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Tercer Examen Sumativo Cepuns 2012 III – Trigonometría
                                               AB BC                                                    CLAVE
69. En la figura adjunta se cumple que:           =
                                                4   3

                                                                                                         c




Calcular : Ctg θ – Csc φ
   a) 0        b) 13/12               c) 4/3         d) 3/4    e) 12/13
SOLUCIÓN: ejercicio 69

 α − β = 360 º.k
 5a − 4a = 360k ; K = 2
 a = 360 º.k
Por el dato del ángulo mayor
 2360 º < 5a < 3700 º
 472º < a < 740º
∴a = 720 º
                             4a = 4(720 º )
Calculando el menor ángulo
                        4a = 2880 º
70. Dos barcos parten al mismo tiempo de un punto A, siguiendo rumbos NE ¼ N y E ¼ SE, cuando           CLAVE
                                (        )
       el primero recorre 2 − 2 millas observa al segundo con dirección SE1/4E. calcular la distancia
        que separa a los barcos en ese instante.
    a) 2 millas    b) 4 millas c) 6 millas       d) 8 millas   e) 1 milla                                 a
    SOLUCIÓN: ejercicio 69

Csc 2 a + 1 = 2(2ctg 2 b + 1)
Csc 2 a − 1 = 4ctg 2 b
Ctg 2 a = 4Ctg 2 b
 tg 2 b
∴ 2 =4
 tg a
tgb
    = ±2
tga


71. El máximo valor que puede tomar el producto: Sen ( x + 20º). Sen ( x + 80º)
    a) – ¼     b) ¼    c) 2/3           d) ¾    e) 4/5
72. La solución general de la ecuación:      Senx + Cosx = 1 , es:                                            CLAVE
                      π π                         π             π                             π π
     a) Kπ + ( − 1)                                  + ( − 1) k , k ∈ Z        c) Kπ + ( − 1)
                    k                                                                      k
                        − ,k ∈ Z            b) K                                               + ,k ∈ Z
                      4 4                         2             3                             4 4              b
          π           π                          π           k π
     d) K   + ( − 1) k , k ∈ Z             e) K     + ( − 1)      ,k ∈ Z
          6           4                          2             2

SOLUCIÓN: ejercicio 71
Reemplazar:
 A =α +β
 B =α −β
Tenemos:
        tgA −tgB
tg 2β =
        1 + tgA.tgB
         3 −2     1
tg 2β =         =
        1 + 2.3 7

Ósea queda el triangulo siguiente:

Calcular:

K = 7sen 2β − cos 2β
      1   7 
K = 7
         −
               =0
                 
     5 2  5 2 
Rpta. 0
73. Dada la función : f(x) = 2sen2x + 1                                                                       CLAVE
  Entonces :
     1) El rango f(x) es : [−1;3]
                                                                                                               c
     2) El dominio de f(x) es : R
     3) El periodo f(x) es : 2π
    De las afirmaciones anteriores, son verdaderas:
     a) 1 y 3    b) 2 y 3   c) 1 y 2       d) sólo 1 e) Todas


SOLUCIÓN: ejercicio 72                         recordar:         sen 2x +cos 2 x =1   ;   sen 2x +cos2 x =1


Si:
 sec 2 x = ntgx
    1       n .senx
          =
 cos x
     2
             cos x
                 1
 senx . cos x =
                 n
Resolver:


 (sen   x − cos 3 x ) ( senx − cos x ) ( sen 2 x + senx . cos x + cos 2 x )
        3
                      =
  ( senx − cos x ) 3                    ( senx − cos x ) 3
                               1
                           1+
  1 + senx . cos x            n
                     =
 ( senx − cos x ) 2 1 − 2senx . cos x
      1 n +1
 1+
      n = n
      2 n −2
 1−
      n      n
    n +1
∴        Rpta .
    n −2
                       1         5                                 CLAVE
74. El valor de la función F = Sen 2arctg                   − arctg 
                                                          5        12 
       a)   1    b) -1       c) 0             d) ½      e) -½                                            b
SOLUCIÓN: ejercicio 73
Si :   0<θ <π     , calcular el máximo de :
                 θ
E = ctgθ − ctg  
                 
                2
         θ 
Rec: Ctg   = csc θ + ctgθ
         2
E = ctgθ − ( csc θ + ctgθ )
E = − csc θ

El máximo es -1 Rpta.




