Coeficientes Indeterminados, metodo de superposicion

1. Ecuaciones Diferenciales de Coeficientes Indeterminados

2. Para resolver un sistema de ecuaciones por el teorema de coeficientes indeterminados tenemos dos métodos para la resolución del mismo. EL primer método es el Método de Superposición y el segundo es llamado Método del Anulador. A continuación seguiremos a explicar cada uno de ellos.

3. Método de Superposición Este método nos permite encontrar una solución particular yp(x) para las ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden de la forma: donde a, b, c son constantes y

4. El método es aplicable también cuando la función consiste de una suma y productos finitos de funciones polinomiales, exponenciales, trigonometricas. Asimismo, pueden considerarse ecuaciones diferenciales no homogéneas con coeficientes constantes de orden superior. El enfoque del método de coeficientes indeterminados que se presenta esta esencialmente basado en tres principios u observaciones que la práctica de derivación de funciones nos ha enseñado. Y los tre principios son : 1.-Cuando derivamos un polinomio, el grado de éste disminuye en uno. Si g(x) = bkxk+bk-1xk-1 +…..+b1X+bQ entonces g‘(x) = kbkxk-1 + (k-1)bk-1xk-2 +…… + b1. Evidentemente si derivamos dos veces p, su grado disminuye en dos. 2.- Al derivar una función exponencial, la función "casi no cambia". Si g(x) = eax entonces g'(x) — aeax — ag(x). La derivada es casi la función g (salvo por la constante multiplicativa a).

5. 3.-Si derivamos g{x) = senmx pasamos al coseno: g'{x) = m cosmx. Si derivamos g{x) = cosmx pasamos al seno: g'{x) = —m senmx. Si derivamos dos veces g{x) = senmx regresamos casi a g(x), g"(x) =-m2 senmx. Si derivamos dos veces g(x) = cosmx regresamos casi a g(x), g"{x) = -m2cosmx. Luego, es razonable pensar que una solución particular tendrá la misma forma que g(x), excepto cuando g es una solución de la ecuación homogénea. En esencia, el método consiste en proponer una solución particular que contenga uno o más coeficientes desconocidos. Entonces sustituimos esta solución propuesta en la ecuación diferencial y escogemos los coeficientes de tal manera que la función efectivamente satisfaga la ecuación.

6. Algunos casos especiales para hallar una solución particular , dependiendo de la forma de g{x). CASO I. g(x) = Pn(x) = anxn + an-1xn-1+ …+ a1x + a0. En este caso la ecuación diferencial toma la forma: Proponemos una solución particular de la forma: Sustituyendo yp, y'p y y´´p en Resulta:

7. O equivalentemente : y comparando coeficientes obtenemos elsistema de ecuaciones : Si c ≠ O de la primera ecuación determinamos An y de las restantes los demás coeficientes. Si c =0 pero b≠0, el polinomio en el miembro izquierdo es de grado n — 1 y dicha ecuación no puede satisfacerse. Así que si c = 0 proponemos: y procedemos como antes para determinar An, An-1 , . . . , A0. Nótese además que si c = 0 una constante es solución de la ecuación diferencial homogénea.Si tanto b = 0 como c = 0 (1 y x son soluciones de la homogénea), se propone: aunque ahora la ecuación diferencial puede integrarse directamente.

8. CASO II. g(x) = eaxPn(x), donde Pn(x) es un polinomio de grado n. Tenemos ahora la euación: Son posibles los siguientes subcasos. a) a no es una raíz de la ecuación auxiliar En este caso, es preciso hallar una solución particular de la forma: En efecto, introduciendo yp, y'v y y^ en y dividiendo por eax se sigue que: Ya que grado (Qn(x)) = n, grado(Qn´(x)) = n - l y grado(Qn´´(x)) = n - 2, los polinomios en ambos miembros son de grado n. Igualando los coeficientes de las mismas potencias de x se obtiene un sistema de n+1 ecuaciones que determina los valores de An, A n-1, . . . , A0.

