Este documento presenta conceptos básicos sobre los números naturales y sus operaciones. En 3 oraciones: 1) Explica que los números naturales surgieron de la necesidad de contar y ordenar objetos, y que el sistema decimal usa 10 cifras para representarlos. 2) Define conceptos como múltiplos, divisores, potenciación y raíz cuadrada. 3) Señala que el conteo y las combinatorias son útiles para organizar información y calcular resultados en diferentes situaciones como coser flores en un mantel o combinar pantalones y blusas.

1. Bloque 1. Operaciones con números naturales,
decimales y fraccionarios y expresiones algebraicas
Tema 1. Los números naturales y sus operaciones: potenciación,
múltiplos, conteo, divisores y criterios de divisibilidad
Los números naturales
En una entrevista de trabajo, a Octavio le pidieron algunos
datos como: fecha de nacimiento, edad, estatura, peso, M
domicilio, número telefónico, tiempo que laboró en el trabajo A
T
anterior, sueldo deseado, número de personas que dependían
E
de él, número de seguro social, etc. Octavio se dio cuenta de la M
cantidad de números que debe conocer y manejar respecto a Á
sus datos personales. T
I
C
¿En qué casos es necesario usar los números?, ¿en tu vida diaria A
cuándo utilizas las matemáticas? S
Los números surgieron, desde el hombre primitivo por
la necesidad que existe de contar y ordenar una
cierta cantidad de objetos.
El sistema de numeración que se usa en México es
decimal, esto quiere decir que su base es el número
10. Se utilizan diez cifras o guarismos para representar los
números:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
cero uno dos tres cuatro cinco seis siete ocho nueve
Con estas cifras se representa la infinidad de números naturales:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, … Un número natural
puede estar formado por una o varias cifras, por ejemplo el
número 4 903 está formado por 0, 3, 4 y 9.
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2. El sucesor de un número natural es antecesor sucesor
aquél que le sigue: del 5 sigue el 6, del
11 sigue el 12, etc. El antecesor de un 57 58 59 60 61
número natural es el que se encuentra
antes: del 5 está el 4, del 11 está el 10, del 10 000 está el 9 999,
etc.
Los números naturales tienen ciertas propiedades:
 Al comparar dos números naturales uno es menor que el
otro o son iguales, entonces siempre que se tenga un
conjunto de números naturales se puede ordenar.
 Cada número natural tiene un sucesor.
 Cada número natural tiene un antecesor, excepto el cero.
 Los números naturales son infinitos, es decir, nunca se
acabarán de nombrar: 0, 1, 2, 3, 4, 5,…, 1 000 000,….
En ocasiones a los números
naturales se les representa
por medio de una recta numérica. Ésta es una línea recta
donde se relacionan puntos y números. En ella se elige un punto
llamado origen, que representa al 0, los demás puntos se
colocan a la derecha en orden ascendente; la distancia entre
cada uno es igual.
Todas las cifras de un número tienen un valor absoluto y un valor
relativo:
- El valor absoluto de la cifra 7 en el número 378 indica la misma
cifra. 7
- El valor relativo de la cifra 7 en el número 378 depende de su
posición, en este caso representa 7 decenas. 70
En la lectura y escritura de un número se agrupan las cifras de
tres en tres de derecha a izquierda, por ejemplo: el número
100 503 408 se lee:
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3. Millones Millares Unidades cien millones, quinientos tres mil
100 503 408 cuatrocientos ocho
La notación desarrollada de un número es representar a éste
como la suma de los valores relativos de sus cifras. Por ejemplo:
la notación desarrollada de 2 974 es 2 000 + 900 + 70 + 4.
Operaciones básicas M
A
T
E
M
Á
T
I
C
A
S
En la vida diaria siempre se requiere resolver problemas donde
se utiliza la suma, la resta, la multiplicación y/o la división de
números naturales. Por ejemplo:
a) Paco quiere comprar un añillo que cuesta $287, lleva
ahorrado $136, ¿cuánto le falta? Se realiza la resta: 287 –
136 = 151, a Paco le faltan $151.
b) En una tienda de ropa compraron 50 pantalones a
$100 cada uno. El precio al público será de $132. ¿Cuál
será la ganancia? La ganancia por pantalón es de $32,
pues 132 – 100 = 32; en total, la ganancia de 50
pantalones es de $1 600 ya que 32 x 50 = 1 600.
Múltiplos y divisores
En la siguiente tabla se han multiplicado los números 4 y 5 por
algunos números naturales.
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4. Número natural ×0 ×1 ×2 ×3 ×4 ×5 ×6 ×7 ×8 ×9 ×10 ×11 …
4 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 …
5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 …
Un múltiplo de cierto número se obtiene multiplicándolo por un
número natural. Por ejemplo: 20 y 35 son múltiplos de 5 pues
5 × 4 = 20 y 5 × 7 = 35 . Todo número natural diferente de cero tiene
una infinidad de múltiplos.
El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más números es el
más pequeño de los múltiplos en común diferente de cero. En la
tabla anterior están marcados algunos múltiplos de 4 y 5 en
común: 0, 20 y 40. El mínimo común múltiplo de 4 y 5 es 20, pues
es el más pequeño diferente de cero.
Ernesto necesitaba guardar 6 víboras en varios costales en
partes iguales, se dio cuenta que con dos o tres costales sí
podría hacerlo, pero con cuatro costales no.
2 costales 3 costales 4 costales
En este caso quedan dos
víboras sin guardar.
En el ejemplo anterior se observa que al dividir 6 entre 2 ó 3 el
residuo es cero, sin embargo 6 entre 4 tiene residuo 2. Un divisor
de un número es aquél que al dividir el número se obtiene
residuo igual a cero.
¿El número 4 es divisor de 320?
