Semana 8

2. INTEGRALES
SEMANA 8
Alfonso Cubillos
Departamento de Matem´aticas, F´ısica y Estad´ıstica
Universidad de La Sabana

3. T´ECNICAS DE INTEGRACI ´ON M´ETODO DE SUSTITUCI ´ON TRIGONOM ´ETRICA
M´ETODO DE SUSTITUCI ´ON TRIGONOM ´ETRICA
TABLA DE SUSTITUCIONES TRIGONOM ´ETRICAS
Expresi´on Sustituci´on Identidad
√
a2 − x2 x = a sin θ, −
π
2
≤ θ ≤
π
2
1 − sin2
θ = cos2 θ
√
a2 + x2 x = a tan θ, −
π
2
< θ <
π
2
1 + tan2 θ = sec2 θ
√
x2 − a2 x = a sec θ, 0 ≤ θ <
π
2
o π ≤ θ <
3π
2
sec2 θ − 1 = tan2 θ

4. T´ECNICAS DE INTEGRACI ´ON M´ETODO DE SUSTITUCI ´ON TRIGONOM ´ETRICA
EJEMPLO
Consideremos la
√
9 − x2
x4
dx. Hagamos la sustituci´on x = 3 sin θ, de
donde dx = 3 cos θ dθ. Luego
√
9 − x2
x4
dx =
9 − 9 sin2
θ
81 sin4
θ
3 cos θ dθ
=
9(1 − sin2
θ)
81 sin4
θ
3 cos θ dθ
=
√
9 cos2 θ
81 sin4
θ
3 cos θ dθ =
3 cos θ
81 sin4
θ
3 cos θ dθ
=
1
9
cos2 θ
sin4
θ
dθ =
1
9
cos2 θ
sin2
θ
1
sin2
θ
dθ
= cot2
θ csc2
θ dθ

5. T´ECNICAS DE INTEGRACI ´ON M´ETODO DE SUSTITUCI ´ON TRIGONOM ´ETRICA
Aplicando la sustituci´on u = cot θ, −du = csc2 θ dθ. Se obtiene que
= − u2
du = −
u3
3
+ C
= −
cot3 θ
3
+ C
Como sin θ =
x
3
.
√
9 − x2
x4
dx = −
(9 − x2)3
3x3
+ C

6. T´ECNICAS DE INTEGRACI ´ON FRACCIONES PARCIALES
FRACCIONES PARCIALES
El objetivo de las fracciones parciales es integrar funciones que son cocientes
de polinomios.
Consideremos una funci´on racional
f(x) =
P(x)
Q(x)
donde P y Q son polinomios. Es posible expresar f como una suma de fraccio-
nes simples siempre que se cumpla que el grado del polinomio del numerador
sea extrictamente menor que el grado del polinomio del denominador.
Para aplicar el m´etodo de fracciones parciales basta con analizar la descom-
posici´on en factores del polinomio Q(x), para ello vamos a clasificarlo en 4
casos.

7. T´ECNICAS DE INTEGRACI ´ON FRACCIONES PARCIALES
CASO I.
El denominador Q(x) es un producto de factores lineales diferentes, es decir,
Q(x) = (a1x + b1)(a2x + b2) · · · (akx + bk).
Por lo tanto, tenemos que
R(x)
Q(x)
=
A1
a1x + b1
+
A2
a2x + b2
+ · · · +
Ak
akx + bk
.

8. T´ECNICAS DE INTEGRACI ´ON FRACCIONES PARCIALES
CASO II.
El denominador Q(x) es un producto de factores lineales, donde alg´un factor
se repite. Supongamos que el termino aix + bi se repite r-veces, es decir,
(aix + bi)r
= (aix + bi)(aix + bi) · · · (aix + bi)
r−veces
.
Por lo tanto, la fracci´on parcial asociada el termino i-´esimo tiene la forma
A1
aix + bi
+
A2
(aix + bi)2
+ · · · +
Ar
(aix + bi)r
.

9. T´ECNICAS DE INTEGRACI ´ON FRACCIONES PARCIALES
EJEMPLO
Apliquemos los casos I y II de fracciones parciales para calcular la
x2
(x − 1)(x2 + 2x + 1)
dx. Tenemos que
x2
(x − 1)(x2 + 2x + 1)
=
x2
(x − 1)
Caso I
(x + 1)2
Caso II
.
As´ı las fracciones parciales tienen la forma
x2
(x − 1)(x + 1)2
=
A
x − 1
+
B
x + 1
+
C
(x + 1)2
x2
= A(x + 1)2
+ B(x − 1)(x + 1) + C(x − 1) (1)
Si x = 1, sustituyendo en la anterior expresi´on, obtenemos que
1 = 4A =⇒ A =
1
4

10. T´ECNICAS DE INTEGRACI ´ON FRACCIONES PARCIALES
Si x = −1 entonces
1 = −2C =⇒ C = −
1
2
Por otra parte, en (1), resolviendo el binomio, los productos y reduciendo
t´erminos semejantes, obtenemos que
x2
= A(x2
+ 2x + 1) + B(x2
− 1) + C(x − 1)
x2
= Ax2
+ 2Ax + A + Bx2
− B + Cx − C
x2
= (A + B)x2
+ (2A + C)x + (A − B − C)
. Tomando el coefieciente de x2, A + B = 1, de donde B = −
1
4
.

11. T´ECNICAS DE INTEGRACI ´ON FRACCIONES PARCIALES
De donde
x2
(x − 1)(x2 + 2x + 1)
dx =
1/4
x − 1
+
−1/4
x + 1
+
−1/2
(x + 1)2
dx
=
1
4
ln |x − 1| −
1
4
ln |x + 1| +
1
2(x + 1)
+ C
=
1
4
ln
x − 1
x + 1
+
1
2(x + 1)
+ C