1. Medición de semi - ancho de enfoque de
un haz gaussiano en una lente delgada
positiva.
Fuentes Castillo Héctor Alberto, Instituto
Politécnico Nacional - Unidad Profesional
Interdisciplinaria en Ingeniería y
Tecnología Avanzadas,
fuenteshect@gmail.com. Asesor: Dr.
Moisés Cywiak Garbarcewicz,
moi@cio.mx.
Introducción
A lo largo de la historia la óptica ha sufrido
varias transformaciones y cambios en el
enfoque con que se han modelado los
fenómenos de esta ciencia. Dentro de estas
aproximaciones que se han dado podemos
listar: la óptica geométrica o de rayos, la
óptica ondulatoria, la óptica
electromagnética y la óptica cuántica.
Estos paradigmas dentro de la óptica se han
desarrollado históricamente de modo que
cada una fue englobando a la anterior
incorporando nuevos elementos que
permiten modelar fenómenos que no
podían ser atacados con ayuda del
paradigma anterior.
Dentro de las aproximaciones en el estudio
de la óptica existe la denominada óptica
geométrica u óptica de rayos.
En el contexto de la óptica geométrica el
elemento óptico refractivo fundamental
más simple es la lente delgada. Una lente
delgada está constituida por dos superficies
esféricas refractoras con radios que pueden
o no ser iguales. Están fabricadas en vidrio
óptico caracterizado con cierto índice de
refracción n y con una separación nula entre
las superficies refractoras.
Cuando una lente delgada con índice de
refracción n está rodeada de aire (índice de
refracción N≈1) la longitud focal f está dada
por:
1
𝑓
= (𝑛 − 1) (
1
𝑟1
−
1
𝑟2
) (1)
Donde n es el índice de refracción del vidrio
óptico y 𝑟1 y 𝑟2 son los radios de curvatura
de las superficies, esta expresión, debida a
Gauss (matemático alemán del siglo XIX), en
ocasiones se denomina ecuación del
fabricante de lentes.
Fig. 1. Lente delgada positiva biconvexa
Es importante notar que los radios de
curvatura de las superficies refringentes se
originan sobre el eje óptico, es decir las
superficies esféricas son simétricas respecto
al eje óptico. Otro aspecto relevante es el
hecho de que el fenómeno de refracción
solo se presenta cuando el índice de
refracción del medio circundante difiere al
índice de refracción del medio que define la
lente.
El análisis realizado sobre lentes delgadas
se auxilia de aproximaciones que requieren,
para simplificar, restringir el valor de los
ángulos de manera que sean pequeños
respecto al eje óptico, en cuyo caso se dice
que el sistema opera bajo las condiciones de
Gauss o de la teoría paraxial de rayos. En
general el criterio empleado para que un
ángulo ∅ sea considerado pequeño es que
∅ ≤ 5° y por lo tanto podemos pensar por
ejemplo que: sin(∅) ≈ ∅. Bajo las
condiciones anteriores se deduce la
ecuación (1) del fabricante de lentes.
Las lentes delgadas agrupan una gran
variedad de lentes

2. Fig.2 Variedades de lentes
Para el presente trabajo únicamente las
lentes positivas resultan relevantes. Ahora
bien el modelo descrito anterior toma en
cuenta lentes ideales como la mostrada en
la fig. 3 es decir donde la lente es lo
suficientemente grande para evitar el paso
de rayos cerca de los límites y con ello se
evita el fenómeno de aberración (cromática
por ejemplo en el caso de la luz blanca).
Fig.3 Lente plano convexa con el trazo de
rayos paraxiales.
Sin embargo las lentes dejan de tener este
comportamiento ideal cuando la apertura
del haz de luz incidente es cercano al
diámetro de la lente como se observa en la
fig. 4, puesto que los rayos dejan de tener
un único punto en común por donde pasan
todos.
Cuando la apertura del haz es mayor las
lentes comienzan presentar distintos
fenómenos que se agrupan dentro de la
óptica geométrica bajo el nombre de
aberraciones.
