Matematica_financiera_-_Javier Miner(Coleccion.Shaum).pdf

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4. Matemática Financiera Javier Miner Aranzábal Profesor titular del Departamento de Finanzas y Contabilidad ESTE Universidad de Deusto, San Sebastián MADRID BUENOS AIRES CARACAS GUATEMALA MÉXICO NUEVA YORK PANAMÁ SAN JUAN BOGOTÁ SANTIAGO SÃO PAULO AUCKLAND HAMBURGO LONDRES MILÁN MONTREAL NUEVA DELHI PARÍS SAN FRANCISCO SIDNEY SINGAPUR SAN LUIS TOKIO TORONTO www.cienciamatematica.com

5. MATEMÁTICA FINANCIERA No está permitida la reproducción total o parcial de este libro, ni su tratamiento infor- mático, ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro u otros métodos, sin el permiso previo y por escrito de los titulares del Copyright. DERECHOS RESERVADOS © 2005, respecto a la primera edición en español, por McGRAW-HILL/INTERAMERICANA DE ESPAÑA, S. A. U. Edificio Valrealty, 1.ª planta Basauri, 17 28023 Aravaca (Madrid) ISBN: 84-481-9829-8 Depósito legal: Editora: Ana Navarro Asist. editorial: Amelia Nieva Compuesto en Vuelapluma, S. L. Impreso en IMPRESO EN ESPAÑA - PRINTED IN SPAIN www.cienciamatematica.com

6. INTRODUCCIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IX CAPÍTULO 1 ALGUNAS CONSIDERACIONES INICIALES . . . . . . 1 Un poco de teoría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 CAPÍTULO 2 CAPITALIZACIÓN Y DESCUENTO SIMPLES . . . . . 5 Un poco de teoría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 El interés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Valoración de capitales por interés simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 La inflación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Vencimiento medio y vencimiento común . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Tasa de recargo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Problemas resueltos y propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 CAPÍTULO 3 CAPITALIZACIÓN Y DESCUENTO COMPUESTOS . 35 Un poco de teoría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Valoración de capitales por interés compuesto . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Valor actual y valor final para períodos de capitalización no enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Valor actual y valor final cuando varía el tipo de interés . . . . . . . . 39 Capitalización fraccionada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Tasa anual equivalente Problemas resueltos y propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 CAPÍTULO 4 RENTAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Un poco de teoría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Clasificación de las rentas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 CONTENIDO V www.cienciamatematica.com

7. VI MATEMÁTICA FINANCIERA CAPÍTULO 5 RENTAS CONSTANTES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Un poco de teoría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Valor actual y final de rentas constantes, enteras, temporales . . . . . 81 Valor actual de rentas constantes, enteras, indefinidas . . . . . . . . . . 86 Valor actual de rentas constantes, periódicas, indefinidas . . . . . . . . 88 Valor actual y final de rentas constantes, periódicas, temporales . . 90 Rentas fraccionadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Problemas resueltos y propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 CAPÍTULOS 6 RENTAS EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA . . . . . . . 121 Un poco de teoría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 Valor actual de rentas en progresión geométrica, enteras, indefinidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 Valor actual de rentas en PG periódicas, indefinidas . . . . . . . . . . . . 127 Valor actual y final de rentas en PG periódicas, temporales . . . . . . 130 Problemas resueltos y propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 CAPÍTULO 7 RENTAS EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA . . . . . . . 145 Un poco de teoría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 Valor actual de rentas en progresión geométrica, enteras, indefinidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 Valor actual y final de rentas en PA enteras, temporales . . . . . . . . . 148 Valor actual de rentas en PG periódicas, indefinidas . . . . . . . . . . . . 151 Valor actual y final de rentas en PA periódicas, temporales . . . . . . 152 Problemas resueltos y propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 CAPÍTULO 8 AMORTIZACIÓN DE PRÉSTAMOS . . . . . . . . . . . . 165 Un poco de teoría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 Reembolso único o amortización a plazo fijo . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 Tanto efectivo de los préstamos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 Amortización «In fine» o reembolso único con pago periódico de intereses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 Cuota de amortización constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 Sistema francés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 Sistema americano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 Amortización voluntaria de préstamos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 Problemas resueltos y propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 www.cienciamatematica.com

8. CONTENIDO VII CAPÍTULO 9 VALORACIÓN DE BONOS Y ACCIONES . . . . . . . . 225 Un poco de teoría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 Tipos de bonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 Cómo se valoran los bonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 Acciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 Cómo se valoran las acciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 Problemas resueltos y propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 CAPÍTULO 10 CRITERIOS DE VALORACIÓN DE INVERSIONES . . 241 Un poco de teoría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 Período de recuperación, Payback . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 Valor Actual Neto (VAN) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 Tasa Interna de Rentabilidad (TIR) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 El efecto fin de año . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 Notas finales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 Problemas resueltos y propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 APÉNDICE I TABLAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 Tabla 1. Valor final de un capital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 Tabla 2. Valor actual de un capital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 Tabla 3. Valor final de una renta constante, entera, temporal . . . . . . . . 288 Tabla 4. Valor actual de una renta constante, entera, temporal . . . . . . . 303 Tabla 5. Cuota de capitalización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318 Tabla 6. Cuota de amortización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333 Tabla 7. Valor actual de una renta constante, periódica, indefinida . . . . 348 APÉNDICE II FORMULARIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363 www.cienciamatematica.com

10. ¿Quién le ha dicho que la Matemática Financiera puede con usted? He escrito este libro con varios obje- tivos en mente: „ Demostrarle que usted puede con la Matemática Financiera y que puede aprenderla de forma autó- noma. „ Sorprenderle con la velocidad a la que puede aprender y pasar a la acción: aplicar lo aprendido. „ Divertirle en este proceso de aprendizaje, arrancarle algunas sonrisas o incluso alguna carcajada. „ Conseguir que la Matemática Financiera le seduzca porque le va a servir para aplicarlas en el ámbi- to profesional y en el de sus finanzas personales. PARA QUIÉN HE ESCRITO EL LIBRO „ Para usted que está en la Universidad y estudia Matemática Financiera, Introducción a las Finanzas o Dirección Financiera. „ Para usted, profesional de la Banca, que necesita tener este tipo de conocimientos. „ Para usted, profesional de otras industrias, que quiere empezar a aprender Finanzas. ESTRUCTURA DEL LIBRO „ Los 10 capítulos del libro contienen un poco de teoría, que se explica con 102 Ejemplos resueltos, y una colección de 423 Problemas adicionales, lo que supone un total de 525 «historias». „ ¿Por qué les llamo historias? Porque los problemas financieros reales son historias que les suceden a las empresas y a las personas. „ ¿Por qué utilizo historias como estrategia pedagógica? Para que usted las experimente como pro- pias, para implicarle emocionalmente. Las historias provocan emociones y pretendo que la Matemática Financiera, a través de esas emociones, le seduzca. Además, las historias pueden ser divertidas, espero que alguna de las mías lo sean, y yo creo que divertirse beneficia seriamente la salud (mental). „ Al final de cada capítulo hay historias, llamadas Problemas, para que usted aplique lo que ha aprendido. Se trata de consultas que usted recibe en un pequeño negocio que ha montado: una consulto- ría financiera virtual (www.mof.mof). Muchas de estas consultas están resueltas, algunas tienen pis- tas para resolverlas además de la respuesta, y otras sólo tienen su respuesta. „ Al final del libro encontrará unas herramientas que pueden serle útiles: unas tablas financieras, que le pueden ahorrar tiempo, y un formulario, para que no se aprenda las fórmulas de memoria. ALGUNAS CUESTIONES DE INTERÉS „ A lo largo del libro, insistiremos en la importancia de representar los problemas financieros que se nos plantean en forma de gráfico de flujos de dinero, esto nos ayudará a resolverlos. INTRODUCCIÓN IX www.cienciamatematica.com

11. X MATEMÁTICA FINANCIERA „ Vamos a usar fórmulas. No les tenga miedo, lo que importa es que las entienda, no que se las sepa de memoria. „ Verá que me gusta emplear problemas «tapados». Son problemas en los que usted está resolviendo operaciones más sofisticadas de lo que cree y de las que hablaremos en capítulos posteriores. Esto me permite empezar esos capítulos con «buenas noticias». AGRADECIMIENTOS „ A mi familia: Olga, con quien tengo la suerte de estar casado, Alexandra y Pablo, mis hijos. Me han animado y han tenido la generosidad de perdonarme que terminara el libro en mis-sus vacaciones. „ A McGraw-Hill, y en especial a Silvia Figueras y Ana Navarro por volver a confiar en mí y en mi forma de escribir. „ A todas las personas que, por un motivo u otro, decidan utilizar este libro. FINALMENTE Tanto McGraw-Hill como yo nos hemos esforzado para que esta obra no tenga errores. Reconozco que no es fácil lograrlo con este tipo de materias. En todo caso, le pido perdón por las erratas que no hayan sido detectadas, la culpa, si las hay, es exclusivamente mía. www.cienciamatematica.com

12. UN POCO DE TEORÍA „ Una operación financiera es un intercambio temporal de capitales. EJEMPLO 1.1 Usted presta 1.000€ al 10% de interés anual a un año. ¿Cuánto dinero cobrará dentro de un año? z Para calcular C1 hacemos: C1 1.000 0,1 * 1.000 z C1 1.000 + 0,1*1.000 es la ecuación de equilibrio financiero. z Resolviendo la ecuación tenemos que C1 1.100€. z La Matemática Financiera, MF, nos sirve para calcular que, para un 10% de interés anual, 1.000€ hoy son equivalentes a 1.100€ dentro de un año, o visto de otra forma, 1.000€ hoy tienen un valor de 1.100€ dentro de un año. z Si usted presta sus 1.000€ al 20% de interés anual, el valor de su dinero, o el capital equivalente, dentro de un año no será 1.100€, sino: C1 1.000 0,2 * 1.000 1.200 „ Los elementos de una operación financiera son: z Prestación: uno o varios capitales que constituyen el origen de la operación. z Contraprestación: uno o varios capitales entregados a cambio de la prestación. ¿C1? Año 0 1 1.000 CAPÍTULO 1 Algunas consideraciones iniciales 1 www.cienciamatematica.com

13. 2 MATEMÁTICA FINANCIERA z Ley financiera: modelo empleado para mover el dinero en el tiempo. z Tiempo: duración de la operación. En el Ejemplo 1.1, usted prestaba 1.000€ al 10% de interés anual a un año, la MF nos ha permitido calcular que dentro de un año cobrará 1.100€. EJEMPLO 1.2 Usted recibe hoy un préstamo bancario de 15.000€ al 12% de interés anual para comprar un coche y quiere devolver el préstamo mediante 4 pagos trimestrales iguales. z La MF nos sirve para calcular que cada trimestre debe pagarle 4.035,41€ al banco. EJEMPLO 1.3 Usted tiene que hacer dos pagos de 6.000€ cada uno dentro de 5 y 6 años. Para asegurarse que ten- drá ese dinero, usted decide ingresar 4 capitales iguales, durante los próximos 4 años, en una cuenta que le produce un interés del 6% anual. z La MF nos sirve para calcular que debe ingresar 2.514,59€ anuales durante los próximos 4 años. 6.000 6.000 Año 0 1 2 3 4 5 6 2514,59 2514,59 2514,59 2514,59 Prestación: 4 pagos anuales de 2.514,59€ Tipo de Interés: 6% anual Contraprestación: 2 cobros anuales de 6.000€ Tiempo: 6 años 4035,41 4035,41 4035,41 4035,41 Mes 0 3 6 9 12 15.000 Prestación: 15.000€ Tipo de Interés: 2% anual Contraprestación: 4 pagos trimestrales Tiempo: 1 año de 4.035,41€ 1.100 Año 0 1 1.000 Prestación: 1.000€ Tipo de Interés: 10% anual Contraprestación: 1.100€ Tiempo: 1 año www.cienciamatematica.com

14. CAPÍTULO 1 ALGUNAS CONSIDERACIONES INICIALES 3 „ Tipos de operación financiera. z Operación financiera simple: la prestación y la contraprestación están formadas por un sólo capital. Ejemplo 1.1. z Operación financiera compleja: la prestación, la contraprestación, o ambas, están compuestas por varios capitales. Ejemplos 1.2 y 1.3. „ El gráfico de flujo de fondos. z Es la herramienta que utilizamos para ayudarnos a entender las operaciones financieras. z Este gráfico no es más que una recta en la que representamos el tiempo y a la que incorpora- mos los capitales que conforman una operación financiera, las entradas y salidas de dinero, y sus respectivos vencimientos. „ La matemática financiera sirve para mover el dinero en el tiempo. z Diferir o calcular el valor final: moverlo hacia la derecha del gráfico. z Actualizar o calcular el valor actual: moverlo hacia la izquierda del gráfico. „ En las operaciones financieras debe haber equilibrio financiero entre la prestación y la contrapres- tación, ambas magnitudes deben ser equivalentes z En el Ejemplo 1.1: 1.000€ hoy son equivalentes, para un 10% de interés anual, a 1.100€ dentro de un año. z En el Ejemplo 1.2: 15.000€ hoy son equivalentes, para un 12% de interés anual, a 4 capitales de 4.035,41€ recibidos en los meses 3, 6, 9 y 12. z En el Ejemplo 1.3: 2.514,59€ durante los próximos 4 años son equivalentes, para un 6% de interés anual, a 2 capitales de 6.000€ recibidos en los años 5 y 6. z La ecuación de equilibrio financiero es el instrumento que nos permite calcular estas equiva- lencias financieras. „ La ecuación de equilibrio financiero nos permite resolver los 4 tipos de problemas que existen: z Calcular la contraprestación: conocidos la prestación, la ley financiera y el tiempo. Ejemplos 1.1 y 1.2. z Calcular la prestación: conocidos la contraprestación, la ley financiera y el tiempo. Ejemplo 1.3. z Calcular la ley financiera: conocidos la prestación, la contraprestación y el tiempo. z Calcular el tiempo: conocidas la prestación, la contraprestación y la ley financiera. „ Veremos dos leyes financieras de capitalización: z Ley financiera de capitalización simple. z Ley financiera de capitalización compuesta. „ Veremos tres leyes financieras de descuento: z Ley financiera de descuento simple racional. z Ley financiera de descuento simple comercial. z Ley financiera de descuento compuesto. www.cienciamatematica.com

