1. Universidad T´ecnica Federico Santa Mar´ıa
Departamento de Matem´atica
Gu´ıa de Ejercicios Resueltos1
Series (Criterios de Convergencia)
MAT-022
1. Analice la convergencia de las siguientes series:
a)
∞
n=1
n sin
2
n
, b)
∞
n=0
n
n5 + 1
, c)
∞
n=1
n2
e−n
.
Soluci´on:
(a) Diverge, pues
lim
n→∞
n sin
2
n
= 2 lim
n→∞
sin 2
n
2
n
= 2 = 0.
(b) Converge. Compare con
∞
n=1
1
n4
. Alternativamente se puede usar el cri-
terio de comparaci´on al l´ımite con la sucesi´on bn =
1
n4
.
(c) Converge. Aplique el criterio del cuociente:
lim
n→∞
(n + 1)2
e−(n+1)
n2e−n
=
1
e
.
2. Estudie la convergencia de las siguientes series
a)
∞
n=1
2−n−(−1)n
, b)
∞
n=1
√
n
n + 1
, c)
∞
n=1
n2
e−2n
n2 + 1
Soluci´on:
(a) Aplicar el criterio de la ra´ız,
lim
n→∞
a1/n
n = lim
n→∞
2−n−(−1)n
1
n
(0.1)
= lim
n→∞
2−1
2
(−1)n+1
n (0.2)
= 2−1
2
lim
n→∞
(−1)n+1
n (0.3)
= 2−1
20
=
1
2
< 1 (0.4)
N´otese que lim
n→∞
(−1)n+1
n
= 0, el cual se deduce utilizando el teorema de
acotamiento.
1
Printed in LATEX. EOP/eop. 21st August 2006
1

2. (b) Para todo n ≥ 1,
√
n ≥ 1. Luego
√
n
n + 1
≥
1
n + 1
. Ahora, dado que
∞
n=1
1
n + 1
es divergente, se tiene que la serie en cuesti´on tambi´en es di-
vergente.
(c) Utilice criterio de comparaci´on al l´ımite. En efecto, sea an = e−2n
, en-
tonces la siguiente es una serie geom´etrica convergente
∞
n=1
an =
∞
n=1
e−2 n
=
1
e2 − 1
.
Def´ınase bn =
n2
1 + n2
an, entonces, lim
n→∞
bn
an
= lim
n→∞
n2
1 + n2
= 1 luego, por
comparaci´on al l´ımite la serie
∞
n=1
n2
e−2n
n2 + 1
converge.
3. Calcular la suma de las siguientes series:
a)
∞
n=1
1
k(k + 2)
, b)
∞
n=1
1
n
x
1 − x
n
(para x < 1
2
) , c)
∞
n=1
n − 1
n!
Soluci´on:
(a) Es necesario reescribir convenientemente la serie para poder aplicar la
propiedad telesc´opica; a saber:
∞
n=1
1
k(k + 2)
=
1
2
∞
k=1
1
k
−
1
k + 2
=
1
2
∞
k=1
1
k
−
1
k + 1
+
∞
k=1
1
k + 1
−
1
k + 2
.
Y, por propiedad telesc´opica, se tiene que
∞
n=1
1
k(k + 2)
=
1
2
1 +
1
2
=
3
4
.
(b) Definamos s(x) =
∞
n=1
1
n
x
1 − x
n
. Derivando esta funci´on (supongamos
que se puede derivar t´ermino a t´ermino), se tiene:
d
dx
s(x) =
∞
n=1
x
1 − x
n−1
1
(1 − x)2
=
1
(1 − x)2
1
1 − x
1−x
=
1
(1 − x)(1 − 2x)
.
De donde se deduce que
s(x) = ln
1 − x
1 − 2x
+ C
donde C es una constante a determinar. Claramente, a partir de la
definici´on se tiene que s(0) = 0, con lo cual se tiene que C = 0.
2