Como ya hemos mencionado la
aproximación paraxial primeramente
aproxima valores de funciones tangentes a
funciones seno y de ahí se asume una
segunda aproximación ya que cuando los
ángulos son pequeños podemos considerar
directamente el valor del ángulo. Las
aberraciones monocromáticas más
importantes son las que se deben al
segundo término del desarrollo en serie de
Taylor del seno, y se denominan
aberraciones de tercer orden o de Seidel.
Estas son:
 Aberración esférica
 Coma
 Astigmatismo
 Curvatura de campo
 Distorsión
Aberración esférica
Si colocamos un plano perpendicular al eje
óptico y lo movemos a lo largo de esta línea
de aberración esférica lateral, no
encontraremos en ningún punto la imagen
del punto, sino manchas de tamaño finito.
Al tamaño de la mancha en el foco paraxial
lo llamamos aberración esférica transversal.
Fig4. Distintos imágenes obtenidas en
frente al foco, en el círculo de mínima
confusión y en distancias mayores al plano
focal.
Es decir el foco deja de ser un punto y se
convierte en una región donde se logra

3. diámetros pequeños del haz, pero sin ser
cabalmente el foco.
Fig.4 Un haz de luz colimado incidente con
diámetro similar al de la lente.
A continuación se incluyen gráficos que
ejemplifican este fenómeno.
Fig.5 Distintas imágenes obtenidas en la
vecindad del circulo de mínima confusión.
Enfoque de la óptica ondulatoria
Otra forma de revisar los fenómenos
ópticos es mediante la óptica ondulatoria.
Donde la luz es vista como una onda escalar
que se propaga en el espacio, caracterizada
por su longitud de onda. Existen
principalmente tres tipos de onda
considerados: las ondas de frente plano, de
frente paraboloide y de frente esférico.
Las ondas de frente de onda paraboloide
son obtenidas a través de la aproximación
paraxial de Fresnel y permite facilitar la
manipulación.
Bajo la óptica ondulatoria las ondas
escalares cumplen el principio de
superposición la función de ondas total es la
suma de las funciones de onda de las ondas
implicadas. Este fenómeno se denomina
interferencia y las ondas involucradas se
denominan ondas interferentes.
Si las ondas interferentes son
monocromáticas y tienen la misma
frecuencia, también se cumple el principio
de superposición para la función de ondas
compleja. Sin embargo la intensidad de las
ondas no cumple con el principio de
superposición.
Marco teórico
La intensidad del haz gaussiano viene dado
por:
𝐼(𝑥, 𝑦) =
2𝑃0
𝜋𝑟0
2
𝑒
−2(
𝑥2+𝑦2
𝑟0
2 )
(2)
De (2) podemos deducir una expresión
después de la integración de la siguiente
forma:
𝑃𝐷 = ∫ ∫ 𝐼(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦
∞
𝑥0
∞
−∞
(3)
Donde 𝑃 𝐷 es la potencia detectada por el
fotodiodo al sustituir e integrar
primeramente sobre y posteriormente
sobre x podemos obtener auxiliándonos de
la definición de la función error
complementario:
𝑒𝑟𝑓𝑐(𝑥) =
2
√ 𝜋
∫ 𝑒−𝑡2
𝑑𝑡
∞
𝑥
(4)
Podemos obtener de (3) la siguiente
expresión para la potencia detectada en
este primer experimento:

4. 𝑃𝐷 =
𝑃0
2
𝑒𝑟𝑓𝑐 (
√2
𝑟0
𝑥0) (5)
Donde 𝑃0 es la potencia nominal del láser
fuente, y 𝑟0 es el semiancho del haz
obtenido a la salida del láser.
Sin embargo también podemos obtener de
(3) una expresión válida para x si derivamos
la potencia detectada con respecto a x, con
lo que obtendríamos únicamente la
intensidad en función de uno de los ejes es
decir que:
𝐼(𝑥) =
√2𝑃0
√ 𝜋𝑟0
𝑒
−
2𝑥2
𝑟0
2
(6)
La expresión en (6) nos modela el perfil en
intensidad del haz gaussiano, donde 𝑟0 es el
semiancho de dicho haz gaussiano.
