Análisis Matemático II con Aplicaciones a la Economía

HECTOR A. DI CARO
LILIANA B. GALLEGO
ANALISIS II
MATEMATICOII
CON APLICACIONES A LA ECONOMIA
^ E D ic io n e s m nceH i
B U E N O S A IR E S - B O G O T A - C A R A C A S - M E X IC O , D F

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EM PR E SA A D H E R ID A A L A C A M A R A A R G E N T IN A D EL LIBRO

PROLOGO
C om o ocurriera con otras publicaciones, las primeras ideas que llevarían luego
a la concreción de este libro surgieron en el año 1975, ante un pedido que m e fuera
formulado por mis alumnos y que m e llevaron entonces a la publicación de los
primeros apuntes.
También, com o lo he expresado en otras oportunidades, n o sería honesto
comenzar este trabajo, sin expresar mi reconocim iento a quienes m e ofrecieron su
confianza y ap oyo o contribuyeron de una u otra manera — tal vez sin saberlo— a
que este trabajo se concretara.
C reo que al dedicarm e, por vocación, exclusivamente a la docencia, he sido
útil al gran ausente, que es el alumno, pero de lo que no tengo la m enor duda, es
del apoyo que m e brindó, sobre todo en m om entos difíciles de mi vida, por ello
quiero devolverle en parte, con tnis publicaciones, todo m i agradecimiento
La obra es apropiada para los cursos que se dictan en las Facultades de
Ciencias Económicas y destinada especialm ente a los alumnos que en los primeros
años de estudio se encuentran desorientados por la falta de un texto que responda
a los programas exigidos.
N o digo nada nuevo en este libro, sino que he tratado de volcarla experiencia
didáctica adquirida a través de largos años de enseñar la asignatura en las principales
universidades del país.
F.l contenido se refiere al estudio de las funciones de más de una variable,
recordando previam ente conceptos básicos de geom etría analítica, en dos y tres
dimensiones feo particular, estudio de curvas y superficies, con sus gráficos
respectivos) indispensables para la representación de las funciones de dos variables
y que el alumno, en general, no recuerda o desconoce.

VIH PROLOGO
Antes de com enzar cada capitulo con (os temas específicos, les recuerdo el
misrno tem a para funciones de una variable, y antes de finalizarlos, el alumno
encontrará prim ero un cuestionario de repaso — que si lo contesta correctamente
significará que está elaborando el contenido del texto— y en segundo lugar,
ejercicios de aplicación, con respuestas, sugerencias y soluciones de los mismos, al
final de la obra.
Adem ás de los ejercicios respectivos específicos, el libro contiene con todo
detalle y para cada tem a las aplicaciones económ icas respectivas, debiendo destacar
que esta parte, tan importante, ha estado a cargo de la profesora I.u (a n a G a l l e g o .
quien ha aportado un trabajo valiosísimo. El mismo servirá, además de la capacita
ción de los alumnos en sus respectivas especialidades, al perfeccionam iento de los
docentes en dichos temas.
Si esta obra contribuye en algo a la com prensión de los temas tratados, los
autores sentirán que sus esfuerzos han estado justificados.
H é c t o r A. Di C a r o

Indice
1 . F U N C IO N E S D E V A R I A S V A R I A B L E S 7
1.1 Introducción.............................................................................................. 7
1.2 Conceptos básicos de geom etría analítica.......................................... 8
1.2.1 Espacio euclídiano u-dimensional ........................................... 9
1.2.2 Sistema coordenado lin e a l........................................................ 10
1.2.3 Sistema coordenado bidimensionaí o p la n o ........................ 10
1.2.4 Sistema coordenado tridimensional o en el e sp a cio 11
1.2.5 Estudio de gráficas en el p ia n o ............................................. 17
1.2.6 Estudio de curvas en el plano o espacio de dos
dim ensiones...................................... 18
1.2.7 Estudio de gráficas en el espacio ............................................ 28
1.2.8 Estudio de superficies en el e s p a c io ...................................... 32
1.3 Conjuntos puntuales. Entornos. R ecin tos........................................... 49
1.3.1 Clasificación de pu ntos.............................................................. 53
1.4 Funciones...............'.................... 54
1.5 Subconjunto de variabilidad.................................................................... 62
1.6 Representaciones gráficas de cam pos escalares................................ 69
1.7 Curvas de n iv e l......................................................................................... 83
1.8 Aplicaciones económ icas del concepto de curvas de n iv e l 90
1.9 Cuestionario de rep a so ........................................................................... 106
1.10 Ejercicios de aplicación........................................................................... 108
2 . L IM IT E S Y C O N T IN U I D A D 1 1 3
2.1 Límites para funciones de una variab le............................................... 113
2.1.1 Función continua en un punto ................................................ 117

2 INDICE
2.2 Límites para funciones de dos variables in depen dien tes............... 120
2.3 Lím ite doble o sim ultáneo.................................................................... 121
2.4 Límites sucesivos o reiterados.............................................................. 125
2.5 Límites rad iales....................................................................................... 128
2 6 Propiedades de los lím ites..................................................................... 135
2.7 Definición de Continuidad..................................................................... 136
2.8 Propiedades de las funcionescontinuas.............................................. 137
2.9 Cuestionario de re p a s o .......................................................................... 141
2.10 Ejercicios de ap licación .......................................................................... 142
3 . D E R I V A D A S 1 4 7
3.1 Derivada para funciones de una variable........................................... 147
3.2 Derivadas parciales.................................................................................. 149
3.3 Interpretación g e o m é tric a ..................................................................... 150
3.4 Función derivada, cálculo de derivadas parciales de primer orden
aplicando la d efin ición ............................................................................ 151
3.5 Cálculo directo de derivadas p a rcia les................................................ 154
3.6 Derivadas parciales de orden su p erio r............................................... 163
3.7 Aplicaciones económ icas: funciones m arginales y elasticidades.... 169
3.7.1 Estudio de la función produ cción ............................................ 175
3 .7 .2 E jercicio s...................................................................................... 179
3 .7 .3 Estudio de la función d em an d a................................................ 181
3 .7 .4 Elasticidad..................................................................................... 186
3.7.5 Ejercicios ...................................................................................... 104
3 .8 T eorem a del valor m e d io ...................................................................... 195
3.8.1 Aplicaciones econ óm icas......................................................... 198
3 .1 0 Ejercicios de a p licación ........................................................................... 202
4 . D I F E R E N C IA L 2 0 9
4.1 In trodu cción ............................................................................................. 209
4.2 Funciones diferenciabíes. Diferencia t o t a l......................................... 215
4 .3 Significado geom étrico d e la diferen cial............................................. 216
4 .4 Recta normal a una su p erficie.............................................................. 218
4 .5 Cálculo aplicando diferenciales............................................................. 219

INDICE 3
4 .6 Aplicaciones económ icas del concepto de diferencia to ta l 226
4.6.1 Sustitución de factores en la producción....................... 226
4.6.2 Sustitución de bienes en la función utilidad.................. 228
4 .7 Diferenciales sucesivas............................................................................ 233
4 .8 Cuestionario de re p a s o ......................................................................... 235
4 .9 Ejercicios de aplicación .......................................................................... 235
5 . F U N C IO N E S C O M P U E S T A S , I M P L I C I T A S Y H O M O G E N E A S 2 3 9
5.1 Funciones com puestas........................................................................... 239
5 .2 Derivadas de funciones com pu estas................................................... 242
5.2.1 Derivadas de funciones compuestas de una variable
independiente............................................................................... 242
5.2.2 Derivadas de funciones compuestas de varias variables
in depen dien tes............................................................................ 246
5.2.3 O tros ejercicios de aplicación ................................................... 247
5 .3 Funciones im plícitas............................................................................... 253
5 .4 Derivada de funciones im plícitas........................................................ 255
5.4.1 Ejem plos de funciones económ icas definidas en forma
im plícita......................................................................................... 259
5 .5 Ecuación del plano tangente cuando la superficie está expresada
en forma im plícita.................................................................................... 262
5 .6 Funciones h o m o g é n e a s ......................................................................... 264
5.7 Teorem a de E u le r................................................................................... 267
5.8 Funciones económ icas h o m o g én ea s.................................................. 269
5.8.1 Funciones de utilidad h o m o g é n e a s ............................... 269
5.8.2 Funciones de producción h om ogén eas......................... 272
5 .1 0 Ejercicios de aplicación ........................................................................... 279
6 . F O R M U L A S D E T A Y L O R Y D E M A C L A U R IN P A R A
F U N C IO N E S D E D O S V A R I A B L E S 2 8 5
6.1 Introducción ............................................................................................. 285
6.2 Fórmula de Taylor y M ac Laurin para funciones de una variable .. 287
6.3 Fórmulas de Taylor y Mac Laurin para funciones de dosvariables.. 291
6.4 Aplicaciones económ icas de la fórmula de Taylor y Mac Laurin
para funciones d e dos variab les ................................................ 306

4 INDICE
6.5 Cuestionario de re p a s o ........................................................................ 310
6 .6 Ejercicios de aplicación......................................................................... 310
7 . E X T R E M O S 3 1 3
7.1 Introducción............................................................................................ 313
7.2 Extremos para funciones deuna variable........................................... 314
7.3 Extremos para funciones dedos variables.......................................... 317
7 .4 Aplicaciones econ óm icas..................................................................... 337
7.4.1 Discriminación de precios....................................................... 337
7.4.2 Problem a de una empresa de producción m ú ltip le 341
7.5 Extremos condicionados...................................................................... 343
7.5.1 M étodo de L a gra n ge ................................................................ 344
7 .6 Aplicaciones económ icas deextremosligados o vinculados 355
7.6.1 Combinación de costo mínimo con nivel de producción fijo 355
7.6.2 Maximización del producto con costo fijo ............................ 358
7.6.3 Maximización del beneficio para un nivel de ventas dado .. 361
7.6.4 Maxim ¡2ación de la utilidad con renta fija ............................ 362
7.6.5 Minimización de los gastos del consumidor con utilidad fija . 366
7.6.6 Maximización del ingreso en producción conjunta con una
cantidad de Insumo fijo ............................................................ 368
7.7 Cuestionario de rep a so......................................................................... 372
7.8 Ejercicios de aplicación..................................................... 372
8 . IN T E G R A L E S M U L T IP L E S : IN T E G R A L E S D O B L E S 3 7 9
8.1 Introducción ............................................................................................ 379
8.2 Integral d efin id a ..................................................................................... 380
8.2.1 Propiedades de la integral definida ....................................... 382
8.2.2 Teorem a del valor m edio del cálculo in tegral...................... 383
8.2.3 La función área com o función prim itiva............................... 383
8.2.4 Cálculo de la integral definida mediante la p rim itiva 384
8.2.5 Integrales con límites in fin itos................................................ 385
8 .3 Aplicaciones de la integral d efin id a .................................................... 386
8 .4 Integrales iteradas.................................................................................. 400
8.5 Integrales d o b le s .................................................................................... 404
8.5.1 Interpretación geom étrica........................................................ 407
8.5.2 Propiedades de la integral d o b le ............................................. 409
8.5.3 Reducción de la integral doble a integrales iteradas 410

INDICE 5
8 .6 Aplicaciones de las integrales d o b le s .................................................. 411
8.8 Ejercicios de aplicación.......................................................................... 426
9 . IN T E G R A L E S M U L T IP L E S : C A M B I O D E V A R I A B L E S 4 2 9
9.1 Introducción............................................................................................. 429
9.2 Cambio de variables en las integrales d o b le s .................................... 432
9 3 Integrales triples....................................................................................... 437
9.3.1 Propiedades de las Integrales triples....................................... 441
9.4 Reducción de integrales triples a integrales iteradas..................... 442
9.5 Aplicaciones de las integrales triples.................................................... 443
9.6 Cambio de variables en las integrales múltiples................................. 450
9.7 Cuestionario de rep a so........................................................................... 452
9.8 Ejercicios de aplicación.......................................................................... 452
1 0 . E C U A C IO N E S D IF E R E N C IA L E S O R D I N A R I A S D E P R IM E R
O R D E N 4 5 5
10.1 Introducción............................................................................................. 455
10.2 Ecuaciones diferenciales. Definiciones y fundam entos..................... 456
10.2.1 Existencia y unicidad de solu ciones....................................... 459
10.3 Ecuaciones diferenciales de prim er o r d e n ..................................... 462
10.3.1 Ecuaciones diferenciales con variables separables 462
10.3.2 Ecuaciones h om ogén eas......................................................... 473
10.3.3 Ecuaciones diferenciales lin eales........................................... 478
10.3.4 Ecuación de Bernoulli.............................................................. 487
10.3.5 Ecuaciones diferenciales exactas........................................... 489
10.4 Cuestionario de rep a so........................................................................... 494
10.5 Ejercicios de aplicación........................................................................... 494
1 1 . E C U A C IO N E S D IF E R E N C IA L E S O R D I N A R I A S D E
S E G U N D O O R D E N 5 0 1
11.1 Introducción. Teorem a de existencia................................................... 501
11.2 Ecuaciones diferenciales de segundo orden reducidles a ecuaciones
de primer o rd e n ....................................................................................... 502
11.2.1 Ecuaciones donde falta la variable d epen dien te................ 502
11.2.2Ecuaciones en las que falta la variable independiente 504

