Dinamica de fluido

1. Hidrodinámica
Fluido en movimiento
USMA 2012

2. Hidrodinámica
Estudia los fluidos en movimientos, es
decir, el flujo de los fluidos
Y Este estudio lo realiza describiendo las
propiedades de los fluidos (densidad,
velocidad) en cada punto del espacio en
función del tiempo

3. • Flujo - Hidrodinámica

4. Para fluidos reales, el estudio de la hidrodinámica es
sumamente complicado.
Por lo que generalmente comienzamos por estudios de los
fluidos “ideales” .
Sin embargo, los resultados son muy útiles en situaciones
reales.
Características de los fluidos ideales en movimiento.
 Incompresible – La densidad es constante e uniforme.
 Flujo Constante – La velocidad no cambia con el tiempo
aunque puede ser diferente en diferentes puntos.
 No-viscoso -– Sin fricción. Las fuerzas son conservativas.
 Irrotacional – Las partículas sólo tienen movimiento de
traslación.

5. En el análisis del flujo de fluidos se requiere
una Comprensión clara de la terminología
empleada.
• Líneas de corriente: Línea imaginaria continua, tangente en cada punto al
vector velocidad de la partícula que en un instante determinado pasa
por dicho punto. Las líneas de corriente son las envolventes de la velocidad de
todas las partículas en un determinado instante, por lo que varían, en general, con
el tiempo.
Las líneas de corriente no pueden cortarse (excepto en puntos singulares como
fuentes o sumideros), pues entonces una misma partícula pertenecería a la vez a
ambas y tendría dos direcciones
simultáneas de movimiento.
Tubo de corriente o superficie de corriente: Tubo real o imaginario cuyas paredes
son líneas de corriente. En los flujos en tuberías el tubo de corriente puede ser uno
de los tubos reales que la componen.
• Vena líquida: Volumen de líquido delimitado por el tubo de corriente. La
superficie de contorno limitante puede ser una pared sólida (tubería), el propio
líquido o la atmósfera.

6. Definición de conceptos
• Filete de corriente: Tubo de corriente de sección transversal elemental en
el que la velocidad de las partículas líquidas es constante. Cuando la
sección transversal tiende a cero, entonces el filete se transforma en una
línea de corriente.
• Trayectoria: Lugar geométrico de las posiciones que describe una misma
partícula en el transcurso del tiempo.
• Línea de traza o emisión: Lugar geométrico instantáneo de todas las
partículas que han pasado por un punto determinado. Pueden observarse
cuando se inyecta un colorante a un líquido en movimiento.
• Caudal másico: Masa de líquido que atraviesa una sección en la unidad de
tiempo.
• Caudal volumétrico: Volumen de líquido que atraviesa una sección en
la unidad de tiempo.

7. Tipos de Flujos de fluidos
• Flujo compresible: si su densidad
varía con la posición al interior del
fluido.
• Flujo estacionario: si la velocidad
en cada punto del espacio
permanece constante. Lo que no
implica necesariamente que sea la
misma en todos los puntos

8. Tipos de Flujos de fluidos
• Flujo laminar : Ocurre
cuando las moléculas de un
fluido en movimiento
siguen trayectorias
paralelas.
Flujo laminar tambien conocido
como Flujo de Poisseuille
 Flujo turbulento : Ocurre cuando
las moléculas de un fluido en
movimiento siguen trayectorias
erráticas

9. Tipos de Flujos de fluidos
Flujo viscoso: aquel cuya
viscosidad es apreciable
Flujo rotacional: aquel que
presenta vórtices

10. Leyes fundamentales
El comportamiento de un fluido( en reposo o movimiento)
esta regido por unas leyes fundamentales que son
universales:.
 Conservación de masa: La rapidez de variacion en tiempo
de la masa de un sistema material es NULA.
La masa de un sistema material es CONSTANTE.
 2𝑎 Ley de Newton: La rapidez de variación en el tiempo
de la cantidad de movimiento de un sistema material es igual a
las fuerzas externas que actúan sobre el.
 1𝑎 Ley de Termodinámica: La rapidez de variación en tiempo
de la Energía de un sistema material es igual a la velocidad de
transferencia neta de energía entre el sistema y su entorno.

