Unefm Tecnología Ingeniería Civil - Mecánica Racional

1. MECANICA RACIONAL
CAPITULO I
INTRODUCCION
GENERALIDADES SOBRE VECTORES Y TERMINOLOGIA.
Vector: Es un segmento de recta cuya longitud representa a cierta escala la magnitud de
ese segmento, de tal manera que su dirección y sentido son los de ese segmento. Puede
comportarse libre a lo largo de la recta que está representado o ligado a un punto, sobre
esa recta, que será su punto de aplicación.
La nomenclatura utilizada en vectores es la siguiente:
Para vectores y sus derivadas se usará, una letra en negrillas o letra normal con una raya o
flecha en la parte superior de la letra,
a = a
a = vector de magnitud a. La magnitud podrá indicarse así,
magnitud del vector a = a
a
a
a
En el caso de vectores unitarios es decir de magnitud la unidad se representarán así: ,
ˆ
,
ˆ k
e y
en el caso de las direcciones cartesianas x, y, z por k
j
i ˆ
,
ˆ
,
ˆ respectivamente.
Puede escribirse que un vector es en general. a
e
a
a ˆ su magnitud por un vector unitario en
su dirección, lo que indica que un vector unitario en la dirección de a es,
a
a
ea = el mismo
vector entre su magnitud.
EXPRESION ANALITICA DE VECTORES:
Los vectores pueden expresarse por sus componentes de acuerdo a diferentes sistemas de
coordenadas ortogonales y el número de dimensiones del espacio respectivo. Las más
usuales son las: cartesianas en tres dimensiones o dos dimensiones, esféricas y cilíndricas
para tres dimensiones, polares en dos dimensiones. Puede haber de cualquier número de
coordenadas para problemas complejos y en el espacio común de tres dimensiones de
acuerdo a la forma de una figura geométrica cualquiera como son las menos usuales que las
nombradas al comienzo de este parágrafo: Elipsoidales confocales, cilíndricas elípticas,
cilíndricas parabólicas, esferoidales obladas, esferoidales proladas, cónicas, paraboloídales
confocales, parabólicas, bipolares, toroidales.
EN EL ESPACIO DE TRES DIMENSIONES:
En coordenadas cartesianas:
La posición de un punto P cualquiera en el espacio puede definirse por un vector cualquiera
digamos, llamado vector de posición y está ligado al origen de coordenadas seleccionado,
ver figura 1.1 siguiente:
P
Z
Y
X
Z
Y
X
P e
a
k
a
j
a
i
a
a
a
a
r
OP
a ˆ
ˆ
ˆ
ˆ

2. 2
En coordenadas esféricas:
La posición de un punto en el espacio está representada por las siguientes tres coordenadas:
una llamada radial dada por una longitud r, y dos ángulos y como se muestra en la
figura 1.2:
El vector de posición del punto P es
r
P
e
r
OP
r ˆ
De tal manera que transformando sus coordenadas a cartesianas es
x = r sen cos ; y = r sen sen ; z = r cos
z
)
,
,
( Z
Y
X a
a
a
P
Z
a
a
k̂
P
ê ĵ Y
a
O y
X
a i
ˆ
Fig. 1.1
x
z
r
ê
ê
P(r, , )
r ê
O y
x Fig. 1.2

3. 3
En coordenadas cilíndricas:
La posición de un punto se representa por tres coordenadas. Una coordenada radial en el
plano x,y dada por una longitud r, un ángulo , y otra lineal paralela al eje z, como se
muestra en la figura 1.3 siguiente:
y
El vector de posición del punto P es
Z
r
P e
z
e
r
OP
r ˆ
ˆ
De tal manera que transformando sus coordenadas a cartesianas,
x = r cos ; y = r sen ; z = z
