Unidad iii relacion-funcion1

UNIDAD III
RELACIONES Y FUNCIONES
1. Relación. Par ordenado Definición- Producto cartesiano.
Dominio y Rango.
2. Gráfica de una relación.
3. Operaciones.-Unión e intersección.
4. Función. Domino y Rango.
5. Diagramas y gráficas.
6. Correspondiente en X.
7. Funciones.-Gráficas de funciones. Lineal-Cuadrática.
Polinomial. Compuesta- Inversa. -Exponencial-
Logarítmica.

RELACIÓN
 En un almacén, a cada artículo le corresponde un precio.
 A cada nombre del directorio telefónico le corresponde uno o varios números.
 A cada número le corresponde una segunda potencia.
 A cada estudiante le corresponde un promedio de calificaciones
Ejemplos:
Una relación es una correspondencia entre elementos de dos agrupaciones o
colecciones de objetos (elementos) pertenecientes a una misma categoría.

Una Relación, desde el punto de vista matemático, es la
correspondencia de un primer conjunto, llamado Dominio, con
un segundo conjunto, llamado Rango o Recorrido, de manera
que a cada elemento del Dominio le corresponde uno o más
elementos del Recorrido o Rango.
DOMINIO RANGO DOMINIO RANGO

Par ordenado.-
Es un conjunto formado por dos elementos, en el cual se distingue el primer elemento, y el
otro, el segundo.
Tal pareja ordenada se escribe (a, b), en donde a es el primer elemento y b es el segundo.
Dos parejas ordenadas (a, b) y (c, d) son iguales si y solamente si a = c y b = d.
En general (a, b) ≠ (b, a), a "a" se le llama primera componente o abscisa y a "b" se llama
segunda componente u ordenada.
Segunda componente u ordenada
Primera componente o abscisa

PRODUCTO
CARTESIANO
Por lo tanto, el producto
cartesiano de dos conjuntos es una
operación, que resulta en otro
conjunto, cuyos elementos son todos
los pares ordenados que pueden
formarse, de forma que el primer
elemento del par ordenado
pertenezca al primer conjunto y el
segundo elemento pertenezca al
segundo conjunto.
El producto cartesiano revela
una relación de orden entre
dos conjuntos, constituyéndose
como un tercer conjunto.
El producto cartesiano del conjunto A en el
conjunto B está definido por:
1era
Componente
2da
Componente
A x B = {(x, y) / x ∈ A y ∈ B}
Ejemplo:
A = {3, 6, 9}
B = {2, 4}
AxB = {(3,2); (3,4); (6,2); (6,4); (9,2); (9,4)}

R es una relación de A en B, si y sólo si R está incluido en AxB.
( R ⊂ AxB)
  194/,1  yxNNyxR
Ejemplos:
     1,15;2,11;3,7;4,31 R
  25/, 22
2  yxZZyxR
             3,4;3,4;3,4;3,4;4,3;4,3;4,3;4,3;0,5;0,5;5,0;5,02 R

Dominio:
El Dom(R) es el conjunto
formado por las
primeras componentes
de la relación.
Rango:
El Ran(R) es el conjunto
formado por las segundas
componentes de la relación.
Ejemplo:
R = {(3,4); (7,3); (11,2); (15,1)}
Dom(R) = {3, 7, 11, 15} y Ran(R) = {1, 2, 3, 4}
Dominio y Rango de una Relación

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA RELACIÓN
Los pares ordenados se pueden representar gráficamente por medio
de diagramas sagitales o por medio de puntos en el plano cartesiano
Ejemplo
Si A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {1, 3, 5, 7, 9} y R la
relación definida por la regla:
R = {( x , y ) / y = 2 x + 1}, graficar R.
Solución
Los pares ordenados que pertenecen a la
relación (que cumplen con y = 2x + 1) son:
R = {(1, 3), (2, 5), (3, 7), (4, 9)}
Plano cartesiano

 También una relación se la puede representar en forma de una ecuación algebraica
Ejemplos: y = x2 + 1 y = x - 5
 Además, se la puede representar en forma numérica o de tabla, que es un arreglo que puede ser
en forma horizontal o vertical y en donde en el primer renglón o primera columna, se ubican
algunos valores reales del primer número “x” y en el segundo renglón o columna se ubican los
valores del número “y”
Tabla numérica

