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Eleazar Madariaga - UTFSM
Universidad Técnica Federico Santa María
Departamento de Matemática
Matemática I (Mat-021)
Problemas Resueltos
Teorema del Binomio (Binomio de Newton)
eleazar.madariaga@alumnos.usm.cl
_____________________________________________________________________________
Dificultad:
: Simple
: Intermedio
: Desafiante
: Nivel Certamen UTFSM
__________________________________
Problema nº 1:
Blaise Pascal dio la siguiente definición
Sea ݊ א ܰ se define el número ݊ sobre ݇ como:
ቀ
݊
݇
ቁ ൌ
݊!
ሺ݊ െ ݇ሻ! · ݇!
Para: ݇ ൌ 0,1,2,3, ڮ , ݊. y ݊ ݇
Utilizando la definición anterior y la conversión 0! ൌ 1, compruebe los
siguientes resultados.
a) ൫
൯ ൌ 1 ൌ ൫
൯
b) ൫
ି
൯ ൌ ൫
൯
c) ൫
ିଵ
൯ ൫
൯ ൌ ൫ାଵ
൯
d) ݇൫
൯ ൌ ݊൫ିଵ
ିଵ
൯
e) ݇ଶ
൫
൯ ൌ ݊൫ିଵ
ିଵ
൯ ݊ሺ݊ െ 1ሻ൫ିଶ
ିଶ
൯
2. Teorema del Binomio/ Mat-021 Página 2
Eleazar Madariaga - UTFSM
Solución:
a)
ቀ
݊
0
ቁ ൌ
݊!
ሺ݊ െ 0ሻ! · 0!
ൌ
݊!
݊! · 0!
ൌ
݊!
݊!
ൌ 1
ቀ
݊
݊
ቁ ൌ
݊!
ሺ݊ െ ݊ሻ! · ݊!
ൌ
݊!
0! · ݊!
ൌ
݊!
݊!
ൌ 1
b)
ቀ
݊
݊ െ ݇
ቁ ൌ
݊!
൫݊ െ ሺ݊ െ ݇ሻ൯! · ሺ݊ െ ݇ሻ!
ൌ
݊!
݇! · ሺ݊ െ ݇ሻ!
ൌ ቀ
݊
݇
ቁ
c)
ቀ
݊
݇ െ 1
ቁ ቀ
݊
݇
ቁ ൌ
݊!
൫݊ െ ሺ݇ െ 1ሻ൯! · ሺ݇ െ 1ሻ!
݊!
ሺ݊ െ ݇ሻ! · ݇!
ൌ
݊!
ሺ݊ െ ݇ 1ሻሺ݊ െ ݇ሻ! · ሺ݇ െ 1ሻ!
݊!
ሺ݊ െ ݇ሻ! · ݇ሺ݇ െ 1ሻ!
ൌ
݊! ݇
ሺ݊ െ ݇ 1ሻሺ݊ െ ݇ሻ! · ݇ሺ݇ െ 1ሻ!
݊! ሺ݊ െ ݇ 1ሻ
ሺ݊ െ ݇ 1ሻሺ݊ െ ݇ሻ! · ݇ሺ݇ െ 1ሻ!
ൌ
݇݊! ሺ݊ െ ݇ 1ሻ݊!
ሺ݊ െ ݇ 1ሻሺ݊ െ ݇ሻ! · ݇ሺ݇ െ 1ሻ!
ൌ
݊! ሺ݇ ݊ െ ݇ 1ሻ
ሺ݊ െ ݇ 1ሻሺ݊ െ ݇ሻ! · ݇ሺ݇ െ 1ሻ!
ൌ
ሺ݊ 1ሻ݊!
ሺ݊ െ ݇ 1ሻሺ݊ െ ݇ሻ! · ݇ሺ݇ െ 1ሻ!
ൌ
ሺ݊ 1ሻ!
ሺ݊ 1 െ ݇ሻ! ݇!
ൌ ൬
݊ 1
݇
൰
d)
݇ ቀ
݊
݇
ቁ ൌ ݇ ·
݊!
ሺ݊ െ ݇ሻ! · ݇!
ൌ ݇
݊ሺ݊ െ 1ሻ!
ሺ݊ െ ݇ሻ! ݇ሺ݇ െ 1ሻ!
ൌ ݊
ሺ݊ െ 1ሻ!
ሺ݊ െ ݇ሻ! ሺ݇ െ 1ሻ!
ൌ ݊
ሺ݊ െ 1ሻ!
ሺ݊ െ ݇ 1 െ 1ሻ! ሺ݇ െ 1ሻ!
3. Teorema del Binomio/ Mat-021 Página 3
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ൌ ݊
ሺ݊ െ 1ሻ!
ሺ݊ െ 1 െ ሺ݇ െ 1ሻሻ! ሺ݇ െ 1ሻ!
ൌ ݊ ൬
݊ െ 1
݇ െ 1
൰
e)
݇ଶ
ቀ
݊
݇
ቁ ൌ ݊ ൬
݊ െ 1
݇ െ 1
൰
ᇣᇧᇧᇤᇧᇧᇥ
൫
ೖ൯
݊ሺ݊ െ 1ሻ ൬
݊ െ 2
݇ െ 2
൰
ൌ ݇ ቀ
݊
݇
ቁ ݊ሺ݊ െ 1ሻ
ሺ݊ െ 2ሻ!
ሺ݊ െ ݇ሻ! ሺ݇ െ 2ሻ!
Notemos que ሺ݇ െ 2ሻ! ൌ
!
