Ecuaciones diferenciales

1. ECUACIONES
DIFERENCIALES
Materia: Matemáticas III
Docente: Molloacana Gabriel
Autor: Narváez Aysha

2. INDICE
INTRODUCCIÓN (U 1)
Introducción a las ecuaciones diferenciales
Tipos
Solución de una ecuación diferencial e intervalo de definición
Soluciones explicitas e implícitas
Familia de soluciones
Solución particular-Problemas con PVI
Campo de dirección

3. INDICE
ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN (U 2)
Ecuaciones de variables separables
Factor de integración
Variación de la Constante
Ecuaciones diferenciales Exactas
Ecuaciones Homogéneas
Ecuación de Bernoulli
Ecuación de Riccati
Aplicaciones de EDO de 1°orden

4. INDICE
ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN (U 3)
 Ecuaciones lineales de segundo orden ordinarias
 Funciones linealmente independientes y dependientes. Wronskiano
 Teorema de existencia y unicidad
 Problemas con valor inicial
 Principio de superposición
 Reducción de orden
 Ecuaciones homogéneas con coeficientes constantes
 Principio de superposición: Ec. no homogéneas
 Ec. no homogéneas con coeficientes constantes
 Coeficientes indeterminados: Método de superposición

5. INDICE
ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN (U 3)
 Método de coeficientes indeterminados
 Operador anulador
 Coeficientes indeterminantes: Método Anulador
 Método de variación del parámetro
 Bibliografía

6. UNIDAD 1: INTRODUCCIÓN

7. • Definición y Terminología.
Incluye expresiones o términos que involucran a una función
matemática incógnita y sus derivadas.
Y´=2xy+1
La notación ( ´ ) prima se usa para denotar el numero de la
derivada usada hasta tres prima (´´´) de ahí en delante se utiliza
notación numérica. Es la derivada de Y con respecto a X.
Y´= dy/dx
INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES
DIFERENCIALES

8. Una ED puede escribirse en diferentes notaciones para las
derivadas.

9. TIPOS
ECUACIONES DIFERENCIALES
ORDINARIAS (EDO)
Es una ecuación que contiene una
función de una variable independiente y
sus derivadas. El término "ordinaria" se
usa en respecto a más de una variable
independiente.
Las EDOs cuyas soluciones no pueden
sumarse: las soluciones suelen
obtenerse en forma de series o forma
integral.
ECUACIÓN EN DERIVADAS
PARCIALES (EDP)
Es una ecuación que contiene una función
multivariable y sus derivadas parciales. Se
utilizan para problemas que involucran
funciones de varias variables, y pueden
resolverse manualmente, para crear una
simulación por computadora. También para
describir fenómenos como el sonido, el calor,
la electroestática, la electrodinámica, la
elasticidad, o la mecánica cuántica.

10. ECUACIONES DIFERENCIALES
LINEALES
Una ecuación diferencial es lineal cuando
sus soluciones pueden obtenerse de
combinaciones lineales de otras
soluciones. Si es lineal, tiene sus
derivadas con máxima potencia de 1 y no
existen términos en donde haya
productos entre la función desconocida
y/o sus derivadas. Se dice que una
ecuación es lineal si tiene la forma:
Es decir:
 Ni la función ni sus derivadas están
elevadas a ninguna potencia distinta de
uno o cero.
 En cada coeficiente que aparece
multiplicándolas sólo interviene la
variable independiente.
 Una combinación lineal de sus soluciones
es también solución de la ecuación.
No lineal
Lineal

11. ORDEN DE LA ECUACIÓN
Las ecuaciones diferenciales se
describen por su orden, determinado
por el término con derivadas de
mayor orden.
Ecuación diferencial de primer orden:
Ecuación diferencial de segundo orden:
Ecuación diferencial de tercer orden:
GRADO DE LA ECUACIÓN
Es la potencia de la derivada de
mayor orden que aparece en la
ecuación de no ser así se
considera que no tiene grado
Orden: 3
Grado: 1

12. SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL E
INTERVALO DE DEFINICIÓN
• Una función y= Φ(x) es una solución de una ecuación diferencial
de orden “n” en un intervalo I continuo, si sus “n” derivadas
existen en el intervalo I y al reemplazar en la EDO se obtiene una
identidad. Ej:
INTERVALOS

13. SOLUCIONES EXPLICITAS E IMPLÍCITAS
Una función Φ(x) es tal que al sustituirlo en la ED la satisface, entonces
Φ(x) es una solución implícita para toda x que permite a I (intervalo de la
función solución). Ej:
Resolución:
Sol. Explícita

14. FAMILIA DE SOLUCIONES
• Una solución que contiene una constate arbitraria representa un conjunto G(x,y,c)= 0 de soluciones
llamado Familia de Soluciones UNIPARAMÉTRICAS.
• Cuando resolvemos una ED de orden n buscamos una Familia de Soluciones n-PARAMÉTRICAS.
 Forma General EDO Orden “n”  Solución G(x,y,C1,C2,…,Cn)=0 Familia Sol. n-paramétrica
 Forma General EDO Orden 1  dy/dx = f(x,y)  Solución G(x,y,C1)=0 Familia Sol. uniparamétrica

15. SOLUCIÓN PARTICULAR
Si fija cualquier punto P(X0,Y0) por donde debe pasar necesariamente la solución de la ecuación diferencial,
existe un único valor de C, y por lo tanto de la curva integral que satisface la ecuación, éste recibirá el
nombre de solución particular de la ecuación en el punto P(X0,Y0), que recibe el nombre de condición inicial.
PROBLEMAS DE VALORES INICIALES
Se encuentra la Sol. Particular y(x) que cumple ciertas condiciones dadas.
Resolver:
Sujeto: y(x0)= y0, y’(x0)= y1, y’’(x0)= y2,…,yn-1(x0)= yn-1

16. Ej:
REEMPLAZODESARROLLO

17. CAMPO DE DIRECCIÓN
• Es un bosquejo con pequeños segmentos de recta trazados en un sistema de
coordenadas cartesianas xy (o simplemente plano xy), donde se muestra el
comportamiento de la pendiente (derivada) que le corresponde a la curva
solución.

18. UNIDAD 2: ECUACIONES DIFERENCIALES DE
PRIMER ORDEN

19. ECUACIONES DE VARIABLES SEPARABLES
• Dada la Ecuación Diferencial , si f(x,y) se puede separar en
2 factores g(x) y h(y).
Ej:
DESARROLLO

20. FACTOR DE INTEGRACIÓN
Escribir la ecuación diferencial en su forma estándar ( ), una vez hallado el factor integrante
( ) el siguiente paso es multiplicar la ecuación por dicho factor, entonces tenemos:
se debe resolver la ecuación y despejar y.
Ej:
DESARROLLO

21. VARIACIÓN DE LA CONSTANTE
• Permite calcular una solución particular de una ecuación lineal de segundo orden no
homogénea.
Se parte de la solución general de la homogénea asociada; si y1(x) e y2(x) son dos soluciones no
proporcionales de la ecuación homogénea asociada, la solución general de la homogénea es
yh(x)=C1y1(x)+C2y2(x)
• Se sustituyen las constantes C1 y C2 por funciones; la solución particular de la ecuación
completa que buscamos es de la forma yp(x)=C1(x)y1(x)+C2(x)y2(x)
• Con el fin de simplificar los cálculos y que no aparezcan derivadas de segundo orden en C1 y
C2, se añade la condición de que C1′(x)y1(x)+C2′(x)y2(x)=0
• Se deriva dos veces yp(x) y se sustituye en la ecuación diferencial, obteniendo una ecuación
que liga C1′(x) y C2′(x) con y1′(x) y y2′(x); esta ecuación junto a la condición añadida forma un
sistema en las dos incógnitas C1′(x) y C2′(x)
• Se resuelve ese sistema, encontrado las expresiones de C1′(x) y C2′(x)
• Se integran esas expresiones para hallar C1(x) y C2(x) y así determinar yp(x)
• Este método es más general que el de coeficientes indeterminados.