11. Las magnitudes Cinemáticas sirven para cuantificar
el movimiento de una partícula de fluido:
Desplazamiento (Velocidad)
Deformación (Velocidades de deformacion)
Giro (Velocidad Angular)
La Velocidad es la propiedad mas importante en el analisis de
los fluidos. Todas las demas se definen a partir de ella
El campo de velocidades suele utilizarse Para clasificar los
flujos.
 Direccionalidad  Unidireccional, bidireccional,
tridireccional.
 Demensionalidad Uniforme, Tridemncional…
 Estacionalidad  Estacionario, no estacionario

12. Diagrama de clasificacion de
fluidos(aproximada)
Mecánica de Fluido continuo
No viscoso ( μ=0) Viscoso ( μ≠0)
Compresible No Compresible Laminar Turbulento
Compresible No Compresible

13. Las Ecuaciones y Principios
Básicos
• Conservación de masa:
A partir de la cual se establece la ecuación de
CONTINUAIDAD para vena liquida.
Q=VA = V1A1 =..VnAn
• Conservación de Energía
A partir de la cual se se establece la ecuación de Energía
que tiene en cuenta las Perdidas de energia producidas por el
rozamiento del fluido a lo largo de un conducto.
• Conservación momentum (movim iento)
A partir de la cual se se establece la ecuación de Fuerzas

14. 1
x

1
v
2
x

2
v
A1
A2
Ecuación de continuidad
• Consideremos un fluido ideal que fluye por un tubo
uniforme.
• La cantidad de fluido que por unidad de tiempo entra por A1, es igual a la
cantidad de fluido que por unidad de tiempo sale por A2.
• Este es el principio de conservación de la masa

15. …
A1
A2
Q salida
Q entrada
Para un fluido incompresible:
A1 · v1 = A2 · v2
Donde A y v son las áreas y rapideces respectivas.
Ecuación de continuidad…

16. La ecuación de Bernoulli
• Es una ecuación fundamental de la mecánica de los fluidos ideales y constituye
una expresión del principio de conservación de la energía. Se considera que en
el flujo existen tres tipos de energía: la energía cinética debida al movimiento,
la energía potencial debida a la presión y la energía potencial gravitatoria
debida a la elevación.
2
1
2
P v g h cte
 
     
P = presión del fluido.
 = densidad del fluido.
V = rapidez del fluido.
g = aceleración de gravedad.
h = altura del fluido en el
punto en estudio.

17. La ecuación de Bernoulli
La ecuación de Bernouilli establece una relación entre la presión P, la densidad
,
la velocidad v, y la altura h en un punto
de referencia del sistema de fluidos.
P gh v constant
1
2
2
  
 
Trabajo neto = F1s1 - F2s2
F1 = P1A1
F2 = P2A2
Trabajo neto = P1A1s1 = P2A2s2
V = A1s1 = A2s2
Trabajo neto = P1V - P2V = V(P1-P2)

18. La ecuación de Bernoulli
Principio de conservación de la energía
𝑃
𝜌
+
1
2
𝑣2 + 𝑔𝑧 = 𝐶 Energía/masa (J/kg), (m2/s2)
𝑃
𝜌
– Energía de presión
1
2
𝑣2- Energía cinética por unidad de masa
gz- Energía potencial por unidad de masa (Potencial
Gravitatorio)
C - Energía Total = Constante
.

19. La ecuación de Bernoulli
ALTURAS
𝑃
𝜌𝑔
+
𝑣2
2𝑔
+ 𝑧 = 𝐻 Altura (m)
𝑃
𝜌𝑔
– Altura de presión, altura de columna de líquido
que mide la Presión P
𝑣2
2𝑔
- Altura de Velocidad, Altura desde la que debería
caer el líquido en el vacío para adquirir la velocidad 𝑣
Z- Cota geométrica
H - Altura Total(m) = Constante

20. La ecuación de Bernoulli
PRESION
𝑃 +
1
2
𝜌𝑣2 + 𝜌𝑔𝑧 = П Presión (Pa)
P - Presión Hidrostática
1
2
𝜌𝑣2- Presión de velocidad
ρgz- Presión de posición
П - Presión Total = Constante (Pa)

