3. SERIES SERIE GEOM ´ETRICA
SERIE GEOM ´ETRICA
Se tiene que
∞
n=1
arn−1
=
a
1 − r
, si −1 < r < 1
Diverge, si r ≤ −1 o r ≥ 1
EJEMPLOS
1
∞
n=1
6
5n
= 6
∞
n=1
1
5
n
= 6
∞
n=1
1
5
1
5
n−1
=
6
5
·
1
1 −
1
5
=
3
2
.
2
∞
n=0
(−1)n 6n
5n
=
∞
n=0
−
6
5
n
. Como r = −6/5, concluimos que la serie
geom´etrica diverge.
4. SERIES SERIE TELESC ´OPICA
SERIE TELESC ´OPICA
Para encontrar la suma total de una serie ∞
n=1 an tenemos que calcular pri-
mero las suma parcial sn = a1 + a2 + · · · + an, pero no existe un m´etodo
general para hallar sn. Uno de los pocos casos en los cuales es posible calcular
el valor de sn es el siguiente
Si se puede expresar an en la forma
an = bn+1 − bn
entonces
sn = bn+1 − b1.
La serie de este tipo, ∞
n=1(bn+1 − bn) o ∞
n=1(bn − bn+1) se llama serie
telesc´opica.
5. SERIES SERIE TELESC ´OPICA
EJEMPLOS
1 Consideremos la serie
∞
n=1
cos−1 1
n + 1
− cos−1 1
n + 2
.
Entonces la n-´esima suma parcial de la serie es
sn = cos−1 1
2
−
¨¨
¨¨¨¨
cos−1 1
3
+
¨¨
¨¨¨¨
cos−1 1
3
−
¨¨
¨¨¨¨
cos−1 1
4
+ · · · +
¨¨
¨¨¨¨
cos−1 1
n
−
$$$$$$$$
cos−1 1
n + 1
+
$$$$$$$$
cos−1 1
n + 1
− cos−1 1
n + 2
.
As´ı
sn = cos−1 1
2
− cos−1 1
n + 2
,
6. SERIES SERIE TELESC ´OPICA
de donde
l´ım
n→∞
sn = l´ım
n→∞
cos−1 1
2
− cos−1 1
n + 2
=
π
3
−
π
2
= −
π
6
.
Por lo tanto podemos concluir que la serie
∞
n=1
cos−1 1
n + 1
− cos−1 1
n + 2
converge a −π/6.
7. SERIES TEST DE LA DIVERGENCIA
TEST DE LA DIVERGENCIA
TEOREMA
Si l´ımn→∞ an = 0 entonces la serie
∞
n=1
an diverge.
EJEMPLOS
1 Sea ∞
n=1 tan−1 n. Como l´ımn→∞ tan−1 n =
π
2
= 0, entonces la serie
diverge.
2 Consideremos la ∞
n=1 ln
3n2 + 5n + 1
2n2 + 4n + 3
. Ya que
l´ımn→∞ ln
3n2 + 5n + 1
2n2 + 4n + 3
= ln
3
2
, se tiene que la serie diverge.
