TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS. IGUALDAD, SIMETRÍA, SEMEJANZA, HOMOTECIA. DIBUJO TÉCNICO 1º BACHILLERATO

DT I. TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS. Igualdad, Traslación, Simetría, Giro, Homotecia, Semejanza, Escalas
TRANSFORMACIONES
GEOMÉTRICAS
IGUALDAD
SIMETRÍA
HOMOTECIA
SEMEJANZA
ESCALAS
Dibujo Técnico I. 1º Bachillerato

TRANSFORMACIONES
GEOMÉTRICAS
IGUALDAD SIMETRÍA HOMOTECIA
ESCALASSEMEJANZA
A A’
B B’
C C’
D D’
E E’
A A´
B´B
C´C
O
B
B’
C’C
A
A’
A
O
E
D
D’
C’
B’
E’
A’
C
B
1
1/2
a a/2
pieza original
pieza a escala
1:2

Conceptos fundamentales para entender el TEMA
RAZÓN
MOVIMIENTOS
Elementos dobles o invariantes
PROPORCIÓN
La razón de dos segmentos
de longitudes a y b, en este
orden, es el cociente de a
entre b:
a
b
Las transformaciones geomé-
tricas que conservan la forma
y el tamaño de la figura ori-
ginal reciben el nombre de
MOVIMIENTOS
Son aquellos elementos que
al aplicarles una transforma-
ción geométrica se transfor-
man en sí mismos.
La igualdad entre dos razones se llama PROPORCIÓN.
Cuatro segmentos longitudinales a, b, c y d son pro-
porcionales cuando, tomados de dos en dos, su razón
es la misma
a c
b d
Las transformaciones geométricas elementales, se
CLASIFICAN, SEGÚN LAS CARACTERÍSTICAS MÉTRICAS
de la figura transformada respecto al original en:
ISOMÉTRICAS: La figura transformada conserva magnitu-
des y ángulos de la original. También se denominan
MOVIMIENTOS DEL PLANO: IGUALDAD Y SIMETRÍA
ISOMÓRFICAS: La transformación sólo conserva la forma:
HOMOTECIA Y SEMEJANZA
ANAMÓRFICAS: La figura tansformada no mantiene la
forma del original: EQUIVALENCIA

A´
A
B
B´
O
IGUALDAD
TRASLACIÓN GIRO TRIANGULACIÓN
TRANSPORTE de ÁNGULOS
Y SEGMENTOSRADIACIÓNCOORDENADAS
A A´
B B´d
C C´
D D´
E E´
A
A´
B B´C´
D
D´
E
E´
A
A´ A2´
A2A´´ A2´´
B
B´ B2´
BB´´ B2´´
C´´ C2´´
D
D´ D2´
D2
D´´ D2´´
E
E´ E2´
E2
E´´ E2´´
C
C´ C2´
C2
A
AB
B
C
C
D
D
E
E
a
a
b
b
g
g
d
d
e
e
A A´
B B´
C C´
D D´
E E´
a a´
b b´
g g´
d d´
e e´

Relaciones de Proporcionalidad: IGUALDAD. Tipos de Procedimientos
TRIANGULACIÓN
A
A´
B B´
C
C´
D
D´
E
E´
Se trazan diagonales para descomponer la figura en
triángulos que se pueden transportar fácilmente
COORDENADAS
A
A´
A´
A
B
B´
A2´
A2A´´ A2´´
B
B´ B2´
BB´´ B2´´
C´´ C2´´
D
D´ D2´
D2
D´´ D2´´
E
E´ E2´
E2
E´´ E2´´
Se escogen los ejes, se determinan las coordenadas de todos los vértices, y se
trasladan al otro sistema de coordenadas
C
C´ C2´
C2
TRASLACIÓN
A A´
B B´d
C C´
D D´
E E´
Los puntos se desplazan paralelamente en la
misma dirección y sentido y a igual distancia.
El resultado es una figura igual a la inicial,
con los lados respectivos paralelos
GIRO
Se desplazan todos
sus vértices en sentido
circular y con la
misma amplitudO
Dos elementos cualesquiera son IGUALES cuando tienen sus lados y ángulos iguales y están dispuestas en el mismo orden.
Si, además, al superponer las dos figuras, coinciden exactamente y se confunden en una sóla,
decimos que son IDENTICAS

Relaciones de Proporcionalidad: IGUALDAD. Tipos de Procedimientos
Dos elementos cualesquiera son iguales cuando tienen la MISMA FORMA y la MISMA MEDIDA, de modo
que si se superponen, coinciden. Podemos trazar figuras iguales por los siguientes métodos:
RADIACIÓN TRANSPORTE DE ÁNGULOS
Y SEGMENTOS
A
A
A A´
B
B
B B´
C
C
C C´
D
D
D D´
E
E
E E´


 ´


 ´


 ´


 ´


 ´
Se traza una circunferencia en cualquier punto interior a la
figura. Luego se trazan rectas desde el centro de la circun-
ferencia a cada uno de los vértices. Por último, se trans-
portan a la nueva figura cada uno de los arcos y las distancias
de las rectas que van del centro a los vértices de la forma.
Se transportan todos los ángulos y los segmentos a la nueva figura
CADA UNO DE ESTOS MÉTODOS SE EXPLICARÁ PASO A PASO A CONTINUACIÓN

