEs función biyectiva
En cambio, en el gráfico se ve que todos los valores del eje y tienen
antecedente en x
Recuerda que siempre es conveniente empezar a
representar una función logarítmica localizando
la asíntota
FuncionesFunciones






<≤−+
=
>−
0x2si1x
0xsi3
0xsi1x
3
14 iv) Si f(x) =
En primer lugar
reconocemos que x no
puede tomar valores
menores que -2
En consecuencia Dm = {x/xDm = {x/x ∈∈ RR ∧∧ xx ≥≥ –2 }–2 } Dn = [-2 ;Dn = [-2 ; ∝∝))
Con frecuencia los alumnos confunden esta relación (definida
por partes) con “tres relaciones diferentes”
Se trata de una sola relación (tiene y hemos hallado un solo dominio);
PERO TAMBIEN TIENE DIFERENTES LEYES DE VARIACION EN
DETERMINADOS TRAMOS DEL DOMINIO
si x > 0 la ley de variación es x - 1
si x = 0 la función vale 3
si x ≤ 0 la función vale x3
+ 1
La representación gráfica se
realiza como para cualquier
otra relación
Se confeccionan tablas de valores cuidando que las leyes de variación
se correspondan con los respectivos intervalos del dominio
FuncionesFunciones
14 v14 v 14 vi14 vi

x y = x - 1 Y
1 1 - 1 0
3 3 – 1 2
Para x > 0 f(x) = x - 1
Si x se acerca mucho a 0, pero sin
ser igual a 0, toma por ejemplo
valores como 0,1; 0,01; 0,001, etc
si x fuera igual a 0 entonces y sería
igual a - 1
debemos entender que si x se acerca a
0 con valores mayores que 0, y se
acerca a –1, pero sin ser y = -1
Representamos ese punto con un círculo que
significa que la función toma valores muy
próximos a ese valor (-1) para valores muy
próximos de x = 0 (por derecha ); pero sin ser
y = – 1 en x = 0
Unimos con una recta todos los valores
hallados por tratarsae de una ley de
variación lineal y comprobamos que hay “al
menos” tres puntos alineados
En x = 0 la función vale 3
FuncionesFunciones

x y = x3
+ 1 Y
-1 (-1)3
+ 1 0
-2 (-2)3
+ 1 - 7
Para x < 0 f(x) = x3
+ 1
Si x se acerca mucho a 0, pero sin
ser igual a 0, toma por ejemplo
valores como -0,1; -0,01; -0,001, etc
si x fuera igual a 0 entonces y sería
igual a 1 (con esta ley de variación)
debemos entender que si x se acerca a
0 con valores menores que 0, y se
acerca a 1, pero sin ser y = 1
Representamos ese punto con un círculo que
significa que la función toma valores muy
próximos a ese valor (1) para valores muy
próximos de x = 0 (por izquierda); pero sin ser
y = 1 en x = 0
Unimos los tres puntos hallados con uina
curva de parábola cúbica solo para valores
comprendidos en el intervalo [-2; 0)
y tenemos así la representación gráfica de la función





<≤−+
=
>−
0x2si1x
0xsi3
0xsi1x
3
f : Dm → Im / f(x) =
FuncionesFunciones

El dominio de la función ya fue
encontrado [ -2; ∝ )
Y podemos observar en el gráfico que llos valores del eje y que
admiten antecedente en los valores del dominio del eje x, van de
– 7 a ∝
Im = { x / xIm = { x / x ∈∈ RR ∧∧ xx ≥≥ -7 }-7 } Im = [-7;Im = [-7; ∝∝))
Existen valores diferentes del dominio
que tienen la misma imagen, por ejemplo
para x= 1 ó x = - 1; y = 0
La función es No inyectivaLa función es No inyectiva
Como la función está definida de Dm → R
y resulta que la Imagen no es igual a R
sino que Im ⊂ R
La función es No sobreyectivaLa función es No sobreyectiva
FuncionesFunciones








