Este documento trata sobre formas indeterminadas y la regla de L'Hopital. Explica diferentes tipos de formas indeterminadas como 0/0, ∞/∞, 0*∞ y cómo usar la regla de L'Hopital para resolver los límites indeterminados aplicando derivadas. También incluye ejemplos resueltos de cada tipo de forma indeterminada.

1. FORMAS INDETERMINADAS
Cruz Alan, Del Llano David, Delgado Maritza,
Flores Ángel, Flores Sandra

2. FORMAS INDETERMINADAS
Involucra los limites del tipo:
Es decir, cuando una variable que tiende a ese valor parece
no existir o no estar definida.

3. FORMA 0/0

4. FORMA ∞/ ∞

5. FORMA 0*∞

6. FORMA ∞-∞

7. FORMAS 1 ∞ ,∞0 , 0 0

8. GUILLAUME FRANÇOISE
ANTOINE MARQUÉS DE
L’HOPITAL

9. REGLA DE L’HOPITAL
Supongamos que existen 2 funciones f y g, las cuales están
definidas dentro de un intervalo (a,b) excepto tal ves en un
valor c dentro del mismo intervalo.
Si ambas funciones son derivables, entonces, si existe el
limite de la función en el valor c.

10. DEFINICION
si es o
Entonces → =

11. EJERCICIOS

12. INDETERMINACIÓN TIPO: O/0
1)
2 X3 6 X2 12·x 12
lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = Lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = Lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 12
x→0 1 - COS(x) x→0 SIN(x) x→0 COS(x)
x→0 x - SIN(x)
2)
6
LN(1 + 6·x) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 6
lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = lim 1 + 6·x = lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 6
x→0 x x→0 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ x→0 1 + 6·x
1
1)Alan, 2)Sandra

13. INDETERMINACIÓN TIPO: ∞/∞
1)
LN(x) 1/x 1 1
lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = lim ⎯⎯⎯ = lim ⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯ = 0
x→ ∞ x2 + 2 x→∞ 2·x x→∞ 2x2 ∞
2)
x 1
lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 1/2
x→∞ LN(x) 3 - 2·x x→∞ 3·LN(x)·2 (1/x)+ 2
1)David, 2) Ángel

14. INDETERMINACIÓN TIPO: ∞-∞
1)
⎛1 1 ⎞ SIN(x) - x COS(x) - 1
lim ⎯ - ⎯⎯⎯⎯ = lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
x→0⎝ x SIN(x) ⎠ x→0 x·SIN(x) x→0 SIN(x) + x·COS(x)
- SIN(x) 0
lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯ = 0
x→0 COS(x) + COS(x) - x·SIN(x) 2
2)
lim [LN(x + 1) - LN(x)] = lim LN [(x + 1)/x ] = lim LN [1 + 1/x ] = LN 1 = 0
x→∞ x→∞ x→∞
1) Ángel, 2) Alan

15. INDETERMINACIÓN TIPO: ∞-∞
3) 1
1 - ⎯⎯⎯⎯⎯
⎛ 1 1⎞ x - LN(1 + x) 1+x
lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ - ⎯ = lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
x→0 ⎝ LN(1 + x) x ⎠ x→0 x·LN(1 + x) x→0 x
LN(1 + x) + ⎯⎯⎯⎯
1+x
1+x-1
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
1+x 1
lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =
= x→0 LN(1 + x) + x·LN(1 + x) + x
x→0 (1 + x)·LN(1 + x) + x
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
1+x
1
lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 1/2
x→0 1 x
⎯⎯⎯⎯⎯ + LN(1 + x) + ⎯⎯⎯⎯ + 1
1+x 1+x
1) Ángel

16. INDETERMINACIÓN TIPO: 0*∞
Se transforma la función en 0/0 o ∞ /∞ reescribiendo f*g = f o g según convenga.
⎯⎯⎯⎯⎯⎯
1/ g 1 /f
1)
LN(x) 1 /x
lim x·LN(x) → g → ⎯⎯⎯⎯⎯ = lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =
x→0 ⎯⎯⎯
lim lim -x = 0
x→0 1 / x x→0 -1 /X2 x→0
1 /f
2)
TAN(x) - 1 1 + TAN2(x)
lim (TAN(x) - 1)(SEC(2)·x) 0 lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = -1
= lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯ x→/4 - 2·SIN(2)·x
x→/4 x→/4 COS(2)·x 0
1)David, 2)Ángel

17. INDETERMINACIÓN TIPO: 1∞ ,∞0 , 00
Para resolverlas tomamos logaritmos naturales, consiguiendo bajar el exponente. El
logaritmo de una potencia es igual al exponente por el logaritmo de la base:
LN ab = b LN a.
1) Forma 1∞ Suponemos que la solución del limite es A.
1/COS(x) 1/COS(x)
lim (1 + 2·COS(x)) A= lim (1 + 2·COS(x))
x→/2 x→/2
Bajamos el exponente con LN.
LN A= lim 1 LN(1 + 2·COS(x)) LN(1 + 2·COS(x)) 0
x→/2 ⎯⎯⎯⎯⎯ → LN A= lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯
COS(x) x→/2 COS(x) 0
Aplicamos L`Hopital
- 2·SIN(x)
Lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 2
x→/2 1 + 2·COS(x) lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 2 LN A= 2 → e2 = A .·.
=
x→/2 1 + 2·COS(x)
e2
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
- SIN(x)
1)Maritza

18. INDETERMINACIÓN TIPO: 1∞ ,∞0 , 00
2) Forma ∞0
LN A = lim TAN(x) LN[ 1/ x2 ] LN A = lim TAN(x) [LN1- LN x2
lim ⎛ 1 ⎞ TAN(x)
x→0 ⎯⎯ x→0 ]
= x→0
=
⎝ x2 ⎠
LN A = lim TAN(x)[- 2LN x ] LN A = -2 lim TAN(x)[LN x ]
x→0 x→0 = 0* ∞
=
LN(x)
Convertimos a g →
-2 lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = ∞/∞
⎯⎯⎯
1 /f x→0 1/TAN(x)
Aplicamos L`Hopital
1/ x SIN2 (x) 2·SIN(x)·COS(x)
-2 lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = -2 lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 2*0 = 0
x→0 -1/ SIN2 (x) x→0 x x→0 1
LN A= 0 → e0 = A .·. 1
1)Maritza

19. INDETERMINACIÓN TIPO: 1∞ ,∞0 , 00
3) Forma 00
lim X x = LN A= lim X LN X = 0* ∞
x→0 x→0
LN(x)
Convertimos a g → lim ⎯⎯⎯⎯⎯ = ∞/∞
⎯⎯⎯ x→0 1/ x
1 /f
Aplicamos L`Hopital
1 /x
lim -x = 0
lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =
x→0
x→0 -1 /X2
LN A= 0 → e0 = A .·. 1
1)Sandra

20. INDETERMINACIÓN TIPO: 1∞ ,∞0 , 00
3) Forma 00
lim X tanx LN A= lim TAN(x) LN(x) lim e tanxlnx
x→0 = x→0 = x→0 =
LN(x) -1/ x -SIN 2 (x)
e lim e ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = e^ lim [ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ] = e^ lim [ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ]
x→0 COT(x) x→0 CSC2 (x) x→0 x
e^ lim [- 2·SIN(x)·COS(x)] e0 = 1
=
x→0
1)Ánge
l

21. POR SU ATENCION…
GRACIAS!!!