Este documento presenta información sobre vectores, incluyendo definiciones, propiedades y ejemplos numéricos. Se explican conceptos como dirección de un vector, módulo de un vector, suma y resta de vectores, producto escalar, cosenos directores, y más. Se resuelven ejercicios sobre determinación de vectores, ángulos entre vectores, y cálculo de distancias y proyecciones de vectores.
1. P OFESORES DE LA
"'
TECNICA NACIO AL
· -Ec ador
----------------------------------~-
Miguel Tasiguano S.
Xavier Camacho M.
Oswaldo Aldaz P.
Patricio Vallejo A.
2. Reservados todos los derechos.Queda terminantemente prohibida la
reproducción total o parcial sin autorización previa del autor.
QUINTA .EDICIÓN
Corregida y aumentada
..:'
4. --
b.- OA =J 0.33 UOA
DA
10. f(
...
!I = o. 46 i + .l ~i
A = ( . 4 )~ I ( .)6. '
--
OA 8.
= - - ------:;_
A = 10.33 sen 30° = 5,165 u
10
DA = = 10.33u
cos 15°
x
e
.'
.'
.'
.....
D.····
.~
..
..··············.A
.'
..'
..'
.'
..'
.'
....
M
y
J y t r A obre esta línea es igual a 10
i I i, I.n pro
unidad ·s.
-) án ult a zud B A e igual a 15°.
-
A en función del unitario anterior
incide con la línea de acción del vector
- -
a) La direc ión del {''(01 I
b) La pI' 'sióll ti,·) ('('ti
a.- S i.l )M~.I t TI ,
-
ti _O" on el eje (x). Su proyección sobre la
10unidades. Determinar:
-
1.- Un vector A 1(mili 1111
línea de acción de '{1 )J
6
5. p"
p
p'
x
o
- - -
l. Una persona hala de un objeto con una fuerza dada por el vector FJ = 4i + 3)
unidades. Determinar vectorialmente la mínima fuerza F] que debe hacer otra
persona para que el objeto se mueva únicamente en la dirección Este..
y
R
tan8= - = 1
F2
(J = 45°
F2 = 14.14 unidades
Si FI= R el triángulo formado es is s '01 'S por 1< ItI '1 II~ 1110 ()A H .,"
F22 = F,2 + R2
A
R
respecto a la fuerza FI'
- -
resultante tiene un módulo igual al de FI y es perpendicular a ella. Si FI es
igual a 10unidades. Determinar el valor y la dirección de la fuerza F] ,con
- -
_ Dos fuerzas FJ y F] actúan sobre un cuerpo de tal manera que la fuerza
· .
6. -- --
d)fBtA=OH-OA
HA =13.89 II
- -
BA=12 i -7 j u
BA=J(12)2 + (_7)2
-
c) OB + BA= OA
- - -
BA= OA- OB
- --
- ......
b) OB = -7 i+ 4 j
- ......
a) OA = 5 i-3 j u
x
y
Determinar en términos de i, j.
a) La po ición de A
b) h-a posición de
e) La distancia ntr A y I
J) La posici n d / n r p cto a B
e) El v ctor unitario de B hacia A
--
Dando un sistema de coordenadas r y 1 puntos A( 5 ; - 3) u , B( -7 ; 4 ) u
Por lo tanto F2 = 3j unidades
...
Toda partícula: n u n la dirección de la fuerza resultante. Si al vector
inicial se le lima 1r vector de .manera que la resultante coincida con la
dirección E t '; C m pudiera ser OP', OP u OP" . Pero para que esta sea
mínima s d escoger la que sea perp dicular ya que es la menor .
8
7. - --
A=OA- OC
~ ......
Be = 3i + 3j u
BC = OC - OB
- - -
- ......
oc = i+ 5j u
b.- Si se determina los vectores que van desde A hasta B, de B hasta C. y
de C hasta A se tiene que:
... ...
OB = -2i + 2j u
-
- ...
a. - OA= 21+ 4j u
y
Dados los puntos A (2 ; 4 ) u; B ( -2 ; 2) u y C ( 1 ; 5 ) u
Expresar sus radios vectores.
Demostrar que la suma de los vectores dados por los lados del triángulo es
igual a cero
Encontrar el vector que coincida con la mediana trazada desde -1punt B.
= O.864i - 0.504j
= 12i - 7 j
13.89
-
e) ti = AB
AB AB
- --
rS/A = -12 i + 7 j u
8. QP, = 69.28 Ll
---+ ---+ ....... ...
Determinamos QP y PR en función de lo unitarios i,j y k
QPy = 80 co 60° u
QPy = 40 Ll
QP, = 80 sen 60° u
:········································
..···~x
¡ p
t
O ············f········
....~ E
S
N
~ rY
- _. ...
BM = 3.5i + 2.5) u
6.- La posición de P con respecto a Q esta dada por S 60° E ; 80 Km . Otra
ciudad R se halJa localizada respecto a P en la posición N 10° O ; 120 Km .
¿Cuál es la posición de Q con respecto a R?
- ... .. ... ...
BM = 3i + 3j + 0.5i - 0.5 j u
- - ---
BM=BC+ CM
c.- La mediana divide al lad en dos partes iguales
- - -
CM = MA= A/2
-+ -- A
AS + + A= O
-+ _. _.
A = - 4i - 2j LI
AB= - A
--+ --
-+ ....
CA=i-ju
9. ---+ .... ...... -.
:1 OA = 3 i + 4 j - 5 k u
Por la correspondencia entre las coord na las d un punto y los módulos de
las componentes de un vector posición ~pLI . 1, s ribir:
A
7 s los puntosA( 3,4,-5) u y B( 1, -3, -2) u. Determinar:
Los radios vectores o vectores de posición de los puntos anteriores
h La distancia entre esos puntos.
El ángulo que forman los radios vectores.
- -
1) los cosenos directores del vector (OA - 20B)
- .. ..
RQ= -48.45 i-78.17 j Km.
- --
RQ= - (QP + PR)
- -
luego será el vector negativo de la suma QP + PR
1a p ición de Q con respecto a R esta dada por el vector RQ
-
-+ .. ..
PR = -20.84 i + 118.18 j u
PI y= 120 cos 10°
PRy= 118.18 u
P~ = 120 sen 10° u
PRx = 20.84 u
10. 8.- Un . .tor in el espacio forma un ángulo de 300 con el eje (x) y tiene una
mu ,nitud de 16 unidades. Su proyección en el plano YZ forma un ángulo de 45°
con los j 's mencionados. Determinar:
a) I~Ive ror proyecciónen el plano XY
b) :1 ve 'Ior unitario paralelo al vector en el espacio
e) El valor de l s ángulos directores
Uc= 0.099 T+ 0.99J - 0.099k
cosa = 0.099 a = 84.32°
cosP = 0.99 P = 8.07°
cosy = - 0.099 Y = 95.68°
....
I - lO} - k
u( -
10.099
----. _.,...... ~ -t ---+
d) El vector OA - 20B = i + 10j - k a este vector se le denomina e
por lo tanto, el módulo ees igual a 10.099
cos8= (7.07)2 + (3.74)2- (7.87)2
2(7.07)(3.74)
b) La distancia entre A y B será el módulo del vector AB
- -
AB= OB-OA
JilJ- -2( - 7i 3-u
AB = .J(- 2i + (-7y + (3)2
AB = 7.87 u
e) Para encontrar el ángulo se aplica la ley de los cosenos.
11. I I I I I .' .ión de un vector en el plano YZ es: aJ + ale J el vector forma un
11I1"d" O .on el eje X y tien un módulo igual a 2a. Calcule:
1) I I l' I Ir n términos de I "unitarios normalizados.
a = 30°
tJ = 69.29°
Y = 69.29°
a = 0.866
. ). tJ = 0.35
I 1 ."Y = 0.35
--+ --+ --+
OQ+QP= OP
OQ= 16 cos30°
OQ= 13.85 u
PQ= ~(l6)l ~ (1 .8 )l
OT=PQ=8 u
OR= 8 cos 45°
OR= 5.65 u
OR = RT por ser un ángulo de 45°, ti n que
--+
OP = 13.85?+ 5.65J+ 5.65k u
a proyección del vector en el plano XY será:
PX_l' = 13.85i+ 5.65/ u
= 13.857+ 5.65/ + 5.65k
uQ/I
16
uOP = 0.866 ¡+ 5.65/+ 5.65 k~
11 ea el prisma rectangular que contiene el ve t r.
T=QP
x
z
y
12. j? ? ?
El módulo del vector es: A = 3a- + 4a- + 9a- = 4a
'1
... r:> .. +
10.- l ad el siguiente vector en el espacio A=i 3a1+ 2aj - 3ak. Determinar:
L s cosenos directores
'1 ángulo que forma el vector con su proyección en el plano XZ
, -< l vector unitario paralelo al vector proyección en el plano XZ
El ángulo que forma el vector con su proyección en el eje y.
ha Ji.
) cosa: = --=-
2a 2
a 1
os 3= - =-
2a 2
a 1
7=-=-
2a 2
de donde se obtiene:
I 2 2 2
2a =j (Ax) + a + a
Ax = af2
r;:::" .. ..
A=avLi +aj+ak
b) A,.z = aE T+ ak
Axz = J 2a2 + /
uA . = A z= .fiar + ak = ~ ..+ (1k
xz Axz /Ja v"31 f'3
a) Ayz= El r a k
i I ángul que forma el vector con el eje X, se denomina ex
y el módulo del vector A = 2a
...... .....
A=Ax + aj + ak
la royección del vector en el plano XZ
b) El vect r unirari I oral I
e) Los c s n . dirc tore .
13. 5(1con el eje Y. Determinar:
11) Los cosenos directores
I Si el módulo del vector es de 5 unidades, en' ntrur '1 .'Lor n función de
los unitarios normalizados.
a proyección del vector en el plano YZ
1) hl ángulo que forma la proyección del vector en vi I lano XY con el eje Z.
¡' 1. )s ángulos directores.
Si el cos ex de un vector en el espacio es y 1v 't r f rma un ángulo de
f2
4
) Axz =5ai -3ak
... r::; ....