21. La ecuación de Bernoulli
CONTINUIDAD
𝑃
𝜌
+
1
2
𝑣2 + 𝑔𝑧 = 𝐶 Energía/masa (J/kg), (m2/s2)
𝑃
𝜌𝑔
+
𝑣2
2𝑔
+ 𝑧 = 𝐻 Altura (m)
𝑃 +
1
2
𝜌𝑣2 + 𝜌𝑔𝑧 = П Presión (Pa)
A1V1= A2V2 = Q AV=Q=Constante(m3/s)

22. Aplicaciones de la ecuación
de Bernoulli
• Este principio explica el vuelo de los aviones,
ya que la forma y la orientación de las alas
permiten que el aire pase con mayor velocidad
por la parte superior que por la inferior de
éstas. Luego, la presión encima del ala es
menor que la presión debajo de ella,
produciendo una fuerza resultante dirigida
hacia arriba, llamada fuerza ascensional o de
sustentación.
V1
V2
S

23. Aplicaciones de la ecuación
de Bernoulli
….como debe pasar la misma cantidad de aire por arriba y por
debajo del ala, debe recorrer mas distancia el aire en la parte de
arriba (debido a su forma característica), por tanto el aire va mas
deprisa arriba del ala que por abajo.
V1
V2
S
OK, esto genera una
disminución de presión
en la parte superior, por
tanto se eleva, ya que
tiene una resultante
normal al avión.
Entonces, esta es la primera parte del truco de magia, la segunda parte
es ¿como consiguen ese empuje que permite la sustentación?

24. Teorema de Torricelli
Cuando un líquido se encuentra confinado dentro de un
recipiente permanecerá estático y sin ningún cambio
físico hasta que un factor afecte tales condiciones.
El factor más común es la aplicación de una fuerza
externa al arreglo, ya sea un poco de viento tocando la
superficie del líquido, un insecto, una bomba que se ha
encendido, etc.
Al existir tal fuerza, se puede ver que el líquido se
deforma muy fácilmente y si una parte de este, o todo,
cambia de posición continuamente se dice que está
fluyendo.

25. Aplicaciones de la ecuación
de Bernoulli
El teorema de Torricelli se expresa por la
ecuación:
El efecto Venturi
se muestra por:
v gh
 2
P v P v
1
1
2 1
2
2
1
2 2
2
  
 

26. TTubo Venturi
• “El Tubo Venturi es un dispositivo que origina una
pérdida de presión al pasar por él un fluido.
En esencia, consta de una tubería corta recta, o
garganta, entre dos tramos cónicos.
La presión varía en la proximidad de la sección estrecha;
así, al colocar un manómetro ó instrumento registrador
en la garganta se mide la caída de presión y hace posible
calcular el caudal instantáneo”.

27. Caudal volumétrico (Q)
Es la cantidad de fluido que atraviesa una sección
de área , en un determinado tiempo (t). Se puede
expresar en función del volumen (V)
Q = A · v
Sus unidades
SI: m³/s
CGS: cm³/s
Si v es la rapidez con que el líquido atraviesa la sección
de área (A), el caudal será:
Q = V
t

28. Línea de corriente o línea de Flujo
• Una línea de corriente
o línea de flujo, es la
trayectoria que siguen
las partículas dentro de
un fluido en
movimiento.
El flujo es uniforme, cuando la velocidad es la misma
en modulo, dirección y sentido en cada uno de los
puntos del fluido de modo tal que las líneas de
corriente son paralelas.

29. Hidrodinámica
• Fluidos reales. Turbulencia

30. • La Ecuación de Bernouilli permite que a lo largo de un flujo los
tres términos experimenten modificaciones por intercambio de
unos valores con otros, pero siempre debe mantenerse la suma
total.
Por ejemplo, en la situación A, los puntos 1 y 2 poseen la
misma presión (la atmosférica), por lo que se estaría
produciendo una transformación de energía cinética en
energía de posición.
En B, los dos puntos poseen la misma cota, pero v2<v1 al
ser mayor la sección respectiva; en este caso.se produce
una transformación de energía cinética en energía de
presión.
Por último, en C no se produce variación en la velocidad al
ser la sección de la tubería constante, por lo que el
aumento de la energía de posición se debe realizar a costa
de la energía de presión.