3. (c) Usando el hecho que
∞
n=0
1
n!
= e
se tiene:
∞
n=1
n − 1
n!
=
∞
n=1
1
(n − 1)!
−
∞
n=1
1
n!
=
∞
n=0
1
n!
− (e − 1) = e − (e − 1) = 1
4. (a) Demuestre que para todo n´umero real p, la serie
∞
n=1
epn
n!
converge.
(b) Estudie la convergencia de la serie
∞
n=1
1 + 10
n
n2
n!
.
Soluci´on:
a) En este problema usamos el criterio del cuociente con an =
enp
n!
y
an+1 =
e(n+1)p
(n + 1)!
. De este modo
an+1
an
=
ep
n + 1
→ 0 si n → ∞.
En consecuencia, la serie
∞
n=1
epn
n!
converge para todo p real.
b) En este problema se utilizar´a el criterio de comparaci´on. En efecto, es
bien conocido que
1 +
10
n
n
≤ e10
,
por lo que el t´ermino n-´esimo de la serie en cuesti´on es acotado superior-
mente por
e10n
n!
,
y como esta sucesi´on genera una sucesi´on convergente (ver ejercicio an-
terior), entonces la serie estudiada converge.
5. Demuestre que la serie
1
2!
+
2
3!
+
3
4!
+ · · · converge y calcule su valor.
Soluci´on: N´otese que el t´ermino de la general de la serie
1
2!
+
2
3!
+
3
4!
+ · · ·
es
k
(k + 1)!
. Para analizar convergencia se puede usar el criterio del cuociente,
lim
n→∞
an+1
an
= lim
n→∞
n + 1
(n + 1)!
(n + 1)!
n
= lim
n→∞
n + 1
n(n + 2)
= 0 < 1.
3

4. Dado que lim
n→∞
an+1
an
< 1, se deduce que la serie converge.
Para hallar su valor, notemos que la suma parcial sn se puede reescribir como:
sn =
n
k=1
k
(k + 1)!
=
n
k=1
k + 1 − 1
(k + 1)!
=
n
k=1
1
k!
−
1
(k + 1)!
La ´ultima suma obtenida coresponde a una telesc´opica, luego
sn =
n
k=1
k
(k + 1)!
= 1 −
1
(n + 1)!
De donde se deduce que la serie converge y su valor es 1, pues lim
n→∞
sn = 1.
6. Estudie la convergencia de la serie
∞
n=1
sin(n4
)
√
n4 + 1
.
Soluci´on: Para resolver este problema podemos utilizar el criterio de com-
paraci´on. En efecto, n´otese que
∞
n=1
sin(n4
)
√
n4 + 1
≤
1
√
n4 + 1
≤
1
n2
.
Luego, dado a que la serie
∞
n=1
1
n2
converge, se concluye que la serie en cuesti´on
tambi´en converge.
7. Para estudiar la convergencia de la serie
∞
n=2
1
(ln n)ln(ln n)
calcule primero lim
x→∞
ln x
√
x
, con esto justifique por qu´e para x grande xln x
≤ ex
y luego apl´ıquelo al an´alisis de la serie.
Soluci´on: Como
lim
x→∞
ln x
√
x
= lim
x→∞
1/x
1/(2
√
x)
= 2 lim
x→∞
1
√
x
= 0,
se deduce la existencia de M > 0 tal que
ln x
√
x
≤ 1, ∀x > M
esto es
ln x ≤
√
x, ∀x > M
4

5. elevando al cuadrado (se escoge M > 1 para que ln x > 0)
(ln x)2
≤ x, ∀x > M
pero
(ln x)2
= ln(xln x
)
de modo que tomando exponencial a ambos lados de la desigualdad se obtiene
xln x
≤ ex
, ∀x > M.
De lo anterior, con x = ln n se obtiene
(ln n)ln(ln n)
≤ eln n
= n, para ln n > M
esto es
1
(ln n)ln(ln n)
≥
1
n
, para n > eM
de modo que por comparaci´on la serie pedida diverge ya que la serie arm´onica
∞
n=1
1
n
diverge.
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