.. Axz -.J 3ai - 3ak. ~ ..
uA =_= 2 2 =0.51 -0.866k
xz A. J 3a + 9a
J) Es el ángulo director 13
2a
cos 13=- =0.5
4a
8 = 60°
2
h E 1 vector es la hipotenusa de todo
I otro del prisma
J
'----'-2 --2 j 2 2
os8= Axz= Ax Az = 38 + 9a
A A 4a
s trián ruk s le In, que f nna parte
s: 13
l' scx= --=-
4a 4
2a 2
')s13=-=-
4a 4
- 3a 3
s-Y=4a=-¡-
14. 12.- La proyección de un vector en el plano XZ es 47 l· ik y la proyección de este
-
mismo vector en el eje Y es - 6j . Determinar.
a) El vector en función de los unitarios nonnalizados.
b) Los cosenos directores.
e) El vector proyección en el plano XY.
d) El vector unitario en el plano XY.
'.
d) Todas las líneas del plano XY son perpendiculares al eje Z; por lo tanto
el ángulo será de 90°
e) a = 69,3° : fJ = 45°. y= 52.2°
- ..[2.. ..[6 ..
Av,= 5- i +5
-k unidades
. 2 4
c)
a) cosa = ..[2
4
cosfJ =!i
2
cosy=E
4
ÜA =cos a T+ cos{Jj + cosyk y además se tiene que 1
== AUA
... ..[2 -. ..[2.. ..[6 ..
A =5(- i +-j + - k) unidades
424
b)
cos IJ == {i
2
2 2 ti 2
cos (X + cos p + cos y == 1
reemplazando los valores anteriores se obtiene:
o
15. -1 -1 -4
,tiI = - i+ 3j - 2k m
-2
);,y
) 12+32+ 22
Y .31"
A=3i-J+ikm
-t --t -+ __. -t -t
t1t = (2i + 2j + 2k) - (3i - j + 4k)
-- _--
i AB = DB - DA = B/A
Yt ~~.
: ..
: 1.."",-
: B
¡ / ~ .
.......k:::·:::::::~~·",,:::::~~·": x
o;
.. ..
I } u' = 4i - 6j u
A _../42+6'2=7.21 u
t 4:* 6; -: -:'
ti" y =7.211 -7.21} =O.551-0.83}
ticn n los puntos A (3,-1,4) m y B (2,2,2) m. Determinar
11) I~Ivector posición de B con respecto a A.
1I I~Iángulo que forma el vector con el eje Z.
,)
.. .. ..
1-»+7ku
" ~ 4 +62 +72 =10.05 U
4
11) r< (X - _ = 0.398
10.05
-6
'o'p =_ = - 0597
10.05
7
· )sy = 10.05 =0.696
..
- 11
.. ..
I + Tk
16. _. _.. _., -.
U(A.B) =0.21i+0.37j +0.88k
c)
- ~ -+
ai +..¡3aj+ 4.2ak
4.64 a
-
u--
(A· B)
o
e = 64.5°
cose= I -+ = 2 2 2 =0.43'
(E-A)I a -3a + (4.2a)
2 2
a + 3a
13-A = -aT- 1.73a)+ 4.1ak
.---------
I(B-A)xyl
2 2 2 3 o
A =A x+~ +Az
a) Az=3{3 ak
... .... 3V3.. .c. ....
A= 1.5ai + -- aj + 3V3ak
2
B - A = -aT- {3aj+ (1- 3 v3)ak
Axy= 3a
3[3
A = A cos 30° = -- a
y xy 2
Ay = ~y cos 60° = 1.5a
A=6a
- -
b IU orma el vector B - A con su proyección en el plano XY
- -
El vcct r unitario paralelo al vector A-B.
- -
d) El.ángul que forma el vector A - B con el eje X.
-+ -+
,1m dulo de la proyección del vector A - B con el eje X.
es igual H (' 1 '1"' ,'11 pr yección en el plano XY , tiene un módulo igual a
a y fonnu un áuu 11 d 30° e n el eje Y. Determinar:
'1 '·'1, .tor n srminos de los unitarios normalizados.
'1" /Ja..... ...
I i I - j + ak , un vector A cuyo módulo A
14.- Dado el ve '101' H
17. .... .... ....
-70.7i + 173.2j - 70.7k ti
•
z = A cos 60° = 200 * 0.5 = 100 u
=Axz cos 45° = 100 * 0.707 = 70.7 u
f, = Axz sen45° = 100 * 0.707 = 70.7 u
=A sen60° = 200 * 0.866 = 173.2 u
-+ -+
", 111 I s vectores A y B los que represen! 11 n las v 'lo .idad s de J s d '
1111,1 r s : todos los triángulos formados en el gráfic s n ro irán 'lIlo,' P( r lo que
· puede hallar las respectivas compon ntcs nplil"lndo lns rUI1 ione
Illj un métricas.
1111 roh te tiene dos motores de retropropulsión. El primer motor impulsa al
I dwl' "11 la dirección N-O con un ángulo de elevación de 60° y con una
I '1" I z I 200 unidades; el segundo motor 10 impulsa en la dirección S 60° E; con
1111 11 tul de elevación de 45° y una rapidez de 160 unidades. Determinar:
" I 1 v locidad del cohete en términos de los unitarios normalizados.
I I 1,' lirección de la velocidad resultante del cohete.
f3
,),'(3 = =0.373
ti 4.64
f3 = 68.1°
IA-Blx=a
18. z,...
······
....
-
d) El unitario LF
- -
e) La proyección del vector DK en la dirección del vector LF
a) El vector R = 2LF - 3AG + 5DK
--+ --+
b) El ángulo formado entre los vectores LF y AG
16.- El lado de los cubos de la figura mide 10 cm. Determinar: ..
-
VR / ¡
- .. ... ....
VR 27.27i + 286.34J - 14.13k
b) a dirección será determinada por el ángulo de giro 8 y el de elevación (J
J 286.34
tg'¡) =-¡::==;:====;:-
J(27.27)2 + (14.13)2
(J = 83.88°
14.13
tg8=--
27.27
8 = 27.56°
La dirección del ángulo de giro puede ser expresada como E 27.56°N.
... ..
B-97.97i ¡ 11 .l4j+56.57k
a) a v ,lo .idad resultante es la suma de las dos velocidades.
t60 o.:07 tI. 14 u
1I .14*ú = 97.97 u
11 .14*0.5 = 56.57 u
*0.707= 13.14u
Bxz = s 4 11
B, = A zS 'n()OI
B = ti . :-;(:0"
~ " ,/,
19. I " 1·:11 la figura determinar
1) I ángulo formado entre los vectores AF y Ah
a proyección del vector BF sobre-el-vector BC.
.. .. ..
•I F = 0.58i - O.58j + 0.58k
. . ..
I KLf = -3.33i + 3.33j - 3.33k cm
-+ ... .. _..
• LF 10i - 1Oj+ 10k cm
ti) 1I F =-=---==--
LF J300 cm
..
IOk 'm
1.,1;• AG =LF (AG) cos e
I )(lO) + (-10).10 +"10(-10) =J300)300 cose
-100
'l s = = - 0.333 e = 109.47°
+300
. Utilizando la..
ecuación paraobtener la proyección de un vector en la
tiirección de otro vector se tiene:
I K = (DiCeuJu
LF (LF)2
_t10.(lO).+20.(-10) + 0.(10)J ... ...
DKLF - r::-::. 2 . (101- 10J ¡
(v 300)
~ ......... ......... ......
1 2(10i - 10j + 10k) - 3(10i + 10j - 10k) + 5(10i + 20k)
.. ...... .....
1) I 40i - 50j + 150k cm
1, l tilizando el producto escalar entre dos vectores se puede escribir
.. ..
1) l Oi+ 20j cm
)(10)2 + (20)2 =1500 cm
.. ..... ... ..
¡ 10i + 10j + 10k cm
)300 cm
. --
I 1; I j - 10j + 10k cm
I 2 2 2 r::=
I F ,,(lO) + (-10) + (10) = '" 300 cm
:1 d 0' srmina los siguientes vectores:
20. ) o 8
-- BF·AC-
BF AC = . A
(ACi
b)
-- --
-
AF .AI
cos8=---
AF.AD
8 = 74.45°
a)
-.
A
-- ....
AD = 60k u
AD = 60 u
BF = 40;+ 30 fu
BF = ~ (40)2 + (30)2 = 50 u
G
x
B
C
F
22
y
GF = ~ (50/ - (30t
Si el triángulo CFB es isósceles, su altura es
GF=40u
Se determinan lo vectores en términos de los unitarios normalizados:
AF = 1ooi+ 40J + 30k u
AF = ~ (lOOl + (40)2 + (30)2 = ~ 12500 u
Si las distancias EF = DC =AB = 100ti
CF= BF = 50 u
BC=AD = 60 u
21. z
-x
• .. ....
JI - i - 2k u
I ¡Su
J tg' (2/1)'
t ) .43
q N 6,57° E
d) I
........................................,·····....·····1
~ .
.. . .-
..........
! f.· i
..... : .-,..
,. ~
y
.. .... ....
- i +j - 2k
11 - -----.:::::---
.[6
,1 ¡•.8+ 3(: =(3 - 7 + 3); + (4 + 8 - 3)] + ( 5 + 8 - 15)k u
• .... .... ........ -t
1 B + 3C = - i +j - 2k u
It B+ 3eI= -1- 1+ 1+4
. ......
I I +3C
1 '1 'rminar el módulo
!Ht mga el unitario del vector anterior ............ ......
I I r sente mediante un .B~m~ en el espacio al vector A+B+3C
l' pr se en términos de i, j y k el vector proyección en el plano horizom
Id új lo en el prisma
I .( rmine el ángulo de giro
1 termine el ángulo de elevación o depresión
1) t (mine el producto escalar entre A y B
'ul uJe la proyección del vector A sobre B
I t nnine el producto vectorial entre A y B
_". --+ _". --t _. --+ -t.-. .-.