Traslación de una figura teniendo en cuenta que el punto A´ ya está situado en su nueva posición.
TRASLACIÓN
A
C
E
H
G
F
D
B
A´
I

1.Unimos el punto A con el A´ mediante un segmento
Cuando trasladamos una figura
DESPLAZAMOS TODOS
SUS VÉRTICES
EN SENTIDO RECTO A UNA
DETERMINADA DISTANCIA.
Por tanto, la distancia de cada vértice
al nuevo vértice desplazado
será siempre la misma (segmento r)
TRASLACIÓN
A
C
E
H
G
F
D
B
A´
I
r

A´
A
C
E
H
G
F
D
B
I
TRASLACIÓN
2. Trazamos paralelas al segmento anterior que pasen por cada uno de los
puntos de la figura que vamos a trasladar
r

A´
A
r
A´
C
E
H
G
F
D
B
I
TRASLACIÓN
3. Medimos con el compás el segmento r (distancia de A a A´)

A´
A
r
A´
B´
C
E
H
G
F
D
B
I
r
TRASLACIÓN
4. Trasladamos el segmento r, con el compás, sobre la paralela
trazada por B, así obtenemos el punto B´.

A´
A
A´
C
E
H
G
F
D
B
r
r
I´
I
B´
TRASLACIÓN
5. Repetimos el paso anterior por cada una de las paralelas restantes,
de esta forma obtendremos los puntos I´, D´, C´, F´, G´, E´ y H´.

A´
A
A´
C
E
H
G
F
ID
D´
B
r
r
I´
B´
TRASLACIÓN

A´
A
A´
C
C´
E
H
G
F
ID
D´
B
r
r
I´
B´
TRASLACIÓN

A´
A
A´
C
C´
F´
E
H
G
F
ID
D´
B
r
r
I´
B´
TRASLACIÓN

A´
A
A´
C
C´
F´
E
H
G
G´
F
ID
D´
B
r
r
I´
B´
TRASLACIÓN

A´A´
A
C
C´
F´
E
E´H
G
G´
F
ID
D´
B
r
r
I´
B´
TRASLACIÓN

A´A´
A
C
C´
F´
E
E´H
H´
G
G´
F
ID
D´
B
r
r
I´
B´
TRASLACIÓN

A´A´
A
C
C´
F´
E
E´H
H´
G
G´
F
ID
D´
B r
I´
B´
TRASLACIÓN
6. Por último, teniendo todos los puntos, sólo falta unirlos y
tendremos una figura IGUAL a la original pero TRASLADADA

GIRO
Giro de una figura utilizando como centro del giro el punto O. El punto A´ya está situado.
A
A´
C
E
F
D
B
O

GIRO
A
A´
C
E
F
D
B
O
F´
AF

GIRO
A
A´
C
E
F
D
B
O
F´

GIRO
A
A´
C
E
F
D
B
O
F´
AE
E´

GIRO
A
A´
C
E
F
D
B
O
F´
E´

GIRO
A
A´
C
E
F
D
B
O
F´
E´
D´ ED

GIRO
A
A´
C
E
F
D
B
O
F´
E´
D´

GIRO
A
A´
C
E
F
D
B
O
F´
E´
D´ C´
EC

GIRO
A
A´
C
E
F
D
B
O
F´
E´
D´ C´

GIRO
A
A´
C
E
F
D
B
O
F´
E´
D´ C´
B´
AB

TRIANGULACIÓN
TRIANGULAR una figura es
descomponer su superficie en
triángulos y posteriormente copiar
estos triángulos donde
corresponda.
Dada la figura ABCDE, realizar otra igual mediante el método de TRIANGULACIÓN.
A
C
D
E
B
POR TRIANGULACIÓN
A
A´
B B´
C
C´
D
D´
E
E´
Se trazan diagonales para descomponer
la figura en triángulos que se pueden
transportar fácilmente

TRIANGULACIÓN
1. Trazamos diagonales al polígono desde
uno de sus vértices, por ejemplo el A.
Así, conseguimos tres triángulos:
ABC, ACD y ADE
A
C
D
E
B

TRIANGULACIÓN
2. A continuación, se trasladan con el compás
las medidas de los lados y se van construyendo
los triángulos.
Para que la figura no nos quede girada,
comenzamos por trazar uno de los
lados paralelo al modelo, por ejemplo el
lado CD
A
C C´
D D´
E
B

TRIANGULACIÓN
3. Sobre el lado C´D´
construimos el
triángulo A´C´D´.
Para ello, trazamos
un arco CA desde C´
y otro DA desde D´.
Donde se cortan
ambos
arcos tenemos
el punto A´
A A´
C C´
D D´
E
B
CA
DA

TRIANGULACIÓN
4. Sobre el lado C´A´
construimos el
triángulo C´A´B´.
Para ello, trazamos
un arco CB desde C´
y otro AB desde A´.
Donde se cortan
ambos
arcos tenemos
el punto B´
A
C C´
CA
AB
CB
DA
D D´
E
B
A´
B´

TRIANGULACIÓN
5. Por último, hacemos lo mismo con el triángulo A´D´E´.
A
C C´
B´
CA
AB
CB
DA
AE
DE
D D´
E
B
A´
E´

TRIANGULACIÓN
6. Una vez tenemos todos los puntos, sólo queda repasar el polígono
con una línea de resultado
A
C C´
B´
CA
AB
CB
DA
AE
DE
D D´
E
B
A´
E´