OPERACIONES CON RELACIONES
Sean A y B dos conjuntos. Una relación (binaria) R de A en B es un subconjunto de A × B:
R ⊂ A × B = {(a, b)/a ∈ A, b ∈ B}
Se escribe a R b para indicar que (a, b) ∈ R y a R b para expresar que (a, b) ∉ R.
Si a R b diremos que a está relacionado con b.
Si R es una relación de A en sí mismo, es decir, R ⊂ A × A, diremos que es una relación en A.
 Sean A = {0, 1, 2} y B = {a, b}. Entonces {(0, a), (0, b), (1, a), (1, b)} es una relación de A en
B.
 Sea A = {1, 2, 3, 4}. En A se tiene la relación R = {(a, b)/a, b ∈ A y a es igual a b}:
R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)}
Ejemplos:

Enumera los pares ordenados de la relación R de A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} en B = {0, 1, 2, 3}
donde (a, b) ∈ R si, y sólo si, se verifica que:
• a + b = 4
• a > b
EJERCICIOS

Sean R1 y R2 dos relaciones de un conjunto A en un conjunto B y S una relación de B
en un conjunto C.
• La relación unión de R1 y R2, R1 ∪ R2, es una relación de A en B dada por
R1 ∪ R2 = {(a, b)/(a, b) ∈ R1 ∨ (a, b) ∈ R2}
• La relación intersección de R1 y R2, R1 ∩ R2, es una relación de A en B dada por
R1 ∩ R2 = {(a, b)/(a, b) ∈ R1 ∧ (a, b) ∈ R2}
• La relación diferencia de R1 y R2, R1 − R2, es una relación de A en B dada por
R1 − R2 = {(a, b)/(a, b) ∈ R1 ∧ (a, b) ∉ R2}
• La relación complementaria de R1, R1, es una relación de A en B dada por
R1’ = {(a, b)/(a, b) ∈ A × B ∧ (a, b) ∉ R1}
Operaciones.-

EJEMPLOS
Sean A = {1, 2, 3} y B = {1, 2, 3, 4} dos conjuntos y:
R1 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}
R2 = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4)}
Donde R1 y R2 son dos relaciones de A en B.
R1 ∪ R2 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (1, 3), (1, 4)}
R1 ∩ R2 = {(1, 1)}
R1 − R2 = {(2, 2), (3, 3)}
R2 − R1 = {(1, 2), (1, 3), (1, 4)}
R1’ = {(1, 1), (2, 1), (3, 1), (4, 1)}
R2’ = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}

EJERCICIOS
 Sean A = {a, b, c} y B = {w, x, y, z} dos conjuntos y:
R1 = {(a, x), (b, y), (c, z)}
R2 = {(a, w), (b, x), (c, y), (c, z), (a, z), (b, w)}
Donde R1 y R2 son dos relaciones de A en B.
R1 ∪ R2 =
R1 ∩ R2 =
R1 − R2 =
R2 − R1 =
R1’ =
R2’ =

 Si U = Z +, A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 5} y C = {3, 4, 7}, determínense los conjuntos siguientes:
1.- A × B
2.- B × A
3.- A ∪ (B × C)
4.- (A ∩ B) × C
5.- (A × C) - (B × C)
6.- (A x B) ∪ (A x B)’

FUNCIÓN Al primer conjunto o conjunto de partida se le llama
dominio de la función y al segundo conjunto o conjunto de
llegada se llama codominio.
Los elementos que inician una relación funcional se
denominan orígenes y los que la finalizan imágenes.
Todas las imágenes forman un subconjunto del conjunto
final llamado recorrido o rango
Se trata de una relación entre
dos conjuntos que cumple la
condición de que todo elemento
del primer conjunto debe estar
relacionado con uno y sólo
uno del segundo conjunto.
A la función f entre los conjuntos A
y B se la puede representar
simbólicamente así:
f : A → B o f (x) = y
Donde:
x es la variable independiente
y es la variable dependiente
Dominio y Recorrido:
f (x) = y

 El área de un cuadrado es función del valor de su lado. Si “x“ es la
longitud del lado, además “y “ es su área.
La expresión analítica de esta función es: f (x) = x2 o y = x2
Ejemplos: x
x
 La distancia que recorre un avión que viaja a una velocidad de 500 km
por hora (kph) es una función del tiempo de vuelo.
Si s representa la distancia en kilómetros y t es el tiempo en horas,
entonces la función es: s (t) = 500t.
 La temperatura de un cuerpo en grados Centígrados (°C) es una
función de la temperatura en grados Fahrenheit: °C(°F) = (5/9)*(°F – 32)

