Homologias

HHHOOOMMMOOOLLLOOOGGGIIIAAASSS
A P U N T E D O C E N T E
Preparado por el Arqto. Jing Chang Lou

U N I V E R S I D A D D E C H I L E F A C U L T A D D E A R QU I T E C T U R A Y U R B A N I S M O D E P A R T A M E N T O C I E N C I A S D E L A C O N S T R U C C I Ó N
A P U N T E D O C E N T E C A T E D R A D E G E O M E T R Í A2
BIBLIOGRAFIA
GEOMETRIA DESCRIPTIVA SUPERIOR Y APLICADA
Fernando Izquierdo Asensi
Editorial Dossat. Madrid, España(1975)
DIBUJO TECNICO
Eugenio Bargueño, Sofía Calvo, Elsa Díaz
Editorial McGraw-Hill. (1997)
GEOMETRIA (Apunte Docente)
Marcelo Valenzuela Vargas
Editorial FAU. Santiago, Chile ( )

C A T E D R A D E G E O M E T R Í A A P U N T E D O C E N T E 3
TEOREMA DE LOS DOS TRIANGULOS DE DESARGUES
Si dos triángulos (ABC, A’B’C’) están en perspectiva desde un
punto O, y si sus pares de lados correspondientes se cortan,
entonces los tres puntos de intersección están alineados. (X-Y-
Z)
También:
Si dos triángulos (ABC, A’B’C’) están en perspectiva desde un
punto (O), entonces están en perspectiva desde una recta
(XYZ)
Ahora las propiedades entre dos figuras (los triángulos ABC-
A’B’C’), ya no son de congruencia, semejanza, equivalencia,
etc. sino que se trata de propiedades de "COLINEALIDAD" (puntos
sobre una misma recta) "CONCURRENCIA" (líneas que pasan por
un punto) y todas las consecuencias de la proyectividad y las
secciones planas.
La ilustración que se expone, explica gráficamente que las
propiedades del teorema se conservan tanto en el plano como en
el espacio.
En este último caso, al constituir cada triángulo un plano
diferente, los puntos XYZ, se encuentran en la recta de
intersección de ambos planos.
También pueden interpretarse estas propiedades como las
secciones planas de la pirámide cuyo vértice es O, y sus aristas
OAA’, OBB’, OCC’.
La recta XYZ, lugar de concurrencia de los lados de los
triángulos, constituye una recta del infinito, como ocurre en el
caso extremo (cuando los triángulos se encuentren en planos
paralelos); en este acceso al infinito, como lugares propios de la
geometría, estriba la gran originalidad del teorema de Desargues
para representar el espacio.

HOMOLOGIA O TRANSFORMACION PERSPECTIVA
La homología es una transformación anamórfica, es decir no
se conservan ni las longitudes ni los ángulos entre la figura
original y su figura transformada.
La homología se puede definir como la relación que existe
entre dos secciones planas de una misma radiación.
Ejemplo:
Si desde un punto V del espacio, se proyecta una figura ABC
cualquiera contenida en el plano π , se obtendrá otra figura
A’B’C’ sobre el plano π’.
El punto V es el centro de la homología. Los rayos a, b y c que
pasan por el centro V son la que conforman la radiación, que
ha sido cortada por dos planos π y π’, obteniendo de esto, los
triángulos ABC y A’B’C’, siendo éste último homólogo del
primero. Cabe destacar, que los planos π y π’ que se cortan
en la recta EH, eje de homología, así como los tres pares de
rectas homólogas.
Si el centro V es un punto ordinario del espacio, la perspectividad
se llama homología central o cónica; si el centro V es un punto
ideal del espacio, la perspectividad se llama homología paralela o
cilindrica.
ELEMENTOS DE UNA HOMOLOGIA
Centro de homología (V): es el punto fijo del espacio por donde
pasan todas las rectas de una radiación.
Plano π: es el plano donde se encuentran las figuras origenes.
Plano π’: es el plano donde se encuentran las figuras
transformadas.
Plano ββββ: es el plano paralelo a π trazado desde el centro de
homología.
Plano ββββ’: es el plano paralelo a π’ trazado desde el centro de
homología.
Recta límite L: es la recta de intersección de los planos π y ββββ’
que al proyectar sobre el plano π’ su homologo se encuentra en
el infinito.
Recta límite L’: es la recta de intersección de los planos π’ y ββββ
que al proyectar sobre el plano π su homologo se encuentra en el
infinito.