31. • Representando gráficamente

32. La línea de alturas totales se obtiene sumando para cada punto de la
tubería las cotas piezométricas y las alturas de velocidad, y representa la
energía total del fluido.
La trayectoria de la tubería define la línea de alturas geométricas, que
corresponde en cada punto a la cota z del eje longitudinal de la tubería
referido a un plano de referencia.
La línea piezométrica (LP) es la
suma de las alturas de presión y
de posición, y se determina
uniendo los puntos que alcanzaría
el fluido circulante en distintos
piezómetros conectados a lo largo
de la tubería.

34. 25/02/2024 34 S Tinoco, Y Milachay
25/02/2024 34
Tubo de Pitot
• Este dispositivo sirve para medir la rapidez
de flujo de un gas.
• Por un lado, se tiene la presión estática del
gas en las aberturas “a” del tubo. Por otro,
la presión en “b”, que corresponde a la
presión del fluido en reposo.
• La ecuación de Bernoulli para esos puntos
da:
• Si sustituimos la diferencia de presiones
por la lectura del manómetro que
contiene un fluido de densidad F, se
tiene:
2
a b
1
P v P
2

 
F
2 gh
v




35. El tubo Venturi ofrece ventajas con respecto a
otros captadores, como son:
• Menor pérdida de carga permanente, que la producida por del
diafragma y la tobera de flujo, gracias a los conos de entrada y
salida.
• Medición de caudales superiores a un 60% a los obtenidos por
el diafragma para la misma presión diferencial e igual
diámetro de tubería.
• El Venturi requiere un tramo
recto de entrada más corto que otros
elementos primarios.
• Facilidad para la medición de flujo de líquidos
con sólidos en suspensión.

36. Ejercicios
Vaciado de un tanque
Un depósito que contiene agua, densidad, d = 1 kg /l, está herméticamente cerrado teniendo en la cámara
interior una presión de 3 atmósferas. Determinar la velocidad de salida del agua por un grifo situado a 6 m
por debajo del nivel del agua. Si se rompiese el depósito por su parte superior, ¿ qué velocidad de salida
habría ?.
Los datos son los siguientes: 1 atm = 1'033 kp /cm2 = 101234 N/m2
P1 = 3 atm = 303702 N/m2
P2 = 1 atm = 101234 N/m2 por estar en contacto con el exterior
h1 = 6 m
h2 = 0 m por estar en el origen de medidas
v1 = 0 suponiendo que el depósito es extenso comparado con el orificio de salida.
v2 variable a determinar
Aplicamos el teorema de Bernouilli entre un punto situado en el nivel superior del agua del depósito y otro
punto situado en el grifo de salida:
P1 /d + h1 + v1
2 /(2g) = P2 /d + h2 + v2
2 /(2g)
P1 /d + h1 = P2 /d + v2
2 /(2g) ® (P1 - P2) /d + h1 = v2
2 /(2g) ®
v2 = [ 2. g. ( (P1 - P2) /d + h1 ) ]1/2
Sustituyendo datos ® v2 = 22 .9 m/s
Si el depósito se rompiese por la parte superior la presión de la cámara pasaría a
ser de 1 atm, igual a la presión de salida, resultando una velocidad de:
v2 = (2. g. h1)1/2 = 10 ' 8 m/s

37. Velocidad de salida de un depósito
1 Enunciado: Un tanque cerrado contiene un líquido de densidad ρ, y tiene
un orificio lateral a una distancia y1 del fondo. El diámetro del orificio es
pequeño en comparación con el diámetro del tanque.
El aire del interior del tanque que está encima del líquido se encuentra a
una presión p. Considera que se trata de un flujo laminar sin fricción.
Demuestra que la velocidad a la que el fluido sale por el orificio
cuando la superficie del líquido está a una altura h respecto a él es :
Considera el caso p = p0.
Calcula la distancia a la que llega el agua que sale del
orificio en función de y2 y h.
Supongamos que podemos variar la altura del orificio.
Para un valor fijo de y2, ¿qué valor de h hace máxima la
distancia que alcanza el chorro?