6 INDICE
11.3 Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden con coeficien
tes constantes.......................................................................................... 505
1 1 4 Ecuaciones diferenciales lineales hom ogéneas de segundo orden
con coeficientes constantes.................................................................. 506
11.5 Ecuaciones diferenciales lineales no hom ogéneas (completas) de
segundo orden con coeficientes constantes...................................... 514
11.6 Cuestionario de rep a so ......................................................................... 523
11.7 Ejercicios de aplicación........................................................................ 524
A . R E S P U E S T A S , S U G E R E N C IA S Y S O L U C IO N E S A L O S
E J E R C IC IO S P R O P U E S T O S 5 2 7
A . 1 Capitulo 1 ............................................................................................ 527
A .2 Capítulo 2 ............................................................................................ 536
A .3 Capítulo 3 ............................................................................................ 541
A .4 Capítulo 4 ............................................................................................ 545
A .5 Capítulo 5 ........................................................................................... 546
A .6 Capítulo 6 ............................................................................................ 548
A .7 Capítulo 7 ............................................................................................ 548
A .8 Capítulo 8 ............................................................................................ 549
A .9 Capitulo 9 ............................................................................................ 550
A .10 Capítulo 1 0 ............................................................................................... 551
A . 11 Capitulo 11 ............................................................................................... 555
B IB L IO G R A F IA 5 5 7

C ap ítu lo 1
FU N CIO N ES D E VARIAS VARIABLES
1.1 In tro d u cció n
E l conocimiento del cálenlo infinitesimal os requisito previo indis
pensable para acometer el estudio de casi cualquier rama ele la matemá
tica superior
John Yon Neumann, uno do los matemáticos más notable de
este siglo en su obra “The Mathenmhciarí’ ha escrito:
*'E1 cálculo ha sido el p rim er lo g ro d e la m atem ática
m o d e rn a y resu lta d ifícil e x a g era r su im portan cia.
C re o qu e d efin e do fo rm a m ás in equ ívoca qu e cualquier
o tra cosa el co m ien zo d e la m a tem á tica actual; el
análisis m a tem á tico, qu e es su d esarrollo lógico, cons
titu y e to d a v ía el m áxim o avance técn ico realizad o en
el cam in o del pen sam ien to rigu roso"
La mayoría de las cuestiones teóricas del cálculo infinitesimal
pueden expresarse cu términos geométricos, de modo que el cfílenle y la
(¡Cómairia constituyen una unidad cuyo estudio es indispensable.
El estudio de 1
¿
ls funciones entre números variables limitó en
el curso de Análisis Matemático I, al caso de una variable independiente:
explícit.ámente
V -■ f ( x ) '1-1]
o, en forma implícita
F ( * , í, ) « 0 ' 1.2;
Ampliaremos esta 1
imifación definiendo funciones entre unías
variables. Por simplicidad nos referiremos ai caso de dos variables indo-

8 Cap. 1 FU N C IO N E S D E V A R IA S V A R IA B LE S
pondLccUcs (se ttat.au ow L.4): explícitamente
- = y) (1.3)
o, en forma implícita
(1.4)
Sin embargo, haremos la generalización correspondiente en aqno-
j)o<i casos en que la consideración de ties o más variables independientes
sea de interés y las aplicaremos a la interpretación de los fenómenos
científicos o económicos.
Yá lóeonomía. pot ejemplo, cuando so consideran t e compras
rio nn individuo en el mercado, la demanda para un bien cualquiera de
pende no sólo dol prodo riel mismo, sino también del nivel de su renta
monetaria y do los precies de los bienes conexos
Teniendo en cuuuia que debernos generalizar la noción de deriva
da ordinaria y los métodos del cálculo diferencial (además del calculo in
tegral) desarrollados en el primor cursa para no fracasar en este seguido
curso, es nocesario dominar los temas o,s! lidiados en o! primero y los con
ceptos de geometría que exponemos a continuación.
1.2 Conceptos básicos de geom etría analítica
Espacios ™chicos Todo conjunto no vacío de elementes llamados
punios, entre los cuales se ha definido la función distancia, constituye
un espacio ruélvic/i.
Distaocm de. un punto X a otro Y es un número icai uu ne
gativo, que denota*omos con |X — Y y que goza de las siguientes propto-
dades:
L a d ista n c ia d e X a Y os la m ism a que d e Y a X, es d ecir, sólo depende
dol p a r d o p u n to s y no do su o rd en , luego:
bY - Y = 0 X r (1.5)
i x - v í + í x ■ z > ¡y - z
X -Y = Y -X (1.7)

1.2 Conceptos básicos de geometría analítica 9
1.2. t Espacio aw'li&iunn rt-riimeTisioncl
Se. llama n-upla a una sucesión de n números. Si con R n in
dinamos el conjunto de todo* los puntos de un espacio i■dimensional,
con írenuencia resultará conveniente representar un punto de R * por
una sola letra tal como X. O sea llamamos pimío X en este espacio a
i.oda n-upla ordenada de números reales
X = {Xi,X2, . . . ..Tn)
Dos n-uplas ordenadas
X - (r.u x2.
. . ••,3 *) y y =* (y) ./;/■>,... ;yn)
coinciden si y sólo si
*1 = V i; -T
*» = ]Í2 ■••; S-n - Vn (1.8)
Se llama distancia enelidiana entre dos puntos
X = (x , X'2 , . . . ;x n) = . yn) o simplemente distancia, al
núincro real
y - X| = | - i t f ~ + fe:. - X»)1 + . -TlVn - x n)* (U ))
El espacio asi definido se llama espooo cudtdinno n- d?traer**
siono}. Puede demostrarse que este espacio es un espadométrico La
expresión anterior de distaríaa coincido para ti = 2 y n — 3 con la que
(v¡ obtiene para la distancia cuclidiana entre dos puntos en el plano (R 2)
y en el espacio (R 3) respectivamente (ver expresiones (1.11) y (1.12))
mediante aplicación del teorema de Pitágoras.
Así como desistíamos un punto do. un espacio de n-dimensiones
por una 7i-ado ordenado. o u-npla de números i cales, para designar uri
punto de un espacio de dos dimensiones (R 2) emplearemos un por ordo-
nodo o dupla de números reales (a*, y) (donde x es la primera componente
c
* y os la segunda componente) y para designar un punto de un espacio
de tras dimensiones (R 3) emplearemos una leiam. orden ado de mimeros
reales.
Consideremos los distintos sistemas de coordenadas*

10 Cap. 1 F U N C IO N E S DE V A R IA S V A R IA B LE S
1.2.2 Sistema coordenado lineal
Sabemos qne lo» números reales pueden representarse gráficamente
por los puntos de una línea recta.
A -|/2 7/3 B P
I - L . I l .............................................................................................................................
-2 - 1 0 1 2 3 4 x
F igu ra 1
En el esquema (figura 1) al establecerse una correspondencia
biunívoca entre puntos de un recta y los números reales se obtiene un
sistemo, coordenado y en este caso como todos los puntos están sobre la
misma recta, el sistema se llama coordenado lineal o sistema unidimen
sional
El número real x correspondiente al punto P se llama coordenada
del punto P y se indica P (x ). Análogamente: A (-2); B(3); etc. La
distancia entre dos puntos A (a ) y B (b ) se denota con |AB| y es igual a
la expresión :
A B ~ b -a (1.10)
En el ejemplo
|3B| = | 3 - (- 2 )| = 5
1.2.3 Sistema coordenado bidim.ensional o plano
El sistema anterior no nos permite representar puntos de un plano,
para ello cuusiduramos el esquema (figura 2)

donde a cada punto corresponde un pm ordenado, (primeva componente:
abeisa; segunda componente: ordenada) de coordenadas y cada par or
denado de numeras se identifica con un punto, llamado gráfica del par
ordenado. Éste sisterna rectangular de coordenados en el plano establece
una correspondencia biunívoea entre cada punto del plano y un par or
denado de números reales.
Si como en la figura 2 un punto P en el plano tiene coordenadas
(a, 6), indicamos este hecho escribiendo P (a , 6); en la misma figura con
sideramos el punto Q (4,-1).
Dados dos puntos P (íó , y) y (x -¿, ) corno se ve en la figura
3, aplicando el teorema de Pitágoras, la distancia entre dichos puntas
puede calculiarse por medio de la siguiente fórmula:
l ^ i ^ l “ y / fa - * i )2 + (V2 * V i)2 ( 1-11)
1.2.4 Sistema coordenado triáim enjiorw ! o en el espacio
Los sistemas anteriores no nos permiten representar puntos del
espacio, para ello utilizaremos el sistema de coordenadas rectangulares
en el espacio que consiste

12 Cap. 1 F U N C IO N E S D E V A R IA S V A R IA B LE S
Figura 4
(figura 4) cu referir cada punto a tres píanos mutuamente perpendicu
lares que se cortan en el punto 0 , origen del sistema (pues para localizar
un punto en el espacio necesitamos otra dimensión, que denominaremos
Z o eje de cotas, además de las dos dimensiones del sistema coordenado
plajio, llamados X c Y. Estos tres planos (coordenados) se cortan por
pares, determinando tres ejes coordenados, uno vertical (el Z) y dos
horizontales (X e Y).
En la práctica es suficiente trazar los ejes coordenados, como en
la figura 5.
El eje X so lia trazado formando un ángulo de 135° con c *je Y,
pero representa una recta perpendicular al plano Y Z , que es el plano de
la página.

Para medir distancias sobre los ejes Y y 7 n nn forma paralela a
)u»s mismos se utiliza la eseaJa completa mientras qnc las distancias medi
das a lo largo del eje X paralelamente al mismo se acortan, generalmente
hasta alrededor de siete décimas (y/2¡2) de la escala completa. Esta dis
minución en la escala do representación sobre el eje X paralelamente a
él se realiza para aumentar el efecto de profundidad en la perspectiva.
Dado un punto P cualquiera del espacio determinamos su posi
ción haciendo pasar por P planos paralelas a los coordenados, que cortan
a los ejes X, Y y Z en los puntos A , B y C respectivamente (figura 6).

14 Cap. 1 F U N C IO N E S D E V A R IA S V A R IA B LES
¿,
c
■igura 6
/
o
z
y B
/
Estos planos, junto con los coordenados forman un paralelepípedo
red orectainrular.
Las distancias de P a las planos coordenados están dadas por
las longitudes O A. O B y OC, números reales que llamamos respectiva
mente x, y, 7. y que constituyen las coordenadas de P ;la s indicamos por
P(x< 2
/, -)■
Observamos que un sistemo, de coordenadas rectangulares en el
espacio establece una correspondencia biunívoca entre cada punto del
espacio y una terna ordenada de numeras reales.
Ejercirio l t Indicar las coordenadas do Ion puntos A , B. C, D. O y P
de la figura 6 .
Solución. Las coordenadas pedidas son: A(x,0.0); B(0,v.0); C(O,0,z);
D(x.y,0)j 0(0,0,0) y P(x,y,z).
E je rc ic io 2: Trazar los puntos —i) y —3,4).
Solución. Como se indica en la figura 7, para trazar el punto P>. asig
namos a x y a y los valores 3 y 4 respectivamente, obteniendo el punto D
sobre el plano horizontal X Y . Por dicho punto y perpendicular al plano
horizontal X Y . Por dicho punto y perpendicular al plano mencionado,
llevamos el valor —i. obteniendo P.