Las funciones se pueden representar de varias formas:
 Mediante su expresión analítica.
 Mediante una tabla de valores
 Mediante diagrama sagital
 Mediante su gráfica.
x f (x)
-2 -3
-1 -1
0 1
1 3
2 5
f (x) = 2 x + 1
-2, -3
-1, -1
0, 1
1, 3
2, 5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
Y
X
f (x)= 2x + 1
A B
f(x)
-2
-1
0
1
2
-3
-1
1
3
5
DIAGRAMAS Y GRÁFICAS

EJERCICIOS
Dada las siguientes gráficas, determine en cada caso si es una función o no.

RECORRIDO
DOMINIO
Obtención del dominio y recorrido de una función mediante su gráfica
El DOMINIO de una función se puede obtener proyectando sobre el eje X cada uno de los puntos de la gráfica.
El RECORRIDO de una función se puede obtener proyectando sobre el eje Y cada uno de los puntos de la
gráfica
f(x) = x2
f(x) = x3 - 1
D(f) = ℝ
D(f) = ℝ
R(f) = ℝ ≥ 0
R(f) = ℝ

D(f) = ℝ
D(f) = ℝ - {1}
D(f) = ℝ − {𝑥 ≤ −2}
D(f) = ℝ − {𝑥 ≤ −3}
R(f) = ℝ − {𝑦 ≥ 5} R(f) = ℝ − {0}
R(f) = ℝ − {0}
R(f) = ℝ ≥ 0

Funciones continuas y discontinuas
Intuitivamente, una función es continua cuando su gráfica se puede hacer
de un solo trazo sin despegar el lápiz del papel, caso contrario se dice que la
función es discontinua.

Funciones crecientes y decrecientes
 Si los puntos x1 y x2 son tales que x1 < x2 y se obtienen sus imágenes
respectivas que mantienen la siguiente relación f(x1) < f(x2), entonces la
representación gráfica corresponde a una función creciente.
 Si los puntos x1 y x2 son tales que x1 < x2 y se obtienen sus imágenes
respectivas que mantienen la siguiente relación f(x1) > f(x2), entonces la
representación gráfica corresponde a una función decreciente.
FUNCIÓN
CRECIENTE
FUNCIÓN
DECRECIENTE

EJERCICIOS
Determinelosintervalosdecrecimientoy
decrecimientodelasfuncionesdadas.

Analice los intervalos en los cuales las funciones son crecientes y decrecientes.

Dada la siguiente información, realice un esquema de la función correspondiente.
X (−∞, 0) (0,1) (1,3) (3, ∞)
F(x)
X (−∞, −1) (−1,1) (1, ∞)
F(x)
X (−∞, −1) (−1,0) (0,1) (1, ∞)
F(x)

PARA
RECORDAR
 Si la expresión analítica de la
función es un logaritmo, el
dominio está formado por los
números reales para los que el
argumento del logaritmo es
mayor a cero.
f(x) = ln (x – 1)
Dom f = (1, + ∞)

EJERCICIOS
Determine el dominio de las siguientes funciones:
y = log (x -7 )
y = 5 / (log ( x -2)

Correspondencia en “x”
que se lee como: “conjunto de parejas ( x y, ) tales que cada elemento y se
obtiene de aplicar la regla de correspondencia f a cada elemento x del
dominio de la función”.
Dada la siguiente expresión:

Clasificación de las funciones
(según el tipo de correspondencia)
Uno a uno (Inyectiva)
Sobreyectiva
Biyectiva

FUNCIÓN UNO A UNO (INYECTIVA)
• Es aquella en la que a elementos distintos del Dominio le
corresponden elementos distintos del Codominio.
• No importa que elementos del Codominio no sean imágenes
del Dominio.
a
b
c
d
1
2
3
4
5
Df Cf
O sea, dos o más
elementos del Dominio,
no pueden tener la
misma imagen; y el
Rango de la función, no
tiene que ser igual al
Codominio.

