Este documento presenta una serie de conceptos básicos sobre dinámica de sistemas. Explica cómo las ecuaciones diferenciales se han utilizado para describir procesos que evolucionan en el tiempo. Luego introduce conceptos clave como órbitas, puntos fijos, puntos periódicos y comportamientos eventuales al iterar funciones. Proporciona ejemplos para ilustrar estos conceptos fundamentales de dinámica de sistemas.

1. A
Short
Lecture
Series
THEORY
AND
EXPERIMENT
SISTEMAS
DINÁMICOS
CAÓTICOS

2. A
Short
Lecture
Series
Los sistemas dinámicos tienen una larga y distinguida
historia como rama de las matemáticas.
El trabajo fundamental de Isaac Newton, las ecuaciones
diferenciales se convirtieron en la principal técnica
matemática para describir procesos que evolucionan
continuamente en el tiempo.
ROBERT DEVANEY, 1948

3. A
Short
Lecture
Series
En el siglo XVIII y XIX, los matemáticos idearon numerosas
técnicas para resolver explícitamente ecuaciones
diferenciales.
Estos métodos incluyen transformaciones de Laplace,
soluciones de series de potencia, variación de parámetros,
métodos algebraicos lineales y muchas otras técnicas de
ecuaciones diferenciales ordinarias.
ROBERT DEVANEY, 1948

4. A
Short
Lecture
Series
Poincaré manifiesta una nueva visión importante sobre el
comportamiento de las soluciones de ecuaciones
diferenciales.
Al describir estas soluciones, de lo que ahora conocemos
como múltiples estables e inestables siempre colectores.
ROBERT DEVANEY, 1948

5. A
Short
Lecture
Series
Dinámica de Sistemas
Al dejar cierta cantidad A de dinero
depositada durante N años en un sistema que
genere un 10 porciento de de interés que
cada fin de año se agregue a la cuenta, con
cuanto dinero se puede contar al año n ?
EN LA FINANZAS
A_1 = A_0+ (.10*A_0)= 1.1 A_0
A_2 = A_1+ (.10*A_1)= 1.1 A_1
A_3 = . . . . . . .= 1.1 A_2
.
.
A_N = . . . . . . . = 1.1 A_(N-1)

6. A
Short
Lecture
Series
Dinámica de Sistemas
F(x)=1.1x
A_1 = F(A_0)
A_2 = F(A_1)
A_3 = F(A_2)
EN LA FINANZAS
A_2 =F (F(A_0))= F°F(A_0)
A_3 =F(F (F(A_0)))= F°F°F(A_0)
F(x)=1.1x
F(F(x)=(1.1)^2x
F(F(F(x)=(1.1)^3x
􀃖·o F(x) = (1.ltx.
n times

7. A
Short
Lecture
Series
Dinámica de Sistemas
F(x)=1.1x
F(F(x)=(1.1)^2x
F(F(F(x)=(1.1)^3x
F°.........°F(x) = (1.1)^nx.
n tiempo
EN LA FINANZAS

8. A
Short
Lecture
Series
Dinámica de Sistemas
Determinar si una población viva P en la
generación n, denominada P_n crece o
disminuye a medida que pasan las
generaciones.
EN ECOLOGÍA
P_n+1 = rP_n
.
.
P_n = r^nP_0
n tiempo

9. A
Short
Lecture
Series
Dinámica de Sistemas
Si r > 1 ?
si r <1 ?
r = 1 ?
EN ECOLOGÍA
Para mantener números manejables, se
supone que Pn ahora representa la fracción
de esta población máxima viva en la
generación n, de modo que 0 <= Pn <=1
El modelo logístico es entonces
P_n+1 = λP_n(1-P_n)

10. A
Short
Lecture
Series
Dinámica de Sistemas
λ Es una constante que depende de las
condiciones ecológicas.
0 < λ <= 4
Para comprender el crecimiento y la
disminución de la población bajo este
modelo, debemos iterar la función logística
EN ECOLOGÍA
F_λ(x)= λx(1-x)

11. A
Short
Lecture
Series
Dinámica de Sistemas
La iteración en el estudio de ecuaciones
diferenciales ocurre cuando se puede
encontrar una superficie de sección.
Si se tiene una ecuación diferencial de primer
orden en tres dimensiones cuya variable
independiente es el tiempo, las soluciones
que se buscan son curvas en el espacio
parametrizadas por el tiempo.
ECUACIONES DIFERENCIALES

12. A
Short
Lecture
Series
Dinámica de Sistemas
Aunque no siempre, estas curvas se cruzan
una superficie dada en spacio una y otra vez
Cuando esto ocurre, el estudio de las
soluciones de la ecuación se reduce al estudio
de un proceso iterativo en la superficie.
La iteración del primer mapa de retorno no
nos dice todo, pero nos da mucha información
cualitativa y se obtiene información a largo
plazo sobre el comportamiento de la solución.
ECUACIONES DIFERENCIALES