Análogamente, para trazar P2 los valores —2 y —3 determinan
E. Por éste, perpendicular al plano horizontal llevamos 4 *midades. obte
niendo p2
Dados dos puntos P{x,y, zx) y P¿(x-¿,y2 > del espacio (figura
S) para hallar la distancia entre ios mismos
construimos un paralelepípedo cuyas caras sean paralelas a los planos
coordenados y en el que los puntos P y P2 sean vértices opuestos Si
A(x-¿1
y i, Z j) y B (x 2 ,U2 >z) eligen como en la figura, resulta
¡P,.4| = x2 - X ii; AB = y2 —yil; BP¿ = |r2 - z-¡;

16 Cap. 1 FU N C IO N E S D E V A R IA S V A R IA B LE S
A
E l triángulo P iA B tiene un ángulo recto en A y el triángulo
A
P iB P i uu ángulo recto en B. Por lo t.tinto
P7a 2 + |
A B 2 = I K s l 2; l ^ s f + m 2 = p y ^ l 2;
0 sea
T R 2 = * | 7 A | 2 + m 2 = ( * J - X i ) 3 + ( j f t — V i ) 2 + ( i s -
Luego la fórmula de la distancia pedida es
p j f = - * i )2 + (!/2 - !/iT2 + t e - *1 j* (1 .12)
L u g a r g eo m étrico o con ju n to d e puntos:
Hemos insto que existe una correspondencia biimívoca entre los
puntos del plano (o del espacio de tres dimensiones) y los pares ordenados
de niuñeros reales (las ternas ordenadas de números reales), llamados co
ordenadas del punto. Nos interesa encontrar ahora una correspondencia
similar, entre elementos geométricos como curvas del plano o superficies
del espacio, y elementos algebraicos como ecuaciones en dos y tres
variables respectivamente.
Llamamos iugar^geom.éfjico o conjunto de puntos a todos los
puntos del plano (o del espacio) que verifiquen una o varias propiedades
geométricas y sólo a ellos. O sea, si un punto del plano (o del espacio)
no verifica dichas propiedades no pertenece al conjunto de puntos.
Para indicar que “C es d conjunto de puntos del plano de coor
denadas x,y que cumplen cierta propiedad p" escribimos C = {P (x , 2/)
tales que cumplen p}.
Análogamente, en R ? la notación es C = {P { x ,y ,z ) t.aies que
cumplen p } indica que “C es el conjunto de puntos del espacio de coor
denadas x, y, z que cumplen la propiedad p”
A continuación desarrollaremos el concepto de curva en el plano
como un subconjunto de puntos dei plano y también obtendremos los
conceptos de curva alabeada y superficie como subconj untos de puntos
del espacio.

1.2 Conceptos básicos úe geometría analítica 17
1.2.5 Estudio de gráficos en el plano
Un conjunto de pares ordenados tiene una gráfica que consiste en
el conjunto formado por las gráficas de los pares ordenados individúalas.
E je r c ic io 3
IVazar la gráfica del conjunto {(x,t/)/0 < r < 4; 1 < y < 3}
Solución.
La gráfica la coastituye el rectángulo sombreado (figtira 0).
Si se tiene una ecuación (o inecuación) en dos variables x e y, es
decir F (x , y) = 0 o F (x ,y ) < 0, se dice que el par (a, fe) es solución de
la misma si al reemplazar x por a e y por b la ecuación (o inecuación)
resulta -verdadera.
Por ejemplo, (3,4) es una solución de la ecuación
x ¿ + y ¿ = 25
puesto que 3” + 4 2 = 25 es una ecuación verdadera. En cambio (2,1) no
os una solución puesto que la ecuación 22 4- ¿ = 25 es falsa.
E l conjunto S de todas las soluciones de una ecuación en dos
variables es llamado conjunto solución o gráfica de la ecuación.
Dado un conjunte? S de puntos en el plano coordenado se de
nomina uecnación do S” a la expresión — 0 , tal que el conjunto
de todas las soluciones de esta ecuación constituye el conjunto S.

1.2.6 Estudio de cuinos en elpln.no o espacio de dos dimensiones.
Conviene recordar las siguientes gráficas en el plano.representadas
por:
1). Ecuaciones de prim er grado:
Lo. Recta. La ecuación general de la recta es
A x H- B y 4- C = 0 (1.13)
con A , B y C constantes cualesquiera, siempre que A y B no sean si
multáneamente nulas.
La forma simétrica es (ver figura 10), con p y q distintos de cero
(1.14)
Siendo p el valor de abasa donde la recta corta al eje x y q el
valor de ordenada correspondiente a la intersección con el eje y.
La forma explícita es
y = m x + q (1.15)
siendo m la pendiente (recordar que m = tg<p) y cuya ordenada al origen
es q (intersección con ol eje Y.

Como caso particular, si q *= 0, la ecuación es
y = 7
7
?,T (1.16)
(la recta pasa por el origen de coordenadas)(figura 1 1 ).
La ecuación de la recta que pasa por un punto P i(iy . y-.) y tiene
pendiente m, es
V - V = m ( x - x i ) 11.17)
Variando la pendiente, la anterior es la ecuación del haz de rectas
(figura 12) que pasa por P*.
Dado un punto perteneciente a un plano, el conjunto de todas
las rectas incluidas en ese plano que pasan por el ¡junto se denominan
haz de rectas que pasan por dicho punto, en consecuencia su ecuación
responde a la expresión (1.17) donde la pendiente m es variable.
Y
O
Figura 12
X

20 Cap. 1 FU N C IO N E S D E V A R IA S V A R IA B LES
Otros casos particulares rasult.an cuando en (1.13), una o más
constantes son nulas.
Así, si C = 0, la recta pasa por el origen. Si A — 0, resulta,
reemplazando
C
V = ~
B
o sea, y = etc, que podemos indicar
V = k (1.18)
la recta es horizontal, es decir paralela al eje X (figura 13).
Y
y = k r
k
X
0
Figura 13
Además, si A = C = 0, resulta k = 0, o sea
í/ = 0
que es la ecuación del eje X.
Análogamente, si B = 0, la recta es vertical, es decir
(1.19)
( 1.20)
es la ecuación de la recta paralela al eje Y (figura 14)

1 2 Conceptos básicos de geometría analítica 21
Y
r
h
0 X
Figura 14
Si B = C = O, resulta h = 0, o sea
x = 0 (1 .21)
que es la ecuación del eje Y.
2) Ecuaciones de segundo grado
Las ecuaciones de segundo grado en dos variables se pueden
escribir en la forma general
A x2 + B xy + Cy2 + D x + E y -+ F = 0 (122)
en donde todos los coeficientes son constantes y al menos uno de los
tres primeros,distintas de cero. Las valores relativos de loscoeficientes
determinan el tipo de curva representada por la ecuación. Las más uti
lizadas en nuestro estudio son las cónicas:
a) La circunferencia. Una circunferencia es el lugar de los puntos
de un plano situados a una distancia dada r (radio) de un punto fijo C
(centro).
Designando por P {x ,y ) un punto cualquiera de la curva (figura
15), es CP = r , o sea, según (1.11)
y / { x - h y + ( y - k y = r (1.23)
o bien
(.x - hY + (y - k f = r 2 (1.24)

22 Cap. 1 F U N C IO N E S D E V A R ÍA S V A R IA B LES
que es la ecuación, en Coima ordinaria, do a circunferencia de centro
C (k , k) y radio r.
Figura 15
O
P (x .y)
Si el cent ro coincide con el origen (figura 16)>por ser h = k = 0,
se reduce a
x 2 + y2 = r2 (1.25)
ecuación de la circunferencia con centro en el origen.
Desarrollando (1.24) obtenemos la forma general de la ecuación
x ¿ H- y2 H- D x + E y + F = 0
O sea, si (1.22) representa una circunferencia A = C y B = 0.

E je rc ic io 4:
¿Cuál es el lugar de los puntos P (x ,y ) cuyas coordenadas satis
facen la inecuación (x - h )2 + (y - k )2 < r 2?
Solución:
Como el primer miembro de esta inecuación os el cuadrado de
la distancia CP entre el punto (h ,k ) y cualquier punto (x tf/); entonces
la expresión establece que la distancia CP debe ser menor que el valor
r; es decir que dicha ecuación se satisface para todos los puntos cuya
distancia al punto (h ,k ) sea menor que r. (|CP| < r).
Dichas puntos pertenecen al círculo de centro (h^k) y radio r
excepto las que pertenecen a la circunferencia borde (por ello represen
tamos en línea punteada la curva borde o frontera).
Y
^
/ P
/
I

/
/
Figura 17
N O T A : Si la inecuación es: (x — h)~ + (y — k )2 < r 2 su gráfica
corresponde a todo el círculo de centro en (h ,k ) y radio r incluida la
circunferencía borde.
b) Lo. pm'ííbola. Una parábola es el lugar de los puntos del plano
que equidistan de un punto F, llamado foco y de una recta denominada
directriz ambos incluidos en el mismo plano.
Entonces designado por P ( x ty) un punto cualquiera de la curva
(figura 18), debe cumplirse |FP| = |FA|*

24 Cap. 1 FU N C IO N E S D E V A R IA S V A R IA B LES
Por la fórmula de la distancia (1.11)
y
'1 7 ^ 1 = 1 ^ + 11
Igualando estas dos expresiones, elevando al cuadrado y simplificando,
resulta
y 1 = 2 p
x ( 1.20)
que es la ecuación de la parábola de vértice en el origen y eje X
L a ecuación general de la parábola cuyo eje es paraleto
(o coincide con) el eje X es de ia forma
y2 + D x -f- E y + F = 0 (1.27j
O seaf si la expresión ( 1.22) representa una parábola como la
mencionada, entonces A — f í = 0.
Análogamente, si el vértice está en el origen y su eje coincide
con el eje Y (figura 19), la ecuación de la parábola es

c) La elipse. Una elipse es el lugar geométrico de los puntos
P [x ,y ) cuya suma de distancias a dos puntos fijos Fj y llamados
focos, es constante.
Si designamos por (2a) a la suma |
F 1(P| + P¿P de las distancias
(figura 20), entonces las coordenadas de P deben satisfacer la ecuación
Z ( x + c )- +T ,2 + ^ { x - c f + y2 = 2 a (1.29)
Para simplificar esta expresión, transponemos el segundo radical
al segundo miembro de la ecuación, elevamos al cuadrado y reducimos
términos semejantes
(1.30)

26 Cap. 1 FU N C IO N E S DE V A RIA S V A R IA B LE S
Volviendo a elevar al cuadrado y simplificando, se obtiene
= 1 (1.31)
a2 o} - c2
Pu erto que la suma |/*P| H- £'¿P — '2<
> de dos lados del
¿N ______
triá n g u lo F3F es m ay o r q u e oí t.cieer lad o |F , Fj = 2o. resulto. 2n > 2c,
en consecuencia 4a- > Acr => a2 > c2 =? ci¿ -- c~ > O E n to n ces «al ser
a- — c2 p o sitiv o , su ra íz c u a d ra d a es roal y p o d fb a . taloi* que denom i
n a rn o s ‘b ’ o sea: b¡= /b 2 — c2
Reemplazando en (1.31) obtenemos
quo oh la ecuación canónica de la elipse (con centro en ni origen y ejes
coincirlont.es con los ejes enordenados), donde o y b son los semiejes mayor
y m ehor respectivamente (ver figura 20).
La ecuación general de la elipse cor. ejes paralelos a les coorde
nados es
A ? - -f C y L + D x + E y + F = 0 (1.33)
con )«i condición do que si <*r Ja expresión (1.22) j(presenta una elipse
corno la mencionarla,A y C deben tener el mismo signo v B — 0.
dj La hipérbola tina hipérbola es el lugar geométrico de los
puntos P(:r,?y) cuya diícrcncia do distancias a dos puntos fijos P y P¿
(focos) os constante
Si la constante es igual a 2a (ver figura 21) se tiene la condición
v / U - c V + J V 2 - - f íx + cy + If- = 2a

v
bisum 21
x
a
Siguiendo un razonamiento análogo al efectuado en la elipse, •*> obtiene
Esta expresión parece exactamente igual que la obtenida pava
la elipse, pero ahora a2 — c2 es negativo, ya que la diferencia de los dos
lados del triángulo fq F-¿P es menor que el tercero: 2u < 2c. Así. en este
caso, c2 — ar es positivo y su raíz cuadrarla real y positiva la dosignarc-
(1.34) obtenemos
que es la ecuación canónica de la hipérbola, donde a v b son los ejes
transverso y conjugado, respectivamente (ver figura 21).
I.a ecuación general de la hipérbola con ejes paralelos a los coordenados
es
con la condicióu de que si la expresión ( 1.22) representa una hipérbola
como la m encionada^ Y C deben tener signos opuestos y B — 0.
Como caso particular, si a = b, la hipérbola se llama hipérbola
equilátera y la ecuación (1.36) toma la forma más sencilla ícon eje
transverso coincidcntc con el eje X )
A r 4- C y2 *h D x 4* E y 4* F = 0 (1.3b)
(1.37;

28 Cap. 1 F U N C IO N E S DE V A R IA S V ARIABLES
/ 2 .7 Estucho do gráficos en el espacio
Repasaremos las principales gráficas y las ecuaciones respectivas
on el espacio, haciendo algunas consideraciones previas.
Angulos y cosenos directores. Si consideramos dos recias no
copianares decimos que se cruzau. LIairiamos ángulo de dos rectas que
se cruzan al formado por otras dos rectas cualesquiera que se cortan, de
modo tal que estas últimas rectas tienen el mismo sentido y son paralelas
a las anteriores.
L a dirección de una recta cualquiera r en el espacio {ver figura
22) se determina por los ángulos que forma con los ejes coordenados.
Si r 110 pasa por el ongen, trazamos r’ por O, paralela a r y del mismo
sentirlo. Los ángulos a. fi v 7 formados por r’ v las partes positivas de
X, Y y Z se llaman ángulos duvelores de la recta dirigida r.
En lugar cío dichos ángulos, con frecuencia emplearemos los cosenos de
los mismos. Estos cosenos (cos(a), cos(.tf), cos(*,)) se llaman tcoseros
directores de r.
Si de la recta conocemos dos puntos P i(x 1. ¿n, ~i) y P¿(x 2, y¿, z-¿)
y hacemos pasar por ellas planos paralelos a los coordenados (ver figura
23) estos planos forman un paralelepípedo recto rectangular que tiene a
P P¿ por diagonal y a ¡ V, P Vi y P por aristas.