Prueba de la recta horizontal
Puesto que a cada elemento distinto del Dominio de una función debe
de corresponder un elemento distinto del Codominio, ninguna recta
horizontal puede cortar la gráfica cartesiana de una función
INYECTIVA en más de un punto.
Es inyectiva No es inyectiva

y
x
••
y
x
•
•
x
y
•
•
y
x
• • •
Ejercicios
Determinesif(x)esinyectivaono

Es aquella en la que a todo elemento del Codominio le corresponde cuando
menos un elemento del Dominio.
a
b
c
d
1
2
3
4
Df Cf
e

Si es función
sobreinyectiva
Si es función
sobreinyectiva
x
y
Rf = R
y
x
Rf = R
y
x
Rf = R
Ejemplos
y
x
Rf = [0, +∞)
y
x

FUNCIÓN BIYECTIVA
a
b
c
d
1
2
3
4
Df Cf
Es aquella que es inyectiva y sobreyectiva a la vez

Gráficamente, para que una función sea BIYECTIVA debe
pasar la prueba de la recta horizontal y el Rango debe ser
igual al conjunto de los números reales R.

y
x
y
x
y
x
y
x
•
Ejercicios
Determinesif(x)esbiyectivaono

FUNCIONES
PARES
E
IMPARES
f (x) es una función par si:
f(x) = f(-x)
f (x) es una función impar si:
f(x) = - f(x)
 Función par
La gráfica de dicha función es simétrica respecto al eje y.

 Función impar
La gráfica de dicha función es simétrica con respecto al origen de coordenadas.

Ejemplos:
Estudie la simetría de las siguientes funciones:
SOLUCIÓN

EJERCICIOS
Estudie la simetría de las siguientes funciones:

FUNCIONES
FUNCIÓN LINEAL
Las funciones lineales representan gráficamente
una recta, y son de la forma f(x) = mx + b, donde m
es la pendiente de la recta (grado de inclinación) y
b es el valor de la ordenada al origen o la
intersección con el eje “y”.
12
12
xx
yy
m




Las funciones lineales son funciones de dominio real y Codominio real, cuya
expresión analítica es:
f: ℝ ℝ / f(x) = mx + b con m y b números reales
 “b” es el punto de corte de la recta con el eje “y”
 La pendiente m señala la inclinación de la recta:
Además:

Funciones derivadas de la función lineal
Función nula: cuando f(x) = 0 (m = 0 ; b = 0) y su gráfica es coincidente con el eje de las abscisas (x).
Función constante: cuando f(x) = b (m = 0)
Función identidad: cuando f(x) = x
Función de proporcionalidad directa: cuando f(x) = mx, es decir, el valor de b = 0, y siempre pasa por el
origen. En este caso, x e y son magnitudes directamente proporcionales.
y = x
y = b
Función identidadFunción constanteFunción nula
Función de
proporcionalidad directa

Dadas las siguientes funciones y sin construir la tabla de valores, realice un bosquejo
de su representación gráfica (Ver ejemplo)
Ejemplo: a) y = x + 2
y = 1x + 2 como y = m x + b; entonces m = 1 y b = 2
Como m > 0 la función es creciente y corta al eje “y” en 2
Bosquejo:
2
y = x + 2

Rectas paralelas y perpendiculares
Dos rectas son paralelas cuando sus pendientes son iguales
Sea la recta R1: y = m1x + b1 y la recta R2: y = m2x + b2
R1 y R2 son paralelas si m1 = m2
Dos rectas perpendiculares cuando sus pendientes son inversas y opuestas.
Sea la recta R1: y = m1x + b1 y la recta R2: y = m2x + b2
R1 y R2 son perpendiculares si m1 = -
1
𝑚2

EJERCICIOS
Dadas las rectas:
r1 : y = 2 / 3 x + 2
r2 : 2 / 3 x – y – 1 = 0
r3 : y = 12/5 x – 39/5
r4: y = 12/5 x – 13/5
r5: 2 / 3 x – y - 2 = 0
Verificar si algún par resulta paralela o perpendicular.

m =
𝑦2−𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
x y
0 1
1 3
2 5
3 7
4 9
(x1; y1)
m =
7−5
3 −2
= 𝟐
y = 2x + 1
y = mx + b
1, 3
2, 5
3, 7
4, 9
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0 1 2 3 4 5
y
x
(x2; y2)
Corta en b = 1 al eje “y”
b

Completar la siguiente tabla (obsérvese el primer ejemplo):
EJERCICIOS

Dadas las siguientes gráficas, determine la función lineal que les corresponde:

FUNCIÓN
CUADRÁTICA
La función cuadrática es una
función polinomial, por lo
tanto el dominio y el recorrido
de esta función son los
números reales.

