1. Tercer Examen Sumativo Cepuns 2012 III – Trigonometría
AB BC CLAVE
69. En la figura adjunta se cumple que: =
4 3
c
Calcular : Ctg θ – Csc φ
a) 0 b) 13/12 c) 4/3 d) 3/4 e) 12/13
SOLUCIÓN: ejercicio 69
α − β = 360 º.k
5a − 4a = 360k ; K = 2
a = 360 º.k
Por el dato del ángulo mayor
2360 º < 5a < 3700 º
472º < a < 740º
∴a = 720 º
4a = 4(720 º )
Calculando el menor ángulo
4a = 2880 º
70. Dos barcos parten al mismo tiempo de un punto A, siguiendo rumbos NE ¼ N y E ¼ SE, cuando CLAVE
( )
el primero recorre 2 − 2 millas observa al segundo con dirección SE1/4E. calcular la distancia
que separa a los barcos en ese instante.
a) 2 millas b) 4 millas c) 6 millas d) 8 millas e) 1 milla a
SOLUCIÓN: ejercicio 69
Csc 2 a + 1 = 2(2ctg 2 b + 1)
Csc 2 a − 1 = 4ctg 2 b
Ctg 2 a = 4Ctg 2 b
tg 2 b
∴ 2 =4
tg a
tgb
= ±2
tga
71. El máximo valor que puede tomar el producto: Sen ( x + 20º). Sen ( x + 80º)
a) – ¼ b) ¼ c) 2/3 d) ¾ e) 4/5

2. 72. La solución general de la ecuación: Senx + Cosx = 1 , es: CLAVE
π π π π π π
a) Kπ + ( − 1) + ( − 1) k , k ∈ Z c) Kπ + ( − 1)
k k
− ,k ∈ Z b) K + ,k ∈ Z
4 4 2 3 4 4 b
π π π k π
d) K + ( − 1) k , k ∈ Z e) K + ( − 1) ,k ∈ Z
6 4 2 2
SOLUCIÓN: ejercicio 71
Reemplazar:
A =α +β
B =α −β
Tenemos:
tgA −tgB
tg 2β =
1 + tgA.tgB
3 −2 1
tg 2β = =
1 + 2.3 7
Ósea queda el triangulo siguiente:
Calcular:
K = 7sen 2β − cos 2β
 1   7 
K = 7
 −
  =0

5 2  5 2 
Rpta. 0
73. Dada la función : f(x) = 2sen2x + 1 CLAVE
Entonces :
1) El rango f(x) es : [−1;3]
c
2) El dominio de f(x) es : R
3) El periodo f(x) es : 2π
De las afirmaciones anteriores, son verdaderas:
a) 1 y 3 b) 2 y 3 c) 1 y 2 d) sólo 1 e) Todas
SOLUCIÓN: ejercicio 72 recordar: sen 2x +cos 2 x =1 ; sen 2x +cos2 x =1
Si:
sec 2 x = ntgx
1 n .senx
=
cos x
2
cos x
1
senx . cos x =
n
Resolver:
(sen x − cos 3 x ) ( senx − cos x ) ( sen 2 x + senx . cos x + cos 2 x )
3
=
( senx − cos x ) 3 ( senx − cos x ) 3
1
1+
1 + senx . cos x n
=
( senx − cos x ) 2 1 − 2senx . cos x
1 n +1
1+
n = n
2 n −2
1−
n n
n +1
∴ Rpta .
n −2

3.  1 5 CLAVE
74. El valor de la función F = Sen 2arctg − arctg 
 5 12 
a) 1 b) -1 c) 0 d) ½ e) -½ b
SOLUCIÓN: ejercicio 73
Si : 0<θ <π , calcular el máximo de :
θ
E = ctgθ − ctg  
 
2
θ 
Rec: Ctg   = csc θ + ctgθ
2
E = ctgθ − ( csc θ + ctgθ )
E = − csc θ
El máximo es -1 Rpta.
CLAVE
75. una torre vertical de h metros esta en el lado de una colina que hace un angulo “α” con CLAVE
la horizontal, como se muestra en la figura. La diferencia de los cuadrados de las
longitudes de los alambres, que estan fijados a ¾h metros en ambos lados de la base de la d
torre y en el extremos superior, es igual a:
a) 2a − 3a 2 b) a 2 − 3a c) 3a 5 + 2a d) 3a − 2a 3 e) a 2 + 2a
SOLUCIÓN: ejercicio 74
( senx + cos x ) 2 = a 2
1 + 2senx . cos x = a 2
Si: senx +cos x = a ⇒
a2 −1
senx . cos x =
2
Calcular : cos 3x – sen 3x
Sabemos que:
sen 3x = 3senx − 4sen 3 x
cos 3x = 4 cos 3 x − 3 cos x
x 3 + y 3 = ( x + y ) ( x 2 − x .y + y 2 )
Reemplazando:
4Cos 3 x − 3 cos x − (3senx − 4sen 3 x )
4( cos 3 x + sen 3 x ) − 3( senx + cos x )
4( senx + cos x ) (sen 2 x + cos 2 x − senx . cos x ) − 3( senx + cos x )
reemplazando :
 a 2 −1 2 − a 2 + 1
4a  1 −
  − 3a = 4a   − 3a
 2 

 2 

6a − 2a 3 − 3a = 3a − 2a 3
Rpta 3a − 2a 3

4. 76. Desde un punto en el terreno se observa una torre con un angulo de elevacion “α” y desde
la mitad de la distancia entre el punto y la torre el angulo de elevación es complemento
del anterior. Hallar tg α .
a) 2a − 3a 2 b) a 2 − 3a c) 3a 5 + 2a d) 3a − 2a 3 e) a 2 + 2a

5. 76. Desde un punto en el terreno se observa una torre con un angulo de elevacion “α” y desde
la mitad de la distancia entre el punto y la torre el angulo de elevación es complemento
del anterior. Hallar tg α .
a) 2a − 3a 2 b) a 2 − 3a c) 3a 5 + 2a d) 3a − 2a 3 e) a 2 + 2a

6. 76. Desde un punto en el terreno se observa una torre con un angulo de elevacion “α” y desde
la mitad de la distancia entre el punto y la torre el angulo de elevación es complemento
del anterior. Hallar tg α .
a) 2a − 3a 2 b) a 2 − 3a c) 3a 5 + 2a d) 3a − 2a 3 e) a 2 + 2a