                                                                                                        CLAVE




75. una torre vertical de h metros esta en el lado de una colina que hace un angulo “α” con             CLAVE
    la horizontal, como se muestra en la figura. La diferencia de los cuadrados de las
    longitudes de los alambres, que estan fijados a ¾h metros en ambos lados de la base de la            d
    torre y en el extremos superior, es igual a:

       a) 2a − 3a 2           b) a 2 − 3a           c) 3a 5 + 2a           d) 3a − 2a 3   e) a 2 + 2a


SOLUCIÓN: ejercicio 74
                                                          ( senx + cos x ) 2 = a 2
                                                          1 + 2senx . cos x = a 2
Si: senx +cos x = a                           ⇒
                                                                           a2 −1
                                                          senx . cos x =
                                                                             2
Calcular : cos 3x – sen 3x
Sabemos que:
sen 3x = 3senx − 4sen 3 x
cos 3x = 4 cos 3 x − 3 cos x
 x 3 + y 3 = ( x + y ) ( x 2 − x .y + y 2 )
Reemplazando:
 4Cos 3 x − 3 cos x − (3senx − 4sen 3 x )
 4( cos 3 x + sen 3 x ) − 3( senx + cos x )
 4( senx + cos x ) (sen 2 x + cos 2 x − senx . cos x ) − 3( senx + cos x )
 reemplazando :
         a 2 −1           2 − a 2 + 1
 4a  1 −
                − 3a = 4a             − 3a
            2 
                            
                                2      
                                        
 6a − 2a 3 − 3a = 3a − 2a 3
Rpta    3a − 2a 3
76. Desde un punto en el terreno se observa una torre con un angulo de elevacion “α” y desde
     la mitad de la distancia entre el punto y la torre el angulo de elevación es complemento
    del anterior. Hallar tg α .
    a) 2a − 3a 2       b) a 2 − 3a    c) 3a 5 + 2a          d) 3a − 2a 3  e) a 2 + 2a
76. Desde un punto en el terreno se observa una torre con un angulo de elevacion “α” y desde
     la mitad de la distancia entre el punto y la torre el angulo de elevación es complemento
    del anterior. Hallar tg α .
    a) 2a − 3a 2       b) a 2 − 3a    c) 3a 5 + 2a          d) 3a − 2a 3  e) a 2 + 2a
76. Desde un punto en el terreno se observa una torre con un angulo de elevacion “α” y desde
     la mitad de la distancia entre el punto y la torre el angulo de elevación es complemento
    del anterior. Hallar tg α .
    a) 2a − 3a 2       b) a 2 − 3a    c) 3a 5 + 2a          d) 3a − 2a 3  e) a 2 + 2a