Teniendo en cuenta que
í ’iV'i = A iA ? — x ¿ — x-i
~P V'i — B B 2 = i/:» - Vi
= = Z.-Z:
resultan de los triángulos
F ig u r a 2 3 a )
que
x 2 -
co s e •=
SP2
(1.38;
(1.39)

30 Cap. 1 FU N C IO N E S D E V A RIA S V A R IA B LE S
eos 7 = ^ # (1-40)
r l 2
respect.ivamenlc .
Números directores. Si consideramos números que sean propor
cionales a los cosenos directores, reciben el nombre de números direc
tores.
Una recta dirigida tiene un número infinito de numeras direc
tores. pero solamente tiene un conjunto de cosenos directores.
Si a. b y c son números directores de una recta, los indicaremos
[a, b, r] debiendo cumplirse que
b C (1.41)
cosa eos/? eos 7
Si en (1.88) multiplicamos las cosenos directores por PiP-¿ ve
mos que una terna de números directores de la recta que pasa por
P: t e i, yi , - i ) y , y-¿, z2) es
[x 2 - x t i y2 - 2/
1,22 - ^il (1.42)
Angulo formado por dos rectos. Condiciones de paraleh.sm.0 y
ríe pcrpendiculo.ri.dnd.
Dadas dos rectas 77 y r2 cuyos ángulos directores son a 1
? /
3|, 7 i
y c¿, 0 2 >72 respectivamente y considerando un punto cualquiera de
i 'i. para hallar el ángulo 0 que las mismas forman (fig 24) proyectamos
sobre r 2 la poligonal O R Q P ) , así como su resultante O P j, obteniendo
QP eos0 — O R cvsct2 -b R Q eos 02 + Q P i eos 71
pero
( jR = O P ¡ cüsaL
R Q — OP eos 0i
Q T = O P ¡ c os7 X

reemplazando, resulta
O P eos 9 = O P eos a i eos -f ü f eos ¡3i c o s/b •¥O P eos -; eos
o sea
eos 9 =2 eos a i eos a¿ + eos fi eos &¿ + e o s l eos --2 (1-43J
Si, como caso parí icular, las rectas son paralelas v están dirigidas
en el mismo sentido, sus correspondientes ángulos directores síin iguales.
Entonces
eos a i ^ c o s a *
eos 0! = eos 1%
eos 7 j = cos->*
luego
jh £i_
cIj bn C
2
siendo (1.44) la comb a ón de pomlelis7no de dos •nieta.s.
(1 44!
En cambio, si son perpendiculares, 9 = 90" por Jo tanto eos'? =
0.
Según (1.43)
eos e¡i eos 02 + eos (3i eos 02 + eos -) eos y¿ = 0
luego
fi) a2 + ¿162 + cxc2 = 0 (1-45)
que es la condición de perpendicularidad de dos redas.

32 Cap. 1 F U N C IO N E S DE V A R IA S VARIAD LES
c
S
' I&tiid?o de sapcí/t'ac.s o * e i espacio
7
7
/ p/er?o
Vimos que en geometría analítica del plano, considerando un
per do ejes coordenados, podernos hacer corrresponder o cada ecuación
cv dos vanebíes
F (x .y )-^ 0 (1.46)
o en fon na explícita
?
/= / (* ) (1.-17)
una línm plan o que constituye la gráfica de aquella ecuación. También
vimos que. recíprocamente, considerada una línea plana definida geomé
tricamonto, so puedo encontrar una ecuación, (1 4fi} o (1.47). veiiíioada
solamente por las coordenadas de todos los pumos do la línea.
Análogamente, en geometría analítica de) espacio, dada una
¿cuaoóv- en tres m m i f o
n ^ v , 2) * o (1.48)
o, en forma explícita
z = C(T-,y) (1.49)
<4 lu g a r g eom étrico d e to d o s los p u n to s y so lam en te d e los p u n to s, cuyas
c o o rd en a d as satisfacen (3 48) y ( 1.40), co n stitu y o u n a .m p vrfi(.in que es
la g ráfica d e la ecuación d ad a. R ecíp ro cam en te, d a d a en el espacio una
su p erficie defina ;a cm fo rm a g e o m c tria n p u e d e hallarse u n a expresión
a n a lític a ( 1.48) v ( 1.49) c u m p lid a ú n ica m en te p o r las coordenadas de
to d o s los p u n to s d e la superficie. E sa ex p resió n co n stitu y e la a c u n o ó n
d e la superficie.
Comenr.nvemos con la ecuación lineal, estudiando la superficie
más simple que es el plano
Sea el plano rj que contiene al punto P (x . j-¡, ¿ i) y es perpen
dicular a la recta n, cuyos números directores son ¡.4, B , C] (fig. 25).

1.2 Conceptas básicas de geometría analítica 33
Sea P (z .y > z ) un punto cualquiera .diferente de i l , sobre ex y r la recta
que pasa por A y P, y que. por cotisigrliante está contenida en el plano,
entonces r y n son perpendiculares entre .sí.
Según (1.42) los números directores de r son [x —Xsy — ?/¡,
~ - ~ i ) luego, por (1.45)
A (z - X ]) + J . i ( y - V i ) + C [ Z - 2 i ) = 0 (1.50)
que os la forma ordinaria do la ecuación de un plano que pasa
por un punto.
Desarrollando (1.5(1)
A x + B y -h C z - [Á X j + *f C-z{ ) — 0
- D
y reemplazando la expresión constante por el término constante - D ,
resulta
A z + B y + C z + D - i ) (1.51)
que os la- forrnn. yenerol de la ecuación d tl plano.
Recíprocamente, puedo demostrarse, que toda ecuación de. la
forma (1.51) representa un plano.
Luego, toda ecuación lineal de la forma
A z -f B y + C z + D = 1
)

34 Cap. 1 FU N C IO N ES DE V A R IA S V A R IA B LE S
en la que por lo menos uno de los tres ooefioient.es (A B, y C) es dife
rente de cero, ropiosonta tin plano, cuyos coeficientes (A. B, C) son los
mimeios directores de .su normal.
Observamos que en este espacio, las ecuaciones condenen, en
general, tros variables; pero su número puede ser meñor.pues si uno de
los coeficientes es ceio, por ejemplo C de (1.51) es cero, la normal al
plano es perpendicular al eje Z y por consiguiente el plano as paralelo a
ese eje y perpendicular al plano determinado por los ottos dos.
Así
A x + B y + D ^ 0 (1.52)
t
-. la ecuación de un plano tí (lig.26) paralelo al eje 7. y perpendicular al
plano X Y.
Comparando (1.52) con (1.13) vemos que mientras en el plano
la ecuación lineal en dos variables representa una iect.a, en el espudo,
la misma ecuación, representa una superficie, en este caso un plano per
pendicular al plano X Y.
Si dos de los coeficientes son nulos, por ejemplo B = C = 0, la
ecuación (1.52) se reduce a
A z + D = t) (1.53)
en ose caso el plano os paralelo al plano coordenado determinado por las

ejes correspondientes ;i las variables ausentes. De (1.53)
D
x = — - = constante
O sea,
X T - ¡¡ (1.54)
en el espado es la ecuación de un piano 7 pa: alele al plano YZ (fig. 27).
Comparando (1.54) con (1.20). vemos que la misma ecuación considerada
en el plano representa uno recta paralela ál eje Y (ñ g.llj.
Figura 27
C bm o in d icam o s e n la figura 27, h es ia clist.fiiicía en tre el origen
y el p u n to en q u e el p lan o corta al eje X. P o r lo tan to , si adem ás es
D = 0, o sea B = C — D = 0, re su lta
x = 0 ( 1 . 5 5 !
que es la ecuación del plano Y Z (fig. 28);

36 Cap. 1 FU N C fO N ES D E V A R IA S VARIABLES
Fisura
c o n fro n ta r co n ( 1.21).
Auuílo¿amonte en ios demás casos
y = k
que os la ecuación tic un piano paralelo al XZ.
J = 6
quo os la ecuación tlrJ plano XZ.
Z = = k
que es la acuna ón de un plano paralelo al X Y .
2 = 0
que es la ecuación del plano X V .
(1.56)
(1.57)
(1.58)
(1.59)
E cu acion es d e la recta en el espacio d e tres dim ensiones
Dijimos que si un conjunto cíe puntas del espacio satisfacen una
condición, .su representación geométrica es una superficie (en particular
estudiamos el plano); s¡ satisfacen, en cambio, do* condiciones será una
curva en el espacio.
Sabemos también que dados dos conjuntos de puntos C y C¿,
la unión de esos dos conjuntos, que indicamos
Cx u G t

el conjunto de puntos í<t i nados por todos l o s punto* que pertenecen
a C', y a G9> mientras que la intersección que indicamos.
c n c 2
es el conjunto formado por los puntos que pertenecen simultáneamente
a C ] y a C q .
Luego, si
C — {P {x .y .z )/ x = h; y, z arbitrarios} y
C 2 = { P (x ,y ,z ) I z = k] x, y arbitrarios}
C tiene ecuación x — h — 0, siendo un plano paralelo al YZ (figura 29).
C 2 tiene ecuación z •• k = 0. siendo un plano paralelo al XY.
z Figura 29
X
La ecuación do G U C? es
(x - h ){z — k) = 0
y rl conjunto C¡ U C< está constituido por los dos planos.
Las ecuaciones de C n C 2 c-s el sistema
r x - h = o
{ t - k = 0
y el conjunto C n C i es la recta r (figura 29) de jntorscx:dón de
los planos {x — h y z = k) paralela al eje Y.

38 Cap. 1 FU N C IO N E S DE V A R IA S V A R IA B LES
O sea
X = k (1.60)
z = k
son las ecuaciones ele una recta paralela al eje Y . Es decir, conside
radas separadamente, cada una de las ecuaciones de (1.60) coastituyen
la ecuación de un plano; mientras que consideradas simultáneamente,
son las ecuaciones de una recta en el espacio de tres dimensiones.
Análogamente, resultan
x = h
y = k
que son las ecuaciones de una recta paralela a) eje Z.
y = h
.
z = k
que son las ecuaciones de una recta paralela al eje X.
En particular, resultarán
X s s s 0
2 = 0
que son las ecuaciones del eje Y.
que son las ecuaciones del eje Z.
x = 0
V - 0
V = 0
2 = 0
(1.61)
(1.62)
(1.63)
(1.64)
(1.65)
que son las ecuaciones clel eje X.
O tras fo ím o s im p o rta n te s de las ecuaciones de la recta en el
espacio.
Sea la recta r(A,B,C] y P i(x i,flii z) un punto de la misma
(figura 30). Luego r es el lugar geométrico de los puntos P {x ,y ,z ) tales
que los números directores de PP, [x —X.y — y, z — z^], son propor
cionales a A , B, C y el punto P pertenece al lugar.

1 2 Conceptos básicos de geometría analítica 39
Llamando t al factor de proporcionalidad, estas condicionen son
x —Xi = A t
y - y ) = B t (1.66)
z - z i = C t
A medida que t varía, P genera la recta, siendo ( l (Stfí las ecua
ciones paramétricas de r.
Eliminando en (1.60) el parámetro fc
, obtenemos jas ecuaciones
de la recta en formn. simétrico.
que es importante recordar. Solamente dos, de las tres ecuaciones de
(1.67), son independientes.
0 tra 3 su p erficies. C uád ricas. Estudiamos la ecuación lineal en tres
variables, o sea el plano.
Es muy importante también el estudio de la ecuación de segundo
grado con tres variables:
A x 2-+ B y 2 + C z 7+ D x ij -f B x z ■+F y z -+ G x + H y 4 i z -f K = 0 (1.68)
en donde uno, por lo menos, de los seis coeficientes ÍA. B. C. D, E ? F)
es distinto de cero.