16. UN POCO DE TEORÍA EL INTERÉS „ El tipo de interés es el precio del dinero, la rentabilidad que queremos obtener de nuestras inversiones. Cuanto más arriesgada sea una inversión, mayor será la rentabilidad que queramos obtener con la misma. Tipo de interés Rentabilidad libre de riesgo Prima de riesgo „ Formas de expresar el tipo de interés. Podemos expresar el interés de un préstamo, por ejemplo el 6%, de varias maneras: z En tanto por uno: z En tanto por cien: 6% z En puntos básicos: 600PB (6% 6*100 600PB) z En puntos porcentuales: 6PP (6% 6PP) VALORACIÓN DE CAPITALES POR INTERÉS SIMPLE „ La capitalización simple es una de las leyes que pueden emplearse para valorar el dinero en el tiempo. Utilizar esta ley implica que los intereses son improductivos, se calculan sólo sobre la presta- ción. „ La fórmula de interés simple es: Interés P * r * t z «P» es la prestación o el principal. z «r» es el tipo de interés vencido que se haya pactado. 0,06 6 6 100 0 06 % , = =       CAPÍTULO 2 Capitalización y descuento simples 5 www.cienciamatematica.com

17. 6 MATEMÁTICA FINANCIERA z «t» es el tiempo, la duración de la operación. z «r» y «t» tienen que ser homogéneos. Si «r» es el tanto anual, «t» debe expresar años o frac- ción de año. EJEMPLO 2.1 ¿Qué interés produce un préstamo de 1.000 a 9 meses, al 6% de interés anual? z Fíjese que «r» y «t» son homogéneos: «r» 6% anual; «t» es una fracción de año (9/12 de año). „ El valor final de un capital, también llamado Montante (Ct), es igual a su valor inicial, C0, más los intereses que genera. EJEMPLO 2.2 ¿Cuál es el valor dentro de 9 meses de 1.000 invertidos hoy al 6% de interés anual? „ Para calcular el valor actual, C0, de un capital aplicando descuento matemático o racional, no tenemos más que despejar C0 de la expresión Ct C0(1rt). Nos queda: EJEMPLO 2.3 ¿Cuál es el valor actual de 2.000 que vencen dentro de 8 meses, si el tipo de interés es el 6% anual y se acuerda aplicar el descuento racional? C0 2 000 1 0 06 8 12 1 923 08 = +       = . , . , 2.000 Mes 0 8 ¿C0? C C rt t 0 1 = + ( ) C9 1 000 1 0 06 9 12 1 045 = +       = . , . ¿C9? Mes 0 9 1.000 C C C r t sacamos C C r t INTER S = + ∗ ∗ ⇒ ⇒ = + 0 0 0 0 1 É ú factor com n Ct ( t t) Inter s é = ∗ = 1 000 0 06 9 12 45 . , www.cienciamatematica.com

18. CAPÍTULO 2 CAPITALIZACIÓN Y DESCUENTO SIMPLES 7 „ Para calcular el valor actual, C0, de un capital aplicando descuento comercial, hacemos: C0 Ct (1dt) z Esta «d» es el tipo de interés anticipado, tipo de descuento. Si lo representamos con «r» tenemos: C0 Ct (1 rt) EJEMPLO 2.4 ¿Cuál es el valor actual de 2.000 que vencen dentro de 8 meses, si el tipo de interés es el 6% anual pero se acuerda aplicar el descuento comercial? z Compare los Ejemplos 2.3 y 2.4. Observará que el valor actual de un capital que vence dentro de 8 meses depende del modelo empleado para mover el dinero en el tiempo, de la ley financiera descuento racional o descuento comercial que apliquemos. „ ¿Y qué se aplica en la «vida real», descuento racional o comercial? z Hay operaciones en las que no puede elegir, por ejemplo, en el descuento de letras, en el que se aplica el descuento comercial. z Cuando pueda elegir, debe optar por la ley financiera que sea más beneficiosa para sus accionistas. „ Tipo de interés vencido equivalente a tipo de interés anticipado. z Si queremos calcular el tipo de interés vencido equivalente al tipo de interés anticipado, descuento comercial, que nos han aplicado en el ejemplo anterior, hacemos: Esto quiere decir que el interés anticipado descuento comercial que nos han cobrado, 6% anual, es equivalente a que nos hubieran cobrado un interés vencido descuento racional del 6,25% anual. Volvemos sobre el Ejemplo 2.4. 2.000 Mes 0 8 ¿C0? r = − = 0 06 1 0 06 8 12 0 0625 , , , r d dt = − 1 C0 2000 1 0 06 8 12 1 920 = −       = , . 2.000 Mes 0 8 ¿C0? www.cienciamatematica.com

19. Cuando nos aplicaban un descuento comercial del 6% anual, nos daban: Si nos hubieran aplicado un descuento racional del 6,25% anual, hubiéramos cobrado la misma cantidad: „ son las ecuaciones de equilibrio financiero que utiliza- remos para hacer las valoraciones cuando la operación financiera se pacta con la ley de capitaliza- ción simple. LA INFLACIÓN „ Usted invierte hoy su dinero al 8% de interés anual y a un año. Suponga que durante ese año la infla- ción resulta ser del 8%. El interés real, rr, que ha obtenido es el 0%. La inflación se ha «comido» todo su interés nominal, rn, el 8% al que había invertido su dinero. „ La relación que hay entre el interés nominal, rn, el interés real, rr, y la inflación, i, es: (1rn) (1rr) (1i) EJEMPLO 2.5 D. Francisco Segurola quiere invertir su dinero obteniendo una rentabilidad real del 14% a un año. La inflación esperada para el año que viene es el 8%. D. Francisco, cree que debería invertir su dinero al 22% nominal (14%8%), pero, por si sus cálculos no son correctos, nos pide que le calcule- mos el tipo de interés nominal al que debe invertir su dinero. EJEMPLO 2.6 D. Francisco está muy enfadado. El año pasado invirtió su dinero al 23,12% y la inflación de este año ha sido el 10%, en vez del 8% esperado, por lo que calcula que la rentabilidad real que ha obtenido es el 13,12% (23,12%10%), lejos del 14% que deseaba. D. Francisco nos pide que le calcu- lemos con exactitud la rentabilidad real de su inversión. Si r i r r i r r r n r (1+rn ) ( )( ) , , , = + + ⇒ ⇒ = + + − = − = = 1 1 1 1 1 1 2312 1 1 1 0 11927 1 11 93 , % 1 1 14 1 08 1 14 1 08 1 0 2312 23 12 + = ⇒ ⇒ = − = = r r n n , * , , * , , , % C C rt C rt C rt t t t = + = + = − 0 1 1 1 ( ); ( ) ; ( ) C C 0 0 C0 2 000 1 0 0625 8 12 1 920 = +       = . , . C0 2 000 1 0 06 8 12 1 920 = −       = . , . 8 MATEMÁTICA FINANCIERA www.cienciamatematica.com

20. VENCIMIENTO MEDIO Y VENCIMIENTO COMÚN „ Un conjunto de capitales con distintos vencimientos pueden sustituirse por otro capital, suma de los anteriores, si éste se paga en la fecha del vencimiento medio (VM) de los capitales iniciales. „ Si sustituimos un conjunto de capitales con distintos vencimientos por otro capital, que no resulta ser igual a la suma de los anteriores, la fecha en la que paga este capital recibe el nombre de vencimiento común (VC). „ El VM es la media ponderada de los vencimientos de varios capitales. EJEMPLO 2.7 Debemos a un proveedor tres capitales de 1.000 cada uno, que vencen a 30, 60 y 90 días. Nuestra empresa quiere liquidar esta deuda mediante un único pago de 3.000 . ¿En qué fecha debe hacerse este pago? z Como queremos pagar un capital que es suma de los que debíamos inicialmente, los 3.000 deben pagarse en la fecha de VM. z El gráfico que representa la operación es el siguiente: z El VM es la media ponderada de los vencimientos de los tres capitales de 1.000 . z Cuando todos los capitales son iguales, como en este caso, para determinar el VM nos basta con calcular la media aritmética de los tiempos. z Cuando, además de ser los capitales iguales, sus vencimientos son a plazos regulares, como es nuestro caso, podemos calcular el VM dividiendo entre 2 la suma del primer vencimiento más el último. VM = + = 60 90 2 60 d as í VM = + + = 30 60 90 3 60 d as í VM N meros Capitales = = = ∑ ∑ ú í 180 000 3 000 60 . . d as CAPITALES DÍAS NÚMEROS 1.000 1.000 1.000 30 60 90 30.000 60.000 90.000 3.000 180.000 1.000 1.000 1.000 Vencimiento, días 30 60 90 ¿VM? 3.000 CAPÍTULO 2 CAPITALIZACIÓN Y DESCUENTO SIMPLES 9 www.cienciamatematica.com

21. „ El vencimiento medio nos permite convertir en una operación financiera simple lo que en principio era una operación financiera compleja. EJEMPLO 2.8 Debemos a un proveedor tres capitales de 1.000 cada uno, que vencen a 30, 60 y 90 días. Nuestra empresa quiere liquidar esta deuda mediante un único pago que haremos dentro de 75 días. ¿De qué importe debe ser este pago si pactamos un interés del 12% anual? z El gráfico que representa la operación es el siguiente: z Por el Ejemplo 2.7, sabemos que el VM de estos tres capitales de 1.000 es el día 60, con lo que podemos plantear el siguiente gráfico: z Ahora sólo tenemos que diferir estos 3.000 , moverlos 15 días hacia la derecha. Haremos los cálculos empleando años comerciales, 360 días, y años naturales, 365 días. Como a nuestros accionistas les interesa pagar lo menos posible, deberíamos utilizar años naturales en esta operación. Claro que a los accionistas de nuestra empresa proveedora les interesa cobrar lo más posible, por lo que serían partidarios de utilizar años comerciales, ¿no cree? EJEMPLO 2.9 Suponga que quiere calcular el interés anual que le cobran por una financiación de 2.900 que recibe hoy y por la que debe pagar tres capitales de 1.000 a 30, 60 y 90 días. z Empezamos por el gráfico de la operación. 1.000 1.000 1.000 Día 0 30 60 90 2.900 C75 3 000 1 0 12 15 365 3 014 79 = +       = . , . , C C rt C t = + = +       = 0 75 1 3 000 1 0 12 15 360 3 015 ( ) . , . ¿C75? Día 60 75 3.000 1.000 1.000 1.000 Vencimiento, días 30 60 75 90 ¿C75? 10 MATEMÁTICA FINANCIERA www.cienciamatematica.com

22. z Este gráfico representa una operación financiera compleja. Si calculamos el VM de estos tres capitales, la convertimos en una operación financiera simple. Ya sabemos, por el Ejemplo 2.7, que el VM de estos capitales es el día 60, por lo que el gráfico que podemos construir es el siguiente: z La ecuación de equilibrio financiero, C0(1rt) Ct, nos permite calcular el coste de esta financiación, el tipo de interés que nos cobran por la misma. Si empleamos años comerciales: Si empleamos años naturales: TASA DE RECARGO „ Las tasas de recargo son una forma de expresar en % el coste de una financiación. Pero tenga cui- dado, la tasa de recargo no es el tipo de interés de la financiación (permítame un consejo: no se crea lo que le digan, haga siempre sus propios cálculos para evitar sorpresas desagradables). Veamos su funcionamiento. EJEMPLO 2.10 Usted quiere comprar un coche 4d que tiene un precio al contado de 15.000 . 4d le ofrece financiarlo a un año, pagando, a partir del mes que viene, 12 cuotas mensuales iguales. 4d aplica en sus financiaciones una tasa de recargo del 8% anual. ¿Cuál es el importe de cada cuota? z Precio del coche al contado: 15.000 z Precio del coche financiado: 15.000 0,08 * 1(año) * 15.000 16.200 z Para calcular el tipo de interés al que resulta esta financiación, debe seguir los pasos del Ejem- plo 2.9. 1. Gráfico de la operación financiera compleja. 2. Cálculo del VM de la contraprestación (los 12 pagos de 1.350 ). 3. Gráfico de la operación financiera simple. 4. Ecuación de equilibrio financiero y despejar «r». z Si la financiación fuera a dos años, usted pagaría 24 cuotas mensuales de 725 . Precio del coche financiado: 15.000 0,08 * 2(años) * 15.000 17.400 Cuota mensual Coche financiado N mero de cuotas 16.200 12 1. = = = ú 3 350 2.900 1 r 60 365 3.000 r 0,20977 20,98% +       = ⇒ = = 2.900 1 r 60 360 3.000 r 0,20689 20,69% +       = ⇒ = = 3.000 Día 0 60 2.900 CAPÍTULO 2 CAPITALIZACIÓN Y DESCUENTO SIMPLES 11 www.cienciamatematica.com

23. PROBLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOS 1. Su prima Irma quiere comprar una plaza de garaje que cuesta 15.000 . Irma quiere pagar la plaza dentro de 8 meses y su propietario acepta darle esta financiación con un interés del 9% anual. ¿Cuánto deberá pagar Irma dentro de 8 meses? SOLUCIÓN z Veamos el gráfico. z Se trata de calcular el valor final de un capital. Planteamos la ecuación de equilibrio financiero y despejamos. 2. ¿Cuánto tendría que pagar Irma dentro de 8 meses si el propietario le cobrara un interés del 12% anual? Respuesta: 16.200 3. Doña Generosa, su vecina del 3º y «Gene» para los amigos, ha abierto una cuenta de 6.000 a nombre su sobrina Tinagera, «Tina», que hoy cumple 13 años. La cuenta ofrece un interés del 6% anual y Tina le pregunta cuánto dinero habrá en la cuenta cuando alcance su mayoría de edad, dentro de 5 años. SOLUCIÓN z Veamos el gráfico. z Debemos calcular el valor final de un capital. Planteamos la ecuación de equilibrio financiero y despejamos. C C 1 rt C 6.000 1 0,06 5 7.800 t 0 5 = + ( ) = + ∗ ( ) = ¿C5? Año 0 5 6.000 C C 1 rt C 15.000 1 0,09 8 12 15.900 t 0 8 = + ( ) = +       = ¿C8? Mes 0 8 15.000 Cuota mensual Coche financiado N mero de cuotas 17.400 24 = = = ú 725 5 12 MATEMÁTICA FINANCIERA www.cienciamatematica.com

24. 4. Tina le pregunta cuánto habrá en la cuenta si deja el dinero hasta que termine su carrera universita- ria, dentro de 9 años. Respuesta: 9.240 5. Tina le hace otra consulta. Quiere saber cuánto dinero tendría dentro de 5 años si el interés de la cuenta no fuera el 6% sino el 8% anual. Respuesta: 8.400 6. Volvamos sobre el problema 1, interés pactado 9%. Irma quiere aplazar el pago del garaje, pero quiere pagar 15.675 . ¿En qué fecha debe pagar esta cantidad? SOLUCIÓN z Veamos el gráfico. z Se trata de calcular la duración de la operación, el tiempo. Planteamos la ecuación de equilibrio financiero y despejamos. z Fíjese que la ecuación nos dice que «t» es igual a 6 doceavas partes de año, por lo tanto 6 meses. Si planteamos el tiempo en años tenemos: 7. ¿Cuándo tendría que pagar Irma 15.506,25 por el garaje para un interés del 9% anual? Respuesta: dentro de 4,5 meses o, si lo prefiere, 135 días. 8. Su tío Pío compró acciones de yaquien.mof a 10 y 4 meses más tarde las vendió a 12 cada una. ¿Qué rentabilidad ha obtenido D. Pío en la operación? SOLUCIÓN z Veamos el gráfico. z Se trata de calcular la rentabilidad de la operación, el tipo de interés que produce equivalencia entre los flujos de fondos. Planteamos la ecuación de equilibrio financiero y despejamos. C 1 rt C 0 t + ( ) = 12 Mes 0 4 10 15.675 15.000 1 0,09 t t 0,5 a os 6 meses = + ∗ ( )⇒ = = ñ C C 1 rt 15.675 15.000 1 0,09 t 12 t 6 meses t 0 = + ( ) = +       ⇒ = 15.675 Mes 0 t 15.000 CAPÍTULO 2 CAPITALIZACIÓN Y DESCUENTO SIMPLES 13 www.cienciamatematica.com

25. z Recuerde que en la expresión (1rt), «r» es el tipo de interés anual expresado en tanto por uno, por lo que 0,6 en tanto por uno es el 60%. 9. Usted también compró acciones de yaquien.mof a la vez que D. Pío (a 10 cada una), pero las ha vendido a los 5 meses de su compra a 13 cada una. Calcule la rentabilidad de su inversión. Respuesta: 0,72 72%. 10. Su abuela Dña. Pilar compró acciones de yaquien.mof el día que las vendió D. Pío (a 12 cada una) y las ha vendido el mismo día que usted (a 13 cada una). ¿Qué rentabilidad ha obtenido Dña. Pilar en su inversión? Pista: entre la compra y la venta sólo ha pasado un mes. Respuesta: 0,999999 100%. 11. Un proveedor al que su empresa debe 50.000 a pagar a 60 días, le ofrece un descuento del 3% si le paga al contado. ¿Qué coste tiene para su empresa financiarse con este proveedor? SOLUCIÓN z Veamos el gráfico. Su empresa puede pagar 48.500 hoy o pagar 50.000 dentro de 60 días. z Este problema es básicamente igual que el 5, el de las acciones de yaquien.mof. Se trata de calcular el tipo de interés que produce equivalencia financiera entre los flujos de fondos. Planteamos la ecuación de equilibrio financiero y despejamos. La respuesta varía un poco dependiendo de que usemos años naturales o comerciales. z Si su empresa está dispuesta a pagar 50.000 dentro de 60 días por no pagar 48.500 hoy (por obtener una financiación de 48.500 ), su empresa se está financiando al 18,81% de interés anual. 12. Calcule el coste de la financiación con el proveedor anterior si el descuento que le ofrece por pagarle al contado fuera el 4% en lugar del 3% (utilice años naturales). Respuesta: 0,25347 25,35%. 13. Su vecina, Doña Prudencia Segurola, va a necesitar 2.000 dentro de 6 meses para pagar una estan- cia para jubilados con el Inserso en Benidorm. Doña Prudencia le ha pedido que le calcule cuánto C 1 rt C 48.500 1 r 60 360 50.000 r 0,18556 18,56% 48. 0 t + ( ) = +       = ⇒ = = 5 500 1 r 60 365 50.000 r 0,18814 18,81% +       = ⇒ = = 50.000 Día 0 60 48.500 10 1 r 4 12 12 r 0,6 60% +       = ⇒ = = 14 MATEMÁTICA FINANCIERA www.cienciamatematica.com

26. dinero debe colocar hoy en una cuenta que le ofrece un 6% de interés anual, para hacer frente a este pago. SOLUCIÓN z Planteamos el gráfico de flujos. z Doña Prudencia deberá ingresar hoy el valor actual de este capital. Planteamos la ecuación de equilibrio y resolvemos. 14. Calcule cuánto debe ingresar Doña Prudencia si el interés de la cuenta fuera el 8%. Respuesta: 1.923,08 . 15. Doña Prudencia tiene que hacer dos pagos de 2.000 cada uno, dentro de 6 y 9 meses, para hacer frente a unas reparaciones extraordinarias de la comunidad de vecinos. Calcule cuánto dinero debe colocar Doña Prudencia hoy en una cuenta que le ofrece el 6% de interés anual, para hacer frente a estos pagos. SOLUCIÓN z Planteamos el gráfico de flujos z Doña Prudencia deberá ingresar hoy el valor actual de estos dos capitales. Planteamos la ecua- ción de equilibrio y resolvemos. 16. Calcule cuánto debe ingresar Doña Prudencia, para hacer frente a estos dos pagos, si el interés de la cuenta fuera el 8%. Respuesta: 3.809,87 . C 2.000 1 0,06 6 12 2.000 1 0,06 9 12 3.855,62 0 = +       + +       = 2.000 2.000 Mes 0 6 9 ¿C0? C C 1 rt C 2.000 1 0,06 6 12 1.941,7 0 t 0 = + ( ) = +       = 5 2.000 Mes 0 6 ¿C0? CAPÍTULO 2 CAPITALIZACIÓN Y DESCUENTO SIMPLES 15 www.cienciamatematica.com

27. 17. Un cliente nos debe 600 mensuales durante los próximos 3 meses. El cliente quiere liquidar su deuda haciéndonos un único pago dentro de 3 meses. Calcule el importe de ese pago si hemos pactado un interés anual del 12%. SOLUCIÓN z Empezamos por lo más importante, el gráfico. z El cliente tendrá que pagar el valor final de estos tres capitales, su valor en el mes 3. Plantea- mos la ecuación de equilibrio y resolvemos. 18. Calcule la deuda de su cliente en el mes 3 si el interés pactado fuera el 9% anual. Respuesta: 1.813,5 . 19. Su hermana Rosana acaba de ser madre. Rosana está pensando en pedir un préstamo de 3.000 a Financiaciones Distintas para Madres, fidisma.mof. Los préstamos de fidisma.mof están destinados a mujeres que han dado a luz, su interés es el 12,5% anual y se conceden a tres meses. Rosana quiere saber cuánto dinero tendrá que pagarle a fidisma.mof dentro de 3 meses. SOLUCIÓN z Veamos el gráfico. z Rosana tendrá que pagar el valor final de este capital. Planteamos la ecuación de equilibrio financiero y despejamos. 20. Rosana ha pedido finalmente el préstamo «Sin interés, por ser madre» que acaba de lanzar Caixa Madrid para apoyar la natalidad. El préstamo, destinado también a mujeres que han dado a luz, es de 3.000 y hay que devolverlo a los tres meses. El préstamo, que, como su nombre indica, tiene un interés del 0% anual, sólo tiene unos gastos de concesión del 3%, de 90 , que se pagan en el momento de recibirlo. Rosana le ha pedido que le calcule el coste de este préstamo. C C 1 rt C 3.000 1 0,125 3 12 3.093,75 t 0 3 = + ( ) = +       = ¿C3? Mes 0 3 3.000 C 600 1 0,12 2 12 600 1 0,12 1 12 600 1.818 3 = +       + +       + = 600 600 600 Mes 0 1 2 3 ¿C3? 16 MATEMÁTICA FINANCIERA www.cienciamatematica.com

28. SOLUCIÓN z Empezamos por el gráfico. Rosana tiene hoy una entrada de tesorería de 2.910 (3000 90 de gastos de concesión) y, a cambio, tiene que pagar 3.000 dentro de 3 meses (recuerde que el préstamo es al 0% de interés). z Ya hemos hecho varios problemas de este tipo. Se trata de calcular el tipo de interés que produce equivalencia financiera entre los flujos de fondos. Planteamos la ecuación de equilibrio financiero y despejamos. 21. Calcule el coste del préstamo «Sin interés, por ser madre», si sus gastos de concesión fueran el 2%, 60 , en lugar del 3% del problema anterior. Respuesta: 0,08163 8,16%. 22. El fabricante de coches Se@ acaba de lanzar el Teruel, su nuevo modelo 4x4. El Teruel cuesta 40.000 y su campaña de promoción ofrece no pagarlo hasta dentro de 3 meses. La misma campa- ña ofrece un descuento del 5% a quienes paguen el Teruel al contado. Calcule el coste de esta finan- ciación. SOLUCIÓN z Veamos el gráfico. Usted debe elegir entre pagar 38.000 hoy (40.000 – 2.000) o pagar 40.000 dentro de 3 meses. z Este tipo de problema ya es como de la familia. Debemos calcular el tipo de interés que produce equivalencia financiera entre los flujos de fondos. Planteamos la ecuación de equilibrio financiero y despejamos. 23. Calcule el coste de financiación del Se@ Teruel si el descuento por pagarlo al contado fuera el 8%. Respuesta: 0,34782 34,78% C 1 rt C 38.000 1 r 3 12 40.000 r 0,21052 21,05% 0 t + ( ) = +       = ⇒ = = 40.000 Mes 0 3 38.000 C 1 rt C 2.910 1 r 3 12 3.000 r 0,12371 12,37% 0 t + ( ) = +       = ⇒ = = 3.000 Mes 0 3 2.910 CAPÍTULO 2 CAPITALIZACIÓN Y DESCUENTO SIMPLES 17 www.cienciamatematica.com

29. 24. Descuentos On Line, dol.mof, es una entidad de crédito especializada en descontar letras de pymes. Sus condiciones de descuento son las siguientes: interés 12% anual, comisión 1%, comisión míni- ma 7 . Canasa, una empresa que fundó su familia, descuenta en dol.mof una letra de 900 que vence dentro de 120 días. Calcule el líquido que debe recibir Canasa por esta letra. SOLUCIÓN z En negociación de letras se utiliza el descuento comercial. Aplicamos las condiciones de dol.mof. El líquido que recibirá Canasa es: Nominal 900 Interés 36 Comisión: 1% s/900 9 Líquido 855 z También lo podemos calcular de la siguiente forma: 25. Calcule el tipo de interés al que le resulta a Canasa la financiación anterior. SOLUCIÓN z Empezamos por lo importante, el gráfico. z Calculamos el tipo de interés que produce equivalencia financiera entre los flujos de fondos. Planteamos la ecuación de equilibrio financiero y despejamos. Vamos a emplear años comerciales. 26. Canasa descuenta en dol.mof una letra de 900 que vence dentro de 60 días. Calcule el líquido que recibirá Canasa por esta letra. Respuesta: 873 . 27. Calcule el tipo de interés al que le resulta a Canasa la negociación anterior. Respuesta: 0,18556 18,56%. 28. Canasa lleva a descuento en dol.mof una letra de 400 que vence dentro de 120 días. Calcule el líquido que recibirá Canasa. C 1 rt C 855 1 r 120 360 900 r 0,15789 15,79% 0 t + ( ) = +       = ⇒ = = 900 Día 0 120 855 L quido 900 1 0,12 120 360 0,01 900 855 í = −       − ∗ = 900 0,12 120 360 ∗ = 18 MATEMÁTICA FINANCIERA www.cienciamatematica.com

