TEORÍA Y PROBLEMAS
SEDE SUPERIORSEDE SUPERIORSEDE SUPERIORSEDE SUPERIOR JOHN CARLOS VÁSQUEZ HUAMÁNJOHN CARLOS VÁSQUEZ HUAMÁNJOHN CARLOS VÁSQUEZ HUAMÁNJOHN CARLOS VÁSQUEZ HUAMÁN
GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN
Definición
Sea “f” una función real, la gráfica de “f” es
el conjunto “G”, de todos los puntos (x, y) en el
plano, tal que “x” está en el dominio de “f” e “y” es
la imagen de “x” por “f”, es decir:
G = {(x, y) ∈∈∈∈ R2
/ y = f(x); x ∈∈∈∈ D
✹ Una gráfica cualquiera será función; si y sólo
si, al azar una paralela al eje “y” corta a la gráfica
en un solo punto.
Ejemplo
a. F(x) es función entonces “L1” la recta paralela
al eje “y” corta a la gráfica en un solo punto.
b. G(x) no es función entonces “L2” la recta paralela
al eje “y” corta a la gráfica en más de un punto.
FUNCIONES ESPECIALES
1 Función Constante
Regla de correspondencia: f(x) = k
Df = R ∧∧∧∧ Rf = k
Significa que:
f = {… (0; k), (1; k), (2; k)…}
∴ f = {(x; k) / f(x) = k}
JOHNCARLOS VÁSQUEZ HUAMÁN
y
L1
F(x)
y
L2
G(x)
JOHN CARLOS VÁSQUEZ HUAMÁNJOHN CARLOS VÁSQUEZ HUAMÁNJOHN CARLOS VÁSQUEZ HUAMÁNJOHN CARLOS VÁSQUEZ HUAMÁN
Sea “f” una función real, la gráfica de “f” es
el conjunto “G”, de todos los puntos (x, y) en el
plano, tal que “x” está en el dominio de “f” e “y” es
Df}
función; si y sólo
si, al azar una paralela al eje “y” corta a la gráfica
” la recta paralela
al eje “y” corta a la gráfica en un solo punto.
” la recta paralela
al eje “y” corta a la gráfica en más de un punto.
{… (0; k), (1; k), (2; k)…}
Gráfica:
2 Función Identidad
Regla de correspondencia: f
Df = R ∧∧∧∧
Significa que:
f = {… (1; 1), (2; 2), (3; 3),…}
∴ f(x) = {(x; y) / f(x)
Gráfica:
3 Función Valor Absoluto
Regla de correspondencia: f



−−−−
====
x
x
|x|
Df = R ∧∧∧∧ R
Significa que:
f = {…(-2; 2), (-1; 1), (0; 0), (1; 1),…}
f(x) = |x|
y = |x| → x = 1; y = 1
x = -1; y = 1
JOHNCARLOS VÁSQUEZ HUAMÁN
x
(x)
x
y
0 2
y
1111
Función Identidad
Regla de correspondencia: f(x) = x
∧∧∧∧ Rf = R
f = {… (1; 1), (2; 2), (3; 3),…}
(x) = x →→→→ x = y}
Función Valor Absoluto
Regla de correspondencia: f(x) = |x|
<<<<
≥≥≥≥
0x:si;
0x:si;
Rf = R+
∪∪∪∪ {0}
1; 1), (0; 0), (1; 1),…}
= |x|
x = 1; y = 1
x
F(x) = k
3 6
x
F(x) = x

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Gráfica:
4 Función Raíz Cuadrada
Regla de correspondencia: f(x) =
Df = R+
∪∪∪∪ {0} ∧∧∧∧ Rf = R+
∪∪∪∪
Significa que:
f = { (0; 0), (1; 1), (2; 2 ), (3; 3
Gráfica:
5 Función Lineal
Es una función con dominio en todos los
reales y como regla de correspondencia: f
b, donde “a” y “b” son constantes cualesquiera. (a
≠≠≠≠ 0)
Su gráfica es una recta; con pendiente “a” e
intercepto “b”.
Gráfica:
y
y = |x|
y
y = x
y
x
b
α
y
b
JOHN CARLOS VÁSQUEZ HUAMÁNJOHN CARLOS VÁSQUEZ HUAMÁNJOHN CARLOS VÁSQUEZ HUAMÁNJOHN CARLOS VÁSQUEZ HUAMÁN
x
∪∪∪∪ {0}
3 ),…}
Es una función con dominio en todos los
reales y como regla de correspondencia: f(x) = ax +
b, donde “a” y “b” son constantes cualesquiera. (a
Su gráfica es una recta; con pendiente “a” e
y = mx + b
m > 0
m: pendiente de la recta
m = tg
Ejemplo
Calcular la función lineal que tenga: f
además; f(2) = 2f(3)
Solución:
f(x) = mx + b
f(1) = m + b = 3………….(
Además:
2m + b = 2(3m + b)
2m + b = 6m + 2b
b = -4m ………….(
De (α) y (β):
m = -1 ∧∧∧∧
∴f(x) =
DOMINIO DE UNA FUNCIÓN
Ejemplo
Halle el dominio de la función:
)x(f ====
Solución:
Cuando se pide el dominio, nos preguntamos
para que valores de “x” (variable) esta definida lla
función f(x).
∴ f(x) esta definida en R; si x
⇒⇒⇒⇒ x
∴ Domf = R
RANGO DE UNA FUNCIÓN
Ejemplo
Hallar el rango de la función:
f(x) = 2x + 5. Si: x
Solución:-1 < x ≤≤≤≤ 2
multiplicando x 2: -
sumamos 5: 3 < 2x + 5
3 < f(x)
∴ Rang(f) = <3, 9]
x
y = |x|
x
y
x
α
2222
y = mx + b
m < 0
m: pendiente de la recta
m = tgα
Calcular la función lineal que tenga: f(1) = 3 y
………….(α)
2m + b = 2(3m + b)
2m + b = 6m + 2b
………….(β)
∧∧∧∧ b = 4
= -x + 4
DOMINIO DE UNA FUNCIÓN
Halle el dominio de la función:
4x
5x
−−−−
++++
Cuando se pide el dominio, nos preguntamos
para que valores de “x” (variable) esta definida lla
esta definida en R; si x – 4 ≠≠≠≠ 0
x ≠≠≠≠ 4
Domf = R – {4}
RANGO DE UNA FUNCIÓN
Hallar el rango de la función:
f(x) = 2x + 5. Si: x ∈∈∈∈ <-1; 2]
-2 < 2x ≤≤≤≤ 4
3 < 2x + 5 ≤≤≤≤ 9
3 < f(x) ≤≤≤≤ 9
Rang(f) = <3, 9]