38. Velocidad de salida
El principio de Bernouilli estable que para dos
puntos situados en la misma línea de corriente
Consideremos entonces un punto “2” situado en
la superficie superior del líquido y un punto “1”
en el orificio, de forma que el líquido se mueve
desde uno hacia el otro. En este caso, la relación
anterior da

39. Velocidad de salida
Para el punto 2 la presión es p, la del gas que se encuentra en la
cámara superior, la altura respecto al fondo es y2 y la velocidad es
la de descenso del nivel del depósito. Si suponemos que esta es
muy pequeña, porque el tanque tiene una sección grande y el
orificio es pequeño, podemos despreciarla.
Para el punto 1 la presión es la atmosférica, p0, la altura es y1 y la
velocidad es v, la de salida. Sustituyendo queda
Despejando

40. Alcance del chorro
Si la presión en la parte superior del líquido es la atmosférica (por
ejemplo, porque el depósito no tiene tapa), la expresión anterior se
reduce a
Una vez que sale del depósito, el líquido sigue una trayectoria
parabolica, en la que la posición inicial tiene una altura y1 y una
velocidad horizontal v.
A partir de ahí, la trayectoria del chorro es
El líquido llega al suelo cuando y = 0, lo que ocurre en el instante

y el alcance del chorro lo da el valor de x en este instante
Sustituyendo el valor de la velocidad de salida

41. Alcance del chorro
¿Para que altura es máximo el alcance? Eliminamos la raíz,
elevando al cuadrado
El máximo se da cuando
es decir, cuando el orificio está a media altura del depósito. El
alcance máximo es igual al nivel del liquido en el depósito.

42. Hidrodinámica
Ecuación de Bernouilli Ejemplos: ¿Con qué velocidad sale el agua ?

43. Repasando ---La Ecuación de Continuidad
Flujo a Través de un Tubo
El volumen que cruza una superficie transversal
Si el tubo cambia de diámetro
La ecuación de continuidad
Flujo de Volumen
Flujo de Masa

44. La Ecuación de Bernoulli
 Aplicar conservación de energía a un volumen
de fluido mientras se mueve por un tubo.
 Los cambios en energía del sistema consisten
en que un volumen (verde) ha sido reemplazado
por otro (azul).

45. Análisis usando Continuidad y Bernoulli
¿Con qué velocidad sale el agua por un roto?
 La presión en la superficie será la atmosférica.
 La presíon justamente fuera del roto será la
atmosférica.
 Como el área del roto es mucho más pequeña
que el área de la superficie, la velocidad del
agua en la superficie es despreciable comparada
con la velocidad del agua fuera del roto.
Un tanque abierto al ambiente


46. Análisis usando Continuidad y Bernoulli
Dada la diferencia en presión y las áreas, ¿cuál es el flujo?
 Nuestro punto de partida son las fórmulas generales
Una Tubería Horizontal que cambia de Diámetro
 Los términos en “y” se cancelan.
 p1 > p2 . Conozo (p1 - p2) > 0.
 Tengo dos ecuaciones y dos incógnitas. Puedo resolver.
 Escribir la ecuación de Bernoulli en términos de RV que es lo que
estoy buscando.

47. 25/02/2024 47 S Tinoco, Y Milachay
25/02/2024 47
Tubo de Venturi
• El medidor Venturi. La figura muestra un
medidor Venturi que se usa para medir la
rapidez de flujo de un tubo. La parte
angosta del tubo se llama garganta.
Deduzca una expresión para la rapidez de
flujo v1 en función de las áreas
transversales A1 y A2 .y la diferencia de
altura h en los tubos verticales.
• Aplicando Bernoulli entre los puntos 1 y 2
(y1 = y2),
• De la ecuación de continuidad,
• Para obtener la diferencia de presiones,
consideremos como H la altura del líquido
encima del punto 2,
• Entonces,
  1
2
2
2
1
1


A
A
h
g
v
2
2
2
2
1
1
2
1
2
1
v
p
v
p 
 


2
1
1
2 A
v
A
v 
 
   
gh
gH
p
H
h
g
p
p
p
a
a










 2
1

48. 25/02/2024 48 S Tinoco, Y Milachay
25/02/2024 48
Tubo de Venturi
• Una aplicación de la Ecuación de Bernoulli
es el tubo de Venturi, que se usa para
medir la velocidad de flujo de un fluido.
• Un fluido de densidad F fluye por un tubo
de sección transversal A1. La superficie
disminuye en el cuello a A2 y se sujeta un
manómetro como se muestra en la figura.
El manómetro contiene un fluido de
densidad L. La ecuación de Bernoulli se
escribirá así:
2 2
1 1 2 2
1 1
P v P v
2 2
 
