Este documento presenta una introducción a conceptos fundamentales de geometría analítica como el plano cartesiano, rectas, circunferencias, elipses y su relación con las ecuaciones algebraicas. Se explican estos temas para profundizar el conocimiento de la unidad 3 de pensamiento geométrico y analítico.

1. PA S O 4 - P R O F U N D I Z A R Y C O N T E X T U A L I Z A R E L C O N O C I M I E N T O
D E L A U N I D A D 3 . P E N S A M I E N T O G E O M É T R I C O Y A N A L Í T I C O .
P R E S E N TA D O P O R :
L E S LY N J U L I E T H J A I M E S L E A L .
T U T O R :
S T E V E N S O N L I O N S
U N I V E R S I D A D N A C I O N A L A B I E R TA Y A D I S TA N C I A U N A D.
L I C E N C I AT U R A E N M AT E M AT I C A S .
N O V I E M B R E / 2 0 2 2 .

2. Pensamiento
geométrico y analítico.

3. En la presente presentación se analizaran los contenidos de la
unidad 3 de pensamiento geométrico y analítico, se explican
algunos de los temas mas importantes que serán usados en el
desarrollo de unos ejercicios organizados por tareas, los
mismos que serán revisados y compartidos de forma
colaborativa en el grupo de trabajo.
Algunos de estos temas son las circunferencias , ecuación
canónica, rectas, elipses, foco, vértices entre otros serán de
ayuda para el desarrollo de los ejercicios .
INTRODUCCIÓN

4. Geometría Analítica
La geometría analítica es una rama de la geometría que estudia los
cuerpos geométricos a través de un sistema de coordenadas, de ese
modo, se pueden expresar las figuras como ecuaciones algebraicas.
La geometría analítica localiza, en un plano bidimensional, cada uno
de los puntos que forman una figura. Todo ello, en función de dos
rectas, el eje de abscisas (eje horizontal X) y de las ordenadas (eje
vertical Y).
Los ejes X e Y son perpendiculares. Es decir, forman cuatro ángulos
de 90º (grados) en su intersección. De ese modo, se trabaja en un
sistema de coordenadas que se conoce como plano cartesiano,
Cada punto del plano posee una coordenada del siguiente tipo (X,Y).
Así, el punto (3,8) es aquel que nace de unir el punto 3 en el eje
horizontal y el punto 8 en el eje vertical.
https://economipedia.com/wp-
content/uploads/geometria-
analitica_-655x528.png

5. El plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas perpendiculares, una horizontal y
otra vertical que se cortan en un punto. La recta horizontal es llamada eje de las abscisas o
de las equis (x), y la vertical, eje de las ordenadas o de las yes, (y); el punto donde se cortan
recibe el nombre de origen.
El plano cartesiano
Cuadrantes del plano cartesiano
Como hemos visto, el plano cartesiano se constituye por el cruce de dos ejes de coordenadas, o sea, dos líneas
rectas infinitas, identificadas con las letras x (horizontal) y por otro lado y (vertical). Si las contemplamos,
veremos que conforman una suerte de cruz, dividiendo así el plano en cuatro cuadrantes, que son:
•Cuadrante I. En la región superior derecha, en donde pueden representarse valores positivos en cada eje de
coordenadas. Por ejemplo: (1,1).
•Cuadrante II. En la región superior izquierda, en donde pueden representarse valores positivos en el
eje y pero negativos en el x. Por ejemplo: (-1, 1).
•Cuadrante III. En la región inferior izquierda, en donde pueden representarse valores negativos en ambos
ejes. Por ejemplo: (-1,-1).
•Cuadrante IV. En la región inferior derecha, en donde pueden representarse valores negativos en el
eje y pero positivos en el x. Por ejemplo: (1, -1).