REPRODUCCIÓN POR COORDENADAS
Este procedimiento consiste en reproducir las coordenadas de la
figura inicial sobre otros ejes
Los ejes de coordenadas son dos rectas
perpendiculares que permiten asignar
a cada punto del plano dos coordenadas
A = 5d
B = 2g
Dada la figura ABCD, realizar otra igual mediante el método de REPRODUCCIÓN POR COORDENADAS.
A
C
D
B
A
B
a b c d e f g h
1
2
3
4
6
5
7

1. Dibujamos los ejes perpendiculares sobre la figura dada.
Podemos hacer que coincidan con el punto B (el situado más
a la izquierda) y el punto D (el situado más abajo).
A
D
B
C

2. Se trazan perpendiculares a los ejes desde el resto de vértices,
así determinamos las coordenadas de cada uno
A
D
B
Cc1
c2
a1
a2

3. Se dibujan dos nuevos ejes de coordenadas donde
iremos trasladando las coordenadas anteriores con el compás
A A´
D
B
Cc1
c2
a1 a1´
a2 a2´

A A´
D
B B
Cc1
c2
a1 a1´
a2 a2´
DT I. TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS. Igualdad, Traslación, Simetría, Giro, Homotecia, Semejanza, EscalasDT I. TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS. Igualdad, Traslación, Simetría, Giro, Homotecia, Semejanza, Escalas

A A´
D
B B´
C C´c1
c2 c2´
a1 a1´
a2 a2´
c1´

A A´
D D´
B B´
C C´c1 c1´
c2 c2´
a1 a1´
a2 a2´

4. Una vez tengamos todos los vértices pasados por coordenadas
a los nuevos ejes, podemos trazar la nueva figura
A A´
D D´
B B´
C C´c1 c1´
c2 c2´
a1 a1´
a2 a2´

RADIACIÓN
Este procedimiento consiste en trazar una circunferencia dentro del polígono
y trazar radios en ella que se prolonguen hasta los vértices del polígono.
Luego, a partir de otra circunferencia igual iremos transportando los radios
trazados en la original para conseguir una figura igual.
Dada la figura ABCDEF, realizar otra igual mediante el método de RADIACIÓN.
A
C
D
E
F
B

RADIACIÓN
1. Trazamos una circunferencia dentro del polígono (donde queramos)
A
C
D
O
E
F
B

RADIACIÓN
2. Trazamos los radios de circunferencia que van hasta cada uno de
los vértices de la figura. Así, conseguimos los puntos 1, 2, 3, 4, 5 y 6.
A
C
D
O
E
F
B
1
4
5
6
3
2

RADIACIÓN
3. Trazamos una circungerencia O´ del mismo radio que O.
A
C
D
O O´
E
F
B
1
4
5
6
3
2

RADIACIÓN
4. Situamos uno de los puntos de la circunferencia O sobre la circunferencia O´,
por ejemplo el punto 1.
A
C
D
O
E
F
B
4
5
6
3
2
1
O´
1´

RADIACIÓN
A
C
D
O
E
F
B
4
5
6
3
2
1
O´
2´
1´
5. A partir del punto 1´, vamos transportando con el compás los arcos
que producen los radios en la circunferencia al cortarla:
Medimos del 1´ al 2´, del 2´ al 3´...

RADIACIÓN
5. A partir del punto 1´, vamos transportando con el compás los arcos
que producen los radios en la circunferencia al cortarla:
Medimos del 1´ al 2´, del 2´ al 3´...
A
C
D
O
E
F
B
4
5
6
3
2
1
O´
2´
1´
4´
6´
5´
3´

RADIACIÓN
6. Trazamos los radios que pasan por cada uno de los puntos 1´, 2´, 3´, ...
A
C
D
O
E
F
B
4
5
6
3
2
1
O´
2´
1´
4´
5´
6´
3´

RADIACIÓN
7. Transportamos con el compás las medidas
OA, OB, OC, OD, OE, Y OF sobre O´A´, O´B´, O´C´, ...
A
C
D
O
E
F
B
4
5
6
3
2
1
O´
2´
A´
1´
4´
5´
6´
3´

RADIACIÓN
A
C
D
O
E
F
B
4
5
6
3
2
1
O´
2´
B´
1´
4´
5´
6´
3´
A´

RADIACIÓN
A
C
D
O
E
F
B
4
5
6
3
2
1
O´
2´
1´
4´
5´
6´
3´
C´
B´
A´

RADIACIÓN
A
C
D
O
E
F
B
4
5
6
3
2
1
O´
2´
1´
4´
D´
5´
6´
3´
C´
B´
A´

RADIACIÓN
A
C
D
O
E
F
B
4
5
6
3
2
1
O´
2´
1´
4´
D´
5´
E´
6´
3´
C´
B´
A´

RADIACIÓN
A
C
D
O
E
F
B
4
5
6
3
2
1
O´
2´
1´
4´
D´
5´
E´
6´
F´
3´
C´
B´
A´

RADIACIÓN
8. Una vez hemos trasladado todos los radios y tenemos los nuevos
vértices de la figura, podemos trazarla
A
C
D
O
E
F
B
4
5
6
3
2
1
O´
2´
1´
4´
D´
5´
E´
6´
F´
3´
C´
B´
A´