EN EL ESPACIO GENERAL DE n DIMENSIONES:
Cada vector tendrá n coordenadas o n componentes:
n
n
n
n
i
i
n
n
i i
a
i
a
i
a
i
a
i
a
i
a
a
a
a
a
a
a
a ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ 1
1
3
3
2
2
1
1
1
3
2
1
EN EL ESPACIO DE DOS DIMENSIONES
En coordenadas cartesianas:
La posición de un punto P cualquiera en el plano puede definirse de manera semejante al
espacio físico de tres dimensiones eliminando una coordenada, por tanto vector de posición
cualquiera digamos, está ligado al origen de coordenadas seleccionado, y tomando como
ejes el eje x y el eje, ver figura 1.3 siguiente:
z Z
ê
ê
P(r, , z)
P
r z r
ê
r x
y
x Fig. 1.3

4. 4
P
Y
X
Y
X
P e
a
j
a
i
a
a
a
r
OP
a ˆ
ˆ
ˆ
En coordenadas polares:
Las coordenadas esféricas y cilíndricas en el plano se transforman en lo que se llama
condenadas polares, donde un vector está definido por una coordenada rectilínea, el radio y
la otra un ángulo con uno de los ejes, usualmente el x,
r
P e
r
r
r ˆ que llevándolo a coordenadas cartesianas: j
rsen
i
r
r ˆ
ˆ
cos
Igualdad de vectores
Dos o más vectores son iguales si tienen la misma magnitud, dirección y sentido. Cuando
dos vectores b
y
a son iguales en magnitud y dirección pero de sentidos contrarios se
representa b
a . En vectores de posición señalados en figuras anteriores se puede decir
que PO
OP
Vectores paralelos
Dos o más vectores son paralelos si tienen la misma dirección y sentido pero magnitudes
distintas. De tal manera que si dos vectores b
y
a son paralelos se puede decir que uno
de ellos es igual al otro multiplicado por una constante, b
a donde es una
constante o valor real cualquiera.
y
P
Y
a r
ĵ r
ê
O x
i
ˆ X
a
Fig. 1.5
y
P
Y
a a
ĵ P
ê
O x
i
ˆ X
a
Fig. 1.4

5. 5
Suma de Vectores.
Dados varios vectores por sus componentes en cada, el vector suma es la suma de cada
componente con su signo. Por ejemplo dado tres vectores en coordenadas cartesianas.
k
c
b
a
j
c
b
a
i
c
b
a
c
b
a
c
b
a
k
c
j
c
i
c
c
c
k
c
j
c
i
c
c
k
b
j
b
i
b
b
i
a
j
a
i
a
a
Z
Z
Z
Y
Y
Y
X
X
X
Z
Y
x
Z
Y
x
Z
Y
X
Z
Y
X
ˆ
)
(
ˆ
)
(
ˆ
)
(
)
(
ˆ
ˆ
ˆ
)
(
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
Gráficamente: Se puede obtener la suma de varios vectores d
c
b
a ,
,
, , tomando el primer
vector y poniendo el inicio del segundo en el final del anterior y así sucesivamente hasta
colocar todos los vectores:
Producto Vectorial y producto escalar de dos vectores.
El producto vectorial se representa por x y el producto escalar de vectores por , ejemplos:
utilizando los mismos vectores indicados en suma de vectores: b
a , b
a
De tal manera que la evaluación del producto vectorial en coordenadas cartesianas,
cilíndricas y esféricas es respectivamente:
.
)
,
(
.
log
)
,
(
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
vectores
dos
los
forman
que
ángulo
del
seno
b
a
sen
Donde
forman
ellos
que
ramo
parale
del
área
el
es
vecores
dos
de
vectorial
producto
del
magnitud
la
b
a
sen
b
a
d
b
a
d
ambos
a
lar
perpendicu
vector
un
es
y
b
b
b
a
a
a
e
e
e
b
b
b
a
a
a
e
e
e
b
b
b
a
a
a
k
j
i
b
a
d
r
r
r
Z
r
Z
r
Z
r
Z
Y
x
Z
Y
X
El sentido del vector es el del pulgar siguiendo la regla de la mano derecha o el sentido del
tirabuzón.