6. Las funciones matemáticas pueden expresarse gráficamente en un plano cartesiano,
siempre y cuando expresemos la relación entre una variable x y una variable y de manera
tal que pueda resolverse.
Por ejemplo, si tenemos una función que establece que el valor de y será 4 cuando el
de x sea 2, podemos decir que tenemos una función expresable así: y = 2x. La función
señala la relación entre ambos ejes, y permite dar valor a una variable conociendo el
valor de la otra.
Por ejemplo si x = 1, entonces y = 2. Por otro lado, si x = 2, entonces y = 4, si x = 3,
entonces y = 6, etc. al hallar todos esos puntos en el sistema de coordenadas, tendremos
una línea recta, dado que la relación entre ambos ejes es continua y estable, predecible. Si
continuamos la línea recta hacia el infinito, sabremos entonces cuál será el valor de x en
cualquier caso de y.
La misma lógica aplicará para otro tipo de funciones, más complejas, que arrojarán líneas
curvas, parábolas, figuras geométricas o líneas discontinuas, dependiendo de la relación
matemática expresada en la función. Sin embargo, la lógica seguirá siendo la misma:
expresar la función gráficamente en base a asignar valores a las variables y resolver la
ecuación.

7. https://concepto.de/wp-
content/uploads/2019/09/plano-
cartesiano-e1569779702982.jpg
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content/uploads/2019/09/plano-cartesiano-
cuadrantes-e1569779047143.jpg
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cartesiano-funcion-
e1569778977979.jpg
https://s1.significados.com/foto
/coordenadas_bg.JPG

8. También podemos diferenciar a la recta del segmento que es aquella porción de recta que va un punto
A a un punto, es decir, está acotada en un inicio y un final. La recta es un elemento básico en la
geometría a partir del cual se pueden analizar conceptos más complejos como los polígonos y
poliedros.
La recta es el lugar geométrico de los puntos tales que, tomados dos cualesquiera del
lugar geométrico, el valor de la pendiente siempre resulta constante.
ANÁLISIS DE LA RECTA
https://images.mongge.com/exercises/
posters/2018/11/28/10/36/diedrico-
estudio-rectas-1-31438.png

9. Una elipse es el lugar geométrico formado
por el conjunto de todos los puntos P del
plano, tales que la suma de sus distancias a
dos puntos fijos en el plano es constante.
Los puntos fijos F1 y F2 se llaman focos.
Gráficamente esto es:
LA ELIPSE.
https://deingenierias.com/wp-
content/uploads/Que-es-una-elipse.jpg
Partes de una elipse en geometría analítica
1.Vértices.- son los puntos de intersección entre la elipse y la
recta que pasa por sus focos (V1 Y V2).
2.Centro.- es el punto medio del eje mayor o menor.
3.Focos.- son los puntos F1 Y F2 y quienes generan la elipse.
4.Eje mayor.- es la cuerda o segmento que une los vértices.
5.Eje menor.- es el segmento perpendicular al eje mayor que
pasa por el centro.
6.Semieje mayor (a).- distancia del centro al extremo del eje
mayor o vértice.
7.Semieje menor (b).- es la distancia del centro al extremo del
eje menor.
8.Semidistancia focal.- es la distancia entre el centro y
cualquiera de los focos.
9.Radio vectores.- son los segmentos que van desde cualquier
punto de la elipse a los focos F1 Y F2.
10.Distancia focal.- es la distancia entre los focos.
11.Lado recto (LR).- es el segmento paralelo al semieje menor
que pasa por cualquier foco de la elipse.

10. LA ELIPSE.
Relación entre los parámetros a, b y c en la elipse
Ahora veamos la elipse y la relación entre la distancia
focal y los semiejes, sabemos que:
•a: es la distancia entre el centro y cualquiera de los
vértices.
•b: es la distancia entre el centro y cualquiera de los
extremos del eje menor.
•c: es la distancia del centro a cualquiera de los focos.
La relación entre estas tres dimensiones es la
siguiente:
Es la ecuación de Pitágoras que se cumple en
triángulos rectángulos.
La excentricidad de una elipse en geometría
analítica
La excentricidad de una elipse es la relación entre la
distancia focal (c) y el semieje mayor (a), esta relación
puede tomar valores desde 0 hasta 1.
Cuando una elipse tiene mayor excentricidad la
relación aumenta y si llega a ser 1 entonces se trata de
una circunferencia, en cambio cuando la excentricidad
tiende a cero significa que la elipse es más achatada y
si llegara a ser 0 se trataría de una recta.