30. CAPÍTULO 2 CAPITALIZACIÓN Y DESCUENTO SIMPLES 19 SOLUCIÓN z Aplicamos las condiciones de dol.mof. Nominal 400 Interés 16 Comisión: 1% s/400 7 (comisión mínima) Líquido 377 z También lo podemos calcular de la siguiente forma: 29. Calcule el tipo de interés al que le resulta a Canasa la negociación anterior. Respuesta: 0,18302 18,30%. 30. Canasa lleva a descuento en dol.mof una letra de 400 que vence dentro de 60 días. Calcule el líqui- do que recibirá Canasa. Respuesta: 385 . 31. Calcule el tipo de interés al que le resulta a Canasa la negociación anterior. Respuesta: 0,23376 23,38%. 32. Canasa lleva a descuento en dol.mof una letra de 400 que vence dentro de 30 días. Calcule el líqui- do que recibirá Canasa y el tipo de interés al que le resulta esta negociación. Respuestas: Líquido 389 . Coste de la financiación: 0,33933 33,93%. 33. Canasa descuenta en dol.mof una letra de 100 que vence dentro de 30 días. Calcule el líquido que recibirá Canasa y el tipo de interés al que le resulta esta negociación. Respuestas: Líquido 92 . Coste de la financiación: 1,04347 104,35%. 34. Dol.mof ofrece a Canasa un «tipo forfait», descuento sin comisiones, del 15% para letras de más de 1.000 , forfait mínimo 20 días. Canasa descuenta una letra de 3.000 con vencimiento a 60 días. Calcule el líquido y el coste de esta financiación. SOLUCIÓN z Aplicamos las condiciones del forfait. El líquido que recibirá Canasa es: Nominal 3.000 Interés 75 Líquido 2.925 z Podemos calcular el líquido más rápido: z Planteamos el gráfico para calcular el tipo de interés al que resulta la operación. L quido 3.000 1 0,15 60 360 2.925 í = −       = 3.000 0,15 120 360 ∗ = L quido 400 1 0,12 120 360 7 377 í = −       − = 400 0,12 120 360 ∗ = www.cienciamatematica.com

31. z Planteamos la ecuación de equilibrio financiero y despejamos. 35. Canasa descuenta en dol.mof, a tipo forfait, una letra de 3.000 que vence dentro de 30 días. Calcule el líquido que recibe y el tipo de interés al que le resulta esta negociación a Canasa. Respuestas: Líquido 2.962,5 . Coste de la financiación: 0,15189 15,19%. 36. Canasa descuenta en dol.mof, a tipo forfait, una letra de 3.000 que vence dentro de 10 días. Calcule el líquido y el tipo de interés al que le resulta esta negociación a Canasa. SOLUCIÓN z Aplicamos las condiciones del forfait. El líquido que recibirá Canasa es: Nominal 3.000 Interés 25 (20 días mínimo) Líquido 2.975 O bien: z Planteamos el gráfico para calcular el tipo de interés al que resulta la operación, recuerde que aunque le hayan cobrado 20 días de interés, días mínimos del forfait, la letra vencía a 10 días. z Planteamos la ecuación de equilibrio financiero y despejamos. 37. Canasa descuenta en dol.mof, a tipo forfait, una letra de 3.000 que vence dentro de 7 días. Calcule el líquido y el tipo de interés al que le resulta esta negociación a Canasa. Respuestas: Líquido 2.975 . Coste de la financiación: 0,43217 43,22%. C 1 rt C 2.975 1 r 360 3.000 r 0,30251 30,25% 0 t + ( ) = +       = ⇒ = = 10 3.000 Día 0 10 2.975 L quido 3.000 1 0,15 360 2.975 í = −       = 20 3.000 0,15 360 ∗ = 20 C 1 rt C 2.925 1 r 60 360 3.000 r 0,15384 15,38% 0 t + ( ) = +       = ⇒ = = 3.000 Día 0 60 2.925 20 MATEMÁTICA FINANCIERA www.cienciamatematica.com

32. 38. Calcule el líquido y el tipo de interés de la letra negociada en el problema anterior si el forfait míni- mo fuera de 30 días. Respuestas: Líquido 2.962,5 . Coste de la financiación: 0,65099 65,10%. 39. Un cliente debe a Canasa tres capitales: uno de 1.000 con vencimiento a 30 días, otro de 2.000 a 60 días y un tercero de 3.000 a 90 días. El cliente quiere liquidar la deuda haciendo un único pago de 6.000 . ¿En qué fecha tiene que pagarlo? SOLUCIÓN z El gráfico que representa la operación es el siguiente: z El cliente quiere pagar 6.000 , la suma de los capitales que debía inicialmente, en la nueva fecha, por lo que forzosamente debe hacer el pago en la fecha del VM. z El cliente debe pagar los 6.000 dentro de 70 días. 40. Canasa debe a un proveedor tres capitales de 3.000, 2.000 y 1.000 dentro de 60, 90 y 120 días, respectivamente. Calcule en qué fecha podría pagar Canasa los 6.000 juntos. Respuesta: dentro de 80 días. 41. Canasa debe a un proveedor tres capitales de 2.000 cada uno con vencimientos a 60, 90 y 120 días, respectivamente. Calcule en qué fecha podría pagar los 6.000 juntos. Respuesta: dentro de 90 días. ¿Se ha acordado de que cuando los capitales son iguales no hace falta ponderar? 42. Un cliente le debe 4.000 con vencimiento a 90 días. El cliente le propone pagarle 1.000 a 30 días y retrasar el pago de los 3.000 restantes. ¿En qué fecha debe pagar estos 3.000 ? SOLUCIÓN z El gráfico que representa la operación es el siguiente: VM N meros Capitales 420.000 6.000 70 d as = ∑ ∑ = = ú í CAPITALES DÍAS NÚMEROS 1.000 2.000 3.000 30 60 90 30.000 120.000 270.000 6.000 420.000 1.000 2.000 3.000 Vencimiento, días 30 60 90 ¿VM? 6.000 CAPÍTULO 2 CAPITALIZACIÓN Y DESCUENTO SIMPLES 21 www.cienciamatematica.com

33. z El cliente quiere pagar dos capitales que suman los 4.000 que debía inicialmente, por lo que el día 90 debe ser el VM de esos dos capitales. z El cliente debe pagar los 3.000 dentro de 110 días. 43. Canasa debe a un proveedor 5.000 con vencimiento a 120 días. Este proveedor le propone liquidar la deuda pagándole 3.000 dentro de 60 días y retrasando los 2.000 restantes. ¿Cuándo debería pagar Canasa estos 2.000 ? Respuesta: dentro de 210 días. 44. Un cliente de Canasa le debe tres capitales de 2.000 cada uno con vencimientos a 60, 90 y 120 días, respectivamente. El cliente le propone liquidar esta deuda mediante un único pago a efectuar dentro de 150 días. ¿De qué importe debe ser este pago si pactan un interés del 15% anual? SOLUCIÓN z El gráfico que representa la operación es el siguiente: z Calculamos primero el VM de estos tres capitales de 2.000 . Los capitales son iguales y sus vencimientos son a plazos regulares (60, 90 y 120 es una progresión aritmética), podemos calcular el VM dividiendo entre dos la suma de los vencimientos primero y último de estos tres capitales: z Ahora podemos plantear el siguiente gráfico: ¿C150? Día 90 150 6.000 VM 60 120 2 90 as = + = dí 2.000 2.000 2.000 Día 60 90 120 150 ¿C150? VM: 30.000 3.000X 4.000 90 X 110 + = ⇒ = CAPITALES DÍAS NÚMEROS 1.000 3.000 30 X 30.000 3.000X 4.000 30.0003.000X 1.000 3.000 Vencimiento, días 30 90 ¿X? 4.000 22 MATEMÁTICA FINANCIERA www.cienciamatematica.com

34. z El cliente debe pagar el valor en 150 de los 6.000 del día 90, movemos este capital 60 días hacia la derecha: También podemos calcular esta cantidad, aunque es un proceso tedioso cuando hay muchos capitales, moviendo cada uno de los 3 capitales hasta el día 150: 45. Guguel, empresa que edita páginas amarillas, es cliente de Canasa. Guguel le debe tres capitales de 1.000, 2.000 y 3.000 con vencimientos a 30, 60 y 90 días respectivamente. Guguel le quiere hacer un único pago dentro de 100 días. Calcule el importe de este pago si el interés pactado es el 12% anual. Respuesta: 6.060 . 46. Vuelva sobre el problema 44. Suponga que lo que el cliente quiere es liquidar la deuda haciendo un único pago dentro de 100 días. Calcule su importe. SOLUCIÓN z El gráfico que representa la operación es el siguiente: z Ya sabemos que el VM de estos tres capitales es el día 90. z Ahora podemos plantear el siguiente gráfico: z Valoramos en el día 100 los 6.000 del día 90, movemos este capital 10 días hacia la derecha: Vamos a calcular esta cantidad moviendo cada uno de los 3 capitales al día 100: ¿Por qué hay esta pequeña diferencia? Porque uno de los capitales de la deuda inicial resulta anticipado, hay que moverlo hacia la izquierda. C 2.000 1 0,15 40 360 2.000 1 0,15 10 360 2.000 1 100 = +       + +       + + 0 0,15 20 360 6.025,14       = C 6.000 1 0,15 10 360 6.025 100 = +       = ¿C100? Día 90 100 6.000 2.000 2.000 2.000 Día 60 90 100 120 ¿C100? C 2.000 1 0,15 90 360 2.000 1 0,15 60 360 2.000 1 150 = +       + +       + + 0 0,15 30 360 6.150       = C 6.000 1 0,15 60 360 6.150 150 = +       = CAPÍTULO 2 CAPITALIZACIÓN Y DESCUENTO SIMPLES 23 www.cienciamatematica.com

35. z Recuerde que cuando calculamos la fecha de VM, como la media ponderada de varios capitales, los capitales que se anticipan se descuentan aplicando el descuento comercial. Los 14 cén- timos de diferencia de nuestra última solución se deben a que hemos actualizado el último capital de 2.000 aplicando el descuento racional. Si cambiamos esta forma de descontar, obte- nemos los mismos 6.025 como respuesta. z Éste es un problema de la ley financiera de interés simple. En lo sucesivo plantearemos todas las soluciones calculando el VM. 47. Canasa debe a un proveedor tres capitales de 3.000, 2.000 y 1.000 dentro de 60, 90 y 120 días respectivamente. Usted quiere liquidar esta deuda mediante un único pago dentro de 140 días. El proveedor acepta la propuesta y le pide 6.180 en esa fecha. Calcule el tipo de interés anual que le cobra por esta financiación. SOLUCIÓN z El gráfico que representa la operación es el siguiente: z Calculamos primero el VM de estos tres capitales. z Podríamos pagar los 6.000 juntos dentro de 80 días, pero queremos diferir su pago hasta el día 140, fecha en la que nos piden 6.180 . Podemos plantear el siguiente gráfico: z Calculamos el tipo de interés que produce equivalencia financiera entre los flujos de fondos. Planteamos la ecuación de equilibrio financiero y despejamos. Vamos a emplear años comerciales. 6.180 Día 80 140 6.000 VM N meros Capitales 480.000 6.000 80 d as = ∑ ∑ = = ú í CAPITALES DÍAS NÚMEROS 3.000 2.000 1.000 60 90 120 180.000 180.000 120.000 6.000 480.000 3.000 2.000 1.000 Día 60 90 120 140 6.180 C 2.000 1 0,15 40 360 2.000 1 0,15 10 360 2.000 1- 100 = +       + +       + 0 0,15 20 360 6.025       = 24 MATEMÁTICA FINANCIERA www.cienciamatematica.com

36. 48. Un cliente debe a Canasa tres capitales de 10.000 cada uno que vencen a 30, 60 y 90 días. El cliente le propone sustituir estos pagos por otro de 30.675 a 120 días. ¿Qué interés anual obtiene Canasa si acepta la propuesta? Respuesta: 0,135 13,5% 49. Vuelva sobre el problema anterior. Calcule la rentabilidad que obtiene Canasa si usted le pide al cliente que le pague los 30.675 a 100 días y el cliente lo acepta. Respuesta: 0,2025 20,25% 50. Un cliente debe a Canasa tres capitales de 10.000 cada uno que vencen a 30, 60 y 90 días. El cliente quiere sustituir estos pagos por otro de 31.125 . Calcule el vencimiento de este pago si han acordado un interés anual del 15%. SOLUCIÓN z El gráfico que representa la operación es el siguiente: z Calculamos primero el VM de estos tres capitales: z Ahora podemos plantear el siguiente gráfico: z El cliente paga más de 30.000 , por lo que debe estar pagando más tarde que el VM. Vamos a llamar X a los días que retrasa, los que van del día 90 al día «t». Planteamos la ecuación de equilibrio financiero y resolvemos: z Para pagar 31.125 debe retrasar 90 días el pago de los 30.000 . Como este capital vencía el día 60, los 31.125 se deberán pagar el día 150 (90 días más tarde). C 1 rt C 30.000 1 0,15 360 31.125 X 90 d as 0 t + ( ) = +       = ⇒ = X í 31.125 Día 60 ¿t? 30.000 VM 30 90 2 60 d as = + = í 10.000 10.000 10.000 Día 30 60 90 ¿t? 31.125 C 1 rt C 6.000 1 r 60 360 6.180 r 0,18 18% 0 t + ( ) = +       = ⇒ = = CAPÍTULO 2 CAPITALIZACIÓN Y DESCUENTO SIMPLES 25 www.cienciamatematica.com

