1. Matemáticas para
Simulación de
reservorios
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2. Ecuaciones de Flujo
Ecuación de flujo mas simple : Flujo horizontal de un fluido. Solución numérica y
analítica para la presión como una función del espacio y del tiempo.
FLUJO LINEAL
Consideremos una porción horizontal
P=Po
x
de material poroso, donde
inicialmente la Presión en todo este
elemento es Po y después de un
P=P1
X=L
tiempo la presión en el lado izquierdo
( en x=0) la presión se incrementa a
P1, mientras que la presión en el lado
derecho (en x=L) se mantiene en
Pr=Po
Flujo de
X=0
Fluido
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3. Ecuaciones de Flujo – Ecuación
Diferencial Parcial (EDP)
La EDP para el flujo horizontal en una dimensión, de un liquido en una fase
asumiendo permeabilidad, viscosidad y compresibilidad constante para un
flujo dependiente del tiempo o transitorio es:
∂ P  φμc  ∂P
=

2
∂x
 k  ∂t
2
Si el flujo alcanza un estado donde no es mas dependiente del tiempo, se
∂P
=0
denota el flujo como ESTADO ESTABLE. Es decir
∂t
∂2 P
=0
2
∂x
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4. Ecuaciones de Flujo
La distribución de presión en los estados transitorios y estable. Las
presiones inicial y en le lado derecho permanecen iguales
Presión
Distribución de Presión v/s Distancia
pressure vs. x
Presión en el lado
izquierdo
Solución
estado estable
P
Solución
Presión inicial
y en el lado
derecho
transitori
a
x
Distancia, x
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5. Solución analítica a la EDP
La solución analítica del desarrollo de los transientes de presión en el medio
poroso esta dado por:
x 2 ∞ 1
 n 2π 2 k   nπx 
P ( x, t ) = PL + ( PR − PL )  + ∑ exp − 2
 L φµc t  sin  L 

L π n =1 n


 

Cuando el tiempo es muy grande, el termino exponencial se aproxima a cero
y la solución resulta en la ecuación de estado estable.
x
P( x, t ) = PL + ( PR − PL )
L
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6. Ecuaciones de Flujo – Flujo Radial
Una forma alternativa de la ecuación de flujo horizontal en una
dimensión de un liquido, es la ecuación de flujo radial, la cual es usada
para la interpretación de ensayo de pozos. En este caso el área de flujo
es proporcional a r2, tal como se muestra en la siguiente figura.
r
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7. Ecuaciones de Flujo – Flujo Radial
La ecuación de flujo radial en el sistema de radial de coordenadas es:
1 ∂  ∂P   φμc  ∂P
r
=

r ∂r  ∂r   k  ∂t
•
Para un estado estable la ecuación se simplifica a:
1 ∂  ∂P 
r
=0
r ∂r  ∂r 
•
Integrando dos veces para las siguientes condiciones
limite: P(r=rw) = Pw y P(r=re) = Pe, la solución para estado
estable resulta ser:
P = Pw
( Pe − Pw ) ln( r
+
ln
( )
re
rw
e
rw
)
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8. Soluciones de Ecuacions de Flujo
SOLUCION NUMERICA
•
Las soluciones analiticas de las ecuaciones de flujo en
un reservorio se obtienen solamente despues de hacer
simplificaciones respecto a la geometria, condiciones y
propiedades que restringen severamente la aplicabilidad
de la solución.
•
Para la mayoria de los problemas de reservorios reales,
tales simplificaciones no son validas. Por lo que es
necesario resolver la ecuación numericamente
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9. Discretización de Ecuación de
Flujo
DISCRETIZACION
La ecuación diferencial parcial de flujo lineal se resolverá
numéricamente usando aproximaciones de diferencias
finitas para los términos que contienen derivadas.
∂ P  φμc  ∂P
=