11. Ejemplo.
Eje mayor
La ecuación de la elipse ya está en
forma canónica por lo que
procedemos a obtener el valor del
semieje mayor
Y así encontrar los vértices que forman
el eje mayor
Eje menor
Entonces el valor del semieje menor
es
Por lo tanto, los vértices que se encuentran en el eje menor son
Focos
Finalmente calculamos el valor de la distancia semifocal
Y con éste, localizar los focos
Excentricidad
La excentricidad es igual al cociente de la distancia semifocal y
el semieje mayor

12. Gráfica

13. De manera formal, una circunferencia se define
como el lugar geométrico de los puntos del plano
equidistantes de otro, llamado centro de la
circunferencia.
No debemos nunca confundir el concepto de
círculo con el concepto de circunferencia, que en
realidad una circunferencia es la curva que
encierra a un círculo (la circunferencia es una
curva, el círculo una superficie).
A continuación vemos una imagen de una
circunferencia.
¿Qué es una circunferencia?
En realidad, y de manera más sencilla, una
circunferencia es el conjunto de puntos situados en
el plano todos a la misma distancia de un mismo
punto central, al que llamaremos centro, y del que
hablaremos más adelante con detalle en la parte de
elementos básicos de la circunferencia.
https://www.cecyt3.ipn.mx/ibiblioteca/
mundodelasmatematicas/Imagenes/11
5.jpg
En la imagen expuesta arriba se pueden ver todos los elementos
que vamos a nombrar a continuación:
Centro: punto central que está a la misma distancia de todos los
puntos pertenecientes a la circunferencia.
Radio: pedazo de recta que une el centro con cualquier punto
perteneciente a la circunferencia.
Cuerda: pedazo de recta que une dos puntos cualquiera de una
circunferencia.
Diámetro: mayor cuerda que une dos puntos de una
circunferencia. Hay infinitos diámetros y todos pasan por el
centro de la circunferencia.
Recta secante: recta que corta dos puntos cualesquiera de una
circunferencia.
Recta tangente: recta que toca a la circunferencia en un solo
punto y es perpendicular a un radio.

14. Determina las coordenadas del centro, así como el radio, de la siguiente circunferencia.
Ejemplo.
Recordemos que si una circunferencia tiene ecuación dada por
entonces el centro de la circunferencia tiene coordenadas
y el radio satisface la ecuación

15. Primero buscaremos el centro
Por lo que el centro se encuentra en el punto
Gráfica

16. 𝒙 − 4)2 + (𝒚 − )
5 2 =
7
3
Ecuación del circulo con radio r, con centro en (a,b)
(𝒙 − 𝒂)𝟐
+ (𝒚 − 𝒃)𝟐
= 𝒓𝟐
Con la forma ordinaria de la ecuación ordinaria de la
circunferencia.
Escriba el número en forma exponencial con un exponente
2(𝒙 − 𝟒)𝟐
+ (𝒚 − 𝟓)𝟐
=
𝟕
𝟑
(𝒙 − 𝟒)𝟐
+ (𝒚 − 𝟓)𝟐
= (
𝟕
𝟑
)𝟐
Por lo tanto las propiedades de un círculo son:
𝒓 =
𝟕
𝟑
𝒚 𝒄𝒆𝒏𝒕𝒓𝒐 (𝟒, 𝟓)

17. PARÁBOLA
Una parábola queda definida por el conjunto de
los puntos del plano que equidistan de una recta
fija y un punto fijo:
https://www.cecyt3.ipn.mx/ibiblioteca/mun
dodelasmatematicas/Imagenes/176.png
Foco: Es el punto fijo F.
Directriz: Es la recta fija D.
Parámetro: A la distancia entre el foco y la directriz de una
parábola se le llama parámetro p.
Eje: La recta perpendicular a la directriz y que pasa por el foco
recibe el nombre de eje. Es el eje de simetría de la parábola.
Vértice: Es el punto medio entre el foco y la directriz. También
se puede ver como el punto de intersección del eje con la
parábola.
Radio vector: Es el segmento que une un punto cualquiera de la
parábola con el foco.

