El documento presenta 6 problemas de cálculo avanzado relacionados con integrales impropias, series, límites y polinomios de Taylor y MacLaurin. Incluye fórmulas útiles para resolver este tipo de problemas como criterios de convergencia de series y definiciones de series geométricas y de potencias.

1. Universidad Andr´es Bello
Departamento de Matem´aticas
C´ALCULO AVANZADO - FMM 132
2do Semestre, 2011
PAUTA SEGUNDA PRUEBA SOLEMNE
Mi´ercoles 19 de Octubre de 2011
1. Calcule el valor de la siguiente integral impropia, utilizando la definici´on:
∞
2
dx
x · (ln x)2
Sol:
Por definici´on:
∞
2
dx
x · (ln x)2
= lim
t→∞
t
2
dx
x · (ln x)2
Aplicando la sustituci´on u = ln x ⇒ du = dx
x . De esta forma, la primitiva es
−1
ln x
. Luego:
∞
2
dx
x · (ln x)2
= lim
t→∞
−
1
ln x
t
2
= lim
t→∞
−
1
ln t
→0
+
1
ln 2
=
1
ln 2
2. Utilice dos criterios distintos para demostrar que la siguiente serie converge.
∞
n=1
πn+1
4n
Sol:
• Considerando la serie como una geom´etrica, se observa:
∞
n=1
πn+1
4n
=
π
4
n
· π
donde claramente es convergente, en que |r| = π
4 < 1.
• Aplicando el criterio del cuociente:
lim
n→∞
πn+2
4n+1
πn+1
4n
= lim
n→∞
π
4
=
π
4
< 1
Por tanto, la serie converge. Tambi´en se pudo haber ocupado el criterio de la ra´ız.

2. 3. Utilizando el concepto de serie geom´etrica, demuestre que 0.27 =
3
11
.
Sol:
0.27 =
27
102
+
27
104
+
27
106
+ ..... =
∞
n=1
27
102n
=
∞
n=1
27
100
·
1
100
n−1
=
27
100
1 −
1
100
=
27
100
99
100
=
27
99
=
3
11
4. Utilizando un polinomio de Mac Laurin de grado 5 para la funci´on f(x) = sin x, encuentre el valor del
siguiente l´ımite:
lim
x→0
sin x − x2
2x
Sol:
El polinomio de Mac Laurin de grado 5 se obtiene como:
P5(x) = sin 0 +
cos 0 · x
1!
+
− sin 0 · x2
2!
−
cos 0 · x3
3!
+
sin 0 · x4
4!
+
cos 0 · x5
5!
= x −
x3
6
+
x5
120
Luego:
lim
x→0
sin x − x2
2x
= lim
x→0
x − x3
6 + x5
120 − x2
2x
= lim
x→0
x · 1 − x2
6 + x4
120 − x
2x
=
1
2
5. Encuentre el intervalo y radio de convergencia para la siguiente serie de potencias:
∞
n=1
(x − 2)n
n! · 3n
Sol:
Aplicando el criterio del cuociente se llega a:
lim
n→∞
(x − 2)n · (x − 2) · n! · 3n
(x − 2)n · (n + 1) · n! · 3n · 3
= |x − 2| · lim
n→∞
1
3(n + 1)
→0
= 0 < 1
Por tanto, el intervalo de convergencia es Ic = R, y el radio de convergencia Rc = ∞.

3. 6. Considere las matrices de orden 2:
A =
a b
c d
; B =
5 8
0 1
; C =
19 22
6 11
Encuentre los valores de a, b, c y d tal que:
2A + 3B = C
Sol:
2A + 3B =
2a 2b
2c 2d
+
15 24
0 3
=
2a + 15 2b + 24
2c 2d + 3
=
19 22
6 11
De ac´a:
• 2a + 15 = 19 ⇒ a = 2.
• 2b + 24 = 22 ⇒ b = −1.
• 2c = 6 ⇒ c = 3.
• 2d + 3 = 11 ⇒ d = 4.

4. F´ORMULAS ´UTILES
• Dada la serie geom´etrica
∞
n=1
a·rn−1
=
∞
n=0
a·rn
, ser´a convergente si |r| < 1 y ser´a divergente si |r| ≥ 1.
Si es convergente el valor de la suma es S =
a
1 − r
; r = 1.
• Teorema: Si un es una serie convergente, entonces lim
n→∞
un = 0.
• Criterio para la divergencia. Sea un una serie. Si lim
n→∞
un = 0 o ∞ ⇒ un diverge.
• Criterio del cuociente. Sea un una serie. Calculemos lim
n→∞
un+1
un
= L.
1 Si L < 1 ⇒ un converge.
2 Si L > 1 ⇒ un diverge.
3 Si L = 1 ⇒ no hay informaci´on
• Criterio de la raiz. Sea un una serie. Calculemos lim
n→∞
n
|un| = L.
1 Si L < 1 ⇒ un converge.
2 Si L > 1 ⇒ un diverge.
3 Si L = 1 ⇒ no hay informaci´on
• Criterio de comparaci´on al l´ımite. Sean un y vn series de t´erminos positivos. Sea lim
n→∞
un
vn
= L.
1 Si L > 0 ⇒ un y vn tienen el mismo comportamiento.
2 Si L = 0 y vn converge⇒ un converge.
3 Si L = ∞ y vn diverge ⇒ un diverge.
• La serie alternante (−1)n · un ser´a convergente si
1 un es decreciente.
2 lim
n→∞
un = 0
• La serie de Taylor para la funci´on f(x), centrada en a, viene dada por:
f(x) =
∞
n=0
f(n)(a) · (x − a)n
n!
donde f(n)(x) es la derivada n - ´esima de f. Si a = 0 se obtiene la serie de Mac Laurin.