2
∂x
 k  ∂t
2
Terminos
derivativos
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10. Discretización de Ecuación de
Flujo
•Primero la variable espacio, X, deberá ser subdividida en un numero
discreto de bloque ( grid blocks), y después la variable tiempo deberá
ser dividido en lapsos discretos de tiempo ( time steps ). De esta
manera la presión en cada bloque puede ser resuelta numéricamente
para cada time step.
1
i-1
i
i+1
N
∆x
•Entonces ahora nuestra porción horizontal de material poroso esta
definido en una dimension por un sistema de N bloques cada uno de
longitud Dx
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11. Discretización de Ecuación de
Flujo
• Este proceso nos genera una GRID de bloques
centrados, a cada uno de los bloques se les asigna el
índice “I” ( en esta caso para x ). Todas las
propiedades son iguales en todo el bloque
1
i-1
i
i+1
N
∆x
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12. Discretización de Ecuación de
Flujo
Aproximaciones por serie de Taylor
La serie de Taylor nos proporciona la aproximación
de una función f(x+h) en términos de f(x) y sus
derivadas f´(x) y puede ser escrita como
2
3
h
h
h
f ( x + h) = f ( x) + f ' ( x) +
f ' ' ( x) +
f ' ' ' ( x ) + ...
1!
2!
3!
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13. Primera Derivada
De la
Serie de Taylor
f ( x + h ) = f ( x ) + f '( x ) h +
f ( x−h)
Restando
f ' '( x )
h +
2
f ' ' '( X )
3
h ...
2!
3!
f ' ' ( x) 2 f ' ' ' ( x) 3
= f ( x ) − f '( X ) h +
h −
h ...
2!
3!
f ( x+ h) − f ( x−h)
f ' ' ' ( x) + f ' ' ' ( x) 3
= 2 f ' ( x)h +
h ...
3!
Dividiendo entre 2h
f ' ( x) =
etr = −
f ( x+h) − f ( x−h)
2h
f ' ' '( x ) + f ' ' '( x )
2 • 3!
+ etr
h 2 = O(h 2 )
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14. Segunda Derivada
De la
Serie de Taylor
f ( x + h ) = f ( x ) + f '( x ) h +
f ( x−h)
Sumando
Reordenando
f ' '( x )
h +
2
f ' ' '( x )
h 3 ...
2!
3!
f ' ' ( x) 2 f ' ' ' ( x) 3
= f ( x ) − f '( x ) h +
h −
h ...
2!
3!
f ( x + h ) − 2 f ( x) + f ( x + h ) = 0 +
f ' '( x ) =
f ' '( x ) =
etr = −
f( x) ' '
2!
f ( x+h) − 2 f ( x) + f ( x−h)
h2
f ( x+h) − 2 f ( x) + f ( x−h)
h
f( x) ' ' ' '
4!
h 2 ...
2
h +0+
2
−
f( x) ' ' ' '
4!
f( x) ' ' ' '
4!
h 4 ...
h 2 ...
+ etr
= Ο (h 2 )
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15. SERIE DE TAYLOR
Aproximación Lineal de una función
Ejercicio de derivada
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16. SERIE DE TAYLOR
Aproximación Lineal de una función
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17. SERIE DE TAYLOR
Aproximación Lineal de una función
Seferino Yesquen

