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Análisis de series de tiempo usando R

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Henry Aldo Sucari Turpo

Este documento presenta una revisión del estado del arte en el análisis de series de tiempo. Comienza con una introducción y objetivos, luego presenta conceptos fundamentales como series de tiempo, tendencias, modelos estacionarios y no estacionarios. Explica métodos para especificar, estimar parámetros y construir modelos autorregresivos, de medias móviles e integrados para series de tiempo. El documento concluye revisando métodos de especificación, estimación e identificación de modelos para series de tiempo.

Datos y análisis
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REVISIÓN DEL ESTADO DEL ARTE EN EL ANÁLISIS DE SERIES DE TIEMPO Por: Hernán Camilo Yate Támara camilo_yate@yahoo.fr Director: Mat. Leonardo Jiménez Moscovitz Investigador Grupo de Investigación PROMENTE KONRAD LORENZ-FUNDACIÓN UNIVERSITARIA FACULTAD DE MATEMÁTICAS E INGENIERÍAS PROGRAMA DE MATEMÁTICAS JUNIO DE 2011
Nota: Este trabajo nace de la confluencia entre el interés del estudiante Hernán Camilo Yate Támara y los intereses académicos del grupo de investigación PROMENTE, alrededor del análisis de series de tiempo utilizando el software libre R, y consta de dos partes: la primera desarrollada como parte del trabajo del Grado y la otra desarrollada dentro de la práctica investigativa, la cual se anexa al final de este documento.
e mi m—dre v— que nun™— me nieg— sus m—nos t—n ti˜i—s v— que se™— mis lágrim—s y entreg— ™—ri™i—s v— que —mp—r— tristez—s y reg—l— sonris—s v— que ™on dul™es p—l—˜r—s —lient— mis dí—s v— que me dio l— vid— y me h— enseñ—do — vivirl—
iv
Índice general Introducción ix Objetivos xi Alcance y Limitaciones xiii 1. Preliminares 1 IFIF isp—™io de €ro˜—˜ilid—d F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F I IFIFIF isp—™io wuestr—l de iventos F F F F F F F F F F F F F F F F I IFIFPF Álge˜r— de iventos F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F P IFIFQF pun™ión de €ro˜—˜ilid—d F F F F F F F F F F F F F F F F F F F P IFPF †—ri—˜les ele—tori—s F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F Q IFPFIF †—lor isper—do de un— †—ri—˜le ele—tori— F F F F F F F F F Q IFPFPF †—ri—nz— de un— †—ri—˜le ele—tori— F F F F F F F F F F F F F Q IFQF †e™tores ele—torios F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F R IFQFIF †—lor esper—do de un †e™tor ele—torio F F F F F F F F F F F S IFQFPF †—ri—nz— de un †e™tor ele—torio F F F F F F F F F F F F F F S IFQFQF pun™ión qener—dor— de womentos gonjunt— F F F F F F F F T IFQFRF gov—ri—nz— y goe(™iente de gorrel—™ión F F F F F F F F F F T IFQFSF isper—nz— gondi™ion—l F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F U IFQFTF †—ri—˜les ele—tori—s sndependientes F F F F F F F F F F F F V IFRF histri˜u™ión xorm—l F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F V 2. Conceptos Fundamentales 9 PFIF ente™edentes ristóri™os F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F W PFIFIF y˜serv—™iónD medi™ión y gener—liz—™ión F F F F F F F F F F W PFIFPF porm—liz—™ión F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IH PFPF ƒeries de „iempo y €ro™esos isto™ásti™os F F F F F F F F F F F F F IH PFQF wedi—sD †—ri—nz—s y gov—ri—nz—s F F F F F F F F F F F F F F F F F F II PFQFIF v— 4g—min—t— ele—tori—4 @‚—ndom ‡—lkA F F F F F F F F F IP PFQFPF €romedios wóviles F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IQ PFRF ist—™ion—ried—d F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IR PFRFIF ‚uido fl—n™o @‡hite xoiseA F F F F F F F F F F F F F F F F IS v
vi ÍNDICE GENERAL 3. Tendencias 17 QFIF „enden™i—s heterminísti™—s ™ontr— „enden™i—s isto™ásti™—s F F F IU QFPF istim—™ión de l— wedi— gonst—nte F F F F F F F F F F F F F F F F F IU QFQF wétodos de ‚egresión F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IW QFQFIF „enden™i—s vine—les y gu—dráti™—s F F F F F F F F F F F F F IW QFQFPF „enden™i—s ™í™li™—sF F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F PH QFQFQF „enden™i—s del goseno F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F PH QFRF gon(—˜ilid—d y i(™ien™i— de l—s istim—™iones de l— ‚egresión F F PI QFSF enálisis de ‚esidu—les F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F PQ QFSFIF pun™ión de euto™orrel—™ión wuestr—l F F F F F F F F F F F F PQ 4. Modelos para Series de Tiempo Estacionarias 25 RFIF €ro™esos qener—les vine—les F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F PS RFPF €ro™esos de €romedios wóviles F F F F F F F F F F F F F F F F F F F PU RFPFIF €ro™esos de €romedios wóviles de €rimer yrden F F F F F PU RFPFPF €ro™esos de €romedios wóviles de ƒegundo yrden F F F F PV RFPFQF €ro™esos de €romedios wóviles de yrden q F F F F F F F F PW RFQF €ro™esos eutorregresivos F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F PW RFQFIF €ro™esos eutorregresivos de €rimer yrden F F F F F F F F PW RFQFIFIF †ersión qener—l vine—l de un wodelo AR (1) F F QH RFQFIFPF ist—™ion—ried—d de un €ro™eso AR (1) F F F F F F QI RFQFPF €ro™esos eutorregresivos de ƒegundo yrden F F F F F F F F QI RFQFPFIF ist—™ion—ried—d de un €ro™eso AR (2) F F F F F F QI RFQFPFPF v— pun™ión de euto™orrel—™ión del €ro™eso AR (2) QQ RFQFQF †—ri—nz— del wodelo AR (2) F F F F F F F F F F F F F F F F F QQ RFQFRF €ro™eso eutorregresivo qener—l F F F F F F F F F F F F F F F QR RFRF wodelos wixtos eutorregresivos de €romedios wóviles F F F F F F QS RFRFIF il modelo ARMA (1, 1) F F F F F F F F F F F F F F F F F F F QS RFRFPF v— pun™ión de euto™orrel—™ión p—r— un €ro™eso ARMA (p, q) gryer —nd gh—n ‘PHHV“ F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F QT RFRFQF snverti˜ilid—d F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F QU 5. Modelos para Series de Tiempo No Estacionarias 39 SFIF ist—™ion—ried—d — tr—vés de los yper—dores hiferen™i— F F F F F F QW SFPF wodelos sntegr—dos eutorregresivos de €romedios wóviles F F F F RP SFPFIF il wodelo IMA (1, 1) F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F RQ SFPFPF il wodelo IMA (2, 2) F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F RR SFPFQF il wodelo ARI (1, 1) F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F RR SFPFRF „érminos gonst—ntes en modelos ARIMA F F F F F F F F F RS SFPFSF ytr—s „r—nsform—™iones F F F F F F F F F F F F F F F F F F F RT SFPFSFIF g—m˜ios de €or™ent—jes y vog—ritmos F F F F F F RU SFPFSFPF „r—nsform—™iones de €oten™i— F F F F F F F F F F RU
ÍNDICE GENERAL vii 6. Construcción del Modelo 49 TFIF ispe™i(™—™ión del wodelo F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F RW TFIFIF €ropied—des de l— pun™ión de euto™orrel—™ión wuestr—l F SH TFIFPF v— pun™ión de euto™orrel—™ión €—r™i—l y l— pun™ión de euto™orrel—™ión ixtendid— F F F F F F F F F F F F F F F F F SP TFIFPFIF v— pun™ión de euto™orrel—™ión €—r™i—l wuestr—l SR TFIFPFPF wodelos wixtos y l— pun™ión de euto™orrel—™ión ixtendid— F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F SS TFIFQF ispe™i(™—™ión p—r— wodelos xo ist—™ion—rios F F F F F F F ST TFIFQFIF il pro˜lem—s de l— ƒo˜rediferen™i—™ión F F F F F SU TFIFQFPF v— prue˜— de l— r—íz unit—ri— de hi™key puller F SU TFIFRF ytros wétodos de ispe™i(™—™ión F F F F F F F F F F F F F F SV TFIFRFIF griterio de l— snform—™ión de ek—ike F F F F F F SV TFIFRFPF griterio de l— snform—™ión f—yesi—no F F F F F F SV TFPF istim—™ión de €—rámetros F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F SW TFPFIF il wétodo de los womentos F F F F F F F F F F F F F F F F F SW TFPFIFIF wodelos eutorregresivos F F F F F F F F F F F F F SW TFPFIFPF wodelos de €romedios wóviles F F F F F F F F F F TH TFPFIFQF wodelos wixtos F F F F F F F F F F F F F F F F F F TI TFPFIFRF istim—™ión de l— †—ri—nz— del ‚uido F F F F F F F TI TFPFPF istim—™ión por wínimos gu—dr—dos F F F F F F F F F F F F TP TFPFPFIF wodelos eutorregresivos F F F F F F F F F F F F F TP TFPFPFPF wodelos de €romedios wóviles F F F F F F F F F F TR TFPFPFQF wodelos wixtos F F F F F F F F F F F F F F F F F F TS TFPFQF istim—™iones de wáxim— †erosimilitud y wínimos gu—E dr—dos sn™ondi™ion—les F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F TT TFPFQFIF istim—™ión de wáxim— †erosimilitud F F F F F F TT TFPFQFPF wínimos gu—dr—dos sn™ondi™ion—les F F F F F F F TV TFPFRF €ropied—des de l—s istim—™iones F F F F F F F F F F F F F F TV TFQF hi—gnósti™o del wodelo F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F TW TFQFIF enálisis de residu—les F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F TW TFQFIFIF euto™orrel—™ión de los ‚esidu—les F F F F F F F F UH TFQFPF ƒo˜re—juste y ‚edund—n™i— de €—rámetros F F F F F F F F F UI 7. Pronósticos 73 UFHFQF €ronósti™o por el wétodo de irror gu—dráti™o wedio F F UQ UFHFRF „enden™i—s heterminísti™—s F F F F F F F F F F F F F F F F F UT UFHFSF €ronósti™os de modelos ARIMA F F F F F F F F F F F F F F UT UFHFSFIF AR (1) F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F UU UFHFSFPF MA (1) F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F UW UFHFSFQF ARMA (p, q) F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F VH UFHFTF wodelos no ist—™ion—rios F F F F F F F F F F F F F F F F F F VP UFHFUF vímites de l— €redi™™ión F F F F F F F F F F F F F F F F F F F VQ UFHFUFIF „enden™i—s heterminísti™—s F F F F F F F F F F F F VR UFHFUFPF wodelos ARIMA F F F F F F F F F F F F F F F F F VR UFHFVF e™tu—liz—™ión de los €ronósti™os ARIMA F F F F F F F F F VS
viii ÍNDICE GENERAL UFHFWF €esos de €ronósti™os y €romedios wóviles ixponen™i—lE mente €onder—dosF F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F VS UFHFIHF €ronósti™os de ƒeries de „iempo „r—nsform—d—s F F F F F VU UFHFIHFIF yper—dor hiferen™i— F F F F F F F F F F F F F F F F VU UFHFIHFPF „r—nsform—™iones vog—rítmi™—s F F F F F F F F F F VU 8. Modelos de Estado y Espacio y el Filtro Kalman 89 VFIF iv—lu—™ión de l— pun™ión de †erosimilitud y el piltro u—lm—n F F WH VFPF ist—do sni™i—l de l— w—triz de gov—ri—nz—s F F F F F F F F F F F F F WP Conclusiones 95 Bibliografía 97
Introducción vos d—tos o˜tenidos de o˜serv—™iones se™uen™i—les — tr—vés del tiempo son muy ™omunes en diferentes dis™iplin—sF €or ejemploD en (n—nz—sD se o˜serv—n ™—m˜ios de los pre™ios de un— —™™ión en un dí—D índi™es de pre™ios en un mesD in)—™iones —nu—lesD et™F in meteorologí—D se o˜serv—n )u™tu—™iones de temper—E tur— di—ri—D pre™ipit—™iones —nu—lesD est—dos de los suelosD entre otrosF v— list— de dis™iplin—s en l—s que se estudi—n series de tiempoD prá™ti™—mente no tiene (nD por lo que el —nálisis de l—s series ™ronológi™—s h— tom—do gr—n import—n™i—F he he™ho l— teorí— m—temáti™— en l— que se ˜—s— el —nálisis de series de tiempo h— sidoD quizáD un— de l—s áre—s ™on m—yor —™tivid—dD en los últimos —ñosD ™onvirE tiéndose —sí en un— herr—mient— de mu™ho peso — l— hor— de resolver pro˜lem—s sin import—r en l— dis™iplin— que se esté us—ndoF ƒin em˜—rgoD l— —pli™—™ión de los métodos inherentes — los pro˜lem—s de series de tiempo requiere un tr—sfondo est—dísti™o fuerteF in el presente texto se des™ri˜irá l— teorí— ˜ási™— p—r— el —nálisis de series de tiempoD —˜—r™—ndoD desde los ™on™eptos fund—ment—les de pro˜—˜ilid—d h—st— lleg—r — los modelos de m—yor estudio @e‚D weD e‚weD e‚sweAD ™on el (n de poder pronosti™—r est—dísti™—mente los v—lores de l— serie de tiempo de estudioF v— revisión de l— teorí— propi— de l—s series ™ronológi™—s es de gr—n import—nE ™i— p—r— los le™tores de este textoD y— que tendrán l— oportunid—d de poseer un texto teóri™o re™opil—do de l—s más import—ntes fuentes ˜i˜liográ(™—sD teniendo en ™uent— l— fund—ment—™ión m—temáti™— de ™iertos —lgoritmos y métodosF is de™irD un texto que re™opil— los ™on™eptos y métodos de m—yor fre™uen™i— de uso en el —nálisis de series tempor—lesD teniendo en ™uent— l— rigurosid—d m—temáti™— requerid—F ix
x INTRODUCCIÓN
Objetivos Objetivo General il o˜jetivo gener—l del presente do™umento es present—r l— teorí— referente —l estudio de l—s series ™ronológi™—sD y est—˜le™er un do™umento teóri™o ˜—se p—r— futur—s investig—™ionesF Objetivos Especícos IF ‚e™opil—r y present—r l— teorí— de vi—rios textos re™ono™idos en el áre— del —nálisis de series de tiempoF PF ‚eseñ—r un— de l—s más import—ntes —pli™—™iones de l— m—temáti™— — proE ˜lem—s que se present—n en diferentes ™—mpos del ™ono™imientoF QF gonstruir un texto el ™u—l h—g— l—s ve™es de texto introdu™torio —l —nálisis de series de tiempoF xi
xii OBJETIVOS
Alcance y Limitaciones il tr—˜—jo pretende present—r l—s f—mili—s de modelos de m—yor utiliz—™iónD ™omo lo son los modelos —utorregresivos @ARAD modelos de promedios móviles @MAAD modelos —utorregresivos mixtos de promedios móviles @ARMA A y los modelos —utorregresivos integr—dos de promedios móviles @ARIMAAD —demás de los modelos de est—do y esp—™io y el (ltro u—lm—nF „odos los tem—s men™ion—dos —nteriormente se ™onstituyen ™omo l— ˜—se teóri™— p—r— ™u—lquier des—rrollo de tr—˜—jos de series de tiempoF eunque un— de l—s pretensiones más import—ntes del tr—˜—jo es des™ri˜ir un número signi(™—tivo de métodos y modelosD solo se tendrán en ™uent— el ™—so univ—ri—doD p—r—métri™o es de™ir se ex™luirán por ejemplo l— f—mili— de modelos eutorregresivos de …m˜r—l @„e‚AD l— f—mili— de modelos †e™tori—les eutorreE gresivos @†e‚AD entre otros y —lgunos métodos de estim—™iones de tenden™i—s ™omo l— regresión us—ndo ƒplinesD el piltro de ƒmirnov entre otrosF xiii
xiv ALCANCE Y LIMITACIONES
Capítulo 1 Preliminares 1.1. Espacio de Probabilidad v— pro˜—˜ilid—d es un m—r™o ™on™eptu—l que permite —n—liz—r l— o™urren™i— de su™esos —le—toriosD es de™irD f—™ilit— el estudio de su™esos en los ™u—les no es posi˜le prede™ir ™on ex—™titud el result—do de un experimentoF v— ™onstru™™ión del m—r™o ™on™eptu—l de l— pro˜—˜ilid—d se ini™i— ™on el de esp—™io de pro˜—˜iE lid—d (Ω; A; p) —so™i—do — un experimento EF gon este o˜jetivoD se des—rroll—n los siguientes tem—sX ixperimentoF isp—™io wuestr—lF Álge˜r— de iventosF pun™ión de €ro˜—˜ilid—dF 1.1.1. Espacio Muestral de Eventos Denición 1 Un experimento E es la realización de una tarea bien denida y de la cual se ha establecido la codicación o forma de tabulación de los posibles resultados. El experimento se dice aleatorio cuando el resultado no es predecible con exactitud. Denición 2 Al conjunto de todos los posibles resultados obtenidos al realizar un experimento se denomina espacio muestral de eventos y se denota por Ω. Los elementos a ∈ Ω se denominan puntos muestrales.Rincón [2011] Denición 3 Un espacio muestral Ω se denomina discreto si es nito o enu- merable, en tal caso E se dice experimento discreto. Rincón [2011] I
P CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 1.1.2. Álgebra de Eventos in un experimento ED ™—d— punto muestr—l en el esp—™io muestr—l Ω se denomin— evento simple y —l evento result—nte de l— uniónD interse™™ión u otr— oper—™ión de ™onjuntos de(nid— en el ™onjunto de eventos simples se denomin— evento ™ompuestoF Denición 4 Para E un experimento discreto y Ω su espacio muestral de even- tos se dene un álgebra de eventos a cualquier colección de conjuntos A que satisfaga las siguientes propiedades Rincón [2011]: Ω ∈ A. Si A ∈ A entonces Ac ∈ A Si A ∈ A y B ∈ A entonces A∪ B ∈ A. 1.1.3. Función de Probabilidad Denición 5 Sea E un experimento discreto, Ω su espacio muestral de posibles resultados y A un álgebra de eventos denida para Ω, una función p : A → [0; 1] es una función de probabilidad si satisface los siguientes axiomasCanavos [1998]: p(B) ≥ 0, Para todo B ∈ A P(Ω) = 1 Si A1, A2, . . . , An es una colección de conjuntos mutuamente disyuntos y k i=1 Ai ∈ A entonces p k i=1 Ai = k i=1 p(Ai) Para todo k ≤ n Denición 6 Un espacio de probabilidad para un experimento E está confor- mado por la tripleta (Ω; A; p) Rincón [2011] snteres— ™onstruir el esp—™io de pro˜—˜ilid—d p—r— un experimento E ™on el álge˜r— de eventos A = ℘(Ω) y un— fun™ión de pro˜—˜ilid—d p de(nid— so˜re sus eventos simplesF v— fun™ión de pro˜—˜ilid—d p se de(ne so˜re los eventos simples y p—r— ello existen v—ri—s posi˜ilid—des que gener—n diferentes esp—™ios de pro˜—˜ilid—dF v— más fre™uente es ™ono™id— ™omo pro˜—˜ilid—d ™lási™—D en ell— los eventos simples son equipro˜—˜lesD l— pro˜—˜ilid—d de ™—d— evento simple está d—d— por 1 η(Ω) ,donde η(Ω) es el ™—rdin—l del esp—™io muestr—lD y en este ™—so el esp—™io de pro˜—˜ilid—d se denomin— esp—™io de pro˜—˜ilid—d l—pl—™i—noF
1.2. VARIABLES ALEATORIAS Q 1.2. Variables Aleatorias e ™ontinu—™ión se mostr—rán elementos del modelo de distri˜u™ión de proE ˜—˜ilid—d p—r— un— v—ri—˜le —le—tori—D que ˜ien puede se dis™ret— o ™ontinu—D X de(nid— en (Ω; A; p) Denición 7 En un espacio de probabilidad (Ω; A; p) una función X : A −→ R es una variable aleatoria si para cualquier valor de r ∈ R el conjunto Ar = {W × W ≤ r} pertenece a A. X se dice discreta si su rango RX es con- table y continua en caso contrario. Rincón [2011] v— de(ni™ión de un— v—ri—˜le —le—tori— X en un esp—™io de pro˜—˜ilid—d (Ω; A; p)D permite ™—r—™teriz—r todos los eventos del experimentoD en expresiones m—temáti™—s en fun™ión de los v—lores de X 1.2.1. Valor Esperado de una Variable Aleatoria e ™ontinu—™ión se present—rán l—s de(ni™iones de v—lor esper—do o esper—nz— m—temáti™— p—r— un— v—ri—˜le —le—tori—D t—nto dis™ret— ™omo ™ontinu—F Denición 8 Para una variable aleatoria discreta X, el valor esperado E (X), se dene comoWalpole et al. [1998] E (X) = µx = x∈Rx xp(X) in gener—lD el v—lor esper—do X de un— v—ri—˜le —le—tori— dis™ret— X es el promedio de X ponder—do ™on los v—lores de p(x)D se interpret— igu—l que el promedio ponder—do —ritméti™o y es el v—lor referente p—r— ™—l™ul—r l— dispersión de los d—tos y p—r— ™—r—™teriz—r l— —simetrí— de l— distri˜u™ión de pro˜—˜ilid—dF Denición 9 Para una variable aleatoria continua X, el valor esperado E (X), se dene como Walpole et al. [1998] E (X) = µx = ∞ˆ −∞ xf (x) dx honde l— fun™ión f (x) es ™ono™id— ™omo l— fun™ión de densid—d de pro˜—˜iE lid—dF 1.2.2. Varianza de una Variable Aleatoria he l— mism— m—ner— que ™on el v—lor esper—doD se present—rán l—s de(ni™iones de v—ri—nz— y desvi—™ión estánd—r p—r— v—ri—˜les —le—tori—s dis™ret—s y ™ontinu—s Denición 10 La varianza σ2 X, para X variable aleatoria discreta se dene como Walpole et al. [1998] V (X) = σ2 X = x∈Rx (x − µx) 2 p (x)
R CAPÍTULO 1. PRELIMINARES Denición 11 La varianza σ2 X, para X variable aleatoria continua se dene como Walpole et al. [1998] V (X) = σ2 X = ∞ˆ −∞ (x − µx) 2 f (x) dx Denición 12 La desviación estándar σX, para X una variable aleatoria, bien sea, discreta o continua se dene como la raíz cuadrada positiva de la varianza σ2 X. Walpole et al. [1998] 1.3. Vectores Aleatorios …n ve™tor —le—torio se origin— ™u—ndo en el mismo esp—™io de pro˜—˜ilid—d (Ω; A; p) se de(nen X1, X2, ..., Xn v—ri—˜les —le—tori—sD e interes— o˜serv—r y —n—liz—r su ™omport—miento pro˜—˜ilísti™o ™onjuntoF Denición 13 Sean X1, X2, ..., Xn variables aleatorias discretas denidas en (Ω; A; p), al vector X = {X1, X2, ..., Xn} se denomina vector aleatorio de di- mensión n. El rango o conjunto de valores del vector X está contenido en el conjunto Rincón [2011] R = RX1 × RX2 × · · · × RX1 ™on RXi el r—ngo de Xi p—r— i = 1, 2, ..., n. ƒe di™e que el ve™tor —le—torio es dis™reto si ™—d— Xi es un— v—ri—˜le —le—tori— dis™ret— y se di™e ve™tor —le—torio ™ontinuo si ™—d— Xi es n— v—ri—˜le —le—tori— ™ontinu—F Denición 14 Dado un vector aleatorio X = {X1, X2, ..., Xn} con p(x1, x2, ...xn) la función de probabilidad conjunta, para cada variable Xi existe la función de probabilidad marginal p (x) denida comoRincón [2011] p (x) =    x1∈Rx1 x2∈Rx2 · · · x2∈Rx2 p(x1, x2, ...xn) Si Xes discreto ∞ˆ −∞ ∞ˆ −∞ · · · ∞ˆ −∞ p(x1, x2, ...xn)dΩ Si Xes continuo honde dΩ = dx1dx2 · · · dxi−1dxi+1 · · · dxn Denición 15 Sea X = {X1, X2, ..., Xn} un vector aleatorio denido en (Ω; A; p) y p(x1, x2, ...xn) la función de probabilidad conjunta. La función de probabilidad acumulada de X está dada por Rincón [2011]
1.3. VECTORES ALEATORIOS S F (x) =    A p(k1, k2, ...kn) Si Xes discreto ˆ A p(k1, k2, ...kn)dΩ Si Xes continuo donde A = {x1, x2, ...xn : x1 ≤ k1;x2 ≤ k2; ...; xn ≤ kn} y dΩ = dx1dx · · · dxn 1.3.1. Valor esperado de un Vector Aleatorio „eniendo de(nid—s l—s fun™iones de pro˜—˜ilid—d ™onjunt— es posi˜le de(nir el v—lor esper—do de un— ve™tor —le—torio dis™reto o ™ontinuoD según se— el ™—soF Denición 16 Sea X = {X1, X2, ..., Xn} un vector aleatorio denido en (Ω; A; p) y p(x1, x2, ...xn) la función de probabilidad conjunta. El vector de medias de X es el vector de los valores esperados de las variables Xi, i = 1, 2, ..., n y está dado por Canavos [1998] E (X) = µX = (µX1 , µX2 , ...µXn) donde µXi =    x1∈Rx1 xpXi (x) i = 1, 2, ...n Si Xes discreto ∞ˆ −∞ xpXi (x) dx i = 1, 2, ...n Si Xes continuo 1.3.2. Varianza de un Vector Aleatorio Denición 17 Sea X = {X1, X2, ..., Xn} un vector aleatorio denido en (Ω; A; p) y p(x1, x2, ...xn) la función de probabilidad conjunta. El vector de varianzas de X es el vector de varianzas de las variables Xi i = 1, 2, ...n y está dado por Canavos [1998] V (X) = σ2 X = σ2 X1 , σ2 X2 , ...σ2 Xn donde Denición 18 σ2 Xi =    x1∈Rx1 (x − µXi ) 2 pXi (x) i = 1, 2, ...n Si Xes discreto ∞ˆ −∞ (x − µXi ) 2 pXi (x) dx i = 1, 2, ...n Si Xes continuo
T CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 1.3.3. Función Generadora de Momentos Conjunta Denición 19 Sea X = {X1, X2, . . . , Xn} un vector aleatorio denido en (Ω; A; p) con probabilidad conjunta p (x1, x2, ..., xn) . La función generadora de momentos conjunta de X está dada por Rincón [2011] Mx (t) = E etX €—r— t ∈ R v— fun™ión gener—dor— de momentos re™i˜e su nom˜re gr—™i—s — que sus deriv—d— ™—l™ul—d—s en ™ero gener—n los momentos de ve™tor X, es de™ir Mx (0) = M1 = µx Mx (0) = M2 = µ2 x FFF 1.3.4. Covarianza y Coeciente de Correlación Denición 20 [Covarianza]Sea (X, Y ) un vector aleatorio denido en (Ω; A; p) y p (x, y) la función de probabilidad conjunta. La covarianza de X y Y está dada por: Koopman [1964] Cov (X, Y ) = x,y (x − µx) (y − µy) p (x, y) = σ2 XY Denición 21 Sea X = {X1, X2, ...Xn} un vector aleatorio denido en (Ω; A; p) y p (x1, x2, ..., xn) la función de probabilidad conjunta. La matriz de varianzas y covarianzas está dada por Koopman [1964] XY =      σ2 X1 σ2 X1X2 · · · σ2 X1Xn σ2 X2X1 σ2 X2 · · · σ2 X2Xn ... ... ... ... σ2 XnX1 σ2 XnX2 · · · σ2 Xn      Denición 22 [Coeciente de Correlación]Sea (X, Y ) un vector aleatorio de- nido en (Ω; A; p) y p(x, y) la función de probabilidad conjunta. el coeciente de correlación de X y Y está dado por: Koopman [1964] ρXY = Cov (X, Y ) σXσY Denición 23 Sea X = {X1, X2, ...Xn} un vector aleatorio denido en (Ω; A; p) y p (x1, x2, ..., xn) la función de probabilidad conjunta. La matriz de de correla- ciones de X está dada por Koopman [1964] RXY =      1 ρX1X2 · · · ρX1Xn ρX2X1 1 · · · ρX2Xn FFF FFF FFF FFF ρXnX1 ρXnX2 · · · 1     
1.3. VECTORES ALEATORIOS U 1.3.5. Esperanza Condicional ƒe—n X y Y ve™tores —le—torios Denición 24 Si X y Y tienen función de probabilidad conjunta f (x, y) , y sea f (x) la función de probabilidad marginal de X. La función de probabilidad condicional de Y dado X = x, es Koopman [1964] f (y | x) = f (x, y) f (x) €—r— un v—lor d—do de x, l— fun™ión de pro˜—˜ild—d ™ondi™ion—l tiene tod—s l—s propied—des usu—les de un— fun™ión de densid—d de pro˜—˜ilid—dF in p—rti™ul—rD Denición 25 La esperanza condicional de Y dado x = x es denida como Koopman [1964] E (Y | X = x) =    y∈Ry yf (y | x) Si Xy Y son discretos ∞ˆ −∞ yf (y | x) dy Si Xy Y son continuos gomo un v—lor esper—doD l— esper—nz— ™ondi™ion—l goz— de tod—s l—s propieE d—des usu—lesF €or ejemplo E (aY + bZ + c | X = x) = aE (Y | X = x) + bE (Z | X = x) @IFIA y E [h (Y ) | X = x] =    x∈Rx yf (y | x) ƒi Xy Y son dis™retos ∞ˆ −∞ yf (y | x) dx ƒi Xy Y son ™ontinuos @IFPA edemás E [h (x) | X = x] = h (x) @IFQA is de™ir queD d—do X = x l— v—ri—˜le —le—tori— h (x) puede ser tr—t—d— ™omo un— ™onst—nteF in gener—l E [h (X, Y ) | X = x] = E [h (x, Y ) | X = x] @IFRA ƒe— E (Y | X = x) = g (x) , enton™es g (x) es un— v—ri—˜le —le—tori— y se puede ™onsider—r E [g (x)] , donde E [g (x)] = E (Y ) vo que usu—lmente se es™ri˜e ™omo E [E (Y | X)] = E (Y ) @IFSA
V CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 1.3.6. Variables Aleatorias Independientes ƒe— X = {X1, X2, . . . , Xn} un ve™tor —le—torio de(nido en (Ω; A; p) ™on pro˜—˜ilid—d ™onjunt— p (x1, x2, ..., xn) Xi se di™en mutu—mente independientes si ™umple —lgun— de l—s siguientes ™ondi™iones ‚in™ón ‘PHII“ p (Xi | Xj) = pxi ∀i = j p (x1, x2, ..., xn) = n i=1 pxi (xi) F (x1, x2, ..., xn) = n i=1 Fxi (xi) 1.4. Distribución Normal Denición 26 Una variable continua X con Rx = (−∞, ∞) se tiene distribu- ción normal con parámetros µ, σ2 , si su función de densidad de probabilidad está dada por Canavos [1998] f x, µ, σ2 = 1 √ 2πσ e− 1 2 x−µ σ 2 v— distri˜u™ión norm—l es quizá l— más import—nte en l— teorí— est—dísti™— y— que mu™hos des—rrollos teóri™os se ™onstruyen so˜re este supuestoF ƒe denot— por X ∼ N µ, σ2 y se utiliz— ™u—ndo el polígono de fre™uen™i—s de los v—lores de X tiene form— —™—mp—n—d—D ™on X = µX ™omo eje de simetrí—F „—m˜ién es import—nte señ—l—r l—s siguientes ™—r—™terísti™—s de l— distri˜u™ión norm—lF µx se denomin— p—rámetro de lo™—liz—™ión y l— fun™ión de densid—d es simétri™— en X = µx es de™ir p (X ≤ µX) = p (X ≥ µX) = 0,5. σ2 X se denomin— p—rámetro de es™—l— y est—˜le™e l— dispersión de los v—lores de X ™on respe™to — µx. Denición 27 Cuando X se distribuye normal con parámetros (0, 1) , se deno- mina normal estándar, se denota por Z ∼ N (0, 1) y su función de densidad de probabildad está dada por Canavos [1998] f (z) = 1 √ 2π e z2 2
Capítulo 2 Conceptos Fundamentales in este ™—pítulo se des™ri˜irán los ™on™eptos fund—ment—les en l— teorí— refeE rente — l— series de tiempoF €—rti™ul—rmente se tr—t—rán los ™on™eptos de pro™eso esto™ásti™oD fun™iones de medi— y ™ov—ri—nz—D pro™esos est—™ion—riosD y l—s funE ™iones de —uto™orrel—™iónD —sí ™omo un— ˜reve des™rip™ión históri™—F 2.1. Antecedentes Históricos v— histori— de l—s series de tiempo se puede dividir en dos épo™—s @y˜E serv—™iónD wedi™ión y qener—liz—™ión y porm—liz—™iónA teniendo en ™uent— los métodos p—r— —˜ord—r los diferentes fenómenos que motiv—ron el estudio del ™omport—miento de ™iertos elementos respe™to —l tiempoF 2.1.1. Observación, medición y generalización il —nte™edente más —ntiguo de l—s series de tiempo se remont— — IVRT ™u—ndo el —strónomo reinri™h ƒ™hw—˜eD o˜servó l— —™tivid—d periódi™— de l—s m—n™h—s sol—res @sunspotsAF ƒeguido de dé™—d—s de investig—™iónD no solo en l— físi™— sol—r sino en el m—gnetismo terrestreD meteorologí— e in™luso e™onomí—D donde se ex—min—˜—n l—s series p—r— ™ompro˜—r si su periodi™id—d ™oin™idí— ™on los diferentes fenómenos —nteriormente men™ion—dosD por ejemploD ƒimon v—pl—™e y t—™ques ueteletD h—˜í—n —n—liz—do d—tos meteorológi™os y ‡illi—m rers™hel h—˜í— es™rito un li˜ro —l respe™toF „odos estudios ˜—s—dos en l— o˜serv—™ión empíri™—F v—s té™ni™—s en uso v—ri—˜—n desde l—s más simplesD ™omo l— t—˜l— de fuys f—llotD l— ™u—l permití— ™ono™er l— disposi™ión de los ™entros de —lt— y ˜—j— presión respe™to de l— dire™™ión en que sopl— el vientoD — form—s más so(sti™—d—s ™omo el —nálisis —rmóni™oD es el ™—so del físi™o erthur ƒ™huster quien introdujo en IVVW el periodogr—m—D el ™u—l permite ™—l™ul—r l— densid—d espe™tr—l de un— señ—lF W
IH CAPÍTULO 2. CONCEPTOS FUNDAMENTALES ƒin em˜—rgoD por ese enton™esD un— form— riv—l del —nálisis de series tempoE r—lesD ˜—s—d— en l— ™orrel—™ión y promovid— por €e—rsonD ‰uleD rooker y otrosD fue tom—ndo form—F 2.1.2. Formalización il —nálisis est—dísti™o de l—s series de tiempo tienen sus ini™ios form—les ™on el texto es™rito por qeorge …dny ‰ule en IWPU ll—m—do yn — wethod of snE vestig—ting €eriodi™ities in histur˜ed ƒeriesD with ƒpe™i—l ‚eferen™e to ‡olfer9s ƒunspot xum˜ersD dondeD ˜—s—do en el ™on™epto de ™orrel—™ión intent— expli™—r l—s m—n™h—s sol—res ™on otros fenómenos —stronómi™osF e pes—r de los —v—n™es propuestos por v—rios est—dísti™os in)uyentes de l—s primer—s dé™—d—s del siglo ˆˆD no fue sino h—st— IWUHD ™on l— pu˜li™—™ión de 4„ime ƒeries en—lysisX pore™—sting —nd gontrol4 por fox y tenkins en IWUHD que se ™onstituyó un— herr—mient— ˜i˜liográ(™—D que permití— —pli™—r los métodos de series de tiempo de m—ner— sistemáti™—D y —demás logro uni(™—r el o˜jetivo de investig—™iónF is import—nte men™ion—r queD el des—rrollo teóri™o y prá™ti™o del —nálisis de series de tiempo está estre™h—mente rel—™ion—do ™on el des—rrollo informáti™oD y— que esteD provee l—s herr—mient—s ne™es—ri—s p—r— los extensos ™ál™ulos que dem—nd—n los métodos inherentes —l —nálisis de series de tiempoF …no de los m—s import—ntes ™onsiste en l— p—r—metriz—™ión de los modelos de est—do y esp—™io y el (ltro u—lm—n des—rroll—dos en su m—yorí— en el (n—l de l— dé™—d— de IWUHF1 2.2. Series de Tiempo y Procesos Estocásticos v— se™uen™i— de v—ri—˜les —le—tori—s {Yt : t = 0, ±1, ±2, ±3, ...} se ™ono™e ™oE mo pro™eso esto™ásti™oD y sirve ™omo modelo p—r— un— serie de tiempo o˜serv—d—F ƒe s—˜e que l— estru™tur— pro˜—˜ilísti™— de di™ho pro™eso es determin—do por el ™onjunto de l—s distri˜u™iones de tod—s l—s ™ole™™iones (nit—s de XiF ƒin em˜—rE goD l— m—yorí— de inform—™ión de l—s fun™iones de pro˜—˜ilid—d ™onjunt— puede ser des™rit— en términos de sus medi—sD v—ri—nz—s y ™ov—ri—nz—sF €or lo ™u—l di™hos p—rámetros @primer y segundo momentoA serán el o˜jetivo prin™ip—l @ƒi l—s distri˜u™iones de X son distri˜u™iones norm—les multiv—ri—d—sD el primer y segundo momento determin—n ™omplet—mente tod— l— distri˜u™ión ™onjunt—A 1Cada uno de los métodos mencionados en este apartado serán ampliados, mientras se desarrollan los conceptos.