  
1 1 2 2
A v A v

Como:
1 2 L
P P g h

  
Se tiene finalmente:
L
2 2
2
gas 2
1
2 gh
v A
A
(1 )
A





49. 25/02/2024 49 S Tinoco, Y Milachay
25/02/2024 49
Tubo de Venturi
• Entre las aplicaciones más comunes se
encuentran las siguientes:
– Automotriz.
– Limpieza.
– Métodos de captación de la energía
eólica.
– Biológica.
• En la industria automotriz se utiliza
comúnmente en el carburador de un
automóvil, El suministro de gasolina de un
motor con carburador se consigue
utilizando un tubo de Venturi. Para lograr
la carburación adecuada, el aire acelera su
paso en el Venturi. El vacío que se genera
es suficiente para permitir que la presión
atmosférica empuje la gasolina desde la
cámara del flotador hacia la garganta del
carburador. La salida de gasolina se
controla mediante la altura de nivel de
bencina, en la cámara del flotador y un
orificio calibrado (jet).
• En el área de limpieza se utilizan para
realizar la eliminación de la materia
suspendida en ambientes industriales por
medio de lavadores dinámicos de rocío. En
este sistema, el gas se fuerza a través de la
garganta de un tubo de Venturi, en la que
se mezcla con rocíos de agua de alta
presión

50. 25/02/2024 50 S Tinoco, Y Milachay
25/02/2024 50
Anemómetro de presión
hidrodinámica
• Cuando el viento impacta sobre una
superficie, en ella se produce una presión
adicional que depende de esa velocidad, si
esta presión se capta adecuadamente, y se
conduce a un instrumento medidor,
tendremos un anemómetro de presión.
• Para capturar esta presión se utiliza el
llamado tubo de Pitot.
• La diferencia de presión entre los
extremos del tubo de Pitot hará que la
columna líquida se desplace de un lado, la
diferencia de altura será proporcional a la
velocidad del viento incidente en la boca
del tubo y servirá como indicador de esta.

51. 25/02/2024 51 S Tinoco, Y Milachay
25/02/2024
51
Efecto Magnus
• El efecto Magnus, denominado así en
honor al físico y químico alemán Heinrich
Gustav Magnus (1802-1870).
• Es un fenómeno físico por el cual la
rotación de un objeto afecta a la
trayectoria del mismo a través de un
fluido, en particular, el aire.
• Es el resultado de varios fenómenos,
incluido el principio de Bernoulli y el
proceso de formación de la capa límite en
el fluido situado alrededor de los objetos
en movimiento.
• Motor Flettner. El efecto Magnus se usó
en sistemas de propulsión compuestos por
grandes cilindros verticales (rotores
pasivos) capaces de producir un empuje
hacia adelante cuando la presión del aire
es lateral; esto es, la presión del aire hace
girar al cilindro llamado rotor al mismo
tiempo que hace avanzar la nave de modo
perpendicular al aire en movimiento.
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/fluidos/dinamica/magnus/magnus.htm http://www.alternatura.com/futm/science/aerodynamics.htm

52. Cómo tirar una Curva en Beisbol
(Vista desde arriba)
 Lo importante será la diferencia en velocidades.
 Donde hay más velocidad habrá menos presión.
 Las costuras de la pelota arrastran el aire y hacen que la velocidad relativa del aire
sea mayor de un lado que del otro.
 La pelota curveará hacia el lado donde la presión es menor.