El residuo es cero,
80
Para saberlo se realiza la división: 4 320 4 sí es divisor de
0 320.
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5. Los divisores de un número son menores o iguales que éste. Por
ejemplo los divisores de:
a) 6 son 1, 2, 3, 6 b) 12 son 1, 2, 3, 4, 6, 12 c) 22 son 1, 2, 11, 22.
Los criterios de divisibilidad son reglas para saber si un número
es divisible por otro sin necesidad de realizar la división.
Algunos de ellos son:
Ejemplos M
2 si termina en 0, 2, 4, 6 u 8. 14, 22, 90, 466, 7 898. A
T
3 si la suma de sus cifras es 75 (7 + 5 = 12),
E
Un múltiplo de 3. 2112 (2 + 1 + 1 + 2 = 6).
M
número 4 si sus dos últimas cifras 348 (48 es divisible por Á
es (decenas y unidades) son 4), 1 828 (28 es divisible T
divisible múltiplos de 4. por 4). I
por: C
5 si termina en 5 ó 0. 5, 35, 2 145, 40.
A
9 si la suma de sus cifras es 9, 495 (4 + 9 + 5 = 18),
S
múltiplo de 9. 945, 53 640.
10 si termina en 0. 20, 100, 2 340.
- Martha tiene $216, los cuales va a repartir entre sus cuatro
sobrinos, ¿a cada uno de ellos le tocará una cantidad exacta?
Sí, 216 es divisible por cuatro pues el número que se forma con
sus dos últimas cifras (16) es múltiplo de cuatro.
- El museo se inauguró hace ya 40 años, ¿es posible saber si
tiene una cantidad exacta de lustros?
Sí, 40 es múltiplo de cinco pues termina en cero.
Potenciación
Lorenzo tiene 12 cartones con 12 huevos cada uno. Para saber
cuántos huevos tenía en total multiplicó 12 x 12 y lo denotó por
122. El 2 pequeño es el exponente e indica el número de veces
que el 12 aparece como factor. Así que Lorenzo tiene 122 = 144
huevos.
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6. Elevar al cuadrado un número significa multiplicar el número por
sí mismo.
32 se puede representar
como un cuadrado de 3
unidades por lado.
La notación exponencial nos ayuda a abreviar un producto de
factores iguales, por ejemplo:
2 × 2 × 2 = 23 Base: número que se va
Se lee: dos a la tercera a multiplicar por sí
potencia o dos al cubo. mismo.
Exponente: indica el
número de veces que
se multiplica la base.
Jesús tiene un terreno cuadrado con 196 m2
de área, quiere saber cuánto mide de cada
lado. El terreno tiene todos sus lados iguales,
es por eso que se busca un número tal que al
multiplicarlo por sí mismo dé como resultado
196. Este número es 14 pues 142 = 196.
La raíz cuadrada de un número es la
operación inversa de elevar al cuadrado.
Por ejemplo, la raíz cuadrada de 81 es 9
pues 9 × 9 = 92 = 81, esto se denota:
Conteo
Se quieren coser flores en un mantel, se tienen que elegir hilos
de varios colores y hacer varias combinaciones. Acomodando
la información en una tabla se puede saber cuántas
combinaciones distintas existen.
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7. Color del centro de la flor
Amarillo Naranja Rojo
pétalos rojos, pétalos rojos, pétalos rojos,
Rojo
centro amarillo centro naranja centro rojo
los pétalos
Color de
pétalos pétalos
pétalos amarillos,
Amarillo amarillos, centro amarillos,
centro amarillo
naranja centro rojo
pétalos pétalos
pétalos naranjas,
Naranja naranjas, centro naranjas,
centro amarillo M
naranja centro rojo
A
T
En el ejemplo anterior existen nueve combinaciones diferentes. E
Otra forma de conocer las combinaciones posibles es hacer un M
diagrama de árbol, se le llama así porque tiene un tronco y Á
T
varias ramas para ordenar la información.
I
Por ejemplo: Angélica quiere comprar un pantalón y una blusa, C
hay tres diferentes colores de pantalones: café, negro y blanco. A
Los colores de blusas son: blanco y rosa. ¿De cuántas maneras S
distintas puede elegir los pantalones y la blusa?
Pantalón: Blusa:
Combinaciones:
Blanca
pantalón café y blusa blanca
Café
Rosa pantalón café y blusa rosa
Blanca pantalón negro y blusa blanca
Negro
Rosa pantalón negro y blusa rosa
Blanca pantalón blanco y blusa blanca
Blanco
Rosa pantalón blanco y blusa rosa
Existen seis formas diferentes de combinar tres pantalones de
distinto color y dos blusas de distinto color.
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8. En ciertas situaciones, existen otras formas para hacer conteos
fácilmente, en este tipo de conteo se aplica la técnica de la
multiplicación:
En primer lugar, Angélica
puede escoger un pantalón 3 x 2 = 6
de tres diferentes colores,
después podrá escoger una colores de colores de
blusa de dos colores distintos. pantalones blusas
Podrá escoger 3 × 2 = 6 diferentes diferentes
combinaciones diferentes.
Don Juan tiene cuatro parcelas, va a sembrar
fríjol, calabaza, ajo y chile. Sólo puede sembrar
una especie por parcela, ¿cuántas
combinaciones diferentes podrá hacer?
- En la parcela uno se tienen 4 especies diferentes para
sembrar.
- Sólo le quedan 3 especies diferentes para la segunda
parcela, pues ya eligió una y no se puede repetir.
- La tercera especie, para la parcela tres, se escoge de 2
maneras diferentes.
- La cuarta especie, para la parcela cuatro, se escoge de una
manera.
Si hay m formas de hacer una cosa y hay n formas de hacer
otra cosa, hay m x n formas de hacer ambas cosas.
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