2.3. MEDIAS, VARIANZAS Y COVARIANZAS II 2.3. Medias, Varianzas y Covarianzas Denición 28 (Función de la Media) Para un proceso estocástico {Yt : t = 0, ±1, ±2, ±3, ...} la función de la media se dene como Fuller [1996] µt = E (Yt) Para t = 0, ±1, ±2, ... @PFIA is de™ir que el v—lor de µt, es simplemente el v—lor esper—do del pro™eso en el tiempo t. in gener—l el v—lor de µt puede diferir p—r— ™—d— tiempo t. Denición 29 (Función de Autocovarianza)La función γt,sse dene como: γt,s = Cov (Yt, Ys) Para t, s = 0, ±1, ±2, ... @PFPA Fuller [1996] honde Cov (Yt, Yt) está ™ontempl—d— en l— de(ni™ión PHF v— fun™ión ρt,s está d—d— porX Denición 30 ρt,s = Corr (Yt, Ys) Para t, s = 0, ±1, ±2, ... @PFQA Fuller [1996] honde según l— de(ni™ión PP se puede ™on™luir queX Corr (Yt, Ys) = γt,s √ γt,tγs,s @PFRA „eniendo en ™uent— que t—nto l— ™ov—ri—nz— y l— ™orrel—™ión son medid—s de dependen™i— line—l entre dos v—ri—˜les —le—tori—sD se enun™i—r—n l—s siguientes propied—des que serán se gr—n utilid—d — lo l—rgo del des—rrollo del tem—F γt,t = V ar (Yt) ρt,t = 1 γt,s = γs,t ρt,s = ρs,t |γt,s| = √ γt,tγs,s |ρt,s| ≤ 1 @PFSA is import—nte re™ord—r que v—lores de ρt,s ™er™—nos — ±1 indi™—n un— fuerte dependen™i— line—lD por otr— p—rte v—lores ™er™—nos — 0 indi™—n dependen™i— line—l dé˜ilD y si ρt,s = 0 se di™e que Yt y Ys no están ™orrel—™ion—d—sF gon el (n de investig—r l—s propied—des de l— ™ov—ri—nz— de v—rios modelos de series de tiempoD el siguiente result—do gryer —nd gh—n ‘PHHV“ será us—do repetid—meteX ƒi c1, c2, , cm y d1, d2, , dn son ™onst—tes y t1, t2, , tm y s1, s2, , sn son puntos tempor—les enton™es Cov   m i=1 ciYti , m j=1 djYsj   = m i=1 m j=1 cidiCov Yti , Ysj @PFTA gomo ™—so espe™i—l se o˜tiene V ar n i=1 ciYti = n i=1 c2 i V ar (Yti ) + 2 n i=2 i−1 j=1 cicjCov Yti , Ytj @PFUA
IP CAPÍTULO 2. CONCEPTOS FUNDAMENTALES 2.3.1. La Caminata Aleatoria (Random Walk) ƒe—n e1, e2, ... un— se™uen™i— de v—ri—˜les —le—tori—s idénti™—mente distri˜uiE d—s ™—d— un— ™on medi— ™ero y v—ri—nz— σ2 e . ƒe ™onstruye l— serie de tiempo {Yt : t = 1, 2, ...} de l— siguiente m—ner— Y1 = e1 @PFVA Y2 = e1 + e2 FFF Y = e1 + e2 + · · · + et he form— —ltern—tiv— se puede es™ri˜ir Yt = Yt−1 + et gon l— ™ondi™ión ini™i—l Y1 = e1. ƒi ei es ™onsider—do ™omo el t—m—ño de los 4p—sos4 d—dos — lo l—rgo de l— re™t— numéri™— @˜ien se— h—™i— —del—nte o —trásAF inton™es Yt es l— posi™ión del g—min—nte —le—torio en el tiempo t F he l— e™u—™ión PFV se puede dedu™ir l— fun™ión de l— medi—X µt = E (Yt) = E (e1 + e2 + · · · + et) = E (e1) + E (e2) + ...E (et) = 0 + 0 + · · · + 0 inton™es µt = 0 €—r— todo t „—m˜iénD se ™onsider— V ar (Yt) = V ar (e1 + e2 + · · · + et) = V ar (e1) + V ar (e2) + ...V ar (et) = σ2 e + σ2 e + · · · + σ2 e inton™es V ar (Yt) = tσ2 e @PFWA €—r— ™—l™ul—r l— fun™ión de ™ov—ri—nz—D se —sume que 1 ≤ t ≤ s inton™es γt,s = Cov (Yt, Ys) = Cov (e1 + e2 + · · · et, e1 + e2 + · · · + et + et+1 + · · · es) €or propied—des de l— ™ov—ri—nz— se —(rm— queX γt,s = s i=j t j=1 Cov (ei, ej) ƒin em˜—rgoD est—s ™ov—ri—nz—s son ™ero menos ™u—ndo i = j, y en ese ™—so V ar (ei) = σ2 e y existen ex—™t—mente t ™—sos de di™h— igu—ld—dD luego γt,s = tσ2 e . y de˜ido — que γt,s = γs,t es posi˜le es™ri˜ir l— fun™ión de ™ov—ri—nz— de l— siguiente m—ner—X γt,s = tσ2 e €—r— 1 ≤ t ≤ s @PFIHA
2.3. MEDIAS, VARIANZAS Y COVARIANZAS IQ v— fun™ión de —uto™orrel—™ión p—r— l— ™—min—t— —le—tori— se o˜tiene de l— siguiente m—ner— ρt,s = γt,s √ γt,tγs,s = t s €—r— 1 ≤ t ≤ s @PFIIA 2.3.2. Promedios Móviles ƒupong— que {Yt} es ™onstruido ™omo Yt = et + et−1 2 @PFIPA he˜ido — que ei se —sumen ™omo v—ri—˜les —le—tori—s idénti™—mente distriE ˜uid—s ™on medi— ™ero y v—ri—nz— σ2 e , enton™es µt = E (Yt) = E et + et−1 2 = E (et) + E (et−1) 2 = 0 y V ar (Yt) = V ar et + et−1 2 = V ar (et) + V ar (et−1) 4 = 0,5σ2 e „—m˜ién Cov (Yt, Yt−1) = Cov et + et−1 2 , et−1 + et−2 2 = Cov (et, et−1) + Cov (et, et−2) + Cov (et−1, et−1) + Cov (et−1, et−2) 4 = Cov (et−1, et−1) 4 = 0,25σ2 e o γt,t−1 = 0,25σ2 e €—r— todo t @PFIQA edemás Cov (Yt, Yt−2) = Cov et + et−1 2 , et−1 + et−2 2 = 0 €or ser e independientes hel mismo modoD Cov (Yt − Yt−k) = 0 p—r— k 1 enton™es se gener—liz— de l— siguiente m—ner— γt,s =    0,25σ2 e €—r— |t − s| = 0 0,5σ2 e €—r— |t − s| = 1 H €—r— |t − s| 1
IR CAPÍTULO 2. CONCEPTOS FUNDAMENTALES €—r— l— fun™ión de —uto™orrel—™iónD —pli™—ndo l— e™u—™ión PFR se o˜tiene ρt,s =    1 €—r— |t − s| = 0 0,5 €—r— |t − s| = 1 H €—r— |t − s| 1 is de gr—n import—n™i— not—r que ρ2,1 = ρ3,2 = ρ5,6 = ρ9,8 = 0,5. is de™ir que v—lores de Y sep—r—dos por un— unid—d de tiempo tiene l— mism— ™orrel—™iónF wás —ún ρ3,1 = ρ5,3 = ρt,t−2 y más gener—l ρt,t−k es el mismo p—r— todo v—lor de t. iste he™ho ™ondu™e —l import—nte ™on™epto de est—™ion—ried—d 2.4. Estacionariedad gon el (n de inferir —™er™— de l— estru™tur— de un pro™eso esto™ásti™o ˜—E s—do en d—tos o˜serv—dosD se de˜eD usu—lmenteD —sumir ™iert—s ™ondi™iones que simpli(™—n el pro™esoF il más import—nte de di™hos supuestos es el de l— est—E ™ion—ried—dF v— ide— prin™ip—l de l— est—™ion—ried—d ™onsiste en que l—s regl—s de pro˜—˜ilid—d que rigen el pro™eso no ™—m˜i—n respe™to —l tiempoF Denición 31 Especícamente, un proceso {Yt}, se dice que es estrictamente estacionario si la distribución conjunta de Yt1 , Yt2 , . . . , Ytn es la misma que la distribución conjunta de Yt1−k, Yt2−k, . . . , Ytn−k, para cada elección de puntos t1, t2, ..., tn y todo rezago de tiempo k. Cryer and Chan [2008] …n— de(ni™ión simil—r — l— estri™t—mente est—™ion—l pero m—temáti™—mente m—s dé˜il es l— siguienteX Denición 32 Un proceso {Yt}, se dice que es débilmente estacionario o estacionario de segundo orden si Cryer and Chan [2008] IF v— fun™ión de l— medi— es ™onst—nte — tr—vés del tiempoD y PF γt,t−k = γ0,k p—r— todo tiempo t y todo rez—go k Denición 33 Para procesos estacionarios usualmente se considera k ≥ 0. Teorema 34 Sea {Yi} una serie de tiempo estacionaria con función de auto- covarianza γk = 1 n n k=t Yt pruebe que: V ar( ¯Y ) = γ0 n + 2 n n−1 k=1 1 + k n γk = 1 n n−1 k=−n+1 1 − k n γk
2.4. ESTACIONARIEDAD IS 2.4.1. Ruido Blanco (White Noise) …n ejemplo ˜—st—nte import—nte de lo que es un pro™eso est—™ion—l es lo que ™omúnmente se ™ono™e ™omo ruido ˜l—n™o wontgomery et —lF ‘PHHV“F Denición 35 El ruido blanco (White Noise) se dene como una secuencia de variables aleatorias, independientes idénticamente distribuidas {et} v— import—n™i— del ruido ˜l—n™o r—di™— en el he™ho de que mu™hos pro™esos útiles pueden ser ™onstruidos — p—rtir de ruido ˜l—n™oF il término ruido ˜l—n™o se ˜—s— en el he™ho que en un —nálisis de fre™uen™i— del modelo muestr—lD en —n—logí— ™on l— luz ˜l—n™—D tod—s l—s fre™uen™i—s entr—n —l modelo equiv—lentementeF …su—lmente se tiene que —sumir que los pro™esos de ruido ˜l—n™o tienen medi— igu—l — ™ero y v—ri—nz— σ2 e . Teorema 36 Sea {Yi} una serie de tiempo estacionaria con función de auto- covarianza γk = 1 n n k=t Yt pruebe que: V ar( ¯Y ) = γ0 n + 2 n n−1 k=1 1 + k n γk = 1 n n−1 k=−n+1 1 − k n γk
IT CAPÍTULO 2. CONCEPTOS FUNDAMENTALES
Capítulo 3 Tendencias in un— serie de tiempo gener—lD l— fun™ión de l— medi— es un— fun™ión —rE ˜itr—ri— respe™to —l tiempoF in un— serie de tiempo est—™ion—lD l— fun™ión de l— medi— de˜e ser ™onst—nte — tr—vés del tiempo gryer —nd gh—n ‘PHHV“F preE ™uentemente se de˜e est—˜le™er un punto medio entre l—s dos series de tiempo y ™onsider—r fun™iones de l— medi— rel—tiv—mente simples @no ™onst—ntesA — tr—vés del tiempoF is—s tenden™i—s serán tr—t—d—s en el siguiente ™—pítuloF 3.1. Tendencias Determinísticas contra Tenden- cias Estocásticas v—s tenden™i—s en un— serie de tiempo pueden ser su˜jetiv—sD dependiendo del punto de vist— del investig—dorF he he™hoD en diferentes simul—™iones de l— mism— v—ri—˜le —le—tori— l—s tenden™i—s pueden v—ri—rY — este tipo de tenden™i—s se les denomin— tenden™i—s esto™ásti™—sD teniendo en ™uent— que est— de(ni™ión no h— sido gener—lmente —™ept—d—F €or otro l—doD p—r— un— serie de tiempo ™on p—rámetro ™í™li™o determinísti™o se di™e que l— tenden™i— es determinísti™— y su model—miento se estudi—rá en este ™—pítuloF 3.2. Estimación de la Media Constante gomo primer— medid— se ™onsider—rá l— situ—™ión donde se —sume un— funE ™ión de l— medi— ™onst—nteD enton™es el modelo est—rí— d—do porX Yt = µ + Xt @QFIA honde E (Xt) = 0 p—r— todo t. ƒe dese— estim—r µ ™on ˜—se en l— serie de tiempo o˜serv—d— Y1, Y2, ..., Yn F v— estim—™ión más ™omún de µ es l— medi— IU
IV CAPÍTULO 3. TENDENCIAS muestr—l de(nid— ™omo ¯Y = 1 n n t=1 Yt @QFPA f—jo el supuesto de l— e™u—™ión QFID se puede ™on™luir que E ¯Y = µ; por lo t—nto ¯Y es un— estim—™ión imp—r™i—l de µ. €—r— o˜tener l— pre™isión de ¯Y ™omo estim—dor de µ, es ne™es—rio h—™er supuestos respe™to — Xt. ƒupóng—se que {Yt} es un— serie de tiempo est—™ion—ri— ™on fun™ión de —uE to™orrel—™ión ρk. inton™es por el teorem— PH se tiene gryer —nd gh—n ‘PHHV“ V ar( ¯Y ) = γ0 n n−1 k=−n+1 1 + |k| n ρk @QFQA = γ0 n 1 + 2 n−1 k=−n+1 1 − k n ρk ƒi l— serie de tiempo {Xt} de l— e™u—™ión QFI es simplemente ruido ˜l—n™oD enton™esD ρk = 0 ¡p—r— k 0 y V ar ¯Y se redu™e simplemente — γ0 n . in el modelo est—™ion—rio de promedios móviles Yt = et − et−1 2 , se en™uentr— que ρ1 = −0,4 y ρk = 0 p—r— k 1 en este ™—so se o˜tiene V ar( ¯Y ) = γ0 n 1 + 2 1 − 1 n (−0,4) = γ0 n 1 − 0,8 n − 1 n €—r— v—lores de n, usu—lmente m—yores que 50 el f—™torD n − 1 n es ™er™—no — 1, enton™es V ar( ¯Y ) ≈ 0,2 γ0 n he esto se puede ™on™luir que l— ™orrel—™ión neg—tiv— en el rez—go k, h— mejor—do l— estim—™ión de l— medi—D ™omp—r—d— ™on l— estim—™ión o˜tenid— en el modelo de ruido ˜l—n™o @muestr— —le—tori—AF he˜ido — que l— serie tiende — os™il—r —lrededor de l— medi—D l— medi— muestr—l o˜tenid— es más pre™is—F €or otr— p—rteD si ρk ≥ 0 p—r— todo k ≥ 1, se puede o˜serv—rD gr—™i—s — l— e™u—™ión QFQD que V ar( ¯Y ) γ0 n . in estos ™—sos l— ™orrel—™ión positiv— h—™e que l— estim—™ión de l— medi— se h—g— más ™ompli™—d— que ™on los modelos de ruido ˜l—n™oF in gener—l l— e™u—™ión QFQ de˜e ser us—d— p—r— ev—lu—r el efe™to en l— serie de tiempoF €—r— mu™hos pro™esos est—™ion—riosD l— fun™ión de —uto™orrel—™iónD de™re™e lo su(™ientemente rápidoD ™on rez—gos ™re™ientes t—l que ∞ k=0 |ρk| ∞ @QFRA
3.3. MÉTODOS DE REGRESIÓN IW „eniendo en ™uent— el supuesto de l— e™u—™ión QFRD y teniendo un— v—lor de n signi(™—tiv—mente —ltoD l— e™u—™ión QFQ puede —proxim—rse de l— siguiente m—ner— gryer —nd gh—n ‘PHHV“ V ar( ¯Y ) ≈ γ0 n ∞ k=−∞ ρk €—r— n su(™ientemente gr—nde @QFSA €—r— pro™esos no est—™ion—rios @pero ™on medi— ™onst—nteAD l— pre™isión de l— medi— muestr—l ™omo un— estim—™ión de µ puede ser sorprendentemente diE ferenteF €or ejemploD supóng—se que l— v—ri—˜le {Xt} en l— e™u—™ión QFI es un pro™eso de ™—min—t— —le—tori— luego utiliz—ndo l— e™u—™ión PFVF V ar( ¯Y ) = 1 n2 V ar n i=1 Yi = 1 n2 V ar   n i=j i j=1 ej   = 1 n2 V ar (e1 + 2e2 + 3e3 + · · · nen) = σ2 e n2 n K=1 k2 luego V ar( ¯Y ) = σ2 e (2n + 1) (n + 1) 6n ƒe ™on™luye que este es un ™—so espe™i—lD l— v—ri—nz— de l— estim—™ión de l— medi— —ument— ™u—ndo el t—m—ño de l— muestr— t—m˜ién lo h—™eD lo que impli™— que se ne™esit— ™onsider—r otro método de estim—™ión p—r— series no est—™ion—ri—sF 3.3. Métodos de Regresión vos métodos est—dísti™os ™lási™os de regresión ˜rind—n un— herr—mient— de sum— import—n™i— p—r— estim—r los p—rámetros de los modelos ™on tenden™i— medi— v—ri—˜leD en el des—rrollo de este —p—rt—doD se ™onsider—r—n los más útilesX line—lD ™u—dráti™—D medi—s est—™ion—lesD y tenden™i—s del ™osenoF 3.3.1. Tendencias Lineales y Cuadráticas gonsidérese l— tenden™i— determinísti™— expres—d— ™omo µt = β0 + β1t @QFTA
PH CAPÍTULO 3. TENDENCIAS honde l— pendiente y el inter™epto β1 y β0 respe™tiv—menteD son p—rámeE tros des™ono™idosF il método ™lási™o de mínimos ™u—dr—dos ™onsiste en elegir estim—™iones de β1 y β0 t—les que minimi™en Q (β0, β1) = n t=1 [Yt − (β0 + β1t)] 2 he est— form—D después de deriv—r p—r™i—lmente e igu—l—r — ™eroD se o˜tieneX ˆβ1 = n t=1 Yt − ¯Y (t − ¯t) n t=1 (t − ¯t) 2 @QFUA ˆβ0 = ¯Y − ˆβ1¯t donde t = (n + 1) 2 es el promedio de 1, 2, ...n. gryer —nd gh—n ‘PHHV“ 3.3.2. Tendencias cíclicas. ƒe ™onsider—ránD — ™ontinu—™iónD el model—miento de tenden™i—s est—™ion—E lesD por ejemploD l— temper—tur— mensu—lF ƒe —sumirá que l— serie de tiempo o˜serv—d— se puede es™ri˜ir ™omo Yt = µt + Xt honde E (Xt) = 0 €—r— todo t. il supuesto más gener—l p—r— µt ™on d—tos est—™ion—les mensu—lesD es que existen IP ™onst—ntes o p—rámetros β1, β2, ..., β12, y teniendo el promedio espeE r—do de temper—tur— p—r— ™—d— uno de los meses se puede es™ri˜ir µt =    β1 €—r— t = 1, 13, 25, ... β2 €—r— t = 2, 14, 26, ... FFF β12, €—r— t = 12, 24, 36, ... @QFVA gryer —nd gh—n ‘PHHV“ 3.3.3. Tendencias del Coseno v—s medi—s est—™ion—les del modelo p—r— d—tos mensu—les ™onsiste IP p—ráE metros independientesD y no tiene en ™uent— l— form— de l— tenden™i— est—™ion—lF €or ejemploD el he™ho de que l—s medi—s de w—rzo y e˜ril son simil—res no se re)ej—n (elmente en el modeloF in —lgunos ™—sosD l—s tenden™i—s est—™ion—les pueden ser model—d—s ™on ™osenos D que propor™ion—n un— ™urv— su—ve entre un periodo y otroD ™onserv—ndo l— est—™ion—ried—dF
3.4. CONFIABILIDAD Y EFICIENCIA DE LAS ESTIMACIONES DE LA REGRESIÓNPI gonsidérese l— ™urv— ™on l— e™u—™iónX µt = β cos (2πft + Φ) @QFWA ƒe le ll—m— — β 0 l— —mplitudD — f l— fre™uen™i—D y Φ l— f—se de l— ™urv—F he˜ido — que t v—rí—D l— ™urv— os™il— entre un máximo de β y un minimo de −β. he˜ido — que l— ™urv— se repite — sí mism— ™—d— 1 f unid—des de tiempoF 1 f es ™ono™ido ™omo el periodo de l— ™urv—F esimismo Φ es útil p—r— est—˜le™er el origen —r˜itr—rio en el eje del tiempoF v— e™u—™ión QFW no es muy ™onveniente p—r— efe™tos de l—s estim—™ionesD y— queD los p—rámetros β y ΦD no inter(eren en l— fórmul— de un— m—ner— line—lF efortun—d—menteD us—ndo un— identid—d trigonométri™— l— e™u—™ión QFW puede ser es™rit— de l— siguiente m—ner—X β cos (2πft + Φ) = β1 cos (2πft) + β2sen (2πft) honde β = β2 1 + β2 2, Φ = a tan −β2 β1 y β1 = β cos (Φ) , β2 = βsen (Φ) €—r— estim—r los p—rámetros β1 y β2 ™on té™ni™—s de regresiónD simplemente se us— cos (2πft) y sen (2πft) ™omo v—ri—˜les regresor—sF il modelo más sen™illoD teniendo en ™uent— l— tenden™i—D es el siguiente µt = β0 + β1 cos (2πft) + β2sen (2πft) @QFIHA in este ™—so l— ™onst—nteD β0, puede ser pens—d— ™omo un ™oseno ™on freE ™uen™i— igu—l — ™eroF gryer —nd gh—n ‘PHHV“ 3.4. Conabilidad y Eciencia de las Estimacio- nes de la Regresión esúm—se que l— serie de tiempo es represent—d— por Yt = µt + Xt, donde µt es un— tenden™i— determinísti™— y {Xt} es un pro™eso est—™ion—rio de medi— ™ero ™on fun™iones de —uto™ov—ri—nz— y —uto™orrel—™ión γk y ρk respe™tiv—menteF €—r— medi—s est—™ion—lesD l—s estim—™iones por mínimos ™u—dr—dos de l—s medi—s est—™ion—les sonD simplemente promedios est—™ion—lesD enton™esD si se tiene N —ños de d—tos mensu—les se puede es™ri˜ir l— estim—™ión p—r— l— medi— en l— tempor—d— j ™omo ˆβj = 1 N N−1 i=0 Yi + 12i
PP CAPÍTULO 3. TENDENCIAS ‰— que ˆβj es un promedio ™omo ¯Y ex™epto que solo us— ™—d— do™e—v— o˜serE v—™iónF v— e™u—™ión QFQ puede ser modi(™—d— p—r— o˜tener l— v—ri—nz— de ˆβjF ƒe reempl—z— n por N y ρk por ρ12k p—r— o˜tener V ar ˆβj = γ0 N 1 + 2 N−1 k=0 1 − k n ρ12k €—r— j = 1, 2, ..., 12 @QFIIA ƒe pude not—r que si {Xt} es un pro™eso de ruido ˜l—n™oD V ar ˆβj = γ0 N . edemás si v—rios ρk son diferentes de ™ero pero ρ12k = 0 enton™es V ar ˆβj = γ0 N . in ™u—lquier ™—soD solo l—s ™orrel—™iones est—™ion—les ρ12,ρ24, ... serán utiliE z—d—s en l— e™u—™ión QFIIF €—r— l—s tenden™i—s del ™oseno expres—d—s en l— e™u—™ión QFIHF €—r— ™u—lquier fre™uen™i— de l— form— f = m n donde m es un entero que s—tisf—™e 1 ≤ m ≤ n 2 , se pueden us—r expresiones expli™it—s p—r— los v—lores de l—s estim—™iones ˆβ1 y ˆβ2. ˆβ1 = 2 n n t=1 cos 2πmt n Yt , ˆβ2 = 2 n n t=1 sen 2πmt n Yt @QFIPA ‰— que l—s —nteriores e™u—™iones son e™u—™iones line—les de {Yt} , se ev—lu—rán sus v—ri—nz—s us—ndo l— e™u—™ión PFTD y teniendo en ™uent— que gryer —nd gh—n ‘PHHV“ n t=1 = cos 2πmt n 2 = n 2 se o˜tiene V ar ˆβ1 = 2γ0 n 1 + 4 n n s=2 s−1 t=1 cos 2πmt n cos 2πms n ρs−t y V ar ˆβ1 = 2γ0 n 1 + 4 n n s=2 s−1 t=1 sen 2πmt n sen 2πms n ρs−t ƒi {Xt} es un pro™eso de ruido ˜l—n™oD se o˜tiene implemente 2γ0 n . ƒi ρ1 = 0, ρk = 0 p—r— k 1 y m n = 1 12 l— v—ri—nz— se redu™e — gryer —nd gh—n ‘PHHV“ V ar ˆβ1 = 2γ0 n 1 + 4ρ1 n n−1 t=1 cos πt 6 cos πt + 1 6 ρs−t @QFIQA €—r— l—s tenden™i—s line—les es más ™onveniente utiliz—r un— formul— —ltern—E tiv— — l— e™u—™ión QFU p—r— ™—l™ul—r ˆβ1. ƒegún gryer —nd gh—n ‘PHHV“ l— estim—E ™ión de l— pendiente por medio de mínimos ™u—dr—dos puede ser es™rit— de l—
3.5. ANÁLISIS DE RESIDUALES PQ siguiente m—ner— ˆβ1 = n t=1 (t − ¯t) Yt n t=1 (t − ¯t) 2 @QFIRA ‰— que l— estim—™iónD ˆβ1D es un— ™om˜in—™ión line—l de los v—lores de Y, y us—ndo n t=1 (t − ¯t) 2 = n n2 − 1 12 l— v—ri—nz— se puede es™ri˜ir ™omo V ar ˆβ1 = 12γ0 n (n2 − 1) n s=2 s−1 t=1 (t − ¯t) (s − ¯t) ρs−t @QFISA 3.5. Análisis de Residuales gomo y— se h— des™rito —nteriormenteD l— ™omponente esto™ásti™— {Xt} puede ser estim—d— medi—nte el residual ˆXt = Yt − ˆµt ƒe ™ono™e — ˆXt ™omo el residu—l ™orrespondiente — l— t − ´esima o˜serv—E ™ión frillinger ‘PHHI“F ƒi el modelo de l— tenden™i— es r—zon—˜lemente ™orre™toD enton™es los residu—les de˜erí—n ™omport—rse ™omo un ™omponente esto™ásti™o y se pueden est—˜le™er v—rios supuestosF ƒi el ™omponente esto™ásti™o es ruido ˜l—n™oD enton™es los residu—les de˜erí—n ™omport—rse ™omo v—ri—˜les —le—tori—s independientes norm—lmente distri˜uid—s ™on medi— ™ero y desvi—™ión estánd—r s. he˜ido — que —l —juste medi—nte mínimos ™u—dr—dos de ™u—lquier tendenE ™i— ™on términos ™onst—ntes produ™en residu—les ™on medi— ™eroD es import—nte est—nd—riz—r los residu—les ™omo ˆX t s .„eniendo los residu—les est—nd—riz—dosD el p—so — seguir es ™omp—r—r los residu—les ™on l— tenden™i— ™orrespondiente del v—lor —just—do y por medio de softw—re espe™i—liz—do veri(™—r l—s ™—r—™terísti™—s del pro™eso esto™ásti™o @norm—lid—dD independen™i—D et™FA @†é—se ‰—te ‘PHII“AF 3.5.1. Función de Autocorrelación Muestral …n— import—nte herr—mient— ™on l— ™u—l se puede ex—min—r l— dependen™i— es l— fun™ión de —uto™orrel—™ión muestr—lF gonsidérese un— se™uen™i— de d—E tos Y1, Y2, . . . , Yn @˜ien se— residu—lesD d—tos origin—les o d—tos tr—nsform—dosAF esumiendo tent—tiv—mente est—™ion—ried—dD se dese— estim—r l— fun™ión de —utoE ™orrel—™ión ρk p—r— un— v—ried—d de rez—gos k = 1, 2, . . . . v— form— más evidente de re—liz—r di™ho ™ál™uloD es ™—l™ul—r l— fun™ión de ™orrel—™ión muestr—l entre ™—E d— p—r de d—tos (Y1, Y1+k) , (Y2, Y2+k) , . . . , (Yn−k, Yn) . ƒin em˜—rgoD teniendo
PR CAPÍTULO 3. TENDENCIAS en ™uent— el supuesto de l— est—™ion—ried—dD l— ™u—l impli™— un— medi— y un— v—ri—nz— ™omún p—r— l— serie de tiempoF v— fun™ión de —uto™orrel—™ión muestr—l de l— siguiente m—ner— gryer —nd gh—n ‘PHHV“ Denición 37 La función de autocorrelación muestral, rk en el rezago k es rk = n t=k+1 Yt − ¯Y Yt−k − ¯Y n t=1 Yt − ¯Y 2 @QFITA
