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República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular Para la Educación
Universidad politécnica territorial Andrés Eloy Blanco
Barquisimeto- Lara
Plano numérico o plano cartesiano
Facilitador
Jose Lanoy
CI:28715833
Sección TU0122
Plano numérico o cartesiano
Se conoce como plano cartesiano, coordenadas cartesianas o sistema cartesiano, a dos
rectas numéricas perpendiculares, una horizontal y otra vertical, que se cortan en un punto
llamado origen o punto cero.
La finalidad del plano cartesiano es describir la posición o ubicación de un punto en el
plano, la cual está representada por el sistema de coordenadas.
El plano cartesiano también sirve para analizar matemáticamente figuras geométricas como
la parábola, la hipérbole, la línea, la circunferencia y la elipse, las cuales forman parte de la
geometría analítica.
Distancia entre dos puntos en el plano cartesiano
A partir de conocer la ubicación de dos puntos en el plano cartesiano, es posible determinar
la distancia que hay entre éstos. Cuando algún punto se encuentra en el eje de las x o de las
abscisas o en una recta paralela a éste eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor
absoluto de las diferencias de sus abscisas. (x 2 – x 1 ).
Ejemplo:
La distancia entre los puntos (–4, 0) y (5, 0).
Donde (-4) = x 1; 5 = x 2. Aplicando la fórmula es 5 – (–4) = 5 +4 = 9 unidades.
Lo mismo sucede con el eje de las ordenadas, cuando los puntos se encuentran ubicados
sobre el eje y (de las ordenadas) o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los
puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas. (y 2 – y 1 ).
Si los puntos se encuentran en cualquier lugar del plano cartesiano, se calcula mediante la
relación:
Para demostrar esta relación se deben ubicar los puntos P 1 (x 1 , y 1 ) y P 2 (x 2 , y 2 ) en
el sistema de coordenadas, luego formar un triángulo rectángulo de hipotenusa P 1 P 2 y
emplear el Teorema de Pitágoras.
Ejemplo:
Punto medio y sus coordenadas
El punto medio, es el punto que se encuentra a la misma distancia de otros dos puntos
cualquiera o extremos de un segmento. Si es un segmento, el punto medio es el que lo
divide en dos partes iguales.
Sean y los extremos de un segmento, el punto medio del
segmento viene dado por:
Tipos de ecuaciones en el plano numérico
Ecuación vectorial
En esta sección aprenderás a representar vectorialmente a todos los puntos
que pertenezcan a un plano llamado .
Para esto, necesitamos a un punto fijo del plano y a dos vectores con
direcciones distintas y llamados vectores
directores.
Los vectores y se denominan directores, ya que son los encargados de establecer las
direcciones para generar a los puntos del plano , dichos vectores se consideran en el
plano.
La construcción de la ecuación vectorial es la siguiente:
 Consideremos a como un punto de referencia del plano
 Consideramos a un vector en el plano que comienza en y termina en ,
dicho vector se puede construir de la siguiente manera
 Ahora, como y también pertenecen a y no tienen la misma dirección, es
posible encontrar a escalares y respectivamente, tales que sea posible crear a
los vectores y cuya suma sea , es decir:
Entonces con esta igualdad ya es posible comenzar a desarrollar:
es decir:
llegando a la ecuación en su forma vectorial de los elementos del plano :
Ecuaciones paramétricas del plano
Operando en la ecuación vectorial del plano llegamos a la igualdad:
Esta igualdad se verifica si:
obteniendo así las ecuaciones paramétricas del plano.
Ecuación general o implícita del plano
Un punto está en el plano si tiene solución el sistema:
Este sistema tiene que ser compatible determinado en las incógnitas y · Por tanto el
determinante de la matriz ampliada del sistema con la columna de los términos
independientes tiene que ser igual a cero.
Desarrollamos el determinante.
y si asignamos los valores:
Sustituimos:
si desarrollamos ahora llegamos a:
y con la siguiente igualdad:
obtenemos la ecuación general de plano:
Vector normal
Vamos a construir la ecuación de un plano usando otros elementos.
Primero consideremos a un vector perpendicular al plano llamado vector
normal , y además a un punto fijo del plano
Sea cualquier punto del plano.
Construimos al vector dirigido de a de la misma forma que anteriormente lo
hicimos:
tal vector es perpendicular a ya que pertenece a , y se consideró perpendicular a todo
vector del plano.