Y la evaluación del producto escalar de dos vectores expresados en coordenadas
cartesianas, cilíndricas y esféricas es respectivamente:
b c
a d
a b c
d
)
( d
c
b
a

6. 6
vectores
dos
los
forman
que
angulo
del
eno
b
a
real
te
cons
o
escalar
un
es
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a Z
Z
r
r
r
r
Z
Z
Y
Y
X
X
cos
)
,
cos(
.
tan
)
,
cos(
)
(
de tal manera que si decimos que el vector b es el producto vectorial de dos vectores,
n
y
m entonces podemos decir que el producto escalar de b
a es el volumen del
paralelepípedo que forman los tres vectores a
y
n
m, con altura h = a cos )
,
( b
a ,
n
m
b
siendo
n
m
a
b
a )
(
Por definición podemos concluir que dos vectores perpendiculares tienen su producto
escalar igual a cero, ya que el coseno del ángulo que forman (90°) es cero, y vectores
paralelos tienen su producto vectorial como vector nulo de magnitud igual a cero, al ser el
seno del ángulo que forman (0°) igual acero.
PROPIEDADES:
a
b
b
a Propiedad conmutativa de la suma de vectores.
c
b
a
c
b
a )
(
)
( Propiedad asociativa de la suma de vectores.
a
mn
a
n
m )
(
)
( Propiedad asociativa de la multiplicación de vector por escalares.
a
n
a
m
a
n
m )
( Primera propiedad distributiva de la multiplicación por escalares.
b
m
a
m
b
a
m )
( Segunda propiedad distributiva de la multiplicación por escalares.
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
)(
(
)
)(
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
.
Pr
)
.
Pr
d
c
b
a
d
c
a
b
c
b
a
d
d
b
a
c
d
x
c
b
a
c
b
d
a
d
b
c
a
d
x
c
b
a
a
c
b
b
c
a
c
x
b
a
c
b
a
b
c
a
c
x
b
a
vectores
tres
los
aristas
por
tiene
que
pedo
paralelepí
del
Volumen
a
c
b
b
a
c
c
c
c
b
b
b
a
a
a
c
b
a
a
c
b
b
c
a
c
b
a
c
x
a
b
a
c
b
a
c
b
c
a
c
b
a
c
b
a
c
b
a
a
b
b
a
escalar
producto
del
va
distributi
opiedad
c
b
c
a
c
b
a
escalar
producto
del
a
conmutativ
opiedad
a
b
b
a
Z
Y
x
Z
Y
X
Z
Y
X

7. 7
Expresiones para derivadas:
te
cons
una
es
a
magnitud
la
si
du
a
d
a
du
da
a
u
a
d
a
du
c
d
x
b
a
c
du
b
d
a
c
b
du
a
d
du
c
b
a
d
du
b
d
a
b
du
a
d
du
b
a
d
du
b
d
a
b
du
a
d
du
b
a
d
k
du
da
j
du
da
i
du
da
du
a
d Z
Y
X
tan
0
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
ˆ
ˆ
ˆ
GENERALIDADES SOBRE MECANICA E INTRODUCCION.
La mecánica es una parte de la Física. Se hace necesario recordar que la Física es una
ciencia que investiga las leyes de la naturaleza, les da forma matemática y busca su
interdependencia mediante una ley más general. La diferencia entre las ciencias básicas
como son: La Física, matemática, química y biología; y lo que entendemos por Ingeniería
es que esta utiliza el conocimiento de las ciencias básicas para crear y perfeccionar
Tecnologías. En otras palabras la Física se ocupa de los componentes fundamentales del
Universo, de las causas de las fuerzas que éstos ejercen entre sí y de los efectos de dicha
fuerza., La Física puede ser experimental cuando mediante un método de experimentación
con mediciones lo más precisas posibles le permite deducir leyes o teorías para luego
organizarlas en un sistema completo, ayudándose de teoremas matemáticos. LAS PARTES
USUALMENTE RECONOCIDAS DE LA FÍSICA SON: MECÁNICA, ONDAS,
TERMODINÁMICA, ELECTROMAGNETISMO.