Capítulo 4 Modelos para Series de Tiempo Estacionarias in el siguiente ™—pítulo se dis™utirán los ™on™eptos ˜ási™os de un— —mpli— g—m— de modelos de series de tiempo p—r—métri™—s ™ono™id—s ™omo modelos —utorregresivos de promedios móviles o e‚weD de˜ido — sus sigl—s en inglésF g—˜e not—r que este tipo de modelos tiene un— gr—n import—n™i— en los pro™esos de l— vid— ™otidi—n—D en v—rios ™—mpos del ™ono™imientoF 4.1. Procesos Generales Lineales r—st— el momentoD siempre se h— ™onsider—do — {Yt} ™ómo l— serie de tiempo o˜serv—d—F e p—rtir de este ™—pítuloD t—m˜ién se denot—rá — {et} ™omo un ruido ˜l—n™o no o˜serv—doD es de™irD un— se™uen™i— de v—ri—˜les —le—tori—sD idénti™—E mente distri˜uid—s ™on medi— ™eroF „—m˜iénD en mu™hos ™—sosD el supuesto de independen™i— puede ser sustituido por el supuesto @más dé˜ilA que {et}, es un— se™uen™i— de v—ri—˜les —le—tori—s no ™orrel—™ion—d—sF Denición 38 Un proceso general lineal {Yt}, es aquel que puede ser represen- tado como una combinación lineal ponderada, de los términos del pasado y del presente de un proceso de ruido blanco de la siguiente manera. Yt = et + ψ1et−1 + ψ2et−2 + · · · @RFIA Cryer and Chan [2008] ƒi l— expresión de l— dere™h— es ™iert—mente un— serie in(nit—D de˜en est—E ˜le™er™e ™ondi™iones so˜re los pesos ψ, ™on el (n de que di™h— expresión teng— sentidoD m—temáti™—mente h—˜l—ndoF is su(™iente —sumir queX ∞ i=1 ψ2 i ∞ @RFPA PS
PTCAPÍTULO 4. MODELOS PARA SERIES DE TIEMPO ESTACIONARIAS „—m˜ién de˜e not—rse que d—do que {et} es un pro™eso de ruido ˜l—n™o no o˜serv—˜leD no se pierde l— gener—lid—d de l— e™u—™ión RFPY si se —sume que el ™oe(™iente de et es 1; efe™tiv—mente ψ0 = 1. …n ejemplo de sum— import—n™i— en el des—rrollo del textoD es l— ™—so en el ™u—l los ψ form—n un— se™uen™i— exponen™i—lmente de™re™iente ψj = φj honde −1 ≤ φ ≤ 1, enton™es Yt = et + φet−1 + φ2 et−2 + · · · €—r— este ejemplo E (Yt) = E et + φet−1 + φ2 et−2 + · · · = 0 es de™ir que {Yt} tiene un— medi— ™onst—nte igu—l — ™eroF „—m˜ién V ar (Yt) = V ar et + φet−1 + φ2 et−2 + · · · = V ar (et) + φ2 V ar (et−1) + φ4 V ar (et−2) + · · · = σ2 e 1 + φ2 + φ4 + · · · = σ2 e 1 − φ2 @ƒum—ndo l— serie geométri™—A edemás Cov (Yt, Yt−1) = Cov et + φet−1 + φ2 et−2 + · · · , et−1 + φet−2 + φ2 et−3 + · · · = Cov (φet−1, et−1) + Cov φ2 et−2, φet−2 + · · · = φσ2 e + φ3 σ2 e + φ5 σ2 e + · · · = φσ2 e 1 + φ2 + φ4 + · · · = φσ2 e 1 − φ2 @ƒum—ndo l— serie geométri™—A inton™es Corr (Yt, Yt−1) = φσ2 e 1 − φ2 σ2 e 1 − φ2 = φ he m—ner— —nálog—D se puede ™—l™ul—r Cov (Yt, Yt−k) = φk σ2 e 1 − φ2 por lo t—nto Corr (Yt, Yt−k) = φk @RFQA
4.2. PROCESOS DE PROMEDIOS MÓVILES PU is import—nte señ—l—r que el pro™eso es est—™ion—rioD y— que l— —uto™ov—ri—nE z— depende sol—mente del rez—go de tiempo y no del tiempo —˜solutoF €—r— un pro™eso gener—l line—l Yt = et + ψ1et−1 + ψ2et−2 + · · · se sigue un pro™edimiento —nálogo —l —nteriormente re—liz—do p—r— o˜tener E (Yt) = 0 γk = Cov (Yt, Yt−k) = σ2 e ∞ i=0 ψiψi+k k ≥ 0 @RFRA ™on ψ0 = 1. …n pro™eso ™on medi—D diferente de ™eroD µ puede ser o˜tenido —ñ—diendo el término µ — l— p—rte dere™h— de l— e™u—™ión RFIF he˜ido — que l— medi— no —fe™t— l—s propied—des de l— ™ov—ri—nz—D se sumirá que l— medi— es ™eroD h—st— que se —justen modelos — un— serie de d—tos 4.2. Procesos de Promedios Móviles in el ™—soD donde solo existe un número (nito de pesos ψ diferentes de ™eroD se tiene lo que se ™ono™e ™omo un pro™eso de promedios móviles Denición 39 Una proceso {Yt} se dice que es promedios móviles cuando existe un número nito de pesos θ, y tiene la siguiente forma: Yt = et − θ1et−1 − θ2et−2 − · · · − θqet−q @RFSA La ecuación 4.5 se conoce como una serie de promedios móviles de orden q y se abrevia con las siglas MA(q). Box and Jenkins [1976] il término €romedios wóviles se ˜—s— en el he™ho que Yt se o˜tiene —pli™—nE do los pesos 1, −θ1, −θ2, · · · , −θq — l—s v—ri—˜les et, et−1, et−2, · · · , et−q y luego se mueven los pesos y se —pli™—n — l—s v—ri—˜les et + 1, et, et−1, · · · , et−q+1 ™on (n de o˜tener Yt+1F 4.2.1. Procesos de Promedios Móviles de Primer Orden e ™ontinu—™ión se ™onsider—ráD el más simpleD de los modelosD sin dej—r de ser import—nteF il pro™eso de promedios móviles de orden 1D es de™irD MA(1). ƒegún l— e™u—™ión RFS el modelos es de l— form—X Yt = et − θet−1 is import—nte —™l—r—r que p—r— los modelos de primer orden θ1 se suele not—r simplemente ™omo θF gl—r—mente E (Y1) = 0 y V ar (Yt) = σ2 e 1 + θ2 , edemás Cov (Yt, Yt−1) = Cov (et − θet−1, θet−1 − θet−2) = Cov (−θet−1, et−1) = −θσ2 e
PVCAPÍTULO 4. MODELOS PARA SERIES DE TIEMPO ESTACIONARIAS y Cov (Yt, Yt−2) = Cov (et − θet−1, θet−2 − θet−3) = 0 he˜ido — que no existen v—ri—˜les e ™omunes entre Yt y Yt−2, Cov (Yt, Yt−k) = 0 siempre y ™u—ndo k ≥ 2, es de™ir que el pro™eso no tiene ™orrel—™ión p—r— rez—gos m—yores — 1. in resumenD p—r— un modelo MA (1) Y = et − θet−1 E (Yt) = 0 @RFTA γ0 = V ar (Yt) = σ2 e 1 + θ2 γ1 = −θσ2 e ρ1 = −θ (1 + θ2) γk = ρk = 0 €—r— k ≥ 2 4.2.2. Procesos de Promedios Móviles de Segundo Orden ƒegún l— e™u—™ión RFS un— serie de tiempo de promedios móviles de orden dos es de l— form—X Yt = et − θ1et−1 − θ2et−2 in este g—so γ0 = V ar (Yt) = V ar (et − θ1et−1 − θ2et−2) = 1 + θ2 1 + θ2 2 σ2 e γ1 = Cov (Yt, Yt−1) = Cov (et − θ1et−1 − θ2et−2, et−1 − θ1et−2 − θ2et−3) = Cov (−θ1et−1, et−1) + Cov (−θ1et−2, −θ2et−2) = [−θ1 + (−θ1) (−θ2)] σ2 e = (−θ1 + θ1θ2) σ2 e y γ1 = Cov (Yt, Yt−2) = Cov (et − θ1et−1 − θ2et−2, et−2 − θ1et−3 − θ2et−4) = Cov (−θ2et−2, et−2) = −θ2σ2 e inton™esD p—r— un modelo MA (2) ρ1 = −θ1 + θ1θ2 1 + θ2 1 + θ2 2 ρ2 = −θ2 1 + θ2 1 + θ2 2 @RFUA ρk = 0 €—r— k = 3, 4, ...
4.3. PROCESOS AUTORREGRESIVOS PW 4.2.3. Procesos de Promedios Móviles de Orden q €—r— el pro™eso gener—l MA (q) Yt = et − θ1et−1 − θ2et−2 − · · · − θqet−q ƒiguiendo un pro™eso —nálogo —l de los pro™esos MA (1) y MA (2) se o˜tiene γ0 = V ar (Yt) = 1 + θ2 1 + θ2 2 + · · · + θ2 q σ2 e @RFVA y ρk =    −θk+1 + θ1θk+1 + θ2θk+2 + · · · + θq−kθq 1 + θ2 1 + θ2 2 + · · · + θ2 q €—r— k = 1, 2, ..., q H €—r— k q @RFWA fox —nd tenkins ‘IWUT“ 4.3. Procesos Autorregresivos Denición 40 Un proceso Autorregresivo {Yt} de orden p satisface la ecuación Box and Jenkins [1976] Yt = φ1Yt−1 + φ1Yt−2 + · · · + φpYt−p + et @RFIHA il v—lor —™tu—l de l— serie {Yt} es un— ™om˜in—™ión line—l del v—lor p—s—do más re™iente de p m—s un término de innov—™ión et, el ™u—l in™orpor— todo lo que no es expli™—do por l—s v—ri—˜les p—s—d—s en l— serie en el tiempo tF €or lo t—ntoD se —sume que ™—d— t es independiente — Yt−1, Yt−2, Yt−3, .. 4.3.1. Procesos Autorregresivos de Primer Orden il pro™eso —utorregresivo de primer orden AR (1) , teniendo en ™uent— l— e™u—™ión RFIHD es de l— form— Yt = φYt−1 + et @RFIIA gomo es usu—lD se —sume que l— medi— del pro™esoD h— sido extr—íd—D luego l— medi— de l— serie es ™eroF „eniendo en ™uent— el pro™edimiento propuesto por gryer —nd gh—n ‘PHHV“ gomo primer— medid— se ev—lu—rá l— v—ri—nz—F „om—ndo l— e™u—™ión RFII y s—™—ndo l— v—ri—nz— — —m˜os l—dos de l— igu—ld—d se o˜tiene γ0 = φ2 γ0 + σ2 e vuego γ0 = φ σ2 e 1 − φ2
QHCAPÍTULO 4. MODELOS PARA SERIES DE TIEMPO ESTACIONARIAS he los ™u—l se puede ™on™luir que φ2 1 o lo que es equiv—lente |φ| 1. ehor— tom—ndo l— e™u—™ión RFII y multipli™—ndo —m˜os l—dos de l— igu—ld—d por Yt−k ™on k = 1, 2, ..., y tom—ndo el v—lor esper—do se o˜tieneX E (Yt−kYt) = φ2 E (Yt−kYt−1) + E (etYt−k) o γk = φγk−1 + E (etYt−k) = 0 he˜ido — que l— serie se h— supuesto est—™ion—ri— ™on medi— ™eroD y teniendo en ™uent— que et es independiente de Yt−k se o˜tieneX E (etYt−k) = E (et) E (Yt−k) = 0 inton™es γk = φγk−1 ƒustituyendo k = 1 se o˜tiene γ1 = φγ0 es de™ir γ1 = σ2 e 1 − φ2 ƒustituyendo k = 2 se o˜tiene γ2 = φ2 σ2 e 1 − φ2 vuego se puede ™on™luir que en gener—l γk = φk σ2 e 1 − φ2 €or ™onsiguiente ρk = γk γ0 = φk €—r— k = 1, 2, 3, ... gomo |φ| 1, l— m—gnitud de l— fun™ión de ™orrel—™ión de™re™e exponen™i—lE mente según —ument— el número de rez—gos k 4.3.1.1. Versión General Lineal de un Modelo AR (1) v— de(ni™ión re™ursiv— del modelo AR (1) d—d— en l— e™u—™ión RFII es de gr—n utilid—d p—r— l— interpret—™ión del modeloF ƒin em˜—rgoD p—r— otros propósitosD es ™onveniente expres—r el modelo AR (1) ™omo un pro™eso gener—l line—l ™omo en l— e™u—™ión RFIF v— de(ni™ión re™ursiv— es válid— p—r— todo t. ƒi se us— l— e™u—™ión reempl—z—ndo t por t − 1, se tiene Yt−1 = φYt−2 + et−1. ƒustituyendo en l— e™u—™ión gener—l se o˜tiene Yt = φ (φYt−2 + et−1) + et = et + φet−1 + φ2 Yt−2
4.3. PROCESOS AUTORREGRESIVOS QI ƒi se repite el pro™eso h—™i— el p—s—doD k − 1 ve™esD se o˜tiene Yt = et + φet−1 + φ2 et−2 + +φk−1 et−k+1 + φk Yt−k @RFIPA esumiendo que |φ| 1, y permitiendo que k ™rez™—D se o˜tiene l— represenE t—™ión in(nit—X Yt = et + φet−1 + φ2 et−2 + φ3 et−3 + · · · @RFIQA fox —nd tenkins ‘IWUT“ 4.3.1.2. Estacionariedad de un Proceso AR (1) ƒujeto — l—s restri™™iones que et es independiente — Yt−1, Yt−2, Yt−3, .. y que σ2 e 0, l— solu™ión de l— re™ursivid—d del modelo AR (1) Yt = φYt−1 + et es est—™ion—l si y solo si |φ| 1. iste requisito gener—lmente se ™ono™e ™omo l— Condición de estacionariedad (fox —nd tenkins ‘IWUT“ pF SRA 4.3.2. Procesos Autorregresivos de Segundo Orden gonsidérese l— serie que s—tisf—™e l— siguiente e™u—™ión Yt = φ1Yt−1 + φ2Yt−2 + et @RFIRA hondeD ™omo es usu—lD se —sume que et es independiente de Yt−1, Yt−2, Yt−3, ... €—r— tener en ™uent— l— est—™ion—ried—d se introdu™e el Polinomio Característico AR φ (x) = 1 − φ1x − φ2x2 ‰ su respe™tiv— Ecuación Característica AR 1 − φ1x − φ2x2 = 0 „eniendo en ™uent— que un— e™u—™ión ™u—dráti™— tiene dos r—í™esD posi˜leE mente ™omplej—sF 4.3.2.1. Estacionariedad de un Proceso AR (2) ƒujeto — l— ™ondi™ión que et es independiente de Yt−1, Yt−2, Yt−3, ...…n— soE lu™ión est—™ion—ri— — l— e™u—™ión RFIRD existeD si y solo si l—s r—í™es de l— e™u—™ión ™—r—™terísti™— e‚D son m—yores que I en v—lor —˜solutoD o eventu—lmente se diE ™e que l—s r—í™es están en el exterior del ™ir™ulo unit—rio en el pl—no ™omplejo @foxD tenkinsD —nd ‚einselD IWWRDpF SRAF iste ™on™epto se gener—liz— — modelos de orden p sin ™—m˜io —lgunoF vo que siguiere el siguiente teorem—X
QPCAPÍTULO 4. MODELOS PARA SERIES DE TIEMPO ESTACIONARIAS Teorema 41 Cryer and Chan [2008] En el caso del modelo de segundo orden AR(2) , las raíces de la ecuación característica son de la forma φ1 ± φ2 1 − 4φ2 −2φ2 Un modelo AR (2) es estacionario si y solo si se satisfacen las siguientes con- diciones φ1 + φ2 1 φ2 − φ1 1 |φ2| 1 Demostración ƒe—n G1 y G2 los números re™ípro™os de l—s r—í™es de l— e™u—™ión ™—r—™terísti™— e‚D enton™es G1 = 2φ2 −φ1 − φ2 1 + 4φ2 ‚—™ion—liz—ndo G1 = 2φ2 −φ1 + φ2 1 + 4φ2 −φ2 1 − (φ2 1 + 4φ2) G1 = −φ1 − φ2 1 + 4φ2 2 hel mismo modo G2 = φ1 + φ2 1 + 4φ2 2 ehor—D teniendo en ™uent— el dis™rimin—nte de un— fun™ión ™u—dráti™— se puede ™on™luir que v— r—íz es re—l si y solo si φ2 1 + 4φ2 ≥ 0 |Gi| 1 p—r— i = 1 y 2 si y solo si −1 φ1 − φ2 1 + 4φ2 2 φ1 + φ2 1 + 4φ2 2 1 o 2 φ1 − φ2 1 + 4φ2 φ1 + φ2 1 + 4φ2 2 „om—ndo l— primer— p—rte de l— desigu—ld—dF 2 φ1 − φ2 1 + 4φ2 si y solo si φ2 1 + 4φ2 φ1 + 2 si y solo si φ2 1 + 4φ2 φ2 1 + 4φ1 + 4 si y solo si φ2 φ1 + 1 o φ2 − φ1 1 enálog—mente l— segund— desigu—ld—d φ1 + φ2 1 + 4φ2 2 nos llev— — φ2 + φ1 1 v— r—íz es ™omplej— si y solo si φ2 1 + 4φ2 0 honde G1 y G2 son ™omplej—s ™onjug—d—s y |G1| = |G2| 1 |G1| 2 = φ2 1 + −φ2 1 − 4φ2 4 = −φ2
4.3. PROCESOS AUTORREGRESIVOS QQ φ2 −1 iso junto ™on l— desigu—ld—d φ2 1 + 4φ2 0 nos llev— — |φ2| 1 gryer —nd gh—n ‘PHHV“ 4.3.2.2. La Función de Autocorrelación del Proceso AR (2) €—r— ™—l™ul—r l— fun™ión de —uto™orrel—™ión p—r— los modelos AR (2) se tom— l— e™u—™ión RFIR se multipli™—n —m˜os l—dos por Yt−k, y se tom—n los v—lores esper—dosF esumiendo est—™ion—ried—dD medi—s igu—les — ™ero y l— independen™i— de et respe™to — Yt−1, Yt−2, Yt−3, .... vo que ™ondu™e — γk = φ1γk + φ2γk−2 €—r— k = 1, 2, 3, ... @RFISA o dividiendo por γ0 ρk = φ1ρk−1 + φ2ρk−2 €—r— k = 1, 2, 3, ... @RFITA v—s e™u—™iones RFIS y RFIT son ™ono™id—s ™omo l—s e™u—™iones ‰uleE‡—lkerD espe™i—lmente el ™onjunto de dos e™u—™iones o˜tenid—s ™u—ndo k = 1 y k = 2. r—™iendo k = 1 us—ndo — ρ0 = 1 y ρ−1 = ρ1, se o˜tiene ρ1 = φ1 + φ2ρ1, luego ρ1 = φ1 1 − φ2 us—ndo los v—lores ™ono™idos de ρ1, se us— l— e™u—™ión RFIT ™on k = 2 p—r— o˜tener ρ2 = φ2ρ2 + φ2ρ2 = φ2 (1 − φ2) + φ2 1 1 − φ2 ‰ de un— m—ner— —nálog— y su™esiv— se podrí— ™—l™ul—r ρk 4.3.3. Varianza del Modelo AR (2) v— v—ri—nz— γ0 puede ser expres—d— en términos de los p—rámetros del modelo φ1 D φ2 y σ2 e de l— siguiente m—ner—X „om—ndo l— e™u—™ión RFIR y ev—lu—ndo l— v—ri—nz— — —m˜os l—dos de l— igu—ld—d se o˜tiene γ0 = φ2 1 + φ2 2 γ0 + 2φ1φ2γ1 + σ2 e @RFIUA iv—lu—ndo l— e™u—™ión RFIS ™on k = 1 se o˜tiene un— e™u—™ión line—l p—r— γ0 y γ1 γ1 = φ1γ0 + φ2γ1 l— ™u—l se puede resolver simult—ne—mente ™on l— e™u—™ión RFIU p—r— o˜tener γ0 = (1 − φ2) σ2 e (1 − φ2) (1 − φ2 1 − φ2 2) − 2φ2φ2 1 = 1 − φ2 1 + φ2 σ2 e (1 − φ2) 2 − φ2 1 @RFIVA
QRCAPÍTULO 4. MODELOS PARA SERIES DE TIEMPO ESTACIONARIAS 4.3.4. Proceso Autorregresivo General gonsidere el modelo —utorregresivo de orden p Yt = φ1Yt−1 + φ1Yt−2 + · · · + φpYt−p + et @RFIWA gon su polinomio ™—r—™terísti™o e‚ φ (x) = 1 − φ1x − φ2x2 − · · · − φpxp @RFPHA ‰ su respe™tiv— e™u—™ión ™—r—™terísti™— 1 − φ1x − φ2x2 − · · · − φpxp = 0 @RFPIA gomo se men™ionó —ntesD —sumiendo que et es independiente de Yt−1, Yt−2, Yt−3, ... un— solu™ión est—™ion—ri— — l— e™u—™ión RFPI existe si y solo si l—s p r—í™es de l— e™u—™ión son m—yores que 1 en v—lor —˜solutoF hel mismo modoD —sumiendo l— est—™ion—ried—d y que l—s medi—s son igu—les — ™eroD se puede multipli™—r l— e™u—™ión RFIW p—r— o˜tener l— siguiente e™u—™ión re™ursiv—F ρk = φ1ρk−1 + φ2ρk−2 + φ3ρk−3 + · · · + φpρk−p €—r— k ≥ 1 @RFPPA he(niendo k = 1, 2, ... y valores de p en l— e™u—™ión D y us—ndo ρ0 = 1 y ρ−k = ρk se o˜tienen l—s e™u—™iones gener—les de ‰uleE‡—lker ρ1 = φ1 + φ2ρ1 + φ3ρ2 + · · · + φpρp−1 @RFPQA ρ2 = φ1ρ1 + φ2 + φ3ρ1 + · · · + φpρp−2 @RFPRA FFF ρp = φ1ρp−1 + φp−2 + φ3ρp−3 + · · · + φp edemásD ™onsider—ndo que E (etYt) = E [et (φ1Yt−1 + φ2Yt−2 + · · · + φpYt−p + et)] = E e2 t = σ2 e se puede multipli™—r l— e™u—™ión RFIW por Yt tom—r v—lores esper—dos y o˜E tener γ0 = φ1γ1 + φ2γ2 + · · · + φpγp + σ2 e ue tom—ndo — ρk = γk γ0 puede ser es™rit— de l— siguiente m—ner— fox —nd tenkins ‘IWUT“ γ0 = σ2 e 1 − φ1ρ1 − φ2ρ2 − · · · − φpρp @RFPSA i™u—™ión que expres— l— v—ri—nz— γ0 en términos de σ2 e , φ1, φ2, ..., φp y los v—lores ™ono™idos de ρ1, ρ2, ..., ρp.
4.4. MODELOS MIXTOS AUTORREGRESIVOS DE PROMEDIOS MÓVILESQS 4.4. Modelos Mixtos Autorregresivos de Prome- dios Móviles ƒi se —sume que l— serie de tiempo es p—r™i—lmente —utorregresiv— y p—r™i—lE mente de promedios móviles se puede o˜tener lo siguienteF Denición 42 Una serie {Yt} se dice que es un proceso mezclado autorregre- sivo de promedios móviles de ordenes p y q, si satisface la siguiente ecuación Yt = φ1Yt−1 +φ2Yt−2 +· · ·+φpYt−p +et −θ1et−1 −θ2et−2 −· · ·−θqet−q @RFPTA gon el (n de —˜revi—rD se utiliz—rá l— not—™ión ARMA (p, q) . esumiendo que en los modelo mixtos no existen f—™tores ™omunes en los polinomiosD t—nto —utorregresivos ™omo de promedios móvilesF is ™l—ro que si existier—n se podrí—n ™—n™el—r y en ese ™—so el orden del modelo disminuirí— fox —nd tenkins ‘IWUT“ 4.4.1. El modelo ARMA (1, 1) ƒegún l— e™u—™ión RFPT el modelo ARMA (1, 1) se puede es™ri˜ir de l— siE guiente m—ner— Yt = φYt−1 + et − θet−1 @RFPUA gon el (n de o˜tener l—s e™u—™iones de ‰uleE‡—lkerD primeroX E (et, Yt) = E [et (φYt−1 + et − θet−1)] = σ2 e y E (et−1Yt) = E [et−1 (φYt−1 + et − θet−1)] = φσ2 e − θσ2 e = (φ − θ) σ2 e ƒi se multipli™— l— e™u—™ión RFPU por Yt−k y se ™—l™ul— el v—lor esper—do se o˜tiene el siguiente sistem— de e™u—™iones γ0 = φγ0 + [1 − θ (φ − θ)] σ2 e γ1 = φγ0 − θσ2 e @RFPVA γk = φγk−1 €—r— k ≥ 2 ‚esolviendo l—s dos primer—s e™u—™iones γ0 = 1 − φθ + θ2 1 + φ2 σ2 e @RFPWA ƒolu™ion—ndo l— e™u—™ión re™ursiv— ρk = (1 − θφ) (φ − θ) 1 − θφ + θ2 φk−1 €—r— k ≥ 1 @RFQHA
QTCAPÍTULO 4. MODELOS PARA SERIES DE TIEMPO ESTACIONARIAS ƒe puede ™on™luir que l— fun™ión de —uto™orrel—™ión de™re™e — medid— que los rez—gos k ™re™enF v— form— del pro™eso line—l gener—l del modelo puede ser o˜tenid— de l— mism— m—ner— que l— o˜tenid— gr—™i—s — l— e™u—™ión RFIQ Yr = et + (φ − θ) ∞ j=1 φj−1 et−j @RFQIA is de™ir ψj = (φ − θ) φj−1 €—r— j ≥ 1 honde l— ™ondi™ión de est—™ion—ried—d |φ| 1 se tiene que ™umplirF 4.4.2. La Función de Autocorrelación para un Proceso ARMA (p, q) Cryer and Chan [2008] €—r— un modelo gener—l ARMA (p, q) , teniendo en ™uent— que et es indeE pendiente de Yt−1, Yt−2, Yt−3, . . . , un— solu™ión est—™ion—ri— — l— e™u—™ión RFPT existe si y solo si tod—s l—s r—í™es en v—lor —˜soluto de l— e™u—™ión ™—r—™terísti™— AR son m—yores que 1. ƒi l— ™ondi™ión de est—™ion—ried—d se s—tisf—™eD el modelo puede ser es™rito ™omo un pro™eso gener—l line—l ™on ψ ™oe(™ientes determin—dos gr—™i—s — ψ0 = 1 @RFQPA ψ1 = −θ1 + φ1 ψ2 = −θ2 + φ2 + φ1ψ1 FFF ψj = −θj + φpψj−p + φp−1ψj−p+1 + · · · + φ1ψj−1 dondeD por pr—™ti™id—d se tom— ψj = 0 p—r— j 0 y θj = 0 p—r— j q. „eniendo en ™uent— l— ™ondi™ión de est—™ion—ried—dD l— fun™ión de —uto™oE rrel—™ión s—tisf—™e ρk = φ1ρk−1 + φ2ρk−2 + +φpρk−p €—r— k q @RFQQA edemásD se— {Yt} un pro™eso ARMA (p, q) inverti˜leD teniendo en ™uent— que di™ho pro™eso se puede es™ri˜ir en un— form— gener—l line—l de l— siguiente form— Yt = ∞ j=0 ψjet−j @RFQRA donde los pesos ψ pueden ser o˜tenidos re™ursiv—mente gr—™i—s — l— e™u—™ión RFQPD luego E (Yt+ket) = E   ∞ j=0 ψjet+k−jet   = ψkσ2 e €—r— k ≥ 0 @RFQSA
4.4. MODELOS MIXTOS AUTORREGRESIVOS DE PROMEDIOS MÓVILESQU inton™es l— —uto™ov—ri—nz— de˜e s—tisf—™er γk = E (Yt+kYt) = E     p j=1 φjYt+k−j − q j=0 θjet+k−j   Yt   @RFQTA = p j=1 φjγk−j − σ2 e q j=0 θψj−k honde θ0 = 1 y l— ultim— sum— se ™—n™el— si k q. ƒi se est—˜le™e k = 0, 1, , p y γ−k = γk se puede ™on™luir que existen p + 1 e™u—™iones line—les en γ0, γ1, . . . , γp. γ0 = φ1γ1 + φ2γ2 + · · · + φpγp − σ2 e (θ0 + θ1ψ1 + · · · + θ1ψ1) γ1 = φ1γ0 + φ2γ1 + · · · + φpγp−1 − σ2 e (θ1 + θ2ψ1 + · · · + θqψq−1) FFF γp = φ1γp−1 + φ2γp−2 + · · · + φpγ0 − σ2 e (θp + θp+1ψ1 + · · · + θqψq−p)    @RFQUA donde θj = 0 si j q. €—r— un ™onjunto d—do de p—rámetros σ2 e , φ y θ @y por ende ψA se pueden solu™ion—r l—s e™u—™iones ™on el (n de o˜tener γ0, γ1, . . . , γp. vos v—lores de γk p—r— k p pueden ser ev—lu—dos en l— e™u—™ión re™ursiv— RFQQF pin—lmente ρk es o˜tenido por medio de l— e™u—™iónF ρk = γk γ0 4.4.3. Invertibilidad enteriormente se h— expuesto que p—r— un pro™eso MA (1) se o˜tiene ex—™E t—mente l— mism— fun™ión de ™orrel—™ión si θ es reempl—z—do por 1 θ . v— f—lt— de uni™id—d de los modelos MA, d—d— su fun™ión de —uto™orrel—™iónD de˜e ser tenid— en ™uent— —ntes de intent—r inferir los v—lores de los p—rámetros ™on ˜—se en l— serie de tiempo o˜serv—d—F …n pro™eso —utorregresivo puede ser expres—do ™omo un pro™eso line—l geE ner—l por medio de los ™oe(™ientes ψ, es de™ir que un pro™eso AR puede ser pens—do ™omo un pro™eso de promedios móviles MA de orden in(nitoF gonsidérese un modelo MA (1) Yt = et − θet−1 @RFQVA ‚ees™ri˜iendo l— e™u—™ión RFQV de l— form— et = Yt + θet−1D reempl—z—ndo t por t − 1 y sustituyendo por et−1 se o˜tiene et = Yt + θ (Yt−1 + θet−2) = Yt + θYt−1 + θ2 et−2
QVCAPÍTULO 4. MODELOS PARA SERIES DE TIEMPO ESTACIONARIAS ƒi |θ| 1, se puede ™ontinu—r l— —nterior sustitu™ión in(nit—mente ™on el (n de o˜tener l— siguiente e™u—™ión et = Yt + θYt−1 + θ2 Yt−2 + · · · o Yt = −θYt−1 − θ2 Yt−2 − θ3 Yt−3 − · · · + et @RFQWA ƒi |θ| 1, se puede ver que el modelo MA (1) puede ser invertido en un modelo —utorregresivo de orden in(nitoF is de™irD se di™e que el modelo MA (1) es inverti˜le si y solo si |θ| 1. €—r— un pro™eso gener—l MA (q) o ARMA (p, q) , se de(ne el polinomio ™—E r—™terísti™o ™omo θ (x) = 1 − θ1x − θ2x2 − θ3x3 − · · · − θqxq @RFRHA y l— ™orrespondiente e™u—™ión ™—r—™terísti™— MA 1 − θ1x − θ2x2 − θ3x3 − · · · − θqxq = 0 @RFRIA inton™es el modelo MA (q) es invertible fox —nd tenkins ‘IWUT“Y es de™irD existen ™oe(™ientes πj t—les que Yt = π1Yt−1 + π2Yt−2 + π3Yt−3 + · · · + et @RFRPA ƒi y solo si l—s r—í™es de l— e™u—™ión ™—r—™terísti™— son m—yoresD en v—lor —˜solutoD — 1.