9. CASO III. g{x) = P(x)eaxCosβx + Q(x)eaxsenβ x, donde P(x) y Q(x) son polinomios. Podemos examinar este caso en forma análoga al caso II, usando que: por lo cual : Y considerando de manera independiente las partes real e imaginaria, podemos hallar soluciones que no contengan números complejos de la siguiente forma: a) Si α + i β no es raíz de la ecuación auxiliar, buscamos una solución particular de la forma: donde u(x) y v{x) son polinomios cuyo grado es igual al mayor de los grados de P(x) y Q(x). b) Si α + i β es raíz de la ecuación auxiliar, hacemos:

10. Finalmente enfatizamos que las formas propuestas y , para la solución particular, también son válidas cuando P(x) = 0 o Q(x) = 0 y en el caso particular cuando a =0 o b= 0.

11. EJEMPLO 1. Resolver La solución general tiene la forma y = yc + yP, donde yc es la solución general de la ecuación homogénea y yp es una solución particular de La ecuación auxiliar de es r2 + 3r + 2 = 0, cuyas raíces son r = -1 y r 2 =- 2 yc(x) = c1xe-x + c2e-2x Por otra parte, proponemos una solución particular de la forma ya que el lado derecho de (4.36) es un polinomio de grado 2 y 0 no es raíz característica. Tenenemos que y'p= B + 2Ax, y'‘p = 2Ay sustituyendo en , resulta

12. Comparando coeficientes en la última igualdad obtenemos el sistema de ecuaciones lineales: del cual se sigue que Así que y la solución general es

13. Método del anulador Introducción La solución general de una ecuación diferencial no homogénea de n-esimo orden en un intervalo I puede expresarse como: y = c1y1(x) + c2y2(x) + …. + cnyn(x) + yp donde y1; y2; ….; yn conforman un conjunto fundamental de soluciones de la ecuacionhomogenea relacionada (su combinacion lineal recibe usualmente el nombre de funcion complementaria, yc), c1; c2; ….; cn son constantes arbitrarias y yp es cualquier solucion particular de la ecuacion diferencial.

14. De conocimientos previos se sabe que la función complementaria puede encontrarse resolviendo la ecuación diferencial lineal homogénea relacionada. Resta entonces, para encontrar la solución general del problema, encontrar una solución particular al mismo. Y es aquí, en la obtención de la forma de la solucion particular, en donde puede utilizarse un operador anulador. Luego, para hallar los factores que dan pie a la solución particular explicita, puede usarse el método de coefientes indeterminados.

15. Para entender este método es necesario recordar el uso del operador diferencial D, que representa dy=dx, y de un operador diferencial de n-esimo orden (también operador polinomio) que se define como: L = an(x)Dn + an-1(x)Dn-1 + …+ a1(x)D + a0(x) De esto que podamos escribir una ecuación diferencial lineal de n-esimo orden con coeficientes constantes como: L(y) = (anDn + an-1Dn-1 + …+ a1D + a0)y = g(x)

16. Desarrollo Sea una ecuacion diferencial : Donde b es una solucion de la ecuacion diferencial homogenea M(y) = 0 con coecientes constantes. Esto implica que b(x) debe ser una combinacion lineal de terminos de tipo P(x)eax, donde P es un polinomio y a es una constante (notese que a es una constante no necesariamente real, por lo que, segun la ecuacion de Euler, podra dar paso a funciones con senos y cosenos involucrados). L(y) = b(x) (1)

17. Luego, supongase que L y M son ecuaciones diferenciales lineales con coecientes contantes y son, respectivamente, de orden n y m. Luego, sea yp una solucion de (1). Dado que M(b) = 0, Lo que implica que yp es una solucion de la ecuacionhomogenea M(L(y)) = 0 de grado m + n con coefecientes contantes. Por tanto, yp puede expresarse como una combinacion lineal (no cualquiera, por supuesto) de m + n soluciones de M(L(y)) = 0 linealmente independientes. Y las soluciones de una ecuacion diferencial homogenea de coecientes constantes como esta se encuentran con procedimientos algebraicos. M(L(yp)) = M(b) = 0