Ahora una vez que tenemos descrito el
perfil del haz obtenido del láser podemos
emplear esta caracterización para poder
modelar la propagación de este a través de
una lente positiva donde podemos obtener
una función para describir el
comportamiento del semiancho del haz en
distintas regiones por las que se propaga el
haz.
La primera región de interés es aquella a la
salida del láser hasta su propagación a la
lente positiva, el modelo que describe esta
región es el siguiente:
(7)
Posteriormente tenemos la región posterior
a la lente y es ahí donde tenemos un valor
mínimo sobre el plano de enfoque a
distintas distancias 𝑧1.
(8)
Donde
𝑓 es la distancia focal, λ es la longitud de onda
y 𝑅1 es una variable auxiliar e igual a:
(9)
Ahora una vez que contamos con un modelo
matemático que describe el
comportamiento del semiancho 𝑟2 para
cualquier valor de las variables 𝑧1 y 𝑧2, al
derivar e igualar a cero para obtener el valor
mínimo de esta función se obtiene la
siguiente expresión para el semiancho
mínimo a distintas distancias de
propagación.
(10)
𝑧2 =
1
𝑅1
−
1
𝑓
2
𝑓𝑅1
−
1
𝑓2 −
1
𝑅1
2 −
𝜆2
𝜋2 ∙ 𝑟1
4
𝑧2𝑧1
𝑟1
𝑟2𝑟2
Fig. 6 Disposición de elementos y
variables de interés

5. Ahora en base a las expresiones anteriores
es posible obtener graficas del
comportamiento de las variables en
distintas regiones de interés.
En la fig. 7 mostramos los valores de
simulación para una lente de distancia focal
de 2.5 cm, la primera gráfica se refiere al
comportamiento del semiancho del haz
incidente antes de llegar a la lente.
La función que hemos obtenido
anteriormente nos permite hallar el
semiancho más pequeño posible (mejor
enfoque) en función de la distancia de la
propagada antes de llegar a la lente.
La fig. 8 Muestra que conforme se
incrementa la distancia de propagación
nuestro semiancho de enfoque se reducirá
sin embargo para lograrlo se requiere
también variar la distancia a la que se da
este mejor enfoque, es decir la lente ya no
enfocara en la distancia focal sí que lo hará
en oro valor, para cada valor de la distancia
de propagación ahora mostramos la
distancia de mejor enfoque que se simulo
para la lente descrita.
El siguiente paso, descrito en la siguiente
sección, fue mostrar el fenómeno de forma
experimental empleando una lente sencilla
esférica de distancia focal de 2.5 cm.
Planteamiento experimental
Con el objetivo de mostrar
experimentalmente el fenómeno, se
comenzó la montura de una configuración
que nos permitiese medir con precisión el
semiancho de un haz gaussiano.
La configuración consistió de un láser de 5
mW con longitud de onda 𝜆 = 632 𝑛𝑚,
esta es una fuente gaussiana con una haz de
semiancho inicial de 0.7 mm, este haz fue
enfocado por una lente positiva sencilla de
distancia focal de fabricación de 2.5 cm,
posteriormente se utilizó una navaja
colocada en un plano perpendicular del eje
óptico, la navaja se empleó para interferir el
haz proveniente de la lente; y para poder
hacer un posicionamiento adecuado de
esta, se empleó un tornillo micrométrico de
movimiento mínimo de 12.5𝜇𝑚, cuyo eje
de libertad es paralelo al eje óptico del

6. arreglo descrito antes, sobre el cual se
montó un servomotor nano-métrico con
plataforma, el cual es controlado mediante
un ordenador con una interfaz serial,
mediante este dispositivo contamos con
suficiente precisión para poder medir el haz
en distintos planos imagen, posteriormente
sobre la plataforma del servomotor se
colocó otro tornillo micrométrico este con
una resolución de 10 𝜇𝑚 y siguiendo la
filosofia de contar con dos mecanismos de
ajuste en ambos ejes de libertad, se utilizó
un nano posicionador piezoeléctrico con
resolución de 0.2𝑛𝑚, él cual es controlado
mediante una señal de voltaje y sobre el
cual finalmente se colocó la navaja.