Capítulo 5 Modelos para Series de Tiempo No Estacionarias in el siguiente ™—pítulo se introdu™irá el ™on™epto de diferen™i—™ión u oper—E dor diferen™i— de orden pD ™on el (n de indu™ir l— est—™ion—ried—d de un— serie de tiempo no est—™ion—ri—F „eniendo este ™on™eptoD es posi˜le lleg—r —l import—nte ™on™epto de los modelos integr—dos —utorregresivos de promedios móvilesF edemásD se explor—rán otro tipo de tr—nsform—™iones que tienen el mismo o˜jetivoD t—les tr—nsform—™iones son los ™—m˜ios de por™ent—jeD log—ritmos y de form— más gener—l l—s tr—nsform—™iones de poten™i— o tr—nsform—™iones foxE goxF 5.1. Estacionariedad a través de los Operadores Diferencia gonsidérese el modelo AR (1) Yt = φYt−1 + et @SFIA ƒe h— di™ho en los ™—pítulos —nterioresD que si et no est— ™orrel—™ion—d— ™on Yt−1, Yt−2, ..., se tiene que tener |φ| 1. ƒin em˜—rgo surge l— pregunt—X ¾ué podrí— p—s—r si di™h— ™ondi™ión no se ™umplecF gonsidérese l— siguiente e™u—™ión Yt = 3Yt−1 + et @SFPA ster—ndo respe™to —l p—s—doD ™omo y— se h— he™ho en ™—pítulos —nterioresD se o˜tieneX Yt = et + 3et−1 + 32 et−2 + · · · + 3t−1 ei + 3t Y0 @SFQA ƒe puede o˜serv—r que l— in)uen™i— de los v—lores dist—ntes del p—s—do de Yt y et, no se —nul—D de he™hoD los pesos —pli™—dos — Y0 y e1 ™re™en de un— m—ner— exponen™i—lF QW
RHCAPÍTULO 5. MODELOS PARA SERIES DE TIEMPO NO ESTACIONARIAS iste fenómeno t—m˜ién se re)ej— en l—s fun™iones de v—ri—nz— y ™ov—ri—nz—D ™omo se muestr— — ™ontinu—™ión V ar (Yt) = 1 8 9t − 1 σ2 e @SFRA y Cov (Yt, Yt−k) = 3k 8 9t−k − 1 σ2 e @SFSA he l— mism— m—ner— Corr (Yt, Yt−k) = 3k 9t−k − 1 9t − 1 ≈ 1 gu—ndo t tiende — in(nitoD y ™u—ndo los v—lores de k son moder—dos iste mismo fenómeno de ™re™imiento exponen™i—l o gomport—miento ixE plosivo (™iteX gryer) o™urrirá p—r— ™u—lquier φ t—l que |φ| 1. ytro tipo de modelos no est—™ion—rios son los que ™umplen ™on l— ™ondi™ión |φ| = 1. …n modelo de di™h—s ™—r—™terísti™—s es de l— form—X Yt = Yt−1 + et @SFTA hi™h— e™u—™ión se puede es™ri˜ir de un— form— —ltern—tiv—X Yt = et @SFUA honde Yt = Yt − Yt−1 se ™ono™e ™omo l— primera diferencia de YtD u operador diferencia de primer orden querrero ‘IWWV“F he est— de(ni™ión se pueden h—™er supuestos —™er™— de los modelos ™uyos oper—dores diferen™i— son modelos est—™ion—riosF €or ejemploD supóng—se Yt = Mt + Xt @SFVA honde Mt es un— serie ™—m˜i—nte respe™to —l tiempoF in este ™—so Mt puede serD ˜ien se—D esto™ásti™—D o determinísti™—F ƒi se supone que Mt es —proxim—d—E mente ™onst—nte en dos puntos ™onse™utivos de tiempoD se podrí— estim—r Mt si se elige un β0 de t—l form— que gryer —nd gh—n ‘PHHV“ 1 j=0 (Yt−j − β0,t) 2 ƒe minimi™eD ™on lo que se o˜tiene ˆMt = 1 2 (Yt + Yt−1) y l— serie de tiempo sin tenden™i— en el tiempo t esX Yt − ˆMt = Yt − 1 2 (Yt + Yt−1) = 1 2 (Yt − Yt−1) = 1 2 Yt
5.1. ESTACIONARIEDAD A TRAVÉS DE LOS OPERADORES DIFERENCIARI is de™ir un— ™onst—nte múltiple del oper—dor diferen™i— Yt. ytro supuesto de gr—n import—n™i— es que Mt en l— e™u—™ión SFV es un pro™eso esto™ásti™oD ™ondi™ion—do por un pro™eso de 4™—min—t— —le—tori—4D supong— por ejemplo queX Yt = Mt + et ™on Mt = Mt−1 + εt @SFWA honde {et} y {εt} son series de tiempo de ruido ˜l—n™o independientesD enton™es Yt = Mt + et = εt + et − et−1 v— ™u—l tendrí— l— fun™ión de —uto™orrel—™ión de un modelo MA (1) ™on ρ1 = −    1 2 + σ2 ε σ2 e    @SFIHA en ™u—lquier— de est—s situ—™ionesD se tiene que estudi—r el oper—dor diferen™i— Yt ™omo un pro™eso est—™ion—rioF v— suposi™ión que ™ondu™e — un he™ho ˜—st—nte import—nteD es en l— que teE niendo en ™uent— l— e™u—™ión SFVD y —sumiendoD en este ™—so que Mt es de ™—rá™ter line—l en tres puntos de tiempo ™onse™utivosF in este ™—so se puede estim—r Mt en el punto de tiempo medio t eligiendo β0,t y β1,tD t—les que minimi™en 1 j=−1 (Yt−j − (β0,t + jβ1,t)) 2 y˜teniendo ˆMt = 1 3 (Yt+1 + Yt + Yt−1) €or ™onsiguiente l— serie de tiempo sin tenden™i— es Yt − ˆMt = Yt − Yt+1 + Yt + Yt−1 3 = − 1 3 (Yt+1 − 2Yt + Yt−1) = − 1 3 2 (Yt+1) …n— múltiple ™onst—nte del oper—dor diferen™i— ™entr—do de segundo orden de Yt. xótese que se h— —pli™—do l— diferen™i— dos ve™esD peroD —m˜—s diferen™i—s en el rez—go 1. del mismo modo es posi˜le —sumir que gryer —nd gh—n ‘PHHV“ Yt = Mt +et, honde Mt = Mt−1 +Wt y Wt = Wt−1 +εt @SFIIA
RPCAPÍTULO 5. MODELOS PARA SERIES DE TIEMPO NO ESTACIONARIAS gon {et} y {εt} series de tiempo independientes de ruido ˜l—n™oF in este ™—so l— tenden™i— Mt es —quell— ™uy— 4t—s— de ™—m˜io4 Mt, está ™—m˜i—ndo ™on respe™to —l tiempo lent—menteF inton™es Yt = Mt + et = Wt + et y 2 Yt = Wt + 2 et = εt + (et − et−1) − (et−1 − et−2) = εt + et − 2et−1 + et−2 v— ™u—lD tiene l— fun™ión de —uto™orrel—™ión de un pro™eso MA (2) . vo imE port—nte es el he™ho que el oper—dor diferen™i— de segundo orden de un pro™eso no est—™ion—rio {Yt} es est—™ion—rioF iste he™ho permite de(nir los modelos integr—dos —utorregresivos de promedios móvilesF 5.2. Modelos Integrados Autorregresivos de Pro- medios Móviles Denición 43 Una serie de tiempo {Yt} se dice que sigue un modelo integrado autorregresivo de promedios móviles ARIMA si el operador diferencia de or- den d Wt = d Yt es un proceso ARMA estacionario. Si {Wt} es un proceso ARMA (p, q) , se dice que {Yt} es un modelo ARIMA (p, d, q) . Box and Jenkins [1976] efortun—d—menteD p—r— efe™tos prá™ti™osD se puede tom—r d = 1 o l— sumo 2. gonsidérese un pro™eso ARIMA (p, 1, q) ™on Wt = Yt − Yt−1 enton™esX Wt = φ1Wt−1+φ2Wt−2+· · ·+φpWt−p+et−θ1et−1−θ2et−2−· · ·−θqet−q @SFIPA vo que en términos de l— serie de tiempo o˜serv—d— equiv—le —X Yt − Yt−1 = φ1 (Yt−1 − Yt−2) + φ2 (Yt−2 − Yt−3) + · · · + φp (Yt−p − Yt−p−1) + et − θ1et−1 − θ2et−2 − · · · − θqet−q @SFIQA vo ™u—l se puede es™ri˜irX Yt = (1 + φ1) Yt−1 + (φ2 − φ1) Yt−2 + (φ3 − φ2) Yt−3 + · · · @SFIRA + (φp − φp−1) Yt−p − φpYt−p−1 + et − θ1et−1 − θ2et−2 − · · · − θqet−q ist— últim— e™u—™ión se ™ono™e ™omo la forma de la ecuación diferencia del modeloF fox —nd tenkins ‘IWUT“ v—s represent—™iones explí™it—s de l— serie de tiempo o˜serv—d—D ˜ien se—D en términos de Wt o en términos del pro™eso de ruido ˜l—n™oD son mu™ho más ™ompli™—dos que en los pro™esos est—™ion—riosF isto se de˜e — que los pro™esos
5.2. MODELOS INTEGRADOS AUTORREGRESIVOS DE PROMEDIOS MÓVILESRQ no est—™ion—rios no están en un 4equili˜rio est—dísti™o4D no se puede —sumir l— serie tieneD por de™irlo de —lgun— m—ner—D un p—s—do in(nitoF ƒin em˜—rgoD se puede —sumir que l—s series ™omienz—n en un t = −m. €or ™onvenien™i—D se tom—rán Yt = 0 p—r— t −m. v— e™u—™ión del oper—dor diferen™i— Yt − Yt−1 = Wt, se puede solu™ion—r sum—ndo desde t = −m h—st— t = t p—r— o˜tenerX Yt = t j=−m Wj @SFISA €—r— el pro™eso ARIMA (p, 1, q) . il pro™eso ARIMA (p, 2, q) puede ser resuelto simil—rmenteD sum—ndo dos ve™es p—r— o˜tener l— represent—™ión Yt = t j=−m j i=−m Wi @SFITA = t+m j=0 (j + 1) Wt−j eunque est—s represent—™iones tiene usos limit—dosD pueden ser us—dos p—r— o˜tener l—s propied—des de l— ™ov—ri—nz— del modelo ARIMA y t—m˜ién p—r— expres—r Yt en términos de l— serie de ruido ˜l—n™o {et} . ƒi el pro™eso ™ontiene términos no —utorregresivosD se le ll—m—rá un modelo integr—do de promedios móviles y se —˜revi—rá IMA (d, q) . €or otro l—do si l— serie no tiene términos de promedios móviles se le denomin— ARI (p, d) . 5.2.1. El Modelo IMA (1, 1) il modelo simple IMA (1, 1) , s—tisf—™tori—menteD represent— numeros—s seE ries de tiempoD espe™í(™—menteD —quell—s que surgen en pro˜lem—s e™onómi™os querrero ‘IWWV“F in l— form— de l— e™u—™ión diferen™i— el modelo tiene l— form—X Yt = Yt−1 + et − θet−1 @SFIUA gon el (n de es™ri˜ir Yt explí™it—mentementeD ™omo un— fun™ión de v—lores del ruido ˜l—n™o t—nto del futuro ™omo del presenteD se us—rá l— e™u—™ión SFIS y el he™ho que Wt = et − θet−1F in este ™—soD se puede es™ri˜ir Yt = et + (1 − θ) et−1 + (1 − θ) et−2 + · · · + (1 − θ) e−m − θe−m−1 @SFIVA in ™ontr—ste — los modelos est—™ion—rios ARMAD los pesos de los términos del ruido ˜l—n™oD perm—ne™enD sin import—r que se tomen v—lores del p—s—doF he˜ido — que se —sumió que −m 1 y 0 t, se de˜e pens—r — Yt ™omo un— —™umul—™ión igu—lmente ponder—d— de un gr—n número de v—lores de ruido ˜l—n™oF
RRCAPÍTULO 5. MODELOS PARA SERIES DE TIEMPO NO ESTACIONARIAS he l— e™u—™ión SFIV se pueden ™—l™ul—r l—s v—ri—nz—s y l—s ™orrel—™iones de l— siguiente m—ner— V ar (Yt) = 1 + θ2 + (1 − θ) 2 (t + m) σ2 e @SFIWA y Corr (Yt, Yt−k) = 1 − θ + θ2 + (1 − θ) 2 (t + m − k) V ar (Yt) V ar (Yt−k) ≈ t + m − k t + m @SFPHA ƒe puede not—r que ™onforme que t —ument—D V ar (Yt) —ument—F „—m˜ién l— ™orrel—™ión entre Yt y Yt−k será fuertemente positiv— p—r— los rez—gos k = 1, 2, ... 5.2.2. El Modelo IMA (2, 2) vos supuestos de l— e™u—™ión SFIID ™ondu™e — un modelo IMA (2, 2) . in l— form— de l— e™u—™ión diferen™i— el modelo tiene l— form—X 2 Yt = et − θ1et−1 − θ2et−2 o Yt = 2Yt−1 − Yt−2 + et − θ1et−1 − θ2et−2 @SFPIA v— represent—™ión de l— e™u—™ión SFIT puede ser us—d— p—r— expres—r Yt en términos de et, et−1, ... de l— siguiente form—X Yt = et + t+m j=1 ψjet−j − [(t + m + 1) θ1 + (t + m) θ2] e−m−1 @SFPPA − (t + m + 1) θ2e−m−2 honde ψ = 1 + θ2 + (1 − θ1 − θ2) j p—r— j = 1, 2, 3, .., t + m, donde los pesos ψ perm—ne™en y form—n un— fun™ión line—l de j. 5.2.3. El Modelo ARI (1, 1) il pro™eso ARI (1, 1) s—tisf—™e l— siguiente e™u—™ión puller ‘IWWT“ Yt − Yt−1 = φ (Yt−1 − Yt−2) + et @SFPQA o Yt = (1 + φ) Yt−1 − φYt−2 + et @SFPRA honde |φ| 1 €—r— en™ontr—r los pesos ψ se us—rá un— té™ni™— que se puede gener—liz—r — ™u—lquier modelo ARIMA,
5.2. MODELOS INTEGRADOS AUTORREGRESIVOS DE PROMEDIOS MÓVILESRS vos pesos ψ pueden ser o˜tenidos igu—l—ndo l—s poten™i—s de x en l— identid—d 1 − φ1x − φ2x2 − · · · − φpxp (1 − x) d 1 + ψ1x + ψ2x2 + ψ3x3 + · · · @SFPSA = 1 − θ1x − θ2x2 − θ3x3 − · · · − θqxq in el ™—so del modelo ARI (1, 1) l— rel—™ión se redu™e —X (1 − φx) (1 − x) 1 + ψ1x + ψ2x2 + ψ3x3 + · · · = 1 o 1 − (1 + φ) x + φx2 1 + ψ1x + ψ2x2 + ψ3x3 + · · · = 1 sgu—l—ndo l—s poten™i—s semej—ntes — —m˜—s p—rtes de l— igu—ld—dD se o˜tiene − (i + φ) + ψ = 0 φ − (1 + φ) ψ1 + ψ2 = 0 y en gener—l ψk = (1 + φ) ψk−1 − φψk−2 €—r— k ≥ 2 @SFPTA gon ψ0 = 1 y ψ1 = 1 + φ. ist— fun™ión re™ursiv— permite ™—l™ul—r t—ntos pesos ψ ™omo se— ne™es—rioF 5.2.4. Términos Constantes en modelos ARIMA €—r— un modelo ARIMA (p, d, q) , d Yt = Wt es un pro™eso ARMA (p, q) esE t—™ion—rioD teniendo en ™uent— el supuesto que un modelo est—™ion—rio tiene meE di— igu—l — ™eroD es de™ir que se tr—˜—j—rá ™on desvi—™iones de l—s medi— ™onst—nE tesF …n— medi— diferente de ™ero ™onst—nte µD en un modelo ARMA est—™ion—rio {Wt} puede ser —™omod—do en ™u—lquier— de los dos ™—sosF ƒe puede —sumir que fox —nd tenkins ‘IWUT“X Wt−µ = φ1 (Wt−1 − µ) + φ2 (Wt−2 − µ) + · · · + φp (Wt−p − µ) + et − θ1et−1 − θ2et−2 − · · · − θqet−q eltern—tiv—menteD se puede introdu™ir un término ™onst—nte θ0 en el modelo de l— siguiente m—ner— Wt = θ0 + φ1Wt−1 + φ2Wt−2 + · · · + φpWt−p + et − θ1et−1 − θ2et−2 − · · · − θqet−q „om—ndo los v—lores esper—dos en —m˜—s p—rtes de l— igu—ld—d µ = θ0 + (φ1 + φ2 + · · · + φn) µ inton™es µ = θ0 1 − φ1 − φ2 − · · · − φp @SFPUA
RTCAPÍTULO 5. MODELOS PARA SERIES DE TIEMPO NO ESTACIONARIAS o θ0 = µ (1 − φ1 − φ2 − · · · − φp) @SFPVA e ™ontinu—™ión se ev—lu—rá el ™—so de un— medi— diferente de ™eroF gonsidere el modelo IMA (1, 1) ™on un término ™onst—nteD enton™es se tiene Yt = Yt−1 + θ0 + et − θet−1 o Wt = θ0 + et − θet−1 ƒustituyendo en l— e™u—™ión SFIR de l— págin— RP se puede ™on™luir que Yt = et + (1 − θ) et−1 + et + (1 − θ) et−2 + · · · + et + (1 − θ) e−m − e−m−1 @SFPWA + (t + m + 1) θ0 5.2.5. Otras Transformaciones r—st— el momento se h— des™rito ™omo el oper—dor diferen™i—D puede ser un— útil tr—nsform—™ión p—r— o˜tener est—™ion—ried—dF ƒin em˜—rgoD l— tr—nsform—E ™ión por log—ritmo t—m˜ién es muy útil en —lgunos ™—sosF pre™uentemente se pueden en™ontr—r series de tiempo dondeD el in™remento de l— dispersión p—re™e est—r —so™i—d— — —ltos niveles de l— serieD lo que impli™— m—yor dispersión en el nivel gryer —nd gh—n ‘PHHV“F ispe™í(™—mente supong— que Yt 0 p—r— todo t y que E (Yt) = µt y V ar (Yt) = µtσ @SFQHA inton™es E [log (Yt)] ≈ log (µt) y V ar [log (Yt)] ≈ σ2 @SFQIA il siguiente result—do se o˜tiene tom—ndo v—lores esper—dos y v—ri—nz—s — —m˜os l—dos de l— exp—nsión de „—ylor log (Yt) = log (µt) + Yt − µt µt is de™irD que si l— desvi—™ión estánd—r de l— serie de tiempo es propor™ion—l —l nivel de l— serieD l— tr—nsform—™ión log—rítmi™— produ™irá un— serie ™on v—ri—nz— —proxim—d—mente ™onst—nte — lo l—rgo del tiempoF edemásD si el nivel de l— serie ™—m˜i— exponen™i—lmenteD l— serie logEtr—nsform—d— tendrá un— tenden™i— line—lD por lo que se utiliz—rá el oper—dor diferen™i— de primer ordenF
5.2. MODELOS INTEGRADOS AUTORREGRESIVOS DE PROMEDIOS MÓVILESRU 5.2.5.1. Cambios de Porcentajes y Logaritmos ƒupóng—se que Yt tiende — tener un por™ent—je de ™—m˜ios rel—tiv—mente est—˜le de un periodo de tiempo —l siguienteF ispe™í(™—mente se —sume queX Yt = (1 + Xt) Yt−1 honde 100Xt es el por™ent—je de ™—m˜io de Yt−1 — Yt enton™es log (Yt) − log (Yt−1) = log Yt Yt−1 = log (1 + Xt) ƒi se restringe Xt — |Xt| 0,2 @es de™irD que el por™ent—je de ™—m˜ios son — lo más ±20 %A p—r— un— ˜uen— —proxim—™ión log (1 + Xt) ≈ XtF gonse™uentemente [log (Yt)] ≈ Xt ƒerá rel—tiv—mente est—˜le y lo más pro˜—˜le es que se— un pro™eso est—™ioE n—rio ˜ien model—do fox —nd tenkins ‘IWUT“F 5.2.5.2. Transformaciones de Potencia Denición 44 Para un parámetro dado λ, la transformación se dene como Box and Jenkins [1976] g (x) = xλ −1 λ Para λ = 0 log x Para λ = 0 v—s tr—nsform—™iones de poten™i—s solo se pueden —pli™—r — d—tos m—yores — ™eroF ƒi —lguno de los v—lores no ™umple l— ™ondi™ión —nteriorD se tiene que sum—r un— ™onst—nte positiv— — todos los v—lores de l— serieD ™on el (n de h—™erlos positivos —ntes de h—™er l— tr—nsform—™iónF hi™ho ™—m˜ioD gener—lmenteD se h—™e de m—ner— —r˜itr—ri—F ƒe puede ™onsider—r — λ ™omo un p—rámetro —di™ion—l en el modeloD que tiene que ser estim—doF ƒin em˜—rgoD un— estim—™ión pre™is— de λ no está usu—lmente g—r—ntiz—d—D y p—r— di™hos efe™tos los softw—re est—dísti™os ofre™en un— —mplio r—ngo de posi˜ilid—des p—r— efe™tu—r di™h— estim—™iónF
RVCAPÍTULO 5. MODELOS PARA SERIES DE TIEMPO NO ESTACIONARIAS
Capítulo 6 Construcción del Modelo in los ™—pítulos —nteriores se h—n des—rroll—do modelos p—r—métri™osD t—nto est—™ion—rios ™omo no est—™ion—rios p—r— series de tiempoD los modelos ARIMA. in este ™—pítulo se estudi—rán y se implement—rán los métodos p—r— h—™er inE feren™i— est—dísti™— so˜re di™hos modelosD teniendo en ™uent— los siguientes —sE pe™tosF IF v— m—ner— de es™oger v—lores —propi—dos p—r— p, d y q p—r— un— serie de tiempo d—d—F PF l— m—ner— de estim—r los p—rámetros de un modelo ARIMA (p, d, q) . QF v— m—ner— de veri(™—r si un modelo es —propi—doD o mejor—rlo en ™—so de ser ne™es—rioF v— estr—tegi— gener—l — tener en ™uent— ™onsisteD en primer— medid—D en elegir v—lores tent—tivos pero r—zon—˜les p—r— p, d y qF vuegoD se estim—r—n los p—rámeE tros φD θ y σe más e(™ientes p—r— el modeloF €or últimoD se veri(™—r— el modelo o˜tenidoD ™on el (n de ™ompro˜—r su e(™—™i—F ƒi el modelo p—re™e ser in—de™u—do en —lgún sentidoD se ™onsider—rá — di™ho modelo ™omo un— ˜—se p—r— elegir un nuevo modelo más —de™u—doD y repetir el pro™esoF gon un—s ™u—nt—s iter—™iones de est— estr—tegi— p—r— l— ™onstru™™ión del modeloD se esper—D que se llegue —l mejor modelo posi˜le p—r— un— serie de tiempo d—d—F qr—n p—rte de l— liter—tur— inherente — l—s series de tiempo ll—m—n — est— estr—tegi— el método 4foxEtenkins4 fox —nd tenkins ‘IWUT“ 6.1. Especicación del Modelo in primer— medid—D y ™on el (n de est—˜le™er los mejores v—lores p—r— p, d y q se estudi—rán l—s propied—des de l— fun™ión de —uto™orrel—™ión RW
SH CAPÍTULO 6. CONSTRUCCIÓN DEL MODELO 6.1.1. Propiedades de la Función de Autocorrelación Mues- tral „eniendo en ™u—nt— l— de(ni™ión de l— fun™ión de —uto™orrel—™ión muestr—l o estim—d— p—r— un— serie o˜serv—˜— Y1, Y2, ...Yn de l— págin— PRD se tieneX rk = n t=k+1 Yt − ¯Y Yt−k − ¯Y n t=1 Yt − ¯Y 2 @TFIA il o˜jetivo prin™ip—l es re™ono™erD ™omport—mientos de rk que son ™—r—™E terísti™os de los ™omport—mientos ™ono™idos de ρf p—r— modelos ARMA. €or ejemploD y— se h— dis™utido que ρk = 0 p—r— k q en un modelo MA (q) . ƒin em˜—rgoD ™omo rk es un— estim—™ión de ρkD se de˜en enun™i—r l—s propied—des muestr—les ™on el (n de f—™ilit—r l— ™omp—r—™ión de l—s ™orrel—™iones estim—d—s ™on l—s ™orrel—™iones teóri™—sF „eniendo en ™uent— que según l— de(ni™ión de rk, rk es un— f—mili— de e™u—™ioE nes ™u—dráti™—sD de v—ri—˜les posi˜lemente dependientesD l—s propied—des muesE tr—les de rk no son sen™ill—s de estim—rD de modo que se tendrán en ™uent— los result—dos gener—les de un— muestr— numeros— y ™onsider—r sus impli™—™iones en ™—sos espe™i—les frillinger ‘PHHI“D —demásD se tendrá en ™uent— un result—do más gener—l tom—do de ƒhumw—y —nd ƒto'er ‘PHHT“ @págin— SIWA ƒupóng—se queX Yt = µ + ∞ j=0 ψjet−j honde et son v—ri—˜les —le—tori—s idénti™—mente distri˜uid—s ™on medi— igu—l — ™ero y v—ri—nz—s (nit—s diferentes de ™eroF edemás se —sume queX ∞ j=0 |ψj| ∞ y ∞ j=0 jψ2 j ∞ @gondi™iones que se s—tisf—™en en un modelo ARMA est—™ion—rioA inton™esD p—r— ™u—lquier m (joD l— distri˜u™ión ™onjunt— de √ n (r1 − ρ1) , √ n (r2 − ρ2) , ..., √ n (rm − ρm) ƒe —proxim—D ™u—ndo n tiende — in(nitoD — un— distri˜u™ión norm—l ™on medi— ™eroD v—ri—nz—s cjj, y ™ov—ri—nz—s cij donde cij = ∞ k=−∞ ρk + iρk+j + ρk−iρk+j − 2ρiρkρk+j − 2ρjρkρk+i + 2ρiρjρ2 k @TFPA €—r— t—m—ños de muestr— n signi(™—tiv—mente gr—ndesD se puede de™ir que rk sigue un— distri˜u™ión —proxim—d—mente norm—l ™on medi— ρk y v—ri—nz— ckk n .
6.1. ESPECIFICACIÓN DEL MODELO SI edemásD Corr (rk, rj) ≈ ckj √ ckkcjj . „eniendo en ™uent— que l— v—ri—nz— —proxim—E d— de rk es invers—mente propor™ion—l —l t—m—ño de l— muestr—D ƒin em˜—rgoD Corr (rk, rj) es —proxim—d—mente ™onst—nte p—r— t—m—ños de muestr— gr—ndesF h—do que l— interpret—™ión de l— e™u—™ión TFP es ™ompli™—d—D se ™onsider—rán —lgunos ™—sos espe™i—les ™on el (n de simpli(™—r l— expresiónF ƒupóng—seD en primer— medid—D que {Yt} es un pro™eso de ruido ˜l—n™oF inton™esD l— e™u—™ión TFPD se redu™e ™onsider—˜lemente —X V ar ≈ 1 n y Corr (rk, rj) ≈ 0 €—r— k = j @TFQA ehor—D supóng—se que {Yt} es gener—do por un pro™eso AR (1) ™on ρk = φk p—r— k 0. l— e™u—™ión TFP ™ondu™e —F V ar (rk) ≈ 1 n 1 + φ2 1 − φ2k 1 − φ2 − 2kφ2k @TFRA in p—rti™ul—r V ar (r1) ≈ 1 − φ2 n @TFSA xótese queD ™u—ndo φ es ™er™—no — ±1, l— estim—™ión de ρ = φ es más pre™is—F €—r— gr—ndes rez—gos kD los términos de l— e™u—™ión TFR los φk pueden ser ignor—dosD enton™es V ar (rk) ≈ 1 n 1 + φ2 1 − φ2 €—r— gr—ndes rez—gos k @TFTA in ™ontr—ste ™on l— e™u—™ión TFSD si φ es ™er™—no — ±1 l— v—ri—nz— de rk ™re™eD por lo que no se ™onsider— ™onveniente esper—r estim—™iones pre™is—s de ρk = φk ≈ 0, p—r— rez—gos gr—ndes ™omo se esper—n p—r— rez—gos pequeñosF €—r— el modelo AR (1) l— e™u—™ión TFPD t—m˜ién puede ser simpli(™—d— p—r— 0 i j de l— siguiente m—ner—F cij = φj−i − φj+i 1 + φ2 1 − φ2 + (j − i) φj−i − (j + i) φj+i @TFUA €—rti™ul—rmente se en™uentr— queX Corr (r1, r2) ≈ 2φ 1 − φ2 1 + 2φ2 − 3φ4 @TFVA €—r— el ™—so MA (1) l— e™u—™ión TFP puede ser simpli(™—d— de l— siguiente m—ner— c11 = 1 − 3ρ2 1 + 4ρ4 1 y ckk = 1 + 2ρ2 1 €—r— k 1 @TFWA edemás c12 = 2ρ 1 − ρ2 1 @TFIHA
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Análisis de series de tiempo usando R

  • 1. REVISIÓN DEL ESTADO DEL ARTE EN EL ANÁLISIS DE SERIES DE TIEMPO Por: Hernán Camilo Yate Támara camilo_yate@yahoo.fr Director: Mat. Leonardo Jiménez Moscovitz Investigador Grupo de Investigación PROMENTE KONRAD LORENZ-FUNDACIÓN UNIVERSITARIA FACULTAD DE MATEMÁTICAS E INGENIERÍAS PROGRAMA DE MATEMÁTICAS JUNIO DE 2011
  • 2. Nota: Este trabajo nace de la confluencia entre el interés del estudiante Hernán Camilo Yate Támara y los intereses académicos del grupo de investigación PROMENTE, alrededor del análisis de series de tiempo utilizando el software libre R, y consta de dos partes: la primera desarrollada como parte del trabajo del Grado y la otra desarrollada dentro de la práctica investigativa, la cual se anexa al final de este documento.