>
≤≤
<
1ln
101
02
xsix
xsi
xsix
14 v) Si f(x) =
En primer lugar
reconocemos que x
puede tomar valores
que van de - ∝ a + ∝
En consecuencia Dm = {x/xDm = {x/x ∈∈ R }R } Dn = (-Dn = (- ∝∝ ; +; + ∝∝))
Con frecuencia los alumnos confunden esta relación (definida
por partes) con “tres relaciones diferentes”
Se trata de una sola función (tiene y hemos hallado un solo dominio);
PERO TAMBIEN TIENE DIFERENTES LEYES DE VARIACION EN
DETERMINADOS TRAMOS DEL DOMINIO
si x < 0 la ley de variación es 2
x
si 0 ≤ x ≤ 1 la función vale 1
si x > 0 la ley de variación es lnx
La representación gráfica se
realiza como para cualquier
otra función
Se confeccionan tablas de valores cuidando que las leyes de variación
se correspondan con los respectivos intervalos del dominio
FuncionesFunciones
14 vi14 vi

x ln x y
4 ln 4 1,39
8 ln 8 2,08
Para x > 0 f(x) = ln x
Si x fuera igual a 1 entonces
y sería igual a 0
debemos entender que si x se acerca a 1 con valores
mayores que 1, y se acerca a 0, pero sin ser y = 0
representamos ese punto con un círculo que significa que la función toma
valores muy próximos a y = 0 para valores muy próximos de x = 1 (por
derecha ); pero sin ser y = 0 en x = 1
Unimos los valores hallados con una curva que
representa la ley de variación logarítmica
luego, estudiamos qué sucede con los valores de x
comprendidos entre 0 y 1; – intervalo [0; 1] -
para cualquier valor del intervalo [0; 1] la función vale 1
si x = 0 y = 1
si x = 1 y = 1
FuncionesFunciones

Para los valores de x < 0 estudiaremos la ley de variación y = 2x
Confeccionamos tabla de valores
x 2
x
y
-1 2-1
1/2
-2 2-2
1/4
Si x fuera igual a 0 entonces
y sería igual a 1
debemos entender que si x se acerca a 0
con valores menores que 0 ; y se acerca a
1, pero sin ser y = 1
representamos ese punto con un círculo que significa que la función toma valores
muy próximos a y = 1 para valores muy próximos de x = 0 (por izquierda); pero
sin ser necesariamente y = 1 en x = 0
Unimos los valores hallados con una curva que representa la ley de variación exponencial (2x
)
Luego prolongamos la curva hasta el punto y =1, porque de un estudio
anterior resulta que en x = 0 la función efectivamente vale 1
y borramos el círculo rojo de y = 1 porque al tomar valor
la función en ese punto, ya no tiene sentido mantenerlo
FuncionesFunciones

Cualquier valor del eje x tiene un correspondiente en el eje y
Im = { y / yIm = { y / y ∈∈ RR ∧∧ y > 0 }y > 0 } Im = (0;Im = (0; ∝∝))
Existen valores diferentes del dominio que tienen la
misma imagen, por ejemplo para x = 0 ó x = 1; y = 1
La función es No inyectivaLa función es No inyectiva
y resulta que la Imagen no es igual a R sino que Im ⊂ R
Dm = { x / xDm = { x / x ∈∈ R }R } Dm = (-Dm = (-∝∝;; ∝∝))
Pero se ve también que, solamente los valores de y > 0
admiten algún antecedente en el eje x
FuncionesFunciones

14 vi) Si f(x) =
En primer lugar reconocemos que
x no puede tomar el valor - 3
3x
2
+ en ese caso tendríamos 2 / 0; así
podemos decir que para x = - 3 no
existe un valor finito de la función
Luego confeccionamos tabla de valores,
para x próximos a –3 por derecha
x y
3x
2
+
- 2 2/(-2+3) 2
- 1 2/(-1+3) 1
0 2/(0+3) 2/3
1 2/(1+3) 1/2
2 2/(2+3) 2/5
-2,5 2/(-2,5+3) 4
-2,6 2/(-2,6+3) 5
y estudiamos qué sucede a la
izquierda de x= –3
x y
3x
2
+
- 4 2/(-4+3) - 2
- 5 2/(-5+3) - 1
- 6 2/(-6+3) -2/3
- 7 2/(-7+3) -1/2
- 8 2/(-8+3) - 2/5
-3,5 2/(-3,5+3) - 4
-3,6 2/(-3,6+3) - 5
x = -3 es un valor que no está definido en la función, luego la línea de la
función no puede cortar la línea de trazos punteada
Unimos los puntos situados a la izquierda de x = -3 por un
lado y los puntos de la derecha de x = -3 por otro lado
trazamos una asíntota en x = -3
FuncionesFunciones

