Funciones - Libro Corefo edicion 2021

2. FUNCIONES

3. Función constante
Se define como el conjunto de
pares ordenados (x, y) cuya
segunda componente «y», siempre
es el mismo número.
Es de la forma:
y = f(x) =k , k: constante (kЄℝ)
Gráficamente:
y
k y = f(x) = k
O x
Dom(f) =ℝ y Ran(f) = {k}
Función identidad
Se define como el conjunto de
pares ordenados (x, y) cuya
segunda componente «y», es igual
a la primera componente «x».
Es de la forma:
y = f(x) = x
Gráficamente:
y
y = f(x) = x
O 2 x
Dom(f) =ℝ y Ran(f) = ℝ
2

4. Función afín
Es de la forma:
y = f(x) =ax + b
Dondea y bЄℝ, también se le conoce
como función de primer grado.
• Su representación gráfica es una
recta que corta al eje «y» en (0;
b).
• El valor de «a» es conocido como
la pendiente de la recta.
Gráficamente:
y
y = f(x) = ax+b
b
O x
Dom(f) =ℝ y Ran(f) =ℝ
Función cuadrática
Es de la forma: y = f(x) =ax + bx + c
Dondea , b y cЄℝ, (a ≠ 0).
• Su representación gráfica es una
parábola.
• Las coordenadas de su vértice
son:
𝒉; 𝒌 =
−𝒃
𝟐𝒂
; 𝒇
−𝒃
𝟐𝒂
Gráficamente:
y
y =𝒂𝒙𝟐
+ 𝒃𝒙 + 𝒄
O x
Dom(f) =ℝ y Ran(f) =
−𝒃
𝟐𝒂
; +∞
2

5. Función raíz cuadrada
Es de la forma:
y = f(x) = 𝒙
𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆 𝒙 ≥ 𝟎
Gráficamente:
y
y = 𝒙
O x
Dom(f) = 𝟎; +∞ y Ran(f) = 𝟎; +∞
Función valor absoluto
Es de la forma:
y = f(x) = │x│=
𝒙, 𝒔𝒊 𝒙 ≥ 𝟎
−𝒙, 𝒔𝒊 𝒙 < 𝟎
Gráficamente:
y
y = │x│
O x
Dom(f) =ℝ y Ran(f) = 𝟎; +∞

6. Función máximo entero
Es de la forma:
y = f(x) = 𝒙 = n ; 𝒏 ≤ 𝒙 < 𝒏 + 𝟏
𝒏 𝝐 ℤ
Es decir, el máximo entero de un
número es el máximo entero no
mayor a «x».
Gráficamente:
y
y = 𝒙
O x
Dom(f) =ℝ y Ran(f) = ℤ
Ejemplo:
Grafica la función: f(x) = 𝒙 , si
−𝟐 ≤ 𝒙 < 𝟑
Solución:
f(x) = 𝒙 =
−𝟐; 𝒔𝒊 − 𝟐 ≤ 𝒙 < −𝟏
−𝟏; 𝒔𝒊 − 𝟏 ≤ 𝒙 < 𝟎
𝟎; 𝒔𝒊 𝟎 ≤ 𝒙 < 𝟏
𝟏; 𝒔𝒊 𝟏 ≤ 𝒙 < 𝟐
𝟐; 𝒔𝒊 𝟐 ≤ 𝒙 < 𝟑
Graficamos:
y
y = 𝒙
-2 -1 0 1 2 3x
Dom(f) = −𝟐; 𝟑 ; Ran(f) = −𝟐; −𝟏; 𝟎; 𝟏; 𝟐

7. EJERCICIOS
1. Grafica la función:
y = f(x) = 2x - 3 ; −𝟐 ≤ 𝒙 < 𝟒.
Luego, determina su rango.
Resolución:
Tabulamos:
Graficamos:
y
y = 2x - 3
O x
Ran(f) = −𝟕; 𝟓
x -2 4
y -7 5
5
-7
4
-2
2. Determina la ecuación de la
recta que pasa por los puntos
A(3; 5) y B(-1; -3).
Resolución:
Sabemos que una recta (L) tiene
por ecuación: y = ax + b.
Luego:
A(3; 5) Є L → 5 = 3a + b … (I)
B(-1; -3) Є L → -3 = -a + b … (II)
De (I) y (II) se tiene que:
a = 2 y b = -1.
Entonces, la ecuación de la
recta es:
y = 2x – 1