ሺିଵሻ
y ݊! ൌ ݊ሺ݊ െ 1ሻሺ݊ െ 2ሻ!
ൌ ݇ ቀ
݊
݇
ቁ
݊! ݇ሺ݇ െ 1ሻ
ሺ݊ െ ݇ሻ! ݇!
ൌ ݇ ቀ
݊
݇
ቁ ݇ሺ݇ െ 1ሻ
݊!
ሺ݊ െ ݇ሻ! ݇!
ൌ ݇ ቀ
݊
݇
ቁ ݇ሺ݇ െ 1ሻ ቀ
݊
݇
ቁ
ൌ ቀ
݊
݇
ቁ ሾ݇ ݇ሺ݇ െ 1ሻሿ
ൌ ݇ଶ
ቀ
݊
݇
ቁ
Problema nº 2:
Hallar el termino independiente de ݔ en el desarrollo de ሺ2ݔଶ
െ
ଵ
௫
ሻଵଶ
Solución:
ሺ2ݔଶ
െ
1
ݔ
ሻଵଶ
ൌ ൬
12
݇
൰
ଵଶ
ୀ
ሺ2ݔଶ
ሻଵଶି
ሺെ
1
ݔ
ሻ
ൌ ሺെ1ሻ
൬
12
݇
൰
ଵଶ
ୀ
2ଵଶି
ݔଶସିଷ
Para que se cumpla la condición de independencia, debe tenerse que
4. Teorema del Binomio/ Mat-021 Página 4
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24 െ 3݇ ൌ 0 ֜ ݇ ൌ 8
Así, el término independiente es
ሺെ1ሻ଼
൬
12
8
൰ 2ଵଶି଼
ൌ ൬
12
8
൰ 2ସ
ൌ 7920
Problema nº 3:
Hallar el mayor coeficiente numérico de ሺ1 5ݔሻଶଷ
Solución:
ሺ1 5ݔሻଶଷ
ൌ ൬
23
݇
൰
ଶଷ
ୀ
ሺ5ݔሻ
ൌ ൬
23
݇
൰
ଶଷ
ୀ
5
ݔ
Para encontrar el mayor coeficiente numérico debemos resolver la siguiente
inecuación
൬
23
݇
൰ 5
൬
23
݇ െ 1
൰ 5ିଵ
23!
ሺ23 െ ݇ሻ! ݇!
5
23!
ሺ23 െ ݇ 1ሻ! ሺ݇ െ 1ሻ!
5ିଵ
1
ሺ23 െ ݇ሻ! ݇ሺ݇ െ 1ሻ!
1
5ሺ23 െ ݇ 1ሻሺ23 െ ݇ሻ! ሺ݇ െ 1ሻ!
1
݇
1
5ሺ24 െ ݇ሻ
Como los denominadores son positivos no tendremos problema para
multiplicar cruzado
120 െ 5݇ ݇ ֜ ݇ ൏ 20
Entonces ݇ tomara los valores ݇ ൌ 0,1,2,3,4, ڮ ,19; de acuerdo con esto el
mayor coeficiente se obtendrá si tomamos ݇ ൌ 19, es decir:
5. Teorema del Binomio/ Mat-021 Página 5
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൬
23
19
൰ 5ଵଽ
Problema nº 4:
¿Existirán 2 términos consecutivos con coeficientes iguales en el desarrollo
de ሺ3ݔ 2ሻଵଽ
?
Solución:
ሺ3ݔ 2ሻଵଽ
ൌ ൬
19
݇
൰
ଵଽ
ୀ
ሺ3ݔሻଵଽି
2
ൌ ൬
19
݇
൰
ଵଽ
ୀ
3ଵଽି
2
ݔଵଽି
Para encontrar los dos términos consecutivos debemos resolver la siguiente
ecuación
൬
19
݇
൰ 3ଵଽି
2
ൌ ൬
19
݇ െ 1
൰ 3ଵଽିሺିଵሻ
2ିଵ
19!
ሺ19 െ ݇ሻ! ݇!
3ଵଽି
2
ൌ
19!
ሺ19 െ ݇ 1ሻ! ሺ݇ െ 1ሻ!
3ଶି
2ିଵ
1
ሺ19 െ ݇ሻ! ݇ሺ݇ െ 1ሻ!
ൌ
3
2ሺ19 െ ݇ 1ሻሺ19 െ ݇ሻ! ሺ݇ െ 1ሻ!
1
݇
ൌ
3
2ሺ20 െ ݇ሻ
݇ ൌ 8
Por lo tanto lo dos términos consecutivos con coeficientes iguales son
൬
19
7
൰ 3ଵଶ
2
ൌ ൬
19
8
൰ 3ଵଵ
2଼
Problema nº 5:
Use el Teorema del Binomio para probar que ݊ א ܰ
൬1
1
݊
൰
2
Solución:
6. Teorema del Binomio/ Mat-021 Página 6
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Del Teorema del Binomio se tiene
൬1
1
݊
൰
ൌ ቀ
݊
݇
ቁ ൬
1
݊
൰
ୀ
Desarrollando la suma queda
ቀ
݊
0
ቁ ൬
1
݊
൰
ቀ
݊
1
ቁ ൬
1
݊
൰
ଵ
ቀ
݊
݇
ቁ ൬
1
݊
൰
ୀଶ
ൌ 1 1 ቀ
݊
݇
ቁ ൬
1
݊
൰
ୀଶ
Por lo tanto se puede concluir que
ൌ 2 ቀ
݊
݇
ቁ ൬
1
݊
൰
ୀଶ
2
