Este documento discute las precauciones que deben tomarse al usar funciones inversas trigonométricas en una calculadora. Explica que las funciones asin y acos están definidas solo para valores entre -1 y 1, mientras que la función atan está definida para todos los números reales pero con imagen entre -π/2 y π/2. Al calcular valores fuera de estos rangos, una calculadora puede dar resultados incorrectos. Se debe entender bien el dominio de definición de cada función para interpretar correctamente los resultados.

1. Precauciones en el uso de la calculadora en las
funciones inversas trigonométricas
Miguel Bustamante -s.
April 24, 2021
Abstract
En este artı́culo se presenta un caso en el uso de la claculadora que
puede llevar a malas interpretaciones por parte de los estudiantes. El
uso de la calculadors es impornate en el desarrollo de los ejercicios, como
también conocer bien el funcionamiento y rango de dominio de las fun-
ciones definidas.
1 Introducción
Los estudiantes que entran a carreras del tipo técnico, utilizan calculadora para
poder tener resultados de forma numérica, sumar, restar, calculo de logaritmos,
potencias. Sin embargo, en uso de las funciones trigonométricas puede hacer
caer en errores de tipo numérico. Para comenzar se tiene que definir el tipo de
dominio del calculo para estas funciones. Se refiere al hecho que la calculadora
presentan tres modos de dominio: deg (grados), rad (radianes) y grad (gra-
dianes). El deg, se refiere a los grados sexagesimales, donde la circunferencia
completa corresponde a 360 ◦
. Rad, radianes es una medida en conjunto de
los reales. Se define 1 radian es la medida resultante de dividir uan circunfer-
encia en partes iguales cuya longitud de arco sea igual a la longitud del radio.
Una circunferencia tiene 2π radianes. Grad, gradianes es el resultado de dividir
la circunferencia en 400 partes iguales [2]. Las funciones trigonométricas esta
definidas en todo el conjunto de los números reales (Figura 1)
Figure 1: Funciones trigométricas
Sin embargo, la función inversa de las funciones trigométricas esta definido
en cierto rango o intervalo. En el caso de las funciones sin(x) y cos(x), la imagen
1

2. esta contenido en el tramo [−1, 1]; y en el caso de la función tangente, la imagen
es todo los reales, ya que va entre ] − ∞, ∞[, pero la iamgen va de la unción
inversa de la tangente se define entre [−π/2, π/2].
Representemos las funciones inversa de la función sin y de la función cos.
Dependiendo de la marcas de la claculadora, la función inversa de a función sin
se anota como asin o sin−1
, idem con la función cos: acos o cos−1
(Figura 2).
En el caso de la notación donde se representa el −1 lo confunden con la notación
de la potencia x−1
= 1
x , lo cual lleva a malos entendidos.
Figure 2: representacion de las funciones inversas de sin y cos
Y la representación de la inversa de la función tangente, esta definida en
todo los números reales, pero la imagen esta entre ] − π/2, π/2[.
Figure 3: Representación de atan , invesa de tangente
Se quiere aclarar que la imagen de estas funciones inversas de sin, cos y tan,
dan como resultado ] − 90◦
, 90◦
[.
Sabemos además, que las funciones sin y cos se relacionan por un desafase
entre ellas. al anotar sin(x + π/2) = cos(x) tienen las mismas imágenes, son
exprsiones equivalente, y los mismo sucede con sin(x) = cos(3π/2 + x) [1].
2

3. 2 Situación de un problema
sunpongamos que I = sin(x + π/2) y I = cos(x) Teniendo en cuenta la equiva-
lencia matemática entre sin y cos, podemos calcular, usando la función inversa el
valor de x. Es decir, si las dos se comportan igual, es decir, isoformos, podemos
decir
x = acos(I)
o
x = asin(I) − π/2
Demos valores a I, en particular I=0.5. Aplicando la inversa en la calculadora
de la función cos (acos), el resultado en radianes es
x = acos(0.5) = 1.0472
Si realizamos la misma operación con la función sin, tenemos que
x = asin(0.5) − π/2 = −1.0472
Obviamente hay una discrepancia, ya que deberı́an dar el mismo resultado.
¿cual es el problema?
2.1 Problema
Veamos con detalle la funciones inversa de la función sin y cos. Sabemos que el
dominio de las funciones estan entre [−1, 1].
Figure 4: Fución asin
La imagen de la función esta entre [−π/2, π/2]. Por tanto cualquier imagen
de función asin esta contenido en la rango. Al calcular asin(0.5)=0.52, como se
osberva en la figura 5.
Ahora, el punto 2.62 también tiene la misma imagen y corresponde π −0.52.
La definición del dominio de asin va entre [-1,1]. Por tanto, la imagen del punto
0.5 es 0.52 en el rango donde esta definido en la calculadora.
Recuerden que aplicando la función acos(0.5)=1.0472. Enfoquemosno en la
función sin(x + π/2) = 0.5, lo cual al aplicar la función inversa da que
x + π/2 = 0.52 ⇒ x = 0.52 − π/2
3

4. Figure 5: Funcion sin y el valor de 0.5
como ya sabemos.
Sin embargo, cuando realizamos el calculo con el punto x + π/2 = 2.62.
Despejando el valor de x es
x = 2.62 − π/2 = 1.047
, dando el mismo valor de la función acos.
3 Discuión
En el ejemplo anterior hemos visto que por si sólo una calculadora no entrega
un resultado correcto. Es necesario saber el dominio de las definiciones de la
función de asin y acos. Es claro que sin(x+π/2) = cos(x) por las equivalencias
trigonométricas. La disferencia entre las funciones inversas de sin y cos depende
de la definición del dominio de las funciones inversas. Por tanto, el resultado
anterior no esta mal, sino que debemos que concentrar nuestra atención en un
valor cuyo imagen sea el mismo que el punto.Por ejemplo, en el ejemplo anterior
se debio defini que la imagen de la función será [π/3, 3π/2] y dará el resultado
que buscamos
4 Conclusión
Una de las dificultades que tienen los alumnos en el cálculo numérico usando la
calculadora, es saber e interpretar el resultado que entrega las funciones de asin
y acos. Debemos explicar y aplicar las restricciones del dominio y entender el
cotexto de la solución.
4

5. 5 Referencias
References
[1] Wikipedia. Identidades y fórmulas de trigonometrı́a — wikipedia, la enci-
clopedia libre, 2021. [Internet; descargado 24-abril-2021].
[2] Wikipedia. Ángulo — wikipedia, la enciclopedia libre, 2021. [Internet;
descargado 25-abril-2021].
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