TRANSPORTE DE ÁNGULOS Y SEGMENTOS
Este procedimiento consiste en reproducir lla figura copiando sus ÁNGULOS Y SEGMENTOS
Recuerda cómo se transporta un ángulo
de un lugar a otro:
Dada la figura ABCDE, realizar otra igual mediante el método de Transporte de ángulos y segmentos.
A
V
V
V
2
2
2´
1
1
1´
1´
b
b
b
a
a
a
a´
a´
a´
V´
V´
V´
Tenemos el ángulo de
vértice V para copiar
Trazamos un arco cual-
quiera desde V = 1, 2
Trazamos uno de los lados
del ángulo (si queremos
que esté en la misma dirección
hacemos una paralela)
Trazamos el mismo arco
V1 desde V´
Transportamos la distancia 1-2 sobre 1´, así obtenemos 2´.
Uniendo V´con 2´ obtenemos un ángulo igual al original
C
D
E
B

1. Comenzamos por copiar un segmento, por ejemplo el AB. Si quiero que la figura me
quede en la misma dirección, hago este lado paralelo al original
A
A´
B´
C
D
E
B

2. Trasladamos el ángulo B sobre el nuevo lado B´A´.
A
A´
B´
C
D
E
B

3. Trasladamos el segmento BC sobre el segmento trazado de ángulo B´.
A
A´
B´
C C´
D
E
B

4. Trasladamos el ángulo C y el segmento CD
A
A´
B´
C C´
D´D
E
B

5. Trasladamos el ángulo D y el lado DE.
A
A´
B´
C C´
D´
E´
D
E
B

A
A´
B´
C C´
D´
E´
D
E
B
6. Por último, unimos E´ con A´ y ya completamos la figura

En la simetría, las formas de las figuras mantienen las longitudes respectivas y la medida de
los ángulos.
Es, por tanto, una transformación ISOMÉTRICA (misma medida) e ISOMÓRFICA (misma forma).
Las posiciones de un punto A y su correspondiente A´, mantienen la misma distancia
respecto a una recta o a un punto, llamados EJE DE SIMETRÍA y CENTRO DE SIMETRÍA
respectivamente.
A
A
O
O
B
B´



´
´
´
A´
A´
ejedesimetría
Simetría respecto a un EJE
Simetría de la misma figura respecto
a un eje y a un punto:
Simetría respecto a un PUNTO
SIMETRÍA AXIAL SIMETRÍA RADIALSIMETRÍA CENTRAL
A
A
A
A´
A´
A´
B´
B´
B
B
C´C
O
SIMETRÍA

SIMETRÍA
La SIMETRÍA es un movimiento que mantiene invariable un punto o una recta.
Las figuras transformadas se llaman simétricas, y pueden ser idénticas o iguales a la original.
Dos figuras F y F’ son iguales si existe un movimiento que transforma F en F’.
Dos figuras idénticas son iguales, ya que la IDENTIDAD es un movimiento que transporta
una figura en sí misma. El recíproco no siempre es cierto, dos figuras iguales no tienen por
qué ser idénticas.
En la simetría axial, la figura que obtenemos tiene los mismos ángulos, los mismos lados y
en el mismo orden que la figura inicial, sin embargo, no pueden superponerse. Así pues,
son dos figuras iguales, pero no idénticas.
Por tanto, la IGUALDAD GEOMÉTRICA es un concepto diferente al de la IGUALDAD ALGEBRAICA.
Cuando decimos que dos números son iguales estamos afirmando que son un único y mismo número,
mientras que cuando decimos que dos figuras sean iguales no implica que puedan confundirse en una
única figura.
La identidad entre dos figuras F y F’ se denota como F F’, y
la igualdad entre dos figuras G y G’ se denota por G G’
IDENTIDAD E IGUALDAD

SIMETRÍA AXIAL
Dos puntos A y A’ son simétricos en
una simetría axial de eje e si están
sobre la misma recta perpendicular
al eje de simetría y además se veri-
fica que dichos puntos equidistan del
eje de simetría:
AA = A A’e e
r
r’
A
A’
Aee
A
 ´
A´
ejedesimetría
eje de simetría
En toda simetría axial se cumple:
 Las rectas simétricas se cortan en un
punto del eje de simetría.
 El eje es la mediatriz de los segmentos
que unen puntos simétricos y la bisectriz
del ángulo que forman dos rectas
simétricas.
 Las figuras que obtenemos mediante una
simetría axial son iguales, pero no
idénticas.
 La simetría axial es un movimiento
inverso del plano, es decir, INVIERTE
 el sentido de las figuras

SIMETRÍA AXIAL
SIMETRÍA AXIAL DE UNA FIGURA conocido el eje
Dada la figura ABCD y el eje de simetría e, trazar la figura simétrica
e
A
B
C
D

SIMETRÍA AXIAL
Se trazan perpendiculares
desde cada punto al eje de
simetría
e
A
B
C
D

SIMETRÍA AXIAL
Transportamos la misma
medida de AAe sobre la
perpendicular al otro lado
del eje, y obtenemos A’
e
A Ae A’
B’B
C
D

SIMETRÍA AXIAL
Hacemos lo mismo con el
resto de puntos
e
A A’
B’B
C
D

SIMETRÍA AXIAL
e
A A’
B
C
D
B’
C’
resto de puntos

SIMETRÍA AXIAL
e
A A’
B
C
D
B’
C’
D’
resto de puntos

SIMETRÍA AXIAL
Uniendo los puntos
obtenidos tenemos la
figura simétrica
e
A A’
B
C
D
B’
C’
D’