PROPIEDADES DE LA HOMOLOGIA
Las propiedades de la homología las podemos resumir en los
siguientes puntos:
A todo punto A le corresponde otro punto A’ y viceversa,
estando éstos alineados con el centro de la homología.
A toda recta r le corresponde otra recta r’ y viceversa,
cortándose ambas en un punto perteneciente al eje de la
homología.
Si la recta r es paralela al eje de homología EH, su homóloga
también lo es.
Si un punto A pertenece a una recta r, su homólogo A’,
pertenece a r’, homóloga de r.
Las rectas límites L y L’ se mantienen paralelas al eje de la
homología.
Si dos rectas r y s se cortan en su recta límite, sus homólogas
r’ y s’, son paralelas.
La homología conserva las propiedades proyectivas y las de
incidencia pero no conserva las métricas, es decir,
Conserva : Polaridad, tangencia, incidencia. La razón
doble.
No conserva : Paralelismo, perpendicularidad, ángulos,
distancias, ejes, centro y focos de las
cónicas. La razón simple.
La homóloga de una circunferencia será una elipse hipérbola o
parábola según que su recta límite no corte, corte o sea
tangente a la misma.
El punto homólogo del centro de una cónica no es el centro de
la cónica homóloga.
Si una recta es tangente a una curva en un punto, la homóloga
de la recta es tangente a la homóloga de la curva en un punto
que resulta ser homólogo del punto de tangencia.

CLASIFICACION DE LA HOMOLOGIA
La homología se puede clasificar atendiendo a la posición del
centro de la misma y a la posición de los planos que contienen a
las figuras:
El centro puede adoptar dos posiciones bien distintas:
Que sea un punto ordinario.
Que sea un punto ideal o impropio.
Y los planos:
Que no sean paralelos.
Que sean paralelos.
Combinando estas cuatro posiciones, se obtienen las distintas
homologías y que son:
HOMOLOGÍA EN SU CASO GENERAL
Tiene como centro un punto ordinario y los planos π y π’no
paralelos. En este caso, se tiene todos los elementos de la
homología.
HOMOTECIA.
Tiene como centro un punto ordinario y los planos π y π’
paralelos. En este caso, no se encuentran ni eje ni rectas
límites, pues se encuentran en el infinito.
Como caso particular de la homotecia tenemos la simetría
central.
HOMOLOGÍA AFÍN
Tiene como centro un punto impropio y los planos π y π’no
paralelos. No se encuentran ni centro ni rectas límites por ser
impropios, pero del centro se conoce la dirección en la cual se
encuentra.
TRASLACIÓN.
Tiene como centro un punto impropio y los planos π y π’
paralelos. En este caso no se encuentran ni centro, ni ejes, ni
rectas límites, por ser impropios, tan sólo tendremos la
dirección en la cual se encuentra el centro.

HOMOLOGIA EN SU CASO GENERAL
HOMOLOGIA ENTRE UNA FORMA PLANA Y SU PROYECCIÓN
Considerando que los planos ππππ, ββββ, ππππ’, y ββββ’ forman un
paralelepípedo articulado podemos establecer dos formas de
abatimiento de estos planos que permiten confundir todos ellos
en uno solo, de tal manera que permita graficar la homología en
un solo plano, es decir en dos dimensiones.
HOMOLOGIA DIRECTA
Se define como homología directa cuando al abatir los planos
hasta confundirlos en uno solo, las rectas límites L y L’ son
exteriores con respecto al centro y al eje de homología.
HOMOLOGIA INVERSA
Se define como homología inversa cuando al abatir los planos
hasta confundirlos en uno solo, las rectas límites L y L’ son
interiores con respecto al centro y al eje de homología.
En ambos casos siemple se cumple que cada una de las rectas
límites dista del eje de homología, lo que dista la otra del centro
de homología; igualdad que se puede definir con la siguiente
expresión
L’ EH = L V y L’ V = L EH
HOMOLOGIA DIRECTA
HOMOLOGIA INVERSA

