Semana 10

2. INTEGRALES
SEMANA 10
Alfonso Cubillos
Departamento de Matem´aticas, F´ısica y Estad´ıstica
Universidad de La Sabana

3. INTEGRACI ´ON NUM ´ERICA
COTAS DE ERRORES
COTAS DE ERRORES PARA LOS M ´ETODOS DEL PUNTO MEDIO Y DEL
TRAPECIO
Supongamos que |f (x)| ≤ K para a ≤ x ≤ b. Si EM y ET son los errores
del punto medio y el m´etodo trapezoidal, entonces
|EM | ≤
K(b − a)3
24n2
y |ET | ≤
K(b − a)3
12n2
COTA DE ERROR PARA EL M ´ETODO DE SIMPSON
Supongamos que |f(4)(x)| ≤ K para a ≤ x ≤ b. Si ES es el error de la regla
de Simpson, entonces
|ES| ≤
K(b − a)5
180n4

4. INTEGRACI ´ON NUM ´ERICA
RELACI ´ON ENTRE LAS TRES REGLAS
Si Mn, Tn y Sn son las reglas del punto medio, trapezoidal y de Simpson,
entonces
S2n =
Tn
3
+
2
3
Mn

5. INTEGRALES IMPROPIAS TIPO I
TIPO I
DEFINICI ´ON DE INTEGRALES IMPROPIAS TIPO I
A. Si
t
a
f(x) dx existe para todo n´umero real t ≥ a, entonces
∞
a
f(x) dx = l´ım
t→∞
t
a
f(x) dx
siempre que el l´ımite exista (como n´umero finito).
B. Si
b
t
f(x) dx existe para todo n´umero real t ≤ a, entonces
b
−∞
f(x) dx = l´ım
t→−∞
b
t
f(x) dx
siempre que el l´ımite exista (como n´umero finito).

6. INTEGRALES IMPROPIAS TIPO I
DEFINICI ´ON DE INTEGRALES IMPROPIAS TIPO I (CONTINUACI ´ON)
Las integrales impropias
∞
a
f(x) dx y
b
−∞
f(x) dx son llamadas
convergentes si el correspondiente l´ımite existe y divergentes en caso de que
el l´ımite no exista.
C. Si
∞
a
f(x) dx y
a
−∞
f(x) dx son convergentes, entonces definimos
∞
−∞
f(x) dx =
∞
a
f(x) dx +
a
−∞
f(x) dx

7. INTEGRALES IMPROPIAS TIPO I
EJEMPLO 1
Determinar la convergencia o divergencia de la integral impropia
∞
1
dx
√
x(1 + x)
. Aplicando la definici´on de integral impropia se tiene que
∞
1
dx
√
x(1 + x)
= l´ım
t→∞
t
0
dx
√
x(1 + x)
.
Considerando la sustituci´on u =
√
x, entonces du = dx/2
√
x, as´ı
2udu = dx. De donde
l´ım
t→∞
t
1
dx
√
x(1 + x)
= l´ım
t→∞
√
t
1
2udu
u(1 + u2)
= 2 l´ım
t→∞
√
t
1
du
1 + u2
= 2 l´ım
t→∞
tan−1
u
√
t
1

8. INTEGRALES IMPROPIAS TIPO I
= 2 l´ım
t→∞
tan−1
√
t − tan−1
1
= 2 l´ım
t→∞
tan−1
√
t −
π
4
= 2
π
2
−
π
4
= 2 ·
π
4
=
π
2
.
Por lo tanto podemos concluir que la
∞
1
dx
√
x(1 + x)
converge.

9. INTEGRALES IMPROPIAS TIPO II
TIPO II
DEFINICI ´ON DE INTEGRALES IMPROPIAS TIPO II
A. Si f es cont´ınua sobre [a, b) y discont´ınua en b, entonces
b
a
f(x) dx = l´ım
t→b−
t
a
f(x) dx
siempre que el l´ımite exista (como n´umero finito).
B. Si f es cont´ınua sobre (a, b] y discont´ınua en a, entonces
b
a
f(x) dx = l´ım
t→a+
b
t
f(x) dx
siempre que el l´ımite exista (como n´umero finito).

10. INTEGRALES IMPROPIAS TIPO II
DEFINICI ´ON DE INTEGRALES IMPROPIAS TIPO II (CONTINUACI ´ON)
C. Si f es cont´ınua en [a, b] excepto en c ∈ (a, b) y
c
a
f(x) dx y
b
c
f(x) dx
son convergentes, entonces
b
a
f(x) dx =
c
a
f(x) dx +
b
c
f(x) dx
EJEMPLO 2
Determinar la convergencia o divergencia de la integral impropia
1
0
4r dr
√
1 − r4
. Ya que la funci´on est´a indefinida en r = 1, aplicando la
definici´on II.A. se obtiene que
1
0
4r dr
√
1 − r4
= l´ım
t→1−
t
0
4r dr
√
1 − r4
.

11. INTEGRALES IMPROPIAS TIPO II
Consideremos la sustituci´on u = r2, entonces du/2 = rdr. As´ı la integral
toma la forma
l´ım
t→1−
t
0
4r dr
√
1 − r4
= l´ım
t→1−
t2
0
2 du
√
1 − u2
= 2 l´ım
t→1−
sin−1
u
t2
0
= 2 l´ım
t→1−
sin−1
t2
= 2 ·
π
2
= π.
De lo anterior, podemos concluir que la integral impropia converge a π.