SIMETRÍA CENTRAL
Dos puntos A y A’ son simétricos en una simetría
central de centro O, si A, A’ y O se encuentran
sobre la misma recta, y además se cumple que A
y A’ equidistan del centro de simetría:
OA = OA’
A O A’
= =
En toda SIMETRÍA CENTRALse cumple:
 Cualquier recta que pase por el centro de
simetría se transforma en si misma, por ello
se llama RECTA DOBLE.
 Un ángulo cuyo vértice sea el centro de
simetría se transforma en su ángulo opuesto
por el vértice.
 Las figuras que obtenemos mediante una
simetría central son exactamente iguales.
 La simetría central es un movimiento
directo del plano que mantiene el sentido
de las figuras.
Los segmentos simétricos son PARALELOS.
Las rectas homólogas que no pasan por el
centro son paralelas
SIMETRÍA CENTRAL DE UN SEGMENTO
A
A’
O
B
B’
r
r’
s’
s

SIMETRÍA CENTRAL
SIMETRÍA CENTRAL DE UNA FIGURA conocido el centro de simetría
Dada la figura ABCD y el centro O de simetría, trazar la figura simétrica
O
A
B
C
D
E

SIMETRÍA CENTRAL
O
A
A’
B
C
D
E

SIMETRÍA CENTRAL
O
A
A’
E’
B
C
D
E

SIMETRÍA CENTRAL
O
A
A’
E’
D’
B
C
D
E

SIMETRÍA CENTRAL
O
A
A’
E’
D’
B
C
D
E
C’

SIMETRÍA CENTRAL
O
A
A’
E’
D’
B
C
D
E
C’
B’

SIMETRÍA CENTRAL
SIMETRÍA CENTRAL DE UNA FIGURA conocido uno de los puntos homólogos
Dada la figura ABCD y el punto A’, homólogo de A, hallar su simetría central
A
A’
B
C D

SIMETRÍA CENTRAL
A
A’
B
C D
Para hacer la simetría central necesitamos sacar el
centro de la misma. Como nos dan A y A´,
sabemos que el centro estará en la mediatriz del
segmento AA’. Así que primero nimos A con A’

SIMETRÍA CENTRAL
A
A’
B
C D
O
Hallamos la mediatriz de AA’, y en
en el punto medio de AA’ estará
el centro O de la simetría

SIMETRÍA CENTRAL
A
A’
D’
C’
B’
B
C D
O
A continuación realizamos la
simetría como se ha visto en
el caso anterior

SIMETRÍA CENTRAL
A
A’
D’
C’
B’
B
C D
O

HOMOTECIA
Una homotecia de centro O y razón k (k = 0),
es una transformación geométrica del plano
que a un punto A le hace corresponder otro
punto A’, alineado con O y A, de forma que:
OA’
k=
OA
Dos figuras son homotéticas si sus puntos
se corresponden en una homotecia.
LA HOMOTECIA es una
TRANSFORMACIÓN GEOMÉTRICA
ISOMÓRFICA (igual que la
semejanza), en la que SE MODIFICA
EL TAMAÑO pero NO LA FORMA
O
A
A’
B’B
C
D’

HOMOTECIA
RAZÓN
LA RAZÓN entre dos
segmentos homólogos en una
homotecia es constante e igual
a la razón de homotecia o
coeficiente de homotecia.
O
O
A
A’
A’
A
B’
B
B
B’
C
C’
C’
C
Según el valor de k, el tamaño de la figura
transformada es mayor o menor que la original, y su
posición es la misma que la inicial o queda
invertida.
k 1
k -1
0 k 1
-1 k 0
A’B’ OA’
k= =
AB OA
HOMOTECIA DIRECTA. k positiva HOMOTECIA INVERSA. k negativa
A
A
A’
A’
C’
C’
B
B
B’
B’
C
C

HOMOTECIA
DETERMINACIÓN DE LA HOMOTECIA
Una HOMOTECIA está determinada si disponemos de los siguientes datos:
O O O
B B B
B’ B’ B’
C’ C’ C’C C C
A A A
A’ A’ A’
k=3/2
EL CENTRO y DOS
PUNTOS HOMOTÉTICOS
EL CENTRO y LA RAZÓN
DE HOMOTECIA
DOS FIGURAS
HOMOTÉTICAS

HOMOTECIA
PROPIEDADES DE LA HOMOTECIA
Si k es POSITIVO, todos los puntos
homólogos quedan a un mismo lado
de O, y se llama homotecia directa;
SI k ES NEGATIVO, quedan a distinto
lado y se llama homotecia inversa
La homóloga de una recta r que pasa
por el centro de homotecia es ella
misma, r = r’, por eso se llama
RECTA DOBLE
La relación entre dos segmentos
homólogos AB y A’B’ es igual a la
razón de homotecia k. Si aplicamos
el Teorema de Thales se cumple que:
La homóloga de una recta s que no
pasa por el centro de homotecia es
una recta paralela s’
O
HOMOTECIA DIRECTA
HOMOTECIA INVERSA
A’
A
B B’
C’
C’
A’
A’
A’
A
A
A
B
B
B
s s’
D
C
r
r’s’
r=r’
s
D’
O
O
O
B’
B’
B’
C
O
B
B’
C’C
A
A’
A’B’ OA’ OB’
k= = =
AB OA OB