Demos una definición de lo que es mecánica, como su nombre lo indica es la ciencia de los
mecanismos y en forma mas general es la ciencia que estudia el movimiento y el reposo
como caso particular. Los mecanismos o dispositivos pueden considerarse como un
conjunto de elementos, llamados cuerpos materiales o simplemente cuerpos o elementos,
con posibilidades de movimiento total o parcial, pero dependientes uno de otros. Hay que
tener presente que todo movimiento o reposo de un cuerpo material es la acción de otro
cuerpo material sobre él. La Mecánica estudia el movimiento de los objetos materiales
sometidos a la acción de fuerzas.
Un concepto importante en la mecánica es el del Punto material o punto móvil o
partícula, que es una cantidad infinitamente pequeña de materia, es decir, equivale al punto
geométrico adicionándole materia. Otro concepto de relevancia es el de Sistema de
partículas, que es un conjunto de partículas finitas o infinitas adosadas o separadas
unas de otras. Dentro de los cuerpos materiales, que son sistemas de partículas,
consideramos en este estudio solo los que se llaman cuerpos rígidos o indeformables.
Cuando nos referimos a un cuerpo material o simplemente cuerpo entendemos que es un

8. 8
conjunto de infinitos puntos materiales, unos al lado de otros, lo que equivale a considerar
lo que se llama una distribución continua de materia y dentro de él tenemos los cuerpos
rígidos o indeformables y los deformables. En los cuerpos rígidos las distancias relativas
entre los puntos materiales que lo forman permanecen invariables unos de otros, por lo que
bastará conocer el movimiento de uno de sus puntos para conocer el de todos y el del
cuerpo; un cuerpo rígido se dice que es indeformable. Otros tipos de cuerpos son los
deformables como los: elásticos, Plásticos y elastoplásticos. En estos las distancias entre las
partículas cambian y se dice que estos cambios de distancias reflejan o producen unos
cambios que altera la forma del cuerpo, llamados deformaciones que si son proporcionales
al esfuerzo o presión que las produce se llaman elásticos y si no son proporcionales
plásticos y sí ambos tipos de deformaciones elastoplásticos. Recuerde que esfuerzo o
presión es unidades de fuerza sobre área. LA MECÁNICA DE LOS CUERPOS
DEFORMABLES SE DIVIDE O COMPRENDE LA TEORÍA DE LA ELASTICIDAD,
RESISTENCIA DE MATERIALES, MECÁNICA DE LÍQUIDOS Y MECÁNICA DE
GASES.
La mecánica llamada clásica o Newtoniana, se suele dividir en ESTATICA Y
DINAMICA, es de aplicación universal para el movimiento a gran escala y velocidades
menores que la de la luz, que es la máxima velocidad posible en la naturaleza. Ejemplo de
estos es el estudio de los movimientos de los astros, mecánica celeste y la teoría cinética de
los gases. Esta mecánica tiene pues sus excepciones que son condiciones en los extremos o
fronteras: la explicación del movimiento a distancias muy cortas, grandes velocidades y
tiempos muy corto, que es lo que se ocupa la mecánica moderna, que se dividen mecánica
cuántica o cuantística y mecánica relativista de Einstein. Como por ejemplo el
movimiento a escala atómica solo se puede explicar con la mecánica cuántica y la mecánica
relativista. El movimiento de precesión de las órbitas de los astros, variación muy pequeña
que experimentan los astros en órbitas consecutivas, observable hoy en día en la órbita de
Mercurio, solo explicable con la teoría de la relatividad general de Einstein. En este curso
nos ocuparemos de la mecánica clásica, que se divide en estática y dinámica, y
fundamentalmente de la dinámica y su relación con la estática. Utilizamos el concepto de
mecánica racional por que aplicaremos el proceso mental del razonamiento científico
analítico del análisis matemático, para diferenciarla de una ciencia experimental que deduce
por experimentos. La dinámica tiene una parte introductoria que es la cinemática que
estudia las expresiones del movimiento sin considerar sus causas. De tal manera que la
parte de la dinámica que estudia la interacción de las masas y de las fuerzas con el
movimiento correspondiente, es decir, el movimiento y sus causas, se llama cinética. La
mecánica moderna comprende la mecánica cuántica y la relativista.