Las superficies que representan se llaman caddriais; es (1.68) la
ecuación de una cuádrica en forma general
Sin hacer un estudio detallado de estas superficies, que com
pletaremos con los ejercicios (ver 1.0), mencionaremos las más utilizadas:
a) Ia superfino esférica:
Una superficie esférica es el lugar geométrico de todos los plintos
del espacio cuya distancia a un punto fijo C, llamada centro, es
constante. Esa distancia dada se denomina radio de la superficie esférica
(r).
Designando por P ( x , y t z) un punto cualquiera de la superficie
(figura 31), os CP = r. o sea, según (1-12)
[x - h )2 + (y - k)2 + ( z - i ) 2 = r2 (1-G9)
que es la ecuación, en forma ordinaria, de la superficie esférica de centro
C { K ki 0 y radio r.
Si el centro coincide con el origen, por ser
h = k = 1 = 0
x 2 + y '¿ JrZ2 = r ¿ (L.70)
se reduce (1.69) a

e c u a c i ó n d e l a .st i j íc *rl ic j* * c s í m e a u m c c n i n j c u e l o r i g e n ,
b) Curídricns con centro.
Se llaman así a las que tienen un centro de simetría, e l origen
La ecuación canónica es de la forma
o o o
* í _ ± g ± - = i
o? b2 c2 (1-71)
representando las siguientes superficies:
1) Elipsoide renl: (todos los coeficientes positivos)
i ! f !
o ? + ti2 + c2
N O TA : ver ejercicio 14 a continuación
- 1 (1.72)
2) Hiperboloide de una hoja: (dos coeficientes positivos, uno
negativo) por ejemplo:
O 'i
b2 c2 u
(1.73)
en esto caso el eje de simetría es z; en correspondencia con el coeficiente
negativo del término en z *.

H iperboloide
3) Hiperboloide de dos hojas: (un coeficiente positivo,
dos negativos) por ejemplo:
9 O
_ í l + ¿ _ £ l = i
a2 fi2 c2
(1.74)
en este caso el ee de simetría es y, en correspondencia con e¡ coeficiente
positivo del término en y¿.
c) Cuádricnx sin centro: Cuya ecuación es de la forma:
i 2 y2
± — ± ¿ r = C Z
a2 o2
(1.75)
representando las siguientes superficies:

1) Pamboloide elíptico: (los coeficientes del primer miembro
positivos) por ejemplo:
0 . ^ 1 ?
(1.7G)
la gráfica tiene eje z y como z > 0 responde al siguiente gráfico:
Un caso particular es el paraboloide circular donde a — b, es
decir:
La ecuación
> 'f
x ¿ y ¿
— + — cz
= k(x* + >S)
V “ z *
k x = 4-r + —
F c*
corresponde a un paraboloide elíptico de eje x y la ecuación
a:- 1/
^ = “T + T?
a2
corresponde a un paraboloide elíptico de eje y. Por ejemplo:
y ~ a*2 -f z2 tiene por gráfica:
(1.77)
(1.78)
(1.79)
(1.80)

44 Cap. 1 FU N C IO N E S DE VA R IA S V A R IA B LE S
z
Paraboloide
elíptico
Y
X
2) Pnruboloxit hiperbólico: (un coeficiente positivo y otro nega
tivo) Por ejemplo:
I.a gráfica corresponde a una siipoifric simétrica respecto al
plano yz (ir — 0).
Grafioamos z — - r 2 y7
corresponde a un paraboloide hiperbólico simétrico respecto al plano XZ
( y = Ü)
La ecuación
(1.82)

Análogamente pueden determinarse ecuaciones de paraboloides
hiperbólicas con otra orientación.
d) Superficie-'» ol'iirh'kw-5 Están engendradas por lina recta
(genorata iz) que se muevo de tal manera que se mantiene siempre paralela
a una recta lija dada y pasa siempre por una curva fija dada (directriz';.
Si las generatrices son perpendiculares al plano de su directriz,
dicha superficie cilindura se llama reet.a y. en caso contrario, oblicuo
Una ecuación do segundo grado que contenga dos variables re
presenta en el espacio una superficie cilindrica recta cuyas generatrices
son paralelas <
a
l eje de la variable ausento. La directriz tiene la inisina
ecuación que la superficie y está sobre el plano coordenado que es per-
pcndiculai a las generatrices de la superficie.
Ejemplo 1:
x 2 = 47/
es la ecuación de una superficie cilindrica patabólica (ver figura
siguiente), en el espacio de tres dimensiones. (Observar que dicha ecua
ción, en el plano, representa una parábola de eje Y y vórtice coinciden'o
con el origen)
/
c ilin d r o
p a r a tiú lio u

V -
Ejemplo 2:
x 1 -t- r 2 =s r - es la ecuación de una superficie cilindrica circular
de eje Y {variable ausente.

46 Cap, 1 FU N CIO N ES DE V A R IA S V A R IA B LE S
Su directriz es ia circunferencia x2— — t 2 incluirla en el plano
X Z (y - 0)
Análogamente se determinan ecuaciones correspondientes a su
perficies cilindricas parabólicas, elípticas o circulares en distintas posi
ciones.
Ejemplo 3:
es la ecuación de una superficie cilindrica cilindrica elíptica ele eje X
(variable ausente).
Su directriz es la elipse = 1 incluida en el plano yz (x = 0)
N O T A : ver ejercicio 17 a continuación

Análogamente se determinan ecuaciones currespendientes a su
perficies cilindricas paiabúlicas, elípticas o amularas en distintas posi
ciónas.
« ) Superficies cóniois.
Están engendradas por una recta (generatriz) que se mueve de
tal manera que pasa siempre por una curva fija (directriz! y por un punt.u
fijo (vértice) no contenido en el plano de osa curva.
Una ecuación de segundo grado representa una superficie cónica
con vértice en el origen, sí y solo si es homogénea un polinomio es ho
mogéneo cuando todos sus términos son del mismo grado) en las tres
variables
Su ecuación es
(siempre que los t.res signos no sean iguales).
Ejemplo 1:
(1.83)
í l + £ _ £ i = 0
a2 i P c2
as la ecuación de una superficie cónica elíptica do eje Z y vértice en eí
origen de coordenadas.
Si n = b la superficie córnea es circular con el siguiente gráfico:

48 Cap, 1 FU N C IO N E S DE VA R IA S V A R IA B LE S
Ejemplo 2:
es Ifi ecuación de una superficie cónica elíptica de eje y y vértice en el
origen ele coordenadas.
/
v elíptica de eje Y
N O T A : Ver observación en el ejercicio Id a continuación.
R esum iendo:
- Una ecuación con una variable representa:
• En la recta: un conjunto de puntos
• En el plano: un conjunto de rectas paralelas al eje de la otra
Z
Y
variable
• En el espacio: un conjunto de planos paralelos al plano opuesto a
la variable.
Una ecuación con dos variables representa:
• En el plano: una curva

1.3 Conjuntos puntuales. Entornos. Recintos 49
• En el espacio: un conjunto de planos paralelos al eje de la variable
ausente (si la ecuación es lineal); o una superficie cilindrica con
generatrices paralelas a la variable que falta (si la ecuación es de
segundo grado)
■ Una ecuación con tres variables representa en el espacio una superficie
1.3 Conjuntos puntuales. Entornos. Recintos
Para discutir funciones de dos o más variables, necesitamos conceptos
asociados con conjuntos de puntos en das o más dimensiones.
Recordemos previamente que en el primer curso de Análisis
M atemático hamos trabajado con funciones reales, cuyos dominios son
intervalos en el eje X (cada número representado geométricamente por
un punto de una recta) y que distinguíamos intervalos que incluyen sus
extremas do aquellos que no los incluyen.
Si q < b, llamamos intervalo abierto )a,b( al conjunto de todos
los puntos cuyas abscisas x verifican la condición (figura 34)
Si a < ó. llamamos intervalo cerrado [a, /
;] al conjunto de todos
los puntos cuyas abscisas x verifican la condición (figura 35)
a < x < b
no incluyendo los extremas.
Figura 34
a < x < b
incluyendo las extremos.
Figura 35

50 Gap. 1 FU N C IO N ES D E V A R IA S V A R IA B L E S
Análogamente, pueden definirse intervalos semiab'iertos :
K ó ] y |a,6(
Si C’o £ R ‘ y S os un número real positivo, llamamos esfera,
hiperesfem o bola completa o cerrada, de centro Co y radio 6 al conjunto
{le todos ios puntos P tales que su distancia a Ce es < ó. La iadiarem os
E (C o,S ).
En las mismas condiciones, llamamos esfera., o bola abierta al
conjunto de todos los puntos P tales que su distancia a Cn es < La
indicaremos E (C n,6).
Si Ce € R l la esfera cerrada ps un segm ento.Si Co £ R 2 la esfera
cerra d a es un círcu lo y si Co € R 3 la esfera cerrada es una esfera.
Si un subconjunto de R a está contenido en alguna esfera cerrada
<te centro 0 (11,0,0) decimos que es acotado y, cu caso contrario, que no
es acotado.
Si Co € R n y 6 > 0, el conjunto de todas los puntos de R n tales
que
P - C o < 6
sfc llama» gntpTTsu de Cu, con radio 6 y lo representamos con E(Co, S) o
E (C q) es decir un entorno de Co está incluido en R n, es un subconjunto
de R n que contieno una esfera abierta con centro en Co.
Si F es un entorno de Co, llamamos entorv.o y-eAuci.do de Co, al
conjunto C. R n que resulta de excluir al punto Co de E. Lo indicamos
E’'(C o). O sai,
F ( C 0) = £(Co) - {C U
En el espacio R 1 el entorno reducido representa geométrica
mente a un intervalo abierto de centro Co(zo) y radio 6 (figura 36):
F (C o ) - { x ¡ x - x0< 6} (1.84)
excluido Ce».

O
Xq - 6 *0 Xq + 5
Figura 36
En R 2 el entorno reducido representa geométricamente el interior de im
círculo de radio ó> excluido el centro Cí>(^o ■2/o) (figura 37)
E '(C } ) = {(x,?/) / (x - X rt)- + (?; -Ifi , ) 2 < ó2} (1.85)
En R * el entorno reducido representa geométricamente el interior de una
esfera de radio 6, excluido el centro Cof^o Vo> io) (figura 38)
E '(C o ) = { x , y , z f { x - xoy + { y - j/o}2 + (z - * ) 2 < 62) ( 1.86)
l '
^
í
9 0 * 1 7 5

52 Cap, 1 FU N C IO N ES DE V A RIA S V A R IA B LE S
v X
V
T am b ién d eberem os c o n sid era r en nuestro estudio entornos cu ad rad o s
Entorno cuadrada d e sem iam plifud 6 > 0 de un p u n to Cofx'm po)
os el c o n ju n to de* p u n to s (x*, y) ta le s que
í I?; - z a< ó
{ y - V o ' < £
E n el e sp a d o d e d a s dim ensiones definim os tam bién al intervalo
cairado: as to d o rectán g u lo d e lados paralelos a los ejes definido p o r los
p u n to s {x,y) tale s q u e (fig u ra 3 9 )
(e n R ‘ ) y e n to rn o s cú b ico s (e n R 3 ). especialm ente los prim eros
(1.S 7)
Y
Fig ura 39

Suprimiendo el signo igual eu las expresiones autoriores resolta
el m torvo lo abierto.
En general, trataremos con un subconjunto S — ((:i,y ) de pun
tos de B 2}. Tal conjunto divide al plano en dos partes, el conmuto S y
los restantes puntos del plano que constituyen el complemento de S.
{.3 1 dosificación de pantos
P u n to de acum ulo cÁón. Un punto, que puede pertenecer o no a un
conjunto S, se dice de acum ulación de dichoconjunto, cuandoen todo
entorno reducido suyo hay algún punto de S.
P es punto de acumulación cíe S V £ '(P ) 3 x £ S O E P )
P linto interior. Un punto perteneciente a un con¡unto S, se dice
que es h ite n o r al mismo, cuando existe un entorno Suyo chic es pune de
S; o sea. todos los piuit.os del entorno pertenecen a $.
P es punto interior a S ^ 3 £ (P j / E (P ) C S
P u n to exterior. Un punto se dice que es cite.nor a un conjunto S
,si hay al¿pin entorno suyo que no contiene ningún punto del conjunro; o
sea, un punto exterior a] conjunto S es punto interior del complemento S.
P es exterior a S o 3 E ( P ) / E ( P ) n S = 0
P unto de. frontero. Un punto se dice de frontera de un conjunto
S al cual pued^ o no [icneneccr,si ¿n todo entorno suyo hay al^nn punto
que pertenezca a S y algún punto que no pertenezca a S
P es frontera P no es interior )' Pno es exterior
P u n to aislado.Un punto que pertenece a un conjuntoS se dice
aisia do,s existe algún entorno reducido suyo (pie no contieno ningún
punto de S.Luego el punto aislado es un ejemplo de punto de frontera.
P es un punto aislado de S & P C
: S A 3 E * [P ) > E '(P ) O S - 0
• iron/,e7a hVontera de un conjunto es el cxmjunto formado por sus

