numeros naturales

1. Bloque 1. Lenguaje algebraico
Tema 1. Los números naturales (factorización prima, m.c.m.) y
fraccionarios (operaciones básicas)
Manuel semanalmente ahorra una parte de su sueldo. Durante
1 1 11
tres semanas ahorro , y respectivamente. Si el sueldo de
2 5 60
Manuel es de 1500 pesos semanales, ¿cuánto dinero ahorro M
durante las tres semanas? A
T
E
Para determinar la cantidad de dinero que ahorró Manuel es M
1 1 11 Á
necesario realizar la suma de + + . Para hacer esto, se
2 5 60 T
I
tiene que determinar el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los
C
denominadores y realizar la suma como se aprendió en primer A
grado lo cual resultaría tedioso y tardado. S
Por tal motivo se lleva a cabo una técnica o procedimiento que
permite determinar de una forma sencilla y corta el m.c.m. de
dos o más números naturales. Para desarrollarla, es necesario
definir los conceptos de número primo, número compuesto y
factorización prima.
Factorización prima
Un número natural mayor que uno es un número primo si
solamente es divisible de manera exacta por la unidad y él
mismo. Se llama número compuesto a todo número natural no
primo, es decir, si se puede expresar como el producto de dos
números naturales menores que él.
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2. Los primeros números primos y compuestos son:
Números primos Números compuestos
2, 3, 5, 7, 11, 13, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26,
17, 19, 23, 29, 31, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 46,
37, 41, 43, 47, 53, 48, 49, 50, 51, 52, 54, 55, 56, 57, 58, 60, 62, 63, 64, 65,
59, 61, 67, 71, 73, 66, 68, 69, 70, 72, 74, 75, 76, 77, 78, 80, 81, 82, 84, 85,
79, 83, 89, 97. 86, 87, 88, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 98, 99, 100.
Los números 4 y 6 son números compuestos ya que se pueden expresar
como 2 x 2 y 3 x 2 respectivamente; en ambos casos estos números
son el resultado del producto de dos números primos. En cambio, el
número 8 es el producto de un número compuesto (4) y un número
primo (2), 4 x 2 = 8, pero el 4 es igual a 2 x 2, de tal manera que el
número 8 también se puede expresar como producto de números
3
primos como 2 x 2 x 2 ó 2 .
A la propiedad que tiene cualquier número natural de poder
expresarse como el producto de números primos se le llama
factorización prima, donde cada uno de los primos distintos recibe el
nombre de factor primo, por ejemplo:
9=3x3 10=5x2 12=3x4 14=7x2 15=5x3 16=2x2x2x2 18=2x9
9= 3 2 10=5x2 12= 3x2 2 14=7x2 15=5x3 16= 2 4 18= 2x3 2
Una forma sencilla para obtener la factorización
prima de un número es colocar una raya horizontal al
lado derecho del número y buscar un primo que lo
divida; el residuo se coloca debajo del número. Se
sigue el procedimiento hasta que el residuo sea uno.
36 = 2 × 2 × 3 × 3 = 22 × 32
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3. Una de las tantas aplicaciones de la descomposición prima es el
cálculo del m.c.m. de dos o más números naturales. Por ejemplo, para
encontrar el m.c.m. de 12, 40 y 42 se realizan los siguientes pasos:
Paso 1. Se lleva a cabo la descomposición prima de cada uno de los
números naturales.
2 3
12 = 3 × 4 = 3 × 2 40 = 5 × 8 = 5 × 2 42 = 6 × 7 = 2 × 3 × 7
M
Paso 2. Se toma cada primo que aparezca en al menos una A
T
3
descomposición y su mayor exponente. En este caso 2 , 3, 5 y 7 . E
M
Paso 3. Se multiplican los números calculados en el paso anterior y el Á
T
resultado es el m.c.m. de éstos. El m.c.m. de (12, 40, 42) es igual a 2 3 x I
3 x 5 x 7 = 840. C
A
S
Al hablar de fracciones, el cálculo del m.c.m. de los denominadores se
llama mínimo común denominador (m.c.d.) y se define como:
A continuación se describe un procedimiento que permite realizar la
suma o resta de fracciones de una forma sencilla.
Paso 1. Se calcula el m.c.d. de las El m.c.d. de 25 , 5 y 19 es 840,
fracciones. 12 40 42
ya que 840 es el m.c.m. de 12,
40 y 42.
Paso 2. Se divide el m.c.d. por cada Se obtiene 840 ÷ 12 = 70 ,
uno de los denominadores. 840 ÷ 40 = 21 y 840 ÷ 42 = 20
respectivamente.
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4. Paso 3. Se forman fracciones cuyos Las fracciones creadas son 70 ,
denominadores y numeradores sean 70
21 20
los números calculados en el paso y respectivamente.
21 20
anterior.
Paso 4. Se multiplica cada una de Las fracciones formadas
las fracciones del paso 3 por su son 25 x 70 = 1750 , 5 x 21 = 105 y
fracción original. 12 70 840 40 21 840
19 20 380
x = .
42 20 840
Paso 5. Se suman las fracciones 1750 + 105 + 380 = 1750 + 105 + 380 =
840 840 840 840
resultantes del paso 4.
2235
= .
840
El producto de fracciones tiene como resultado la 4 10 40
× =
fracción cuyo numerador es el producto de los 7 8 56
numeradores y como denominador el producto de los
denominadores.
La división de fracciones tiene como resultado la 1 8 5
÷ =
fracción cuyo numerador es igual al producto del 9 5 72
numerador de la primera y el denominador de la
segunda. Su denominador es el producto del
denominador de la primera y el numerador de la
segunda.
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