•'lores A = 3i - 4j + 5k u; B= -7i - 8j - 8k u; y = i-j -5k u reali:
I eraciones:
....
" I .24i + 7.94ku
22. 2
10 = 9 m I 2
~100-34=m
m=8,12u
- 6 + 3m + 5n = O
n=6-3(8,12) u
5
n = - 3,67 u
~ 2 2 2
10=3 +m.+S
A. B = - 6 + 3m + 511 =0
.... -+
.... -+ A
A. B = O por ser perpendiculares
.. .. -t- .. - -+ -+ -+
19. El vector A = 3i + IDJ + 5k u es perpendicular al vector B = -2i + 3j +nk u, si el.
módulo del vector A es i.gual a 10 - u, determinar los valores de m y n.
........ .... -+ _..,.
Ax B=- 72i - 59j-4ku
.. _,. -+ _.... .......-+
Ax B= (3i - 4j + 5k) x (-7i -rt- 8j + 8k)
- -
i)
-+ A. B -+ -13-
A- 2 B=-(B)u
B B 177
~ - -
1 J k
- -+
j) AxB= 3 -4 +5
-7 +8 +8
...
A·S=-13
-
b A. = 3(x -7) + (4x) (-8) + (5) (x +8)
·í
~ ti 11 )
~ -= 24"
24
23. -~Bc=100m
B... ,.,. '1'-r
u B = -0.51 - .24J + I1K
Ai3{AB= 120m
N-O ;<1>= 30°
p
H' BC)uBc
..... ..... .....
I 11' -0.5i - 0.24j +nk
Ily 120 sen 30° = 60 (m)
11:1 - 120 cos 30° = 103.92 (m)
14 ABxzsen45°=-73.48 (m)
1':1 ABxzcos 45° = -73.48 (m)
.... ..
H .73.48i + 60j - 73.48k m
e
'.".
'.
".
'.•........
-,".'.
..••..
'.'.
•, •• t •••••••• ~..... ••••
.......................................... ~.:.
I 1, I I . d un edificio (A) se ubica la terraza de un edificio (B) a una
" 1I I 12 !TI en dirección N-O, con un ángulo de elevación de 30°; de esta
" I t" ." ubica la terraza de otro edificio ( e)a una distancia de 100 metros
1111I I ll .sl- 0,24] + nk. Si los tres edificios están construidos sobre el
I IItl. 1lUlo horizontal, determinar.
I 11111111 '1 e pisos de cada edificio, si se conoce que cada piso tiene una
11111 I le 3m, y que el edificio (A) es 6 m más bajo que el edificio ( e).
I 111 niru distancia que deberá recorrer una persona si desea ir de (A) a
111 a ( e ) y regresar a (A).
24. u,w¡ = 0,408r- O,816J- 0.408k
.... .... ...
.... 10i - 20 j - lOA
u.... -
,lxB ..¡100+400+ 100
.... ....
AxB
IAxSl
....
u....=
A..S
b)
-t ~ ... ... -+
AxB = 10i - 20j - 1Oleu
l j le
'AxB = 3 4 - 5
10 10 - 10
AxB = [4(- 10)-(-5)(10)]7 - [3(- 10)- (- 5)(1 ~ J +[3(1 0)-4(1 O)]k
a)
... -t .......... ........-+
21.- Sean los vectores A=3i +41' - 5ku y B=10i+lOj-l k u . Determinar.
a) El producto vectorial de los dos vectores.
b) El vector unitario del vector producto vectorial.
d = 324.67 111
IABxz 1=103 92m
IBC: 1= 96.90 m
IAc:. 1=J 23.85m:
--. -
ACxz =ABxz + BCxz =-123.48r+ .52;
""ABlQ.. = - 73,487 - 73,4 kili;
BCx7. = - 507 +23k m
I I 111' I ,/ =1, de donde n = 0,83
I .... ... ....
) ... .... ....
L '= 100 - 0,5 i - 0,24 j +0.83k = - 50i - 24j + 83k m
a) /LB =- 73,487 + 60J - 73,48k m
h, = 60 m, número de pisos: 60/3 = 20 pisos.
-+- -t .... -+
BC = - 50i - 24 j + 83k el edificio (C) es 24 m mas bajo que el edificio
(B), entonces, altura del edificio (lle) = 36 m, número de pisos: 36 / 3 =
12 pisos
El edificio CA) es 6 m más bajo que el edificio (C) :. altura del edificio
hA= 30 m, número de pisos de (A) = 30 /3= 10 pisos.
b) Distancia mínima (d) =ABxz + BCxz+ ACxz
n = cos y
m= cos f3 = - O24;
'(.ex - ,5,
, i: r
25. 1) s pistoleros A y B se encuentran sobre el mismo plano horizontal. B se
'1) 'ti .ntra respecto a A en el punto (-2, 0, -3) m. El pistolero B lanza trua
n
lima de losvectoresdadosporlos ladosde1 un Idl{tI
1:11 una mesa de billar hay tres bolas A, ,y
IlspcctoaA en la posición (E 100N;distan j'IO, 111
. un respecto a A al (E 15° S; distancia 0,5 m). ,('lItll
1 ',Ip cto a e en coordenadas geográficas?
lIn avión de aerornodelismo despega en la dir . 'it u " Y 11 un ángulo de
l I .vación de 30°. Luego de volar en línea r 'tu UIIII distan ia de 40 metros
hsde el punto de partida su dueño desea impa t Ir 'n un blanco ubicado en el
punt B (-6, 5, -3) m? Determinar:
1) a dirección que debe tomar el avión para 1 gro!' su propósito.
11) a posición del avión respecto al blanco.
111 1 ( '1 nI)). I '11111 strc qu ' J
lospuntos A (-2, l)m; B (2, 3)m;
-+
t In vector A de magnitud 10 unidades forma un ángulo de 30° con la
-+
It rizontal y otro vector B de módulo 16 unidades forma un ángulo de 135°
-+ -+
( n la misma horizontal. Det rminar: "1 v cr r B - A, n [uncí 11 d l
-+ -+
unitarios i i j .
-+ -+
el módulo de A - Bes:
+ B2 - 2AB cose
t I IUUO componentes rectangulares, demuestre que el módulo del vector suma
• -+ -+
I lB, es: B
j t + B2 + 2 AB cose
1) La magnitud el vector A.
-+ -+
11) .:.1 ángulo entre los vectores A y B .
I , ve t res A y B J están representados por la altura y la base de un
III 1.111rulo respectivamente. Determinar la magnitud y dirección del vector
¡I l. e conoce que ¡y B se encuentran en el primer cuadrante.
-+ -+
I " un si tema de dos vectores A y B , la magnitud de B e 10 u y el módulo
~. _. ..........
IJ - A) es 15 u, si el ángulo que forman los vectores B y (B - A) e 30°.
-+ -+
Problemas Propuestos
26. 15.- Para que valores de "ro" f rmuu un ángulo de 60° entre si, los vectores que
de (2 -7,5) a (7,1, -3; Y de (8 In, -4) a (4, -2,1).
16.- En el prisma de la figura P y Q son t puntos medios de las diagonales OF y
OA. Determinar:
a) La posición de P respecto a Q.
b) ¿Cuál es la posición geográfica de re pecto a Q (latitud y longitud)?
.... .. +- +- ...
13.- Determinar 1'1 uma de tres vectores A, B yC en donde; A = 5i -10j +
B= 9T+ 4) I 2k Y ees un vector de módulo 12f2 localizado en el plano
que forma un án ul de 45° con la dirección positiva del eje de las X y se a
del origen.
14.- Determinar la proy cci n de una fuerza de 10 Kgf cuyos cosenos directores
0,29; 0,4 Y - 0,87, ' r la línea de acción de otro vector cuyos cos
directores son -0,2; 0,6 y 0,775.
.........
del rigen e críbalo en términos de i, j, k.
30tl ,ángulo de elevación de 60° y
rrc UJ .a de 20 m es impactada por una bala del
terminar:
a dir cción del disparo
~1ve r unitario paralelo a la dirección de lanzamiento de la moneda.
9.- De de lo alto del edificio de administración ( 60 metros) por medio de
teodolito medimos un ángulo de 15° sobre la horizontal y una distancia de
Km. a la Basílica. Luego giramos el teodolito un ángulo de 120°y medimos
ángulo de depresión de 12° al Estadio Olímpico y estimamos una distancia de
Km Determinar.
a) La distancia entre la Basílica y el Estadio
b) La posición del Estadio respecto a la Basílica
10.- Un avión de aeromodelismo despega en la dirección N 60° E; ángulo
elevación de 30°, luego de volar en línea recta 60 ro gira en la dirección
-E, ángulo de depresión 60° y luego de recorrer en línea recta 30 m, se
contra un árbol. Determinar: . +~+
a) La posición del árbol en el espacio en función de los unitarios i, j,
respecto al punto de despegue del avión.
11.- Dados los puntosA(2, -3, 6) y B (-1,2, -2) unidades, Determinar un vector
de módulo 3 {42 unidades, cuya línea de acción coincide con la bisectriz
ángulo formado por losradios vectores de los puntos A y B.
12.- Un vector cuya magnitud es 100 unidades tiene una linea de acción
cos 110 directores son cos a = 0.7; cos B = 0.2 relativos a un sistema
,
co rd nadas XYZ. Si el vector está localizado en el primer octante y se alej
27. --+
1:1 irección del vector LN.
1,1 posición del avión B respecto al A
I.a distancia entre los dos aviones.
, I 11 I figura determinar.
F
12
D
8
6..
·
......
5
G
....
.'
.'
¡¡.....
I 1I un aeropuerto se presenta la siguiente situu inn 111 avión (8) se halla
I 11 [ueado en la posición N 30° E; distanci 200 I11 '110.) P' t a la base de
I 11.1 l rre de control de 15 metros de altura. En " 111. Iunt tro avión A) se
1I 11 ntra en la dirección S-O, a una altura 1 lOO nu-tros de la pista y a una
I .t mcia de 2.000 metros respecto a la base el lu tUI) . anterior. Determinar
4
B
T
-+ -+
I 1 h1 ángulo formado por los vectores PQ y ST
y
t~
o vectores PQ y ST en función de sus.componentes normalizadas.