FORMAS DE DEFINIR UNA HOMOLOGIA.
1.- Dada la forma (triangulo ABC), el eje de homología (EH),
el centro de homología (V) y un par de puntos homólogos
(A-A’)
Procedimiento:
Se prolonga una recta de la forma que contenga al punto A
(AB) hasta que corte al eje de homología (EH), definiendo un
punto doble (X-X’), luego se une A’ con X’ definiendo la
homóloga de AB. El homólogo de B estará contenido donde la
recta homóloga de AB se corta con el rayo VB.
Los restantes puntos homólogos de la forma se definen de
igual manera utilizando los homólogos de A y de B.

2.- Dada la forma, el eje de homología EH, el centro de
homología V y un par de rectas homólogas r-r’.
Procedimiento:
Se prolonga uno de los lados de la forma hasta cortar a la
recta r en el punto Y y al eje EH en el punto doble X-X’.
Luego se traza un rayo desde el centro V que pase por Y hasta
corta la recta r’ definiendo Y’. Uniendo X’ con Y’ se obtiene
la homóloga de la recta AB, y los puntos A’ y B’ estarán donde
esta homóloga se corte con los rayos VA y VB.
Los homólogos de los puntos restantes de la forma se definen
de igual manera.

homología V y la recta límite L.
Procedimiento:
Se prolonga cualquier recta de la forma (AB) hasta que corte a
la recta límite L en el punto Y, y al eje de homología EH, en
el punto X-X’. Como Y es un punto límite de la alineación
YABX, su homologo se encontrará en el infinito en dirección
VY. Entonces, la homóloga de YABX será una recta que pasa
por el punto X’ y es paralela a la recta VY. Esta recta
contendrá a los homólogos de los puntos A y B.
igual manera o con alguno de los procedimientos anteriores.

homología V y la recta límite L’.
Procedimiento:
Se prolonga cualquier recta de la forma (AB) hasta que corte
al eje de homología EH, en el punto X-X’. Luego desde V se
traza una paralela a la recta AB hasta que corte a la recta L’
en el punto Y’. Como Y’ es un punto límite de la alineación
homóloga de la alineación YABX, en donde el punto Y de la
alineación es un punto del infinito en dirección VY Entonces,
uniendo los puntos Y’ y X’ se obtiene la homologa Y’A’B’X’,
que contendrá a los homólogos de los puntos A y B.
igual manera o con alguno de los procedimientos anteriores.

5.- Dada la forma, el eje de homología EH, las rectas límite
L y L’ y un par de rectas homóloga r-r’
Procedimiento:
En este caso, es necesario determinar la posición del centro
de homología (V), dato necesario para definir la homología. La
intersección de las rectas L y r define un punto Y, y la
intersección de las rectas L’ y r’ define otro punto Z’. Como
los puntos Y y Z’ son puntos límites de las alineaciones r y r’
respectivamente, resulta fácil encontrar el centro V,
simplemente trazando paralelas a las alineaciones r y r’ desde
dichos puntos límites: Z’ e Y.
Entonces, por el punto Y se traza una paralela a la recta r’, y
por el punto Z’, se traza una paralela a la recta r. La
intersección de estas dos paralelas se encuentra el centro de
homología (V).
Una vez definido el centro V, se puede definir los homólogos
de los puntos restantes aplicando cualquiera de los
procedimientos anteriores.