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  • 1. Tercer Examen Sumativo Cepuns 2012 III – Trigonometría AB BC CLAVE 69. En la figura adjunta se cumple que: = 4 3 c Calcular : Ctg θ – Csc φ a) 0 b) 13/12 c) 4/3 d) 3/4 e) 12/13 SOLUCIÓN: ejercicio 69 α − β = 360 º.k 5a − 4a = 360k ; K = 2 a = 360 º.k Por el dato del ángulo mayor 2360 º < 5a < 3700 º 472º < a < 740º ∴a = 720 º 4a = 4(720 º ) Calculando el menor ángulo 4a = 2880 º 70. Dos barcos parten al mismo tiempo de un punto A, siguiendo rumbos NE ¼ N y E ¼ SE, cuando CLAVE ( ) el primero recorre 2 − 2 millas observa al segundo con dirección SE1/4E. calcular la distancia que separa a los barcos en ese instante. a) 2 millas b) 4 millas c) 6 millas d) 8 millas e) 1 milla a SOLUCIÓN: ejercicio 69 Csc 2 a + 1 = 2(2ctg 2 b + 1) Csc 2 a − 1 = 4ctg 2 b Ctg 2 a = 4Ctg 2 b tg 2 b ∴ 2 =4 tg a tgb = ±2 tga 71. El máximo valor que puede tomar el producto: Sen ( x + 20º). Sen ( x + 80º) a) – ¼ b) ¼ c) 2/3 d) ¾ e) 4/5
  • 2. 72. La solución general de la ecuación: Senx + Cosx = 1 , es: CLAVE π π π π π π a) Kπ + ( − 1) + ( − 1) k , k ∈ Z c) Kπ + ( − 1) k k − ,k ∈ Z b) K + ,k ∈ Z 4 4 2 3 4 4 b π π π k π d) K + ( − 1) k , k ∈ Z e) K + ( − 1) ,k ∈ Z 6 4 2 2 SOLUCIÓN: ejercicio 71 Reemplazar: A =α +β B =α −β Tenemos: tgA −tgB tg 2β = 1 + tgA.tgB 3 −2 1 tg 2β = = 1 + 2.3 7 Ósea queda el triangulo siguiente: Calcular: K = 7sen 2β − cos 2β  1   7  K = 7  −   =0  5 2  5 2  Rpta. 0 73. Dada la función : f(x) = 2sen2x + 1 CLAVE Entonces : 1) El rango f(x) es : [−1;3] c 2) El dominio de f(x) es : R 3) El periodo f(x) es : 2π De las afirmaciones anteriores, son verdaderas: a) 1 y 3 b) 2 y 3 c) 1 y 2 d) sólo 1 e) Todas SOLUCIÓN: ejercicio 72 recordar: sen 2x +cos 2 x =1 ; sen 2x +cos2 x =1 Si: sec 2 x = ntgx 1 n .senx = cos x 2 cos x 1 senx . cos x = n Resolver: (sen x − cos 3 x ) ( senx − cos x ) ( sen 2 x + senx . cos x + cos 2 x ) 3 = ( senx − cos x ) 3 ( senx − cos x ) 3 1 1+ 1 + senx . cos x n = ( senx − cos x ) 2 1 − 2senx . cos x 1 n +1 1+ n = n 2 n −2 1− n n n +1 ∴ Rpta . n −2
  • 3. 1 5 CLAVE 74. El valor de la función F = Sen 2arctg − arctg   5 12  a) 1 b) -1 c) 0 d) ½ e) -½ b SOLUCIÓN: ejercicio 73 Si : 0<θ <π , calcular el máximo de : θ E = ctgθ − ctg     2 θ  Rec: Ctg   = csc θ + ctgθ 2 E = ctgθ − ( csc θ + ctgθ ) E = − csc θ El máximo es -1 Rpta. CLAVE 75. una torre vertical de h metros esta en el lado de una colina que hace un angulo “α” con CLAVE la horizontal, como se muestra en la figura. La diferencia de los cuadrados de las longitudes de los alambres, que estan fijados a ¾h metros en ambos lados de la base de la d torre y en el extremos superior, es igual a: a) 2a − 3a 2 b) a 2 − 3a c) 3a 5 + 2a d) 3a − 2a 3 e) a 2 + 2a SOLUCIÓN: ejercicio 74 ( senx + cos x ) 2 = a 2 1 + 2senx . cos x = a 2 Si: senx +cos x = a ⇒ a2 −1 senx . cos x = 2 Calcular : cos 3x – sen 3x Sabemos que: sen 3x = 3senx − 4sen 3 x cos 3x = 4 cos 3 x − 3 cos x x 3 + y 3 = ( x + y ) ( x 2 − x .y + y 2 ) Reemplazando: 4Cos 3 x − 3 cos x − (3senx − 4sen 3 x ) 4( cos 3 x + sen 3 x ) − 3( senx + cos x ) 4( senx + cos x ) (sen 2 x + cos 2 x − senx . cos x ) − 3( senx + cos x ) reemplazando :  a 2 −1 2 − a 2 + 1 4a  1 −   − 3a = 4a   − 3a  2    2   6a − 2a 3 − 3a = 3a − 2a 3 Rpta 3a − 2a 3
  • 4. 76. Desde un punto en el terreno se observa una torre con un angulo de elevacion “α” y desde la mitad de la distancia entre el punto y la torre el angulo de elevación es complemento del anterior. Hallar tg α . a) 2a − 3a 2 b) a 2 − 3a c) 3a 5 + 2a d) 3a − 2a 3 e) a 2 + 2a
  • 5. 76. Desde un punto en el terreno se observa una torre con un angulo de elevacion “α” y desde la mitad de la distancia entre el punto y la torre el angulo de elevación es complemento del anterior. Hallar tg α . a) 2a − 3a 2 b) a 2 − 3a c) 3a 5 + 2a d) 3a − 2a 3 e) a 2 + 2a
  • 6. 76. Desde un punto en el terreno se observa una torre con un angulo de elevacion “α” y desde la mitad de la distancia entre el punto y la torre el angulo de elevación es complemento del anterior. Hallar tg α . a) 2a − 3a 2 b) a 2 − 3a c) 3a 5 + 2a d) 3a − 2a 3 e) a 2 + 2a