-+ -+
1 1I paralelepípedo ABCDEFGO, indicado en la figura, determinar:
x
C
3u
y
t
Dl
-
la proyección del vector OD sobre la línea de acción del vector
28. A
4111
x
C
.... ... .........
a) El vector F en términos de i J j J le.
- -
b) La proyección del vector F sobre DC.
y
22.- Se tiene una cuerda fija en el punto A y se hala con una fuerza de 100N, desde
punto B. Determinar:
-
D = aA - bB - ce. Determinar: a, b, e si el
.. (.. - -1
respecto a B mas el vector e D = PjtB + e).
vect r D es la posición de A
-
.... ..... . .. .. .... .. .... ... ... ... ...
21.- Dado los vectores: A = 2i + 3j - 6k, B = -2i + j + 3k e =4i - 2j - 'sk .
20.- Un aviador vu la de Washingt n a Manila. Determine: El vector
desplazamient , i las latitudes y longitLId de la ciudades son: (39° N; 77°0)
y ( 150 N; 1210 E) resp ctiV'l m nt. ...1 radi de la tierra es aproximadamente
6.370 Km.
Q
10
p
y •
.=M
10
-
r unitario paralel al vector OL
e
- -
b) 1-1 v t r pr yecci6n de nQ obre OL .
o
29. 'j las longitudes del horero y del minutero de un r loj . HI 1{) 111 m,
I spectivamente, determinar la posición del extrern t -1 1, 11 1 I 1 ji '( In 11
" tremo del minutero, a las:
1 3.00 h.
h) 2:30 h.
IJn niño eleva una cometa desde un puní 11 el ,'11 JeI, '11 IlIdo h I
ti senrollado 50 metros de cuerda en dir .j II N ...0" E h '( 1111 '01
()m sobre el suelo (posición A), el niño s IlIU' , I() I 1 1,
h t ta un punto P. Posteriormente el vi '1110 ohlil'lI 11 In I 111 (, 1 1 ,tliz 11 1111
ti isplazamiento D= - 60i~ 20j-+ 40kill I'sd' In IHI. kl< 11 ( It, 1.1 1111:1 IIU (1
posición B. Determinar:
11) ¿Cuánta cuerda tiene que enrollar o descnrollm "'111111 l' 11 I JI ti ) hasta P,
de modo que la cometa siga en la posición A'I
11) ¿Cuál es la altura de la cometa, sobre el ,ti 10 ''',,'111, 11 • I ntra en la
posición B?
¿Qué ángulo forman los vectores de posición el It, I ..P ct al punto P?
xc tienen los vectores Áde módulo 100 unida I y a-+ de módulo 50
Inj dades en las direcciones que se indican '11 I , IIV
tila. Determinar:
1) Los vectores en términos de los unitarios n nunlizad s.
h) El ángulo formado por los dos vectores.
A
e lOu B
y
-
El vector proyección de OC sobr ('1,
/.
I~nla figura, determinar:
11) El ángulo formado por los vect
J
30. y.,. A
~;f(t~~:~~:~~
'.::~~~:~~~::;':?
J
!!! ..·.11 1Ij"
.............
::f¿:r::::::=::f:>~I~-
...
_···_·············.,
.•x
Z: ; .,1
L<~~:.:~~
...-:.t:::;;/
B
21.- Sean los puntos A (-2,4, 7) ro, B (O,-7, 4) ro y e ( 1, 1, 1) m.
Detennine:
a) El área del triángulo formado por los tres puntos
b) Los dos vectores unitarios perpend:ñculares al área.
e) Un vector cuyo módulo sea 50 Ilnida(i/es y sea perpendicullar a la
superfieie del triángulo.
33. o Km/h, y
él 270 KmIh
=-.
V B/A
Un avión viaja respecto al aire hacia el sur con una rapi , r le
uraviesa una corriente de aire que se mueve 11'1i I ., ','1
I eterminar:
,1) ¿En qué dirección se mueve el avión con respe t ) a ti rra?
h) ¿Cuál es la velocidad del avión con respecto a ti '11(1',
') ¿Qué distancia recorre (sobre la tierra) el avión .n t 5 minutos?
- -
Varr = 54 ikm/h
Ll~ = 120 Km 54 Km/h = 2,2h
- -
b) VNr=4ikm/h
a) V B/A= 5.0 km/h
tu = 120 km
- -
V AIT=-4i km/h
.... .... -.. _. ...
V s/r" VAIT +V B/A = - 4i + 50j = 46lan1h
Llt = Llr/V Brr= 120 Km / 46 K.mIh = 2,6h
",1---- ~ V BlA
1-
____.
Ir VafT
B= barco
A=agua
b) Aguas abajo
Un barco puede navegar en aguas tranquilas 'OH 1111I I qllt! Z ele 50 Km/h. Si
el barco navega en un río cuya corrí rile ticn 11111 1 IJ id'z ti 1 Km/h. ¿Qué
tiempo necesitará el barco para recorr r l:?O 1 111,'
a) Agua arriba
34. D.r= 600 millass
VAV/A = 300 millas/h
VAIT
AV=avión
A= aire
E) o
,
VAvrr- Jy2 AV/A+ V2srt = J5402 + 2702 = 603,7 km/h
& = IVAvrrlt = 603,7 Km! h 0,25h = 150,9 Km
- El piloto de un avión que vuela a una rapidez de 300 millas / h con
respecto al aire, desea ir a una ciudad que está localizada 600 millas al Norte.
Existe en la región un viento de 40 milIas/h proveniente del Oeste
Determinar:
a) ¿En qué dirección debe volar el avión?
b) ¿Qué tiempo empleará en el viaje?
e) Si desea regresar al punto de partida ¿qué nueva dir ción debe tomar?
N
'1 I V V/A
540 = C/J = 63,40
VArr 270
V VI
VVfl
~
V I/ft
.111
AV I 111
VA/[
N
35. B =(112,5i+194,8j) km
-
°B = ( -100 i) km
Ji
BCy = BC.Cos30° = 225'2 = 194,8 km
BCx = BC.Cos60°, = 225 ~ = 112,5 km
-- -
OA= (l06,li - 106,lj) Km
-
-
--
S
0Ax = 150.Cos45° = 0AY = 106,1 km
N
Un avión viaja 150 Km en dirección Sureste; luego 100 Km directamente hacia
I Oeste; 225 Km 30° al Este del Norte y después 200 Km hacia el Noroeste
I eterminar la distancia y la dirección a la que se encuentra el avión de su punto
le partida.
a) N 7,70 °
b) VAvrr = VV2AV/A - V.rr= V3002 - 402 = 297,3 milla
..1r 60Onri 11
..1t = 2,02 h
VAVIT 297,3milllh
- - -
c) Vsvr: VAV/A +VAIT
V 40
Sendi= AIT =- ~ Q> = 7,60
VAV/A 300
Vsrt = 40 mill/h
cos e = VArr = ~ ~ = e = 82 3°
VAV/A 300 '
o= 90° - 82 30 = 7 7° °
, ,
36. /
s
-
.ó.r
11B / A = 15 Km.
!Y = ..¡52 + 202 = 20,61 Km
fi'8 'T = 20,61 .Km = 41 23 km/h
/ O 5 h '
5.- J tim nel de un b r P n su brújula hn ia I ste y mantiene una rapidez
de 15 K.m/h. De pué d m 'día h ra de i lj II ra a un punto situado 5 km. al
Oeste y 20 Km al Sur. Determinar la I idad y lir i6n de la corriente en
función de los unitarios tr N
2.1 Km.
N 5 o
t 0 = 23,32 => 0 = 5 8°
g 230 12 '
- - -
& = - 23,32 í +230,12) km
"ir= ..¡23,322 + 230,122 = 231,3 km
_... -.. ...... .... .....
Sr = OA+AB +BC +CD
..... ... ... ........ _..
= (106,li - 106,1) + (- 100 i) + (112 5 i+194,8) + (-141,4 i +141,4)
- -
'D =( - 141 42i + 141,42)) km
-
'Dx = Ct), - ít). 'o:45u = 2 fi = 141,42 kn
38
37. I '1 r,
-
V 'Ir.
2
A
C = ciclista
V= viento'
N
- - -
VA1T=(4,98i -39,98)) Km/h.
h.- Un ciclista que va hacia el Su!"con una rapidez de 15 Km/h siente que I
viento parece venir del Oeste; cuando aumenta su rapidez a 25 Kmlh, I
viento parece venir del Suroeste. Determinar la dirección y la velocidad d
viento.
VAlTx = VA/T .Cose= 40,29.Cos82,9° = 4,98
VA/Ty = 40,29.Cos7, 10= 39,98
Sen 75,9° .41,23 ~ <1> = 82,9°
40,29
20
tg8= - => 8= 75 9°
5
VA /T = -1V~/A + V2B!T - 2 V B / A" VB / T .Cos8
= 152 + 41,232 - 2(15)(41,23)cos 75,9°
=40,29 Km/h
V V V
B/T= A/T~Sen<D=Sen8. BIT
Seno Sen8 VAIT
38. 5(Cos8.1+ S n j)t = SO-ic3 cos30° -: + 3sen30° Dt
OB=OA+A
- -
VBrr= mill/h
Vsrr = S mill/h
OB = (Ysrr) t
B = barco
S = submarino
N
alcance.
7.- Un barco que va con dirección E es perseguido por un submarino que viaja
en la misma dirección, cuando se encuentra a SO millas de distancia, cambian
instantáneamente de dirección. Qué rumbo debe tomar el submarino para
alcanzar el barco, sabiendo que este siguió un rumbo de E 30° N. Las
rapideces del barco y del submarino son respectivamente 3 millaslh y S
millas/h. Determinar además el tiempo que se demorará en darle
.
