ivan alvarez 26554646

1. Derivadas
Autor
Ivan Álvarez
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Matemática I.
Es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función
matemática, según cambie el valor de su variables independiente. La derivada de
una función es un concepto local, es decir, se calcula como el lites de la rapidez de
cambio media de la función en un cierto intervalo.
La Derivada como Pendiente de una Curva
Consideremos la función y=f(x), continua en (a, b) y sea:
P(x1, y1)
un punto fijo de la curva, por el cual trazaremos una tangente; sea
Q(x2, y2) un punto móvil en dicha curva, próximo a P. La tangente
en P tiene ecuación:
y - y1= m(x - x1) ; es decir
y - f (x1)=m(x - x1)
Es necesario determinar el valor de m.
Tracemos una secante a la curva que pase por los puntos P y Q.
En la gráfica se tiene, Dx=x2- x1 es decir,
x2= x1 + Dx, Dx ¹ 0.
Luego el punto Q tiene coordenadas (x1 + Dx, f (x1 + Dx )).

2. Teorema. (Regla de la cadena)
 Sea y=f(u) una función diferenciable de u y sea
u=g(x) una función diferenciable de x, las cuales
determinan la función compuesta fog, entonces:
 Dx(fog)(x)=Dxf(g(x))=f´(g(x)).g´(x)
 Teorema. Si f es una función diferenciable de x y r es un
número racional, entonces, según la regla de la cadena:
 Dx [f(x)] r= r[f(x)]r-1.f´(x)
 Ejemplos
 Regla de la Cadena
 Situación: Sean f(x) = x2 y g(x) = 2x + 1.
 Hallemos
 (f(x) o g)(x), (f(x) o g)'(x)
 La derivada de f(x) evaluada en g(x); es decir, f'(g(x))
 g'(x), g'(g(x))·g'(x)
 Comparemos (f o g)'(x) con f'(g(x))·g'(x)
 Solución
 (f(x) o g)(x) = f(g(x)) = f(2x + 1) = (2x + 1) 2; es decir,
(f(x) o g)(x) = 4x2 + 4x + 1 por tanto,
(f(x) o g)'(x) = 8x + 4.
 Como f '(x) = 2 x, entonces f '(g(x)) = f '(2x + 1) = 2(2x +
1), es decir, f '(g(x)) = 4x + 2.
 g'(x) = 2, luego g'(g(x)) · g'(x) = (4x + 2) · 2, es decir,
g'(g(x)) · g'(x) = 8x + 4.
 De a. y c. concluimos que (f o g)'(x) = g'(g(x))·g'(x).
 Conclusión
 Sean f y g funciones tales que:
 Esté definida la función compuesta f o g en x = a,
 g es derivable en x = a
 f es derivable en g(a) Entonces, la función compuesta f o
g es derivable en x = a, y se verifica la regla
de derivación de una composición de funciones o regla
de la cadena (f o g)'(x) = f '(g(x))·g'(x).
Regla de la Cadena. Derivada de
Potencias
Reglas de Derivación
El proceso para obtener la derivada de una
función se denomina "derivación". Se
efectuarán según las reglas, y
estableceremos en los siguientes teoremas:
Teorema 1. Sea k una constante, Si f(x)=k
entonces f´(x)=0.
Teorema 2. Si f(x)=x entonces f´(x)=1.
Teorema 3. Si n es número racional y
f(x)=xn, entonces:
f´(x)=nxn-1
Teorema 4. Si k es una constante y f es
diferenciable entonces:
Dx[kf(x)]=k.f´(x)
Teorema 5. Si f y g son funciones
diferenciables entonces:
Dx[f(x)+g(x)] = f´(x) + g´(x)
Teorema 6. Si f y g son funciones
diferenciables entonces:
Dx[f(x)g(x)] = f´(x) .g(x)+f(x) g´(x)

3. Derivadas de las Funciones
Trigonométricas
 Sea u una función diferenciable de x, luego se define
 Aquí se calculan las derivadas de seno, coseno, tangente, cotangente,
secante y cosecante, y se usan en el cálculo de otras funciones.
 Ahora, procedemos a calcular las derivadas de algunas de las funciones
trigonométricas básicas, utilizando la definición y las propiedades
estudiadas en capítulos anteriores. Luego se dará una tabla con las
derivadas de las seis funciones trigonométricas básicas.

4.  Se dice que una función f definida en un intervalo es decreciente en ese intervalo, si
y sólo si, f(x1) > f(x2), siempre que x1< x2, donde x1 y x2 son dos números
cualesquiera en el intervalo.
Decimos que la función f tiene un máximo relativo en x = c si existe un intervalo
abierto que contiene a c tal que f (c) > f(x), para toda x en el intervalo.
Derivación Implícita
No todas las curvas se pueden describir como una sola función. Por ejemplo, la curva
que presenta la ecuación: x2+y2=16 es una circunferencia y no representa una
función.
Sin embargo, la semicircunferencia superior sí representa una función; y la
semicircunferencia inferior también la representa. Podemos obtener dos funciones
diferentes a partir de esta circunferencia. Éstas se llaman funciones implícitas.
Derivada de Orden Superior
Considérese una función f y sus derivadas f´. Si existe funciones f“, f“´, f iv, fn Tal que:
f“(x)=[f´(x)]´
f´´´(x)=[f“(x)]´
f iv (x)=[f´´´(x)]´
f n(x)=Dx [f n-1 (x)]´ .
funciones Crecientes y Decrecientes:
Intervalo F´(X) La Función
es
(-¥ ,1) - Decreciente
(-1,+ ¥ ) + Creciente