  • 3. e mi m—dre v— que nun™— me nieg— sus m—nos t—n ti˜i—s v— que se™— mis lágrim—s y entreg— ™—ri™i—s v— que —mp—r— tristez—s y reg—l— sonris—s v— que ™on dul™es p—l—˜r—s —lient— mis dí—s v— que me dio l— vid— y me h— enseñ—do — vivirl—
  • 4. iv
  • 5. Índice general Introducción ix Objetivos xi Alcance y Limitaciones xiii 1. Preliminares 1 IFIF isp—™io de €ro˜—˜ilid—d F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F I IFIFIF isp—™io wuestr—l de iventos F F F F F F F F F F F F F F F F I IFIFPF Álge˜r— de iventos F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F P IFIFQF pun™ión de €ro˜—˜ilid—d F F F F F F F F F F F F F F F F F F F P IFPF †—ri—˜les ele—tori—s F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F Q IFPFIF †—lor isper—do de un— †—ri—˜le ele—tori— F F F F F F F F F Q IFPFPF †—ri—nz— de un— †—ri—˜le ele—tori— F F F F F F F F F F F F F Q IFQF †e™tores ele—torios F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F R IFQFIF †—lor esper—do de un †e™tor ele—torio F F F F F F F F F F F S IFQFPF †—ri—nz— de un †e™tor ele—torio F F F F F F F F F F F F F F S IFQFQF pun™ión qener—dor— de womentos gonjunt— F F F F F F F F T IFQFRF gov—ri—nz— y goe(™iente de gorrel—™ión F F F F F F F F F F T IFQFSF isper—nz— gondi™ion—l F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F U IFQFTF †—ri—˜les ele—tori—s sndependientes F F F F F F F F F F F F V IFRF histri˜u™ión xorm—l F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F V 2. Conceptos Fundamentales 9 PFIF ente™edentes ristóri™os F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F W PFIFIF y˜serv—™iónD medi™ión y gener—liz—™ión F F F F F F F F F F W PFIFPF porm—liz—™ión F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IH PFPF ƒeries de „iempo y €ro™esos isto™ásti™os F F F F F F F F F F F F F IH PFQF wedi—sD †—ri—nz—s y gov—ri—nz—s F F F F F F F F F F F F F F F F F F II PFQFIF v— 4g—min—t— ele—tori—4 @‚—ndom ‡—lkA F F F F F F F F F IP PFQFPF €romedios wóviles F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IQ PFRF ist—™ion—ried—d F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IR PFRFIF ‚uido fl—n™o @‡hite xoiseA F F F F F F F F F F F F F F F F IS v
  • 6. vi ÍNDICE GENERAL 3. Tendencias 17 QFIF „enden™i—s heterminísti™—s ™ontr— „enden™i—s isto™ásti™—s F F F IU QFPF istim—™ión de l— wedi— gonst—nte F F F F F F F F F F F F F F F F F IU QFQF wétodos de ‚egresión F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IW QFQFIF „enden™i—s vine—les y gu—dráti™—s F F F F F F F F F F F F F IW QFQFPF „enden™i—s ™í™li™—sF F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F PH QFQFQF „enden™i—s del goseno F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F PH QFRF gon(—˜ilid—d y i(™ien™i— de l—s istim—™iones de l— ‚egresión F F PI QFSF enálisis de ‚esidu—les F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F PQ QFSFIF pun™ión de euto™orrel—™ión wuestr—l F F F F F F F F F F F F PQ 4. Modelos para Series de Tiempo Estacionarias 25 RFIF €ro™esos qener—les vine—les F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F PS RFPF €ro™esos de €romedios wóviles F F F F F F F F F F F F F F F F F F F PU RFPFIF €ro™esos de €romedios wóviles de €rimer yrden F F F F F PU RFPFPF €ro™esos de €romedios wóviles de ƒegundo yrden F F F F PV RFPFQF €ro™esos de €romedios wóviles de yrden q F F F F F F F F PW RFQF €ro™esos eutorregresivos F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F PW RFQFIF €ro™esos eutorregresivos de €rimer yrden F F F F F F F F PW RFQFIFIF †ersión qener—l vine—l de un wodelo AR (1) F F QH RFQFIFPF ist—™ion—ried—d de un €ro™eso AR (1) F F F F F F QI RFQFPF €ro™esos eutorregresivos de ƒegundo yrden F F F F F F F F QI RFQFPFIF ist—™ion—ried—d de un €ro™eso AR (2) F F F F F F QI RFQFPFPF v— pun™ión de euto™orrel—™ión del €ro™eso AR (2) QQ RFQFQF †—ri—nz— del wodelo AR (2) F F F F F F F F F F F F F F F F F QQ RFQFRF €ro™eso eutorregresivo qener—l F F F F F F F F F F F F F F F QR RFRF wodelos wixtos eutorregresivos de €romedios wóviles F F F F F F QS RFRFIF il modelo ARMA (1, 1) F F F F F F F F F F F F F F F F F F F QS RFRFPF v— pun™ión de euto™orrel—™ión p—r— un €ro™eso ARMA (p, q) gryer —nd gh—n ‘PHHV“ F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F QT RFRFQF snverti˜ilid—d F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F QU 5. Modelos para Series de Tiempo No Estacionarias 39 SFIF ist—™ion—ried—d — tr—vés de los yper—dores hiferen™i— F F F F F F QW SFPF wodelos sntegr—dos eutorregresivos de €romedios wóviles F F F F RP SFPFIF il wodelo IMA (1, 1) F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F RQ SFPFPF il wodelo IMA (2, 2) F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F RR SFPFQF il wodelo ARI (1, 1) F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F RR SFPFRF „érminos gonst—ntes en modelos ARIMA F F F F F F F F F RS SFPFSF ytr—s „r—nsform—™iones F F F F F F F F F F F F F F F F F F F RT SFPFSFIF g—m˜ios de €or™ent—jes y vog—ritmos F F F F F F RU SFPFSFPF „r—nsform—™iones de €oten™i— F F F F F F F F F F RU
  • 7. ÍNDICE GENERAL vii 6. Construcción del Modelo 49 TFIF ispe™i(™—™ión del wodelo F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F RW TFIFIF €ropied—des de l— pun™ión de euto™orrel—™ión wuestr—l F SH TFIFPF v— pun™ión de euto™orrel—™ión €—r™i—l y l— pun™ión de euto™orrel—™ión ixtendid— F F F F F F F F F F F F F F F F F SP TFIFPFIF v— pun™ión de euto™orrel—™ión €—r™i—l wuestr—l SR TFIFPFPF wodelos wixtos y l— pun™ión de euto™orrel—™ión ixtendid— F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F SS TFIFQF ispe™i(™—™ión p—r— wodelos xo ist—™ion—rios F F F F F F F ST TFIFQFIF il pro˜lem—s de l— ƒo˜rediferen™i—™ión F F F F F SU TFIFQFPF v— prue˜— de l— r—íz unit—ri— de hi™key puller F SU TFIFRF ytros wétodos de ispe™i(™—™ión F F F F F F F F F F F F F F SV TFIFRFIF griterio de l— snform—™ión de ek—ike F F F F F F SV TFIFRFPF griterio de l— snform—™ión f—yesi—no F F F F F F SV TFPF istim—™ión de €—rámetros F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F SW TFPFIF il wétodo de los womentos F F F F F F F F F F F F F F F F F SW TFPFIFIF wodelos eutorregresivos F F F F F F F F F F F F F SW TFPFIFPF wodelos de €romedios wóviles F F F F F F F F F F TH TFPFIFQF wodelos wixtos F F F F F F F F F F F F F F F F F F TI TFPFIFRF istim—™ión de l— †—ri—nz— del ‚uido F F F F F F F TI TFPFPF istim—™ión por wínimos gu—dr—dos F F F F F F F F F F F F TP TFPFPFIF wodelos eutorregresivos F F F F F F F F F F F F F TP TFPFPFPF wodelos de €romedios wóviles F F F F F F F F F F TR TFPFPFQF wodelos wixtos F F F F F F F F F F F F F F F F F F TS TFPFQF istim—™iones de wáxim— †erosimilitud y wínimos gu—E dr—dos sn™ondi™ion—les F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F TT TFPFQFIF istim—™ión de wáxim— †erosimilitud F F F F F F TT TFPFQFPF wínimos gu—dr—dos sn™ondi™ion—les F F F F F F F TV TFPFRF €ropied—des de l—s istim—™iones F F F F F F F F F F F F F F TV TFQF hi—gnósti™o del wodelo F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F TW TFQFIF enálisis de residu—les F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F TW TFQFIFIF euto™orrel—™ión de los ‚esidu—les F F F F F F F F UH TFQFPF ƒo˜re—juste y ‚edund—n™i— de €—rámetros F F F F F F F F F UI 7. Pronósticos 73 UFHFQF €ronósti™o por el wétodo de irror gu—dráti™o wedio F F UQ UFHFRF „enden™i—s heterminísti™—s F F F F F F F F F F F F F F F F F UT UFHFSF €ronósti™os de modelos ARIMA F F F F F F F F F F F F F F UT UFHFSFIF AR (1) F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F UU UFHFSFPF MA (1) F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F UW UFHFSFQF ARMA (p, q) F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F VH UFHFTF wodelos no ist—™ion—rios F F F F F F F F F F F F F F F F F F VP UFHFUF vímites de l— €redi™™ión F F F F F F F F F F F F F F F F F F F VQ UFHFUFIF „enden™i—s heterminísti™—s F F F F F F F F F F F F VR UFHFUFPF wodelos ARIMA F F F F F F F F F F F F F F F F F VR UFHFVF e™tu—liz—™ión de los €ronósti™os ARIMA F F F F F F F F F VS
  • 8. viii ÍNDICE GENERAL UFHFWF €esos de €ronósti™os y €romedios wóviles ixponen™i—lE mente €onder—dosF F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F VS UFHFIHF €ronósti™os de ƒeries de „iempo „r—nsform—d—s F F F F F VU UFHFIHFIF yper—dor hiferen™i— F F F F F F F F F F F F F F F F VU UFHFIHFPF „r—nsform—™iones vog—rítmi™—s F F F F F F F F F F VU 8. Modelos de Estado y Espacio y el Filtro Kalman 89 VFIF iv—lu—™ión de l— pun™ión de †erosimilitud y el piltro u—lm—n F F WH VFPF ist—do sni™i—l de l— w—triz de gov—ri—nz—s F F F F F F F F F F F F F WP Conclusiones 95 Bibliografía 97
  • 9. Introducción vos d—tos o˜tenidos de o˜serv—™iones se™uen™i—les — tr—vés del tiempo son muy ™omunes en diferentes dis™iplin—sF €or ejemploD en (n—nz—sD se o˜serv—n ™—m˜ios de los pre™ios de un— —™™ión en un dí—D índi™es de pre™ios en un mesD in)—™iones —nu—lesD et™F in meteorologí—D se o˜serv—n )u™tu—™iones de temper—E tur— di—ri—D pre™ipit—™iones —nu—lesD est—dos de los suelosD entre otrosF v— list— de dis™iplin—s en l—s que se estudi—n series de tiempoD prá™ti™—mente no tiene (nD por lo que el —nálisis de l—s series ™ronológi™—s h— tom—do gr—n import—n™i—F he he™ho l— teorí— m—temáti™— en l— que se ˜—s— el —nálisis de series de tiempo h— sidoD quizáD un— de l—s áre—s ™on m—yor —™tivid—dD en los últimos —ñosD ™onvirE tiéndose —sí en un— herr—mient— de mu™ho peso — l— hor— de resolver pro˜lem—s sin import—r en l— dis™iplin— que se esté us—ndoF ƒin em˜—rgoD l— —pli™—™ión de los métodos inherentes — los pro˜lem—s de series de tiempo requiere un tr—sfondo est—dísti™o fuerteF in el presente texto se des™ri˜irá l— teorí— ˜ási™— p—r— el —nálisis de series de tiempoD —˜—r™—ndoD desde los ™on™eptos fund—ment—les de pro˜—˜ilid—d h—st— lleg—r — los modelos de m—yor estudio @e‚D weD e‚weD e‚sweAD ™on el (n de poder pronosti™—r est—dísti™—mente los v—lores de l— serie de tiempo de estudioF v— revisión de l— teorí— propi— de l—s series ™ronológi™—s es de gr—n import—nE ™i— p—r— los le™tores de este textoD y— que tendrán l— oportunid—d de poseer un texto teóri™o re™opil—do de l—s más import—ntes fuentes ˜i˜liográ(™—sD teniendo en ™uent— l— fund—ment—™ión m—temáti™— de ™iertos —lgoritmos y métodosF is de™irD un texto que re™opil— los ™on™eptos y métodos de m—yor fre™uen™i— de uso en el —nálisis de series tempor—lesD teniendo en ™uent— l— rigurosid—d m—temáti™— requerid—F ix
  • 11. Objetivos Objetivo General il o˜jetivo gener—l del presente do™umento es present—r l— teorí— referente —l estudio de l—s series ™ronológi™—sD y est—˜le™er un do™umento teóri™o ˜—se p—r— futur—s investig—™ionesF Objetivos Especícos IF ‚e™opil—r y present—r l— teorí— de vi—rios textos re™ono™idos en el áre— del —nálisis de series de tiempoF PF ‚eseñ—r un— de l—s más import—ntes —pli™—™iones de l— m—temáti™— — proE ˜lem—s que se present—n en diferentes ™—mpos del ™ono™imientoF QF gonstruir un texto el ™u—l h—g— l—s ve™es de texto introdu™torio —l —nálisis de series de tiempoF xi
  • 13. Alcance y Limitaciones il tr—˜—jo pretende present—r l—s f—mili—s de modelos de m—yor utiliz—™iónD ™omo lo son los modelos —utorregresivos @ARAD modelos de promedios móviles @MAAD modelos —utorregresivos mixtos de promedios móviles @ARMA A y los modelos —utorregresivos integr—dos de promedios móviles @ARIMAAD —demás de los modelos de est—do y esp—™io y el (ltro u—lm—nF „odos los tem—s men™ion—dos —nteriormente se ™onstituyen ™omo l— ˜—se teóri™— p—r— ™u—lquier des—rrollo de tr—˜—jos de series de tiempoF eunque un— de l—s pretensiones más import—ntes del tr—˜—jo es des™ri˜ir un número signi(™—tivo de métodos y modelosD solo se tendrán en ™uent— el ™—so univ—ri—doD p—r—métri™o es de™ir se ex™luirán por ejemplo l— f—mili— de modelos eutorregresivos de …m˜r—l @„e‚AD l— f—mili— de modelos †e™tori—les eutorreE gresivos @†e‚AD entre otros y —lgunos métodos de estim—™iones de tenden™i—s ™omo l— regresión us—ndo ƒplinesD el piltro de ƒmirnov entre otrosF xiii
  • 14. xiv ALCANCE Y LIMITACIONES
  • 15. Capítulo 1 Preliminares 1.1. Espacio de Probabilidad v— pro˜—˜ilid—d es un m—r™o ™on™eptu—l que permite —n—liz—r l— o™urren™i— de su™esos —le—toriosD es de™irD f—™ilit— el estudio de su™esos en los ™u—les no es posi˜le prede™ir ™on ex—™titud el result—do de un experimentoF v— ™onstru™™ión del m—r™o ™on™eptu—l de l— pro˜—˜ilid—d se ini™i— ™on el de esp—™io de pro˜—˜iE lid—d (Ω; A; p) —so™i—do — un experimento EF gon este o˜jetivoD se des—rroll—n los siguientes tem—sX ixperimentoF isp—™io wuestr—lF Álge˜r— de iventosF pun™ión de €ro˜—˜ilid—dF 1.1.1. Espacio Muestral de Eventos Denición 1 Un experimento E es la realización de una tarea bien denida y de la cual se ha establecido la codicación o forma de tabulación de los posibles resultados. El experimento se dice aleatorio cuando el resultado no es predecible con exactitud. Denición 2 Al conjunto de todos los posibles resultados obtenidos al realizar un experimento se denomina espacio muestral de eventos y se denota por Ω. Los elementos a ∈ Ω se denominan puntos muestrales.Rincón [2011] Denición 3 Un espacio muestral Ω se denomina discreto si es nito o enu- merable, en tal caso E se dice experimento discreto. Rincón [2011] I
  • 16. P CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 1.1.2. Álgebra de Eventos in un experimento ED ™—d— punto muestr—l en el esp—™io muestr—l Ω se denomin— evento simple y —l evento result—nte de l— uniónD interse™™ión u otr— oper—™ión de ™onjuntos de(nid— en el ™onjunto de eventos simples se denomin— evento ™ompuestoF Denición 4 Para E un experimento discreto y Ω su espacio muestral de even- tos se dene un álgebra de eventos a cualquier colección de conjuntos A que satisfaga las siguientes propiedades Rincón [2011]: Ω ∈ A. Si A ∈ A entonces Ac ∈ A Si A ∈ A y B ∈ A entonces A∪ B ∈ A. 1.1.3. Función de Probabilidad Denición 5 Sea E un experimento discreto, Ω su espacio muestral de posibles resultados y A un álgebra de eventos denida para Ω, una función p : A → [0; 1] es una función de probabilidad si satisface los siguientes axiomasCanavos [1998]: p(B) ≥ 0, Para todo B ∈ A P(Ω) = 1 Si A1, A2, . . . , An es una colección de conjuntos mutuamente disyuntos y k i=1 Ai ∈ A entonces p k i=1 Ai = k i=1 p(Ai) Para todo k ≤ n Denición 6 Un espacio de probabilidad para un experimento E está confor- mado por la tripleta (Ω; A; p) Rincón [2011] snteres— ™onstruir el esp—™io de pro˜—˜ilid—d p—r— un experimento E ™on el álge˜r— de eventos A = ℘(Ω) y un— fun™ión de pro˜—˜ilid—d p de(nid— so˜re sus eventos simplesF v— fun™ión de pro˜—˜ilid—d p se de(ne so˜re los eventos simples y p—r— ello existen v—ri—s posi˜ilid—des que gener—n diferentes esp—™ios de pro˜—˜ilid—dF v— más fre™uente es ™ono™id— ™omo pro˜—˜ilid—d ™lási™—D en ell— los eventos simples son equipro˜—˜lesD l— pro˜—˜ilid—d de ™—d— evento simple está d—d— por 1 η(Ω) ,donde η(Ω) es el ™—rdin—l del esp—™io muestr—lD y en este ™—so el esp—™io de pro˜—˜ilid—d se denomin— esp—™io de pro˜—˜ilid—d l—pl—™i—noF
  • 17. 1.2. VARIABLES ALEATORIAS Q 1.2. Variables Aleatorias e ™ontinu—™ión se mostr—rán elementos del modelo de distri˜u™ión de proE ˜—˜ilid—d p—r— un— v—ri—˜le —le—tori—D que ˜ien puede se dis™ret— o ™ontinu—D X de(nid— en (Ω; A; p) Denición 7 En un espacio de probabilidad (Ω; A; p) una función X : A −→ R es una variable aleatoria si para cualquier valor de r ∈ R el conjunto Ar = {W × W ≤ r} pertenece a A. X se dice discreta si su rango RX es con- table y continua en caso contrario. Rincón [2011] v— de(ni™ión de un— v—ri—˜le —le—tori— X en un esp—™io de pro˜—˜ilid—d (Ω; A; p)D permite ™—r—™teriz—r todos los eventos del experimentoD en expresiones m—temáti™—s en fun™ión de los v—lores de X 1.2.1. Valor Esperado de una Variable Aleatoria e ™ontinu—™ión se present—rán l—s de(ni™iones de v—lor esper—do o esper—nz— m—temáti™— p—r— un— v—ri—˜le —le—tori—D t—nto dis™ret— ™omo ™ontinu—F Denición 8 Para una variable aleatoria discreta X, el valor esperado E (X), se dene comoWalpole et al. [1998] E (X) = µx = x∈Rx xp(X) in gener—lD el v—lor esper—do X de un— v—ri—˜le —le—tori— dis™ret— X es el promedio de X ponder—do ™on los v—lores de p(x)D se interpret— igu—l que el promedio ponder—do —ritméti™o y es el v—lor referente p—r— ™—l™ul—r l— dispersión de los d—tos y p—r— ™—r—™teriz—r l— —simetrí— de l— distri˜u™ión de pro˜—˜ilid—dF Denición 9 Para una variable aleatoria continua X, el valor esperado E (X), se dene como Walpole et al. [1998] E (X) = µx = ∞ˆ −∞ xf (x) dx honde l— fun™ión f (x) es ™ono™id— ™omo l— fun™ión de densid—d de pro˜—˜iE lid—dF 1.2.2. Varianza de una Variable Aleatoria he l— mism— m—ner— que ™on el v—lor esper—doD se present—rán l—s de(ni™iones de v—ri—nz— y desvi—™ión estánd—r p—r— v—ri—˜les —le—tori—s dis™ret—s y ™ontinu—s Denición 10 La varianza σ2 X, para X variable aleatoria discreta se dene como Walpole et al. [1998] V (X) = σ2 X = x∈Rx (x − µx) 2 p (x)
  • 18. R CAPÍTULO 1. PRELIMINARES Denición 11 La varianza σ2 X, para X variable aleatoria continua se dene como Walpole et al. [1998] V (X) = σ2 X = ∞ˆ −∞ (x − µx) 2 f (x) dx Denición 12 La desviación estándar σX, para X una variable aleatoria, bien sea, discreta o continua se dene como la raíz cuadrada positiva de la varianza σ2 X. Walpole et al. [1998] 1.3. Vectores Aleatorios …n ve™tor —le—torio se origin— ™u—ndo en el mismo esp—™io de pro˜—˜ilid—d (Ω; A; p) se de(nen X1, X2, ..., Xn v—ri—˜les —le—tori—sD e interes— o˜serv—r y —n—liz—r su ™omport—miento pro˜—˜ilísti™o ™onjuntoF Denición 13 Sean X1, X2, ..., Xn variables aleatorias discretas denidas en (Ω; A; p), al vector X = {X1, X2, ..., Xn} se denomina vector aleatorio de di- mensión n. El rango o conjunto de valores del vector X está contenido en el conjunto Rincón [2011] R = RX1 × RX2 × · · · × RX1 ™on RXi el r—ngo de Xi p—r— i = 1, 2, ..., n. ƒe di™e que el ve™tor —le—torio es dis™reto si ™—d— Xi es un— v—ri—˜le —le—tori— dis™ret— y se di™e ve™tor —le—torio ™ontinuo si ™—d— Xi es n— v—ri—˜le —le—tori— ™ontinu—F Denición 14 Dado un vector aleatorio X = {X1, X2, ..., Xn} con p(x1, x2, ...xn) la función de probabilidad conjunta, para cada variable Xi existe la función de probabilidad marginal p (x) denida comoRincón [2011] p (x) =    x1∈Rx1 x2∈Rx2 · · · x2∈Rx2 p(x1, x2, ...xn) Si Xes discreto ∞ˆ −∞ ∞ˆ −∞ · · · ∞ˆ −∞ p(x1, x2, ...xn)dΩ Si Xes continuo honde dΩ = dx1dx2 · · · dxi−1dxi+1 · · · dxn Denición 15 Sea X = {X1, X2, ..., Xn} un vector aleatorio denido en (Ω; A; p) y p(x1, x2, ...xn) la función de probabilidad conjunta. La función de probabilidad acumulada de X está dada por Rincón [2011]
  • 19. 1.3. VECTORES ALEATORIOS S F (x) =    A p(k1, k2, ...kn) Si Xes discreto ˆ A p(k1, k2, ...kn)dΩ Si Xes continuo donde A = {x1, x2, ...xn : x1 ≤ k1;x2 ≤ k2; ...; xn ≤ kn} y dΩ = dx1dx · · · dxn 1.3.1. Valor esperado de un Vector Aleatorio „eniendo de(nid—s l—s fun™iones de pro˜—˜ilid—d ™onjunt— es posi˜le de(nir el v—lor esper—do de un— ve™tor —le—torio dis™reto o ™ontinuoD según se— el ™—soF Denición 16 Sea X = {X1, X2, ..., Xn} un vector aleatorio denido en (Ω; A; p) y p(x1, x2, ...xn) la función de probabilidad conjunta. El vector de medias de X es el vector de los valores esperados de las variables Xi, i = 1, 2, ..., n y está dado por Canavos [1998] E (X) = µX = (µX1 , µX2 , ...µXn) donde µXi =    x1∈Rx1 xpXi (x) i = 1, 2, ...n Si Xes discreto ∞ˆ −∞ xpXi (x) dx i = 1, 2, ...n Si Xes continuo 1.3.2. Varianza de un Vector Aleatorio Denición 17 Sea X = {X1, X2, ..., Xn} un vector aleatorio denido en (Ω; A; p) y p(x1, x2, ...xn) la función de probabilidad conjunta. El vector de varianzas de X es el vector de varianzas de las variables Xi i = 1, 2, ...n y está dado por Canavos [1998] V (X) = σ2 X = σ2 X1 , σ2 X2 , ...σ2 Xn donde Denición 18 σ2 Xi =    x1∈Rx1 (x − µXi ) 2 pXi (x) i = 1, 2, ...n Si Xes discreto ∞ˆ −∞ (x − µXi ) 2 pXi (x) dx i = 1, 2, ...n Si Xes continuo
  • 20. T CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 1.3.3. Función Generadora de Momentos Conjunta Denición 19 Sea X = {X1, X2, . . . , Xn} un vector aleatorio denido en (Ω; A; p) con probabilidad conjunta p (x1, x2, ..., xn) . La función generadora de momentos conjunta de X está dada por Rincón [2011] Mx (t) = E etX €—r— t ∈ R v— fun™ión gener—dor— de momentos re™i˜e su nom˜re gr—™i—s — que sus deriv—d— ™—l™ul—d—s en ™ero gener—n los momentos de ve™tor X, es de™ir Mx (0) = M1 = µx Mx (0) = M2 = µ2 x FFF 1.3.4. Covarianza y Coeciente de Correlación Denición 20 [Covarianza]Sea (X, Y ) un vector aleatorio denido en (Ω; A; p) y p (x, y) la función de probabilidad conjunta. La covarianza de X y Y está dada por: Koopman [1964] Cov (X, Y ) = x,y (x − µx) (y − µy) p (x, y) = σ2 XY Denición 21 Sea X = {X1, X2, ...Xn} un vector aleatorio denido en (Ω; A; p) y p (x1, x2, ..., xn) la función de probabilidad conjunta. La matriz de varianzas y covarianzas está dada por Koopman [1964] XY =      σ2 X1 σ2 X1X2 · · · σ2 X1Xn σ2 X2X1 σ2 X2 · · · σ2 X2Xn ... ... ... ... σ2 XnX1 σ2 XnX2 · · · σ2 Xn      Denición 22 [Coeciente de Correlación]Sea (X, Y ) un vector aleatorio de- nido en (Ω; A; p) y p(x, y) la función de probabilidad conjunta. el coeciente de correlación de X y Y está dado por: Koopman [1964] ρXY = Cov (X, Y ) σXσY Denición 23 Sea X = {X1, X2, ...Xn} un vector aleatorio denido en (Ω; A; p) y p (x1, x2, ..., xn) la función de probabilidad conjunta. La matriz de de correla- ciones de X está dada por Koopman [1964] RXY =      1 ρX1X2 · · · ρX1Xn ρX2X1 1 · · · ρX2Xn FFF FFF FFF FFF ρXnX1 ρXnX2 · · · 1     
  • 21. 1.3. VECTORES ALEATORIOS U 1.3.5. Esperanza Condicional ƒe—n X y Y ve™tores —le—torios Denición 24 Si X y Y tienen función de probabilidad conjunta f (x, y) , y sea f (x) la función de probabilidad marginal de X. La función de probabilidad condicional de Y dado X = x, es Koopman [1964] f (y | x) = f (x, y) f (x) €—r— un v—lor d—do de x, l— fun™ión de pro˜—˜ild—d ™ondi™ion—l tiene tod—s l—s propied—des usu—les de un— fun™ión de densid—d de pro˜—˜ilid—dF in p—rti™ul—rD Denición 25 La esperanza condicional de Y dado x = x es denida como Koopman [1964] E (Y | X = x) =    y∈Ry yf (y | x) Si Xy Y son discretos ∞ˆ −∞ yf (y | x) dy Si Xy Y son continuos gomo un v—lor esper—doD l— esper—nz— ™ondi™ion—l goz— de tod—s l—s propieE d—des usu—lesF €or ejemplo E (aY + bZ + c | X = x) = aE (Y | X = x) + bE (Z | X = x) @IFIA y E [h (Y ) | X = x] =    x∈Rx yf (y | x) ƒi Xy Y son dis™retos ∞ˆ −∞ yf (y | x) dx ƒi Xy Y son ™ontinuos @IFPA edemás E [h (x) | X = x] = h (x) @IFQA is de™ir queD d—do X = x l— v—ri—˜le —le—tori— h (x) puede ser tr—t—d— ™omo un— ™onst—nteF in gener—l E [h (X, Y ) | X = x] = E [h (x, Y ) | X = x] @IFRA ƒe— E (Y | X = x) = g (x) , enton™es g (x) es un— v—ri—˜le —le—tori— y se puede ™onsider—r E [g (x)] , donde E [g (x)] = E (Y ) vo que usu—lmente se es™ri˜e ™omo E [E (Y | X)] = E (Y ) @IFSA
  • 22. V CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 1.3.6. Variables Aleatorias Independientes ƒe— X = {X1, X2, . . . , Xn} un ve™tor —le—torio de(nido en (Ω; A; p) ™on pro˜—˜ilid—d ™onjunt— p (x1, x2, ..., xn) Xi se di™en mutu—mente independientes si ™umple —lgun— de l—s siguientes ™ondi™iones ‚in™ón ‘PHII“ p (Xi | Xj) = pxi ∀i = j p (x1, x2, ..., xn) = n i=1 pxi (xi) F (x1, x2, ..., xn) = n i=1 Fxi (xi) 1.4. Distribución Normal Denición 26 Una variable continua X con Rx = (−∞, ∞) se tiene distribu- ción normal con parámetros µ, σ2 , si su función de densidad de probabilidad está dada por Canavos [1998] f x, µ, σ2 = 1 √ 2πσ e− 1 2 x−µ σ 2 v— distri˜u™ión norm—l es quizá l— más import—nte en l— teorí— est—dísti™— y— que mu™hos des—rrollos teóri™os se ™onstruyen so˜re este supuestoF ƒe denot— por X ∼ N µ, σ2 y se utiliz— ™u—ndo el polígono de fre™uen™i—s de los v—lores de X tiene form— —™—mp—n—d—D ™on X = µX ™omo eje de simetrí—F „—m˜ién es import—nte señ—l—r l—s siguientes ™—r—™terísti™—s de l— distri˜u™ión norm—lF µx se denomin— p—rámetro de lo™—liz—™ión y l— fun™ión de densid—d es simétri™— en X = µx es de™ir p (X ≤ µX) = p (X ≥ µX) = 0,5. σ2 X se denomin— p—rámetro de es™—l— y est—˜le™e l— dispersión de los v—lores de X ™on respe™to — µx. Denición 27 Cuando X se distribuye normal con parámetros (0, 1) , se deno- mina normal estándar, se denota por Z ∼ N (0, 1) y su función de densidad de probabildad está dada por Canavos [1998] f (z) = 1 √ 2π e z2 2
  • 23. Capítulo 2 Conceptos Fundamentales in este ™—pítulo se des™ri˜irán los ™on™eptos fund—ment—les en l— teorí— refeE rente — l— series de tiempoF €—rti™ul—rmente se tr—t—rán los ™on™eptos de pro™eso esto™ásti™oD fun™iones de medi— y ™ov—ri—nz—D pro™esos est—™ion—riosD y l—s funE ™iones de —uto™orrel—™iónD —sí ™omo un— ˜reve des™rip™ión históri™—F 2.1. Antecedentes Históricos v— histori— de l—s series de tiempo se puede dividir en dos épo™—s @y˜E serv—™iónD wedi™ión y qener—liz—™ión y porm—liz—™iónA teniendo en ™uent— los métodos p—r— —˜ord—r los diferentes fenómenos que motiv—ron el estudio del ™omport—miento de ™iertos elementos respe™to —l tiempoF 2.1.1. Observación, medición y generalización il —nte™edente más —ntiguo de l—s series de tiempo se remont— — IVRT ™u—ndo el —strónomo reinri™h ƒ™hw—˜eD o˜servó l— —™tivid—d periódi™— de l—s m—n™h—s sol—res @sunspotsAF ƒeguido de dé™—d—s de investig—™iónD no solo en l— físi™— sol—r sino en el m—gnetismo terrestreD meteorologí— e in™luso e™onomí—D donde se ex—min—˜—n l—s series p—r— ™ompro˜—r si su periodi™id—d ™oin™idí— ™on los diferentes fenómenos —nteriormente men™ion—dosD por ejemploD ƒimon v—pl—™e y t—™ques ueteletD h—˜í—n —n—liz—do d—tos meteorológi™os y ‡illi—m rers™hel h—˜í— es™rito un li˜ro —l respe™toF „odos estudios ˜—s—dos en l— o˜serv—™ión empíri™—F v—s té™ni™—s en uso v—ri—˜—n desde l—s más simplesD ™omo l— t—˜l— de fuys f—llotD l— ™u—l permití— ™ono™er l— disposi™ión de los ™entros de —lt— y ˜—j— presión respe™to de l— dire™™ión en que sopl— el vientoD — form—s más so(sti™—d—s ™omo el —nálisis —rmóni™oD es el ™—so del físi™o erthur ƒ™huster quien introdujo en IVVW el periodogr—m—D el ™u—l permite ™—l™ul—r l— densid—d espe™tr—l de un— señ—lF W
  • 24. IH CAPÍTULO 2. CONCEPTOS FUNDAMENTALES ƒin em˜—rgoD por ese enton™esD un— form— riv—l del —nálisis de series tempoE r—lesD ˜—s—d— en l— ™orrel—™ión y promovid— por €e—rsonD ‰uleD rooker y otrosD fue tom—ndo form—F 2.1.2. Formalización il —nálisis est—dísti™o de l—s series de tiempo tienen sus ini™ios form—les ™on el texto es™rito por qeorge …dny ‰ule en IWPU ll—m—do yn — wethod of snE vestig—ting €eriodi™ities in histur˜ed ƒeriesD with ƒpe™i—l ‚eferen™e to ‡olfer9s ƒunspot xum˜ersD dondeD ˜—s—do en el ™on™epto de ™orrel—™ión intent— expli™—r l—s m—n™h—s sol—res ™on otros fenómenos —stronómi™osF e pes—r de los —v—n™es propuestos por v—rios est—dísti™os in)uyentes de l—s primer—s dé™—d—s del siglo ˆˆD no fue sino h—st— IWUHD ™on l— pu˜li™—™ión de 4„ime ƒeries en—lysisX pore™—sting —nd gontrol4 por fox y tenkins en IWUHD que se ™onstituyó un— herr—mient— ˜i˜liográ(™—D que permití— —pli™—r los métodos de series de tiempo de m—ner— sistemáti™—D y —demás logro uni(™—r el o˜jetivo de investig—™iónF is import—nte men™ion—r queD el des—rrollo teóri™o y prá™ti™o del —nálisis de series de tiempo está estre™h—mente rel—™ion—do ™on el des—rrollo informáti™oD y— que esteD provee l—s herr—mient—s ne™es—ri—s p—r— los extensos ™ál™ulos que dem—nd—n los métodos inherentes —l —nálisis de series de tiempoF …no de los m—s import—ntes ™onsiste en l— p—r—metriz—™ión de los modelos de est—do y esp—™io y el (ltro u—lm—n des—rroll—dos en su m—yorí— en el (n—l de l— dé™—d— de IWUHF1 2.2. Series de Tiempo y Procesos Estocásticos v— se™uen™i— de v—ri—˜les —le—tori—s {Yt : t = 0, ±1, ±2, ±3, ...} se ™ono™e ™oE mo pro™eso esto™ásti™oD y sirve ™omo modelo p—r— un— serie de tiempo o˜serv—d—F ƒe s—˜e que l— estru™tur— pro˜—˜ilísti™— de di™ho pro™eso es determin—do por el ™onjunto de l—s distri˜u™iones de tod—s l—s ™ole™™iones (nit—s de XiF ƒin em˜—rE goD l— m—yorí— de inform—™ión de l—s fun™iones de pro˜—˜ilid—d ™onjunt— puede ser des™rit— en términos de sus medi—sD v—ri—nz—s y ™ov—ri—nz—sF €or lo ™u—l di™hos p—rámetros @primer y segundo momentoA serán el o˜jetivo prin™ip—l @ƒi l—s distri˜u™iones de X son distri˜u™iones norm—les multiv—ri—d—sD el primer y segundo momento determin—n ™omplet—mente tod— l— distri˜u™ión ™onjunt—A 1Cada uno de los métodos mencionados en este apartado serán ampliados, mientras se desarrollan los conceptos.