IS Km/h
Cos(/;= => 33 7° = (/;
18,03 Km/h '
-
VVIT :=,S33,7E; 18,03 K.mIh
D.OCB
Vv~=J~2-S-2+--1-4.-14-2---2-(-2S-)-.(-14-,-14-)-C-o-s4-S-0
VV/T = 18,03 Km/h
!1AOB
= 14,14 =V v/e 2
il ABe
e _A_C_=> 10
Cos = V Cos-ló"
v/e 2
39. Vcrr
N
C = ciclist
V = vient
-.. -+
Vvrr = Vcrr + VV/C
Vcrr = 10 Km/h
VV/C = 6 Km/h
2_ 2 2 °
Vvrr - V CfT +V V/C - 2V V/C·Vcrr·Cos 15
2 2 2
6=10 +Vv/c-2Vv/c.lO.COS15u
V = 19,32± ~ ( -19,32)2 - 4(64)
VI 2
V VI ,= ]5,08 Km/h.
Un ciclista viaja hacia el Norte con una rapid z do> 10 Km/h y 1 viento
que sopla a razón de 6 Km/h desde algún punto ntr I N rt y I J·.SlC par e que
viene de 15° al Este del Norte. Determinar:
a) La verdadera dirección del viento.
Sen a Sen150°
Sen e= AB . Sen150°
OB
e= 1746°
,
A
OB = 115 millas
AB= 69 millas
AB OB
B
- -
OB = 5t AB = 3t
2 2 2
(5t) = (50) + (3t) - 250.(3t) Cos150°
2 2
25t = 2.500 +9t - 300.t.Cos150°
2
16t = 259,8t - 2.500 = O
t = 23 h.
OTRA SOLUCION
Senfl= 3 Sen30° 0 = 17,46
5
E 17,46° N
5t Cos 0= 50 + 3tCos30°
50 millas
t= = 23h.
(5Cos17,46° - 3Cos300)mill/h
(5.tCose)i + (5t Sen G) j = (50+ 3Cos30° t) i+ (3Sen30° t) j
40. ai. N 75° O
b. N 300 E
- 2VAvrr .VAVIV Cos 9
V Avrr= V AV/V
+ VV/T
VAV/V= 270Kn1fh
270 Km/h
VAvrr=-----
1 h
V vrr= 140 Km/h
V"vrr = V~vrr + y2AVN
(140Y - 2(270
Cos9= -2(270).(270)
-----~~------------------~E
1 - av! n
V = vi nt
N
arr t fa .
VVI VVIT
II(]) Sen15°
15,08
Senc: =--.Sen15°
6
(])
= 139,68°
9.- La rapidez de vuelo de un avión es de 270 Km/h. (respecto al aire). El avión
está volando hacia el Norte de tal forma que siempre se encuentra sobre una
carretera que corre en dirección Norte-sur. Un observador de tierra informa al
piloto que está soplando un viento de 140 Km/h (no indica la dirección). El
piloto a pesar del viento observa que recorre una distancia de 270 Km sobre la
carretera en el tiempo de una hora. Calcular:
a) La direcci 'n en la que sopla el viento,
b "1 ur d l avi n (dir ión) e, t 1ángulo entre el eje del avión y la
41. v
Cos8=__!LL
Vi/Ir
-+ ~ .....
V = Jí +v
PIT l' IIIT PIII
Sen e Vp1T
- (4)
t=----
AB
t= - (1)
-
IvPlTI
Sene=BD/AB
- c
AB = -(2)
senfl
(2) en (1)
C
!l.ABD
Vp= V rr r
......
......
V= VAIT
C
t= -(a lb +b I a)
V
D
A
-
V
10.- Demostrar que el tiempo necesario para cruzar en línea recta y con la mínima
rapidez una calle de ancho C, por la que circulan con rapidez V
automóviles de ancho Q_y espaciados 'ªuno de otro es igual a:
B
42. x
O
--------.---------- ----------------------,
----.-------------- ---------------------_.
------------------- --------------------- ..
------------------- ----------------------.
----.-------------- ---------------------_.
------------------- ---------------------_.
::::::::::::{J::::: ::::::::::::::::::::::.'
-----------------_. ---------------------_.
------------------- --------------------- ..
------------------- ---------------------_.
------------------- -----------------._._ ..
------------------- ----------------------_.
- --
V BI = (3 i + 7 j) mIs
... --
V AlC = 14 i+ 7 j (millas/h)
- -
12. Los motores de un bote 10 impulsan con una velocidad de 3i + 7j mis
respecto alagaa. El momento que comienza a cruzar un río de ancho 1 Km.
(Punto O), un pasajero deja caer un sombrer en el agua. Calcular la posición
---
del bote respecto al sombrero en función de 1 s unitarios i, j, k; un minuto más
tarde, si la corriente del río lleva una velocidad de:
- _:-::_-:-:
__:':':_-~--~-_:-::_-:-:
__:':':- -~-_:-::_:-::
__:':':_-~-_:-::_:-::
__:':':_-~--~--~_-:-:_-~-----------_.
a) 4i.!¡lfseg.
b) - 4i mlseg.
... - - --
V AlC = (6 i-3 j) -(-8 i-1Oj )
- -
V AlC = V AIB - V CIB
11.- Tres barcos A, B, y C se mueven en trayectorias rectilíneas cruzándose uno
junto de otro, en un cierto instante. Las velocidades relativas en millas/hora, de
A respeto a B y de C respecto a B son:
- ......
VAIB = 6i - 3j mis
- 7-.,...
VCIB = -81 - 10J mis
Determinar la magnitud y la dirección que A parece tener para un
observador situado en C.
-
EF
a
cose =-- lqqd
_2 2 2
EF =a +b
t=~(~+~J
vlb a
pero
t=~[ELl
V ab
b
senfl =--
IEPI
c c 1
t= ------
senñv Afrcos6. v senü, cose
MFG
VPff = V AIT. cose (3)
(3) en (4)
43. --
I Inu partícula A empieza a moverse con aceleración constante e igual a (2i - k)
......
111'" n el instante en que su posición respecto a otra partíc~a B_es_.(i + 4j +
q )11. La partícula B se mueve con velocidad constante de (i + 4j - k) m/seg.
l' 'j irminar después de que tiempo tes) tAIB será:
_. -+ -+ -. _.
r BIS = r BIC (t) = 60 (3 i+ 7 j ) = 180 i+ 420 j m
a posición relativa depende solamente de la velocidad relativa:
-+ -
r BIS= (I80i +420 j )m
b) V"" ~ [(3¡
+ 7j) -4¡
Jmis ~ -¡+ 7Tmis
7", =t. [( -i+7"]} -<-41)J mis
(3i+7 1)
r BIS= 60s -+ mis
V B/C
•
- -
= (180 i+420 j )m
- - - --+
r BIS = V BiT·t - V srr t= t(V arr - V srr)
. - -
r BIS =rBrr - fsrr
- -+
r a/r = r srr + r BIS
~ --+ --.. --+--+
V Brr= (3i + 7j ) mis + 4 i mis = (7 i+ 7 j) mis
V a/r = V B/C + V crr
- -
- -
) V crr = 4 i mis
44. Ar¡= /::ir]
A r¡= Vi.t = 840 Km..
Ar,= V,«: = 840 Km.
t
t(h)
2
O
V+
A¡L
.
10 --_.--------
I l1rz :
I l'
I
I
I
I
I
I
J
I
.... I
I I
I
..
I
v
V(kmlh)
14.- La distancia entre los punt ' A Y e de 480 KnI. Un automóvil sale de A
hacia B y dos horas despué sale d A un segundo automóvil para hacer el
mismo viaje. El segundo automóvil manti ne una rapidez de 10 kmlh mayor
que el primer automóvil. Determinar la rapidez de cada automóvil.
.. .... ?.. .. ? ..
13 i - 12 j - 2 le = (1+z" - t) i +(4 - 4t) j +(2 - 0,5r - t ) k - 12)4 - 4t
( = 4 (s)
..... ...... ... .. .... ... 1 ...... ... ....
(13i- 12j-2k)=(i+4j+2k)+-(2i _k).t2 - (i +4j-k).T
2
r Al B = ro Al B + A r A - A r B
-
-
-
-
- - -
(13i - 12j - 2k) lTI.
•
A
B
45. I l' I '/90
/( O
- ( 2x ):+
V = x/80 +x /40 1= 53,3 Km/h
1, Si una persona esta quieta sobre una escalera In cáni él en movimient sube en
>0segundos. Cuando la escalera e ta in funci Ilé: r la p rsona sube en 90
·gundos.Qué tiempo se tardará en subir a la planta alta cuando la persona y la
s alera están en movimient?
Un automóvil recorrió la primera mitad del camino con una velocidad constante
-
de 80 KmIh y la segunda mitad con una velocidad de 40 i Km/h. Determinar la
velocidad media del automóvil.
V¡ = 80(Kmlh)
V] = 40(Kmlh)
V = velocidad media
- ¡l-;
V=--
¡lt
840
T=-v
Ar,; V,· (t+ ~ -2)
Ar~= (V + 10) .(t - 1,5) = 840 (2)
(1) en (2)
V2 + 10v - 5600 = O
V= 70(Kmlh)
Vi = 7 O(Km/h )
V] = 80(Km/h)
46. 18.- Puede una partícula moverse hacia el Este si tiene una aceleración hacia el
Oeste, si la velocidad inicial es:
a) Si No igual a cero. Explique.
b) Si No es mayor a cero. Explique
t 2 = 123,1 s
pero t, - t, = 32,4 s
t - ~ = 32,4 s (3)
tl::= 21,6s (2)
SrTal =D..rl +D..r2 + ar3 = 5000m
(1) 5000 ~(38::tl)+38,9(t2_ tl)+(38,9(~-t2))
pero :pdmer tramo:
38,9~0+1,8-tl
tercer tramo :
0= 38,9 1,2 (t - t¡)
(2) y (3) en (1)
. 2(38,9). (t 2 - 21,6) = 7899,4
tes)
x xm
V=-= =36s
VPI T (x /90 +x/ 60)m/s
17.- Un tren acelera partiendo del reposo a razón de 1.8 mis 2 hasta alcanzar una
máxima rapidez de 140 Km/h. Después de recorrer a 'esta rapidez durante
un cierto tiempo, frena a razón de 1.2 mis 2 hasta detenerse; si el espacio total
recorrido es 5 K1n. Determinar el tiempo que estuvo el tren en movimiento.
v'(mls)
VPI r = V1:.1
T + Vpl E
VPIT = (x /90 +x/ 60) m/s
47. / km/h = 20 mis
V 4 km/h= 15 mis
V(mls)
tg81 = 1m/~
I 1 automóvil parte del reposo desde u_ppunto A y acelera a razón de 1 mis2
h .sta alcanzar una velocidad de 72 i km/h, continúa moviéndose con esta
, 1 cidad hasta un momento en que frena, parándose en unpunto B, situado 60
111 tros más allá del punto en que aplicó los frenos. Si se conoce que la
I ipidez media del automóvil en el trayecto de A a B es 54 km/h.