13. A
Short
Lecture
Series
Dinámica de Sistemas
Q_c(x) = x^2 + c
F_λ(x) = λx (1-x)
E_λ(x) = λe^x
Sµ(x) = µsen(x)
ITERACIÓN

14. A
Short
Lecture
Series
Dinámica de Sistemas
Dado x_0 ER,
la órbita de x_0 bajo F es la secuencia de
puntos x_0, x_1
= F(x_0), x_2
= F:2 (x_0), ..., Xn
= F:n (x_0), ...
El punto x_0 se llama la semilla de la órbita.
ÓRBITAS

15. A
Short
Lecture
Series
Dinámica de Sistemas
Ejemplo,
si F(x) =x^(1/2) y x_0 = 256,
los primeros puntos en la órbita de x_0 son
x_0 = 256
x_1= 256^(1/2) = 16
x_2= 16^(1/2) = 4
x_3 = 4^(1/2) = 2
x_4= 2^(1/2) = 1.41.....
ÓRBITAS

16. A
Short
Lecture
Series
Dinámica de Sistemas
Ejemplo,
si S(x) = sin x , x_0 = 123,
los primeros puntos en la órbita de x_0 son
x_0 = 123
x_1= -0.4599.....
x_2= -0.4438.....
.
x_300 = -0.0975...
x_301 = -0.0974...
Los puntos de la órbita tienden a cero
lentamente
ÓRBITAS

17. A
Short
Lecture
Series
Dinámica de Sistemas
Un punto fijo es un punto x_0 que satisface
F (x_0) = x_0
Siendo
F:2 (x_0) = F(F(x_0)) = F(x_0)= x_0
y en general, F_n (x_0) = x_0
Entonces, la órbita de un punto fijo es la
secuencia constante x_0, x_0, x_0, ...
ÓRBITAS (PUNTO FIJO)

18. A
Short
Lecture
Series
Dinámica de Sistemas
Un punto fijo nunca se mueve. Como su
nombre lo indica, lo fija la función. Por
ejemplo,
0, 1 y -1 son puntos fijos para F(x) = x^3
0, 1 son puntos fijos para F(x) = x^?
Los puntos fijos se encuentran resolviendo la
ecuación
F (x) = x
ÓRBITAS (PUNTO FIJO)

19. A
Short
Lecture
Series
Dinámica de Sistemas
para F (x) = x2 - x - 4 tiene puntos fijos en las
soluciones de
(x^2)-x-4 = x
que son 1 ± 5^(1/2), según lo determinado por
la fórmula cuadrática.
ÓRBITAS (PUNTO FIJO)

20. A
Short
Lecture
Series
Dinámica de Sistemas
En:
S(x) = sen x, es x_0 = 0
y = x
C(x) = cos(x) el punto fijo es 0. 739085
ÓRBITAS (PUNTO FIJO)

21. A
Short
Lecture
Series
Dinámica de Sistemas
El punto x_0 es periódico si
F:n (x_0) = x_0
para algunos n> 0.
Al menos tal n se llama período principal de la
órbita. Tenga en cuenta que si xo es periódico
con el primer período n, entonces la órbita de
x_0 es solo una secuencia repetitiva de
números
x_0, F(x_0), ..., F:n-1(x_0), x_0, F(x_0), ...,
F:n-1(x_0), ....
ÓRBITAS (ÓRBITA PERIÓDICA O
CICLO)

22. A
Short
Lecture
Series
Dinámica de Sistemas
Ejemplo,
0 se encuentra en un ciclo de primer período 2
en
F (x) = x2 - 1
ya que F (0) = -1 y F (-1) = 0. Por lo tanto, la
órbita de 0 es simplemente
0, -1 , 0, -1, 0, -1, ...
ÓRBITAS (ÓRBITA PERIÓDICA O
CICLO)

23. A
Short
Lecture
Series
Dinámica de Sistemas
Ejemplo,
0 se encuentra en una órbita periódica del
primer período 3 o un ciclo de 3 para
F (x) = (3/2)x + (5/2)x + 1,
ya que
F(0) =1, F(1) =2, F(2) =0
Siendo la órbita
0, 1, 2, 0, 1, 2,.....
ÓRBITAS (ÓRBITA PERIÓDICA O
CICLO)

24. A
Short
Lecture
Series
Dinámica de Sistemas
En general, es muy difícil encontrar puntos
periódicos exactamente.
Por ejemplo, para encontrar ciclos del
período 5 para F(x) = x^2 - 2, tendríamos que
resolver la ecuación
F:5(x) - x = 0
ÓRBITAS (ÓRBITA PERIÓDICA O
CICLO)

25. A
Short
Lecture
Series
Dinámica de Sistemas
Esta es una ecuación polinómica de grado
2^5 = 32.
Las ecuaciones polinomiales de tan alto grado
generalmente son imposibles de resolver con
exactitud. En términos más generales, para
encontrar ciclos de período en esta función,
tendríamos que resolver una ecuación
polinómica de grado 2n, claramente una tarea
imposible.
ÓRBITAS (ÓRBITA PERIÓDICA O
CICLO)