HOMOTECIA
Los ÁNGULOS HOMÓLOGOS  y ’
o  y ’ son iguales, puesto que sus
lados homólogos son paralelos
SEGMENTOS HOMOTÉTICOS
Dos segmentos paralelos cualesquiera AB y A’B’
son siempre homotéticos de dos centros O1 y O2
en una homotecia directa y en una homotecia
inversa, respectivamente.
Los centros de homotecia son las intersecciones
de las rectas que unen los extremos de los dos
segmentos
Si la razón de homotecia es k=1,
todos los puntos del plano son
dobles, homólogos de sí mismos, y la
transformación es una IDENTIDAD
Si la razón de homotecia es k=-1, la
transformación es una SIMETRÍA
CENTRAL de centro O
O
A=A’
B=B’
C=C’
D=D’
A’
A
B’
B

’
’

O
A’
A
B
O
B’
=
=
O1
O2
A’=Q’
A=P
B’=P’
B=Q

HOMOTECIA
CIRCUNFERENCIAS HOMOTÉTICAS
Dos circunferencias cualesquiera son siempre homotéticas respecto de dos centros O1 y O2 en una
homotecia directa e inversa, respectivamente.
Los centros de homotecia se hallan sobre la recta que une los centros de las circunferencias y se
determinan a partir de sus tangentes interiores y exteriores
C2 O2
O1
T3
T1
T2
T4
C1

SEMEJANZA
Dos figuras planas son semejantes o
proporcionales cuando tienen sus ángulos
iguales y sus lados proporcionales.
Los puntos que se corresponden en ambas
figuras se llaman homólogos, y la relación que
existe entre segmentos homólogos recibe el
nombre de
RAZÓN DE SEMEJANZA
k 1 : Figura semejante MAYOR que la original
k = 1: Figura semejante IGUAL que el original
k 1 : Figura semejante MENOR que la original
La semejanza puede ser DIRECTA o
INVERSA según mantenga o no ,
respectivamente, el sentido de la figura
plana original
A
A
A’
B
B’
C
C’
D
D’
A’
B
B’
C
C’
DD’
E
E’
k 1
k 1
directa
inversa

SEMEJANZA
Trazado de un pentágono semejante a otro dado sabiendo que la razón de semejanza es k= 1/2
A
DC
B E
1er PROCEDIMIENTO

SEMEJANZA
A
O
DC
B E
1er PROCEDIMIENTO
Dibujamos un punto O arbitrario
(donde queramos)

SEMEJANZA
A
O
DC
B E
1er PROCEDIMIENTO
Unimos mediante rectas cada uno
de los puntos de la figura con el
punto O

SEMEJANZA
A
O
D
D’
C
B
1
1/2
E
1er PROCEDIMIENTO
Hallamos la mitad (porque la razón es 1/2)
de la distancia de cualquier punto al punto
O, en este caso hemos cogido el punto D

SEMEJANZA
A
O
D
D’
C’
C
B
1
1/2
E
1er PROCEDIMIENTO
Una vez obtenido el punto D’, hacemos una
paralela al segmento CD que pase por D’.
Dicha paralela cortará a la recta CO en el
punto C’

SEMEJANZA
A
O
E
D
D’
C’
B’
C
B
1
1/2
1er PROCEDIMIENTO
Hacemos paralelas de todos los segmentos
de la misma manera que hemos hecho
con el primero, y así obtenemos el resto
de lados y vértices de la figura semejante

SEMEJANZA
A
O
E
D
D’
C’
B’
A’
C
B
1
1/2
1er PROCEDIMIENTO

SEMEJANZA
A
O
E
D
D’
C’
B’
E’
A’
C
B
1
1/2
1er PROCEDIMIENTO

SEMEJANZA
A
DC
B
2º PROCEDIMIENTO
E
1
1/2
Consiste en hallar la razón de semejanza en
uno de los lados de la figura (en este caso
1/29, y luego, mediante paralelas ir
trazando el resto de la figura

SEMEJANZA
Trazado de un cuadrilátero semejante a otro dado sabiendo que la razón de semejanza es k=-2/3
A
D
C
B

SEMEJANZA
A
D
O
C
B
Colocamos un punto O cualquiera

SEMEJANZA
A
D
O
C
B
1
2
3
Dividimos la distancia AO en tres partes iguales
mediante el Teorema de Thales

SEMEJANZA
A
A’
D
O
C
B
1
2
3
Haciendo centro en O trazamos un arco de radio dos
de las tres partes en que hemos dividido AO.
Así obtenemos A’

SEMEJANZA
A
A’
D
O
C
B
1
2
3
B’
SEMEJANZA
A
A’
D
O
C
B
1
2
3
Ahora, mediante paralelas vamos sacando los lados y vértices de
la figura. Trazando una paralela a BA desde A’, cortaremos la
prolongación de la recta BO y obtendremos el vértice B’

SEMEJANZA
A
A’
B’
C’
D
O
C
B
1
2
3
Trazando una paralela a CB desde B’, cortaremos la
prolongación de la recta CO y obtendremos el vértice C’

SEMEJANZA
A
A’
B’
C’
D’
D
O
C
B
1
2
3
Trazando una paralela a CD desde C’, cortaremos la
prolongación de la recta DO y obtendremos el vértice D’.
Si unimos A’B’C’D’ obtenemos la figura semejante