37. 51. Un cliente debe a Canasa tres capitales de 3.000 cada uno que vencen a 40, 70 y 100 días. El cliente quiere sustituir estos pagos por otro de 9.225 . Calcule el vencimiento de este pago si han acordado un interés anual del 18%. Respuesta: el día 120 52. Calcule el tipo de interés que se cobra en la siguiente oferta que ha recibido en su correo. SOLUCIÓN z El gráfico que representa la operación es el siguiente: z Calculamos el VM de la contraprestación para simplificar la operación. En este caso nos vale con dividir entre 2 la suma del primer vencimiento más el último: z Pagar esas 12 mensualidades es lo mismo que pagar los 3.300 juntos en el mes 6,5. Repre- sentamos el nuevo gráfico y calculamos el tipo de interés de esta financiación: 53. Calcule el tipo de interés que se cobra en la siguiente oferta que ha recibido en su correo. Fíjese que hay una pequeña diferencia en las condiciones de la financiación. 3.000 1 r 6,5 12 3.300 r 0,18461 18,46% +       = ⇒ = = 3.300 Mes 0 6,5 3.000 VM 1 12 2 6,5 = + = 275 275 275 275 275 275 275 275 275 275 275 275 Mes 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3.000 Vajilla Leti Elegante vajilla conmemorativa de porcelana con filo de oro. Nunca pasará de moda, una mesa de lujo para ocasiones especiales. 12 servicios, 104 piezas, incluidos juegos de café y té. Precio al contado: 3.000 . Financiación: 12 pagos mensuales de 275 , el primero un mes después de la compra. Vea con detalle la vajilla Leti en: www.bodasweb.mof 26 MATEMÁTICA FINANCIERA www.cienciamatematica.com

38. SOLUCIÓN z El gráfico que representa la operación es el siguiente: Usted tiene que pagar la primera cuota en el mes 0, por lo que la cuota número 12 se pagará en el mes 11. Por otra parte, si usted financia la vajilla, de los 3.000 que cuesta al contado, usted ya tiene que pagar 275 como entrada, por lo que la prestación son los 2.725 restantes. Por diferir el pago de estos 2.725 usted deberá pagar las 11 cuotas de 275 que vencen desde el mes 1 al 11. Podemos representar la operación financiera de esta forma: z Calculamos el VM de la contraprestación para simplificar la operación. En este caso nos vale con dividir entre 2 la suma del primer vencimiento más el último: z Pagar esas 11 mensualidades es lo mismo que pagar los 3.025 juntos en el mes 6. Represen- tamos el nuevo gráfico y calculamos el tipo de interés de esta financiación: 2.725 1 r 6 12 3.025 r 0,22018 22,02% +       = ⇒ = = 3.025 Mes 0 6 2.725 VM 1 11 2 6 = + = 275 275 275 275 275 275 275 275 275 275 275 Mes 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2.725 275 275 275 275 275 275 275 275 275 275 275 275 Mes 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3.000 2.725 Vajilla Leti Elegante vajilla conmemorativa de porcelana con filo de oro. Nunca pasará de moda, una mesa de lujo para ocasiones especiales. 12 servicios, 104 piezas, incluidos juegos de café y té. Precio al contado: 3.000 . Financiación: 12 pagos mensuales de 275 , el primero de entrada. Vea con detalle la vajilla Leti en: www.bodasweb.mof CAPÍTULO 2 CAPITALIZACIÓN Y DESCUENTO SIMPLES 27 www.cienciamatematica.com

39. Observe el impacto que tiene en el coste de la financiación el que la primera cuota de pague como entrada, coste 22,02%, o se pague al mes de realizar la compra, coste 18,46%. 54. Calcule el tipo de interés que se cobra en la siguiente oferta que ha recibido en su correo. Fíjese bien en las condiciones de la financiación. z Le ayudo con el gráfico. Respuesta: 0,16 16% 55. Calcule el tipo de interés que se cobra en la siguiente oferta. Fíjese que hay una pequeña diferencia en las condiciones de la financiación. z Le ayudo con el gráfico. Respuesta: 0,27586 27,59% 825 825 825 825 Mes 0 3 6 9 3.000 2.175 Vajilla Leti Elegante vajilla conmemorativa de porcelana con filo de oro. Nunca pasará de moda, una mesa de lujo para ocasiones especiales. 12 servicios, 104 piezas, incluidos juegos de café y té. Precio al contado: 3.000 . Financiación: 4 pagos trimestrales de 825 , el primero de entrada. Vea con detalle la vajilla Leti en: www.bodasweb.mof 825 825 825 825 Mes 0 3 6 9 12 3.000 Vajilla Leti Elegante vajilla conmemorativa de porcelana con filo de oro. Nunca pasará de moda, una mesa de lujo para ocasiones especiales. 12 servicios, 104 piezas, incluidos juegos de café y té. Precio al contado: 3.000 . Financiación: 4 pagos trimestrales de 825 , el primero a los 3 meses de la compra. Vea con detalle la vajilla Leti en: www.bodasweb.mof 28 MATEMÁTICA FINANCIERA www.cienciamatematica.com

40. Compare la respuesta de estos dos últimos problemas. Observe el impacto que tiene en el coste de la financiación el que la primera cuota de pague como entrada (27,59%) o se pague a los tres meses de realizar la compra (16%). 56. Calcule el tipo de interés que se cobra en la siguiente oferta. Fíjese bien en las condiciones de la financiación. z Le ayudo con el gráfico. Respuesta: 0,13333 13,33% 57. Calcule el tipo de interés que se cobra en la siguiente oferta. Fíjese que hay una pequeña diferencia en las condiciones de la financiación. z Le ayudo con el gráfico. Respuesta: 0,44444 44,44% 1.650 1.650 Mes 0 6 3.000 1.350 Vajilla Leti Elegante vajilla conmemorativa de porcelana con filo de oro. Nunca pasará de moda, una mesa de lujo para ocasiones especiales. 12 servicios, 104 piezas, incluidos juegos de café y té. Precio al contado: 3.000 . Financiación: 2 pagos semestrales de 1.650 , el primero de entrada. Vea con detalle la vajilla Leti en: www.bodasweb.mof 1.650 1.650 Mes 0 6 12 3.000 Vajilla Leti Elegante vajilla conmemorativa de porcelana con filo de oro. Nunca pasará de moda, una mesa de lujo para ocasiones especiales. 12 servicios, 104 piezas, incluidos juegos de café y té. Precio al contado: 3.000 . Financiación: 2 pagos semestrales de 1.650 , el primero a los 6 meses de la compra. Vea con detalle la vajilla Leti en: www.bodasweb.mof CAPÍTULO 2 CAPITALIZACIÓN Y DESCUENTO SIMPLES 29 www.cienciamatematica.com

41. Compare la respuesta de estos dos últimos problemas. Observe el impacto que tiene en el coste de la financiación el que la primera cuota de pague como entrada (44,44%) o se pague a los seis meses de realizar la compra (13,33%). 58. Calcule el tipo de interés que se cobra en la siguiente oferta que ha recibido en su correo electrónico. SOLUCIÓN z En primer lugar deberemos calcular el importe de cada pago porque la oferta no lo indica. ¿Se ha fijado que el anuncio tiene un asterisco al lado del 8%, y que ese asterisco está explicado más abajo en letras más pequeñas? Los asteriscos suelen traer, normalmente, malas noticias para usted. El 8% anual no es el tipo de interés que cobra 4d por la financiación, se trata de una tasa de recargo (lo que también es una mala noticia para usted). z Precio del coche al contado: 20.000 z Precio del coche financiado: 20.000 0,08*1(año) * 20.000 21.600 z Veamos el gráfico. z Calculamos el VM de la contraprestación para simplificar la operación. En este caso nos vale con dividir entre 2 la suma del primer vencimiento más el último: z Pagar esas 12 mensualidades de 1.800 cada una es lo mismo que pagar los 21.600 juntos en el mes 6,5. Representamos el nuevo gráfico y calculamos el tipo de interés de esta financia- ción: 21.600 Mes 0 6,5 20.000 VM 1 12 2 6,5 = + = 1.800 1.800 1.800 . . . 1.800 1.800 Mes 0 1 2 3 . . . 11 12 20.000 Cuota mensual Coche financiado N mero de cuotas 21.600 12 1. = = = ú 8 800 ¿Quién le ha dicho que no puede tener un 4d? Le ofrecemos el modelo YNOT4d. Precio al contado: ¡sólo 20.000 ! ¿Quiere financiarlo? Pague 12 cuotas mensuales, la primera al mes de llevarse su YNOT4d. Con la mejor financiación del mercado: ¡8% anual!* * Tasa de recargo 30 MATEMÁTICA FINANCIERA www.cienciamatematica.com

42. 59. Calcule el tipo de interés al que resultaría la financiación del problema anterior, si tuviera que pagar la primera de las cuotas como entrada. z Le ayudo con el gráfico. Respuesta: 0,17582 17,58% 60. Calcule el tipo de interés que se cobra en la siguiente oferta que ha recibido en su correo electró- nico. Respuesta: 0,20307 20,31% (cuotas mensuales de 1.850 ). 61. Calcule el tipo de interés al que resultaría la financiación del problema anterior, si tuviera que pagar la primera de las cuotas como entrada. Respuesta: 0,24242 24,24% 62. Usted trabaja en el Departamento Financiero del equipo ciclista DOCE y acaba de recibir el siguiente memorando. De: Gerencia DOCE Para: Depto Financiero DOCE Asunto: Coste de financiación de las bicicletas BUL Hemos recibido de BUL, Bicicletas Ultra Ligeras, la siguiente oferta del modelo BULXXI, el que queremos usar en el próximo Tour de Francia. Precio de las BULXXI al contado: 7.500 Podemos financiarlas con BUL, que nos pide 9 cuotas mensuales de 900 cada una, la primera dentro de 4 meses, cuando termine el Tour Necesitamos conocer el tipo de interés anual de esta financiación para presentar mañana un informe en Presidencia. ¿Quién le ha dicho que no puede tener un 4d? Le ofrecemos el modelo YNOT4d. Precio al contado: ¡sólo 20.000 ! ¿Quiere financiarlo? Pague 12 cuotas mensuales, la primera al mes de llevarse su YNOT4d. Con la mejor financiación del mercado: ¡11% anual!* * Tasa de recargo 1.800 1.800 1.800 . . . 1.800 1.800 1.800 Mes 0 1 2 3 . . . 10 11 20.000 18.200 20.000 1 r 6,5 12 21.600 r 0,14769 14,77% +       = ⇒ = = CAPÍTULO 2 CAPITALIZACIÓN Y DESCUENTO SIMPLES 31 www.cienciamatematica.com

43. SOLUCIÓN z El gráfico que representa la operación es el siguiente: z Calculamos el VM de la contraprestación para simplificar la operación. z Representamos el nuevo gráfico y calculamos el tipo de interés de esta financiación: 63. Gerencia le manda otro memorando. Respuesta: 0,21 21% 64. Definitivamente hoy no es su día. Gerencia vuelve a mandarle el memorando que se muestra en la página siguiente. Respuesta: 0,30 30% Pista. La única diferencia entre el gráfico inicial de flujos de este problema y el del problema anterior es que en este caso el flujo que debe poner en el mes 0 es de 7.125 (7.5005% de 7.500 7.125). De: Gerencia DOCE Para: Depto Financiero DOCE Asunto: Coste de financiación de las bicicletas BUL Gracias por la rápida respuesta al memo anterior. BUL se equivocó en la oferta que nos hizo para el modelo BULXXI. Precio de las BULXXI al contado: 7.500 Podemos financiarlas con BUL, que nos pide 9 cuotas mensuales de 950€ cada una, la primera dentro de 4 meses, cuando termine el Tour. Tenemos la misma urgencia por conocer el tipo de interés anual de esta financiación. 7.500 1 r 8 12 8.100 r 0,12 12% +       = ⇒ = = 8.100 Mes 0 8 7.500 VM 4 12 2 8 = + = 900 900 900 900 900 900 900 900 900 Mes 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7.500 32 MATEMÁTICA FINANCIERA www.cienciamatematica.com

44. 65. Vuelva al Ejemplo 2.10 de este capítulo y calcule el tipo de interés al que le resulta la financiación del coche 4d. SOLUCIÓN z El gráfico que representa la operación es el siguiente: z Calculamos el VM de la contraprestación para simplificar la operación. z Pagar esas 12 mensualidades es lo mismo que pagar los 16.200 juntos en el mes 6,5. Repre- sentamos el nuevo gráfico y calculamos el tipo de interés de esta financiación: 15.000 1 r 6,5 12 16.200 r 0,14769 14,77% +       = ⇒ = = 16.200 Mes 0 6,5 15.000 VM 1 12 2 6,5 = + = 1.350 1.350 1.350 . . . 1.350 Mes 0 1 2 3 . . . 12 15.000 De: Gerencia DOCE Para: Depto Financiero DOCE Asunto: Coste de financiación de las bicicletas BUL Gracias por las rápidas respuestas a los memos. Hemos negociado un poco con BUL. Las condiciones definitivas son: Precio de las BULXXI al contado: 7.500 . Podemos financiarlas con BUL, que nos pide 9 cuotas mensuales de 950€ cada una, la primera dentro de 4 meses, cuando termine el Tour. Si la pagamos al contado obtendremos un descuento del 5%. ¿Nuestra urgencia? La de siempre -! CAPÍTULO 2 CAPITALIZACIÓN Y DESCUENTO SIMPLES 33 www.cienciamatematica.com