HOMOLOGIA AFIN
Esta homología tiene como centro de homología un punto V del
infinito del cual sólo se conoce su dirección. Sin embargo los
planos π y π’ seguirán siendo dos planos no paralelos que se
cortan en el eje de homología EH.
El centro al encontrarse en el infinito los planos ββββ y ββββ’,
paralelos a los planos π y π’ también estarán en el infinito, al
igual que sus rectas de intersección. Es decir las rectas límites L
y L’ son rectas del infinito.
La homología directa e inversa se definiran de acuerdo a la
posición de las formas, original y transformada, con respecto al
eje de homología.
HOMOLOGIA AFIN DIRECTA
Se define como homología afín directa cuando al abatir los planos
hasta confundirlos en uno solo, las formas tanto la original como
la transformada se encuentran en el mismo lado con respecto al
eje de homología.
HOMOLOGIA AFIN INVERSA
Se define como homología afín inversa cuando al abatir los planos
hasta confundirlos en uno solo, las formas, original y
transformada, se encuentran a distintos lados con respecto al eje
de homología.

CLASIFICACION DE LA HOMOLOGIA AFÍN.
Dependiendo de la dirección del centro de homologia se se
clasefica la homología afín:
Homología afín recta
Homología afín oblicua
HOMOLOGIA AFÍN RECTA
La dirección del centro de homología y por ende los rayos
proyectantes son perpendiculares al eje de homología.
HOMOLOGIA AFÍN OBLICUA
La dirección del centro de homología y por ende los rayos
proyectantes son oblicuas al eje de homología.
FORMAS DE DEFINIR UNA HOMOLOGIA AFÍN.
Como las rectas límites L y L’ se encuentran en el infinito,
las formas de definir una homología afin se reducen a dos:
Cuando se conoce la posición de:
Un par de puntos homólogos (A-A’)
Un par de rectas homólogas (r-r’)

EJERCICIO RESUELTO Nº 1
Dados dos cuadrados ABCD y EFGH de lados 3 cm. ubicados en la
posición que se indica, se pide determinar una homología directa
sabiendo que:
El eje de homología EH se ubica a 2 cm. del lado CD y es
paralelo a éste.
El centro de homología V se proyecta sobre el plano ππππ’ a
una distancia de 8,5 cm. del eje de homología y en una
recta que contiene al lado AD.
La recta r, que contiene al lado FG, y su homóloga r’ forman
45º entre sí.
Defina la posición de las rectas límites.

Dado un octógono estrellado falso de dos en dos inscrito en una
circunferencia con centro en O y radio 2 cm. se pide determinar
su forma homóloga sabiendo que:
El eje de homología EH se ubica a 7,5 cm. del centro de la
circunferencia que inscribe el polígono.
una distancia de 13 cm. del eje de homología y en una recta
perpendicular a éste que contiene a uno de los lados del
octógono.
El homólogo del centro de la circunferencia que inscribe el
polígono se encuentra, en depurado, a 3 cm. sobre el eje de
homología.

Dada una circunferencia con centro en O y radio 2 cm. contenido
en el plano ππππ se pide determinar su forma homóloga sabiendo
que:
El centro de homología se proyecta sobre el plano ππππ’ a una
distancia de 7 cm. del eje de homología y en una recta
perpendicular a éste que está a 1,5 cm. del centro O.
La recta Límite L es tangente a la circunferencia dada en el
punto más lejano al eje de homología.

B’ A’
Dada una trama formado por cuadrados de lados iguales a 2 cm.
contenidos en el plano ππππ, se pide determinar una homología
inversa sabiendo que:
El centro de homología se proyecta sobre el plano ππππ’ a una
distancia de 5 cm del eje de homología
y en una recta perpendicular a éste, que contiene al borde
lateral de la trama.
El eje de Homología contiene a la base de la trama dada.
La recta límite L' se ubica a 2 cm sobre el eje de homología.

circunferencia con centro en O y radio 2 cm. contenido en el
plano ππππ se pide determinar su forma homóloga sabiendo que:
una distancia de 2 cm. sobre el eje de homología y en una
recta que contiene al lado BD del octógono.
La recta Límite L contiene al lado FD del polígono dado.

circunferencia con centro en O y radio 2 cm. contenido en el
plano ππππ se pide determinar una homología inversa, sabiendo que:
El eje de homología EH se ubica a 3 cm. del centro de la
El centro de homología V se proyecta en el infinito en
dirección de una recta que forma 60º con el eje de
homología.
El homólogo del centro O se encuentra a 2 cm del eje de
homología.