53. 25/02/2024 53 S Tinoco, Y Milachay
25/02/2024 53
Ejercicios
• Problema 1. Si en un tubo de Pitot se usa
mercurio y se tiene h = 5,00 cm, ¿con
qué rapidez se mueve el aire? la densidad
del aire es 1,25 kg/m3.
• Solución
• Como la densidad del mercurio es
• Tendremos:
• Problema 2. El aire fluye horizontalmente
por las alas de una avioneta de modo que
su rapidez es de 70,0 m/s arriba del ala y
60,0 m/s por debajo. Si la avioneta tiene
una masa de 1340 kg,y un área de alas de
16,2 m2, ¿la nave logra levantar vuelo? La
densidad del aire es de 1,20 kg/m3 .
• Solución
• De la ecuación de Bernoulli y despreciando
el espesor del ala, se tiene:
• La fuerza de elevación será entonces igual
a:
mercurio
aire
2 gh
v



3
mercurio 3
kg
13,6 10
m
  
3 2
2 13,6 10 9,81 5,00 10
v
1,25

    

3 m
v 1,03 10
s
 
2 2
1 1 2 2
1 1
p v p v
2 2
 
  
2 2
2 1
1
p ( v v ) 780 Pa
2

   
2 2
F 780Pa 16,2m 1340kg 9,80m /s
496N
   
 

54. 25/02/2024 54 S Tinoco, Y Milachay
25/02/2024 54
Ejercicios
• Problema Dos tanques abiertos muy grandes
A y F contienen el mismo líquido. Un tubo
horizontal BCD, con una constricción en C y
abierto al aire en D, sale del fondo del tanque
A. Un tubo vertical E emboca en la
construcción en C y baja al líquido del tanque
F. Si el área transversal en C es la mitad del
área en D, y si D está a una distancia h1 bajo
el nivel del líquido en A, ¿a qué altura h2
subirá el líquido en el tubo E? Exprese la
respuesta en términos de h1.
• Solución. Aplicando la ecuación de
Bernoulli entre los puntos A y D, se tiene
que la velocidad del fluido es
• Usando la ecuación de continuidad entre
los puntos C y D,
• Aplicando Bernoulli a los puntos C y D se
tiene:
• Por otro lado, la velocidad de F es cero y la
diferencia de presiones entre F y C es ρgh2
1
2 gh
C C D D
D
C D D
C D
A v A v
A
v A v
2
v 2v



2 2
C C D D
1 1
p v p v
2 2
 
   1
8gh
2 2
C C F F
1 1
p v p v
2 2
 
  
2 1
h 3h


55. 25/02/2024 55 S Tinoco, Y Milachay
25/02/2024 55
• Problema Hay agua hasta una altura H en
un tanque abierto grande con paredes
verticales. Se hace un agujero en una
pared a una profundidad h bajo la
superficie del agua. (a) ¿A qué distancia
del pie de la pared tocará el piso el chorro
que sale? (b) ¿A qué distancia sobre la
base del tanque podría hacerse un
segundo agujero tal que el chorro que
salga por él tenga el mismo alcance que el
que sale por el primero?
• Solución
• La velocidad de salida del fluido es
horizontal:
• Por lo que tardará en caer:
• En este tiempo recorre horizontalmente:
• Si h´= H – h,
• Por lo que el alcance horizontal será
también el mismo.
2 gh
2( H h )
g
t 

R vt 2 h( H h )
  
h ( H h ) ( H h)h
 
  

56. 25/02/2024 56 S Tinoco, Y Milachay
25/02/2024 56
• Problema. El tubo horizontal de la figura
tiene un área transversal de 40,0 cm2 en la
parte más ancha y de 10,0 cm2 en la
constricción. Fluye agua en el tubo, cuya
descarga es de 6,00 x 10-3 m3 (6,00 L/s).
Calcule a) la rapidez de flujo en las
porciones ancha y angosta; b) la diferencia
de presión entre estas porciones; c) la
diferencia de altura entre las columnas de
mercurio en el tubo en forma de U.
• Solución Como la velocidad es
• La diferencia de presiones es:
• Por lo que la altura de la columna de
mercurio es:
Q
A
v 
1 2
3 3
2 4 2
3 3
1 4 2
6,00 10 m s
v 6,00 m s
10,0 10 m
6,00 10 m s
v = 1,50 m s
40,0 10 m





 




2 2 4
1
2 1
2
p ( v v ) 1,69 10 Pa

    
4
3 3 2
Hg
(1,69 10 Pa)
p
g (13,6 10 kg m )( 9,81m s )
h 12,7cm




   