Cualquier valor del eje x ≠ -3 tiene un correspondiente en el eje y
Im = { y / yIm = { y / y ∈∈ RR ∧∧ yy ≠≠ 0 }0 } Im = (-Im = (-∝∝; 0); 0) ∪∪ (0;(0; ∝∝))
No Existen valores diferentes del dominio que tengan
la misma imagen
La función es inyectivaLa función es inyectiva
y resulta que la Imagen no es igual a R sino que Im = R – {0}
Dm = { x / xDm = { x / x ∈∈ RR ∧∧ xx ≠≠ - 3 }- 3 } Dm = (-Dm = (-∝∝; -3); -3) ∪∪ (-3;(-3; ∝∝))
los valores del eje y que se relacionan con algún valor de x;
son todos, menos el 0
todos los valores del dominio tienen imágenes diferentes
FuncionesFunciones

14 d) De todas la funciones analizadas solo son biyectivas
f : R → R / f(x) = –3x + 4 y f : R > 1,5 → R / f(x) = log2 (2x – 3)
y precisamente, por ser biyectivas admiten función inversa
para hallar la inversa de la función, f : R → R / f(x) = –3x + 4
transformamos el dominio en imagen
f-1
: R → Ry viceversa
y = –3x + 4 y - 4 = –3x
multiplico todo por (-1) y permuto
los miembros (para ordenar)
3x = 4 - y luego despejo x
3
4 y
x
−
= y efectúo ahora un cambio
de variables (x por y)
3
4 x
y
−
= La ley de variación así obtenida, es la ley
de variación de la función inversa
3
41 x
)x(f/
−
=
−
en la ley de variación hacemos pasajes
de términos, para despejar x
FuncionesFunciones

3
411 x
)x(f/RR:f
−
=→
−−
Representamos gráficamente
en el mismo gráfico que
hemos representado
43 +−=→ x)x(f/RR:f
confeccionamos
una tabla de
valores
x f-1
(x)
3
4 x−
4
3
44 −
0
- 2 2
- 8 4
3
24 )( −−
3
84 )( −−
trazamos la recta, que también va de R → R
tenga siempre presente que los puntos de una función
cualquiera que admite inversa; y su inversa son equidistantes
respecto de la bisectriz (recta a 45º) del primer cuadrante
FuncionesFunciones

para hallar la inversa de la función, f : Dm → R / f(x) = log2(2x-3)
transformamos el dominio en imagen
f-1
: R → R > 1,5
y viceversa
luego despejamos la incógnita x de
la ley de variación de f= log2(2x-3)
y = log2(2x – 3) 2y
= 2x - 3 permuto los miembros (para ordenar)
luego despejo xy
x 232 =−
y efectúo ahora un cambio de variables (x por y)
2
32 +
=
x
y
La ley de variación así obtenida, es la ley
de variación de la función inversa
2
321 +
=
−
x
)x(f/
Dm = { x / x ∈ R ∧ x > 1,5 } entonces
f : R > 1,5 → R / f(x) = log2(2x-3)
recuerde que: logab = c ⇔ ac
= b
322 +=
y
x
2
32 +
=
y
x
recordemos que
ya hemos hallado
FuncionesFunciones

Representamos gráficamente
en el mismo gráfico que
hemos representado
)x(log)x(f/R.R:f 3251 2 −=→>
confeccionamos una tabla de valores
X f-1
(x)2
32 +
x
0 2
32
0
+ unimos los puntos con
trazo continuo porque
f-1
va de R → R
2
32
51
11 +
=>→
−−
x
)x(f/,RR:f
también aquí f-1
es
equidistante de f
respecto de la bisectriz
del primer cuadrante
y finalmente podemos trazar la
asíntota de f-1
que es y = 1,5
recuerde
que f tiene
asíntota en
x = 1,5
porque aunque tomemos valores muy
pequeños de x, f-1
será siempre ≥ 1,5
2
1 2
32
1
+
2,5
2 2
32
2
+
3,5
4 2
32
4
+
9,5
-1 2
32
1
+
−
1,75
-4 2
32
4
+
−
1,53
-10 2
32
10
+
−
1,5001
borramos la asíntota de f(x) para limpiar el dibujo
FuncionesFunciones

Es hora de descansar ! ! !
Momento propicio para establecer
nuevas relaciones . . .
Pero recordá, puede descansar solamente
el que antes trabajó (estudió)
Debe trabajar el hombre
para ganarse su pan,
pues la miseria en su afán
de perseguir de mil modos.
Llama a la puerta de todos
y entra en la del haragán.
Martín Fierro (José Hernández)

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