GUIA DE EJERCICIOS
1.- Dados los cuadrados ABCD y AEFG de lados 2,5 cm contenidos
en el plano ππππ y ubicados en la posición que se indica, se pide
determinar su forma homóloga, si:
El eje de homología (EH) es paralelo al lado AB y está a 3 cm
de éste.
El centro de homología (V) se proyecta sobre el plano ππππ’ a
8,5 cm sobre del eje de homología y en la recta que contiene
al lado BC
El homólogo del punto A se encuentra en depurado, a 2,5 cm
debajo del eje de homología.
Determine la posición de las rectas límites y defina si la
homología realizada es directa o inversa.
2.- Dados los cuadrados ABCD y EFGH de lados 2,5 cm contenidos
El eje de homología (EH) es paralelo al lado AB y dista a 3
cm de éste.
al lado FG
El homólogo del punto H se encuentra en depurado, a 2,5 cm
sobre el eje de homología.
3.- Dados los cuadrados ABCD y EFGH de lados 2,5 cm contenidos
cm de éste.
a la diagonal BD
La homóloga de la recta que contiene al lado DH es una recta
que forma 30º con el eje de homología.

4.- Dados los triángulos isósceles rectángulos ABC y DEF de
catetos 2,5 cm contenidos en el plano ππππ y ubicados en la posición
que se indica, se pide determinar su forma homóloga, si:
cm de éste.
6,5 cm sobre del eje de homología y en la recta
perpendicular al eje de homología que contiene al punto B
La homóloga de la recta BC es una recta perpendicular al eje
de homología.
cm de éste.
El centro de homología (V) se proyecta sobre el plano ππππ’ a 2
cm sobre del eje de homología y en la recta perpendicular al
eje de homología que contiene al punto F
La recta límite L contiene al punto C.
Defina si la homología realizada es directa o inversa.
El eje de homología (EH) es paralelo al lado DE y dista a 6
cm de éste.
al lado AC
La recta límite L contiene al punto F.

7.- Dados los triángulos equiláteros ABC, DEF y GHI de lados 2,5
cm contenidos en el plano ππππ y ubicados en la posición que se
indica, se pide determinar su forma homóloga, si:
El eje de homología (EH) es perpendicular al lado AB y dista
a 6 cm del punto A.
cm sobre del eje de homología y en la recta que contiene al
lado AB
La recta límite L’ contiene a los puntos B e I.
El eje de homología (EH) es perpendicular al lado AB y
contiene al punto B.
cm sobre del eje de homología y en la recta que contiene al
lado AB
La recta límite L’ contiene al punto E.
El eje de homología (EH) es perpendicular al lado EF y
contiene al punto E.
La recta límite L contiene al punto I y la recta límite L’
contiene al punto D.
La homóloga de la recta que contiene al lado AB es una recta

10.- Dados los cuadrados ABCD y AEFG de lados 2,5 cm
contenidos en el plano ππππ y ubicados en la posición que se indica,
se pide determinar su forma homóloga, si:
El eje de homología (EH) es paralelo al lado AB y está a 3 cm
de éste.
El centro de homología (V) se proyecta en el infinito en
dirección de una recta perpendicular al eje de homología.
El homólogo del punto A se encuentra en depurado, a 2,5 cm
del eje de homología.
cm de éste.
homología.
La homóloga de la recta BC es una recta perpendicular al eje
de homología.
El eje de homología (EH) es perpendicular al lado EF y
contiene al punto E.
homología.
La homóloga de la recta que contiene al lado AB es una recta

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