Entonces, por ser perpendiculares ambos vectores, su producto escalar vale cero:
de este modo también se puede determinar la ecuación general del plano, a partir de
un punto y un vector normal.
Ecuación canónica o segmentaria del plano
Sean , y tres vectores en el espacio por donde
pasa el plano que se encuentran sobre los ejes de referencia.
Construyamos a la ecuación de en su forma canónica partiendo de su forma general.
Supongamos que tenemos a la ecuación en su forma general del plano :
donde , , y son todos números reales distintos de cero.
De la ecuación general restemos de ambos lados a y posteriormente dividamos a ambos
lados entre , quedando así el proceso:
y si ahora estructuramos a las fracciones queda:
donde los denominadores coinciden exactamente con los valores , y de los vectores
en el espacio que se mencionaron inicialmente, de esta manera si:
entonces ya tenemos a la ecuación de en su forma canónica:
recuerda que , , y deben ser todos distintos de cero para evitar la
indeterminación.
Trazado de circunferencias
Una circunferencia queda determinada cuando conocemos:
a) Tres puntos de la misma, equidistantes del centro.
b) El centro y el radio.
c) El centro y un punto en ella.
d) El centro y una recta tangente a la circunferencia.
También podemos decir que la circunferencia es la línea formada por todos los puntos que
están a la misma distancia de otro punto, llamado centro.
Esta propiedad es la clave para hallar la expresión analítica de una circunferencia
(la ecuación de la circunferencia).
Entonces, entrando en el terreno de la Geometría Analítica, (dentro del Plano Cartesiano)
diremos que —para cualquier punto, P (x, y), de una circunferencia cuyo centro es el
punto C (a, b) y con radio r ─, la ecuación ordinaria es
(x ─ a) 2
+ (y ─ b) 2
= r 2
¿Qué significa esto?
En el contexto de la Geometría Analítica significa que una circunferencia graficada con un
centro definido (coordenadas) en el Plano Cartesiano y con radio conocido la podemos
“ver” como gráfico y también la podemos “transformar” o expresar como una ecuación
matemática.
Donde:
(d) Distancia CP = r
y
Fórmula que elevada al cuadrado nos da
(x ─ a) 2 + (y ─ b) 2 = r 2
¿Qué es una parábola?
La Parábola Es El Lugar Geométrico De Los Puntos Del Plano Que Equidistan De Un
Punto Llamado Vértice Y De Una Recta Llamada Bisectriz.
La Parábola Es El Lugar Geométrico De Los Puntos Del Plano Que Equidistan De Un
Punto Llamado Foco Y De Una Recta Llamada Directriz.
Que es la elipse
La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos
puntos fijos llamados focos es constante, esto es,
La ecuación de una elipse en posición estándar toma la forma
A la ecuación (1) también se le conoce como la ecuación reducida de la elipse de eje
horizontal, y si se le conoce como la ecuación reducida de la elipse de eje vertical.
Además, si el centro de la elipse no es el origen, entonces la ecuación de una elipse toma
la forma
donde el punto corresponde al centro de dicha elipse. Nuevamente, si la
elipse se encuentra en posición horizontal, y si la elipse se encuentra en posición
vertical.
La Hipérbola
Al igual que la elipse, la hipérbola también se puede definir como un conjunto de puntos en
el plano de coordenadas. Una hipérbola es el conjunto de todos los puntos (x , y ) ( x , y )
en un plano tal que la diferencia de las distancias entre ( x , y ) ( x , y ) y los focos es una
constante positiva.
Cónicas y formas estándar de las ecuaciones
Una sección cónica es la intersección de un plano y un cono recto circular doble. Por el
cambio del ángulo y la ubicación de la intersección, podemos producir diferentes tipos de
cónicas. Hay cuatro tipos básicos: círculos , elipse , hipérbolas y parábolas . Ninguna de las
intersecciones pasará a través de los vértices del cono.
Si el cono recto circular es cortado por un plano perpendicular al eje del cono, la
intersección es un círculo. Si el plano intersecta una de las piezas del cono y su eje, pero no
está perpendicular al eje, la intersección será una elipse. Para generar una hipérbola el plano
intersecta ambas piezas del cono sin intersectar el eje. Y finalmente, para generar una
parábola, el plano de intersección debe intersectar una pieza del cono doble y su base.