1) 'terminar:
,) Eltiempo que tarda en ir de A a B
11 La distancia entre Ay B
l).VO=O, No, porque la aceleración lleva a la partícula al Oeste.
b).Vo> O. Si, la partícula irá al Este hasta que su velocidad sea a igual O,
y luego regresa al Oeste.
48. - Una partícula se mueve sobre el eje de las X hacia la derecha partiendo del
reposo, con una aceleración de 6 mls2, hasta que la velocidad es de 12Tmis.
En ese instante se le somete a una aceleración de 12 m/s ",
hacia la izquierda, hasta que la distancia total recorrida es de 36 m. Determinar:
a) El tiempo total transcurrido.
b) La rapidez media.
e) La velocidad media
d) Construir el gráfico velocidad-tiempo
(a) V=~ V=it=O~
(b) e =V. t=4Km.l=4Km
j, Una partícula pasa por un punto P cualquiera y se mueve con una rapidez
constante de 4Km/h; Después de una hora vuelve al mismo punto P.
Determinar:
a) La velocidad media de la partícula.
b) El espacio recorrido
tI = 20 s
.6rl = (20 s 20mls) / 2 = 200 ro
2 2
VF = YO + 2. a. x
a = -(20 mls/ /2 (60) ro = - 3,33 mls2
Y = Yo + a.(t -~)
(t - t2) = (-20 mis) / -3,33 mls2 = 6 s
Y = (200 +.6r + 60 ) m / (20 + (.6r/20 + 6) s = 15 mis .6r = 520 ro
(t2 - tJ) = (520 ro) / 20 mis = 26 S t2 = 26 + 20 = 46s
a) pero: t - t2 = 6s t = 52 s
b) .6rtota¡= 200 +.6r + 60 = 780 m
49. -+ -+
Vm=Oim/s
1111 s ibmarino parte de un muelle que está ubicado, respecto a un faro, en el
1'11111) 300, -20, -20) ID. El submarino se sumerge (partiendo del reposo), en
luv H n ureste, con un ángulo de depresión de 37° moviéndose en línea recta;
d, IlIiundo una rapidez de 36 km/b en 20 s con aceleración constante.
-+ 111
.) Vm= I1t
-+ -+
181 + (1,73) (- 20.76 i) .
fm = ---'2=-- _
4,73
m
s
-+
V = 7,61 mis
~= 3 s
36
12 x 3 (t - 3) . V
2 + 2
36= 18+(t-3)-(t-3) .12
., 2
36=18+(t-3t-6
t = 4,735
-+ 36
b) v= 473
,
t = 2 s
1
3
•
•
••
••••
•
•••
~ ".-: _.
,-&: •
-" ---------------------------------=
tes)
12
Vx(mls) '>(..v
~
12
a) 6=-
t,
12
12 ~ _t,
~-2=1
50. -+ o
a = O282 l - 0,300
-+
d) Vm= RI~ t
-+
k ) / 100
-- .... - -+
FS = 256,46 i - 80,18 j + 36,46 k ID
FR= 271,16 m
e) V= a o ua = a o uy = a . USQ
-+ -+ -+
a = ,5 56,46 i - 60,18 j + 56,46
-+ -+
j + 0,282 k
---+- _.. -+ ~ -+ _. .....
FS = (300 i - 20 j - 20 k) + (-43,5 i - 60 j + 56,46 k)
-- - .... ....
SR = -43,54 i - 60,18 j + 56,46 k m
SR= 93,30 m
-- -- --
.b) FR= FS + SR
SR=SQ + QR
-- _....-
SR = (56,46 - 100) 1 - 60,18 J + 56,46 k m
-- --
-
QR= - 100 im
---+- -.. _... -+
SQ = 56,46 i - 60,18 j + 56,46 k rn
QR=Vot=lOrnls.lOs
--
QR= 100m
SM = SQ. Cos 37° = 100. Cos 37° = 79,86 rn
SQx= SQ z = S MoCos 45° = 56,46 m
SQy= MQ = SQ . Sen 37° = 100 oSen 37° = 60,18 m
a) x= SQ = Va o t + ~Y2 ).at
SQ = 0,5 o0,5 (20)
SQ=100rn
A partir de este punto se dirige hacia el Oeste con una velocidad constante
durante IO s. Determinar:
a) El desplazamiento del submarino
b) La posición fmal del submarino respecto al faro
e) La aceleración constante durante el descenso
---
d) La velocidad media en función de i, j, k.
.e) La rapidez media.
t) El vector unitario paralelo al vector desplazamiento
g) Los gráficos v - t Y a - t para todo el recorrido
51. 101+-1000
O 60
tes)
t
v= - 10t + 1800
Un cohete parte del reposo, con una aceleración vertical de 20 m/s2 que actúa
constantemente durante 1 minuto, En ese instante se agota el combustible y
. igue subiendo como una partícula libre. Determinar:
a) La máxima altura que alcanza el cohet .
b) El tiempo total transcurrido ha ta llegar al suol
V (m/s)
20
O
tes) 10 tes)
10 20 30
()
30
V (m/s)
--
f) USIR = SR/SR
-+ -+ -f'
k ) / 93,30
US/R = (-43,54 i - 60,18 J + 5646
-+ -+ ~
k)
US/R = -0,467 1 - 0,645 J + 0,605
e) V = (SQ + QR) /at
V = (lOO + 100) / 30 = 6,67 (mis)
-+ -+ -+ -+
V = - 1 45 i - 2 005 J' + 1,88 k mis
m' ,
-+ -+ -+
1 - 60,18 J + 56,46 k) / (20 + 10)
-+
v = (-4354
m ,
52. 25,- Un paracaidista se deja caer desde un helicóptero que está suspendido en el a'
y cae 50 m sin fricción, en este instante se abre el paracaídas y u movimiento se
,
I
: h
. :
I
I
I
I
I
I
I
I
I
----1.... (nivel referencia)
Yo
24.- Se deja caer una piedra desde un globo que se eleva con una
constante de 10 Tmis. Si la piedra tarda lOs. En llegar al suelo. ¿A que
estaba el globo al momento en que se dejó caer la piedra
Si la velocidad inicial es de 10 mIs para el nivel de referen
dado:
y = Vot - Y2(gt2)
y = 10 m/s . 10 s - 0,5 , 10 mls2. (lOO sl
Y=-400 m
v = 20 t ; Y = 20 . 60 = 1200 (m/s)
y= -IOt+b
1200 = - 10 t + b : t = 60 . y = 1200 mis
, ,
1200=-10(60)+b
b = 1800
V = - 10 t + 1800 , V = O mis
t= 180 (s)
H max = Y2 . 60 = 1200 + Y2 (180 - 60). 1200
H max= 108000 m = 108 km
bl - 108000 = Yí (t - 180). ( - 10t + 1800)
t - 360 t + 10800 = O
t J = 33,03 (s) (absurdo)
t2 = 326,96 (s) (solución)
53. , Una pelota es arrojada verticalmente hacia arriba desde un punto próximo a la
{ misa de un elevado edificio. La pelota salva justamente la comisa en su
des nso y pasa por un punto situado a 40 m por debajo del de partida, 5 segundos
el SI ues de haber abandonado la mano del lanzador. Determinar, la velocidad
11Ii .¡11 n la que fue lanzada la pelota.
V/ = 2 (-10) m/s' . 50ro
V,=-31,6m1s
V1=Va + g. t,
2
-31,6 mis = O - 10 mis . t,
t, = 3,16 s
segundo tramo. 2
-3m1s=- 31,6 mis + 1,8 mis. t2
~ = 15,9 s 2
y = Vo. t2+ Y2a . (t2) 2 2
Y = -31,6 mis (15,9 s) + ~ (1,8 mis) (15,9 s) = - 274,9 m
t=t1+t2= 19,06 s
yrOTAL= - 324,9 m
50m +i"=g
Va = Omls
uniformemente a razón de 1,8 m/seg', finalmente llega al suelo con una rapidez de 3
mis. Determinar:
a) El tiempo que estuvo el paracaidista en el aire.
b) La altura a la que estaba el helicóptero el momento del salto.
primer tramo: Vl2 = Vo2
+ 2 gy
54. 27.- Una pelota se lanza verticalmente hacia arriba desd una altura de 40 m. Por el
pozo de un ascensor, con una rapidez inicial d O 111/. En el mismo
instante la plataforma del ascensor situada a una altura j 10m. Se mueve hacia
arriba con una rapidez constante de 5 mis. Determinar:
.a) Cuándo se encontrara la pelota con la plataforma?
b) Dónde ocurre el encuentro?
e) El espacio recorrido por la pelota ....
d) El vector desplazamiento de la pelota en función de l 'unitarios i, j.
e) La velocidad relativa de la pelota respecto a la I 1 taf rma cuando se
produce el encuentro.
Yo = 17 mIs
Yo - 125
-4
Yo = 17 mis
La suma algebraica de las áreas en el gráfico representa el valor de la
componente del vector desplazamiento.