18. SERIE DE TAYLOR
Aproximación Lineal de una función
Seferino Yesquen

19. SERIE DE TAYLOR
Aproximación Lineal de una función
Seferino Yesquen

20. SERIE DE TAYLOR
Aproximación Lineal de una función
Ejercicio de derivada
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21. Discretización de Ecuación de
Flujo
Aproximaciones por serie de Taylor
La serie de Taylor nos proporciona la aproximación de una función
f(x+h) en términos de f(x) y sus derivadas f´(x) y puede ser escrita como
h
h2
h3
f ( x + h) = f ( x) + f ' ( x) +
f ' ' ( x) +
f ' ' ' ( x ) + ...
1!
2!
3!
Aplicando las series de Taylor para la función Presión, podemos
escribir expansiones en una variedad de formas para obtener
aproximaciones a las derivadas en la ecuación lineal de flujo
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22. Discretización de Ecuación de
Flujo
Aproximación de la derivada de segundo orden en el ESPACIO
• Al tiempo constante t, la función presión puede ser
expandida hacia delante y hacia atrás.
( ∆x ) P' ' ( x, t ) + ( ∆x ) P' ' ' ( x, t ) + ...
∆x
P ( x + ∆x , t ) = P ( x , t ) +
P ' ( x, t ) +
1!
2!
3!
2
3
( − ∆x ) P' ( x, t ) + ( − ∆x ) 2 P' ' ( x, t ) + ( − ∆x ) 3 P' ' ' ( x, t ) + ...
P ( x − ∆ x, t ) = P ( x, t ) +
1!
2!
3!
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23. Discretización de Ecuación de
Flujo
Sumando ambas funciones y despejando para La segunda
derivada de Presión tendremos:
( ∆x ) P' ' ( x, t ) + ( ∆x ) P' ' ' ( x, t ) + ...
∆x
P ( x + ∆x , t ) = P ( x , t ) +
P ' ( x, t ) +
1!
2!
3!
2
3
+
( − ∆x ) P' ( x, t ) + ( − ∆x ) 2 P' ' ( x, t ) + ( − ∆x ) 3 P' ' ' ( x, t ) + ...
P ( x − ∆ x, t ) = P ( x, t ) +
1!
2!
3!
P( x − ∆x, t ) − 2 P( x, t ) + P( x + ∆x, t ) ( ∆x )
P ' ' ( x, t ) =
+
P ' ' ' ' ( x, t ) + ...
2
12
( ∆x )
2
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24. Discretización de Ecuación de
Flujo
Empleando los índices del sistema de Grid y usando
superíndices para indicar el time step, se obtiene:
t
(
t
t
 ∂ P  Pi +1 − 2 Pi t + Pi −1
2
 2 =
+ O ( ∆x )
2
 ∂x 
( ∆x )

i
2
Aproximacion
central de la
segunda
derivada
)
ERROR por
discretizacion
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25. Discretización de Ecuación de
Flujo
t
(
 ∂ P  P − 2 Pi + P
2
 2 =
+ O ( ∆x )
2
 ∂x 
( ∆x )

i
2
t
i +1
t
t
i −1
)
Error de Discretizacion
• El resto de los términos de la serie de Taylor son reunidos en el
termino O((Δx)2), indicando que este error es proporcional al tamaño
de (Δx)2.
• Este termino de error, el cual en este caso es de segundo orden, se
desprecia en simulación numérica.
• Mientras mas pequeño sea el tamaño del grid block usado, menor
será el error involucrado.
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26. Discretización de Ecuación de
Flujo
Aproximación de la Derivada del TIEMPO
• En una posición constante, X, la función presión puede ser
expandida hacia delante tomando en cuenta el TIEMPO.
( ∆t ) P' ' ( x, t ) + ( ∆t ) P' ' ' ( x, t ) + ...
∆t
P( x, t + ∆t ) = P( x, t ) + P' ( x, t ) +
1!
2!
3!
2
3
Resolviendo para la primera derivada, tenemos la siguiente aproximación.
P ' ( x, t ) =
P( x, t + ∆t ) − P( x, t ) ∆t
+
P' ' ( x, t ) + ...
∆t
2
t
Pi t +∆t − Pi t
 ∂P 
+ O ( ∆t )

 =
∆t
 ∂t i
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27. Discretización de Ecuación de
Flujo
La función de la Presión puede ser expandida hacia
atrás tomando en cuenta el TIEMPO.
( − ∆ t ) P' ' ( x, t + ∆ t ) + ( − ∆ t ) P' ' ' ( x, t + ∆ t ) + ...
− ∆t
P ( x, t ) = P ( x, t + ∆ t ) +
P ' ( x, t + ∆ t ) +
1!
2!
3!
2
3
Resolviendo para la primera derivada, tenemos la siguiente aproximación.
P ' ( x, t ) =
P ( x, t + ∆t ) − P ( x, t ) ∆t
+
P ' ' ( x, t ) + ...
∆t
2
t + ∆t
 ∂P 
 