18. Ejemplo 1 Encuentre la forma de la solucion de y ´´´- 9y = 54. El polinomio característico de la ecuación homogénea relacionada tiene como raíces m1 = 3 y m2 = -3, de donde la funcion complementaria viene dada por yc = c1e3x + c2e-3x. Del lado derecho de la ecuacion notamos que b(x) = 54, y por tanto el operador M(y) = Dy hace cero a b(x). Por otro lado, podemos expresar a L(y) en este ejemplo como L(y) = (D2 - 9)y. Luego, observamos que M(L(y)) = ML(y) = D(D2-9)y = D(54) = 0 y las raices del polinomio caracterstico de esta nueva ecuacion diferencial homogenea son m1 = 0, m2 = 3 y m3 = -3. Por tanto, una solucion de esta ecuaciondebera tener la forma y = c1 +c2e3x +c3e-3x. Pero los terminos que involucran a e3x y a e-3x se encuentran repetidos, por lo que se elminan. Por tanto, la forma de la solucion particular es yp = A

19. Es necesario notar que al encontrar M hemos determinado un operador que anula a b (de ah el nombre de metodo del anulador). Usualmente este operador M, por estar hablando de ecuaciones diferenciales, consistira en una combinacon de operadores diferenciales de un orden dado por la ecuacion diferencial, que cumple con las caractersticas de un operador lineal y las descritas en la Introduccion.

20. Tabla de anuladores Como se menciona en la seccion anterior, el metodo requiere que la funcion de entrada b(x) sea solucion de una ecuacion diferencial homogene a de coecientes constantes M(y) = 0 y por tanto sea una suma de terminos del tipo P(x)eax. De esto se elabora la siguiente tabla con los anuladores de distintas funciones:

21. Pasos del método del anulador. Se supone que una ecuación diferencial tiene coeficientes , y la función b(x) consiste en sumas y productos finitos de constantes, polinomios, funciones exponenciales eax, funciones trigonometricas. Encuentrelafuncion complementaria yc para la ecuacionhomogenea L(y) = 0. 2. Opere ambos lados de la ecuacion no homogenea L(y) = b(x) con un operador diferencial M1 que anule la funcion b(x) . 3. Determine la solucion genera de la ecuacion diferencial homogenea de orden superiorM1L(y) =0.

22. 4. Elimine de la solucion del paso 3 los terminos que se duplican en la solucion complementaria yc encontrada en el paso 1. Forme una combinacion lineal yp de los terminos restantes. Esta es la forma de una solucion particular de L(y) = b(x). 5. Sustituya yp encontrada en el paso 4 en L(y) = b(x). Iguale los coecientes de las distintas funciones en cada lado de la igualdad y resuelva el sistema resultante de ecuaciones a n de determinar los coecientes desconocidos de yp. 6. Con la solucion particular encontrada en el paso 5, forme la solucion general y = yc + yp de la ecuaciondiferenial que se proporciona.

23. Comparación con otros métodos A continuación se describen, aunque no en cuadro comparativo, algunas ventajas/desventajas entre los distintos métodos: La desventaja mas obvia del procedimiento de hallar coeficientes indeterminados luego de hallar un anulador es la limitación que existe con respecto a las funciones de entrada. El método de superposición cuenta con el mismo problema. En contraste, el método de variación de parámetros siempre produce una solución particular, si es posible resolver la ecuación homogenea relacionada a la ecuación diferencial. Sin embargo, el método de variación de parámetros involucra el calculo de determinantes de matrices de funciones y luego requiere integrar funciones que pueden tornarse realmente complicadas. En contraste, los métodos del anulador y de superposición reducen el problema a términos algebraicos.