Intersección con el eje “y”

Si f(x) = a x2 + b x + c , entonces:
a) Su eje de simetría es: x =
−𝑏
2𝑎
b) Su vértice es :
−𝑏
2𝑎
, 𝑓
−𝑏
2𝑎
Ejemplo:
f(x) = 2x2 - 8x - 1 entonces a = 2; b = -8; c = -1
Eje de simetría: x =
−𝑏
2𝑎
=
−(−8)
2 ∗ 2
=
8
4
= 2
Como
−𝑏
2𝑎
= 2 entonces f(
−𝑏
2𝑎
) = 𝑓 2 = 2 ∗ (2)2 - 8* (2) - 1 = -9
Por lo tanto: Vértice = V = [2, - 9]
EJE DE SIMETRÍA
X = 2
2 x
y
9 (2, - 9)
Vértice

El vértice s un MÍNIMO
El vértice es un
MÁXIMO

Discriminante
Dos raíces reales pero distintas
x1 ≠ x2
x1 x2

Dos raíces reales iguales
x1 =x2
x1 = x2

Los puntos de corte con el eje de las “x”, se pueden calcular utilizando la
fórmula general:

Traslación de la parábola en el eje “y” (traslación vertical)
Sea y = x² + k
Si K > 0, y = x² se desplaza hacia arriba
k unidades.
Si K < 0, y = x² se desplaza hacia abajo
k unidades.
El vértice de la parábola es: (0, k).
El eje de simetría x = 0.
y = x² + 2
y = x² - 2

y = (x + h)²
Si h > 0, y = x² se desplaza
hacia la izquierda h
unidades.
Si h < 0, y = x² se desplaza
hacia la derecha h unidades.
El vértice de la parábola
es: (-h, 0).
El eje de simetría es x = -h.
Traslación de la parábola en el eje “x” (traslación horizontal)

Traslación de la parábola tanto en el eje “x” como en el eje “y” (traslación
oblicua)
y = (x + h)² + k
El vértice de la parábola es:
(-h, k).
El eje de simetría es x = -h.

Ejemplos
Dada la siguiente función: y = x2 – 6x + 5. Analícela y haga un bosquejo de la misma.

Calcule una función cuadrática que pase por los puntos (0,1) (1,0) y (-2,9)

EJERCICIOS Relacione las siguientes funciones con sus respectivos gráficos:
1.- f(x) = - x2
2.- f(x) = x2 + 4x + 4
3.- f(x) = - x2 + 3
4.- f(x) = -x2 - 3
5.- f(x) = x2 + 4x + 2
a)
e)

Dadas las siguientes funciones, haga un bosquejo que las represente.

Una función cuadrática de la forma: y = ax2 + bx + 1 toma el valor 7 para x = − 1 y
para x = 2. Determine esta función.
Ejercicios propuestos
Resuelva los siguientes ejercicios y determine los valores solicitados.

Analice el discriminante (b2 – 4 ac) y determine el tipo de raíces que tiene
cada función

Indique el grado de cada función polinomial, determine sus ceros reales.

-2-4 2 4
-3
-3 -1 4
Determinar:
Si n es par o impar
Si an < 0 an > 0
Si cada función tiene como máximo n interceptores
en x. ¿Cuál es el grado de la función? Escriba la
función polinomial en forma factorizada
EJERCICIOS

FUNCIONES COMPUESTAS
Dominio
de la
función
A B C

EJEMPLOS:
Determine la funcióncompuestag o f y su respectivo dominio
1.-
2.-

Dadas las siguientes funciones
Determine:
EJERCICIOS

EJEMPLOS
1.- f(x) = 3x - 2
f(x) es una función lineal, inyectiva y biyectiva
D(f) = ℝ
Para obtener f-1(x):
1.- f(x) = y y = 3x – 2
2.- Despeje x
x =
𝑦+2
3
=
1
3
𝑦 +
2
3
Como f-1(x) = x y reemplazando “y” por “x”:
f-1(x) =
1
3
𝑥 +
2
3

2.-
f(x) es una función radical, inyectiva
D(f) = ℝ - {x < -2}
Para obtener f-1(x):
1.- f(x) = y y = 𝑥 + 2 + 1
2.- Despejando x
x = (y – 1)2 - 2
Como f-1(x) = x y reemplazando “y” por “x”:
f-1(x) = (x – 1)2 - 2

EJERCICIOS
Determine la función inversa de las siguientes funciones.

