Este documento presenta conceptos fundamentales de las transformaciones lineales, incluyendo: definiciones de imagen, núcleo, nulidad y rango de una transformación lineal; el método de Gauss-Jordan para resolver sistemas de ecuaciones lineales; y cómo las transformaciones lineales se pueden representar mediante matrices. También incluye ejemplos para ilustrar estos conceptos.

1. REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN SUPERIOR
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO ¨SANTIAGO MARIÑO¨
ANZOÁTEGUI- BARCELONA
TRANSFORMACIONES LINEALES.
BACHILLER:
JHONNY MAR MOLLEDA
C.I 25.666.626
SECCIÓN: IV
BARCELONA, 18 DE MARZO DEL 2017.

2. TRANSFORMACIONES LINEALES.
Las transformaciones lineales son las funciones con las que trabajaremos en Algebra Lineal.
Se trata de funciones entre K-espacios vectoriales que son compatibles con la estructura (es decir,
con la operación y la acción) de estos espacios.
Ejemplo: Aquí se presentan las funciones entre espacios vectoriales que preservan las
cualidades de los espacios vectoriales. Es decir, de funciones que preservan la suma y la
multiplicación por escalares.
Sean S y T los subespacio de R³ definidos por S = {x ∈ R³/ x1 − x2 = 0} y T = {x ∈ R³/ x3 = 0}.
Hallar una transformación lineal f :R³ → R³ tal que f(S) = T. Sabemos que para definir una
transformación lineal f :R³ → R³ basta con especificar los valores que toma sobre los elementos de
una base de R³ .
Consideramos entonces una base de S, por ejemplo {(1, 1, 0),(0, 0, 1)}, y la extendemos a una
base de R³, por ejemplo {(1, 1, 0),(0, 0, 1),(1, 0, 0)}. Teniendo en cuenta que T =<(1, 0, 0),(0, 1, 0)>,
definimos: f(1, 1, 0) = (1, 0, 0), f(0, 0, 1) = (0, 1, 0), f(1, 0, 0) = (0, 0, 1).
Entonces f(S) = < f(1, 1, 0), f(0, 0, 1) > = < (1, 0, 0),(0, 1, 0) > = T.

3. METODO DE GAUSS- JORDAN.
El Método de Gauss – Jordán o también llamado eliminación de Gauss – Jordán, es un método
por el cual pueden resolverse sistemas de ecuaciones lineales con n números de variables,
encontrar matrices y matrices inversas.
Este método es uno de los mas utilizados a la hora de realizar operaciones de transformación
lineal ya que es mas fácil y efectivo.
Ejemplo: Resolver por gauss- Jordán
La matriz ampliada del sistema es un matriz 3x4

4. Multiplicamos la primera fila por 1/5.
Sumamos la a la segunda y tercera fila la multiplicación por -2.
Multiplicamos las filas segunda y tercera por 5.
Sumamos a la tercera fila la segunda multiplicada por -1.

5. Multiplicamos a segunda fila por -1/10 y la tercera por 1/11.
Sumamos la primera fila y la segunda multiplicada por -2/5 y a la tercera, la segunda por -1.
Multiplicamos la tercera fila por -11/5
Esta última matriz es la forma escalonada reducida (lo sabemos porque tenemos la matriz
identidad). Al tener la matriz identidad, sabemos que se trata de un sistema compatible
determinado y podemos obtener de ella la única solución del sistema.

6. IMAGEN.
La imagen de una transformación lineal. Sean V, W espacios vectoriales sobre un campo F
y sea T ∈ L(V, W). La imagen de T se define como el conjunto de todos los valores de la
aplicación.
NÚCLEO:
Sea L:W una transformación lineal, entonces el núcleo de L, notado por N(L), es el
subconjunto de V, que contiene todos los elementos v Є V, tales que sus imágenes son
iguales a cero. Así: N(L)={v є V/L(v)= 0 є W}
NULIDAD.
nulidad de una transformación lineal). Sean V, W espacios vectoriales sobre un campo F y
sea T ∈ L(V, W). La nulidad de T se define como la dimensión del núcleo de T:
nul(T) = dim(ker(T)).