46. UN POCO DE TEORÍA EL INTERÉS „ El tipo de interés es el precio del dinero, la rentabilidad que queremos obtener de nuestras inversiones. Cuanto más arriesgada sea una inversión, mayor será la rentabilidad que queramos obtener con la misma. Tipo de interés Rentabilidad libre de riesgo Prima de riesgo „ Formas de expresar el tipo de interés. Podemos expresar el interés de un préstamo, por ejemplo el 6%, de varias maneras: z En tanto por uno: z En tanto por cien: 6% z En puntos básicos: 600PB (6% 6*100 600PB) z En puntos porcentuales: 6PP (6% 6PP) VALORACIÓN DE CAPITALES POR INTERÉS SIMPLE „ La capitalización simple es una de las leyes que pueden emplearse para valorar el dinero en el tiempo. Utilizar esta ley implica que los intereses son improductivos, se calculan sólo sobre la presta- ción. „ La fórmula de interés simple es: Interés P * r * t z «P» es la prestación o el principal. z «r» es el tipo de interés vencido que se haya pactado. 0,06 6 6 100 0 06 % , = =       CAPÍTULO 2 Capitalización y descuento simples 5 www.cienciamatematica.com

47. 6 MATEMÁTICA FINANCIERA z «t» es el tiempo, la duración de la operación. z «r» y «t» tienen que ser homogéneos. Si «r» es el tanto anual, «t» debe expresar años o frac- ción de año. EJEMPLO 2.1 ¿Qué interés produce un préstamo de 1.000 a 9 meses, al 6% de interés anual? z Fíjese que «r» y «t» son homogéneos: «r» 6% anual; «t» es una fracción de año (9/12 de año). „ El valor final de un capital, también llamado Montante (Ct), es igual a su valor inicial, C0, más los intereses que genera. EJEMPLO 2.2 ¿Cuál es el valor dentro de 9 meses de 1.000 invertidos hoy al 6% de interés anual? „ Para calcular el valor actual, C0, de un capital aplicando descuento matemático o racional, no tenemos más que despejar C0 de la expresión Ct C0(1rt). Nos queda: EJEMPLO 2.3 ¿Cuál es el valor actual de 2.000 que vencen dentro de 8 meses, si el tipo de interés es el 6% anual y se acuerda aplicar el descuento racional? C0 2 000 1 0 06 8 12 1 923 08 = +       = . , . , 2.000 Mes 0 8 ¿C0? C C rt t 0 1 = + ( ) C9 1 000 1 0 06 9 12 1 045 = +       = . , . ¿C9? Mes 0 9 1.000 C C C r t sacamos C C r t INTER S = + ∗ ∗ ⇒ ⇒ = + 0 0 0 0 1 É ú factor com n Ct ( t t) Inter s é = ∗ = 1 000 0 06 9 12 45 . , www.cienciamatematica.com

48. CAPÍTULO 2 CAPITALIZACIÓN Y DESCUENTO SIMPLES 7 „ Para calcular el valor actual, C0, de un capital aplicando descuento comercial, hacemos: C0 Ct (1dt) z Esta «d» es el tipo de interés anticipado, tipo de descuento. Si lo representamos con «r» tenemos: C0 Ct (1 rt) EJEMPLO 2.4 ¿Cuál es el valor actual de 2.000 que vencen dentro de 8 meses, si el tipo de interés es el 6% anual pero se acuerda aplicar el descuento comercial? z Compare los Ejemplos 2.3 y 2.4. Observará que el valor actual de un capital que vence dentro de 8 meses depende del modelo empleado para mover el dinero en el tiempo, de la ley financiera descuento racional o descuento comercial que apliquemos. „ ¿Y qué se aplica en la «vida real», descuento racional o comercial? z Hay operaciones en las que no puede elegir, por ejemplo, en el descuento de letras, en el que se aplica el descuento comercial. z Cuando pueda elegir, debe optar por la ley financiera que sea más beneficiosa para sus accionistas. „ Tipo de interés vencido equivalente a tipo de interés anticipado. z Si queremos calcular el tipo de interés vencido equivalente al tipo de interés anticipado, descuento comercial, que nos han aplicado en el ejemplo anterior, hacemos: Esto quiere decir que el interés anticipado descuento comercial que nos han cobrado, 6% anual, es equivalente a que nos hubieran cobrado un interés vencido descuento racional del 6,25% anual. Volvemos sobre el Ejemplo 2.4. 2.000 Mes 0 8 ¿C0? r = − = 0 06 1 0 06 8 12 0 0625 , , , r d dt = − 1 C0 2000 1 0 06 8 12 1 920 = −       = , . 2.000 Mes 0 8 ¿C0? www.cienciamatematica.com

49. Cuando nos aplicaban un descuento comercial del 6% anual, nos daban: Si nos hubieran aplicado un descuento racional del 6,25% anual, hubiéramos cobrado la misma cantidad: „ son las ecuaciones de equilibrio financiero que utiliza- remos para hacer las valoraciones cuando la operación financiera se pacta con la ley de capitaliza- ción simple. LA INFLACIÓN „ Usted invierte hoy su dinero al 8% de interés anual y a un año. Suponga que durante ese año la infla- ción resulta ser del 8%. El interés real, rr, que ha obtenido es el 0%. La inflación se ha «comido» todo su interés nominal, rn, el 8% al que había invertido su dinero. „ La relación que hay entre el interés nominal, rn, el interés real, rr, y la inflación, i, es: (1rn) (1rr) (1i) EJEMPLO 2.5 D. Francisco Segurola quiere invertir su dinero obteniendo una rentabilidad real del 14% a un año. La inflación esperada para el año que viene es el 8%. D. Francisco, cree que debería invertir su dinero al 22% nominal (14%8%), pero, por si sus cálculos no son correctos, nos pide que le calcule- mos el tipo de interés nominal al que debe invertir su dinero. EJEMPLO 2.6 D. Francisco está muy enfadado. El año pasado invirtió su dinero al 23,12% y la inflación de este año ha sido el 10%, en vez del 8% esperado, por lo que calcula que la rentabilidad real que ha obtenido es el 13,12% (23,12%10%), lejos del 14% que deseaba. D. Francisco nos pide que le calcu- lemos con exactitud la rentabilidad real de su inversión. Si r i r r i r r r n r (1+rn ) ( )( ) , , , = + + ⇒ ⇒ = + + − = − = = 1 1 1 1 1 1 2312 1 1 1 0 11927 1 11 93 , % 1 1 14 1 08 1 14 1 08 1 0 2312 23 12 + = ⇒ ⇒ = − = = r r n n , * , , * , , , % C C rt C rt C rt t t t = + = + = − 0 1 1 1 ( ); ( ) ; ( ) C C 0 0 C0 2 000 1 0 0625 8 12 1 920 = +       = . , . C0 2 000 1 0 06 8 12 1 920 = −       = . , . 8 MATEMÁTICA FINANCIERA www.cienciamatematica.com

50. VENCIMIENTO MEDIO Y VENCIMIENTO COMÚN „ Un conjunto de capitales con distintos vencimientos pueden sustituirse por otro capital, suma de los anteriores, si éste se paga en la fecha del vencimiento medio (VM) de los capitales iniciales. „ Si sustituimos un conjunto de capitales con distintos vencimientos por otro capital, que no resulta ser igual a la suma de los anteriores, la fecha en la que paga este capital recibe el nombre de vencimiento común (VC). „ El VM es la media ponderada de los vencimientos de varios capitales. EJEMPLO 2.7 Debemos a un proveedor tres capitales de 1.000 cada uno, que vencen a 30, 60 y 90 días. Nuestra empresa quiere liquidar esta deuda mediante un único pago de 3.000 . ¿En qué fecha debe hacerse este pago? z Como queremos pagar un capital que es suma de los que debíamos inicialmente, los 3.000 deben pagarse en la fecha de VM. z El gráfico que representa la operación es el siguiente: z El VM es la media ponderada de los vencimientos de los tres capitales de 1.000 . z Cuando todos los capitales son iguales, como en este caso, para determinar el VM nos basta con calcular la media aritmética de los tiempos. z Cuando, además de ser los capitales iguales, sus vencimientos son a plazos regulares, como es nuestro caso, podemos calcular el VM dividiendo entre 2 la suma del primer vencimiento más el último. VM = + = 60 90 2 60 d as í VM = + + = 30 60 90 3 60 d as í VM N meros Capitales = = = ∑ ∑ ú í 180 000 3 000 60 . . d as CAPITALES DÍAS NÚMEROS 1.000 1.000 1.000 30 60 90 30.000 60.000 90.000 3.000 180.000 1.000 1.000 1.000 Vencimiento, días 30 60 90 ¿VM? 3.000 CAPÍTULO 2 CAPITALIZACIÓN Y DESCUENTO SIMPLES 9 www.cienciamatematica.com

51. „ El vencimiento medio nos permite convertir en una operación financiera simple lo que en principio era una operación financiera compleja. EJEMPLO 2.8 Debemos a un proveedor tres capitales de 1.000 cada uno, que vencen a 30, 60 y 90 días. Nuestra empresa quiere liquidar esta deuda mediante un único pago que haremos dentro de 75 días. ¿De qué importe debe ser este pago si pactamos un interés del 12% anual? z El gráfico que representa la operación es el siguiente: z Por el Ejemplo 2.7, sabemos que el VM de estos tres capitales de 1.000 es el día 60, con lo que podemos plantear el siguiente gráfico: z Ahora sólo tenemos que diferir estos 3.000 , moverlos 15 días hacia la derecha. Haremos los cálculos empleando años comerciales, 360 días, y años naturales, 365 días. Como a nuestros accionistas les interesa pagar lo menos posible, deberíamos utilizar años naturales en esta operación. Claro que a los accionistas de nuestra empresa proveedora les interesa cobrar lo más posible, por lo que serían partidarios de utilizar años comerciales, ¿no cree? EJEMPLO 2.9 Suponga que quiere calcular el interés anual que le cobran por una financiación de 2.900 que recibe hoy y por la que debe pagar tres capitales de 1.000 a 30, 60 y 90 días. z Empezamos por el gráfico de la operación. 1.000 1.000 1.000 Día 0 30 60 90 2.900 C75 3 000 1 0 12 15 365 3 014 79 = +       = . , . , C C rt C t = + = +       = 0 75 1 3 000 1 0 12 15 360 3 015 ( ) . , . ¿C75? Día 60 75 3.000 1.000 1.000 1.000 Vencimiento, días 30 60 75 90 ¿C75? 10 MATEMÁTICA FINANCIERA www.cienciamatematica.com

52. z Este gráfico representa una operación financiera compleja. Si calculamos el VM de estos tres capitales, la convertimos en una operación financiera simple. Ya sabemos, por el Ejemplo 2.7, que el VM de estos capitales es el día 60, por lo que el gráfico que podemos construir es el siguiente: z La ecuación de equilibrio financiero, C0(1rt) Ct, nos permite calcular el coste de esta financiación, el tipo de interés que nos cobran por la misma. Si empleamos años comerciales: Si empleamos años naturales: TASA DE RECARGO „ Las tasas de recargo son una forma de expresar en % el coste de una financiación. Pero tenga cui- dado, la tasa de recargo no es el tipo de interés de la financiación (permítame un consejo: no se crea lo que le digan, haga siempre sus propios cálculos para evitar sorpresas desagradables). Veamos su funcionamiento. EJEMPLO 2.10 Usted quiere comprar un coche 4d que tiene un precio al contado de 15.000 . 4d le ofrece financiarlo a un año, pagando, a partir del mes que viene, 12 cuotas mensuales iguales. 4d aplica en sus financiaciones una tasa de recargo del 8% anual. ¿Cuál es el importe de cada cuota? z Precio del coche al contado: 15.000 z Precio del coche financiado: 15.000 0,08 * 1(año) * 15.000 16.200 z Para calcular el tipo de interés al que resulta esta financiación, debe seguir los pasos del Ejem- plo 2.9. 1. Gráfico de la operación financiera compleja. 2. Cálculo del VM de la contraprestación (los 12 pagos de 1.350 ). 3. Gráfico de la operación financiera simple. 4. Ecuación de equilibrio financiero y despejar «r». z Si la financiación fuera a dos años, usted pagaría 24 cuotas mensuales de 725 . Precio del coche financiado: 15.000 0,08 * 2(años) * 15.000 17.400 Cuota mensual Coche financiado N mero de cuotas 16.200 12 1. = = = ú 3 350 2.900 1 r 60 365 3.000 r 0,20977 20,98% +       = ⇒ = = 2.900 1 r 60 360 3.000 r 0,20689 20,69% +       = ⇒ = = 3.000 Día 0 60 2.900 CAPÍTULO 2 CAPITALIZACIÓN Y DESCUENTO SIMPLES 11 www.cienciamatematica.com

53. PROBLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOS 1. Su prima Irma quiere comprar una plaza de garaje que cuesta 15.000 . Irma quiere pagar la plaza dentro de 8 meses y su propietario acepta darle esta financiación con un interés del 9% anual. ¿Cuánto deberá pagar Irma dentro de 8 meses? SOLUCIÓN z Veamos el gráfico. z Se trata de calcular el valor final de un capital. Planteamos la ecuación de equilibrio financiero y despejamos. 2. ¿Cuánto tendría que pagar Irma dentro de 8 meses si el propietario le cobrara un interés del 12% anual? Respuesta: 16.200 3. Doña Generosa, su vecina del 3º y «Gene» para los amigos, ha abierto una cuenta de 6.000 a nombre su sobrina Tinagera, «Tina», que hoy cumple 13 años. La cuenta ofrece un interés del 6% anual y Tina le pregunta cuánto dinero habrá en la cuenta cuando alcance su mayoría de edad, dentro de 5 años. SOLUCIÓN z Veamos el gráfico. z Debemos calcular el valor final de un capital. Planteamos la ecuación de equilibrio financiero y despejamos. C C 1 rt C 6.000 1 0,06 5 7.800 t 0 5 = + ( ) = + ∗ ( ) = ¿C5? Año 0 5 6.000 C C 1 rt C 15.000 1 0,09 8 12 15.900 t 0 8 = + ( ) = +       = ¿C8? Mes 0 8 15.000 Cuota mensual Coche financiado N mero de cuotas 17.400 24 = = = ú 725 5 12 MATEMÁTICA FINANCIERA www.cienciamatematica.com

54. 4. Tina le pregunta cuánto habrá en la cuenta si deja el dinero hasta que termine su carrera universita- ria, dentro de 9 años. Respuesta: 9.240 5. Tina le hace otra consulta. Quiere saber cuánto dinero tendría dentro de 5 años si el interés de la cuenta no fuera el 6% sino el 8% anual. Respuesta: 8.400 6. Volvamos sobre el problema 1, interés pactado 9%. Irma quiere aplazar el pago del garaje, pero quiere pagar 15.675 . ¿En qué fecha debe pagar esta cantidad? SOLUCIÓN z Veamos el gráfico. z Se trata de calcular la duración de la operación, el tiempo. Planteamos la ecuación de equilibrio financiero y despejamos. z Fíjese que la ecuación nos dice que «t» es igual a 6 doceavas partes de año, por lo tanto 6 meses. Si planteamos el tiempo en años tenemos: 7. ¿Cuándo tendría que pagar Irma 15.506,25 por el garaje para un interés del 9% anual? Respuesta: dentro de 4,5 meses o, si lo prefiere, 135 días. 8. Su tío Pío compró acciones de yaquien.mof a 10 y 4 meses más tarde las vendió a 12 cada una. ¿Qué rentabilidad ha obtenido D. Pío en la operación? SOLUCIÓN z Veamos el gráfico. z Se trata de calcular la rentabilidad de la operación, el tipo de interés que produce equivalencia entre los flujos de fondos. Planteamos la ecuación de equilibrio financiero y despejamos. C 1 rt C 0 t + ( ) = 12 Mes 0 4 10 15.675 15.000 1 0,09 t t 0,5 a os 6 meses = + ∗ ( )⇒ = = ñ C C 1 rt 15.675 15.000 1 0,09 t 12 t 6 meses t 0 = + ( ) = +       ⇒ = 15.675 Mes 0 t 15.000 CAPÍTULO 2 CAPITALIZACIÓN Y DESCUENTO SIMPLES 13 www.cienciamatematica.com

55. z Recuerde que en la expresión (1rt), «r» es el tipo de interés anual expresado en tanto por uno, por lo que 0,6 en tanto por uno es el 60%. 9. Usted también compró acciones de yaquien.mof a la vez que D. Pío (a 10 cada una), pero las ha vendido a los 5 meses de su compra a 13 cada una. Calcule la rentabilidad de su inversión. Respuesta: 0,72 72%. 10. Su abuela Dña. Pilar compró acciones de yaquien.mof el día que las vendió D. Pío (a 12 cada una) y las ha vendido el mismo día que usted (a 13 cada una). ¿Qué rentabilidad ha obtenido Dña. Pilar en su inversión? Pista: entre la compra y la venta sólo ha pasado un mes. Respuesta: 0,999999 100%. 11. Un proveedor al que su empresa debe 50.000 a pagar a 60 días, le ofrece un descuento del 3% si le paga al contado. ¿Qué coste tiene para su empresa financiarse con este proveedor? SOLUCIÓN z Veamos el gráfico. Su empresa puede pagar 48.500 hoy o pagar 50.000 dentro de 60 días. z Este problema es básicamente igual que el 5, el de las acciones de yaquien.mof. Se trata de calcular el tipo de interés que produce equivalencia financiera entre los flujos de fondos. Planteamos la ecuación de equilibrio financiero y despejamos. La respuesta varía un poco dependiendo de que usemos años naturales o comerciales. z Si su empresa está dispuesta a pagar 50.000 dentro de 60 días por no pagar 48.500 hoy (por obtener una financiación de 48.500 ), su empresa se está financiando al 18,81% de interés anual. 12. Calcule el coste de la financiación con el proveedor anterior si el descuento que le ofrece por pagarle al contado fuera el 4% en lugar del 3% (utilice años naturales). Respuesta: 0,25347 25,35%. 13. Su vecina, Doña Prudencia Segurola, va a necesitar 2.000 dentro de 6 meses para pagar una estan- cia para jubilados con el Inserso en Benidorm. Doña Prudencia le ha pedido que le calcule cuánto C 1 rt C 48.500 1 r 60 360 50.000 r 0,18556 18,56% 48. 0 t + ( ) = +       = ⇒ = = 5 500 1 r 60 365 50.000 r 0,18814 18,81% +       = ⇒ = = 50.000 Día 0 60 48.500 10 1 r 4 12 12 r 0,6 60% +       = ⇒ = = 14 MATEMÁTICA FINANCIERA www.cienciamatematica.com

56. dinero debe colocar hoy en una cuenta que le ofrece un 6% de interés anual, para hacer frente a este pago. SOLUCIÓN z Planteamos el gráfico de flujos. z Doña Prudencia deberá ingresar hoy el valor actual de este capital. Planteamos la ecuación de equilibrio y resolvemos. 14. Calcule cuánto debe ingresar Doña Prudencia si el interés de la cuenta fuera el 8%. Respuesta: 1.923,08 . 15. Doña Prudencia tiene que hacer dos pagos de 2.000 cada uno, dentro de 6 y 9 meses, para hacer frente a unas reparaciones extraordinarias de la comunidad de vecinos. Calcule cuánto dinero debe colocar Doña Prudencia hoy en una cuenta que le ofrece el 6% de interés anual, para hacer frente a estos pagos. SOLUCIÓN z Planteamos el gráfico de flujos z Doña Prudencia deberá ingresar hoy el valor actual de estos dos capitales. Planteamos la ecua- ción de equilibrio y resolvemos. 16. Calcule cuánto debe ingresar Doña Prudencia, para hacer frente a estos dos pagos, si el interés de la cuenta fuera el 8%. Respuesta: 3.809,87 . C 2.000 1 0,06 6 12 2.000 1 0,06 9 12 3.855,62 0 = +       + +       = 2.000 2.000 Mes 0 6 9 ¿C0? C C 1 rt C 2.000 1 0,06 6 12 1.941,7 0 t 0 = + ( ) = +       = 5 2.000 Mes 0 6 ¿C0? CAPÍTULO 2 CAPITALIZACIÓN Y DESCUENTO SIMPLES 15 www.cienciamatematica.com

57. 17. Un cliente nos debe 600 mensuales durante los próximos 3 meses. El cliente quiere liquidar su deuda haciéndonos un único pago dentro de 3 meses. Calcule el importe de ese pago si hemos pactado un interés anual del 12%. SOLUCIÓN z Empezamos por lo más importante, el gráfico. z El cliente tendrá que pagar el valor final de estos tres capitales, su valor en el mes 3. Plantea- mos la ecuación de equilibrio y resolvemos. 18. Calcule la deuda de su cliente en el mes 3 si el interés pactado fuera el 9% anual. Respuesta: 1.813,5 . 19. Su hermana Rosana acaba de ser madre. Rosana está pensando en pedir un préstamo de 3.000 a Financiaciones Distintas para Madres, fidisma.mof. Los préstamos de fidisma.mof están destinados a mujeres que han dado a luz, su interés es el 12,5% anual y se conceden a tres meses. Rosana quiere saber cuánto dinero tendrá que pagarle a fidisma.mof dentro de 3 meses. SOLUCIÓN z Veamos el gráfico. z Rosana tendrá que pagar el valor final de este capital. Planteamos la ecuación de equilibrio financiero y despejamos. 20. Rosana ha pedido finalmente el préstamo «Sin interés, por ser madre» que acaba de lanzar Caixa Madrid para apoyar la natalidad. El préstamo, destinado también a mujeres que han dado a luz, es de 3.000 y hay que devolverlo a los tres meses. El préstamo, que, como su nombre indica, tiene un interés del 0% anual, sólo tiene unos gastos de concesión del 3%, de 90 , que se pagan en el momento de recibirlo. Rosana le ha pedido que le calcule el coste de este préstamo. C C 1 rt C 3.000 1 0,125 3 12 3.093,75 t 0 3 = + ( ) = +       = ¿C3? Mes 0 3 3.000 C 600 1 0,12 2 12 600 1 0,12 1 12 600 1.818 3 = +       + +       + = 600 600 600 Mes 0 1 2 3 ¿C3? 16 MATEMÁTICA FINANCIERA www.cienciamatematica.com

58. SOLUCIÓN z Empezamos por el gráfico. Rosana tiene hoy una entrada de tesorería de 2.910 (3000 90 de gastos de concesión) y, a cambio, tiene que pagar 3.000 dentro de 3 meses (recuerde que el préstamo es al 0% de interés). z Ya hemos hecho varios problemas de este tipo. Se trata de calcular el tipo de interés que produce equivalencia financiera entre los flujos de fondos. Planteamos la ecuación de equilibrio financiero y despejamos. 21. Calcule el coste del préstamo «Sin interés, por ser madre», si sus gastos de concesión fueran el 2%, 60 , en lugar del 3% del problema anterior. Respuesta: 0,08163 8,16%. 22. El fabricante de coches Se@ acaba de lanzar el Teruel, su nuevo modelo 4x4. El Teruel cuesta 40.000 y su campaña de promoción ofrece no pagarlo hasta dentro de 3 meses. La misma campa- ña ofrece un descuento del 5% a quienes paguen el Teruel al contado. Calcule el coste de esta finan- ciación. SOLUCIÓN z Veamos el gráfico. Usted debe elegir entre pagar 38.000 hoy (40.000 – 2.000) o pagar 40.000 dentro de 3 meses. z Este tipo de problema ya es como de la familia. Debemos calcular el tipo de interés que produce equivalencia financiera entre los flujos de fondos. Planteamos la ecuación de equilibrio financiero y despejamos. 23. Calcule el coste de financiación del Se@ Teruel si el descuento por pagarlo al contado fuera el 8%. Respuesta: 0,34782 34,78% C 1 rt C 38.000 1 r 3 12 40.000 r 0,21052 21,05% 0 t + ( ) = +       = ⇒ = = 40.000 Mes 0 3 38.000 C 1 rt C 2.910 1 r 3 12 3.000 r 0,12371 12,37% 0 t + ( ) = +       = ⇒ = = 3.000 Mes 0 3 2.910 CAPÍTULO 2 CAPITALIZACIÓN Y DESCUENTO SIMPLES 17 www.cienciamatematica.com

59. 24. Descuentos On Line, dol.mof, es una entidad de crédito especializada en descontar letras de pymes. Sus condiciones de descuento son las siguientes: interés 12% anual, comisión 1%, comisión míni- ma 7 . Canasa, una empresa que fundó su familia, descuenta en dol.mof una letra de 900 que vence dentro de 120 días. Calcule el líquido que debe recibir Canasa por esta letra. SOLUCIÓN z En negociación de letras se utiliza el descuento comercial. Aplicamos las condiciones de dol.mof. El líquido que recibirá Canasa es: Nominal 900 Interés 36 Comisión: 1% s/900 9 Líquido 855 z También lo podemos calcular de la siguiente forma: 25. Calcule el tipo de interés al que le resulta a Canasa la financiación anterior. SOLUCIÓN z Empezamos por lo importante, el gráfico. z Calculamos el tipo de interés que produce equivalencia financiera entre los flujos de fondos. Planteamos la ecuación de equilibrio financiero y despejamos. Vamos a emplear años comerciales. 26. Canasa descuenta en dol.mof una letra de 900 que vence dentro de 60 días. Calcule el líquido que recibirá Canasa por esta letra. Respuesta: 873 . 27. Calcule el tipo de interés al que le resulta a Canasa la negociación anterior. Respuesta: 0,18556 18,56%. 28. Canasa lleva a descuento en dol.mof una letra de 400 que vence dentro de 120 días. Calcule el líquido que recibirá Canasa. C 1 rt C 855 1 r 120 360 900 r 0,15789 15,79% 0 t + ( ) = +       = ⇒ = = 900 Día 0 120 855 L quido 900 1 0,12 120 360 0,01 900 855 í = −       − ∗ = 900 0,12 120 360 ∗ = 18 MATEMÁTICA FINANCIERA www.cienciamatematica.com