Para realizar las mediciones primeramente
nos posicionamos en cierto plano y
podíamos mediante el piezoeléctrico
desplazarnos de modo que interfiriéramos
el haz, para conocer realmente si la navaja
interfería y tomar las mediciones se utilizó
un fotodiodo en la parte posterior de la
navaja. El fotodiodo tiene una respuesta en
voltaje que nos permite calcular la potencia
total que incide sobre todo el fotodiodo.
Finalmente para las mediciones
preliminares que se hicieron al interferir el
haz y realizar una medición del voltaje
obtenido en el fotodiodo se obtiene la
potencia del haz gaussiano con lo que es
posible estimar su semiancho.
Después de las mediciones preliminares el
sistema fue integrando más complejidad
pues se cambió la técnica de medición,
ahora la navaja seguía desplazándose pero
mientras lo hace esta va oscilando, esto se
logra mediante al sumar una señal senoidal
a la señal de voltaje de control del nano
posicionador piezoeléctrico sobre el que
está montada la navaja. Ahora en el
fotodiodo se recibe una señal con una
componente de DC grande y otra
componentes más pequeña de la misma
frecuencia a la que oscila la navaja, esta
señal es filtrada y amplificada antes de ser
procesada por un DSP, el cual finalmente
envía la información de la amplitud de esta
componente al equipo de cómputo, donde
un programa recibe los datos los grafica de
forma preliminar y también los almacena
para procesamiento posterior, así también
el programa en ejecución permite
especificar la cantidad de muestras del haz
que se harán y se encarga de enviar la señal
que desplaza a los dos nano posicionadores,
tanto al piezoeléctrico como al servomotor.
En la fig. 10 se muestra un diagrama general
del sistema.
Láser
Piezo
Servomotor
Amplificador
DSP
PC
+
Fig.10

7. Resultados experimentales
Posteriormente a que se contó con todo el
equipo y se alinearon lo elementos, se
realizaron mediciones con distancias de
propagación distintas buscando en ambos
casos el mejor enfoque y una vez hallado se
estimó su semiancho, sin embargo
mediante inspección es posible discriminar
el semiancho menor en la fig., 11 se
muestran dos de las varias mediciones
relevantes y se incluye también la medición
de una rejilla de 300 líneas por milímetro.
De los resultados obtenidos se pudo
comprobar que el enfoque en efecto mejora
sin embargo como se mencionó en un inicio
al propagar más el haz este tiene una
apertura mayor con la cual, la lente, puede
llegar a producir aberraciones, sin embargo
en este caso fue posible mejorar
significativamente el enfoque logrado en el
plano focal. El semiancho del haz fue
reducido a la mitad una vez propagado el
haz, las mediciones se realizaron de forma
exhaustiva de modo que se confirmó la
repetitividad del experimento.
Conclusiones
Como se mostro fue posible observar el
fenómeno de forma experimental, es decir
que empleando lentes ya caracterizadas es
posible obtener mejores enfoques al
propagar el haz. Sin embargo al realizarlo
aparecen diversos aspectos adversos a
considerar, por ejemplo la distancia a
propagar el haz es bastante grande y
dependerá de la distancia focal con que la
lente fue diseñada.
El trabajo aún no ha concluido pues se
planea realizar un mayor número de
mediciones a mayores distancias de
propagación con el objetivo también de
mostrar que el enfoque no puede seguir
siendo mejorado de forma indefinida.
Pues en inicio se pensó que era posible que
no fuera posible obtener mediciones
contundentes que mostraran la existencia
del fenómeno. Muchas aplicaciones útiles
pueden surgir pues en general se suele
mejorar a capacidad de enfoque empleando
varias lentes con el fin de reducir las
posibles aberraciones.
0 10 20 30 40 50 60
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
X (um)
I(x)
Medicion experimental de mejor enfoque
Mejor enfoque z1=0.08 m
Mejor enfoque z1=4.60 m
Rejilla reflectiva 300 lin/mm