 ∂t i
Pi t + ∆t − Pi t
=
+ O( ∆t )
∆t
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28. Discretización de Ecuación de
Flujo
La aproximacion central obtenida de las expansiones hacia adelante
y hacia atras en un intervalo de Δt /2 es:
P( x, t + ∆t ) = P ( x, t +
∆t
2
)+
∆t
2
1!
P ' ( x, t +
∆t
2
( ∆2t ) 2 P' ' ( x, t + ∆t ) + ( ∆2t ) 3 P' ' ' ( x, t + ∆t ) + ...
)+
2
2!
2
3!
− ∆t
( − ∆2t ) P' ' ( x, t + ∆t ) + ( − ∆2t ) P' ' ' ( x, t + ∆t ) + ...
2
∆t
∆t
P ( x, t ) = P ( x, t + 2 ) +
P ' ( x, t + 2 ) +
2
2
1!
2!
3!
2
t+
 ∂P 
 
 ∂t  i
∆t
2
=
Pi
t + ∆t
3
− Pi
+ O( ∆ t )
∆t
t
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29. Discretización de Ecuación de
Flujo
Ecuacion diferencias Explicita
• Usamos las aproximaciones determinadas anteriormente al nivel de
tiempo t y la sustituimos en la ecuacion de flujo lineal.
• Se obtiene la siguiente ecuacion en diferencias.
Pi t+1 − 2 Pi t + Pi t−1  φµc  Pi t + ∆t − Pi t
≈

2
∆t
( ∆x )
 k 
i = 1,..., N
Por conveniencia, el termino de error se desprecia y el signo de
igualdad se reemplaza por un signo de aproximación
Es importante mantener en mente que los errores involucrados en esta
forma numerica de la ecuacion de flujo son proporcionales a ΔX y Δt
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30. Condiciones de Frontera
Condiciones de Frontera (Boundary conditions BC's)
•
Las fuerzas que hacen que exista flujo desde los limites o fronteras.
•
Se tienen dos tipos de condiciones de frontera
Condiciones de frontera
Condiciones de presión
Condiciones de Caudal de Flujo
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31. Condiciones de Frontera
Condición de Frontera: Presión
Cuando los limites de presión son especificados, normalmente se
hace referidos al final de las fases del sistema en cuestión. Aplicada al
sistema lineal simple descrito, tenemos los siguientes Condiciones de
frontera o Limite.
P( x = 0, t > 0) = PL
P( x = L, t > 0) = PR
Usando el sistema de índices
t
Pi =>0 = PL
1
2
t
PN>01 = PR
+
2
La razón por lo que se usa i=1/2 y N+1/2 es que las Condiciones de
frontera son aplicados al final del primer y del ultimo bloques,
respectivamente.
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32. Condiciones de Frontera
Condición de Frontera: caudal de Flujo
Alternativamente, podemos especificar el caudal de flujo, Q, hacia o desde un limite ó fin de
una fase del sistema. Por ejemplo en el lado izquierdo de nuestro sistema. Haciendo uso de la
Ecuación de flujo de Darcy. Aplicando la expansión de la Serie de Taylor al bloque y haciendo
que la derivada de la presión sea la función, tenemos
kA  ∂P 
QL = −  
µ  ∂x  x =0
( ∆2x ) P' ' ( x , t ) + ( ∆2x ) 2 P' ' ' ( x , t ) + ...
P ' ( x1 + ∆2x , t ) = P' ( x1 , t ) +
1
1
1!
2!
( − ∆2x ) P' ' ( x , t ) + ( − ∆2x ) 2 P' ' ' ( x , t ) + ...
P ' ( x = 0, t ) = P ' ( x , t ) +
1
1!
1
2!
1
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33. Condiciones de Frontera
Operando convenientemente tenemos :
t
∂ P P −P
µ
 2 =
+ QL
+ O( ∆x )
 ∂x 
( ∆x ) Ak
( ∆x )

1
2
t
2
t
1
2
t
t
t
∂ P
PN − PN −1
µ
 2 =
+ QR
+ O( ∆x )
2
 ∂x 
( ∆x ) Ak
( ∆x )

