1. UNIVERSIDAD DE LA FRONTERA
Gu´ de Racionalizaci´n de Radicales
ıa o
Cuando tenemos fracciones con radicales en el denominador conviene obtener
fracciones equivalentes pero que no tengan radicales en el denominador. A este
proceso se le llama racionalizaci´n de radicales de los denominadores.
o
Hay varias razones para racionalizar, una de ellas es poder calcular m´s f´cilmente
a a
el m.c.m. de los denominadores en lasuma de fracciones algebraicas. Otra raz´n o
tiene que ver con la eliminaci´n de indeterminaciones en c´lculo.
o a
El procedimiento para racionalizar es diferente dependiendo del tipo de radical
o la forma que tenga la expresi´n que aparece en el denominador. Veamos tres de
o
los casos que se presentan:
1.- Si el denominador contiene un solo t´rmino formado por una sola
e
ra´ cuadrada. En este caso basta multiplicar numerador y
ız
denominador por la misma ra´ cuadrada.
ız
5
Por ejemplo si queremos racionalizar el denominador de la fracci´n
o √
2
,
√
multiplicaremos numerador y denominador por 2
√ √ √
5 5 2 5 2 5 2
√ =√ √ = √ =
2 2· 2 22 2
2.- Si el denominador de la fracci´n contiene dos t´minos (binomio) en
o r
uno de los cuales o en los dos hay una ra´ cuadrada, se multiplica
ız
numerador y denominador por el conjugado del denominador. O sea si
es una suma se multiplica por la resta, y viceversa.
7 √ √
Por ejemplo √ √ , multiplicamos numerador y denominador por 5 + 3
5− 3
√ √
7 7( 5 + 3)
√ √ = √ √ √ √
5− 3 ( 5 − 3)( 5 + 3)
En el denominador siempre va a aparecer un producto de una suma por una
diferencia, o sea una expresi´n del tipo (a + b)(a − b) = a2 − b2
o
1

2. √ √ √ √ √ √
7 7( 5 + 3) 7( 5 + 3) 7( 5 + 3)
√ √ = √ √ √ √ = √ √ =
5− 3 ( 5 − 3)( 5 + 3) ( 5)2 − ( 3)2 5−3
√ √
7( 5 + 3)
=
2
3.- Si el denominador s´lo tiene un t´rmino (monomio) con una ra´
o e ız
de ´ındice cualquiera, n, se multiplica numerador y denominador por
otra ra´ de ´
ız ındice n que complete una potencia de exponente n.
1 1 1
Por ejemplo √ Factorizamos el radicando del denominador: √ = √ , y
3 3 3 2
25 25 5
√3
√
como 53 = 5, vamos a multiplicar numerador y denominador por 3 5 para
completar la potencia de 5.
√
3
√3
√
3
1 1 5 5 5
√ = √ = √
3 3 2 3
√ = √ =
3 3 3
25 5 25 · 5 5 5
Ejercicios
3
1.- Para racionalizar la expresi´n √ basta nulyiplicar:
o 3
2
√
3
√
3
a) Ambos t´rminos por √ 2
e b) El denominador por √4
3 3
c) Ambos t´rminos por 4
e d) Ambos t´rminos por 23
e
1
2.- Al racionalizar la expresi´n √
o 3 √ basta multiplicar:
x+ 3y
√
a) Ambos t´rminos de la expresi´n por 3 x
e o
√ √
b) Ambos t´rminos de la expresi´n por 3 x − 3 y
e o
√
3 √
c) Ambos t´rminos de la expresi´n por x2 + 3 xy +
e o 3
y2
√
3 √
d) Ambos t´rminos de la expresi´n por x2 − 3 xy +
e o 3
y2
2

3. 3.- Racionalizar:
√ √
1 2 3+ 3 1 − 2 14
a) √ b) √ c) √ d) √ √
1+ 2 5−2 3−1 7+ 2
√ √ √
a − ab − 2b a − ab + 2b a2 − 3a b + 2b
e) √ √ f) √ √ g) √
a+ b a− b a−2 b
√ √ √ √ √
2a2 − 5a b + 2b 7+ 2 2 3+3 2
h) √ i) √ j) √
2a − b 9 + 2 14 5+2 6
√ √
y2 x2 1 + x2 − 1 − x2
k) l) √ m) √ √
x + x2 − y 2 x2 + a2 + a 1 + x2 + 1 − x2
√ √ √ √
2 a+b−3 a−b 9 + x2 − 3 2+2 3
n) √ √ o) √ p) √ √
2 a+b− a−b 9 + x2 + 3 1+ 2+ 3
3