22. Ej:
Homogénea
Sol.
Homogénea
1
2
3
32 1y en
4
4
2en
Factor
transitorio
Sol.
General

23. ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS
Donde la función M, N, My, Nx, son continuas en una región rectangular R así
que es exacta solo si:
PROCEDIMIENTO:
 Verificar que es exacta.
 .
 Despejar g(y)
 Reemplazar en 2
 f(x,y)= C
Ej:

24. EXACTA
Sol.
general
M(x,y) N(x,y)

25. • PROCEDIMIENTO:
 Verificar que es exacta.
 .
 .
 Despejar h(x)
 Reemplazar en 2
 f(x,y)= C
• Ej:

26. M(x,y) N(x,y)
EXACTA
Sol.
general

27. ECUACIONES HOMOGÉNEAS
• Existen algunas ED que al hacer un cambio de variable adecuado a
ecuaciones en variables separables.
Ec. Normal Ec. homogénea

28. Ej:Forma
diferencial
Sol. General

29. ECUACION DE BERNOULLI
• Es una EDO de 1°orden, formulada por Jacob Bernoulli. Esta
ecuación fue transformada, por Leibniz en 1693 y por Bernoulli en
1697, en una ED lineal de 1°orden, mediante la sustitución.
• Y toma la forma:

30. Ej:
1
2
3
4

31. 3 4y 2en
Forma estándar o canónica
Factor integranteP(x)=10
f(x)=5

32. ECUACION DE RICCATI
• Es una EDO no linel de 1°orden inventada por el italiano Jacopo
Riccati, con el fin de analizar la hidrodinámica.
• Se presenta en la forma:

33. Ej:

34. APLICACIONES DE EDO DE 1°ORDEN
• La posibilidad de que las matemáticas pudieran aun ser aplicadas
exitosamente el estudio de varios procesos naturales de los seres
vivos desde los microorganismos más elementales hasta la misma
humanidad sorprende a la imaginación. Ej:
En un cultivo de levadura, la rapidez de cambio es proporcional
a la cantidad existente. Si la cantidad de cultivo se duplica en 4
horas. ¿Qué cantidad puede esperarse al cabo de 12 horas?

35. Datos
to yo
4h 2yo
12h ?
to=0 ; y=yo

37. UNIDAD 3: ECUACIONES DIFERENCIALES DE
SEGUNDO ORDEN

38. ECUACIONES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN
ORDINARIAS
Una ecuación diferencial de segundo orden es de la forma:
Si f(x)=0 Se llama Ec. Homogénea como por ejemplo:
Si Se llama Ec. No Homogénea como por ejemplo:

39. FUNCIONES LINEALMENTE INDEPENDIENTES
Y DEPENDIENTES. WRONSKIANO
Se dice que las funciones
• Son LINEALMENTE INDEPENDIENTES si la única solución de la ecuación
Donde
• En caso contrario, las funciones son LINEALMENTE DEPENDIENTES.

40. WRONSKIANO
El wronskiano puede usarse para determinar si un conjunto de funciones es
linealmente independiente en un intervalo dado:
• si el wronskiano es distinto de cero, entonces las funciones asociadas son
linealmente independientes. Por ejem, si queremos verificar si dos
soluciones de una ecuación ED de 2° orden son independientes, quizás
podamos usar el wronskiano.
• si un conjunto de funciones es linealmente dependiente, esto implica
obligatoriamente que el wronskiano correspondiente es cero.

41. TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD
Sean an(x), a n-1(x),…,a1(x),a0(x) y g(x) funciones continuas en un intervalo I,
entonces existe una única solución y(x). Y an(x) no es igual a 0 en todo
intervalo I. Ej:

42. PROBLEMAS CON VALOR INICIAL
Comprobar que
Es única solución de:
Y es
solución
de PVI

43. ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS
EDO LINEAL ORDEN ”n”-NO HOMOGÉNEAS
EDO HOMOGÉNEA: HOMOGÉNEA ASOCIADA
• Resolver la ED Homogénea ayuda a resolver la ED
no homogénea.
• Una ED Homogénea tiene siempre la solución trivial
(y=0).
Ly=g(x) No
Homogénea
Ly=0
Homogénea

44. PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN
Sean y1,y2,y3,…,yn soluciones de una ED homogénea definidas en un intervalo I.
Cualquier combinación lineal de ellas, también es solución.
y= C1y1+C2y2+C3y3+…+Cnyn
Donde: Ci; i=1,2,3,n son
constantes

45. REDUCCIÓN DE ORDEN
Dada: 1
F. Estándar
Si y1 es Sol. Particular de . Entonces se puede definir otra Sol.
Particular, LINEALMENTE INDEPENDIENTE y2, como:
1
También
yc=C1y1+C2y2
Sol. General

46. ECUACIONES HOMOGENEAS CON
COEFICIENTES CONSTANTES
ai, i=1,2,…,n son constantes
Se puede analizar 3 casos de este discriminante:

47. 1) RAICES REALES DIFERENTES (Δ>0)
Sol. General:
Ej:
Ec. Característica
Sol. General

48. 2) RAICES REALES IGUALES (Δ=0)
Sol. General:
Ej:
Ec. Característica
Sol. General

49. 3) RAICES COMPLEJAS CONJUGADAS(Δ<0)
Sol. General:
Ej:
Sol. General
m1= α+ βi
m2= α+ βi
Ec. Caracteristica

50. PRINCIPIO DE SUPERPOSICION: EC. NO
HOMOGENEAS

51. EC. NO HOMOGENEAS CON COEFICIENTES
CONSTANTES
 Encontrar Yc (Resolver homogénea asociada).
 Encontrar una solución particular Yp  Método de coeficientes indeterminantes.
 Yg= Yc+Yp
COEFICIENTES INDETERMINADOS: MÉTODO DE
SUPERPOSICIÓN
ai  Constantes
i= 1,2,3….,n

52. g(x) de ser función:
• Polinomial
• Exponencial
• Seno o Coseno
• Sumas y/o productos de estas
NOTA: g(x) no puede ser:

53. EJ:

55. METODO DE COEFICIENTES INDETERMINADOS
OPERADOR DIFERENCIALES
 Superposición
 Método del Anulador
Ej:

56. OPERADOR ANULADOR
Si L(f(x))=0, entonces L es el anulador.
Ej:
Derivada hasta que f(x) se haga cero

57. COEFICIENTES INDETERMINANTES: METODO
ANULADOR
Usar el método del anulador sirve determinar la forma de una solución particular.

58. Procedimiento : Ejm
L g(x)=0
L  anulador
1. Escribir la ED en su forma estándar.
2. Determinar el anulador de g(x).
3. Aplicar el anulador a ambos lados de la ecuación.

59. Procedimiento : Ejm
L g(x)=0
L  anulador
4. Resolver la ED obtenida
5. Deducir Yp comparando con Yc
6. Hallar los coeficientes indeterminados.
Yp Yc

60. METODO DE VARIACION DEL PARAMETRO

61. Ej:

65. BIBLIOGRAFÍA
• Coeficientes Indeterminados Método Anulador by Gerson Villa
Gonzalez - issuu
• Coeficientes indeterminados- método del anulador parte 1
• Ecuaciones diferenciales de segundo orden - Monografias.com
• presen11-1x2.pdf