18. Ecuación canónica u ordinaria:
Despejamos el término cuadrático
Identificamos el valor de p
Localizamos el foco y encontramos la ecuación de la directriz
Finalmente graficamos usando los datos obtenidos

19. hipérbola
Es el lugar
geométrico de los
puntos del plano
cuya diferencia de
distancias a dos
puntos fijos llamados
focos es constante.
https://www.cecyt3.ipn.mx/ibiblioteca/mundodelasmatema
ticas/Imagenes/392.gif
Elementos de la hipérbola:
1. Focos: Son los puntos fijos F y F'.
2. Eje principal o real: Es la recta que pasa por los focos.
3. Eje secundario o imaginario: Es la mediatriz del segmento
FF'.
4. Centro: Es el punto de intersección de los ejes.
5. Vértices: Los puntos A y A' son los puntos de intersección de
la hipérbola con el eje focal.
Los puntos B y B' se obtienen como intersección del eje
imaginario con la circunferencia que tiene por centro uno de los
vértices y de radio c.
6. Radios vectores: Son los segmentos que van desde un punto
de la hipérbola a los focos: PF y PF'.
7. Distancia focal: Es el segmento FF de longitud 2c
8. Eje mayor: Es el segmento AA de longitud 2 a
9. Eje menor: Es el segmento BB de longitud 2 b.
10. Ejes de simetría: Son las rectas que contienen al eje
real o al eje imaginario.
11. Asíntotas: Son las rectas de ecuaciones:
12. Relación entre los semiejes:

21. Dentro del área de las matemáticas, la geometría analítica tiene un importante papel en el
cálculo. Es una herramienta fundamental para hallar tangentes, puntos, longitudes,
áreas y volúmenes, muy empleada durante el Renacimiento para estudiar la astronomía, la
óptica o la navegación.
APLICACIÓN DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA
https://concepto.de/wp-content/uploads/2019/09/geometria-analitica-figuras-
circulo-elipse-parabola-hiperbola-e1569006667561.jpg

23. Ejemplos.
4𝒙𝟐 − 𝟗𝒚𝟐 − 𝟏𝟔𝒙 + 𝟏𝟖𝒚 − 𝟗 = 𝟎
Mueva la constante al lado derecho y cambie el
signo.
4𝒙𝟐
− 𝟗𝒚𝟐
− 𝟏𝟔𝒙 + 𝟏𝟖𝒚 − 𝟗
Agrupe los términos
4𝒙𝟐𝟏𝟔𝒙 − 𝟗𝒚𝟐 + 𝟏𝟖𝒚 = 𝟗
Saca el factor común 4 de la expresión.
𝟒 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 − 𝟗𝒚𝟐 + 𝟏𝟖𝒚 = 𝟗
Para completar el cuadrado se deben sumar el mismo valor de ambos
lados
𝟒 𝒙𝟐
− 𝟒𝒙+? − 𝟗𝒚𝟐
+ 𝟏𝟖𝒚 = 𝟗+?
Para completar el cuadrado 𝒙𝟐
− 𝟒𝒙 + 𝟒 = (𝒙 −
𝟐)𝟐
, 𝒔𝒖𝒎𝒆 𝟒 𝒂 𝒍𝒂 𝒆𝒙𝒑𝒓𝒆𝒔𝒊𝒐𝒏
𝟒 𝒙𝟐
− 𝟒𝒙 + 𝟒 − 𝟗𝒚𝟐
+ 𝟏𝟖𝒚 = 𝟗+?