  • 25. 2.3. MEDIAS, VARIANZAS Y COVARIANZAS II 2.3. Medias, Varianzas y Covarianzas Denición 28 (Función de la Media) Para un proceso estocástico {Yt : t = 0, ±1, ±2, ±3, ...} la función de la media se dene como Fuller [1996] µt = E (Yt) Para t = 0, ±1, ±2, ... @PFIA is de™ir que el v—lor de µt, es simplemente el v—lor esper—do del pro™eso en el tiempo t. in gener—l el v—lor de µt puede diferir p—r— ™—d— tiempo t. Denición 29 (Función de Autocovarianza)La función γt,sse dene como: γt,s = Cov (Yt, Ys) Para t, s = 0, ±1, ±2, ... @PFPA Fuller [1996] honde Cov (Yt, Yt) está ™ontempl—d— en l— de(ni™ión PHF v— fun™ión ρt,s está d—d— porX Denición 30 ρt,s = Corr (Yt, Ys) Para t, s = 0, ±1, ±2, ... @PFQA Fuller [1996] honde según l— de(ni™ión PP se puede ™on™luir queX Corr (Yt, Ys) = γt,s √ γt,tγs,s @PFRA „eniendo en ™uent— que t—nto l— ™ov—ri—nz— y l— ™orrel—™ión son medid—s de dependen™i— line—l entre dos v—ri—˜les —le—tori—sD se enun™i—r—n l—s siguientes propied—des que serán se gr—n utilid—d — lo l—rgo del des—rrollo del tem—F γt,t = V ar (Yt) ρt,t = 1 γt,s = γs,t ρt,s = ρs,t |γt,s| = √ γt,tγs,s |ρt,s| ≤ 1 @PFSA is import—nte re™ord—r que v—lores de ρt,s ™er™—nos — ±1 indi™—n un— fuerte dependen™i— line—lD por otr— p—rte v—lores ™er™—nos — 0 indi™—n dependen™i— line—l dé˜ilD y si ρt,s = 0 se di™e que Yt y Ys no están ™orrel—™ion—d—sF gon el (n de investig—r l—s propied—des de l— ™ov—ri—nz— de v—rios modelos de series de tiempoD el siguiente result—do gryer —nd gh—n ‘PHHV“ será us—do repetid—meteX ƒi c1, c2, , cm y d1, d2, , dn son ™onst—tes y t1, t2, , tm y s1, s2, , sn son puntos tempor—les enton™es Cov   m i=1 ciYti , m j=1 djYsj   = m i=1 m j=1 cidiCov Yti , Ysj @PFTA gomo ™—so espe™i—l se o˜tiene V ar n i=1 ciYti = n i=1 c2 i V ar (Yti ) + 2 n i=2 i−1 j=1 cicjCov Yti , Ytj @PFUA
  • 26. IP CAPÍTULO 2. CONCEPTOS FUNDAMENTALES 2.3.1. La Caminata Aleatoria (Random Walk) ƒe—n e1, e2, ... un— se™uen™i— de v—ri—˜les —le—tori—s idénti™—mente distri˜uiE d—s ™—d— un— ™on medi— ™ero y v—ri—nz— σ2 e . ƒe ™onstruye l— serie de tiempo {Yt : t = 1, 2, ...} de l— siguiente m—ner— Y1 = e1 @PFVA Y2 = e1 + e2 FFF Y = e1 + e2 + · · · + et he form— —ltern—tiv— se puede es™ri˜ir Yt = Yt−1 + et gon l— ™ondi™ión ini™i—l Y1 = e1. ƒi ei es ™onsider—do ™omo el t—m—ño de los 4p—sos4 d—dos — lo l—rgo de l— re™t— numéri™— @˜ien se— h—™i— —del—nte o —trásAF inton™es Yt es l— posi™ión del g—min—nte —le—torio en el tiempo t F he l— e™u—™ión PFV se puede dedu™ir l— fun™ión de l— medi—X µt = E (Yt) = E (e1 + e2 + · · · + et) = E (e1) + E (e2) + ...E (et) = 0 + 0 + · · · + 0 inton™es µt = 0 €—r— todo t „—m˜iénD se ™onsider— V ar (Yt) = V ar (e1 + e2 + · · · + et) = V ar (e1) + V ar (e2) + ...V ar (et) = σ2 e + σ2 e + · · · + σ2 e inton™es V ar (Yt) = tσ2 e @PFWA €—r— ™—l™ul—r l— fun™ión de ™ov—ri—nz—D se —sume que 1 ≤ t ≤ s inton™es γt,s = Cov (Yt, Ys) = Cov (e1 + e2 + · · · et, e1 + e2 + · · · + et + et+1 + · · · es) €or propied—des de l— ™ov—ri—nz— se —(rm— queX γt,s = s i=j t j=1 Cov (ei, ej) ƒin em˜—rgoD est—s ™ov—ri—nz—s son ™ero menos ™u—ndo i = j, y en ese ™—so V ar (ei) = σ2 e y existen ex—™t—mente t ™—sos de di™h— igu—ld—dD luego γt,s = tσ2 e . y de˜ido — que γt,s = γs,t es posi˜le es™ri˜ir l— fun™ión de ™ov—ri—nz— de l— siguiente m—ner—X γt,s = tσ2 e €—r— 1 ≤ t ≤ s @PFIHA
  • 27. 2.3. MEDIAS, VARIANZAS Y COVARIANZAS IQ v— fun™ión de —uto™orrel—™ión p—r— l— ™—min—t— —le—tori— se o˜tiene de l— siguiente m—ner— ρt,s = γt,s √ γt,tγs,s = t s €—r— 1 ≤ t ≤ s @PFIIA 2.3.2. Promedios Móviles ƒupong— que {Yt} es ™onstruido ™omo Yt = et + et−1 2 @PFIPA he˜ido — que ei se —sumen ™omo v—ri—˜les —le—tori—s idénti™—mente distriE ˜uid—s ™on medi— ™ero y v—ri—nz— σ2 e , enton™es µt = E (Yt) = E et + et−1 2 = E (et) + E (et−1) 2 = 0 y V ar (Yt) = V ar et + et−1 2 = V ar (et) + V ar (et−1) 4 = 0,5σ2 e „—m˜ién Cov (Yt, Yt−1) = Cov et + et−1 2 , et−1 + et−2 2 = Cov (et, et−1) + Cov (et, et−2) + Cov (et−1, et−1) + Cov (et−1, et−2) 4 = Cov (et−1, et−1) 4 = 0,25σ2 e o γt,t−1 = 0,25σ2 e €—r— todo t @PFIQA edemás Cov (Yt, Yt−2) = Cov et + et−1 2 , et−1 + et−2 2 = 0 €or ser e independientes hel mismo modoD Cov (Yt − Yt−k) = 0 p—r— k 1 enton™es se gener—liz— de l— siguiente m—ner— γt,s =    0,25σ2 e €—r— |t − s| = 0 0,5σ2 e €—r— |t − s| = 1 H €—r— |t − s| 1
  • 28. IR CAPÍTULO 2. CONCEPTOS FUNDAMENTALES €—r— l— fun™ión de —uto™orrel—™iónD —pli™—ndo l— e™u—™ión PFR se o˜tiene ρt,s =    1 €—r— |t − s| = 0 0,5 €—r— |t − s| = 1 H €—r— |t − s| 1 is de gr—n import—n™i— not—r que ρ2,1 = ρ3,2 = ρ5,6 = ρ9,8 = 0,5. is de™ir que v—lores de Y sep—r—dos por un— unid—d de tiempo tiene l— mism— ™orrel—™iónF wás —ún ρ3,1 = ρ5,3 = ρt,t−2 y más gener—l ρt,t−k es el mismo p—r— todo v—lor de t. iste he™ho ™ondu™e —l import—nte ™on™epto de est—™ion—ried—d 2.4. Estacionariedad gon el (n de inferir —™er™— de l— estru™tur— de un pro™eso esto™ásti™o ˜—E s—do en d—tos o˜serv—dosD se de˜eD usu—lmenteD —sumir ™iert—s ™ondi™iones que simpli(™—n el pro™esoF il más import—nte de di™hos supuestos es el de l— est—E ™ion—ried—dF v— ide— prin™ip—l de l— est—™ion—ried—d ™onsiste en que l—s regl—s de pro˜—˜ilid—d que rigen el pro™eso no ™—m˜i—n respe™to —l tiempoF Denición 31 Especícamente, un proceso {Yt}, se dice que es estrictamente estacionario si la distribución conjunta de Yt1 , Yt2 , . . . , Ytn es la misma que la distribución conjunta de Yt1−k, Yt2−k, . . . , Ytn−k, para cada elección de puntos t1, t2, ..., tn y todo rezago de tiempo k. Cryer and Chan [2008] …n— de(ni™ión simil—r — l— estri™t—mente est—™ion—l pero m—temáti™—mente m—s dé˜il es l— siguienteX Denición 32 Un proceso {Yt}, se dice que es débilmente estacionario o estacionario de segundo orden si Cryer and Chan [2008] IF v— fun™ión de l— medi— es ™onst—nte — tr—vés del tiempoD y PF γt,t−k = γ0,k p—r— todo tiempo t y todo rez—go k Denición 33 Para procesos estacionarios usualmente se considera k ≥ 0. Teorema 34 Sea {Yi} una serie de tiempo estacionaria con función de auto- covarianza γk = 1 n n k=t Yt pruebe que: V ar( ¯Y ) = γ0 n + 2 n n−1 k=1 1 + k n γk = 1 n n−1 k=−n+1 1 − k n γk
  • 29. 2.4. ESTACIONARIEDAD IS 2.4.1. Ruido Blanco (White Noise) …n ejemplo ˜—st—nte import—nte de lo que es un pro™eso est—™ion—l es lo que ™omúnmente se ™ono™e ™omo ruido ˜l—n™o wontgomery et —lF ‘PHHV“F Denición 35 El ruido blanco (White Noise) se dene como una secuencia de variables aleatorias, independientes idénticamente distribuidas {et} v— import—n™i— del ruido ˜l—n™o r—di™— en el he™ho de que mu™hos pro™esos útiles pueden ser ™onstruidos — p—rtir de ruido ˜l—n™oF il término ruido ˜l—n™o se ˜—s— en el he™ho que en un —nálisis de fre™uen™i— del modelo muestr—lD en —n—logí— ™on l— luz ˜l—n™—D tod—s l—s fre™uen™i—s entr—n —l modelo equiv—lentementeF …su—lmente se tiene que —sumir que los pro™esos de ruido ˜l—n™o tienen medi— igu—l — ™ero y v—ri—nz— σ2 e . Teorema 36 Sea {Yi} una serie de tiempo estacionaria con función de auto- covarianza γk = 1 n n k=t Yt pruebe que: V ar( ¯Y ) = γ0 n + 2 n n−1 k=1 1 + k n γk = 1 n n−1 k=−n+1 1 − k n γk
  • 30. IT CAPÍTULO 2. CONCEPTOS FUNDAMENTALES
  • 31. Capítulo 3 Tendencias in un— serie de tiempo gener—lD l— fun™ión de l— medi— es un— fun™ión —rE ˜itr—ri— respe™to —l tiempoF in un— serie de tiempo est—™ion—lD l— fun™ión de l— medi— de˜e ser ™onst—nte — tr—vés del tiempo gryer —nd gh—n ‘PHHV“F preE ™uentemente se de˜e est—˜le™er un punto medio entre l—s dos series de tiempo y ™onsider—r fun™iones de l— medi— rel—tiv—mente simples @no ™onst—ntesA — tr—vés del tiempoF is—s tenden™i—s serán tr—t—d—s en el siguiente ™—pítuloF 3.1. Tendencias Determinísticas contra Tenden- cias Estocásticas v—s tenden™i—s en un— serie de tiempo pueden ser su˜jetiv—sD dependiendo del punto de vist— del investig—dorF he he™hoD en diferentes simul—™iones de l— mism— v—ri—˜le —le—tori— l—s tenden™i—s pueden v—ri—rY — este tipo de tenden™i—s se les denomin— tenden™i—s esto™ásti™—sD teniendo en ™uent— que est— de(ni™ión no h— sido gener—lmente —™ept—d—F €or otro l—doD p—r— un— serie de tiempo ™on p—rámetro ™í™li™o determinísti™o se di™e que l— tenden™i— es determinísti™— y su model—miento se estudi—rá en este ™—pítuloF 3.2. Estimación de la Media Constante gomo primer— medid— se ™onsider—rá l— situ—™ión donde se —sume un— funE ™ión de l— medi— ™onst—nteD enton™es el modelo est—rí— d—do porX Yt = µ + Xt @QFIA honde E (Xt) = 0 p—r— todo t. ƒe dese— estim—r µ ™on ˜—se en l— serie de tiempo o˜serv—d— Y1, Y2, ..., Yn F v— estim—™ión más ™omún de µ es l— medi— IU
  • 32. IV CAPÍTULO 3. TENDENCIAS muestr—l de(nid— ™omo ¯Y = 1 n n t=1 Yt @QFPA f—jo el supuesto de l— e™u—™ión QFID se puede ™on™luir que E ¯Y = µ; por lo t—nto ¯Y es un— estim—™ión imp—r™i—l de µ. €—r— o˜tener l— pre™isión de ¯Y ™omo estim—dor de µ, es ne™es—rio h—™er supuestos respe™to — Xt. ƒupóng—se que {Yt} es un— serie de tiempo est—™ion—ri— ™on fun™ión de —uE to™orrel—™ión ρk. inton™es por el teorem— PH se tiene gryer —nd gh—n ‘PHHV“ V ar( ¯Y ) = γ0 n n−1 k=−n+1 1 + |k| n ρk @QFQA = γ0 n 1 + 2 n−1 k=−n+1 1 − k n ρk ƒi l— serie de tiempo {Xt} de l— e™u—™ión QFI es simplemente ruido ˜l—n™oD enton™esD ρk = 0 ¡p—r— k 0 y V ar ¯Y se redu™e simplemente — γ0 n . in el modelo est—™ion—rio de promedios móviles Yt = et − et−1 2 , se en™uentr— que ρ1 = −0,4 y ρk = 0 p—r— k 1 en este ™—so se o˜tiene V ar( ¯Y ) = γ0 n 1 + 2 1 − 1 n (−0,4) = γ0 n 1 − 0,8 n − 1 n €—r— v—lores de n, usu—lmente m—yores que 50 el f—™torD n − 1 n es ™er™—no — 1, enton™es V ar( ¯Y ) ≈ 0,2 γ0 n he esto se puede ™on™luir que l— ™orrel—™ión neg—tiv— en el rez—go k, h— mejor—do l— estim—™ión de l— medi—D ™omp—r—d— ™on l— estim—™ión o˜tenid— en el modelo de ruido ˜l—n™o @muestr— —le—tori—AF he˜ido — que l— serie tiende — os™il—r —lrededor de l— medi—D l— medi— muestr—l o˜tenid— es más pre™is—F €or otr— p—rteD si ρk ≥ 0 p—r— todo k ≥ 1, se puede o˜serv—rD gr—™i—s — l— e™u—™ión QFQD que V ar( ¯Y ) γ0 n . in estos ™—sos l— ™orrel—™ión positiv— h—™e que l— estim—™ión de l— medi— se h—g— más ™ompli™—d— que ™on los modelos de ruido ˜l—n™oF in gener—l l— e™u—™ión QFQ de˜e ser us—d— p—r— ev—lu—r el efe™to en l— serie de tiempoF €—r— mu™hos pro™esos est—™ion—riosD l— fun™ión de —uto™orrel—™iónD de™re™e lo su(™ientemente rápidoD ™on rez—gos ™re™ientes t—l que ∞ k=0 |ρk| ∞ @QFRA
  • 33. 3.3. MÉTODOS DE REGRESIÓN IW „eniendo en ™uent— el supuesto de l— e™u—™ión QFRD y teniendo un— v—lor de n signi(™—tiv—mente —ltoD l— e™u—™ión QFQ puede —proxim—rse de l— siguiente m—ner— gryer —nd gh—n ‘PHHV“ V ar( ¯Y ) ≈ γ0 n ∞ k=−∞ ρk €—r— n su(™ientemente gr—nde @QFSA €—r— pro™esos no est—™ion—rios @pero ™on medi— ™onst—nteAD l— pre™isión de l— medi— muestr—l ™omo un— estim—™ión de µ puede ser sorprendentemente diE ferenteF €or ejemploD supóng—se que l— v—ri—˜le {Xt} en l— e™u—™ión QFI es un pro™eso de ™—min—t— —le—tori— luego utiliz—ndo l— e™u—™ión PFVF V ar( ¯Y ) = 1 n2 V ar n i=1 Yi = 1 n2 V ar   n i=j i j=1 ej   = 1 n2 V ar (e1 + 2e2 + 3e3 + · · · nen) = σ2 e n2 n K=1 k2 luego V ar( ¯Y ) = σ2 e (2n + 1) (n + 1) 6n ƒe ™on™luye que este es un ™—so espe™i—lD l— v—ri—nz— de l— estim—™ión de l— medi— —ument— ™u—ndo el t—m—ño de l— muestr— t—m˜ién lo h—™eD lo que impli™— que se ne™esit— ™onsider—r otro método de estim—™ión p—r— series no est—™ion—ri—sF 3.3. Métodos de Regresión vos métodos est—dísti™os ™lási™os de regresión ˜rind—n un— herr—mient— de sum— import—n™i— p—r— estim—r los p—rámetros de los modelos ™on tenden™i— medi— v—ri—˜leD en el des—rrollo de este —p—rt—doD se ™onsider—r—n los más útilesX line—lD ™u—dráti™—D medi—s est—™ion—lesD y tenden™i—s del ™osenoF 3.3.1. Tendencias Lineales y Cuadráticas gonsidérese l— tenden™i— determinísti™— expres—d— ™omo µt = β0 + β1t @QFTA
  • 34. PH CAPÍTULO 3. TENDENCIAS honde l— pendiente y el inter™epto β1 y β0 respe™tiv—menteD son p—rámeE tros des™ono™idosF il método ™lási™o de mínimos ™u—dr—dos ™onsiste en elegir estim—™iones de β1 y β0 t—les que minimi™en Q (β0, β1) = n t=1 [Yt − (β0 + β1t)] 2 he est— form—D después de deriv—r p—r™i—lmente e igu—l—r — ™eroD se o˜tieneX ˆβ1 = n t=1 Yt − ¯Y (t − ¯t) n t=1 (t − ¯t) 2 @QFUA ˆβ0 = ¯Y − ˆβ1¯t donde t = (n + 1) 2 es el promedio de 1, 2, ...n. gryer —nd gh—n ‘PHHV“ 3.3.2. Tendencias cíclicas. ƒe ™onsider—ránD — ™ontinu—™iónD el model—miento de tenden™i—s est—™ion—E lesD por ejemploD l— temper—tur— mensu—lF ƒe —sumirá que l— serie de tiempo o˜serv—d— se puede es™ri˜ir ™omo Yt = µt + Xt honde E (Xt) = 0 €—r— todo t. il supuesto más gener—l p—r— µt ™on d—tos est—™ion—les mensu—lesD es que existen IP ™onst—ntes o p—rámetros β1, β2, ..., β12, y teniendo el promedio espeE r—do de temper—tur— p—r— ™—d— uno de los meses se puede es™ri˜ir µt =    β1 €—r— t = 1, 13, 25, ... β2 €—r— t = 2, 14, 26, ... FFF β12, €—r— t = 12, 24, 36, ... @QFVA gryer —nd gh—n ‘PHHV“ 3.3.3. Tendencias del Coseno v—s medi—s est—™ion—les del modelo p—r— d—tos mensu—les ™onsiste IP p—ráE metros independientesD y no tiene en ™uent— l— form— de l— tenden™i— est—™ion—lF €or ejemploD el he™ho de que l—s medi—s de w—rzo y e˜ril son simil—res no se re)ej—n (elmente en el modeloF in —lgunos ™—sosD l—s tenden™i—s est—™ion—les pueden ser model—d—s ™on ™osenos D que propor™ion—n un— ™urv— su—ve entre un periodo y otroD ™onserv—ndo l— est—™ion—ried—dF
  • 35. 3.4. CONFIABILIDAD Y EFICIENCIA DE LAS ESTIMACIONES DE LA REGRESIÓNPI gonsidérese l— ™urv— ™on l— e™u—™iónX µt = β cos (2πft + Φ) @QFWA ƒe le ll—m— — β 0 l— —mplitudD — f l— fre™uen™i—D y Φ l— f—se de l— ™urv—F he˜ido — que t v—rí—D l— ™urv— os™il— entre un máximo de β y un minimo de −β. he˜ido — que l— ™urv— se repite — sí mism— ™—d— 1 f unid—des de tiempoF 1 f es ™ono™ido ™omo el periodo de l— ™urv—F esimismo Φ es útil p—r— est—˜le™er el origen —r˜itr—rio en el eje del tiempoF v— e™u—™ión QFW no es muy ™onveniente p—r— efe™tos de l—s estim—™ionesD y— queD los p—rámetros β y ΦD no inter(eren en l— fórmul— de un— m—ner— line—lF efortun—d—menteD us—ndo un— identid—d trigonométri™— l— e™u—™ión QFW puede ser es™rit— de l— siguiente m—ner—X β cos (2πft + Φ) = β1 cos (2πft) + β2sen (2πft) honde β = β2 1 + β2 2, Φ = a tan −β2 β1 y β1 = β cos (Φ) , β2 = βsen (Φ) €—r— estim—r los p—rámetros β1 y β2 ™on té™ni™—s de regresiónD simplemente se us— cos (2πft) y sen (2πft) ™omo v—ri—˜les regresor—sF il modelo más sen™illoD teniendo en ™uent— l— tenden™i—D es el siguiente µt = β0 + β1 cos (2πft) + β2sen (2πft) @QFIHA in este ™—so l— ™onst—nteD β0, puede ser pens—d— ™omo un ™oseno ™on freE ™uen™i— igu—l — ™eroF gryer —nd gh—n ‘PHHV“ 3.4. Conabilidad y Eciencia de las Estimacio- nes de la Regresión esúm—se que l— serie de tiempo es represent—d— por Yt = µt + Xt, donde µt es un— tenden™i— determinísti™— y {Xt} es un pro™eso est—™ion—rio de medi— ™ero ™on fun™iones de —uto™ov—ri—nz— y —uto™orrel—™ión γk y ρk respe™tiv—menteF €—r— medi—s est—™ion—lesD l—s estim—™iones por mínimos ™u—dr—dos de l—s medi—s est—™ion—les sonD simplemente promedios est—™ion—lesD enton™esD si se tiene N —ños de d—tos mensu—les se puede es™ri˜ir l— estim—™ión p—r— l— medi— en l— tempor—d— j ™omo ˆβj = 1 N N−1 i=0 Yi + 12i
  • 36. PP CAPÍTULO 3. TENDENCIAS ‰— que ˆβj es un promedio ™omo ¯Y ex™epto que solo us— ™—d— do™e—v— o˜serE v—™iónF v— e™u—™ión QFQ puede ser modi(™—d— p—r— o˜tener l— v—ri—nz— de ˆβjF ƒe reempl—z— n por N y ρk por ρ12k p—r— o˜tener V ar ˆβj = γ0 N 1 + 2 N−1 k=0 1 − k n ρ12k €—r— j = 1, 2, ..., 12 @QFIIA ƒe pude not—r que si {Xt} es un pro™eso de ruido ˜l—n™oD V ar ˆβj = γ0 N . edemás si v—rios ρk son diferentes de ™ero pero ρ12k = 0 enton™es V ar ˆβj = γ0 N . in ™u—lquier ™—soD solo l—s ™orrel—™iones est—™ion—les ρ12,ρ24, ... serán utiliE z—d—s en l— e™u—™ión QFIIF €—r— l—s tenden™i—s del ™oseno expres—d—s en l— e™u—™ión QFIHF €—r— ™u—lquier fre™uen™i— de l— form— f = m n donde m es un entero que s—tisf—™e 1 ≤ m ≤ n 2 , se pueden us—r expresiones expli™it—s p—r— los v—lores de l—s estim—™iones ˆβ1 y ˆβ2. ˆβ1 = 2 n n t=1 cos 2πmt n Yt , ˆβ2 = 2 n n t=1 sen 2πmt n Yt @QFIPA ‰— que l—s —nteriores e™u—™iones son e™u—™iones line—les de {Yt} , se ev—lu—rán sus v—ri—nz—s us—ndo l— e™u—™ión PFTD y teniendo en ™uent— que gryer —nd gh—n ‘PHHV“ n t=1 = cos 2πmt n 2 = n 2 se o˜tiene V ar ˆβ1 = 2γ0 n 1 + 4 n n s=2 s−1 t=1 cos 2πmt n cos 2πms n ρs−t y V ar ˆβ1 = 2γ0 n 1 + 4 n n s=2 s−1 t=1 sen 2πmt n sen 2πms n ρs−t ƒi {Xt} es un pro™eso de ruido ˜l—n™oD se o˜tiene implemente 2γ0 n . ƒi ρ1 = 0, ρk = 0 p—r— k 1 y m n = 1 12 l— v—ri—nz— se redu™e — gryer —nd gh—n ‘PHHV“ V ar ˆβ1 = 2γ0 n 1 + 4ρ1 n n−1 t=1 cos πt 6 cos πt + 1 6 ρs−t @QFIQA €—r— l—s tenden™i—s line—les es más ™onveniente utiliz—r un— formul— —ltern—E tiv— — l— e™u—™ión QFU p—r— ™—l™ul—r ˆβ1. ƒegún gryer —nd gh—n ‘PHHV“ l— estim—E ™ión de l— pendiente por medio de mínimos ™u—dr—dos puede ser es™rit— de l—
  • 37. 3.5. ANÁLISIS DE RESIDUALES PQ siguiente m—ner— ˆβ1 = n t=1 (t − ¯t) Yt n t=1 (t − ¯t) 2 @QFIRA ‰— que l— estim—™iónD ˆβ1D es un— ™om˜in—™ión line—l de los v—lores de Y, y us—ndo n t=1 (t − ¯t) 2 = n n2 − 1 12 l— v—ri—nz— se puede es™ri˜ir ™omo V ar ˆβ1 = 12γ0 n (n2 − 1) n s=2 s−1 t=1 (t − ¯t) (s − ¯t) ρs−t @QFISA 3.5. Análisis de Residuales gomo y— se h— des™rito —nteriormenteD l— ™omponente esto™ásti™— {Xt} puede ser estim—d— medi—nte el residual ˆXt = Yt − ˆµt ƒe ™ono™e — ˆXt ™omo el residu—l ™orrespondiente — l— t − ´esima o˜serv—E ™ión frillinger ‘PHHI“F ƒi el modelo de l— tenden™i— es r—zon—˜lemente ™orre™toD enton™es los residu—les de˜erí—n ™omport—rse ™omo un ™omponente esto™ásti™o y se pueden est—˜le™er v—rios supuestosF ƒi el ™omponente esto™ásti™o es ruido ˜l—n™oD enton™es los residu—les de˜erí—n ™omport—rse ™omo v—ri—˜les —le—tori—s independientes norm—lmente distri˜uid—s ™on medi— ™ero y desvi—™ión estánd—r s. he˜ido — que —l —juste medi—nte mínimos ™u—dr—dos de ™u—lquier tendenE ™i— ™on términos ™onst—ntes produ™en residu—les ™on medi— ™eroD es import—nte est—nd—riz—r los residu—les ™omo ˆX t s .„eniendo los residu—les est—nd—riz—dosD el p—so — seguir es ™omp—r—r los residu—les ™on l— tenden™i— ™orrespondiente del v—lor —just—do y por medio de softw—re espe™i—liz—do veri(™—r l—s ™—r—™terísti™—s del pro™eso esto™ásti™o @norm—lid—dD independen™i—D et™FA @†é—se ‰—te ‘PHII“AF 3.5.1. Función de Autocorrelación Muestral …n— import—nte herr—mient— ™on l— ™u—l se puede ex—min—r l— dependen™i— es l— fun™ión de —uto™orrel—™ión muestr—lF gonsidérese un— se™uen™i— de d—E tos Y1, Y2, . . . , Yn @˜ien se— residu—lesD d—tos origin—les o d—tos tr—nsform—dosAF esumiendo tent—tiv—mente est—™ion—ried—dD se dese— estim—r l— fun™ión de —utoE ™orrel—™ión ρk p—r— un— v—ried—d de rez—gos k = 1, 2, . . . . v— form— más evidente de re—liz—r di™ho ™ál™uloD es ™—l™ul—r l— fun™ión de ™orrel—™ión muestr—l entre ™—E d— p—r de d—tos (Y1, Y1+k) , (Y2, Y2+k) , . . . , (Yn−k, Yn) . ƒin em˜—rgoD teniendo
  • 38. PR CAPÍTULO 3. TENDENCIAS en ™uent— el supuesto de l— est—™ion—ried—dD l— ™u—l impli™— un— medi— y un— v—ri—nz— ™omún p—r— l— serie de tiempoF v— fun™ión de —uto™orrel—™ión muestr—l de l— siguiente m—ner— gryer —nd gh—n ‘PHHV“ Denición 37 La función de autocorrelación muestral, rk en el rezago k es rk = n t=k+1 Yt − ¯Y Yt−k − ¯Y n t=1 Yt − ¯Y 2 @QFITA