La ecuación general para cualquier sección cónica es
donde A, B, C, D, E y F son constantes.
Al cambiar los valores de alguna de las constantes, la forma de la cónica correspondiente
también cambiará. Es importante conocer las diferencias en las ecuaciones para ayudarnos
a identificar rápidamente el tipo de cónica que está representada por una ecuación dada.
Si B 2
– 4 AC es menor que cero, si existe una cónica, está puede ser un círculo o una
elipse.
Si B 2
– 4 AC es igual a cero, si existe una cónica, será una parábola.
Si B 2
– 4 AC es mayor que cero, si existe una cónica, será una hipérbola.
FORMAS ESTÁNDAR DE LAS ECUACIONES DE SECCIONES CÓNICAS:
circulo ( x – h ) 2
+ ( y – k ) 2
= r 2
El centro es ( h, k ).
El radio es r .
Elipse con el eje
horizontal mayor
El centro es ( h, k ).
La longitud del eje mayor es
2 a .
La longitud del eje menor es
2 b .
La distancia entre el centro y
cualquier foco es c con
c 2
= a 2
– b 2
, a > b > 0.
Elipse con el eje
vertical mayor
El centro es ( h, k ).
La longitud del eje mayor es
2 a .
La longitud del eje menor es
2 b .
La distancia entre el centro y
cualquier foco es c con
c 2
= a 2
– b 2
, a > b > 0.
Hipérbola con el eje
horizontal transversal
El centro es ( h, k ).
La distancia entre los vértices es
2 a
La distancia entre los focos es
2 c .
c 2
= una 2
+ segundo 2
Hipérbola con el eje
vertical transversal
El centro es ( h, k ).
La distancia entre los vértices es
2 a
La distancia entre los focos es
2 c .
c 2
= una 2
+ segundo 2
Parábola con el eje
horizontal
( y – k ) 2
= 4 p ( x –
h ), p ≠ 0
El vértice es ( h, k ).
El foco es ( h + p, k ).
La directriz es la recta x = h – p.
El eje es la recta y = k.
Parábola con el eje
vertical
( x – h ) 2
= 4 p ( y –
k ), p ≠ 0
El vértice es ( h, k ).
El foco es ( h, k + p ).
La directriz es la recta y = k – p .
El eje es la recta x = h.

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  • 1. República Bolivariana de Venezuela Ministerio del Poder Popular Para la Educación Universidad politécnica territorial Andrés Eloy Blanco Barquisimeto- Lara Plano numérico o plano cartesiano Facilitador Jose Lanoy CI:28715833 Sección TU0122
  • 2. Plano numérico o cartesiano Se conoce como plano cartesiano, coordenadas cartesianas o sistema cartesiano, a dos rectas numéricas perpendiculares, una horizontal y otra vertical, que se cortan en un punto llamado origen o punto cero. La finalidad del plano cartesiano es describir la posición o ubicación de un punto en el plano, la cual está representada por el sistema de coordenadas. El plano cartesiano también sirve para analizar matemáticamente figuras geométricas como la parábola, la hipérbole, la línea, la circunferencia y la elipse, las cuales forman parte de la geometría analítica. Distancia entre dos puntos en el plano cartesiano A partir de conocer la ubicación de dos puntos en el plano cartesiano, es posible determinar la distancia que hay entre éstos. Cuando algún punto se encuentra en el eje de las x o de las abscisas o en una recta paralela a éste eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de las diferencias de sus abscisas. (x 2 – x 1 ). Ejemplo: La distancia entre los puntos (–4, 0) y (5, 0). Donde (-4) = x 1; 5 = x 2. Aplicando la fórmula es 5 – (–4) = 5 +4 = 9 unidades. Lo mismo sucede con el eje de las ordenadas, cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y (de las ordenadas) o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas. (y 2 – y 1 ). Si los puntos se encuentran en cualquier lugar del plano cartesiano, se calcula mediante la relación:
  • 3. Para demostrar esta relación se deben ubicar los puntos P 1 (x 1 , y 1 ) y P 2 (x 2 , y 2 ) en el sistema de coordenadas, luego formar un triángulo rectángulo de hipotenusa P 1 P 2 y emplear el Teorema de Pitágoras. Ejemplo: Punto medio y sus coordenadas El punto medio, es el punto que se encuentra a la misma distancia de otros dos puntos cualquiera o extremos de un segmento. Si es un segmento, el punto medio es el que lo divide en dos partes iguales. Sean y los extremos de un segmento, el punto medio del segmento viene dado por:
  • 4. Tipos de ecuaciones en el plano numérico Ecuación vectorial En esta sección aprenderás a representar vectorialmente a todos los puntos que pertenezcan a un plano llamado . Para esto, necesitamos a un punto fijo del plano y a dos vectores con direcciones distintas y llamados vectores directores. Los vectores y se denominan directores, ya que son los encargados de establecer las direcciones para generar a los puntos del plano , dichos vectores se consideran en el plano. La construcción de la ecuación vectorial es la siguiente:  Consideremos a como un punto de referencia del plano  Consideramos a un vector en el plano que comienza en y termina en , dicho vector se puede construir de la siguiente manera  Ahora, como y también pertenecen a y no tienen la misma dirección, es posible encontrar a escalares y respectivamente, tales que sea posible crear a los vectores y cuya suma sea , es decir:
  • 5. Entonces con esta igualdad ya es posible comenzar a desarrollar: es decir: llegando a la ecuación en su forma vectorial de los elementos del plano :
  • 6. Ecuaciones paramétricas del plano Operando en la ecuación vectorial del plano llegamos a la igualdad: Esta igualdad se verifica si: obteniendo así las ecuaciones paramétricas del plano. Ecuación general o implícita del plano Un punto está en el plano si tiene solución el sistema: Este sistema tiene que ser compatible determinado en las incógnitas y · Por tanto el determinante de la matriz ampliada del sistema con la columna de los términos independientes tiene que ser igual a cero.
  • 7. Desarrollamos el determinante. y si asignamos los valores: Sustituimos: si desarrollamos ahora llegamos a: y con la siguiente igualdad: obtenemos la ecuación general de plano:
  • 8. Vector normal Vamos a construir la ecuación de un plano usando otros elementos. Primero consideremos a un vector perpendicular al plano llamado vector normal , y además a un punto fijo del plano Sea cualquier punto del plano. Construimos al vector dirigido de a de la misma forma que anteriormente lo hicimos: tal vector es perpendicular a ya que pertenece a , y se consideró perpendicular a todo vector del plano. Entonces, por ser perpendiculares ambos vectores, su producto escalar vale cero: de este modo también se puede determinar la ecuación general del plano, a partir de un punto y un vector normal.
  • 9. Ecuación canónica o segmentaria del plano Sean , y tres vectores en el espacio por donde pasa el plano que se encuentran sobre los ejes de referencia. Construyamos a la ecuación de en su forma canónica partiendo de su forma general. Supongamos que tenemos a la ecuación en su forma general del plano : donde , , y son todos números reales distintos de cero. De la ecuación general restemos de ambos lados a y posteriormente dividamos a ambos lados entre , quedando así el proceso:
  • 10. y si ahora estructuramos a las fracciones queda: donde los denominadores coinciden exactamente con los valores , y de los vectores en el espacio que se mencionaron inicialmente, de esta manera si: entonces ya tenemos a la ecuación de en su forma canónica: recuerda que , , y deben ser todos distintos de cero para evitar la indeterminación. Trazado de circunferencias Una circunferencia queda determinada cuando conocemos: a) Tres puntos de la misma, equidistantes del centro. b) El centro y el radio. c) El centro y un punto en ella. d) El centro y una recta tangente a la circunferencia. También podemos decir que la circunferencia es la línea formada por todos los puntos que están a la misma distancia de otro punto, llamado centro.
