2. Método empleado para encontrar una solución particular de una ecuación lineal no homogénea, o también dicho una suposición inteligente que solo se aplica a una clase restringida de ecuaciones.
3. Este método se aplica cuando la función f(x) es una combinación lineal de productos (finitos) de funciones tales que derivadas den el mismo tipo de función. Son ellas: Polinomios en x Función exponencial Combinaciones lineales de cos(x) y sen(x)
4. La ecuación lineal general no homogénea de orden n con coeficientes constantes tiene la forma: (1) Una solución general de la anterior ecuación es: En la función complementaria es una solución general de la ecuación general asociada
5. Y es una solución particular de la ecuación 1. Algunas propuestas de soluciones particulares. = Ax+B. (x) = Ax2 + Bx+ C (x) = (Ax+ B) (x) = Asen 3x + B cos 3x
6. Ejemplo Utilizando el método de coeficientes indeterminados, calcular una solución particular y escribir la solución general de la E.D. y ’’ − 4y’ + 4y = 12x² − 40x + 42 Primero se obtiene la solución general de la E.D. homogénea asociada (solución complementaria (x)): y ’’− 4y’ + 4y = 0 Proponiendo y = se obtiene μ2 − 4μ+ 4 = (μ − 2)2 = 0
7. Proponiendo y = se obtiene μ2 − 4μ+ 4 = (μ − 2)2 = 0 Cuya solución es μ = 2, de multiplicidad 2, entonces = c1 + c2x = (c1 + c2x) Se obtiene una solución particular (x) de la no homogénea. y’’-4y’ +4y=12x2-40x+42 Aquí el termino no homogéneo es un polinomio de grado 2, además se tiene a y con coeficiente 4 diferente de 0. Se propone una solución particular a (x)= Ax2+Bx+C
8. Con A, B, C coeficientes a determinarse. Si = Ax² + Bx+ C = 2Ax + B = 2A Sustituyendo en − 4 + 4 = 12x² − 40x + 42, se obtiene 2A − 4(2Ax + B) + 4(Ax2 + Bx+ C) = 12x² − 40x + 42 Asociando respecto a x (4A) x² + (−8A + 4B) x + (2A − 4B + 4C) = 12x² − 40x + 42 Igualdad que se cumple cuando 4A = 12 −8A + 4B = −40 2A − 4B + 4C = 42
9. Sistema de ecuaciones que tiene por solución a A = 3, B = −4 y C = 5 Entonces, la solución particular es (x) = 3x2 − 4x + 5 Por lo tanto, la solución general es y = (x) + (x) y = 3x² − 4x + 5 + (c1 + c2x) Referencias: http://canek.uam.mx/Ecuaciones/CoIndeterminados/E0100.pdf