Demos a continuación una serie de definiciones según el criterio de Isaac Newton (1726):
1) Cantidad de materia: Es la medida de la misma que surge de la densidad y el volumen
conjuntamente.
2) Cantidad de movimiento: es la medida del mismo que surge de la velocidad y de la
cantidad de materia conjuntamente.
3) La fuerza innata de la materia: es la capacidad de resistir mediante la cual todo cuerpo
mientras este en su poder, continúa es su estado presente este de reposo o en movimiento
uniforme a lo largo de una recta.
4) Una fuerza impresa: es toda acción que se ejerce sobre un cuerpo con el objeto de
cambiar su estado de reposo o de movimiento uniforme sobre una recta.

9. 9
Newton formuló los axiomas o leyes del movimiento de la siguiente manera:
1º Ley: Todo cuerpo persevera en un estado de reposo o de movimiento uniforme
sobre una recta excepto en cuanto sea obligado por fuerzas impresas a cambiar de
dicho estado.
2º Ley: El cambio del movimiento es proporcional a la fuerza motriz impresa y
ocurre según la línea recta sobre la cual se imprime la fuerza.
3º Ley: A toda acción se opone siempre una reacción igual, o sea, que las acciones
mutuas entre dos cuerpos son siempre iguales y dirigidas en sentidos opuestos
(sobre una misma recta), acción y reacción.
Las definiciones y leyes presentadas, hoy se consideran como una primera aproximación
válida. La cantidad de materia hoy se prefiere designarla como masa. Algunos autores ven
una repetición entre la cuarta definición y la primera ley. Otra dificultad es que se conserva
también el movimiento de rotación además del rectilíneo.
La expresión matemática de la segunda ley es la siguiente:
F= d(m.v)/dt Si m es constante (Un pto. Material y sólido) F = m.a (ECUACIÓN
FUNDAMENTAL DE LA MECÁNICA).
Newton no definió los conceptos de masa y fuerza independientes de la segunda ley.
Mach en 1872 en sus tres postulados los definió.
1º Postulado: La acción entre dos puntos materiales produce aceleraciones en
ambos, las cuales están dirigidas en sentidos opuestos según la recta que los une.
2º Postulado: La relación entre las magnitudes de las aceleraciones reciprocas que
se producen como resultado de la interacción de dos puntos materiales es una
constante, esto es entre dos partículas A y B el cociente entre sus aceleraciones
aAB / aBA = mBA , es la masa de B con relación a A.
Definición de Masa: La medida de la masa de un punto material es la relación de la
aceleración que dicho punto produce en otro tomado como referencia a la que éste
produce en aquel. Esto es irrealizable por no poder aislar la acción reciproca entre
solo dos puntos materiales, pero fue un comienzo lógico. Esta definición sirve para
diferenciar el concepto de masa del de cantidad de materia, como se requiere en la
teoría de la relatividad.
3º Postulado: Las aceleraciones recíprocas que se producen como resultado de la
interacción de dos puntos materiales están entre sí en razón inversa de sus masas
medidas con relación a un mismo punto material de referencia mB aBC = -mC aCB
Definición de fuerza: La fuerza que se ejerce sobre un punto material tiene por
medida el producto de la masa de dicho punto por su aceleración.

10. 10
RESEÑA HISTORICA
La mecánica es una ciencia antigua. Los egipcios, caldeos y asirios tenían ideas claras sobra
la estática y sus aplicaciones; los griegos formularon las leyes de estática que todavía se
usan.
