Presentación Eq. 2

1. FORMAS INDETERMINADAS
Cruz Alan, Del Llano David, Delgado Maritza,
Flores Ángel, Flores Sandra

2. FORMAS INDETERMINADAS
Involucra los limites del tipo:
Es decir, cuando una variable que tiende a ese valor parece
no existir o no estar definida.

3. FORMA 0/0

4. FORMA ∞/ ∞

5. FORMA 0*∞

6. FORMA ∞-∞

7. FORMAS 1 ∞ ,∞0 , 0 0

8. GUILLAUME FRANÇOISE
ANTOINE MARQUÉS DE
L’HOPITAL

9. REGLA DE L’HOPITAL
Supongamos que existen 2 funciones f y g, las cuales están
definidas dentro de un intervalo (a,b) excepto tal ves en un
valor c dentro del mismo intervalo.
Si ambas funciones son derivables, entonces, si existe el
limite de la función en el valor c.

10. DEFINICION
si es o
Entonces → =

11. EJERCICIOS

12. INDETERMINACIÓN TIPO: O/0
1)
2 X3 6 X2 12·x 12
lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = Lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = Lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 12
x→0 1 - COS(x) x→0 SIN(x) x→0 COS(x)
x→0 x - SIN(x)
2)
6
LN(1 + 6·x) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 6
lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = lim 1 + 6·x = lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 6
x→0 x x→0 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ x→0 1 + 6·x
1
1)Alan, 2)Sandra

13. INDETERMINACIÓN TIPO: ∞/∞
1)
LN(x) 1/x 1 1
lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = lim ⎯⎯⎯ = lim ⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯ = 0
x→ ∞ x2 + 2 x→∞ 2·x x→∞ 2x2 ∞
2)
x 1
lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 1/2
x→∞ LN(x) 3 - 2·x x→∞ 3·LN(x)·2 (1/x)+ 2
1)David, 2) Ángel

14. INDETERMINACIÓN TIPO: ∞-∞
1)
⎛1 1 ⎞ SIN(x) - x COS(x) - 1
lim ⎯ - ⎯⎯⎯⎯ = lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
x→0⎝ x SIN(x) ⎠ x→0 x·SIN(x) x→0 SIN(x) + x·COS(x)
- SIN(x) 0
lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯ = 0
x→0 COS(x) + COS(x) - x·SIN(x) 2
2)
lim [LN(x + 1) - LN(x)] = lim LN [(x + 1)/x ] = lim LN [1 + 1/x ] = LN 1 = 0
x→∞ x→∞ x→∞
1) Ángel, 2) Alan

15. INDETERMINACIÓN TIPO: ∞-∞
3) 1
1 - ⎯⎯⎯⎯⎯
⎛ 1 1⎞ x - LN(1 + x) 1+x
lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ - ⎯ = lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
x→0 ⎝ LN(1 + x) x ⎠ x→0 x·LN(1 + x) x→0 x
LN(1 + x) + ⎯⎯⎯⎯
1+x
1+x-1
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
1+x 1
lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =
= x→0 LN(1 + x) + x·LN(1 + x) + x
x→0 (1 + x)·LN(1 + x) + x
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
1+x
1
lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 1/2
x→0 1 x
⎯⎯⎯⎯⎯ + LN(1 + x) + ⎯⎯⎯⎯ + 1
1+x 1+x
1) Ángel

16. INDETERMINACIÓN TIPO: 0*∞
Se transforma la función en 0/0 o ∞ /∞ reescribiendo f*g = f o g según convenga.
⎯⎯⎯⎯⎯⎯
1/ g 1 /f
1)
LN(x) 1 /x
lim x·LN(x) → g → ⎯⎯⎯⎯⎯ = lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =
x→0 ⎯⎯⎯
lim lim -x = 0
x→0 1 / x x→0 -1 /X2 x→0
1 /f
2)
TAN(x) - 1 1 + TAN2(x)
lim (TAN(x) - 1)(SEC(2)·x) 0 lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = -1
= lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯ x→/4 - 2·SIN(2)·x
x→/4 x→/4 COS(2)·x 0
1)David, 2)Ángel

17. INDETERMINACIÓN TIPO: 1∞ ,∞0 , 00
Para resolverlas tomamos logaritmos naturales, consiguiendo bajar el exponente. El
logaritmo de una potencia es igual al exponente por el logaritmo de la base:
LN ab = b LN a.
1) Forma 1∞ Suponemos que la solución del limite es A.
1/COS(x) 1/COS(x)
lim (1 + 2·COS(x)) A= lim (1 + 2·COS(x))
x→/2 x→/2
Bajamos el exponente con LN.
LN A= lim 1 LN(1 + 2·COS(x)) LN(1 + 2·COS(x)) 0
x→/2 ⎯⎯⎯⎯⎯ → LN A= lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯
COS(x) x→/2 COS(x) 0
Aplicamos L`Hopital
- 2·SIN(x)
Lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 2
x→/2 1 + 2·COS(x) lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 2 LN A= 2 → e2 = A .·.
=
x→/2 1 + 2·COS(x)
e2
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
- SIN(x)
1)Maritza

18. INDETERMINACIÓN TIPO: 1∞ ,∞0 , 00
2) Forma ∞0
LN A = lim TAN(x) LN[ 1/ x2 ] LN A = lim TAN(x) [LN1- LN x2
lim ⎛ 1 ⎞ TAN(x)
x→0 ⎯⎯ x→0 ]
= x→0
=
⎝ x2 ⎠
LN A = lim TAN(x)[- 2LN x ] LN A = -2 lim TAN(x)[LN x ]
x→0 x→0 = 0* ∞
=
LN(x)
Convertimos a g →
-2 lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = ∞/∞
⎯⎯⎯
1 /f x→0 1/TAN(x)
Aplicamos L`Hopital
1/ x SIN2 (x) 2·SIN(x)·COS(x)
-2 lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = -2 lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 2*0 = 0
x→0 -1/ SIN2 (x) x→0 x x→0 1
LN A= 0 → e0 = A .·. 1
1)Maritza

19. INDETERMINACIÓN TIPO: 1∞ ,∞0 , 00
3) Forma 00
lim X x = LN A= lim X LN X = 0* ∞
x→0 x→0
LN(x)
Convertimos a g → lim ⎯⎯⎯⎯⎯ = ∞/∞
⎯⎯⎯ x→0 1/ x
1 /f
Aplicamos L`Hopital
1 /x
lim -x = 0
lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =
x→0
x→0 -1 /X2
LN A= 0 → e0 = A .·. 1
1)Sandra

20. INDETERMINACIÓN TIPO: 1∞ ,∞0 , 00
3) Forma 00
lim X tanx LN A= lim TAN(x) LN(x) lim e tanxlnx
x→0 = x→0 = x→0 =
LN(x) -1/ x -SIN 2 (x)
e lim e ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = e^ lim [ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ] = e^ lim [ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ]
x→0 COT(x) x→0 CSC2 (x) x→0 x
e^ lim [- 2·SIN(x)·COS(x)] e0 = 1
=
x→0
1)Ánge
l

21. POR SU ATENCION…
GRACIAS!!!