ECUACIÓN DE BERNOULLI 2021

1. .
Mg. Ing. José Freddy Atuncar Yrribari

2. CINEMÁTICA DE LOS FLUIDOS
En general los fluidos poseen una tendencia bien
conocida a moverse o fluir. Es muy difícil “inmovilizar” a
un fluido e impedir que se mueva. Los esfuerzos cortantes
más leves hacen que el fluido se mueva. De manera
semejante, un desequilibrio apropiado de esfuerzos
cortantes (presión) produce movimiento del fluido.

3. ENFOQUE EULERIANO Y
LAGRANGIANO DEL FLUJO
Método Euleriano
En este caso, el movimiento del fluido está dado al
prescribir completamente las propiedades necesarias
(presión, densidad, velocidad, etc.) como funciones del
espacio y el tiempo. A partir de este método se obtiene
información sobre el flujo en términos de lo que sucede
en puntos fijos en el espacio a medida que el fluido pasa
por esos puntos.

4. ENFOQUE EULERIANO Y
LAGRANGIANO DEL FLUJO
Método Lagrangiano
En este método se requiere seguir las partículas de fluido
individuales a medida que avanzan y determinar cómo
las propiedades del fluido asociadas con estas partículas
cambian en función del tiempo. Es decir, las partículas
del fluido se marcan y sus propiedades se determinan en
la medida en que se mueven.

6. Clasificación de los fluidos
Sea A una propiedad cualesquiera del campo de flujo de un fluido, tal que:
A=A(x, y, z, t), el flujo de un fluido puede clasificarse como:
I.- Considerando el tiempo
 a) Flujo estable, estacionario o permanente. Cuando toda propiedad A
del fluido permanece constante en un punto dado de la región de flujo,
con respecto al tiempo; es decir:
 A = A(x, y, z) y ∂A/∂t = 0
 Por ejemplo cuando se bombea agua por una tubería a caudal
constante.

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 b) Flujo no estable, estacionario o no permanente.
Cuando la propiedad A varía con el tiempo; es decir:
 A = A(x, y, z) y ∂A/∂t ≠ 0
 Por ejemplo, cuando se bombea agua por una tubería a
caudal creciente o decreciente.

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II.- Considerando el espacio
Flujo unidimensional. Es una simplificación que supone
que toda propiedad A es expresable en términos de una sola
coordenada y del tiempo, a veces.
Por ejemplo el flujo a través de una tubería recta
Flujo bidimensional. Supone que las partículas siguen
trayectorias idénticas en planos paralelos, y que toda
propiedad A es expresable en términos de dos coordenadas y
del tiempo, a veces.
Por ejemplo, el flujo en un conducto de paredes
divergentes
 V = V(r, x) o V = V(r, x, t)

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Flujo tridimensional. Cuando toda propiedad A del fluido
es expresable en función de las tres coordenadas y del
tiempo, a veces. Es decir:
A = A(x, y, z) o A = A(x, y, z, t)
Flujo uniforme. Cuando en cualquier punto de una sección
de flujo y en un instante dado, el vector velocidad es idéntico
en módulo, dirección y sentido, independientemente de la
posición de las partículas.
El concepto de flujo uniforme es aplicable también a cualquier
otra propiedad de los fluidos. Por ejemplo un flujo uniforme
en temperaturas indica que en el cualquier punto de una
sección de flujo la temperatura es constante.

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Flujo no uniforme o variado. Cuando el vector
velocidad varía en un instante dado y de un punto a
otro; es decir:
 ∂V/∂x ≠ 0
 ∂V/∂y ≠ 0
 ∂V/∂z ≠ 0

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III.- Considerando la viscosidad
 Flujo no viscoso. Es aquel en el cual los efectos de la viscosidad no
afectan significativamente el flujo, por lo tanto no se toman en cuenta y
se asume que μ = 0. Por ejemplo en los llamados flujos externos: flujo
alrededor de cuerpos aerodinámicos (alas, autos, etc.), flujo alrededor
de edificios, etc.
 Flujo viscoso o real. Los efectos de la viscosidad son importantes y no
pueden despreciarse. Por ejemplo en los flujos internos: flujo en
tuberías y canales abiertos. En estos flujos los efectos viscosos causan
“pérdida de energía”, generadas por la condición de no deslizamiento
(velocidad cero en las paredes) y los esfuerzos cortantes resultantes, que
explican los altos costos del transporte de estos fluidos.

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IV.- Considerando el régimen de flujo
Flujo laminar. El flujo se desplaza en capas a láminas
continuas, a bajas velocidades.
Flujo turbulento. El flujo se desplaza en forma errática,
a altas velocidades.
Flujo en transición. Es un flujo intermedio entre
laminar y turbulento

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El régimen de flujo puede ser medido según el parámetro adimensional,
Re, denominado número de Reynolds:
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e
V L
R


L = Longitud característica del conducto
V = velocidad media del fluido en la tubería
  viscosidad cinemática delo fluido.

14. REPRESENTACIONES DE SISTEMA Y
VOLUMEN DE CONTROL
Sistema
Es una colección de materia de identidad fija (siempre los mismos
átomos o partículas de fluido) que puede moverse, fluir e
interactuar con su entorno.
Un sistema es una cantidad de materia específica e identificable.
Puede constar de una cantidad relativamente grande de masa
(como todo el aire de la atmósfera terrestre), o puede ser de tamaño
infinitesimal (como una simple partícula de fluido). El sistema
puede interactuar con su entorno a medida que se mueven. El
sistema puede interactuar con su entorno de varias formas
(mediante transferencia de calor o ejerciendo una fuerza de
presión). Puede cambiar de tamaño y forma continuamente, aunque
siempre contiene la misma masa.