54 Cap. 1 FU N C IO N ES D E V A R IA S V A R IA B LE S
puntos de frontera,
• Contorno. Contorno de un conjunto es el conjunto de los puntos
no exteriores que son puntos de acumulación de puntos exteriores
aJ conjunto.
• Conjunto abierto . Un conjunto S se dice abierto si y sólo si todos
sus puntos son interiores al conjunto,
• Conjunto cerrorío. Un conjunto se dice cerrado si su complemento
es abierto; o también, cuando la frontera del conjunto pertenece al
conjunto, en consecuencia todos sus puntos son de acumulación.
• Conjuntos conexos. Conjuntos tales como círculos, rectángulos,
etc, en que dos puntos cualesquiera pueden unirse mediante una
poligonal de un número finito de lados y cuyos puntos pertenecen
todos ni conjunto considerado, se dicen corvejos. En caso contrario
se dicen inconexos.
• Recmf.o o regv.ón abierto* Es un conjunto conexo cuyos puntos son
todos interiore*.
• Región Es un conjunto conexo formado por un recinto y alguno o
todos sus puntos frontera,
• Región cerrada o recinto cerrado. Es el conjunto formado por los
puntos de un recinto más su frontera.
1.4 Funciones
Según 1a definición de Dirichlet,decimos que “una función es una
correspondencia que asigna a. cada demonio de un conjunto dado un
único eleme7¡¿o de otro conjunto (distinto o no do aquél)” .
Exigiendo así las condiciones de existencia e unicidad que
caracterizan a la relación funcional.
Indicando con ’la correspondencia mencionada en la definición
y con A y B los conjuntos dados, podemos escribir
/ : A - B
que se lee “/ es una función de A en B ” .

1.4 Funciones 55
A se llama, conjunto de partida o dominio.
B se llama con.junto de llegada.
Además, si a € A , el elemento b de B que 1
c
*corresponde a o. se
llama imagen ele a, que indicamos f(c ) y se lee " f ele n."
La condición de existencia so expresa
Vx* 6 A 3 y € B / / (t)
La condición de unicidad se expresa
V i 6 A y Vi e B .y v t £ B : { f { x ) = yl A / (i) = = *y ¡ =y-¡}
Repaso de funciones de una variable
Ejemplo í.
Sea A = {19G4,1065,1966,1967} v
B = {150.000,180.000, 130.000,220.000}
Si indicamos
1 t £ A ^ 1 5 0 0 0 0
/ - f c . 1 s n n n n
i y o o
/
^ 1 ü u . w U
— . i i n n o n
i s v v
1 9 6 7 /
/
♦ l J V . ’
J 'J I J
2 2 0 . 0 0 0
Figura 40
Se trata de una función que a cada año de A, le hace corresponder, por
ejemplo, la producción de heladeras en dicho año (ligura 40)
Ejemplo 2
Consideremos la venta anual de tractores desde 1980 a 1987:
1980 13.000
1981 17.000
1982 11.000
1983 ■
' 12.000
1984 15.000
1985 13.000
1986 9.500
1987 10.000

Es preferible* representar las fundones mediante un gráfico carte
siano (figura 41).
17000
15000
I3UD0
I (000
O000
1980 S 82 53 84 S5 86 87
Figura 4 ]
Se trata rio una función que a cada año, desdo 1980 a 1987, le
hac:o corresponder el número de traetor&s producidos anualmente.
E n m atem ática., si bien so em plean tab las p a ra definir funciones,
es posib le fro ru im tctn cn te d efin irlas m ed ian te u n a fórm ula.
Ejemplo 3: A - {1,2,3} , B « {1,2,3.4.5. ü)
Sea la función f :A —>B d a d a por x 2x E sto quiere decir
que c a d a elem en to d e A se tran sfo rm a en su duplo.
T 2 í
Figura 42

1.4 Funciones 57
Observarnos que el gráfico J (figura «12; do la inación / es c)
conjunto de todos los pares ordenados en los que a G A osla como primer
dem ento y su imagen como segundo elemento. O sea
.f: - {(a ,!'} / a € A. b = f ( a ) }
Ejem plo 4'- Sea la función / : R-*-' Ti dada por r -• 2v.
Observamos que la fórmula es [a misma, pero ahora d coniunto
de partida es el ele ios números reala.*» y también ésto o.s conjunto de
llegada.
La representación cartesiana da una idea clara cr la fundón,
gráficamente es una recta que pasa por el origen (figura 43) y cuya
pendiente (m — 2). (Ver 1.2.6).
La fórmula x —> 2a: puedo escribirse así: /(.*;) — 2x. quiere decir
qic la función transforma cada x en 2t, por ejemplo, /(3) — 6; o también
puede escribirse y — 2z, que quiere decir que si darnos valores a x obten
ernos los valores “y’' del conjunto de llegada.
Como una vez fijado el valor de x queda determinado el valor
di* y, se dice que y es la dependiente. A x la llamamos vanoble
independiente.

58 Cap. 1 FU N CIO N ES DE V A R IA S V A R IA B LE S
Ejemplo 5. Considerarnos f :R —> R dada por la siguientefórmula
í / (x ) = f para x < 2
^ f [ x ) — x para x > 2
Una función puede estar dada, como en esteejemplo,por una
combinación de fórmulas.
Quiere decir que para valores de x menores o iguales que 2 em
pleamos una fórmula v para x mayor que 2 otra fórmula Así obtenemos
la siguiente tabla de valores y la gráfica respectiva (figura 44).
Ejemplo 6 . Sea la función f ( x ) = -3.
Si como en este caso no se mencionan ambos conjuntos de par
tida y de llegada, supondremos que ambos conjuntos coinciden con el
conjunto de los números reales; o sea. estudiarnos funciones de variable
reo.1.
La dada es !a llamada función constante (ver 1.2.8) que a todo
número real le asigna un mismo número, en este caso —3. (Fig. 45)

JA Funciones 5 9
Y
y
‘2 -3
-1 -3
0 -3
1 -3
0
& -3
% -3
Fisura 45
y = - 3
• Observación i . Exchu’mos fiel conjunto de partida los números
reates para los cuales la función no está definida. Por ejemplo, el
conjunto de partida de la función
x
está constituido por todos los números reales menos el 2; o sea
R — {2 }, pues dicha función no está definida para i = 2, ya que
no es posible la división por cero.
Efectúe el lector la gráfica asociando a cada número x ^ 2 el
numero
x
7 ^ 2
• Observación c
2. En los ejemplos de funciones relacionadas con la
economía advertimos que:
1. Se trata en general do funciones de valores aisladas.
2. No se dispone de una fórmula simple que fiefina esos valores.
3. En general las variables tornan valores no negativos.
En cambio, en matemática aparecen frecuentemente funciones
que:
1. Están definidas para todo valor real de modo que su gráfica es
"unida” .

2. Se dispone de una fórmula que permite hallar los valores de la
función
Esto no quiere decir que no se den en economía o en mate
mática funciones de otro tipo.
La matemática lia desarrollado métodos profundos e ingeniosos
en el análisis de sus problemas; emplearemos esos métodos como auxi
liares de las investigaciones econónácas.
Los recursos de la matemática ya han dado pruebas de su poten
cia cu otros campos ele la actividad humana: física, química, ingeniería.
Por otra parte, las ciencias que se valen de )a matemática plante
an también a esta última nuevos problemas, manifestándose nuevamente
la interdependencia entre lus distintos campos del conocimiento.
Hemos repasado las funciones de una variable independiente,
pevo como dijimos (ver L l). en economía emplearemos fundones de dos
o más xziriabltts; por ello pasamos a considerarlas.
Funciones u campos escalares de dos variables
Si dado un con junio do partida A, la función F 1c asigna a cada
par ordenado do mímetes reales pertenecientes al mismo, un único el
emento de otro conjunto do llegada B, se dice que F es una ¡unción o
ce7
y.po esadan de dos obles
Es decir: dada F : A —•
1R / A C R 2 es una función o campo
escalar de dos variables si el D orn F « A (condición de existencia) y 1a
imagen correspondiente a cada elemento es única (condición de unión
dad).
Si por ejemplo'
A
m
(i. i)
(0.2)
6

1.4 Funciones 61
le corresponde el diagrama de la figura 4G
(1,0> —
M
(1. Ds
< 3
(ü, 2/
— 6
(3, 3>
Figura 46
Siguiendo la ñoración clásica expresamos una función de dos
variables mediante la forma
2 = F{x, y)
donde x c y son las variables independientes, z la variable dependiente y
que se lee “ z es función del par ordenado (2 ,7/)’'
Entonces la condición dc^u^oitiiSf pnede expresarse como
f(x,y)r.A 3 ; € R / F(x,y) « c
y la condición de unicidad equivale a*
V (x ,2
/ ) r A y z G R ,V 22s R : [F(x,y) * ^ A F{x. j) = ; 2 ^ z} = s 2]
La gráfica de la función de! ejemplo antci ior en un sistema carte
siano será 1111 conjunto de ternas ordenadas de números reales o sea,
geométricamente, un conjunto de puntos aislado» (figura 47) en el espa
cio tridimensional 7?

62 Cap. 1 FU N C IO N ES DE V A R IA S V A R IA B L E S
Observamos que mientras las variables independientes x e y se
representan en ol plano X Y, la variable dependiente z se representa sobre
eje Z.
En (l.fi) efectuamos las representaciones gráficas.
1.5 Subconjunto de variabilidad
Hemos puntualizado que, para definir una función es preciso in
dicar
• El dominio.
• El conjunto ck: llegada
• La tabla o la fórmula qun define la transformación.
Sin embargo, cuando no se indica expresamente lo contrario, se
entiende que ei domn tio es el subeonjunto de pares ordenados (x ,y ) para
los cuales está definida la función, o sea que satisfacen a z = F ( x , y ) .
A este subconjunto, que llamaremos snbeonjunto real de
variabilidad, se le ha llamado tradicionalmente campo de variación de
{x,y) o campo existencia! de la función, denominación que preferimos
evitar porque la palabra campo se emplea actualmente en matemática

7.5 Subconjunto de variabilidad 63
en otro sentido.
E jercicio 5.
Deterntinar y representar el subconjunto de los pares do número*
reales para los cuales eslá definida la función
1
/ - - 9 _ ( l 5 + j,J)
Solución:
K1 denominado: debe ser distinto de cero; como en este caso el
denominador se anula para x : -f?/2 = 9 (er (1.2.13)), ésto significa que la
función darla está definida para todo punto [x, y) del plano excepto para
los puntos de la circunferencia (figura 481 de centro en el origen y radio 3
O sea el subconjunto pedido es
S = {( x , 2
/) € R '/ x 2 + y2 = 0}
solamente se exciuj'on los puntos pertenecientes a la circunferencia.
E je rc ic io 6
Determinal' y representar el subconjunl o de los pares de números
reales para los cuales está definido el campo escalar

Solución.
Para que 1a raíz sea real. el radicando debe ser no negativo
4 —x 2 —y2 > 0. En este caso, el radicando será negativo para
x 2 Jry 2 > 4 . Luego la función estará definida para todos las puntas de la
ciiciinferencia con centro en el origen y radio 2 y para todas los puntos
interiores a la misma (figura 49).
y " Se excluyen los
puntos
exteriores al círculo
O sea
S = { ( * , * ) € R 2/ x2 + y * < 4 }
Ejercicio 7
Determinar y representar el subconjunto real de variabilidad del
campo escalar
z - ln (l - x 2 - y2)
Solución»
Para que la función esté definida, debe ser
1 - x2 - y2 > 0
O sea
1 - x ¿ - y¿ > 0 =» —x2 - y2 > - 1 =
>
■x2 + y2 < 1
Luego la función está definida para todos las puntos interiores
al círculo (figura 50) con centro en el origen y radio 1. O sea:
5 « { { x , v ) € R 7 ® a + y a < i }

1.5 Subcon¡unto de variabilidad 65
/
Figura 50
S e e x c lu y e n lo s p u n to s
p e rte n e c ie n te s a la
c ir c u n fe r e n c ia x 2 + y 2 « 1
y lo s e x te rio re s a la m is m a
F ^ercicio 8
Determinar y representar el subconjunto rea) de variabilidad de
la función
ln(x2 H
- 7
/
2 — 1)
Solución.
En este caso la función está definida si se cumplen las dos condi
ciones siguientes:
1) ln(x2 + y 2 ~ 1) # 0
2) x2 + y2 - 1 > 0
Por la condición 1)
ln (x2 + j 2 - 1) 0 =>■ x2 H
- y7 - 1 ^ 1 =
$
■cr + y2 ^ 2
Significa que la función está definida para todos las puntos ex
teriores a la circunferencia con centro en el origen y radio 2.(Fig. 51)
Por la condición 2)
x2 + V2 - 1 > 0 ^ x 2 + y2 > 1
significa que la función está definida para todos los puntos exteriores a
la circunferencia (figura 51) con centro en el origen y radio 1.