N
2
En el caso de un reservorio real, las condiciones de caudal de flujo
representan normalmente caudales de producción o inyección de pozos .
Un caso especial es cuando no existe flujo en el limite del reservorio, donde
Q=0. Esta condición es especificada
Esta condición es especificada en todos los limites exteriores del
reservorio, entre capas no comunicantes, y en fallas sellantes en el
reservorio.
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34. Condiciones Iniciales
CONDICIONES INICIALES (Initial condition IC)
La condición inicial de Presión para nuestro sistema horizontal
puede ser especificada como
Pi
t =0
= P0
i = 1,..., N
Para el caso de sistemas no horizontales, las presiones
hidrostáticas son calculadas normalmente tomando como base una
presión referencia y las densidades de los fluidos.
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35. Solucion de las Ecuacion Diferencial
•
Soluciones de las ecuaciones diferenciales
•
Habiendo derivado las ecuaciones diferenciales y especificado el
sitema de grid blocks, las condiciones de frontera y las
condiciones iniciales, se puede resolver para determinar la
presión.
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36. Solucion de las Ecuacion Diferencial
Formulación Explicita
Se puede obtener un conjunto de ecuaciones diferenciales que pueden ser
resueltas explícitamente para las presiones promedio en los grid blocks (i=1, 2,…N)
para cada time step. Para el caso de presión constante en la condición de frontera
se tiene:
t + ∆t
1
P
Pi
t + ∆t
t + ∆t
N
P
 ∆t  k  t

 P2 − 3P t + 2 PL
=P + 
1
 ( ∆x ) 2  φµc 



t
1
(
4
3
 ∆t  k  t

 Pi +1 − 2 Pi t + Pi t−1
= Pi + 
 ( ∆x ) 2  φµc 



(
t
)
)
 ∆t  k  t
t

 2 PR − 3PN + PN −1
=P + 
 ( ∆x ) 2  φµc 



t
N
4
3
(
i =1
i = 2,..., N − 1
)
i=N
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37. Solucion de las Ecuacion Diferencial
Formulación Implícita
En este caso, todos los time steps en las aproximaciones son cambiados a
t+Δt, a excepción para el termino derivada de tiempo.
P2t + ∆t − 3P t + ∆t + 2 PL  φµc  P t + ∆t − P t
1
1
=
 1
3
∆t
( ∆x ) 2
 k 
4
i =1
Pi t++ ∆t − 2 Pi t + ∆t + Pi t−+ ∆t  φµc  Pi t + ∆t − Pi t
1
1
=

2
∆t
( ∆x )
 k 
i = 2,..., N − 1
t
t
t
t
2 PRt + ∆t − 3PN+ ∆t + PN+ ∆t  φµc  PN+ ∆t − PN
−1
=

2
3
∆t
 k 
4 ( ∆x )
i=N
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38. Solucion de las Ecuacion Diferencial
Se ha establecido un juego de ecuaciones de N ecuaciones con N incógnitas, las cuales
deberán ser resueltas simultáneamente. Por simplicidad el juego de ecuaciones puede ser
escrito como.
t + ∆t
i i −1
aP
+ bi Pi
t + ∆t
t + ∆t
i i +1
+c P
= di
i = 1,..., N
a1 = 0
b1 = bN = −3 − 3 α
4
cN = 0
ai = 1,
bi = −2 − α ,
ci = 1,
i = 2,..., N
i = 2,..., N − 1
i = 2,..., N − 1
2
 φµc  ( ∆x )
α =

 k  ∆t

d1 = − 3 αP t − 2 PL
1
4
d i = −αPi t ,
i = 2,..., N − 1
t
d N = − 3 αPN − 2 PR
4




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39. Nomenclatura
•
A
- area, m2
∆x - longitud del of grid block, m
•
c
- compresibilidad, 1/Pa
∆t - time step, s
•
k
- permeabilidad, m2
φ - porosidad
•
L
- longitud, m
µ - viscosidad, Pa·s
•
N
- numero de grid blocks
•
O(...)- error de descritizacion
•
P
- presion, Pa
•
Q
- caudal de flujo, Sm /d
•
r
- radio, m
•
t
- tiempo, s
•
x
- distancia, m
•
x, y, z- coordenas en el espacio
3
Subscripts:
0 - Valor inicial
e - final del resevorios
i
- numero del block
L - lado izquierdo
R - lado derecho
w - pozo
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