7. RANGO.
El rango de una transformación lineal. Sean V, W espacios vectoriales sobre un campo F y
sea T ∈ L(V, W). El rango de T se define como la dimensión de la imagen de T: r(T) = dim(im(T)).
RELACIONAR LAS MATRICES CON LAS TRANSFORMACIONES LINEALES.
Cualquier transformación lineal T: V ,W puede representarse mediante una matriz: T(x) = A x.
La matriz A dependerá de las bases elegidas para V y W. La matriz de una transformación lineal
queda determinada cuando se conocen una base ordenada de V, una base ordenada de W y los
transformados de la base de V, en la base de W.
Supongamos que el espacio V tiene una base {v1, ..., vn} y el espacio W tiene una base {w1,..,
wm}. Entonces cualquier transformación lineal de V en W se representa por una matriz A m x n.

8. Ejemplo: Supongamos que en el plano x-y la transformación de matriz A lleva a cada vector a
su reflejo tomando como espejo el eje x, y la transformación de matriz B lleva a cada vector a su
simétrico respecto del origen. Encontrar las matrices A y B, usando como base de R2 el
conjunto {(1, 0), (0, 1)}.
a) ¿ Matriz A?
Transformado de (1, 0) = (1, 0)
Transformado de (0, 1) = (0, -1)
Entonces la matriz la matriz de la transformación es:
b) ¿ Matriz B?
Transformado de (1, 0) = (-1, 0)
Transformado de (0, 1) = (0, -1)
Entonces la matriz la matriz de la transformación es:

9. Transformaciones lineales.
Ejemplo: Encontrar A3x5 asociada a la transformación lineal P5-P3 / T (P(t)) = d2 P(t) /dt2,
transformando P5 en P3 (polinomios de grado ≤ 4 en polinomios de grado ≤ 2).
Base en P5: {1, t, t2, t3, t4}. Base en P3: {1, t, t2}
Transformado de (1, 0, 0, 0, 0) = ( 0, 0, 0)
Transformado de (0, 1, 0, 0, 0) = ( 0, 0, 0)
Transformado de (0, 0, 1, 0, 0) = ( 2, 0, 0)
Transformado de (0, 0, 0, 1, 0) = ( 0, 6, 0)
Transformado de (0, 0, 0, 0, 1) = ( 0, 0, 12)
Entonces la matriz la matriz de la transformación es:

10. Núcleo.
Ejercicio: Observamos que si f : V → W es una transformación lineal, Nu(f) es un subespecio de V ,
puesto que es la pre-imagen por f del subespacio {0} ⊂ W. Sea f : R³→ R² la transformación lineal
definida por f(x1, x2, x3) = (x1, x2). Entonces: Nu(f) = {(x1, x2, x3) ∈ R³: f(x1, x2, x3) = 0}
= {(x1, x2, x3) ∈ R³: x1 = x2 = 0}
= < (0, 0, 1) > .
Imagen.
Ejercicio: Hallar la imagen de la transformación lineal f : R³→ R³ definida como f(x1, x2, x3)
= (x1 − x2, −x1 + x2, 2x1 − 2x2 + x3). Por definición, Im(f) = {y ∈ R³/ ∃ x ∈ R³, f(x) = y} = {y ∈ R³/ ∃
(x1, x2, x3) ∈ R³, (x1 − x2, x1 − x2, 2x1 − 2x2 + x3) = y}.
Entonces, un elemento de y pertenece a Im(f) si y solo si es de la forma
y = (x1 − x2, −x1 + x2, 2x1 − 2x2 + x3)
= (x1, −x1, 2x1) + (−x2, x2, −2x2) + (0, 0, x3)
= x1.(1, −1, 2) + x2.(−1, 1, −2) + x3.(0, 0, 1).
Luego, Im(f) = < (1, −1, 2),(−1, 1, −2),(0, 0, 1) > = < (1, −1, 2),(0, 0, 1) >.

11. Nulidad.
Ejercicio. sea la matriz:
que define una transformación lineal y así . El espacio nulo constará de todos los vectores que
cumplan con la condición .
Esto quiere decir que
Esto define un sistema de ecuaciones lineales que tienen las siguientes soluciones:
El espacio nulo es el conjunto de estos vectores:

12. Rango.
Ejercicio: Para encontrar el rango se analiza el espacio columna de la matriz. El espacio
columna de la matriz esta formado por los vectores:
Se genera una matriz en la que los renglones son los vectores columna de la matriz A, esto
es AT
y se lleva a su forma escalonada
Entonces, los vectores y generan el rango de T. Los vectores que forman el rango se
pueden representar paramétricamente como y, por lo tanto, este es un subespacio
bidimensional de R³.

13. Gracias.