1. 1. Demostrar que la derivada de la función 5 2 es ´ 3 5
Primeramente desglosemos cada parte de la definición
(1) 5 2
(2) 5 2,
desarrollemos el binomio
3 3 5 2
multipliquemos por el escalar
3 3 5 5 2
Sustituyamos (1) Y (2) en la definición
3 3 5 5 2 5 2
lim
→
Cambiemos de signos la segunda expresión
3 3 5 5 2 5 2
lim
→
Eliminemos términos semejantes
3 3 5 5 2 5 2
lim
→
3 3 5
lim
→
Extraemos el factor común
3 3 5
lim
→
Simplifiquemos los del numerador y el denominador
3 3 5
lim lim 3 3 5
→ →
Apliquemos el límite
3 3 0 0 5 3 0 0 5 3 5 3 5 ■

2. 2. Demostrar que la derivada de la función 7 4 es ´ 7
Primeramente desglosemos cada parte de la definición
(1) 7 4
(2) 7 4
multipliquemos por el escalar
7 7 4
Sustituyamos (1) Y (2) en la definición
7 7 4 7 4
lim
→
Cambiemos de signos la segunda expresión
7 7 4 7 4
lim
→
Eliminemos términos semejantes
7 7 4 7 4
lim
→
7
lim
→
Simplifiquemos los del numerador y el denominador
7
lim lim 7
→ →
Apliquemos el límite
7 ■

3. 3. Demostrar que la derivada de la función 5 3 es ´ 5
Primeramente desglosemos cada parte de la definición
(1) 5 3
(2) 5 3
Apliquemos propiedad trigonométrica seno de suma de ángulos
5 cos cos 3
Sustituyamos (1) Y (2) en la definición
5 cos cos 3 5 3
lim
→
Cambiemos de signos la segunda expresión
5 cos cos 3 5 3
lim
→
Eliminemos términos semejantes
5 cos cos 3 5 3
lim
→
5 cos cos 5
lim
→
Extraemos el factor común
5 cos 1 5 cos
lim
→
Separemos las expresiones del límite
cos 1
lim 5 lim 5 cos
→ →
cos 1
lim 5 lim 5 cos
→ →
5 0 5 1 5 0 5 0 5
5 5cos ■

4. 4. Demostrar que la derivada de la función 2 5 es ´ 2 5
Primeramente desglosemos cada parte de la definición
(1) 2 cos 5
(2) 2 5
Apliquemos propiedad trigonométrica seno de suma de ángulos
2 5 5
Sustituyamos (1) Y (2) en la definición
2 5 5 2 cos 5
lim
→
Cambiemos de signos la segunda expresión
2 5 5 2 cos 5
lim
→
Eliminemos términos semejantes
2 5 5 2 cos 5
lim
→
2 5 2 cos
lim
→
Extraemos el factor común
2 1 2 5
lim
→
Separemos las expresiones del límite
2 1 2 5
lim lim lim
→ → →
2 1 2 5
lim lim lim
→ → →
0 1 lim 5 0 2 5 2 5
→
2 5 ■