Areal+ Area2 = -40n1 Otra forma
1 .Vo. Yo+ 1 (5 - Yo ) (Vo - Sg) = 4 - 4 - ) (5) - 21(lO) . 25
2 g 2 g
•
V (mIs)
55. I
I
Areaz]
I
I
,
I
~ ,2 ----------------------,
9,62
tes)
50
... -
1 l' A = Pp = 58,2j (m)
I =v A·t O
r
... 2 -+ -+
1O)+(50j).t -(11 2).10j -t = (lOj)+ (5j.t)
>,62s
-
1'lIp 1- ~rp = POA + .6.rA
-- - 2 - -?
I p=VOp• t+(Y2).g.t ;g= -10 1(m/s")
-
--
- -
--
...
,
1'11 = 401' Vo = 50 1 m/s : V = 51 mis' Po = 101m
JI 'p 'A 'A
1"lota y ascensor se encontrarán cuando tengan la misma posición
...
l' isición final = Posición Inicial + Desplazamiento
o
10m
x
--- --=================== .....
--
-..-4-.... Encuentro
y
56. 5 20 30 35 40
10
o
50
40
30
20
10
b) El mayor espacio es recorrido por B (mayor área)
c) B tiene un movimiento Rectilíneo Uniforme Variado
A tiene un movimiento variado.
29.- Tres vehículos A, B, Y ese mueven a 10 largo de una línea recta y partir de la
misma posición inicial, de acuerdo al gráfico v - t.
a) Describa el tipo de movimiento de cada vehículo
b) ¿Cual de los tres vehículos recorre mayor espacio?
V(m/s)
V2 - V¡
=e=r+-:
t 1
a)
V(mls)
Vi
o
t
tes)
)
............. ..
e VplA =V, - VA = - 51,2j mis
28.- Dos autos se mueven de acuerdo al siguiente gráfico.
a) ¿Cuál es la aceleración de B?
b) ¿Cuál recorre mayor espacio en el tiempo ti?
e) ¿Qué tipo de movimiento tiene cada vehículo?
- -
Arp = 18,27j m.
e) Espacio recorrido = sumatoria aritmética de las áreas (Are as consideradas
positivas) = Espacio recorrido =Area 1 + Area 2
=231,7m.
d) Desplazamiento = Suma algebraica de las áreas.
57. V(m/s)
10.-El diagrama v - t, de la figura representa el movimiento de dos partículas a lo
largo de una línea recta y que parten de una misma posición inicial desde el
reposo.Si los tiempos tt = 2 s y t2 = 4 s; al cabo de que tiempo que partió el
primero le alcanzará el segundo.
b) Vehículo A:
(~) ·SO·IS +(D·so·(30 -IS) ~ 7S0 m.
Vehículo B:
1
30·20 +- • (35 - 20) • 30 = 825 m
2
Vehículo C:
20·40= 800 m
B recorre mayor distancia.
a) Vehículo A:
O~ t ~ 15 Movimiento rectilíneo uniforme acelerado.
0< t ~ 30 Movimiento rectilíneo uniforme retardado
Vehículo B:
O st ~ 20 Movimiento rectilíneo uniforme (+).
20 < ts: t 30 Movimiento rectilíneo uniforme retardado.
Vehículo C:
Os t ~ 40 Movimiento rectilíneo uniforme.
· 59
58. (1
1..'
t(s)
12
10
8
6
4
2
O
Vx (m/s)
31.- El movimiento de tres carros A, B y C en una carretera recta esta representado
en un gráfico Vx- t , de la figura. Si los tres carros están juntos para un tiempo
t = O (s).
a) Describir el movimiento de cada uno de los vehículos.
b) Realice los gráficos rx - t Y ax- t de cada vehículo.
e) ¿Cuál es la distancia que recorre cada vehículo y cual es la distancia entre
cada uno de ellos?
d) El vector velocidad media de cada uno.
Si las partículas se alcanzan entonces sus desplazamientos tienen que ser
iguales.
t = tiempo en el cual B 'intercepta a A.
LllA = Lllll
O.St. (V/4)t = 0.5 (t-2) V (t-2)/4
desarrollando tenemos,
¿/16 =(t2 -8t +4)/2
t2=2t2 - 8t + 8
2
t - St + 8 = O
t = 6.82 s
59. -------------------------------------~----------------~
,O
2,5
O t s)
2 4 6 s: 10 Ji
• •
· ·
_,5 • •
• I
I
•
· I
· I
· •
• ·
• I
• •
· ·
• •
5,0 ----------------~----------,... .... ~
15
JO
5
120 -----------li-----------r-----------~
: : :
: : . :
100 -----------1:----------. -----------1
• • •
· . .
• • •
· . .
80 -----------~------- ---~-----------~
• • f
• • •
• • •
• • •
• • •
60 -----------~----
-----t-----------~
• • •
• • •
• • •
• I •
• I I
40 -----------1- --------~-----------~
· : :
• •
• I •
...__ .._.....~ ..._-_.._.-:
, . .
• f •
f I •
: : :
w:::;...__ '___-:':.,___-:'~ t(s)
00
ax(mls2) •
Vehículo e
MRUV retardado (+)
A
Vehículo B
MRUV acelerado (+),
MRUV retardado (+)
a) Vehículo A
MRUV acelerado (+)
MRU (+)
MRUV acelerado (+)
MRUV retardado (+)
61. ,
-+
arB 150i -r
V =-=_ = 12 51 (mi s)
il.t 12 '
Vehículo C
-+
~ arc 90i -+
V =-=-=15i(m I s)
t 6
I a figura representa los gráficos V - t, para dos partículas A y B que se mueven
n línea recta desde la misma posición inicial. Determinar:
1) El tipo de movimiento de cada una de las partículas.
1) Para un tiempo t = t] s ¿Qué indica el punto P?
) La aceleración para cada partícula.
1) La velocidad media para cada partícula en el intervalo de Oa t¡ s.
-+
flrB= 150 im
Vehículo c. (%).6.(90)
flr e" 90Tm
dAC = 11O - 90 = 20 m
dAB = 150 - 90 = 60 m
deB = 150 - 90 = 60 ID
d) Vehículo A
-+
V _il.rA = 1l0i = 9 17i(m I s)
il.t 12 '
Vehículo B
) Todas las distancias son positivas.
Vehículo A. (1í).(4).lO + (6 - 4). 10 + (1í).(8 - 6).(20 - 10) + (1í) .(12 - 8).20
drA= 1l0Tm
Vehículo B: (Y2).4.(25) + (1í) .(12 - 4). 25
2
ax (mis)
~~
_O--+- 3 --r6_-l~~t(s)
e
I (m)
62. 33.- El movimiento de tres cano' a I largo de una carretera recta esta representado
porlas figuras ax - t. Si los tres arr (A, B y C) están juntos para el instante
t = Oy parten del reposo.
a) Describir el movimiento de cada uno de los vehículos.
b) Realice los gráficos r, - t, Yx - t d los vehículos.
e) ¿Cuál es la velocidad media de cada uno?
a) Partícula A:
Movimiento rectilíneo uniforme acelerado (+)
Partícula B:
Movimiento rectilíneo uniforme (+)
b) En el tiempo ti; A y B tienen la misma velocidad
e) Partícula A.
V1- V
a= o
tI
Partícula B:
a = Oporque tiene velocidad constante
d) eA = Vo' (~) + (Y2).(Y 1- Vo) . t J
V =.!.d. =Vo +1.(v. - v"o)
t 2 I
I
V =.l(v. + V )
2 o I
Partícula B la V m día igual a VI
-iO I-------.&....-----.t(s)
ti
A
Y(m/s)
63. 'nrr
M.R.U.V. acelerado (+) O8-12 s
'arro A:
M.R.U.V. acelerado (+) 08-48
M.R.U.(+) 48-6 s
M.R.U.V. acelerado (+) 6 s-8 s
M..R.U.V. retardado (+) 88-12 s
(', rro B:
M,.R.U.V. acelerado (+) O8-4 s
M.R.U.V. retardado (+) 48-128
e
O
tes)
•
2 4 6 8 10 112
••
•
•
•
••
•
••
•
•
l
•
·
-5
a (rn/s-)
-------------------------,.___-----~
-3,125
10
8
6
2 4
_0::..r-__ ~-----_- .. tes)
n2
•
•
•
••
•
•
-------------..__----_......
--------------------------.
B
6,25 t------.
A
65. a) Describa el tipo de movimiento de las partícula n a la int '1 ulo 1 ti '1I1p •
b) Dibuje, en forma ligera, lo gráfi s r"= f t pura las d )s 1nrl culus.
e) Determine la rapidez media de ca i, partí mla '11 I( It '1r 'C II J ido.
, 1, La figura representa los gráficos velocidad - tiempo (V - t) de dos partículas. A
y B, que se mueven en línea recta (z) a partir de una misma posici r n inicial.
-+ -+
- !.1re -360 j -:+
V m¿ =~= 1"2= -30 ] mIs
-+
125 i 15 62~ _1
--= lUJJS
8 '
-+
-+
~A = :;A = l~~ i = 9,16Tmis
(Yz).l2.(-60)= 360m
(Y2).4,25-~-(Y2).(8 - 4).(25 - 12,5) + (8 - 4)12,5 = 125m
Distancia C:
(Y2)4.10+(6 - 4). 10 +(8 - 6). 10 +(Y2).(8 -6).(20 - 10) + (Y2).(12- 8).20 = 110m
Distancia B:
Distancia A:
66. e
v=-
llf
e = espacio total recorrido
IIt = tiempo empleado
C)
Partícula B
MRU (-)
MRUV retardado (-)
Reposo
MRUV acelerado (-)
a) Partícula A
MRU(+)
MRUV retardado (+)
Reposo
MRUV acelerado (-)
b) rz(m)
20
10
--I-_-....;,;;-JI."--....l...-~,;--~__. t(s)
O
-10
-20
-30
A
40 ----------------------------------------
30
-A
-B
Vz(m/s)
67. - -.-
h) VAIB = VA - Ve, para t = t2
u) Partícula A
O - ~ MRUV Retardado (-)
t1- t MRUVacelerado(+)
Partícula B O-ti MRU(+)
tl- t2 M.R.U.Y. retardado (+)
t, - t, M.R. U.y. acelerado (-)
t s)
Vx(mls)
I .- Las partículas A y B se mueven de acuerdo al siguiente gráfico V x t, a 10
largo de una trayectoria rectilínea y palien a t = O(s) desde la misma posición.