15. .
Volumen de control
Es un volumen en el espacio (un ente geométrico
independiente de la masa) a través del cual puede circular un
fluido.
En general, el volumen de control puede ser un volumen móvil,
pero por las situaciones consideras sólo se usarán volúmenes
de control fijos que no se deforman. La materia dentro de un
volumen de control puede cambiar a medida que el fluido
circula a través de él. De manera semejante, la cantidad de
masa dentro del volumen puede cambiar con el tiempo. El
volumen de control mismo es un ente geométrico específico,
independiente del fluido que circula.

17. Daniel Bernoulli
Daniel Bernoulli (Groninga, 8
de febrero de 1700 - Basilea, 17
de marzo de 1782) fue un
matemático, estadístico, físico y
médico holandés-suizo.
Destacó no sólo en matemática
pura, sino también en las
llamadas aplicadas,
principalmente estadística
y probabilidad. Hizo
importantes contribuciones en
hidrodinámica y elasticidad.

18. Introducción
La ecuación de Bernoulli es una de las más antiguas en la
mecánica de fluidos y las hipótesis necesarias para
obtenerla son numerosas, se puede aplicar de manera
efectiva para predecir y analizar una variedad de
situaciones de flujo. No obstante, si la ecuación se aplica
sin respetar correctamente sus restricciones pueden
surgir graves errores. En efecto, de la ecuación de
Bernoulli se afirma con justicia que es “la ecuación de
mas uso y abuso en mecánica de fluidos”.

19. Daniel Bernoulli (1700-1782)
 Hipótesis:
 1.- Efectos viscosos son insignificantes
 2.- Flujo estable
 3.- Flujo incompresible (una hipótesis muy aceptable para líquidos y
también para gases si la velocidad “no es demasiada alta”)
 4.- La ecuación es valida a lo largo de la línea de corriente.

20. Problema 1.-
 Considérese un flujo de
aire alrededor de un
ciclista que se desplaza a
través de aire tranquilo a
una velocidad V0, como
se muestra en la figura.
Determinar la diferencia
de presión entre los
puntos (1) y (2).

21. Problema 2.-
Un avión vuela a 146.7
pies/s a una altitud de
10,000 pies en una
atmósfera normal como se
muestra en la figura.
Determinar la presión en el
punto (1) lejos del avión, la
presión en el punto de
estancamiento sobre la
nariz del avión, punto (2).

24. Problema 3.-
Como se muestra en la figura,
del grifo que está en el primer
piso del edificio fluye agua
con una velocidad máxima de
20 pies/s. Para flujo estable,
no viscoso, incompresible,
determinar la velocidad
máxima del agua desde el
grifo del sótano (V2) y desde
el grifo en el segundo piso
(V3), suponer que cada piso
mide 12 pies de alto.
(g=32.2pies/s2) Utilizar:

25. Ejemplos de aplicación de la ecuación de Bernoulli
 Entre dos puntos cualesquiera, (1) y (2), sobre una línea de corriente de un
flujo estable, no viscoso e incompresible, la ecuación de Bernoulli se puede
aplicar de la forma
 Resulta evidente que si se conocen cinco de las seis variables, es posible
determinar la restante. En muchos casos es necesario introducir otras
ecuaciones como la conservación de la masa.

26. Chorros libres
 Una de la ecuaciones mas antiguas de la mecánica de los fluidos esta
relacionada con el flujo de un líquido que sale de un gran depósito como se
muestra en la figura. Un chorro de líquido de diámetro “d” fluye desde la
tobera a velocidad V como se muestra. Al aplicar la ecuación de Bernoulli
entre los puntos (1) y (2) sobre la línea de corriente mostrada se obtiene

27. Chorros libres
 Usando los hechos de que z1=h, z2=0, que el depósito es grande (V1=0) y
esta abierto a la atmósfera (p1=0 manométrica), y que el fluido sale como
“chorro libre” (p2=0). Así se obtiene

28. Problema 4.-
 Una corriente de agua de
diámetro d=0.1 m fluye de
manera estable de un
depósito de diámetro
D=1.0m como se muestra en
la figura. Determinar el
caudal o flujo, Q, necesario
en el tubo de entrada si la
profundidad del agua
permanece constante,
h=2.0m.

29. Problema 5.-
De un depósito grande fluye aire en forma estable a través de una manguera de
diámetro D=0.03m, y sale a la atmósfera por una boquilla de diámetro d=0.01m
como se muestra en la figura. La presión en el depósito permanece constante a 3.0
kPa (manométrica) y las condiciones atmosféricas son presión y temperaturas
normales. Determinar el caudal y la presión en la manguera.

30. Problema 6.-
A través de una reducción
de tubería fluye agua como
se muestra en la figura. Las
presiones estáticas en (1) y
(2) se miden con el
manómetro de tubo U
invertido que contiene
aceite cuya densidad
relativa, DR=0.90.
Determinar la lectura del
manómetro, h en metros.
(Q=0.005m3/s, D1=0.2m,
D2=0.1m, g=9.81m/s2)

31. Problema 7.-
Con un sifón se extrae agua a
60°F de un gran depósito a
través de una manguera de
diámetro constante como se
muestra en la figura.
Determinar la altura máxima de
la curva, H, a la que es posible
extraer agua con el sifón sin que
ocurra cavitación. El extremo
del sifón está a 5 pies por debajo
del fondo del depósito. La
presión atmosférica es de 14.7
lb/pulg2 (abs).

34. Problema 8.-


35. JFAY