Luego el conjunto pedido queda determinado por la conjunción
de las dos condiciones. O sea:
5 ^ { ( r 5y) € R 2/ x2 + ?
/
2 # 2 A x2 + y2 > 1}
S e e x c lu y e n Io í p u n i o s p e rte n e c ie n te s a la s
c ir c u n f e r e n c ia s x ’+ y 2= 2 y x 2+ y 2s )
y lo s p u n t o s in t e r io r e s a e st a ú ltim a
E jercicio 9
Determinar y representar el subeonjunto real de variabilidad del
campo escalar
1
£Í _
l ¿i _ i
9 4 1
Solución.
Para que ja raíz sea real, el radicando debe ser no negativo, p ero
además debe ser distinto de cero para que no se anule el denominador.
Luego
** v2 i « v2 ,
y + t - í > q ^ j + Í > 1
Luego la función está definida para todos los puntos exteriores a la elipse
(figura 52) con centro en el origen y semiejes 3 y 2.

1.5 Subconjunto de variabilidad 67
S e excluyen los puntos
O sea:
5 = U i . fy'¡ e R . V ^ - i 7 > ' }
E jercicio lü
Doten nimu* y representar el snbconjnnJo real de variabilidad fie
la función
: = ~ ^ x y ( - x - y )
S o h ia ó ti.
El radicando debe ser no negativo. El producto xy{ l —T.—y) > 0
.si
1) xy > 0 A (1 - x - y) > D
2) xy < Q A { l - x - y ) < ( )
Debemos estudiar por separado las das condiciones:
l ) xy > 0 corresponde a ios puntos de los cuadrantes 1 y III dol
plano X Y (figura 63).

1 - * - 1 / > 0 = 4 > 1 - X > ¿ / = * • y < l - X
a puntos pertenecientes e inferiores a la recta y ^ 1 —x
La conjunción de esas dos condiciones es la intersección entre
ambas conjuntos;corresponde a la parte sombreada de la figura 53, in
cluyendo a los ejes y a la recta.
2) xy ¿ 0 corresponde a los puntos de los cuadrantes II y IV del
plano X Y (figura 54'.
1 - s - y y =* y > l ~ x
a puntos pertenecientes y superiores a la recta y — 1 — x.
La intersección de las dos conjuntos corresponde a la parte som
breada de la figura 54. incluyendo a los ejes y a la recta

1>6 Representaciones gráficas de campos escalares 69
El subconjunto real de variabilidad lo constituyen los puntos
pertenecientes a la unión de los casos (1) y (2) (ver figura 55), o sea
S = {(i,? / )e R 2/ (l - x - y > 0 A xy > 0) V (1 - x - y < 0 A xy < 0 )}
1.6 R epresen tacion es gráficas d e cam pos escalares
Así como las funciones de una variable se representan cu general
por una curva C R 2 en un gráfico cartesiano bidimensional, paro, re
presentar geométricamente una función de dos variables se necesita un
gráfico cartesiano tridimensional donde las ternas (x,y> F ( x , y ) ) repre
sentan los pinitos de una superficie Fi C. R 3 (figura 56)

Como veinos en la figura, determinarlo el subconjunto real de
variabilidad S de la fundón r = F (x . y), a nn punto 7u(^0)!A)) de S,
corresponde para z un valorF ( t q . y r j ) . Luego ( x e n y o ? - F f c c n l / o ) ) 1 ^
coordenadas rectangulares de un punto del espacio. Si el punto Po (^o- yo)
recorre todos los puntas del subconiunto 3, el conjunto de todos las ter
nas ordenadas {io* i/n; -o) que resultan, se llama supof cié representativa
o grnfi.cn de la función dada.
El segmento de recta perpendicular al plano X Y en el punto
Pn, extendido hasta la superficie representativa, representa el número
f ' N . ’/n)-
Por lo tanto, el conjunto de puntos
¿ i = {(^ ü f?/o,-o) C R 1/ (tg,?/o) C S A 2o = ¿'(xo.l/o)}
constituye; la gi aflea b do una función de dos variables.
Representaremos las superficies más utilizadas.
Ejercicio 11
Representar la función
2= - 4 z - 2 y + 8 (1.88)

1.6 Representaciones gráficas de campos escalares 71
Solaciov. Esta superficie resalí a simple de representar, porque igualando
a cero (1.S8) obtenemos la ecuación de un plano (ver 1.2). Luego no
tenemos más que enconUar la intersección de la superficie con cada uno
do los ejes coordenados, (figura 57)
Para hallar la intersección con el eje X. según (1.2) hacemos
2/ = 0 y 2 — 0, i remplazando en (1,83) resulta
0 = = 2
o sea el plano inferseefa al eje X en el punto A(2,(),()).
Análogamente procedemos con los otros ejes, obteniendo las in
tersecciones
con el eje Y l:r— 0: r =- 0), resulta y = 4, o sea B (0,4,0)
con el eje Z íx = 0: y = 0). resulta z — 8, o sea C(0,0,8).
Las rectas d e ir.*ere.v?cción rio u n plano con los planos eooi do
nados se llaman trazas riel plano.
Para hallar la ecuación de la traza .sobre el plano X Y, lineemos
(ver 1.2) 2 = 0, obteniendo al reemplazar en (1.88)
2x + y = 4

O sea
4
0 que es la recta r
Observemos que mientras
2r + y - 4 = 0
en R 2 es la ecuación de la recta intersección (traza) del plano dado, con
el plano X Y ; en R 3 es la ecuación de un plano (ver 1.2) perpendicular
al plano XY.
En forma similar, se hallan las restantes trazas
• sobre el plano X2
4x + z = 8
y = 0
• sobre el plano YZ
j 2 x + z - 8
x = 0
E jercicio 12
Representar la ecuación
x¿ + y2 -f z2 = 16
Investigar si es una velación funcional.
Solución. Sabemos que la ecuación corresponde a una superficie esférica
con centro en el origen y radio 4. Sí bien su gráfica es sencilla, es venta-
joso discutir la ecuación do una superficie antes de construirla.
Limitaremos, cuando sea necesario, nuestra discusión a los pasos
siguientes:
1. Intersecciones con los $¡es coordenados
2. TYaanR con los ejes coordenados

3. Secciones por planos paralelas a los pianos coordenados. Tales
secciones pueden determinarse convenientemente cortando la su
perficie con tuia serie de planos paralelos a Jas ejes coordenados,
permitiéndonos una buena idea de la forma de la superficie que
queremos representar.
En el caso propuesto, las intersecciones con los ejes son:
eje X: y __ = 0, X- = 16 = ±/Í6 ->
(puntos A y A ’ respectivamente, figura 58)
eje Y: x = Z - 0, y1 = 16 => X = -4
(puntos B y B ’)
eje Z: x = V = 0, -2 = 16 => s = =4
(puntos C y C )
Las trazas resultan :
sobre el plano X Y : i 2 + y2 = 16, z = 0
(c.imunfprpnría de radio A, perteneciente al plano X Y ).
sobre el plano YZ: y2 + z2 = 16, x = 0
(circunferencia perteneciente al plano YZ)
sobre el plano XZ: y 2 + z 2 = 16.7/ = 0
(circunferencia perteneciente al plano XZ)
Representando estas curvas en la figura 53, obtenemos la gráfica
pedida.

74 Cap. 1 FU N C IO N E S D E V A R IA S V A R IA B L E S
z
Figura 58
C (0.0,4)
%
w h ü . 0)
(0*4/0) 1 0
/ 1 's |
/ ! J b (0.4.0)
B’
K * t 77 i 1
• / /
' v ' /
* y/
X
? ( 0 , 0,-4;
La ecuación de la esfera no es un campo escalar o relación fun
cional pues si despejamos z de (1.70) obtenemos dos funciones:
21 = + A 2 - ( x 2 +2/2) (1.89)
= -y/r2 - {x 2 + y '¡ ) (1.90)

1,6 Representaciones gráficas de campos escalares 75
no correspondiendo a cada elemento del conjunto de partida un único ele
mento del conjunto de llegada. Es decir que ya no se cumple la condición
de unicidad.
En la figura 59 hemos representado la serniesfera superior, que
resulta al considerar la raíz cuadrada con signo positivo y en la figura
60 la semiesfera inferior que resulta a! considorar la raíz cuadrada con
signo negativo.
En cada caso, para obtener el subconjunto real de variabilidad
debe cumplirse que
i 2 + y2 < 16
Luego, el subconjunto de los pares ordenados de números reales para
las cuales están definidas las funciones (1.89) y (1.90), lo constituyen los
puntas del plano pertenecientes al círculo x 2 +i/2 — 16, o sea de radio 4
(figura 61), incluyendo el borde.
Z
Figura 61

76 Cap. 1 FU N C IO N ES D E V A R IA S V A R IA B L E S
E je rc ic io 13. Representar en R 3 las superficies de ecuación
a ) 2x -h y = 4
b ) ^ = 3
c ) x = 0
indicándola naturaleza de cada una y analizar si corresponden a
gráficos de un campo escalar.
Solud-ón,
a) 2; + y = 4. Representa en R 3 un plano perpendicular al
plano X Y {figura 62), no representativo de un campo escalar.
Figura 62
B(0,4, 0)
L a traza en el plano X Y es la recta 2x 4- y = 4; z = 0
b) z = 3. Representa el plano paralelo al plano X Y. (figura 63) que pasa
por el punto C del eje 2 decot.a3; esrepresentatiyode un campoescolar.
Figura 63
'z =3
2(ü
, 0,3)

c) x = 0. Representa el plano coordenada Y Z (figura 64). No
corresponde a un campo escalar pues no cumple condiciones de existencia
y unicidad-
E jercicio 14
Analizar y representar la superficie de ecuación
16 25 9
Solución.
Las intersecciones con los ejes son (ver figura 65).
eje X: A(4,0,0); A * K O ?
0)
eje Y : B(0,5,0); B ’(0,-5. 0)
eje Z: C(0,0,3); C ’(0,0.-3)
Las trazas resultan:
sobre el plano X Y = 1, 2 — 0, (elipse)
sobre el plano X Z — + = 1, y = 0, (elipse)
(1.91)
sobre el plano Y Z & + ^ = l> i = 0, (elipse)

Las seccione* con planos paralelos a los coordenados, también son elipses.
Sobre los planos paralelas al plano XZ, obtenemos
x 2 z2 , k2
1 6 H
” 9 “ 25’ V ~
A medida que k aumenta a partir de 0, el tamaño de estas sec
ciones elípticas disminuye continuamente, hasta que, cuando k = 5 se
obtiene un punto
16 "1 9" ~
En la figura 05 hemos obtenido una gráfica adecuada de la su
perficie representativa de (1.91) que es un elipsoide, dibujando esquemas
de las trazas y de algunas secciones paralelas a uno de los ejes coorde
nados. Dicha gráfica no corresponde a un campo escalar.
Ejercicio 15
Analizar y representar la superficie de ecuación:
4 9 16
Solución.
Las intersecciones con los ejes (figura 66) son:

1.6 Representaciones grálicas de campos escalares 79
e.ieX: A(2,0.0); A ’(-2,0,0)
eje Y : B(0,3,0); B ’(0,-3, 0)
eje Zr no corta al eje Z
La sección producida por el plano z = 0, es la elipse con centro
en el eje Z y .semiejes 2 y 3.
Las secciones producidas por las planos X Z e Y Z son hipérbolas.
O sea, las trazas sobre los planas X Y , X Z e Y Z son, respectivamente:
elipse.
hipérbola,
hipérbola,
x l y 1
2 = 0
elipses
x z
T “ 16
9 16
Las secciones producidaspor planos paralelos al X Y son las
1, v/ = 0
1, * = 0
De estas ecuaciones se deduce que, a medida que k aumenta de valor,
estas elipses aumentan de tamaño, como se observa en la figura.