57. 25/02/2024 57 S Tinoco, Y Milachay
25/02/2024 57
• Problema. El diseño moderno de aviones
exige una sustentación, debida a la fuerza
neta del aire en movimiento sobre el ala,
de cerca de 2000 N/m2 de área de ala.
Suponga que aire (densidad 1,20 kg/m3)
fluye por el ala de un avión con flujo de
línea de corriente. Si la rapidez del flujo
por la cara inferior del ala es de 120 m/s,
¿qué rapidez debe haber sobre la cara
superior para obtener una sustentación de
2000 N/m2?
• Solución. Despreciando el espesor de las
alas, se tiene que:
• La velocidad sobre la cara superior es igual
a:
2 2
sup inf
p (1 2) ρ(v v )
  
2 3
sup
sup
v (120 m s) 2( 2000 Pa) (1,20kg m )
v 133m s
 


58. 25/02/2024 58 S Tinoco, Y Milachay
25/02/2024 58
Ejercicios
• Problema. Un tubo hueco tiene un disco
DD sujeto a a su extremo. Cuando por él
sopla aire de densidad ρ, el disco atrae la
tarjeta CC. Supongamos que la superficie
de la tarjeta es A y que v es la rapidez
promedio de la tarjeta en ella y el disco.
Calcule la fuerza resultante hacia arriba en
CC. No tenga en cuenta el peso de la
tarjeta; suponga que v0<<v, donde v0 es la
rapidez del aire en el tubo hueco.
• Solución.
2
1 2
1
p v p
2

 
 
2
2 1
v
A p p A
2

   
2
v
F A
2

 

59. 25/02/2024 59 S Tinoco, Y Milachay
• Fluye agua continuamente de un tanque
abierto como en la figura. La altura del
punto 1 es de 10,0 m y la de los puntos 2 y
3 es de 2,00 m .El área transversal en el
punto 2 es de 0,0480 m2 en el punto 3 es
de 0,0160 m2 . El área del tanque es muy
grande en comparación con el área
transversal del tubo. Suponiendo que
puede aplicarse la ecuación de Bernoulli
calcule,
• A. La rapidez de descarga
• B. La presión manométrica en el punto 2
2 2 3
3 3 1 3 3
v A 2 g( y y )A 2( 9,81m s )( 8,00m)( 0,0160m ) 0,200m s .
   
2
2 2 2 3
2 3 2 3 1 3
2
1 1 A 8
p ( v v ) v 1 ρg( y y ),
2 2 A 9
 
 
 
 
     
 
 
 
 
4
2
p 6,97 10 Pa
 

60. Hidrodinámica
• Caudal. Volumen de fluido que atraviesa una
cierta área por unidad de tiempo.
• Ejemplos: El Ebro en Zaragoza: 80 m3/s
Si la velocidad es constante
en todo el área A

61. Hidrodinámica
• Caudal. ¿ Y si el tubo se estrecha (ensancha) ?
A

62. Hidrodinámica
Conservación del Caudal = Conserv. masa
Ejemplos:
El radio de un tubo se reduce a la mitad en un estrechamiento
¿ Como cambia la velocidad del fluido ?
Se multiplica por cuatro !

63. • Ecuación de Bernouilli= Conserv. energía
Fluido incompresible, no viscoso, régimen estacionario.

64. • Ecuación de Bernouilli Efecto Venturi

65. Hidrodinámica
Ecuación de Bernouilli Aviones

66. Hidrodinámica
• Fluidos reales. Resistencia al flujo
• R=R(Radio, longitud, viscosidad)

67. Hidrodinámica
• Fluidos reales. Tipos de flujo
• Flujo Laminar:
– Ordenado, por capas, se disipa poca energía
• Flujo Turbulento:
– Caóticos, trayectorias desordenadas, disipación
Tipo de flujo =f( Radio, longitud, viscosidad, etc,)

68. Hidrodinámica
• Fluidos reales. Viscosidad
Un fluido en Flujo Laminar: Ordenado, por capas

69. Hidrodinámica
• Fluidos reales. Viscosidad

70. Hidrodinámica
• Fluidos reales. Ley de Poiseulle

72. Aire 1,29 Aluminio 2 700
Helio 0,18 Cobre 8 920
Hidrógeno 0,09 Hierro 7 860
Agua dulce 1 000 Plomo 11 300
Hielo 917 Oro 19 300
Agua salada 1 030 Mercurio 13 600
Alcohol 806 Madera 373
Densidades de algunas substancias (kg/m3)