ESCALAS
La ESCALA es la relación
entre las longitudes dibujadas
y sus correspondientes reales
La escala se representa mediante una fracción en la que el numerador
corresponde al dibujo y el denominador a la realidad.
Se puede expresar de dos maneras. Ej: Escala 2/1 o Escala 2:1
Escala 2:1 quiere decir que lo que en la realidad mide uno, en el dibujo
ha de medir 2, el doble.
Hay tres tipos de escalas:
ESCALA NATURAL
ESCALAS DE REDUCCIÓN
ESCALAS DE AMPLIACIÓN
Dibujar un objeto a escala significa hacer una figura SEMEJANTE donde
la RAZÓN DE SEMEJANZA es la escala.
ESCALA = DIBUJO
REALIDAD

ESCALAS
Son aquellas en las que el dibujo obtenido es
siempre inferior a la realidad. Ej: Escala 1:2
Son aquellas en las que el dibujo obtenido es
siempre superior a la realidad. Ej: Escala 3:1
La pieza dibujada está realizada a escala 1:2,
es decir, está reducida a la mitad del tamaño real
La pieza dibujada está realizada a escala
3:1, es decir, está ampliada al triple del
tamaño real
ESCALAS DE REDUCCIÓN ESCALAS DE AMPLIACIÓN
a a/2
pieza original
pieza a escala
1:2
a
ax3

3 cm
ESCALAS
Es una recta graduada que acompaña al dibujo y permite reducir las medidas reales midiéndolas sobre el dibujo
Ejemplo de trazado de escala gráfica. ESCALA 3:5
1. Basándonos en el Teorema de Thales, trazamos una recta d, en la que obtendremos las medidas a escala, y
una recta auxiliar r, que parta de d con el ángulo que decidamos nosotros. Sobre la recta d y a partir del punto 0
(donde se cortan r y d ) hemos de marcar la medida que indique el numerador de la escala (3 cm).
ESCALA GRÁFICA
d (Dibujo)
E = 3/5
r (realidad)

ESCALAS
2. Sobre la recta r trazamos las medidas reales que nos indica el denominador de la escala (en este caso 5 cm)
ESCALA GRÁFICA
1
2
3
4
5
3 cm
d (Dibujo)
E = 3/5
r (realidad)

ESCALAS
3. Unimos la 5ª división con el extremode los 3 cm que hemos marcado sobre d. A continuación, aplicamos el
Teorema de Thales. Así, los tres cm de d quedan divididos en 5 partes iguales.
ESCALA GRÁFICA
0
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
3 cm
d (Dibujo)
E = 3/5
r (realidad)

ESCALAS
4. Una vez obtenidas las cinco unidades a escala, realizamos la CONTRAESCALA. Esta contraescala se
realiza aplicando el Teorema de Thales sobre una unidad a escala (sobre el segmento d). Se puede colocar a
la izquierda del 0. Consiste en dividir una de las nuevas unidades a escala 3/5 en 10 partes iguales.
ESCALA GRÁFICA
0
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
3 cm
CONTRAESCALA
d (Dibujo)
E = 3/5
r (realidad)

ESCALAS
ESCALA VOLANTE
Consiste en dibujar la escala que hemos obtenido en una tira de papel o cartulina para poder
trabajar con ella y medir dibujos que estén realizados a dicha escala para traducirlos a
milímetros
ESCALA GRÁFICA
0
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
3 cm
CONTRAESCALA
d (Dibujo)
E = 3/5
r (realidad)
0 1 2 3 4 5

ESCALAS
ESCALA TRANSVERSAL
10
10
9
9
9
8 s
r8
8
7
1,47 dm= 2,57 m
2,34 dm
7
7
6
6
6
5
5
5
4
4
4
3
3
3
2
2
2
1
1
1
0
0 1 dm
4 cm reales
2 dm 3 dm
0
Con esta escala podemos apreciar, no solo las décimas de unidad, sino incluso las centésimas.
Como ejemplo, usamos la escala 2:5. Trabajaremos con decímetros. 1dm x 2/5 = 0,4 dm = 4 cm. Por tanto, 4 cm es la unidad (1 dm)
reducida en la escala 2:5. Hasta ahora hemos aplicado lo aprendido a la hora de hacer la escala gráfica.
Sobre una recta r se lleva la unidad reducida tantas veces como sea posible , enumerando las divisiones tal como se indica en el dibujo:
0, 1, 2, 3...
La primera de estas divisiones, entre los puntos 0 y 10, se divide a su vez en 10 partes iguales utilizando el Teorema de Thales. Esta es la
contraescala. Luego se trazan 10 rectas paralelas a la recta r con distancias iguales entre sí.
Se trazan rectas perpendiculares a r a la distancia de cada unidad (cada dm) que corten a las otras 10 rectas.
En la recta s, última de las 10 paralelas, se construye la contraescala de nuevo.
Se unen los puntos de división de las contraescalas de r y s de la siguiente manera: el 0 de r con el 1 de s, el 1 de r con el 2 de s,...
La forma de utilizar la escala transversal consiste en hacer coincidir uno de los extremos de la medida con una división entera de alguna de
las rectas paralelas, observando que el otro extremo de la magnitud coincida de forma exacta con alguna de las divisiones de la contraescala.
La división entera indica las unidades, la división de la contraescala las décimas y el número de la recta paralela indica las centésimas de
unidad.