FUNCIÓN
EXPONENCIAL
Dado b > 0 , llamamos función exponencial de base b
a la función f : R → R definida por f (x) = bx .
son de tipo exponencial. Lo verificamos al reescribirlas,
así:

GRÁFICAS DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL
La gráfica de la función f(x) = 2x ( f(x) = ax y a > 1)
Reporte de la gráfica:
1) D(f) = Reales. R(f) = Reales positivos
2) La intercepción con el eje “y” es el
punto (0,1)
3) La función crece de izquierda a derecha.
4) La recta y=0 (el eje x) es una asíntota
horizontal por la izquierda, esto quiere
decir que la gráfica de la función se
acerca cada vez más a esta recta. Sin
embargo cuando incrementamos los
valores de x entonces la gráfica asciende
rápidamente.

La gráfica de la función f(x) = 2x ( f(x) = ax y 0 < a < 1)
1) D(f) = Reales. R(f) = Reales positivos
2) La intercepción con el eje “y” es el punto
(0,1).
3) La función decrece de izquierda a derecha.
4) La recta y=0 (el eje x) es una asíntota
horizontal por la derecha, esto quiere decir
que la gráfica de la función se acerca cada
vez más a esta recta cuando x toma valores
cada vez más grande. Sin embargo la
función toma valores tan altos como se
quiera para valores de x negativos y
grandes en magnitud.

Ejemplo 1.- Trazar la gráfica de la función f(x) = 3 x - 1 y realizar un reporte
acerca de su comportamiento.
1) El dominio es (−∞,∞) . El rango es el
conjunto (-1, ∞).
2) La intercepción con el eje x es el punto (0,0).
3) La función crece de izquierda a derecha.
4) La recta y = -1 es una asíntota horizontal por
la izquierda.

 El dominio es R. El rango el conjunto (0, ∞)
 La intercepción con el eje y es el punto
(0,16)
 La función decrece de izquierda a derecha.
 La recta y=0 es una asíntota horizontal por
la derecha.
Ejemplo 2:
Reporte:

loga(b)= n an = b
“ n es logaritmo de b en base a”, con b>0, a>0 y a ≠ 1
Ejemplo:
log3(5)= m 3m = 5
log2(8)= 3 23 = 8
log4(64)= 3 43 = 64
log10(0,1)= -1 10-1 = 0,1
1. Logaritmos
1.1 Definición
Funciónlogarítmica

a) Logaritmo de la base: loga(a)= 1 a1 = a
Ejemplo:
log8(8)= 1 81 = 8
b) Logaritmo de la unidad: loga(1)= 0 a0 = 1
Ejemplo:
log9(1)= 0 90 = 1
1.2 Propiedades

c) Logaritmo del producto: loga(b·c)= loga(b) + loga(c)
Ejemplo:
d) Logaritmo del cuociente:
Ejemplo:
log8(2) + log8(4) = log8(2·4) = log8(8) = 1
loga(b:c)= loga(b) - loga(c)
log3(21) – log3(7)= log3(21:7)= log3(3)= 1

loga bm = m · loga(b)√
n
n
e) Logaritmo de una potencia: loga(b)n = n · loga(b)
Ejemplo:
f) Logaritmo de una raíz:
log2(81) = log2(3)4 = 4 · log2(3)= 4m
Si log2(3) = m, entonces:
𝑙𝑜𝑔 𝑎
3
𝑏5 =
5
3
log 𝑎 𝑏
Ejemplo:

g) Cambio de base:
Ejemplo:
loga(b) = _____logc(b)
logc(a)
log27 9 = ______log3 9
log3 27
= _2
3
loga(b) · loga(c) ≠ loga(b) + loga(c)
logc(b)______ ≠
logc(a)
logc(b) - logc(a)
Errores frecuentes

La inversa de una función exponencial de base a, se llama
función logarítmica de base a y se representa por:
.
y = loga(x) ay = x (Con a > 0, a  1).
4. Función Logarítmica
4.1 Definición

4.2 Ley de crecimiento y
decrecimiento logarítmico
.
a) Si a > 1, f(x)= loga(x) es creciente para x >0
x
y
x > 0
Rec (f) = IR
Dom (f) = IR+

b) Si 0 < a < 1, f(x)= loga(x) es decreciente para x >0
x
y
x > 0
Dom (f) = IR+
Rec (f) = IR
Notar que la gráfica de f(x) = log a x pasa por (1,0)

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