  • 11. Esta propiedad es la clave para hallar la expresión analítica de una circunferencia (la ecuación de la circunferencia). Entonces, entrando en el terreno de la Geometría Analítica, (dentro del Plano Cartesiano) diremos que —para cualquier punto, P (x, y), de una circunferencia cuyo centro es el punto C (a, b) y con radio r ─, la ecuación ordinaria es (x ─ a) 2 + (y ─ b) 2 = r 2 ¿Qué significa esto? En el contexto de la Geometría Analítica significa que una circunferencia graficada con un centro definido (coordenadas) en el Plano Cartesiano y con radio conocido la podemos “ver” como gráfico y también la podemos “transformar” o expresar como una ecuación matemática. Donde: (d) Distancia CP = r y Fórmula que elevada al cuadrado nos da (x ─ a) 2 + (y ─ b) 2 = r 2
  • 12. ¿Qué es una parábola? La Parábola Es El Lugar Geométrico De Los Puntos Del Plano Que Equidistan De Un Punto Llamado Vértice Y De Una Recta Llamada Bisectriz. La Parábola Es El Lugar Geométrico De Los Puntos Del Plano Que Equidistan De Un Punto Llamado Foco Y De Una Recta Llamada Directriz. Que es la elipse La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante, esto es,
  • 13. La ecuación de una elipse en posición estándar toma la forma A la ecuación (1) también se le conoce como la ecuación reducida de la elipse de eje horizontal, y si se le conoce como la ecuación reducida de la elipse de eje vertical. Además, si el centro de la elipse no es el origen, entonces la ecuación de una elipse toma la forma donde el punto corresponde al centro de dicha elipse. Nuevamente, si la elipse se encuentra en posición horizontal, y si la elipse se encuentra en posición vertical. La Hipérbola Al igual que la elipse, la hipérbola también se puede definir como un conjunto de puntos en el plano de coordenadas. Una hipérbola es el conjunto de todos los puntos (x , y ) ( x , y ) en un plano tal que la diferencia de las distancias entre ( x , y ) ( x , y ) y los focos es una constante positiva.
  • 14. Cónicas y formas estándar de las ecuaciones Una sección cónica es la intersección de un plano y un cono recto circular doble. Por el cambio del ángulo y la ubicación de la intersección, podemos producir diferentes tipos de cónicas. Hay cuatro tipos básicos: círculos , elipse , hipérbolas y parábolas . Ninguna de las intersecciones pasará a través de los vértices del cono. Si el cono recto circular es cortado por un plano perpendicular al eje del cono, la intersección es un círculo. Si el plano intersecta una de las piezas del cono y su eje, pero no está perpendicular al eje, la intersección será una elipse. Para generar una hipérbola el plano intersecta ambas piezas del cono sin intersectar el eje. Y finalmente, para generar una parábola, el plano de intersección debe intersectar una pieza del cono doble y su base. La ecuación general para cualquier sección cónica es donde A, B, C, D, E y F son constantes. Al cambiar los valores de alguna de las constantes, la forma de la cónica correspondiente también cambiará. Es importante conocer las diferencias en las ecuaciones para ayudarnos a identificar rápidamente el tipo de cónica que está representada por una ecuación dada. Si B 2 – 4 AC es menor que cero, si existe una cónica, está puede ser un círculo o una elipse. Si B 2 – 4 AC es igual a cero, si existe una cónica, será una parábola. Si B 2 – 4 AC es mayor que cero, si existe una cónica, será una hipérbola.
  • 15. FORMAS ESTÁNDAR DE LAS ECUACIONES DE SECCIONES CÓNICAS: circulo ( x – h ) 2 + ( y – k ) 2 = r 2 El centro es ( h, k ). El radio es r . Elipse con el eje horizontal mayor El centro es ( h, k ). La longitud del eje mayor es 2 a . La longitud del eje menor es 2 b . La distancia entre el centro y cualquier foco es c con c 2 = a 2 – b 2 , a > b > 0. Elipse con el eje vertical mayor El centro es ( h, k ). La longitud del eje mayor es 2 a . La longitud del eje menor es 2 b . La distancia entre el centro y cualquier foco es c con c 2 = a 2 – b 2 , a > b > 0. Hipérbola con el eje horizontal transversal El centro es ( h, k ). La distancia entre los vértices es 2 a La distancia entre los focos es 2 c . c 2 = una 2 + segundo 2 Hipérbola con el eje vertical transversal El centro es ( h, k ). La distancia entre los vértices es 2 a La distancia entre los focos es 2 c . c 2 = una 2 + segundo 2
  • 16. Parábola con el eje horizontal ( y – k ) 2 = 4 p ( x – h ), p ≠ 0 El vértice es ( h, k ). El foco es ( h + p, k ). La directriz es la recta x = h – p. El eje es la recta y = k. Parábola con el eje vertical ( x – h ) 2 = 4 p ( y – k ), p ≠ 0 El vértice es ( h, k ). El foco es ( h, k + p ). La directriz es la recta y = k – p . El eje es la recta x = h.