  • 39. Capítulo 4 Modelos para Series de Tiempo Estacionarias in el siguiente ™—pítulo se dis™utirán los ™on™eptos ˜ási™os de un— —mpli— g—m— de modelos de series de tiempo p—r—métri™—s ™ono™id—s ™omo modelos —utorregresivos de promedios móviles o e‚weD de˜ido — sus sigl—s en inglésF g—˜e not—r que este tipo de modelos tiene un— gr—n import—n™i— en los pro™esos de l— vid— ™otidi—n—D en v—rios ™—mpos del ™ono™imientoF 4.1. Procesos Generales Lineales r—st— el momentoD siempre se h— ™onsider—do — {Yt} ™ómo l— serie de tiempo o˜serv—d—F e p—rtir de este ™—pítuloD t—m˜ién se denot—rá — {et} ™omo un ruido ˜l—n™o no o˜serv—doD es de™irD un— se™uen™i— de v—ri—˜les —le—tori—sD idénti™—E mente distri˜uid—s ™on medi— ™eroF „—m˜iénD en mu™hos ™—sosD el supuesto de independen™i— puede ser sustituido por el supuesto @más dé˜ilA que {et}, es un— se™uen™i— de v—ri—˜les —le—tori—s no ™orrel—™ion—d—sF Denición 38 Un proceso general lineal {Yt}, es aquel que puede ser represen- tado como una combinación lineal ponderada, de los términos del pasado y del presente de un proceso de ruido blanco de la siguiente manera. Yt = et + ψ1et−1 + ψ2et−2 + · · · @RFIA Cryer and Chan [2008] ƒi l— expresión de l— dere™h— es ™iert—mente un— serie in(nit—D de˜en est—E ˜le™er™e ™ondi™iones so˜re los pesos ψ, ™on el (n de que di™h— expresión teng— sentidoD m—temáti™—mente h—˜l—ndoF is su(™iente —sumir queX ∞ i=1 ψ2 i ∞ @RFPA PS
  • 40. PTCAPÍTULO 4. MODELOS PARA SERIES DE TIEMPO ESTACIONARIAS „—m˜ién de˜e not—rse que d—do que {et} es un pro™eso de ruido ˜l—n™o no o˜serv—˜leD no se pierde l— gener—lid—d de l— e™u—™ión RFPY si se —sume que el ™oe(™iente de et es 1; efe™tiv—mente ψ0 = 1. …n ejemplo de sum— import—n™i— en el des—rrollo del textoD es l— ™—so en el ™u—l los ψ form—n un— se™uen™i— exponen™i—lmente de™re™iente ψj = φj honde −1 ≤ φ ≤ 1, enton™es Yt = et + φet−1 + φ2 et−2 + · · · €—r— este ejemplo E (Yt) = E et + φet−1 + φ2 et−2 + · · · = 0 es de™ir que {Yt} tiene un— medi— ™onst—nte igu—l — ™eroF „—m˜ién V ar (Yt) = V ar et + φet−1 + φ2 et−2 + · · · = V ar (et) + φ2 V ar (et−1) + φ4 V ar (et−2) + · · · = σ2 e 1 + φ2 + φ4 + · · · = σ2 e 1 − φ2 @ƒum—ndo l— serie geométri™—A edemás Cov (Yt, Yt−1) = Cov et + φet−1 + φ2 et−2 + · · · , et−1 + φet−2 + φ2 et−3 + · · · = Cov (φet−1, et−1) + Cov φ2 et−2, φet−2 + · · · = φσ2 e + φ3 σ2 e + φ5 σ2 e + · · · = φσ2 e 1 + φ2 + φ4 + · · · = φσ2 e 1 − φ2 @ƒum—ndo l— serie geométri™—A inton™es Corr (Yt, Yt−1) = φσ2 e 1 − φ2 σ2 e 1 − φ2 = φ he m—ner— —nálog—D se puede ™—l™ul—r Cov (Yt, Yt−k) = φk σ2 e 1 − φ2 por lo t—nto Corr (Yt, Yt−k) = φk @RFQA
  • 41. 4.2. PROCESOS DE PROMEDIOS MÓVILES PU is import—nte señ—l—r que el pro™eso es est—™ion—rioD y— que l— —uto™ov—ri—nE z— depende sol—mente del rez—go de tiempo y no del tiempo —˜solutoF €—r— un pro™eso gener—l line—l Yt = et + ψ1et−1 + ψ2et−2 + · · · se sigue un pro™edimiento —nálogo —l —nteriormente re—liz—do p—r— o˜tener E (Yt) = 0 γk = Cov (Yt, Yt−k) = σ2 e ∞ i=0 ψiψi+k k ≥ 0 @RFRA ™on ψ0 = 1. …n pro™eso ™on medi—D diferente de ™eroD µ puede ser o˜tenido —ñ—diendo el término µ — l— p—rte dere™h— de l— e™u—™ión RFIF he˜ido — que l— medi— no —fe™t— l—s propied—des de l— ™ov—ri—nz—D se sumirá que l— medi— es ™eroD h—st— que se —justen modelos — un— serie de d—tos 4.2. Procesos de Promedios Móviles in el ™—soD donde solo existe un número (nito de pesos ψ diferentes de ™eroD se tiene lo que se ™ono™e ™omo un pro™eso de promedios móviles Denición 39 Una proceso {Yt} se dice que es promedios móviles cuando existe un número nito de pesos θ, y tiene la siguiente forma: Yt = et − θ1et−1 − θ2et−2 − · · · − θqet−q @RFSA La ecuación 4.5 se conoce como una serie de promedios móviles de orden q y se abrevia con las siglas MA(q). Box and Jenkins [1976] il término €romedios wóviles se ˜—s— en el he™ho que Yt se o˜tiene —pli™—nE do los pesos 1, −θ1, −θ2, · · · , −θq — l—s v—ri—˜les et, et−1, et−2, · · · , et−q y luego se mueven los pesos y se —pli™—n — l—s v—ri—˜les et + 1, et, et−1, · · · , et−q+1 ™on (n de o˜tener Yt+1F 4.2.1. Procesos de Promedios Móviles de Primer Orden e ™ontinu—™ión se ™onsider—ráD el más simpleD de los modelosD sin dej—r de ser import—nteF il pro™eso de promedios móviles de orden 1D es de™irD MA(1). ƒegún l— e™u—™ión RFS el modelos es de l— form—X Yt = et − θet−1 is import—nte —™l—r—r que p—r— los modelos de primer orden θ1 se suele not—r simplemente ™omo θF gl—r—mente E (Y1) = 0 y V ar (Yt) = σ2 e 1 + θ2 , edemás Cov (Yt, Yt−1) = Cov (et − θet−1, θet−1 − θet−2) = Cov (−θet−1, et−1) = −θσ2 e
  • 42. PVCAPÍTULO 4. MODELOS PARA SERIES DE TIEMPO ESTACIONARIAS y Cov (Yt, Yt−2) = Cov (et − θet−1, θet−2 − θet−3) = 0 he˜ido — que no existen v—ri—˜les e ™omunes entre Yt y Yt−2, Cov (Yt, Yt−k) = 0 siempre y ™u—ndo k ≥ 2, es de™ir que el pro™eso no tiene ™orrel—™ión p—r— rez—gos m—yores — 1. in resumenD p—r— un modelo MA (1) Y = et − θet−1 E (Yt) = 0 @RFTA γ0 = V ar (Yt) = σ2 e 1 + θ2 γ1 = −θσ2 e ρ1 = −θ (1 + θ2) γk = ρk = 0 €—r— k ≥ 2 4.2.2. Procesos de Promedios Móviles de Segundo Orden ƒegún l— e™u—™ión RFS un— serie de tiempo de promedios móviles de orden dos es de l— form—X Yt = et − θ1et−1 − θ2et−2 in este g—so γ0 = V ar (Yt) = V ar (et − θ1et−1 − θ2et−2) = 1 + θ2 1 + θ2 2 σ2 e γ1 = Cov (Yt, Yt−1) = Cov (et − θ1et−1 − θ2et−2, et−1 − θ1et−2 − θ2et−3) = Cov (−θ1et−1, et−1) + Cov (−θ1et−2, −θ2et−2) = [−θ1 + (−θ1) (−θ2)] σ2 e = (−θ1 + θ1θ2) σ2 e y γ1 = Cov (Yt, Yt−2) = Cov (et − θ1et−1 − θ2et−2, et−2 − θ1et−3 − θ2et−4) = Cov (−θ2et−2, et−2) = −θ2σ2 e inton™esD p—r— un modelo MA (2) ρ1 = −θ1 + θ1θ2 1 + θ2 1 + θ2 2 ρ2 = −θ2 1 + θ2 1 + θ2 2 @RFUA ρk = 0 €—r— k = 3, 4, ...
  • 43. 4.3. PROCESOS AUTORREGRESIVOS PW 4.2.3. Procesos de Promedios Móviles de Orden q €—r— el pro™eso gener—l MA (q) Yt = et − θ1et−1 − θ2et−2 − · · · − θqet−q ƒiguiendo un pro™eso —nálogo —l de los pro™esos MA (1) y MA (2) se o˜tiene γ0 = V ar (Yt) = 1 + θ2 1 + θ2 2 + · · · + θ2 q σ2 e @RFVA y ρk =    −θk+1 + θ1θk+1 + θ2θk+2 + · · · + θq−kθq 1 + θ2 1 + θ2 2 + · · · + θ2 q €—r— k = 1, 2, ..., q H €—r— k q @RFWA fox —nd tenkins ‘IWUT“ 4.3. Procesos Autorregresivos Denición 40 Un proceso Autorregresivo {Yt} de orden p satisface la ecuación Box and Jenkins [1976] Yt = φ1Yt−1 + φ1Yt−2 + · · · + φpYt−p + et @RFIHA il v—lor —™tu—l de l— serie {Yt} es un— ™om˜in—™ión line—l del v—lor p—s—do más re™iente de p m—s un término de innov—™ión et, el ™u—l in™orpor— todo lo que no es expli™—do por l—s v—ri—˜les p—s—d—s en l— serie en el tiempo tF €or lo t—ntoD se —sume que ™—d— t es independiente — Yt−1, Yt−2, Yt−3, .. 4.3.1. Procesos Autorregresivos de Primer Orden il pro™eso —utorregresivo de primer orden AR (1) , teniendo en ™uent— l— e™u—™ión RFIHD es de l— form— Yt = φYt−1 + et @RFIIA gomo es usu—lD se —sume que l— medi— del pro™esoD h— sido extr—íd—D luego l— medi— de l— serie es ™eroF „eniendo en ™uent— el pro™edimiento propuesto por gryer —nd gh—n ‘PHHV“ gomo primer— medid— se ev—lu—rá l— v—ri—nz—F „om—ndo l— e™u—™ión RFII y s—™—ndo l— v—ri—nz— — —m˜os l—dos de l— igu—ld—d se o˜tiene γ0 = φ2 γ0 + σ2 e vuego γ0 = φ σ2 e 1 − φ2
  • 44. QHCAPÍTULO 4. MODELOS PARA SERIES DE TIEMPO ESTACIONARIAS he los ™u—l se puede ™on™luir que φ2 1 o lo que es equiv—lente |φ| 1. ehor— tom—ndo l— e™u—™ión RFII y multipli™—ndo —m˜os l—dos de l— igu—ld—d por Yt−k ™on k = 1, 2, ..., y tom—ndo el v—lor esper—do se o˜tieneX E (Yt−kYt) = φ2 E (Yt−kYt−1) + E (etYt−k) o γk = φγk−1 + E (etYt−k) = 0 he˜ido — que l— serie se h— supuesto est—™ion—ri— ™on medi— ™eroD y teniendo en ™uent— que et es independiente de Yt−k se o˜tieneX E (etYt−k) = E (et) E (Yt−k) = 0 inton™es γk = φγk−1 ƒustituyendo k = 1 se o˜tiene γ1 = φγ0 es de™ir γ1 = σ2 e 1 − φ2 ƒustituyendo k = 2 se o˜tiene γ2 = φ2 σ2 e 1 − φ2 vuego se puede ™on™luir que en gener—l γk = φk σ2 e 1 − φ2 €or ™onsiguiente ρk = γk γ0 = φk €—r— k = 1, 2, 3, ... gomo |φ| 1, l— m—gnitud de l— fun™ión de ™orrel—™ión de™re™e exponen™i—lE mente según —ument— el número de rez—gos k 4.3.1.1. Versión General Lineal de un Modelo AR (1) v— de(ni™ión re™ursiv— del modelo AR (1) d—d— en l— e™u—™ión RFII es de gr—n utilid—d p—r— l— interpret—™ión del modeloF ƒin em˜—rgoD p—r— otros propósitosD es ™onveniente expres—r el modelo AR (1) ™omo un pro™eso gener—l line—l ™omo en l— e™u—™ión RFIF v— de(ni™ión re™ursiv— es válid— p—r— todo t. ƒi se us— l— e™u—™ión reempl—z—ndo t por t − 1, se tiene Yt−1 = φYt−2 + et−1. ƒustituyendo en l— e™u—™ión gener—l se o˜tiene Yt = φ (φYt−2 + et−1) + et = et + φet−1 + φ2 Yt−2
  • 45. 4.3. PROCESOS AUTORREGRESIVOS QI ƒi se repite el pro™eso h—™i— el p—s—doD k − 1 ve™esD se o˜tiene Yt = et + φet−1 + φ2 et−2 + +φk−1 et−k+1 + φk Yt−k @RFIPA esumiendo que |φ| 1, y permitiendo que k ™rez™—D se o˜tiene l— represenE t—™ión in(nit—X Yt = et + φet−1 + φ2 et−2 + φ3 et−3 + · · · @RFIQA fox —nd tenkins ‘IWUT“ 4.3.1.2. Estacionariedad de un Proceso AR (1) ƒujeto — l—s restri™™iones que et es independiente — Yt−1, Yt−2, Yt−3, .. y que σ2 e 0, l— solu™ión de l— re™ursivid—d del modelo AR (1) Yt = φYt−1 + et es est—™ion—l si y solo si |φ| 1. iste requisito gener—lmente se ™ono™e ™omo l— Condición de estacionariedad (fox —nd tenkins ‘IWUT“ pF SRA 4.3.2. Procesos Autorregresivos de Segundo Orden gonsidérese l— serie que s—tisf—™e l— siguiente e™u—™ión Yt = φ1Yt−1 + φ2Yt−2 + et @RFIRA hondeD ™omo es usu—lD se —sume que et es independiente de Yt−1, Yt−2, Yt−3, ... €—r— tener en ™uent— l— est—™ion—ried—d se introdu™e el Polinomio Característico AR φ (x) = 1 − φ1x − φ2x2 ‰ su respe™tiv— Ecuación Característica AR 1 − φ1x − φ2x2 = 0 „eniendo en ™uent— que un— e™u—™ión ™u—dráti™— tiene dos r—í™esD posi˜leE mente ™omplej—sF 4.3.2.1. Estacionariedad de un Proceso AR (2) ƒujeto — l— ™ondi™ión que et es independiente de Yt−1, Yt−2, Yt−3, ...…n— soE lu™ión est—™ion—ri— — l— e™u—™ión RFIRD existeD si y solo si l—s r—í™es de l— e™u—™ión ™—r—™terísti™— e‚D son m—yores que I en v—lor —˜solutoD o eventu—lmente se diE ™e que l—s r—í™es están en el exterior del ™ir™ulo unit—rio en el pl—no ™omplejo @foxD tenkinsD —nd ‚einselD IWWRDpF SRAF iste ™on™epto se gener—liz— — modelos de orden p sin ™—m˜io —lgunoF vo que siguiere el siguiente teorem—X
  • 46. QPCAPÍTULO 4. MODELOS PARA SERIES DE TIEMPO ESTACIONARIAS Teorema 41 Cryer and Chan [2008] En el caso del modelo de segundo orden AR(2) , las raíces de la ecuación característica son de la forma φ1 ± φ2 1 − 4φ2 −2φ2 Un modelo AR (2) es estacionario si y solo si se satisfacen las siguientes con- diciones φ1 + φ2 1 φ2 − φ1 1 |φ2| 1 Demostración ƒe—n G1 y G2 los números re™ípro™os de l—s r—í™es de l— e™u—™ión ™—r—™terísti™— e‚D enton™es G1 = 2φ2 −φ1 − φ2 1 + 4φ2 ‚—™ion—liz—ndo G1 = 2φ2 −φ1 + φ2 1 + 4φ2 −φ2 1 − (φ2 1 + 4φ2) G1 = −φ1 − φ2 1 + 4φ2 2 hel mismo modo G2 = φ1 + φ2 1 + 4φ2 2 ehor—D teniendo en ™uent— el dis™rimin—nte de un— fun™ión ™u—dráti™— se puede ™on™luir que v— r—íz es re—l si y solo si φ2 1 + 4φ2 ≥ 0 |Gi| 1 p—r— i = 1 y 2 si y solo si −1 φ1 − φ2 1 + 4φ2 2 φ1 + φ2 1 + 4φ2 2 1 o 2 φ1 − φ2 1 + 4φ2 φ1 + φ2 1 + 4φ2 2 „om—ndo l— primer— p—rte de l— desigu—ld—dF 2 φ1 − φ2 1 + 4φ2 si y solo si φ2 1 + 4φ2 φ1 + 2 si y solo si φ2 1 + 4φ2 φ2 1 + 4φ1 + 4 si y solo si φ2 φ1 + 1 o φ2 − φ1 1 enálog—mente l— segund— desigu—ld—d φ1 + φ2 1 + 4φ2 2 nos llev— — φ2 + φ1 1 v— r—íz es ™omplej— si y solo si φ2 1 + 4φ2 0 honde G1 y G2 son ™omplej—s ™onjug—d—s y |G1| = |G2| 1 |G1| 2 = φ2 1 + −φ2 1 − 4φ2 4 = −φ2
  • 47. 4.3. PROCESOS AUTORREGRESIVOS QQ φ2 −1 iso junto ™on l— desigu—ld—d φ2 1 + 4φ2 0 nos llev— — |φ2| 1 gryer —nd gh—n ‘PHHV“ 4.3.2.2. La Función de Autocorrelación del Proceso AR (2) €—r— ™—l™ul—r l— fun™ión de —uto™orrel—™ión p—r— los modelos AR (2) se tom— l— e™u—™ión RFIR se multipli™—n —m˜os l—dos por Yt−k, y se tom—n los v—lores esper—dosF esumiendo est—™ion—ried—dD medi—s igu—les — ™ero y l— independen™i— de et respe™to — Yt−1, Yt−2, Yt−3, .... vo que ™ondu™e — γk = φ1γk + φ2γk−2 €—r— k = 1, 2, 3, ... @RFISA o dividiendo por γ0 ρk = φ1ρk−1 + φ2ρk−2 €—r— k = 1, 2, 3, ... @RFITA v—s e™u—™iones RFIS y RFIT son ™ono™id—s ™omo l—s e™u—™iones ‰uleE‡—lkerD espe™i—lmente el ™onjunto de dos e™u—™iones o˜tenid—s ™u—ndo k = 1 y k = 2. r—™iendo k = 1 us—ndo — ρ0 = 1 y ρ−1 = ρ1, se o˜tiene ρ1 = φ1 + φ2ρ1, luego ρ1 = φ1 1 − φ2 us—ndo los v—lores ™ono™idos de ρ1, se us— l— e™u—™ión RFIT ™on k = 2 p—r— o˜tener ρ2 = φ2ρ2 + φ2ρ2 = φ2 (1 − φ2) + φ2 1 1 − φ2 ‰ de un— m—ner— —nálog— y su™esiv— se podrí— ™—l™ul—r ρk 4.3.3. Varianza del Modelo AR (2) v— v—ri—nz— γ0 puede ser expres—d— en términos de los p—rámetros del modelo φ1 D φ2 y σ2 e de l— siguiente m—ner—X „om—ndo l— e™u—™ión RFIR y ev—lu—ndo l— v—ri—nz— — —m˜os l—dos de l— igu—ld—d se o˜tiene γ0 = φ2 1 + φ2 2 γ0 + 2φ1φ2γ1 + σ2 e @RFIUA iv—lu—ndo l— e™u—™ión RFIS ™on k = 1 se o˜tiene un— e™u—™ión line—l p—r— γ0 y γ1 γ1 = φ1γ0 + φ2γ1 l— ™u—l se puede resolver simult—ne—mente ™on l— e™u—™ión RFIU p—r— o˜tener γ0 = (1 − φ2) σ2 e (1 − φ2) (1 − φ2 1 − φ2 2) − 2φ2φ2 1 = 1 − φ2 1 + φ2 σ2 e (1 − φ2) 2 − φ2 1 @RFIVA
  • 48. QRCAPÍTULO 4. MODELOS PARA SERIES DE TIEMPO ESTACIONARIAS 4.3.4. Proceso Autorregresivo General gonsidere el modelo —utorregresivo de orden p Yt = φ1Yt−1 + φ1Yt−2 + · · · + φpYt−p + et @RFIWA gon su polinomio ™—r—™terísti™o e‚ φ (x) = 1 − φ1x − φ2x2 − · · · − φpxp @RFPHA ‰ su respe™tiv— e™u—™ión ™—r—™terísti™— 1 − φ1x − φ2x2 − · · · − φpxp = 0 @RFPIA gomo se men™ionó —ntesD —sumiendo que et es independiente de Yt−1, Yt−2, Yt−3, ... un— solu™ión est—™ion—ri— — l— e™u—™ión RFPI existe si y solo si l—s p r—í™es de l— e™u—™ión son m—yores que 1 en v—lor —˜solutoF hel mismo modoD —sumiendo l— est—™ion—ried—d y que l—s medi—s son igu—les — ™eroD se puede multipli™—r l— e™u—™ión RFIW p—r— o˜tener l— siguiente e™u—™ión re™ursiv—F ρk = φ1ρk−1 + φ2ρk−2 + φ3ρk−3 + · · · + φpρk−p €—r— k ≥ 1 @RFPPA he(niendo k = 1, 2, ... y valores de p en l— e™u—™ión D y us—ndo ρ0 = 1 y ρ−k = ρk se o˜tienen l—s e™u—™iones gener—les de ‰uleE‡—lker ρ1 = φ1 + φ2ρ1 + φ3ρ2 + · · · + φpρp−1 @RFPQA ρ2 = φ1ρ1 + φ2 + φ3ρ1 + · · · + φpρp−2 @RFPRA FFF ρp = φ1ρp−1 + φp−2 + φ3ρp−3 + · · · + φp edemásD ™onsider—ndo que E (etYt) = E [et (φ1Yt−1 + φ2Yt−2 + · · · + φpYt−p + et)] = E e2 t = σ2 e se puede multipli™—r l— e™u—™ión RFIW por Yt tom—r v—lores esper—dos y o˜E tener γ0 = φ1γ1 + φ2γ2 + · · · + φpγp + σ2 e ue tom—ndo — ρk = γk γ0 puede ser es™rit— de l— siguiente m—ner— fox —nd tenkins ‘IWUT“ γ0 = σ2 e 1 − φ1ρ1 − φ2ρ2 − · · · − φpρp @RFPSA i™u—™ión que expres— l— v—ri—nz— γ0 en términos de σ2 e , φ1, φ2, ..., φp y los v—lores ™ono™idos de ρ1, ρ2, ..., ρp.
  • 49. 4.4. MODELOS MIXTOS AUTORREGRESIVOS DE PROMEDIOS MÓVILESQS 4.4. Modelos Mixtos Autorregresivos de Prome- dios Móviles ƒi se —sume que l— serie de tiempo es p—r™i—lmente —utorregresiv— y p—r™i—lE mente de promedios móviles se puede o˜tener lo siguienteF Denición 42 Una serie {Yt} se dice que es un proceso mezclado autorregre- sivo de promedios móviles de ordenes p y q, si satisface la siguiente ecuación Yt = φ1Yt−1 +φ2Yt−2 +· · ·+φpYt−p +et −θ1et−1 −θ2et−2 −· · ·−θqet−q @RFPTA gon el (n de —˜revi—rD se utiliz—rá l— not—™ión ARMA (p, q) . esumiendo que en los modelo mixtos no existen f—™tores ™omunes en los polinomiosD t—nto —utorregresivos ™omo de promedios móvilesF is ™l—ro que si existier—n se podrí—n ™—n™el—r y en ese ™—so el orden del modelo disminuirí— fox —nd tenkins ‘IWUT“ 4.4.1. El modelo ARMA (1, 1) ƒegún l— e™u—™ión RFPT el modelo ARMA (1, 1) se puede es™ri˜ir de l— siE guiente m—ner— Yt = φYt−1 + et − θet−1 @RFPUA gon el (n de o˜tener l—s e™u—™iones de ‰uleE‡—lkerD primeroX E (et, Yt) = E [et (φYt−1 + et − θet−1)] = σ2 e y E (et−1Yt) = E [et−1 (φYt−1 + et − θet−1)] = φσ2 e − θσ2 e = (φ − θ) σ2 e ƒi se multipli™— l— e™u—™ión RFPU por Yt−k y se ™—l™ul— el v—lor esper—do se o˜tiene el siguiente sistem— de e™u—™iones γ0 = φγ0 + [1 − θ (φ − θ)] σ2 e γ1 = φγ0 − θσ2 e @RFPVA γk = φγk−1 €—r— k ≥ 2 ‚esolviendo l—s dos primer—s e™u—™iones γ0 = 1 − φθ + θ2 1 + φ2 σ2 e @RFPWA ƒolu™ion—ndo l— e™u—™ión re™ursiv— ρk = (1 − θφ) (φ − θ) 1 − θφ + θ2 φk−1 €—r— k ≥ 1 @RFQHA
  • 50. QTCAPÍTULO 4. MODELOS PARA SERIES DE TIEMPO ESTACIONARIAS ƒe puede ™on™luir que l— fun™ión de —uto™orrel—™ión de™re™e — medid— que los rez—gos k ™re™enF v— form— del pro™eso line—l gener—l del modelo puede ser o˜tenid— de l— mism— m—ner— que l— o˜tenid— gr—™i—s — l— e™u—™ión RFIQ Yr = et + (φ − θ) ∞ j=1 φj−1 et−j @RFQIA is de™ir ψj = (φ − θ) φj−1 €—r— j ≥ 1 honde l— ™ondi™ión de est—™ion—ried—d |φ| 1 se tiene que ™umplirF 4.4.2. La Función de Autocorrelación para un Proceso ARMA (p, q) Cryer and Chan [2008] €—r— un modelo gener—l ARMA (p, q) , teniendo en ™uent— que et es indeE pendiente de Yt−1, Yt−2, Yt−3, . . . , un— solu™ión est—™ion—ri— — l— e™u—™ión RFPT existe si y solo si tod—s l—s r—í™es en v—lor —˜soluto de l— e™u—™ión ™—r—™terísti™— AR son m—yores que 1. ƒi l— ™ondi™ión de est—™ion—ried—d se s—tisf—™eD el modelo puede ser es™rito ™omo un pro™eso gener—l line—l ™on ψ ™oe(™ientes determin—dos gr—™i—s — ψ0 = 1 @RFQPA ψ1 = −θ1 + φ1 ψ2 = −θ2 + φ2 + φ1ψ1 FFF ψj = −θj + φpψj−p + φp−1ψj−p+1 + · · · + φ1ψj−1 dondeD por pr—™ti™id—d se tom— ψj = 0 p—r— j 0 y θj = 0 p—r— j q. „eniendo en ™uent— l— ™ondi™ión de est—™ion—ried—dD l— fun™ión de —uto™oE rrel—™ión s—tisf—™e ρk = φ1ρk−1 + φ2ρk−2 + +φpρk−p €—r— k q @RFQQA edemásD se— {Yt} un pro™eso ARMA (p, q) inverti˜leD teniendo en ™uent— que di™ho pro™eso se puede es™ri˜ir en un— form— gener—l line—l de l— siguiente form— Yt = ∞ j=0 ψjet−j @RFQRA donde los pesos ψ pueden ser o˜tenidos re™ursiv—mente gr—™i—s — l— e™u—™ión RFQPD luego E (Yt+ket) = E   ∞ j=0 ψjet+k−jet   = ψkσ2 e €—r— k ≥ 0 @RFQSA
  • 51. 4.4. MODELOS MIXTOS AUTORREGRESIVOS DE PROMEDIOS MÓVILESQU inton™es l— —uto™ov—ri—nz— de˜e s—tisf—™er γk = E (Yt+kYt) = E     p j=1 φjYt+k−j − q j=0 θjet+k−j   Yt   @RFQTA = p j=1 φjγk−j − σ2 e q j=0 θψj−k honde θ0 = 1 y l— ultim— sum— se ™—n™el— si k q. ƒi se est—˜le™e k = 0, 1, , p y γ−k = γk se puede ™on™luir que existen p + 1 e™u—™iones line—les en γ0, γ1, . . . , γp. γ0 = φ1γ1 + φ2γ2 + · · · + φpγp − σ2 e (θ0 + θ1ψ1 + · · · + θ1ψ1) γ1 = φ1γ0 + φ2γ1 + · · · + φpγp−1 − σ2 e (θ1 + θ2ψ1 + · · · + θqψq−1) FFF γp = φ1γp−1 + φ2γp−2 + · · · + φpγ0 − σ2 e (θp + θp+1ψ1 + · · · + θqψq−p)    @RFQUA donde θj = 0 si j q. €—r— un ™onjunto d—do de p—rámetros σ2 e , φ y θ @y por ende ψA se pueden solu™ion—r l—s e™u—™iones ™on el (n de o˜tener γ0, γ1, . . . , γp. vos v—lores de γk p—r— k p pueden ser ev—lu—dos en l— e™u—™ión re™ursiv— RFQQF pin—lmente ρk es o˜tenido por medio de l— e™u—™iónF ρk = γk γ0 4.4.3. Invertibilidad enteriormente se h— expuesto que p—r— un pro™eso MA (1) se o˜tiene ex—™E t—mente l— mism— fun™ión de ™orrel—™ión si θ es reempl—z—do por 1 θ . v— f—lt— de uni™id—d de los modelos MA, d—d— su fun™ión de —uto™orrel—™iónD de˜e ser tenid— en ™uent— —ntes de intent—r inferir los v—lores de los p—rámetros ™on ˜—se en l— serie de tiempo o˜serv—d—F …n pro™eso —utorregresivo puede ser expres—do ™omo un pro™eso line—l geE ner—l por medio de los ™oe(™ientes ψ, es de™ir que un pro™eso AR puede ser pens—do ™omo un pro™eso de promedios móviles MA de orden in(nitoF gonsidérese un modelo MA (1) Yt = et − θet−1 @RFQVA ‚ees™ri˜iendo l— e™u—™ión RFQV de l— form— et = Yt + θet−1D reempl—z—ndo t por t − 1 y sustituyendo por et−1 se o˜tiene et = Yt + θ (Yt−1 + θet−2) = Yt + θYt−1 + θ2 et−2
  • 52. QVCAPÍTULO 4. MODELOS PARA SERIES DE TIEMPO ESTACIONARIAS ƒi |θ| 1, se puede ™ontinu—r l— —nterior sustitu™ión in(nit—mente ™on el (n de o˜tener l— siguiente e™u—™ión et = Yt + θYt−1 + θ2 Yt−2 + · · · o Yt = −θYt−1 − θ2 Yt−2 − θ3 Yt−3 − · · · + et @RFQWA ƒi |θ| 1, se puede ver que el modelo MA (1) puede ser invertido en un modelo —utorregresivo de orden in(nitoF is de™irD se di™e que el modelo MA (1) es inverti˜le si y solo si |θ| 1. €—r— un pro™eso gener—l MA (q) o ARMA (p, q) , se de(ne el polinomio ™—E r—™terísti™o ™omo θ (x) = 1 − θ1x − θ2x2 − θ3x3 − · · · − θqxq @RFRHA y l— ™orrespondiente e™u—™ión ™—r—™terísti™— MA 1 − θ1x − θ2x2 − θ3x3 − · · · − θqxq = 0 @RFRIA inton™es el modelo MA (q) es invertible fox —nd tenkins ‘IWUT“Y es de™irD existen ™oe(™ientes πj t—les que Yt = π1Yt−1 + π2Yt−2 + π3Yt−3 + · · · + et @RFRPA ƒi y solo si l—s r—í™es de l— e™u—™ión ™—r—™terísti™— son m—yoresD en v—lor —˜solutoD — 1.