8. 3. Dada la función cuadrática:
y = f(x) =𝟐𝒙𝟐
− 𝟒𝒙 + 𝟓
Determina su vértice, rango y grafica.
Resolución:
Tenemos que: a = 2; b = -4 y c = 5
Las coordenadas de su vértice son:
𝒉; 𝒌 =
−(−𝟒)
𝟐(𝟐)
; 𝒇
−(−𝟒)
𝟐(𝟐)
𝒉; 𝒌 = 𝟏; 𝒇 𝟏 = (𝟏; 𝟑)
Graficamos:
Como a = 2 > 0 la parábola se abre hacia
arriba.
y
y =2𝒙𝟐
− 𝟒𝒙 + 𝟓
3
O 1 x
Ran(f) = 𝟑 ; +∞
4. Grafica la función valor absoluto
y = f(x) = │x - 2│
Determina su dominio, rango y grafica.
Resolución:
Sabemos que:
y = f(x) = │x - 2│=
𝒙 − 𝟐, 𝒔𝒊 𝒙 ≥ 𝟐
−𝒙 + 𝟐, 𝒔𝒊 𝒙 < 𝟐
Tabulamos:
Graficamos:
y
y = │x-2│
1
O 1 2 3 x
Dom(f) =ℝ y Ran(f) = 𝟎; +∞
x 1 2 3
y 1 0 1

9. 5. Determina la ecuación de la función
cuadrática con los siguientes datos:
Vértice V(-2; 4), además f(0) = 0 y f(1)
= -5. Luego, indica su rango.
Resolución:
La función cuadrática tiene la forma:
y = f(x) =𝐚𝒙𝟐
+ 𝒃𝒙 + 𝒄
Las coordenadas de su vértice son:
−𝟐; 𝟒 =
−𝒃
𝟐𝒂
; 𝒇
−𝒃
𝟐𝒂
−𝟐 =
−𝒃
𝟐𝒂
→ 𝒃 = 𝟒𝒂… (I)
Tenemos que:
f(0) = 0 →𝐚. 𝟎𝟐
+𝒃. 𝟎 + 𝒄 = 𝟎 → 𝒄 = 𝟎
f(1) =-5 →𝐚. 𝟏𝟐
+𝒃. 𝟏 = −𝟓 →
𝒂 + 𝒃 = −𝟓… (II)
De (I) y (II):
𝒂 = −𝟏 y 𝒃 = −𝟒
Luego, la función es:
y =−𝒙𝟐
− 𝟒𝒙
Ran(f) = −∞ ; 𝟒
6. Calcula el área de un triángulo formado
por las intersecciones de las funciones: x
= 8 ; y = 6 ; 3x + 5y = 30.
Resolución:
Graficamos las funciones:
De: 3x + 5y = 30
y
6
6/5
0 8 10 x
Determinamos el punto de intersección:
x = 8 →3(8)+5y=30 →y = 6/5
Luego, el área del triángulo es:
𝑨 =
𝟖.
𝟐𝟒
𝟓
𝟐
→ 𝑨 =
𝟗𝟔
𝟓
𝒖𝟐
x 0 10
y 6 0
24/5

10. 7. Calcula el área de la región
formada por las gráficas de las
funciones «f» y «g», donde:
f(x) =│x - 4│ y g(x) = 4.
Resolución:
Aplicamos la definición de valor
absoluto:
y = f(x) =│x - 4│=
𝒙 − 𝟒, 𝒔𝒊 𝒙 ≥ 𝟒
−𝒙 + 𝟒, 𝒔𝒊 𝒙 < 𝟒
Graficamos las funciones «f» y «g»:
y
y1=-x+4 y2=x-4
4
1
O 3 4 5 8 x
x 3 4 5
y 1 0 1
Determinamos los puntos de
intersección de dichas rectas (y1 ;
y2) con g(x) = 4:
-x + 4 = 4 →x = 0 →P(0; 4)
x - 4 = 4 →x =8 →Q(8; 4)
PQ = 8 – 0 = 8
Luego, el área del triángulo es:
𝑨 =
𝟖.𝟒
𝟐
→ 𝑨 = 𝟏𝟔 𝒖𝟐
Q
P