ESCALAS
TRIÁNGULO UNIVERSAL DE ESCALAS
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ESCALA NATURAL. E 10:10 = 1:1
E 9:10
E 11:10
E 12:10 = 6:5
E 13:10
E 14:10 = 7:5
E 15:10
E 8:10 = 4:5
E 7:10
E 6:10 = 3:5
E 5:10 = 1:2
E 4:10 = 2:5
E 3:10
E 1:10
E 2:10 = 1:5
1. Construimos el TRIÁNGULO RECTÁNGULO ABC, con 100 mm de
longitud cada cateto.
2. Prolongamos el cateto AC y la hipotenusa AB
3. Dividimos los catetos AC y BC en 10 partes iguales
4. Trazamos paralelas por los puntos de división del cateto AC
5. Unimos los puntos de división del cateto BC con el vértice A y
dividimos en diez partes iguales las paralelas.
Así se obtienen diversas
ESCALAS DE REDUCCIÓN:
1:10; 1:5; 1:2.
Al prolongar las rectas que concurren
en A y trazar más paralelas al lado
BC, que representa la
ESCALA NATURAL,
y a igual distancia que las anteriores,
obtenemos diversas
ESCALAS DE AMPLIACIÓN:
11:10; 6:5...
A
CB
ESCALASAMPLIACIÓNESCALASREDUCCIÓN

ESCALAS
Conversión de escalas
De fracción ordinaria a fracción decimal
De fracción decimal a fracción ordinaria
Elección de la Escala
4
Se divide el numerador por el denominador. Así, 4:5 = = 0,8 ESCALA 0,8
5
2 1
Reducimos la fracción decimal a fracción quebrada. Así, 0,2 = = = 1:5 ESCALA 1:5
10 5
Siempre que sea posible debe adoptarse la escal 1:1. aunque, para la claridad de
algunos detalles, han de emplearse otras.
Debe elegirse la escala más adecuada en función de las dimensiones de la pieza y del
formato utilizado, de manera que resulte un dibujo agradable y en el que puedan
apreciarse claramente los detalles.

Ejercicios de Simetria
Completa esta figura mediante SIMETRÍA AXIAL

Completa esta figura mediante SIMETRÍA AXIAL MÚLTIPLE

R
R
R
R
1

R
R
1 1´

1 1´
R
R

1 1´

1 1´
R
R
R
R

R
R
R
R

Completa esta figura mediante SIMETRÍA CENTRAL
O

O
1
1´

O
1
1´
2´
2

O
1
1´
2´ 3´
3 2

O
1
1´
2´ 3´
4´
4
3 2

O
1
1´
2´ 3´
4´ 5´
5 4
3 2

O
1
1´
2´ 3´
4´ 5´
6´
6
5 4
3 2

O
1
1´
2´ 3´
7´
7
4´ 5´
6´
6
5 4
3 2

O
1
1´
2´ 3´
7´
7
8
8´
4´ 5´
6´
6
5 4
3 2

9
O
1
1´
2´ 3´
7´
7
8
8´
9´
4´ 5´
6´
6
5 4
3 2

O
1
1´
2´ 3´
7´
7
8
8´
9´
9
4´ 5´
6´
6
5 4
3 2

Ejercicios de TRASLACIÓN
Traslada la circunferencia de centro O siguiendo la dirección d hasta que sea tangente a la recta r
O
d

O
d
T

O
d
T T´

O O´
d
T T´

Trasladar el segmento AB de manera que en su punto medio, sea tangente a la circunferencia de centro O
O
A
B

O
AT
B

O
A
B
T
M
mediatriz

O
A
A´
B
B´
T
M
mediatriz

Con centro en V girar la circunferencia O hasta que sea tangente a la recta s
Ejercicios de GIRO
s
O
V

Ejercicios de GIRO
s
O
V
r
r

Ejercicios de GIRO
s
O
O´
V
r
r

Aplica un giro múltiple girando este motivo 90º, 180º y 270º
Ejercicios de GIRO
V
90º

Ejercicios de GIRO
V
180º

Ejercicios de GIRO
V
270º

Haciendo centro en V, girar 60º la figura
Ejercicios de GIRO
V

Ejercicios de GIRO
V
60º
A
A´

Ejercicios de GIRO
V
60º
A
B
A´

Ejercicios de GIRO
V
60º
A
BA´

Ejercicios de GIRO
V
60º
A
BB´ A´
AB

Con centro en V girar r hasta conseguir r´y r´´, paralela y perpendicular, respectivamente, a la recta s.
Ejercicios de GIRO
r
V
s

Ejercicios de GIRO
r
V
s T

Ejercicios de GIRO
r
V
s
T´
T

Ejercicios de GIRO
r
V
s
T´
T
T´´

Transformar la figura según una simetría de eje e y un giro de 120 º de centro O
e
O
Ejercicios de PRODUCTO DE TRANSFORMACIONES

Transformar la figura según una simetría de eje e y un giro de 120 º de centro O
e
O
120º

Trasladar 80 mm horizontalmente la figura a la derecha y al resultado aplicar una simetría
inversa de razón -2 con centro O
O

Trasladar 80 mm horizontalmente la figura a la derecha y al resultado aplicar una simetría
inversa de razón -2 con centro O
O
80 mm
80 mm

A la figura semejante inversa, según el centro O, de la dada, hallar una simetría según el eje e
O
e

O
e

TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS. IGUALDAD, SIMETRÍA, SEMEJANZA, HOMOTECIA. DIBUJO TÉCNICO 1º BACHILLERATO

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