La Ci

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA DE LA FUERZA ARMADA BOLIVARIANA
DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA - AMPLIACIÓN CICLO BÁSICO TÁCHIRA - NÚCLEO TÁCHIRA
CÁTEDRA: CÓDIGO: CARRERA: SEMESTRE:
GEOMETRÍA ANALÍTICA MAT-21524 CICLO BÁSICO DE INGENIERÍA PRIMERO
PROFESOR: UNIDAD:
TEMA: LA CIRCUNFERENCIA EN EL PLANO CARTESIANO
Ing. ALVARO VEGA II
AUTORES DE LOS MATERIALES: TITULOS DE LOS MATERIALES:
- CHARLES H. LEHMANN (ENUNCIADO
DEL EJERCICIO) GEOMETRÍA ANALÍTICA
- Ing. ALVARO VEGA (SOLUCIÓN DE
LOS EJERCICIOS)
EJERCICIOS RESUELTOS:
1) Hallar la ecuación de la recta que es tangente a la circunferencia X2 + Y2 – 8X – 6Y + 20 = 0
en el punto ( 3 , 5 )
Solución:
Nos piden hallar la ecuación de una recta que es tangente a la circunferencia dada y dicha recta
pasa por el punto ( 3 , 5 ) punto que es común a la recta y la circunferencia.
Primero tomamos la ecuación de la circunferencia dada en su forma general y la llevamos a la
forma canónica, de esta forma conoceremos el centro y el radio de dicha circunferencia.
X2 + Y2 – 8X – 6Y + 20 = 0 ordenando la ecuación
X2 – 8X + Y2 – 6Y = – 20 ahora completamos cuadrados
X2 – 8X + 16 + Y2 – 6Y + 9 = – 20 + 16 + 9 convertimos en binomio cuadrado
(X–4)2 +(Y–3)2 =5 Ecuación Canónica
Por lo tanto de la ecuación canónica tenemos que el centro de la circunferencia es el punto ( 4 , 3 )
y el radio de la circunferencia es r = √ 5
L = Recta tangente a la circunferencia
P
. P = Punto dado ( 3 , 5 )
r
. m r = pendiente de la recta que une C P
m L = pendiente de la recta L, que es
la recta que debemos hallar
–1
Como la recta L y la recta r son perpendiculares m r x m L = – 1 ; luego m L =
mr
Yp – Yc 5–3 2
mr = = mr = mr = – 2
Xp – Xc 3–4 -1
–1 1
Luego como m L= – 1 m L= m L=
mr –2 2
Ing. Alvaro Vega

2. Con m L y el punto P, hallamos la ecuación de la recta tangente a la circunferencia dada
Con la ecuación punto pendiente vista en el primer corte tenemos que:
Y – Y1 = m ( X – X1 ) Y1 = valor de Y del punto P dado
X1 = valor de X del punto P dado
m = pendiente m L hallada anteriormente
Sustituyendo valores en la ecuación Y–5=½ (X–3)
2(Y–5)= (X–3)
2 Y – 10 = X – 3
Ordenando la ecuación obtenida X–2Y +7=0 Ecuación de la recta
tangente a la circunferencia
que nos piden hallar.
2) Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene un diámetro con extremo en los puntos
A(–1,3) y B(7,–5)
Solución:
Y
A (–1,3)
C(h,k) X
r
B(7,–1 )
Como “C ( h , k )” es el punto medio del diámetro AB, entonces podemos calcular las
coordenadas h y k del centro de la circunferencia utilizando la ecuación de punto medio
vista en el primer corte
Ing. Alvaro Vega

3. A(X1,Y1) = (–1,3) y B(X2,Y2) = (7,–5)
Ecuación de punto medio X=(X1+X2) = h
2
Y = ( Y1 + Y2 ) = k
2
h =(–1 +7) h = 6 h=3
2 2
k = ( 3 + (– 5 ) ) k = –2 k= –1
2 2
Por lo tanto el centro de la circunferencia será: C(3,–1)
Ahora vamos a calcular el radio de la circunferencia, para esto calculamos la distancia desde el
centro de la circunferencia hasta cualquiera de los puntos dados “A” o “B” que forman parte de la
circunferencia.
Hallemos la distancia entre el centro “C” y el punto dado “B”
d= √(X1–X2)2+(Y1–Y2)2 C(X1–Y1) = (3, –1)
B(X2–Y2) = (7, –5)
d = √ ( 3 – 7 ) 2 + ( – 1 – ( – 5 )) 2 d = √ (– 4 ) 2 + ( 4) 2
d = √ 16 + 16 d = √ 32
Por lo tanto, el radio de la circunferencia es igual a la distancia hallada CB, es decir,
d = r = √ 32
Luego utilizando la ecuación canónica de la circunferencia ( X – h ) 2 + ( Y – k ) 2 = r 2
Sustituyendo los valores hallados de h, k y r en la ecuación canónica tenemos:
( X – 3 ) 2 + ( Y – (–1 )) 2 = (√ 32 ) 2
( X – 3 ) 2 + ( Y +1 ) 2 = 32 Ecuación canónica de la circunferencia buscada
Ing. Alvaro Vega

4. Ahora podemos hallar la Ecuación General partiendo de la Ecuación Canónica, para esto
resolvemos los binomios cuadrados, sabiendo que: ( a ± b ) 2 = a 2 ± 2ab + b 2
Por lo tanto ( X – 3 ) 2 + ( Y + 1 ) 2 = 32
[ X 2 – (2)(3)(X) + 3 2 ] + [ Y 2 + (2)(1)(Y) + 1 2 ] = 32
X 2 – 6 X + 9 + Y 2 + 2 Y + 1 = 32 Agrupando y ordenando términos
X 2 + Y 2 – 6 X + 2 Y + 9 + 1 – 32 = 0
X 2 + Y 2 – 6 X + 2 Y – 22 = 0 Ecuación General Pedida
Ing. Alvaro Vega