  • 53. Capítulo 5 Modelos para Series de Tiempo No Estacionarias in el siguiente ™—pítulo se introdu™irá el ™on™epto de diferen™i—™ión u oper—E dor diferen™i— de orden pD ™on el (n de indu™ir l— est—™ion—ried—d de un— serie de tiempo no est—™ion—ri—F „eniendo este ™on™eptoD es posi˜le lleg—r —l import—nte ™on™epto de los modelos integr—dos —utorregresivos de promedios móvilesF edemásD se explor—rán otro tipo de tr—nsform—™iones que tienen el mismo o˜jetivoD t—les tr—nsform—™iones son los ™—m˜ios de por™ent—jeD log—ritmos y de form— más gener—l l—s tr—nsform—™iones de poten™i— o tr—nsform—™iones foxE goxF 5.1. Estacionariedad a través de los Operadores Diferencia gonsidérese el modelo AR (1) Yt = φYt−1 + et @SFIA ƒe h— di™ho en los ™—pítulos —nterioresD que si et no est— ™orrel—™ion—d— ™on Yt−1, Yt−2, ..., se tiene que tener |φ| 1. ƒin em˜—rgo surge l— pregunt—X ¾ué podrí— p—s—r si di™h— ™ondi™ión no se ™umplecF gonsidérese l— siguiente e™u—™ión Yt = 3Yt−1 + et @SFPA ster—ndo respe™to —l p—s—doD ™omo y— se h— he™ho en ™—pítulos —nterioresD se o˜tieneX Yt = et + 3et−1 + 32 et−2 + · · · + 3t−1 ei + 3t Y0 @SFQA ƒe puede o˜serv—r que l— in)uen™i— de los v—lores dist—ntes del p—s—do de Yt y et, no se —nul—D de he™hoD los pesos —pli™—dos — Y0 y e1 ™re™en de un— m—ner— exponen™i—lF QW
  • 54. RHCAPÍTULO 5. MODELOS PARA SERIES DE TIEMPO NO ESTACIONARIAS iste fenómeno t—m˜ién se re)ej— en l—s fun™iones de v—ri—nz— y ™ov—ri—nz—D ™omo se muestr— — ™ontinu—™ión V ar (Yt) = 1 8 9t − 1 σ2 e @SFRA y Cov (Yt, Yt−k) = 3k 8 9t−k − 1 σ2 e @SFSA he l— mism— m—ner— Corr (Yt, Yt−k) = 3k 9t−k − 1 9t − 1 ≈ 1 gu—ndo t tiende — in(nitoD y ™u—ndo los v—lores de k son moder—dos iste mismo fenómeno de ™re™imiento exponen™i—l o gomport—miento ixE plosivo (™iteX gryer) o™urrirá p—r— ™u—lquier φ t—l que |φ| 1. ytro tipo de modelos no est—™ion—rios son los que ™umplen ™on l— ™ondi™ión |φ| = 1. …n modelo de di™h—s ™—r—™terísti™—s es de l— form—X Yt = Yt−1 + et @SFTA hi™h— e™u—™ión se puede es™ri˜ir de un— form— —ltern—tiv—X Yt = et @SFUA honde Yt = Yt − Yt−1 se ™ono™e ™omo l— primera diferencia de YtD u operador diferencia de primer orden querrero ‘IWWV“F he est— de(ni™ión se pueden h—™er supuestos —™er™— de los modelos ™uyos oper—dores diferen™i— son modelos est—™ion—riosF €or ejemploD supóng—se Yt = Mt + Xt @SFVA honde Mt es un— serie ™—m˜i—nte respe™to —l tiempoF in este ™—so Mt puede serD ˜ien se—D esto™ásti™—D o determinísti™—F ƒi se supone que Mt es —proxim—d—E mente ™onst—nte en dos puntos ™onse™utivos de tiempoD se podrí— estim—r Mt si se elige un β0 de t—l form— que gryer —nd gh—n ‘PHHV“ 1 j=0 (Yt−j − β0,t) 2 ƒe minimi™eD ™on lo que se o˜tiene ˆMt = 1 2 (Yt + Yt−1) y l— serie de tiempo sin tenden™i— en el tiempo t esX Yt − ˆMt = Yt − 1 2 (Yt + Yt−1) = 1 2 (Yt − Yt−1) = 1 2 Yt
  • 55. 5.1. ESTACIONARIEDAD A TRAVÉS DE LOS OPERADORES DIFERENCIARI is de™ir un— ™onst—nte múltiple del oper—dor diferen™i— Yt. ytro supuesto de gr—n import—n™i— es que Mt en l— e™u—™ión SFV es un pro™eso esto™ásti™oD ™ondi™ion—do por un pro™eso de 4™—min—t— —le—tori—4D supong— por ejemplo queX Yt = Mt + et ™on Mt = Mt−1 + εt @SFWA honde {et} y {εt} son series de tiempo de ruido ˜l—n™o independientesD enton™es Yt = Mt + et = εt + et − et−1 v— ™u—l tendrí— l— fun™ión de —uto™orrel—™ión de un modelo MA (1) ™on ρ1 = −    1 2 + σ2 ε σ2 e    @SFIHA en ™u—lquier— de est—s situ—™ionesD se tiene que estudi—r el oper—dor diferen™i— Yt ™omo un pro™eso est—™ion—rioF v— suposi™ión que ™ondu™e — un he™ho ˜—st—nte import—nteD es en l— que teE niendo en ™uent— l— e™u—™ión SFVD y —sumiendoD en este ™—so que Mt es de ™—rá™ter line—l en tres puntos de tiempo ™onse™utivosF in este ™—so se puede estim—r Mt en el punto de tiempo medio t eligiendo β0,t y β1,tD t—les que minimi™en 1 j=−1 (Yt−j − (β0,t + jβ1,t)) 2 y˜teniendo ˆMt = 1 3 (Yt+1 + Yt + Yt−1) €or ™onsiguiente l— serie de tiempo sin tenden™i— es Yt − ˆMt = Yt − Yt+1 + Yt + Yt−1 3 = − 1 3 (Yt+1 − 2Yt + Yt−1) = − 1 3 2 (Yt+1) …n— múltiple ™onst—nte del oper—dor diferen™i— ™entr—do de segundo orden de Yt. xótese que se h— —pli™—do l— diferen™i— dos ve™esD peroD —m˜—s diferen™i—s en el rez—go 1. del mismo modo es posi˜le —sumir que gryer —nd gh—n ‘PHHV“ Yt = Mt +et, honde Mt = Mt−1 +Wt y Wt = Wt−1 +εt @SFIIA
  • 56. RPCAPÍTULO 5. MODELOS PARA SERIES DE TIEMPO NO ESTACIONARIAS gon {et} y {εt} series de tiempo independientes de ruido ˜l—n™oF in este ™—so l— tenden™i— Mt es —quell— ™uy— 4t—s— de ™—m˜io4 Mt, está ™—m˜i—ndo ™on respe™to —l tiempo lent—menteF inton™es Yt = Mt + et = Wt + et y 2 Yt = Wt + 2 et = εt + (et − et−1) − (et−1 − et−2) = εt + et − 2et−1 + et−2 v— ™u—lD tiene l— fun™ión de —uto™orrel—™ión de un pro™eso MA (2) . vo imE port—nte es el he™ho que el oper—dor diferen™i— de segundo orden de un pro™eso no est—™ion—rio {Yt} es est—™ion—rioF iste he™ho permite de(nir los modelos integr—dos —utorregresivos de promedios móvilesF 5.2. Modelos Integrados Autorregresivos de Pro- medios Móviles Denición 43 Una serie de tiempo {Yt} se dice que sigue un modelo integrado autorregresivo de promedios móviles ARIMA si el operador diferencia de or- den d Wt = d Yt es un proceso ARMA estacionario. Si {Wt} es un proceso ARMA (p, q) , se dice que {Yt} es un modelo ARIMA (p, d, q) . Box and Jenkins [1976] efortun—d—menteD p—r— efe™tos prá™ti™osD se puede tom—r d = 1 o l— sumo 2. gonsidérese un pro™eso ARIMA (p, 1, q) ™on Wt = Yt − Yt−1 enton™esX Wt = φ1Wt−1+φ2Wt−2+· · ·+φpWt−p+et−θ1et−1−θ2et−2−· · ·−θqet−q @SFIPA vo que en términos de l— serie de tiempo o˜serv—d— equiv—le —X Yt − Yt−1 = φ1 (Yt−1 − Yt−2) + φ2 (Yt−2 − Yt−3) + · · · + φp (Yt−p − Yt−p−1) + et − θ1et−1 − θ2et−2 − · · · − θqet−q @SFIQA vo ™u—l se puede es™ri˜irX Yt = (1 + φ1) Yt−1 + (φ2 − φ1) Yt−2 + (φ3 − φ2) Yt−3 + · · · @SFIRA + (φp − φp−1) Yt−p − φpYt−p−1 + et − θ1et−1 − θ2et−2 − · · · − θqet−q ist— últim— e™u—™ión se ™ono™e ™omo la forma de la ecuación diferencia del modeloF fox —nd tenkins ‘IWUT“ v—s represent—™iones explí™it—s de l— serie de tiempo o˜serv—d—D ˜ien se—D en términos de Wt o en términos del pro™eso de ruido ˜l—n™oD son mu™ho más ™ompli™—dos que en los pro™esos est—™ion—riosF isto se de˜e — que los pro™esos
  • 57. 5.2. MODELOS INTEGRADOS AUTORREGRESIVOS DE PROMEDIOS MÓVILESRQ no est—™ion—rios no están en un 4equili˜rio est—dísti™o4D no se puede —sumir l— serie tieneD por de™irlo de —lgun— m—ner—D un p—s—do in(nitoF ƒin em˜—rgoD se puede —sumir que l—s series ™omienz—n en un t = −m. €or ™onvenien™i—D se tom—rán Yt = 0 p—r— t −m. v— e™u—™ión del oper—dor diferen™i— Yt − Yt−1 = Wt, se puede solu™ion—r sum—ndo desde t = −m h—st— t = t p—r— o˜tenerX Yt = t j=−m Wj @SFISA €—r— el pro™eso ARIMA (p, 1, q) . il pro™eso ARIMA (p, 2, q) puede ser resuelto simil—rmenteD sum—ndo dos ve™es p—r— o˜tener l— represent—™ión Yt = t j=−m j i=−m Wi @SFITA = t+m j=0 (j + 1) Wt−j eunque est—s represent—™iones tiene usos limit—dosD pueden ser us—dos p—r— o˜tener l—s propied—des de l— ™ov—ri—nz— del modelo ARIMA y t—m˜ién p—r— expres—r Yt en términos de l— serie de ruido ˜l—n™o {et} . ƒi el pro™eso ™ontiene términos no —utorregresivosD se le ll—m—rá un modelo integr—do de promedios móviles y se —˜revi—rá IMA (d, q) . €or otro l—do si l— serie no tiene términos de promedios móviles se le denomin— ARI (p, d) . 5.2.1. El Modelo IMA (1, 1) il modelo simple IMA (1, 1) , s—tisf—™tori—menteD represent— numeros—s seE ries de tiempoD espe™í(™—menteD —quell—s que surgen en pro˜lem—s e™onómi™os querrero ‘IWWV“F in l— form— de l— e™u—™ión diferen™i— el modelo tiene l— form—X Yt = Yt−1 + et − θet−1 @SFIUA gon el (n de es™ri˜ir Yt explí™it—mentementeD ™omo un— fun™ión de v—lores del ruido ˜l—n™o t—nto del futuro ™omo del presenteD se us—rá l— e™u—™ión SFIS y el he™ho que Wt = et − θet−1F in este ™—soD se puede es™ri˜ir Yt = et + (1 − θ) et−1 + (1 − θ) et−2 + · · · + (1 − θ) e−m − θe−m−1 @SFIVA in ™ontr—ste — los modelos est—™ion—rios ARMAD los pesos de los términos del ruido ˜l—n™oD perm—ne™enD sin import—r que se tomen v—lores del p—s—doF he˜ido — que se —sumió que −m 1 y 0 t, se de˜e pens—r — Yt ™omo un— —™umul—™ión igu—lmente ponder—d— de un gr—n número de v—lores de ruido ˜l—n™oF
  • 58. RRCAPÍTULO 5. MODELOS PARA SERIES DE TIEMPO NO ESTACIONARIAS he l— e™u—™ión SFIV se pueden ™—l™ul—r l—s v—ri—nz—s y l—s ™orrel—™iones de l— siguiente m—ner— V ar (Yt) = 1 + θ2 + (1 − θ) 2 (t + m) σ2 e @SFIWA y Corr (Yt, Yt−k) = 1 − θ + θ2 + (1 − θ) 2 (t + m − k) V ar (Yt) V ar (Yt−k) ≈ t + m − k t + m @SFPHA ƒe puede not—r que ™onforme que t —ument—D V ar (Yt) —ument—F „—m˜ién l— ™orrel—™ión entre Yt y Yt−k será fuertemente positiv— p—r— los rez—gos k = 1, 2, ... 5.2.2. El Modelo IMA (2, 2) vos supuestos de l— e™u—™ión SFIID ™ondu™e — un modelo IMA (2, 2) . in l— form— de l— e™u—™ión diferen™i— el modelo tiene l— form—X 2 Yt = et − θ1et−1 − θ2et−2 o Yt = 2Yt−1 − Yt−2 + et − θ1et−1 − θ2et−2 @SFPIA v— represent—™ión de l— e™u—™ión SFIT puede ser us—d— p—r— expres—r Yt en términos de et, et−1, ... de l— siguiente form—X Yt = et + t+m j=1 ψjet−j − [(t + m + 1) θ1 + (t + m) θ2] e−m−1 @SFPPA − (t + m + 1) θ2e−m−2 honde ψ = 1 + θ2 + (1 − θ1 − θ2) j p—r— j = 1, 2, 3, .., t + m, donde los pesos ψ perm—ne™en y form—n un— fun™ión line—l de j. 5.2.3. El Modelo ARI (1, 1) il pro™eso ARI (1, 1) s—tisf—™e l— siguiente e™u—™ión puller ‘IWWT“ Yt − Yt−1 = φ (Yt−1 − Yt−2) + et @SFPQA o Yt = (1 + φ) Yt−1 − φYt−2 + et @SFPRA honde |φ| 1 €—r— en™ontr—r los pesos ψ se us—rá un— té™ni™— que se puede gener—liz—r — ™u—lquier modelo ARIMA,
  • 59. 5.2. MODELOS INTEGRADOS AUTORREGRESIVOS DE PROMEDIOS MÓVILESRS vos pesos ψ pueden ser o˜tenidos igu—l—ndo l—s poten™i—s de x en l— identid—d 1 − φ1x − φ2x2 − · · · − φpxp (1 − x) d 1 + ψ1x + ψ2x2 + ψ3x3 + · · · @SFPSA = 1 − θ1x − θ2x2 − θ3x3 − · · · − θqxq in el ™—so del modelo ARI (1, 1) l— rel—™ión se redu™e —X (1 − φx) (1 − x) 1 + ψ1x + ψ2x2 + ψ3x3 + · · · = 1 o 1 − (1 + φ) x + φx2 1 + ψ1x + ψ2x2 + ψ3x3 + · · · = 1 sgu—l—ndo l—s poten™i—s semej—ntes — —m˜—s p—rtes de l— igu—ld—dD se o˜tiene − (i + φ) + ψ = 0 φ − (1 + φ) ψ1 + ψ2 = 0 y en gener—l ψk = (1 + φ) ψk−1 − φψk−2 €—r— k ≥ 2 @SFPTA gon ψ0 = 1 y ψ1 = 1 + φ. ist— fun™ión re™ursiv— permite ™—l™ul—r t—ntos pesos ψ ™omo se— ne™es—rioF 5.2.4. Términos Constantes en modelos ARIMA €—r— un modelo ARIMA (p, d, q) , d Yt = Wt es un pro™eso ARMA (p, q) esE t—™ion—rioD teniendo en ™uent— el supuesto que un modelo est—™ion—rio tiene meE di— igu—l — ™eroD es de™ir que se tr—˜—j—rá ™on desvi—™iones de l—s medi— ™onst—nE tesF …n— medi— diferente de ™ero ™onst—nte µD en un modelo ARMA est—™ion—rio {Wt} puede ser —™omod—do en ™u—lquier— de los dos ™—sosF ƒe puede —sumir que fox —nd tenkins ‘IWUT“X Wt−µ = φ1 (Wt−1 − µ) + φ2 (Wt−2 − µ) + · · · + φp (Wt−p − µ) + et − θ1et−1 − θ2et−2 − · · · − θqet−q eltern—tiv—menteD se puede introdu™ir un término ™onst—nte θ0 en el modelo de l— siguiente m—ner— Wt = θ0 + φ1Wt−1 + φ2Wt−2 + · · · + φpWt−p + et − θ1et−1 − θ2et−2 − · · · − θqet−q „om—ndo los v—lores esper—dos en —m˜—s p—rtes de l— igu—ld—d µ = θ0 + (φ1 + φ2 + · · · + φn) µ inton™es µ = θ0 1 − φ1 − φ2 − · · · − φp @SFPUA
  • 60. RTCAPÍTULO 5. MODELOS PARA SERIES DE TIEMPO NO ESTACIONARIAS o θ0 = µ (1 − φ1 − φ2 − · · · − φp) @SFPVA e ™ontinu—™ión se ev—lu—rá el ™—so de un— medi— diferente de ™eroF gonsidere el modelo IMA (1, 1) ™on un término ™onst—nteD enton™es se tiene Yt = Yt−1 + θ0 + et − θet−1 o Wt = θ0 + et − θet−1 ƒustituyendo en l— e™u—™ión SFIR de l— págin— RP se puede ™on™luir que Yt = et + (1 − θ) et−1 + et + (1 − θ) et−2 + · · · + et + (1 − θ) e−m − e−m−1 @SFPWA + (t + m + 1) θ0 5.2.5. Otras Transformaciones r—st— el momento se h— des™rito ™omo el oper—dor diferen™i—D puede ser un— útil tr—nsform—™ión p—r— o˜tener est—™ion—ried—dF ƒin em˜—rgoD l— tr—nsform—E ™ión por log—ritmo t—m˜ién es muy útil en —lgunos ™—sosF pre™uentemente se pueden en™ontr—r series de tiempo dondeD el in™remento de l— dispersión p—re™e est—r —so™i—d— — —ltos niveles de l— serieD lo que impli™— m—yor dispersión en el nivel gryer —nd gh—n ‘PHHV“F ispe™í(™—mente supong— que Yt 0 p—r— todo t y que E (Yt) = µt y V ar (Yt) = µtσ @SFQHA inton™es E [log (Yt)] ≈ log (µt) y V ar [log (Yt)] ≈ σ2 @SFQIA il siguiente result—do se o˜tiene tom—ndo v—lores esper—dos y v—ri—nz—s — —m˜os l—dos de l— exp—nsión de „—ylor log (Yt) = log (µt) + Yt − µt µt is de™irD que si l— desvi—™ión estánd—r de l— serie de tiempo es propor™ion—l —l nivel de l— serieD l— tr—nsform—™ión log—rítmi™— produ™irá un— serie ™on v—ri—nz— —proxim—d—mente ™onst—nte — lo l—rgo del tiempoF edemásD si el nivel de l— serie ™—m˜i— exponen™i—lmenteD l— serie logEtr—nsform—d— tendrá un— tenden™i— line—lD por lo que se utiliz—rá el oper—dor diferen™i— de primer ordenF
  • 61. 5.2. MODELOS INTEGRADOS AUTORREGRESIVOS DE PROMEDIOS MÓVILESRU 5.2.5.1. Cambios de Porcentajes y Logaritmos ƒupóng—se que Yt tiende — tener un por™ent—je de ™—m˜ios rel—tiv—mente est—˜le de un periodo de tiempo —l siguienteF ispe™í(™—mente se —sume queX Yt = (1 + Xt) Yt−1 honde 100Xt es el por™ent—je de ™—m˜io de Yt−1 — Yt enton™es log (Yt) − log (Yt−1) = log Yt Yt−1 = log (1 + Xt) ƒi se restringe Xt — |Xt| 0,2 @es de™irD que el por™ent—je de ™—m˜ios son — lo más ±20 %A p—r— un— ˜uen— —proxim—™ión log (1 + Xt) ≈ XtF gonse™uentemente [log (Yt)] ≈ Xt ƒerá rel—tiv—mente est—˜le y lo más pro˜—˜le es que se— un pro™eso est—™ioE n—rio ˜ien model—do fox —nd tenkins ‘IWUT“F 5.2.5.2. Transformaciones de Potencia Denición 44 Para un parámetro dado λ, la transformación se dene como Box and Jenkins [1976] g (x) = xλ −1 λ Para λ = 0 log x Para λ = 0 v—s tr—nsform—™iones de poten™i—s solo se pueden —pli™—r — d—tos m—yores — ™eroF ƒi —lguno de los v—lores no ™umple l— ™ondi™ión —nteriorD se tiene que sum—r un— ™onst—nte positiv— — todos los v—lores de l— serieD ™on el (n de h—™erlos positivos —ntes de h—™er l— tr—nsform—™iónF hi™ho ™—m˜ioD gener—lmenteD se h—™e de m—ner— —r˜itr—ri—F ƒe puede ™onsider—r — λ ™omo un p—rámetro —di™ion—l en el modeloD que tiene que ser estim—doF ƒin em˜—rgoD un— estim—™ión pre™is— de λ no está usu—lmente g—r—ntiz—d—D y p—r— di™hos efe™tos los softw—re est—dísti™os ofre™en un— —mplio r—ngo de posi˜ilid—des p—r— efe™tu—r di™h— estim—™iónF
  • 62. RVCAPÍTULO 5. MODELOS PARA SERIES DE TIEMPO NO ESTACIONARIAS
  • 63. Capítulo 6 Construcción del Modelo in los ™—pítulos —nteriores se h—n des—rroll—do modelos p—r—métri™osD t—nto est—™ion—rios ™omo no est—™ion—rios p—r— series de tiempoD los modelos ARIMA. in este ™—pítulo se estudi—rán y se implement—rán los métodos p—r— h—™er inE feren™i— est—dísti™— so˜re di™hos modelosD teniendo en ™uent— los siguientes —sE pe™tosF IF v— m—ner— de es™oger v—lores —propi—dos p—r— p, d y q p—r— un— serie de tiempo d—d—F PF l— m—ner— de estim—r los p—rámetros de un modelo ARIMA (p, d, q) . QF v— m—ner— de veri(™—r si un modelo es —propi—doD o mejor—rlo en ™—so de ser ne™es—rioF v— estr—tegi— gener—l — tener en ™uent— ™onsisteD en primer— medid—D en elegir v—lores tent—tivos pero r—zon—˜les p—r— p, d y qF vuegoD se estim—r—n los p—rámeE tros φD θ y σe más e(™ientes p—r— el modeloF €or últimoD se veri(™—r— el modelo o˜tenidoD ™on el (n de ™ompro˜—r su e(™—™i—F ƒi el modelo p—re™e ser in—de™u—do en —lgún sentidoD se ™onsider—rá — di™ho modelo ™omo un— ˜—se p—r— elegir un nuevo modelo más —de™u—doD y repetir el pro™esoF gon un—s ™u—nt—s iter—™iones de est— estr—tegi— p—r— l— ™onstru™™ión del modeloD se esper—D que se llegue —l mejor modelo posi˜le p—r— un— serie de tiempo d—d—F qr—n p—rte de l— liter—tur— inherente — l—s series de tiempo ll—m—n — est— estr—tegi— el método 4foxEtenkins4 fox —nd tenkins ‘IWUT“ 6.1. Especicación del Modelo in primer— medid—D y ™on el (n de est—˜le™er los mejores v—lores p—r— p, d y q se estudi—rán l—s propied—des de l— fun™ión de —uto™orrel—™ión RW
  • 64. SH CAPÍTULO 6. CONSTRUCCIÓN DEL MODELO 6.1.1. Propiedades de la Función de Autocorrelación Mues- tral „eniendo en ™u—nt— l— de(ni™ión de l— fun™ión de —uto™orrel—™ión muestr—l o estim—d— p—r— un— serie o˜serv—˜— Y1, Y2, ...Yn de l— págin— PRD se tieneX rk = n t=k+1 Yt − ¯Y Yt−k − ¯Y n t=1 Yt − ¯Y 2 @TFIA il o˜jetivo prin™ip—l es re™ono™erD ™omport—mientos de rk que son ™—r—™E terísti™os de los ™omport—mientos ™ono™idos de ρf p—r— modelos ARMA. €or ejemploD y— se h— dis™utido que ρk = 0 p—r— k q en un modelo MA (q) . ƒin em˜—rgoD ™omo rk es un— estim—™ión de ρkD se de˜en enun™i—r l—s propied—des muestr—les ™on el (n de f—™ilit—r l— ™omp—r—™ión de l—s ™orrel—™iones estim—d—s ™on l—s ™orrel—™iones teóri™—sF „eniendo en ™uent— que según l— de(ni™ión de rk, rk es un— f—mili— de e™u—™ioE nes ™u—dráti™—sD de v—ri—˜les posi˜lemente dependientesD l—s propied—des muesE tr—les de rk no son sen™ill—s de estim—rD de modo que se tendrán en ™uent— los result—dos gener—les de un— muestr— numeros— y ™onsider—r sus impli™—™iones en ™—sos espe™i—les frillinger ‘PHHI“D —demásD se tendrá en ™uent— un result—do más gener—l tom—do de ƒhumw—y —nd ƒto'er ‘PHHT“ @págin— SIWA ƒupóng—se queX Yt = µ + ∞ j=0 ψjet−j honde et son v—ri—˜les —le—tori—s idénti™—mente distri˜uid—s ™on medi— igu—l — ™ero y v—ri—nz—s (nit—s diferentes de ™eroF edemás se —sume queX ∞ j=0 |ψj| ∞ y ∞ j=0 jψ2 j ∞ @gondi™iones que se s—tisf—™en en un modelo ARMA est—™ion—rioA inton™esD p—r— ™u—lquier m (joD l— distri˜u™ión ™onjunt— de √ n (r1 − ρ1) , √ n (r2 − ρ2) , ..., √ n (rm − ρm) ƒe —proxim—D ™u—ndo n tiende — in(nitoD — un— distri˜u™ión norm—l ™on medi— ™eroD v—ri—nz—s cjj, y ™ov—ri—nz—s cij donde cij = ∞ k=−∞ ρk + iρk+j + ρk−iρk+j − 2ρiρkρk+j − 2ρjρkρk+i + 2ρiρjρ2 k @TFPA €—r— t—m—ños de muestr— n signi(™—tiv—mente gr—ndesD se puede de™ir que rk sigue un— distri˜u™ión —proxim—d—mente norm—l ™on medi— ρk y v—ri—nz— ckk n .
  • 65. 6.1. ESPECIFICACIÓN DEL MODELO SI edemásD Corr (rk, rj) ≈ ckj √ ckkcjj . „eniendo en ™uent— que l— v—ri—nz— —proxim—E d— de rk es invers—mente propor™ion—l —l t—m—ño de l— muestr—D ƒin em˜—rgoD Corr (rk, rj) es —proxim—d—mente ™onst—nte p—r— t—m—ños de muestr— gr—ndesF h—do que l— interpret—™ión de l— e™u—™ión TFP es ™ompli™—d—D se ™onsider—rán —lgunos ™—sos espe™i—les ™on el (n de simpli(™—r l— expresiónF ƒupóng—seD en primer— medid—D que {Yt} es un pro™eso de ruido ˜l—n™oF inton™esD l— e™u—™ión TFPD se redu™e ™onsider—˜lemente —X V ar ≈ 1 n y Corr (rk, rj) ≈ 0 €—r— k = j @TFQA ehor—D supóng—se que {Yt} es gener—do por un pro™eso AR (1) ™on ρk = φk p—r— k 0. l— e™u—™ión TFP ™ondu™e —F V ar (rk) ≈ 1 n 1 + φ2 1 − φ2k 1 − φ2 − 2kφ2k @TFRA in p—rti™ul—r V ar (r1) ≈ 1 − φ2 n @TFSA xótese queD ™u—ndo φ es ™er™—no — ±1, l— estim—™ión de ρ = φ es más pre™is—F €—r— gr—ndes rez—gos kD los términos de l— e™u—™ión TFR los φk pueden ser ignor—dosD enton™es V ar (rk) ≈ 1 n 1 + φ2 1 − φ2 €—r— gr—ndes rez—gos k @TFTA in ™ontr—ste ™on l— e™u—™ión TFSD si φ es ™er™—no — ±1 l— v—ri—nz— de rk ™re™eD por lo que no se ™onsider— ™onveniente esper—r estim—™iones pre™is—s de ρk = φk ≈ 0, p—r— rez—gos gr—ndes ™omo se esper—n p—r— rez—gos pequeñosF €—r— el modelo AR (1) l— e™u—™ión TFPD t—m˜ién puede ser simpli(™—d— p—r— 0 i j de l— siguiente m—ner—F cij = φj−i − φj+i 1 + φ2 1 − φ2 + (j − i) φj−i − (j + i) φj+i @TFUA €—rti™ul—rmente se en™uentr— queX Corr (r1, r2) ≈ 2φ 1 − φ2 1 + 2φ2 − 3φ4 @TFVA €—r— el ™—so MA (1) l— e™u—™ión TFP puede ser simpli(™—d— de l— siguiente m—ner— c11 = 1 − 3ρ2 1 + 4ρ4 1 y ckk = 1 + 2ρ2 1 €—r— k 1 @TFWA edemás c12 = 2ρ 1 − ρ2 1 @TFIHA