A continuación señalamos en orden cronológico, algunos de los principales autores que
contribuyeron para el avance de la mecánica, indicando su nombre, publicación más
importante, período de vida y su contribución científica más importante:
Arquímedes, De Aequiponderantibus of Archimedes, Cambridge, 1897; 287 A.C. – 212
A.C., teoría de la palanca, centro de gravedad, estableció el principio de Arquímides,
inventó el método matemático del cálculo integral.
Leonardo D’Vinci, Venturi publicó sus trabajos en 1797; 1452D.C.-1519D.C., relacionó los
momentos estáticos con el equilibrio de los cuerpos.
Galileo Galilei, Dialogues Concerning, Leyden, 1638; 1564-1642, Enunció y verificó las
leyes cinemáticas de la caída de los cuerpos, descubrió la ley de inercia que más tarde
formalizó Newton, trayectoria de un proyectil, descubrió el paralelogramo de la
composición vectorial, observó que toda fuerza produce aceleración.
Kepler, Astronomía Nova, Praga, 1609, Harmonice Mundi, Linz, 1619; 1571-1642,
descubrió las leyes empíricas del movimiento planetario.
Descartes, Principia Philosophiae, Ámsterdam, 1644; 1596-1650, propuso ideas sobre la
cantidad de movimiento y la de fuerza viva que hoy se conoce como energía cinética.
Pascal, 1623-1662, Récit de la grande experience de l’equilibre des liqueurs, Paris, 1648;
evolucionó las leyes de la presión de los líquidos.
Huyghens, Horologium Oscillatorium, 1673; 1629-1695, inventó el reloj de péndulo, creó
las ideas de fuerza centrífuga y de aceleración centrípeta, determinó y relacionó el trabajo y
energía cinética.
Newton Isaac, Philosophiae Naturaliae Principia Mathematica, Londres, 1686; 1642-1726,
descubrió la ley de la gravitación universal, formuló las leyes del movimiento, introdujo el
concepto de masa, generalizó la idea de fuerza, estableció claramente la ley de la acción y
reacción.
Bernoulli Jacobo, Acta Eruditorum, 1691, Opera Omnia, Ginebra, 1744; 1654-1705,
dedujo la ley del péndulo compuesto y el centro de oscilación a partir del principio de la
palanca.
Bernoulli Juan, 1667-1748, Acta Eruditorum, 1693, Opera Omnia, Lausana, 1742;
generalizó el principio de las velocidades virtuales.
Maupertins, Mémories de l’Académie de Paris, 1740, Mémories de l’Académie de Berlín,
1745-1747; 1698-1759, descubrió que el trabajo efectuado para llevar un sistema al
equilibrio es un máximo o un mínimo.
Bernoulli Daniel, Hydrodynamica, sine de Viribus et Motibus Fluidorum Commentarii,
1738; 1700-1782, descubrió la ley de la conservación de las áreas del movimiento
planetario, que es una generalización de la segunda ley de Kepler, introdujo el principio de
superposición de vibraciones y enunció una teoría cinética rudimentaria de la presión de un
gas.

11. 11
Euler Leonhard, Mecánica sine Motus Scientia, San Petersburgo, 1736, y artículos en los
volúmenes de las Academias de Berlín y San Petersburgo, 1707-1783, introdujo el
momento de inercia por mr2
, y aplicó los métodos matemáticos a la dinámica.
Clairaut, Théorie de la figure de la Terre, París, 1743; 1713-1765, aplicó la teoría del
potencial al equilibrio de los líquidos.
Dàlembert Jean Le Bond, Taité de dynamique, París, 1743; aplicó el principio del trabajo
virtual a la resolución de los problemas de dinámica.
Lagrange Joseph Louis, Méchanique analytique, París, 1788; 1736-1813, dedujo las
ecuaciones del movimiento partiendo del principio del trabajo virtual y del principio de
D’Alembert su estudio fue analítico y no geométrico como el de Newton.
Laplace, Mécanique céleste, París, 1799; 1749-1827, realizó grandes estudios de mecánica
celeste basado en los conceptos de Newton.