26. A
Short
Lecture
Series
Dinámica de Sistemas
si x_0 tiene un período primo k, entonces x_0
también está fijado por F:2k.
F:2k (x_0) = F:k(F:k(x_0)) = F:k(x_0) = x_0
x_0 está fijado por F:nk, por lo que se dice
que x_0 tiene un período nk de cualquier
número entero positivo n.
ÓRBITAS (ÓRBITA PERIÓDICA O
CICLO)

27. A
Short
Lecture
Series
Dinámica de Sistemas
Además, si x_0 se encuentra en una órbita periódica
de período k, entonces todos los puntos en la órbita
de x_0 también tienen período k. De hecho, la órbita
de x_1 es
x_1, x_2, ... , x_k-1, x_0, x_1, ... , x_k-1, x_0, x_1 ...
que tiene periodo k.
ÓRBITAS (ÓRBITA PERIÓDICA O
CICLO)

28. A
Short
Lecture
Series
Dinámica de Sistemas
Un punto x_0 se llama eventualmente fijo o eventual
mente periódico si x_0 en sí mismo no es fijo o
periódico, pero un punto en la órbita de x_0 es fijo o
periódico.
Por ejemplo,
-1 está fijo para F (x) = x^2, ya que F (-1) = 1, que es
fijo.
De manera similar, 1 es periódico para
F(x) = x^2 - 1 ya que F(1) = 0, que se encuentra en un
ciclo de periodo 2. El punto 2^(1/2) también es
eventualmente periódico para esta función, ya que
la órbita es , 2^(1/2), 1, O, -1, O, -1, O, -1, ....
EVENTUALIDAD

29. A
Short
Lecture
Series
Dinámica de Sistemas
Un punto x_0 se llama eventualmente fijo o eventual
mente periódico si x_0 en sí mismo no es fijo o
periódico, pero un punto en la órbita de x_0 es fijo o
periódico.
Por ejemplo,
-1 está fijo para F (x) = x2, ya que F (-1) = 1, que es
fijo.
De manera similar, 1 es periódico para
F(x) = x^2 - 1 ya que F(1) = 0, que se encuentra en un
ciclo de periodo 2. El punto 2^(1/2) también es
eventualmente periódico para esta función, ya que
la órbita es , 2^(1/2), 1, O, -1, O, -1, O, -1, ....
EVENTUALIDAD

30. A
Short
Lecture
Series
Dinámica de Sistemas
Una fucion lineal T(x) = 2x solo tiene punto fijo en 0
Valor absoluto (T^n(x_0))---> infinito
Para la función lineal L (x) = 1/2 X. Para L, solo 0 es
fijo, pero para cualquier x_0 ≠ ,
L:n(x_0)= x_0/ 2^n
Como la secuencia {1/(2^n) tiende a cero, tenemos.
(L^n(x_0))---> 0
Se dice que la órbita de x_0 converge al punto fijo 0
ORBITAS NO FIJAS NI PERIODICAS

31. A
Short
Lecture
Series
Dinámica de Sistemas
Como otro ejemplo, considere la función de
cuadratica F (x) = x^2.
Si Valor absoluto de x_0 < 1
es facil comprobar que F:n (x_0) --> 0, por ejemplo si
x_0 = 0.1 la órbita es
2"
0.1, 0.01, 0.0001, ... , 10^(-2n) , ... ,
Iterar en una computadora o calculadora científica
ya que puede almacenar números de hasta un
número finito de decimales, puede ser no muy
exacto.
ORBITAS NO FIJAS NI PERIODICAS

32. A
Short
Lecture
Series
Dinámica de Sistemas
Considerando la función de cuadratica F (x) = x^2-2.
la órbita de 0 es simple, es eventualmente fija,
Pero considerando las órbitas de los puntos
cercanos: después de muy pocas iteraciones, estas
órbitas están lejos de ser reparadas. De hecho,
parecen preguntarse casi al azar sobre el intervalo
de -2 a 2.
Mostrando una visión del comportamiento caótico.
FUNCIONES SIMPLES QUE TIENEN
MUCHAS ÓRBITAS DE INCREÍBLE
COMPLEJIDAD.

33. A
Short
Lecture
Series
Dinámica de Sistemas
ÓRBITAS DE INCREÍBLE
COMPLEJIDAD.

34. A
Short
Lecture
Series
Dinámica de
Sistemas
Esta imagen, se subdividió el
intervalo -2 < X > 2 en 400
subintervalos de igual ancho
0.01. Luego se calculan 20,000
puntos en la órbita de 0.1 y se
marca un punto sobre cada
subintervalo cada vez que la
órbita ingresó a ese intervalo.
ÓRBITAS CAOTICAS

35. A
Short
Lecture
Series
Dinámica de
Sistemas
Se observa cómo la órbita se ha
distribuido de manera no
uniforme en -2 < X > 2. Sin
embargo, ha visitado cada
subintervalo un número
considerable de veces.
Este también es uno de los
principales componentes del
comportamiento caótico.
ÓRBITAS CAOTICAS