24. Puesto que 4x4 se sumó al lado izquierdo, sume también 4x4 al lado derecho.
𝟒 𝒙𝟐
− 𝟒𝒙 + 𝟒 − 𝟗𝒚𝟐
+ 𝟏𝟖𝒚 = 𝟗 + 𝟒 × 𝟒
Usando 𝒂𝟐
− 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐
= (𝒂 − 𝒃)𝟐
, 𝒇𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓𝒊𝒄𝒆 𝒍𝒂 𝒆𝒙𝒑𝒓𝒆𝒔𝒊ó𝒏
𝟒(𝒙 − 𝟐)𝟐
− 𝟗𝒚𝟐
+ 𝟏𝟖𝒚 = 𝟗 + 𝟒𝒙𝟒
Simplificar la expresión.
𝟒(𝒙 − 𝟐)𝟐
− 𝟗𝒚 + 𝟏𝟖𝒚 = 𝟐𝟓
Saca el factor común -9 de la expresión.
𝟒(𝒙 − 𝟐)𝟐
− 𝟗 𝒚𝟐
− 𝟐𝒚 = 𝟐𝟓
Para completar el cuadrado, se debe sumar el mismo valor a ambos lados.
𝟒(𝒙 − 𝟐)𝟐
− 𝟗 𝒚𝟐
− 𝟐𝒚+? = 𝟐𝟓+?
𝟒(𝒙 − 𝟐)𝟐
− 𝟗 𝒚𝟐
− 𝟐𝒚 + 𝟏 = 𝟐𝟓 − 𝟗 × 𝟏
Usando 𝒂𝟐
− 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐
= (𝒂 − 𝒃)𝟐
, 𝒇𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓𝒊𝒄𝒆 𝒍𝒂 𝒆𝒙𝒑𝒓𝒆𝒔𝒊ó𝒏
𝟒(𝒙 − 𝟐)𝟐
− 𝟗(𝒚 − 𝟏)𝟐
= 𝟐𝟓 − 𝟗 × 𝟏
Simplificar la expresión.
𝟒(𝒙 − 𝟐)𝟐
− 𝟗(𝒚 − 𝟏)𝟐
= 𝟏𝟔
Divida ambos lados de la ecuación entre 16.
𝟒(𝒙 − 𝟐)𝟐
𝟏𝟔
−
𝟗 (𝒚 + 𝟏)𝟐
𝟏𝟔
= 𝟏
(𝒙 − 𝟐)𝟐
𝟒
−
𝟗 (𝒚 + 𝟏)𝟐
𝟏𝟔
= 𝟏
(𝒙 − 𝟐)𝟐
𝟒
−
(𝒚 + 𝟏)𝟐
𝟏𝟔
𝟗
= 𝟏
Por lo tanto es una hipérbola con centro en (2,1)

25. Encontrar la ecuación canónica de una elipse cuyos vértices son
respectivamente:
A) Hallar la ecuación canónica de la elipse de foco F (7,2), de
vértice A (9,2) y de centro C (4,2)
Primero, notemos que el eje mayor es paralelo al eje de las
abscisas, esto lo podemos notar gracias al centro y uno de los
focos, notemos que el foco simplemente se recorre a la derecha
del centro de la elipse. Esto nos da por ahora la ecuación.
(𝑥 − 4)2
𝑎2
−
𝑦 − 2 2
𝑏2
= 1
𝑎2
= (𝑑 𝐶, 𝑉 )
2
= (9 − 4)
2
+ (2 − 2)
2
= 25
Además, tenemos que el semieje menor
cumple que , en donde c es la distancia del
centro de la elipse al foco, por lo tanto.
𝑐2 = (𝑑 𝐶, 𝐹 )2 = (7 − 4)2 + (2 − 2)2 = 9
𝑏2
= 25 − 9 = 16
Esto nos da la ecuación.
(𝑥 − 4)2
25
−
𝑦 − 2 2
16
= 1

26. Conclusión
En términos generales las cónicas están en nuestro entorno y tienen
diversas aplicaciones, por ejemplo las parábolas se emplean en la
construcción de radares, antenas parabólicas para recepción de señales
de televisión, radio, celulares y espejos; en el caso de las elipse, se
pueden distinguir en algunas construcciones, como los techos
elipsoidales de gran estética en los edificios como el capitolio de
Washington y la catedral de Saint Paul en Londres; el Loran es un
ejemplo muy claro en la aplicación de la hipérbola en la electrónica, la
cual permite determinar la posición a partir de la diferencia de
recepción de las señales de radio procedente de dos emisores
sincronizados distantes entre sí

27. Referencias bibliográficas.
Ortiz Ceredo, F. J. Ortiz Ceredo, F. J. y Ortiz Ceredo, F. J.
(2018). Matemáticas 3 (2a. ed.). Grupo Editorial Patria. https://elibro-
net.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/40539?page=51
Real, M. (2010). Secciones
Cónicas. https://repository.unad.edu.co/handle/10596/7690
Rondón, J. (2017). Algebra, Trigonometría y Geometría Analítica.
Bogotá D.C.: Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Páginas 237
– 265. https://repository.unad.edu.co/handle/10596/11583