Las secciones producida--, pur plauos paralelos a los planos c o o r
den ados X Z o Y Y, son las h e r b o la s
respectivarr.ent o.
E-.uh elem ento-' 'Oii suficientes pava represen tar (figu ra 66) la
su pciticic. no es un hipr-rhrJoid': de m ía hoja, cuddrica que no es cerrada,
sin o que se extien d e indefinidam ente.
SoluciÓTi.
E sta es la ecuación de una cuddrica cu la que se han su prim ido
to d o s los t cim in os de grado inferior a dos; os h om ogén ea en Les tros
variables, luego según i . 2 representa u n ^ o n o cu ód ricv, con v értice en ol
o rig en d e coordenadas i figura 67). Di d ía gráfica no os represen tativa
d e un cam po escalar.
D icha grá fica no corresponde a un cam p o escalar
E je r c ic io 16
Figura 67
Y
para z = (I . y.2 -L ?/
2 = 0 circunferencia pu n to (la su perficie pasa
p o r el origen ).

1 £ Representaciones gráficas de campos escalares 81
para y — G , x ' — por de rectas ( : = t ' / ; = --x constituyen
!a traza sobre el plauu XZ).
para x = 0 , x ¿ H
- y2 — k¿ cita inferencias.
Las secciones con planos y =1 k ó x = k son hipérbolas.
ObseTvaaóv. Antas de clasificar una superficie como superficie
cónica ron vértice en el origen, debemos observar si la ecuación ho
mogénea representa una superficie.
Así, la ecuación
'f- • ')} - _i_ -- — p
es homogénea en r , y, =, pero representa solamente un punto, en el ori
gen.
E jercicio 17:
Analizar representar las superficies de ecuación:
a) x 2 4* y2 = 9
b) x- + c - 2 = 0
Solución
a) X" H
- y¿ ~ 9 . Las trazas resultan:
sobro el plano X Y x~ 4- y~ = 9, 3 = 0
(circunferencias de radio 3) (figura GS)
sobre el plano X Z x* = 9; y — 0
(par de rectas paralelas: ./ = 3; 3'= -3 )
sobre el plano Y Z y2 - 9. x = 1
)
(par de rectas paralelas: y =
-- 3: y — —3)
La directriz es la circnnfeiencia
x 2 4- ?
/
2 = Q
. 2 ~ 0
por este motivo la superficie se dice circuhu.

82 Cap. 1 FU N C IO N ES D E V A R IA S V A R IA B LE S
Figura 68
-3
X
z
.. 3
Y
*
Luego, se trata de un dlindro recto circular^ de eje paralelo al
de coordenadas Z.
b T2 + - - 2 — 0 = ^ 2 = —X2 H
- 2
Las intersecciones con los ejes son (figura 69):
e ;e X :
e je Y :
e > Z :
¿ (+ V 2 ,0 ,0 ); i4'(—
.v^ ,0 ,0 )
no hay intersección
V (0,0,2)
Las trazas resultan:
sobre el plano X Y x =: y/2, z = 0; x *= - v^ . s = 0
(rectas paralelas al eje Y )

1.7 Curvas de nivel 83
sobre el plano XZ z 2 = —(z - 2 ) , y = 0
(parábola de eje Z y vértice V(0,0,2))
sobre el plano Y Z z = 2, x = 0
(rectas paralela al eje Y )
Seccionando con planos paralelos al X Y , obtenemos las rectas (siempre
que k < 2 )
Los planos paralelos al XZ, cortan a la superficie en las parábolas
x2 = - { z - 2 ) , y = k
Los planos paralelos al Y Z , cortan a la superficie en las rectas
c = 2 - / c 2 t x = k
Una parte de la superficie aparece en la figura 69.
Se trata de un cilindro parabólico, cuyas generatrices son pa
ralelas al eje Y v cuyas secciones paralelas al plano X Z son parábolas
congruentes.
1.7 Curvas de nivel
En el análisis considerado para la representación de superficies,
hemos visto que un plano corta a una superficie según una curva; la curva
¿lsí obtenida se llama sección piona de la superficie. Luís más interesantes
son las secciones horizontales (resultantes de cortar las superficies por
planos paralelos al plano X Y ). Tomando diversas secciones horizontales
situadas a distintas alturas del plano coordenado X Y y proyectándolas
sobre éste íes decir, anulando la coordenada z) obtendremos una serie de
curvas en el plano XY, las cuales se denominan cutvoj» de nivel de la su
perficie. que constituyen otro método para representar geométricamente
la función z = F íx . y) y que interpretadas convenientemente nos permi
tirán analizar numerosas cuestiones. Sirven para representar, por ejem
plo, cómo varían x e y, para un valor dado de z, llamado cota. Además
al cambiar las variables independientes el punto (x, y) se moverá por el
plano X Y . y este movimiento, en relación con las curvas de nivel, nos
indicará cómo varia z (o sea, la altura de las diversas secciones de la

superficie)
Simbólicamente la cmva de nivel z = k para un campo escalar
- = F(.r. y) es el conjunto
c n ;._k = {(i-, y) € Dom i7 / i 7(.r,'?/) = A:}
PROPIEDADES:
• Las cuivas de nivel correspondientes a distintos niveles no pueden
interceptarse pues se contradice la condición de unicidad de campo
escalar.
* Para cada cota existe una única curva de nivel
E jercicio ] 8
Representar mediante curvas de nivel la función z = x 2 H
- y2
analizando el campo de variabilidad de z
S ch in rjp .
Las únicas intersecciones con los ejes coordenadas están dadas
poi el origen (figura 70a).

Las trazan resultan*
sobre el plano X Y s • —y2 = 0, 2 = 0 (es un punto deorigen).
sobre el plano X Z x~ = z. j = 0 (parábola de eje Z)
sobre el plano Y Z y~ = c, x —
■U (paral )da de eje Z)
Los planos z — A
: cun /
c > 0 cortan a la superficie en las curvas
x 2 + y2 = k, z = k, que constituye, para todos los valores de k > 0 una
familia de circunferencias, de radio /í. Luego, en el espacio,
z = x 2 --y2 representa un”paraboloide arcular.
Si proyectamos las circunferencias de intersección obtenidas, so
bre el plano X Y , obtenemos
X W « 1 , 2 - 1
H V' = (>/2)2, z ~ 2
x- +7/- = (v^)2, 2 = 3
j*2 4- y2 = 22, z — 4
las curvas de nivel (figura 70.b) que son por consiguiente circunferencias
concéntricas en el origen.

Es imporíante darse cuenta de la superficie observando las cur
vas ce nivel.
Si estudiamos, por ejemplo, las curvas de nivel (fig.71a) obteni-
das también al proyectar sobre X Y las secciones que resultan al cortar
con planos paralelos al X Y , un paraboloide circular, de ecuación
2 = 100- x 2 - y 7 (1.92)
donde z > 0 y por lo tatito x 2 H
- ?
/
2 <100, deberíamos “ver" que didía
superficie tiene; concavidad hacia abajo (fig. 71b), contrariamente a la
anterior. En esta figura indicamos en particular un corte por el plano
z = 76.
La correspondiente curva de nivel es la circunferencia
t 2 + y2 = 25 en el plano X Y . Esta es la circunferencia que en la figura
71a lleva la etiqueta 2 = 75.

z
Figura 7 b
X
z = 75
7 Y
Esta interpretación es muy útil en distintas aplicaciones En la
técnica la función, (1.92) podría representar la temperatura z (en grados
centígrados) en cada punt.o de una placa circular en un instante
determinado. Si consideráramos las temperaturas de una esfera, aco
daríamos un número a cada punto de la superficie esférica. Los puntos
con el mismo valor de z constituirían una superficie isoterma.
En economía, z podría representar determinada producción y
x e y otros factores que intervienen en la misma. Haciendo variar x e
y obtendríamos distintos valores para la producción, mientras que ésta
permanecería constante a lo largo de una curva de nivel, aunque variaran
x e y.
M ás adelante verem os dem ás ap licacion es econ óm icas d e ciir<fc-;
do nivel (ver 1.8)
Si seccionamos la superficie ~ = ,x2 + y '2 con planos paralelos al
plano XZ obtendremos las parábolas
Las proyecciones de estas secciones sobro el plano X Z
(figura 72) para un valor fijo de y por ejemplo, formarán un sistema de
curvas de nivel representadas analíticamente por z = i7
,(a*, A*) dando al
parámetro k diversos valores.
z — X1 + k2t y = k

La curva de la figura 72 representa la sección de la superficie por
i- ]. es decir, la parábola z = l + x 2, que en la suposición señalada
nos indica cómo varía el valor de z al variar x para .;/= i.
E jercicio 19
Representar mediante curvas de nivel la función
■
> . •
)
z = x +?/
Sol"j i(U>.
Ln el espacio, (ver 1.2) z = — y~ representa un paraboloide
hiperbólico.
Ptira representarlo por medio de las curvas de nivel, seccionamos
con ¡danos horizontales z — k. Iue¿o:
z - x - y ¿ ^ k = x- - y
obt «nomos según 1.2 una familia de hipérbolas equiláteras (lig 73).

1 J Curvas de nivel 89
E jercicio 20
H allar la.-, curva-, de nivel de la función
1
x + y
Solución.
Seccionando con pl¡m o* horizontales z —k. re su lta
1 _ ^ ^ ? _ 1 _ r _ k'
r -+
■y x 4 y k *'
olítenemos una familia de rectas paralelas (lisura 74).

90 Cap. 1 FU N C IO N E S D E V A R ÍA S V A R IA B LE S
1.8 Aplicaciones económicas del concepto de curvas de nivel
Cuando el concepto de curvas de nivel se utiliza para funcione? nú-
eroeconómicas el gráfico de las curvas se reduce al primer cuadrante del
plano X Y, ya que las variables intervinient.es en la determinación de las
funciones, en la generalidad de los casos, toman valores positivos o nulas.
I) C U R VA S D E IN D IF E R E N C IA
Consideremos el caso simplificarlo en el que las adquisiciones de
un consumidor están limitadas a dos artículos. Su función de utilidad
ordinal es u = F (q , (fe) donde qxy ^ son las cantidades consumidas de
ius productos o bienes yQ s - Donde el parámetro “u” aparece como
representativo de un nivel de preferencia o satisfacción de ese consumidor
ai distribuir sus gastos entre los dos bienes indicados.
Para entender mejor el concepto daremos tin ejemplo: El sig
nificado de la situación en que un consumidor experimente mayor sa
tisfacción o utilidad de un automóvil que de un conjunto de vestidos, es
que si so le presentase la alternativa de recibir como regalo, o comprar
con parte de su renta, un automóvil o un conjunto de vestidos, escogería
lo primero.
En el caso anteriormente definido donde la adquisición está li
mitada a dos artículos, se denomina “curvas de indiferencia’* al conjunto
de combinaciones diferentes cíe cantidades Q i y Q i para las cuales él
consumidor obtiene el mismo nivel de utilidad, este último represent a la
cota k para la función estudiada.
Dichas curvas surgen de aplicar el concepto de curvas de nivel a
la función utilidad definida por u = F (q ,(fe) donde las curvas están for
madas por todas los pares (í/i, q-¿) para los cuales la utilidad es constante,
dichos pares representan cada tina de las combinaciones que proporcio
nan al consumidor igual grado de
satisfacción.
Por ejemplo: Soa la función utilidad dada por u = í/i.ffe
para u ~ 1 la curva de indiferencia es 1 = q q¿ =*■ <fe = 1 / íi

1.8 Aplicaciones económicas del concepto de curvas de nivel 91
para u = 2 la curva de indiferencia es = 2 / 71
para u = k la c u m de indiferencia es qn = k / qi
La representación geométrica corresponde a las ramas de las
hipérbolas equiláteras correspondientes al primer cuadrante, ya que 71 y
({i son cantidades no negativas.
Características correspondientes para casos normales
• Las curvas son decrecientes, pues al aumentar la inversión en algún
bien debe disminuir la inversión en el otro para mantener
constante la utilidad.
• A l aumentar el valor de 11, las curvas se alejan del origen en di
rección nordeste; el paso de un punto A al B (Figura 75) aumen
taría el consumo tanto de Q i como de Q'¿ por esta razón debe
corresponder a B uu lável de utilidad más alto que a A , ya que
todo coasumidor tiene mayor satisfacción económica cuando puede
aumentar las compras de ambas bienes.
• Las curvas son convexas respecto al origen de coordenadas; esta
condición restringe la forma de las curvas de indiferencia.
• Las curvas no pueden interceptarse ya que para cada combinación
(tfi 1<?2Jsi nivel de preferencia o utilidad es único y particular a cada
consumidor. Si se cortaran existiría una combinación de cantidades

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