2. Expresiones Algebraicas.
Creemos conveniente realizar un corto repazo por las definiciones básicas del
Algebra, así pobremos afianzar e internalizar de manera eficiente los Objetivos fijados,
en pos de nuestra Meta.
POLINOMIO.
Un polinomio de grado n en la variable x, es de la forma:
Donde: an, an-1, an-2, … a2, a1, a0 y an ≠ 0 se les llama Coeficientes del
Polinomio y n es un número entero no negativo.
El Dominio de un Polinomio son todos los números reales. Cada
término de un polinomio en una variable es de la forma axn y tiene
grado n.
Cada término de un polinomio en dos variables, es de la forma
axn ym con n y m enteros no negativos y tiene grado n + m. Cada
término de un polinomio en tres o más variables se define en
forma similar.
3. Expresiones Algebraicas.
Ejemplos:
Las siguientes expresiones algebraicas, son polinomios:
• 0, 7 u otro son polinomios que no tienen grado.
• 3x es un polinomio de grado 1.
• 3x2
-2x+5 es un polinomio de grado 2.
• √3x3+1 es un polinomio de grado 3.
También se observa que todos los exponentes son números enteros no negativos.
Las siguientes expresiones algebraicas NO son polinomios:
• √5x = √5 √x = √5 x½
, NO es un polinomio, porque el exponente de la variable x no
es un número natural.
• 6x5
– 2x3
+ √2x-1
, NO es polinomio, porque la variable x en uno de los términos
tiene un exponente negativo.
• x¼
- 7x +1, NO es polinomio, porque la variable x en uno de los términos tiene un
exponente racional no entero.
• √x2
– 7x + 1, NO es un polinomio, porque la expresión x2
– 7x + 1 (aunque es un
polinomio) está afectada completamente por una raíz cuadrada.
4. Expresiones Algebraicas.
Polinomio.
Definición: Es una Expresión Algebraica Entera compuesta por la suma o resta de
monomios. Ejemplo:
3ax3
+ 2bx2
- 5x + 8
Llamamos:
• Binomio: a la suma o resta de 2 monomios. Ejemplo: (3a3
b2
c) – (3x2
y3).
• Trinomio: a la suma o resta de 3 monomios. Ejemplo: (3a3
b2
c) – (3x2
y3
) + (4a x5).
• Cuadrinomio: a la suma o resta de 4 monomios. Ejemplo: 3ax3 + 2bx2 - 5x + 8.
El resto de los polinomios se los denomina según el número de monomios que tengan de la
siguiente manera, Ej. si el polinomio tuviera 6 monomios, podríamos llamarlo Polinomio de
06 Términos.
SUMA DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS.
Para sumar dos o más expresiones algebraicas con uno o más
términos, se deben reunir todos los términos semejantes que
existan, en uno sólo. Se puede aplicar la propiedad distributiva de
la multiplicación con respecto de la suma.
5. Expresiones Algebraicas.
RESTA DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS.
La resta de polinomios consiste en sumar al minuendo el opuesto del sustraendo.
P(x) − Q(x) = (2x3
+ 5x - 3) − (2x3
- 3x2
+ 4x)
P(x) − Q(x) = 2x3
+ 5x - 3 − 2x3
+ 3x2
− 4x
P(x) − Q(x) = 2x3
− 2x3
+ 3x2
+ 5x − 4x - 3
P(x) − Q(x) = 3x2
+ x - 3
La diferencia de dos polinomios se obtiene al cambiar el signo de los elementos del
sustraendo y después sumar algebraicamente todos los términos. Por ejemplo:
Restar x2
+5x-3y2
a 3x2
-8x+4xy-5y2
3x2
-8x+4xy-5y2
-(x2
+5x-3y2
)
Al cambiar el signo a todos los elementos de x2
+5x-3y2
aplicando la ley de los signos, se
continúa con una suma algebraica
3x2
-8x+4xy-5y2
-x2
-5x+3y2
2x2
-13x+4xy-2y2
6. Expresiones Algebraicas.
Resta de Polinomios en forma vertical.