Gauss, Neues Princip der Mechanik, Periódico de crelle, 1829; inventó el principio de la
mínima restricción, perfeccionó los métodos para el cálculo de órbitas
Poisson, 1781-1840, introdujo el método de variación de parámetros en la solución de los
problemas de dinámica, estudió la dinámica de los cuerpos elásticos, creó la razón de
Poisson.
Coriolis, Gaspar Gustavo Traité de mécanique, París, 1829; 1792-1843, dio su nombre a la
seudo fuerza v
w
m
2 debida al movimiento confinado a un marco de referencia que
gira, aplicó el concepto de trabajo al producto de la fuerza por distancia y le dio el valor de
½ mv2
a la fuerza viva hoy conocida como energía cinética.
Jacobi, Vorlesungen uber Dynamic, Berlín, 1866; 1804-1851, introdujo la función de
sustitución, contribuyó a la teoría de la mínima acción demostrando que vds tiene un valor
estacionario para la trayectoria dinámica, no necesariamente un mínimo o un máximo.
Hamilton, Lecture en quaternions, 1853 Essays; 1805-1865, creó el principio de Hamilton,
contribuyó a las ecuaciones hamiltonianas del movimiento útiles en la mecánica cuántica.
Introdujo el concepto de “funciones de fuerza” energía potencial con signo negativo.
Mach Ernst, Die Mechanik ihrer Entwickelung, Leipzig, 1833; 1838-1916, analizó los
conceptos de masa y fuerza y sistematizó la ciencia de la dinámica tal como se conoce hoy
en día.
Hertz, Principien der Mechanik, Leipzig, 1894; 1857-1894, criticó los fundamentos
filosóficos y axiomáticos de la mecánica newtoniana. Formuló un sistema sin fuerza en que
solo se aceptaron los conceptos de tiempo, espacio y masa. Se basó en la ley de inercia y el
principio de mínima restricción.
Poincaré, Les méthodes nouvelles de la méchanique céleste, 1892,1893,1899; 1854-1912,
formuló gran parte de los invariantes integrales y de las ecuaciones diferenciales aplicables
a la mecánica celeste. Contribuyó al estudio de los n cuerpos, la estabilidad de los
movimientos periódicos y la estabilidad de los fluidos que giran.
Einstein Albert, Die Grundlage der allgemeinen Relativitastheorie, Anales de física 1916;
1878-1955, en sus teorías de la relatividad especial, 1905 y general, 1915, introdujo los
conceptos de espacio-tiempo para poder estudiar las partículas atómicas que se mueven a
altas velocidades. Le dio características a la masa y tiempo de variable, de tal manera que la
masa depende de la velocidad.

12. 12
TECNICAS PARA LA RESOLUCION DE PROBLEMAS
1. Leer por lo menos dos veces el problema, una vez rápido y otra lento. Esto lo
prepara mentalmente.
2. Realice un esquema o diagrama del problema para visualizar lo que describe el
enunciado del problema.
3. Escriba las cantidades dadas y conocidas, en letras e igualadas a valores escalares
de ser el caso.
4. Escriba las cantidades que se deben calcular, las solicitadas y las intermedias o
previas a ellas necesarias para su obtención.
5. Determine cuales principios o leyes se aplican al problema y escriba las
ecuaciones que los caracterizan.
6. Aplique las ecuaciones al problema tomando en cuenta que el número de
ecuaciones debe ser igual al número de incógnitas o cantidades desconocidas. Es
preferible para las cantidades conocidas emplear letras y no números, para luego
sustituir al final por sus valores. Especial cuidado debe ponerse al(los) sistema(s)
de eje(s) de coordenada(s) que se selecciona(n).
7. Tome en cuenta las unidades, siendo consistente en cuanto a ellas, es decir, utilizar
las correspondientes a un mismo sistema de unidades, para cada cantidad mantener
la misma unidad a lo largo del problema. Al sustituir los valores datos es preferible
incluirle sus valores numéricos con sus unidades.
8. Al obtener un valor numérico, piense si este resultado es razonable o esperado.
9. Compruebe los resultados obtenidos.