60. CAPÍTULO 2 CAPITALIZACIÓN Y DESCUENTO SIMPLES 19 SOLUCIÓN z Aplicamos las condiciones de dol.mof. Nominal 400 Interés 16 Comisión: 1% s/400 7 (comisión mínima) Líquido 377 z También lo podemos calcular de la siguiente forma: 29. Calcule el tipo de interés al que le resulta a Canasa la negociación anterior. Respuesta: 0,18302 18,30%. 30. Canasa lleva a descuento en dol.mof una letra de 400 que vence dentro de 60 días. Calcule el líqui- do que recibirá Canasa. Respuesta: 385 . 31. Calcule el tipo de interés al que le resulta a Canasa la negociación anterior. Respuesta: 0,23376 23,38%. 32. Canasa lleva a descuento en dol.mof una letra de 400 que vence dentro de 30 días. Calcule el líqui- do que recibirá Canasa y el tipo de interés al que le resulta esta negociación. Respuestas: Líquido 389 . Coste de la financiación: 0,33933 33,93%. 33. Canasa descuenta en dol.mof una letra de 100 que vence dentro de 30 días. Calcule el líquido que recibirá Canasa y el tipo de interés al que le resulta esta negociación. Respuestas: Líquido 92 . Coste de la financiación: 1,04347 104,35%. 34. Dol.mof ofrece a Canasa un «tipo forfait», descuento sin comisiones, del 15% para letras de más de 1.000 , forfait mínimo 20 días. Canasa descuenta una letra de 3.000 con vencimiento a 60 días. Calcule el líquido y el coste de esta financiación. SOLUCIÓN z Aplicamos las condiciones del forfait. El líquido que recibirá Canasa es: Nominal 3.000 Interés 75 Líquido 2.925 z Podemos calcular el líquido más rápido: z Planteamos el gráfico para calcular el tipo de interés al que resulta la operación. L quido 3.000 1 0,15 60 360 2.925 í = −       = 3.000 0,15 120 360 ∗ = L quido 400 1 0,12 120 360 7 377 í = −       − = 400 0,12 120 360 ∗ = www.cienciamatematica.com

61. z Planteamos la ecuación de equilibrio financiero y despejamos. 35. Canasa descuenta en dol.mof, a tipo forfait, una letra de 3.000 que vence dentro de 30 días. Calcule el líquido que recibe y el tipo de interés al que le resulta esta negociación a Canasa. Respuestas: Líquido 2.962,5 . Coste de la financiación: 0,15189 15,19%. 36. Canasa descuenta en dol.mof, a tipo forfait, una letra de 3.000 que vence dentro de 10 días. Calcule el líquido y el tipo de interés al que le resulta esta negociación a Canasa. SOLUCIÓN z Aplicamos las condiciones del forfait. El líquido que recibirá Canasa es: Nominal 3.000 Interés 25 (20 días mínimo) Líquido 2.975 O bien: z Planteamos el gráfico para calcular el tipo de interés al que resulta la operación, recuerde que aunque le hayan cobrado 20 días de interés, días mínimos del forfait, la letra vencía a 10 días. z Planteamos la ecuación de equilibrio financiero y despejamos. 37. Canasa descuenta en dol.mof, a tipo forfait, una letra de 3.000 que vence dentro de 7 días. Calcule el líquido y el tipo de interés al que le resulta esta negociación a Canasa. Respuestas: Líquido 2.975 . Coste de la financiación: 0,43217 43,22%. C 1 rt C 2.975 1 r 360 3.000 r 0,30251 30,25% 0 t + ( ) = +       = ⇒ = = 10 3.000 Día 0 10 2.975 L quido 3.000 1 0,15 360 2.975 í = −       = 20 3.000 0,15 360 ∗ = 20 C 1 rt C 2.925 1 r 60 360 3.000 r 0,15384 15,38% 0 t + ( ) = +       = ⇒ = = 3.000 Día 0 60 2.925 20 MATEMÁTICA FINANCIERA www.cienciamatematica.com

62. 38. Calcule el líquido y el tipo de interés de la letra negociada en el problema anterior si el forfait míni- mo fuera de 30 días. Respuestas: Líquido 2.962,5 . Coste de la financiación: 0,65099 65,10%. 39. Un cliente debe a Canasa tres capitales: uno de 1.000 con vencimiento a 30 días, otro de 2.000 a 60 días y un tercero de 3.000 a 90 días. El cliente quiere liquidar la deuda haciendo un único pago de 6.000 . ¿En qué fecha tiene que pagarlo? SOLUCIÓN z El gráfico que representa la operación es el siguiente: z El cliente quiere pagar 6.000 , la suma de los capitales que debía inicialmente, en la nueva fecha, por lo que forzosamente debe hacer el pago en la fecha del VM. z El cliente debe pagar los 6.000 dentro de 70 días. 40. Canasa debe a un proveedor tres capitales de 3.000, 2.000 y 1.000 dentro de 60, 90 y 120 días, respectivamente. Calcule en qué fecha podría pagar Canasa los 6.000 juntos. Respuesta: dentro de 80 días. 41. Canasa debe a un proveedor tres capitales de 2.000 cada uno con vencimientos a 60, 90 y 120 días, respectivamente. Calcule en qué fecha podría pagar los 6.000 juntos. Respuesta: dentro de 90 días. ¿Se ha acordado de que cuando los capitales son iguales no hace falta ponderar? 42. Un cliente le debe 4.000 con vencimiento a 90 días. El cliente le propone pagarle 1.000 a 30 días y retrasar el pago de los 3.000 restantes. ¿En qué fecha debe pagar estos 3.000 ? SOLUCIÓN z El gráfico que representa la operación es el siguiente: VM N meros Capitales 420.000 6.000 70 d as = ∑ ∑ = = ú í CAPITALES DÍAS NÚMEROS 1.000 2.000 3.000 30 60 90 30.000 120.000 270.000 6.000 420.000 1.000 2.000 3.000 Vencimiento, días 30 60 90 ¿VM? 6.000 CAPÍTULO 2 CAPITALIZACIÓN Y DESCUENTO SIMPLES 21 www.cienciamatematica.com

63. z El cliente quiere pagar dos capitales que suman los 4.000 que debía inicialmente, por lo que el día 90 debe ser el VM de esos dos capitales. z El cliente debe pagar los 3.000 dentro de 110 días. 43. Canasa debe a un proveedor 5.000 con vencimiento a 120 días. Este proveedor le propone liquidar la deuda pagándole 3.000 dentro de 60 días y retrasando los 2.000 restantes. ¿Cuándo debería pagar Canasa estos 2.000 ? Respuesta: dentro de 210 días. 44. Un cliente de Canasa le debe tres capitales de 2.000 cada uno con vencimientos a 60, 90 y 120 días, respectivamente. El cliente le propone liquidar esta deuda mediante un único pago a efectuar dentro de 150 días. ¿De qué importe debe ser este pago si pactan un interés del 15% anual? SOLUCIÓN z El gráfico que representa la operación es el siguiente: z Calculamos primero el VM de estos tres capitales de 2.000 . Los capitales son iguales y sus vencimientos son a plazos regulares (60, 90 y 120 es una progresión aritmética), podemos calcular el VM dividiendo entre dos la suma de los vencimientos primero y último de estos tres capitales: z Ahora podemos plantear el siguiente gráfico: ¿C150? Día 90 150 6.000 VM 60 120 2 90 as = + = dí 2.000 2.000 2.000 Día 60 90 120 150 ¿C150? VM: 30.000 3.000X 4.000 90 X 110 + = ⇒ = CAPITALES DÍAS NÚMEROS 1.000 3.000 30 X 30.000 3.000X 4.000 30.0003.000X 1.000 3.000 Vencimiento, días 30 90 ¿X? 4.000 22 MATEMÁTICA FINANCIERA www.cienciamatematica.com

64. z El cliente debe pagar el valor en 150 de los 6.000 del día 90, movemos este capital 60 días hacia la derecha: También podemos calcular esta cantidad, aunque es un proceso tedioso cuando hay muchos capitales, moviendo cada uno de los 3 capitales hasta el día 150: 45. Guguel, empresa que edita páginas amarillas, es cliente de Canasa. Guguel le debe tres capitales de 1.000, 2.000 y 3.000 con vencimientos a 30, 60 y 90 días respectivamente. Guguel le quiere hacer un único pago dentro de 100 días. Calcule el importe de este pago si el interés pactado es el 12% anual. Respuesta: 6.060 . 46. Vuelva sobre el problema 44. Suponga que lo que el cliente quiere es liquidar la deuda haciendo un único pago dentro de 100 días. Calcule su importe. SOLUCIÓN z El gráfico que representa la operación es el siguiente: z Ya sabemos que el VM de estos tres capitales es el día 90. z Ahora podemos plantear el siguiente gráfico: z Valoramos en el día 100 los 6.000 del día 90, movemos este capital 10 días hacia la derecha: Vamos a calcular esta cantidad moviendo cada uno de los 3 capitales al día 100: ¿Por qué hay esta pequeña diferencia? Porque uno de los capitales de la deuda inicial resulta anticipado, hay que moverlo hacia la izquierda. C 2.000 1 0,15 40 360 2.000 1 0,15 10 360 2.000 1 100 = +       + +       + + 0 0,15 20 360 6.025,14       = C 6.000 1 0,15 10 360 6.025 100 = +       = ¿C100? Día 90 100 6.000 2.000 2.000 2.000 Día 60 90 100 120 ¿C100? C 2.000 1 0,15 90 360 2.000 1 0,15 60 360 2.000 1 150 = +       + +       + + 0 0,15 30 360 6.150       = C 6.000 1 0,15 60 360 6.150 150 = +       = CAPÍTULO 2 CAPITALIZACIÓN Y DESCUENTO SIMPLES 23 www.cienciamatematica.com

65. z Recuerde que cuando calculamos la fecha de VM, como la media ponderada de varios capitales, los capitales que se anticipan se descuentan aplicando el descuento comercial. Los 14 cén- timos de diferencia de nuestra última solución se deben a que hemos actualizado el último capital de 2.000 aplicando el descuento racional. Si cambiamos esta forma de descontar, obte- nemos los mismos 6.025 como respuesta. z Éste es un problema de la ley financiera de interés simple. En lo sucesivo plantearemos todas las soluciones calculando el VM. 47. Canasa debe a un proveedor tres capitales de 3.000, 2.000 y 1.000 dentro de 60, 90 y 120 días respectivamente. Usted quiere liquidar esta deuda mediante un único pago dentro de 140 días. El proveedor acepta la propuesta y le pide 6.180 en esa fecha. Calcule el tipo de interés anual que le cobra por esta financiación. SOLUCIÓN z El gráfico que representa la operación es el siguiente: z Calculamos primero el VM de estos tres capitales. z Podríamos pagar los 6.000 juntos dentro de 80 días, pero queremos diferir su pago hasta el día 140, fecha en la que nos piden 6.180 . Podemos plantear el siguiente gráfico: z Calculamos el tipo de interés que produce equivalencia financiera entre los flujos de fondos. Planteamos la ecuación de equilibrio financiero y despejamos. Vamos a emplear años comerciales. 6.180 Día 80 140 6.000 VM N meros Capitales 480.000 6.000 80 d as = ∑ ∑ = = ú í CAPITALES DÍAS NÚMEROS 3.000 2.000 1.000 60 90 120 180.000 180.000 120.000 6.000 480.000 3.000 2.000 1.000 Día 60 90 120 140 6.180 C 2.000 1 0,15 40 360 2.000 1 0,15 10 360 2.000 1- 100 = +       + +       + 0 0,15 20 360 6.025       = 24 MATEMÁTICA FINANCIERA www.cienciamatematica.com

66. 48. Un cliente debe a Canasa tres capitales de 10.000 cada uno que vencen a 30, 60 y 90 días. El cliente le propone sustituir estos pagos por otro de 30.675 a 120 días. ¿Qué interés anual obtiene Canasa si acepta la propuesta? Respuesta: 0,135 13,5% 49. Vuelva sobre el problema anterior. Calcule la rentabilidad que obtiene Canasa si usted le pide al cliente que le pague los 30.675 a 100 días y el cliente lo acepta. Respuesta: 0,2025 20,25% 50. Un cliente debe a Canasa tres capitales de 10.000 cada uno que vencen a 30, 60 y 90 días. El cliente quiere sustituir estos pagos por otro de 31.125 . Calcule el vencimiento de este pago si han acordado un interés anual del 15%. SOLUCIÓN z El gráfico que representa la operación es el siguiente: z Calculamos primero el VM de estos tres capitales: z Ahora podemos plantear el siguiente gráfico: z El cliente paga más de 30.000 , por lo que debe estar pagando más tarde que el VM. Vamos a llamar X a los días que retrasa, los que van del día 90 al día «t». Planteamos la ecuación de equilibrio financiero y resolvemos: z Para pagar 31.125 debe retrasar 90 días el pago de los 30.000 . Como este capital vencía el día 60, los 31.125 se deberán pagar el día 150 (90 días más tarde). C 1 rt C 30.000 1 0,15 360 31.125 X 90 d as 0 t + ( ) = +       = ⇒ = X í 31.125 Día 60 ¿t? 30.000 VM 30 90 2 60 d as = + = í 10.000 10.000 10.000 Día 30 60 90 ¿t? 31.125 C 1 rt C 6.000 1 r 60 360 6.180 r 0,18 18% 0 t + ( ) = +       = ⇒ = = CAPÍTULO 2 CAPITALIZACIÓN Y DESCUENTO SIMPLES 25 www.cienciamatematica.com

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