Tomando el ejemplo anterior, 3x2-8x+4xy-5y2 - (x2+5x-3y2), antes de comenzar con la resta
en la segunda expresión se debe de aplicar la ley de los signos:
- (x2
+5x-3y2
)
Por lo que la expresión quedaría asi:
-x2
-5x+3y2
Ahora se deben de separar los términos semejantes e ir colocándolos cada expresión
algebraica en una fila y se hace una suma columna por columna, ejemplo:
3x2
-8x +4xy -5y2
-x2
-5x +3y2
___________________
2x2
-13x +4xy -2y2
7. Expresiones Algebraicas.
MULTIPLICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS.
Para multiplicar y dividir expresiones algebraicas se utilizan las leyes de los signos para
todos las multiplicaciones y divisiones, las leyes de los exponentes para las
multiplicaciones y divisiones con la misma base, y las propiedades de los exponentes para
las operaciones con bases distintas.
Leyes de los Signos.
• Signos iguales, el resultado es positivo.
• Signos diferentes, el resultado es negativo.
8. Expresiones Algebraicas.
Leyes y Propiedades de los Exponentes y los Radicales.
Multiplicación de Expresiones Algebraicas.
Monomio por Monomio:
Se multiplica cada elemento del monomio por su par del otro monomio, es decir;
Coeficiente x coeficiente, misma base por misma base.
(-4x2
y3
) (-2x4
y5
) = 8x2
+4y3
+5 = 8x6
y8
9. Expresiones Algebraicas.
Monomio por Polinomio:
Se multiplica el monomio por cada uno de los términos del polinomio.
3x (4x + 7y) = 12x2
+21xy
5b (2a + 3b) = 10ab + 15b2
Polinomio por Polinomio:
Se multiplica cada uno de los términos del primer polinomio por cada uno de los términos
del segundo polinomio.
(x2
+ 3xy)(5y + 4x -5) = x2
(5y + 4x -5) + 3xy (5y + 4x -5)
= 5x2
y + 4x3
-5x2
+15xy2
+ 12x2
y – 15xy
= 4x3
+ 17x2
y -5x2
+15xy2
– 15xy
|
|
10. Expresiones Algebraicas.
DIVISIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS.
Monomio Entre Monomio:
Se divide cada uno de los elementos del primer monomio entre cada uno de los elementos
del segundo monomio.
-18x3
y5z2
9x2
y3z2
Ejemplos:
21a5
b-2
+ 14a2
b3
-7ab
7ab
= 3a4
b-3
+ 2ab2
-1
= -2x3-2
y5-3
z2-2
= -2xy2
z0
= -2xy2
21a5b-2
7ab
14a2b3
7ab
7ab
7ab
= + -
11. Expresiones Algebraicas.
PRODUCTOS NOTABLES DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS.
Los Productos Notables son patrones algebraicos que nos permiten reconocer estas
expresiones de manera más sencilla y trabajar con ellas de manera más ágil. Tienen
aplicaciones en diversos campos, desde la factorización de ecuaciones hasta la
simplificación de fórmulas.
13. Expresiones Algebraicas.
FACTORIZACIÓN POR PRODUCTOS NOTABLES.
Es el proceso algebraico por medio del cual se transforma una suma o resta de términos
algebraicos en un producto algebraico. Los términos de factorización, simplificación y
productos notables, están estrechamente relacionados entre si.
• Factorización de diferencias de cuadrados con distinto signo:
(x2
+ y2
) = (x – y)(x + y) / 2x2
+ 3y2
= (2x - 3y)(2x + 3y)
• Factorización de diferencias o sumas de términos al cubo:
(x3
+ y3
) = (x + y)(x2
– xy + y2
) / 2x3
+ 3y3
= (2x + 3y)(x2 – 2x3y + y2)
(x3
- y3
) = (x - y)(x2
+ xy + y2
)
• Factorización de ecuación de segundo grado ó desarrollo de producto de dos
binomios:
x2
+ (a + b)x + ab = (x + a)(x + b) / 2x2
+(4 +8)x + 4.8 = 2x2
+ 12x + 32
abx2
+ (ad + cb)x + cd = (ax + c)(bx + d)
abx2
+ (ad + cb)xy + cdy2
= (ax + c)(bx + dy