Determinar:
a) El tipo de movimiento de cada partícula.
b) La velocidad relativa de A respecto a B al tiempo t = ~.
e) Si las partículas se volverán a encontrar. Justifique su respuesta
At =60 ( )
e = 10.20 +~(20 - 10).20 +~(60 - 30).40 = 900(m)
VB = 900 /60= 15(m /s)
Al = 60 (s)
e = 20.30 +*(40 - 30).20 + (60 - 50).20 = 700 m)
.t.
~4 = 700/60= 1l,67(m/s)
Partícula B:
Partícula A:
68. -+ -+ -+
instante su velocidad es V = 10 i + Oj (m I s). Determinar, para ese instante.
a) El vector posición respecto al punto de lanzamiento
b) El vector aceleración tangencial
e) El vector aceleración normal
d) El vector posición del centro de curvatura respecto al punto de lanzamiento.
-+ -+-+
37.- Se lanza un proyectil con una velocidad inicial Vo = 10i + 5 j (m 1 s). En cierto
-
-+!J.V -+ -+ 2
b) am = Llt = -3,08i - 0,33j(m I s )
-
-+ Lh -+-+
a) Vm= Llt = 0,5i + 2j (mi s)
3 4
2
1
O
t = O s
.. ..
ro = 2i +j(m)
.. ..
rr= 3i + 5j(m)
-
Vo
d<
I
~------~I--~----------·X
1 ---------
- .. ..
Vf= 2,5i + 4,33j (mi s)
4
3
2
- --
Vo = 10(ml s); Vo =8,67i + 5j( mI s)
Vf= 18(kmI s) = 5(m I s)
y -
Vr
5 -~-""-~~--------¿_
36.- A un tiempo t = Ouna partícula se encuentra en el punto de coordenadas (2; 1)
In Y tiene una rapidez de 10 mis, formando un ángulo de 30° con la
horizontal. Calcular:
a) La velocidad media.
b) La aceleración media.
-
VAlS = O
e) Si, hasta t = ~ la partícula A se desplaza hacia la izquierda y la B hacia la
derecha. alejándose entre sí, pero a partir de t2 A se mueve hacia la derecha
y B hacia la izquierda, entonces es lógico que en algún instante las
partículas se encuentren.
V Al B = O - O
v =0
B
v =0
A
69. ... ....-+
recjo = r - R
fcc/o =57- 8,75 Rm)
Se lanza al aire una pelota desde el suelg, CJl8n I laJelota se encuentra a una
altura de 30 metros se observa que su velocidad V 51 - 20j(m I s). Determinar:
a) La altura máxima de la pelota
b) La distancia horizontal que recorrerá la pel ta hasta llegar al nivel del
lanzamiento.
-+ ....
R= 10j (m)
-+:T ~
r = 51+ 1,25J m
b) g= ~ +~. pero en este caso (altura máxima) ~ j_ g de
donde:
A
~ = Oi +0 j = O m/s2
-+... ~ 2
e) g= aN= -IOJ(m/s)
2 2 2
el) R = _y_ = (IO + O ) = 1O(m)
aN 10
a) Vfy= VOy- gt pero Vfy = O
t= VOy = 5(m/s) =05s
2 '
g 10(m/ s )
1 2
Y =VOy·t -"2gt =1,25(m)
x =V OX .t =5(m)
Cc
y
71
70. 2 2
V2 =Vt2 _ 2 = 1000 m7s
a) fy Oy g·ymaxy max 20 mis 2
Yrnax = 50 m
VJ sen 2a
b) x= = 158m
g
e) Vo= ~ =40,3 Vo =(25i + 10-lloj) mis
cosa
V;= (257- 10 {lO]) m Is
IV.rI= 40 3 mis x
a=-51,67°
2 2
Vfy = VOy - 2ghy
? . 2 2 2 2
Vo~=(-20 )+2.10m/s .30m=1000m/s
Vocosa=25 (1)
Vo sena =10. {lOmis (2)
(1) Vo sena
---=---=:> a= 51 67°
(2) = Vi> cosa
x
o
y
e) La velocidad de la pelota en el instante de llegar al suelo.
71. ?
V "sen 2(1
10.rl¡.cO'(1= J => Vj=86,61mls
g
V? en 4a
20. ~ .cos 'la= 2 ~ V") = 1049 mis
- g-
b)
2
Vi 2
2 = 2(2cos O' - 1 (2)
V2
(ll = (2)
2(2cos2a - ll=(z( 2c~~:: -1) r
cos a = jj_ =:> (1= 35,26() => 2«= 70,52°
3
e) x = V;.IO.cosO' = ~ .20.cos 20'
~ = 2 cos20' =2(2 cos2 O' - 1) (1)
V2 cosa cosa
x = Vt2 (sen2O') = ~2(sen 4a)
g g
--~--~~----------~----~x
O ~ x +)
39.-Desde un cierto punto de un terren h rizontal 'e disparan dos proyectiles e
el mismo instante, el primero con inclinación ay vel cidad VJ ; el segundo ce
una velocidad V2 y una inclinación 2 a. El prirn ro hace impacto en 1
segundos y el segundo cae sobre el misrn blanc, situado sobre el plano (
lanzamiento, 10 segundos mas tarde. Determinar:
a) La distancia desde la posición de disparo hacia el blanco.
b) Las velocidades V J Y V 2:
e) Los ángulos de lanzamiento.
y
72. 40.- Dos equipos de básquet - ball A y B, se encuentran jugando. El marcador
favorece a A con un punto' y la pelota se encuentra en manos de B que está
situado a 10 metros de la base del aro. El aro está a 2,40 metros del suelo y
cuando falta 1 segundo para terminar el partido, el jugador lanza la
pelota desde dos metros de altura y convierte, Determinar:
a) La velocidad de lanzamiento.
b) El ángulo de lanzamiento.
a) y =.E.= 10m= 10mls
x t ls
J 2
Y = YOy' t - ~ 1gt
YOy' = 5,4m I s
- .. ..
Vo = LOi + 5,4jm I s
e 5,4
b) tan = -= 054 => n= 2836°
10' (7
~
1.- Un esquiador inicia un salto horizontal como se indica en la figura. En que
punto golpeará el esquiador sobre una pendiente de 30°, si su velocidad de
salida es de 40 mis. Calcular:
a) La distancia desde A hasta el punto de choque.
b) El tiempo transcurrido desde A hasta el impacto.
e) La velocidad con la que choca en la pendiente
a) x=Y].lO.cosa=577,43m
73. S
+-__
~~==~~~ ~x
(E)
o
I Una pelota es lanzada con una velocidad inicial de 25 mis en la dirección S 45°
0, ángulo de elevación de 60° después de un cierto tiempo la velocidad de la
pelota forma un ángulo de depresión d 30° (cuando la pelota está cayendo).
1 eterminar:
1) El tipo de movimiento de la pita n '1 la un) f los j 's.
h) El tiempo transcurrido desd J lanz uui 'It 1 h Isla tU 1 , .tor ., CI a J
forme el ángulo indicado .
.) El vector desplazamiento durante e
1) El vector unitario del desplazamient
,) Vx= 40
Vy= 0- g.(4,62) = - 46,2 mis
.. -+ ..
V = 40i - 46,2j (m / s)
184,75
---=452s
40 '
t
x x
h) V =-=!> t=-
Ox t V
Ox
.. :+ ..
r= 184,751-106,66j m
1-;1= 213,32 m
2
1,10x
- x tan 30° = - 2(1600)
x = 106,66m
P = (184,75 - 106,66) m
de (1)
y = tan30°.x
_ e. J X2
y - tan . x - "2g. 2
40 .1
74. ...................................
F
B h = 1500m
... I1r ...,. ~ ......
d) l1r =41,68m u_á =_= (-0,611 +0,5) + 0,61k)
r Il.r
43.- Un avión vuela horizontalmente a una altura de 1500 metros en línea recta con
una rapidez de 540 km/h (constante); un cañón antiaéreo (e) se encuentra
situado a una distancia de 1000 m de la proyección de la trayectoria de
avión sobre el suelo. En el instante que el avión pa a por el punto A (ver la
figura) el cañón dispara. A es el punto de intersección entre la trayectoria del
avión con el plano vertical perpendicular a la trayectoria anterior; este plana
pasa por el punto donde se encuentra ubicado el cañ 'n. Determinar:
a) La velocidad inicial del proyectil.
b) La dirección del disparo.
Con iderar que la componente vertical de la velocidad inicial del proyectil,
mínima necesaria para alcanzar el avión
A E
-
..... ... ..... ...
I1r = (- 25,5i + 20,87 j + 25,5k)m
b) Vo= 25 mis
VOd = Vocos 60° = V cos30° V = 14,43mls
-Vy =VOy- gt
t= 25.sen 60° +14,43sen 30°
10ml ;-
t = 2,89 s
e) V: =V~ - 2.g.y
(25.sen.600)2 - (14,43sen300)2
Y = = 20 87m
2.10 '
d = Vad.t = 36,08s
x = z =d cos45° = 25,5m
Movimiento uniforme.
Tipo de movimiento
Movimiento uniforme
Movimiento uniforme variado
Eje
X
y
Z
a)
16
75. w~=10(rad / s)
WJ =15(rad I s)
t = Os
t = Zs;
t = 3s,'
w =0
o
a) a = ar = 5rad I S2
R
en 3 segundos
/le3 = w, t+H)a.t2
/le3 = 22 Srad
en dos segundos
/le2 =~ .(5.i) = 10rad
durante el tercer segundo girará un ángul ) I!'wllll:
[lle3-lle2]= se
lle = 12,5 rad [l{~vJ lle I,()<In ''
b) w=w.,+ou
~4.-Un disco gira con una aceleración tangencial de magnitud constante de 5 m/s',
Si el radio del disco es 1 metro y parte el disco. Determine:
a) El número de vueltas que da el disco durante el tercer segundo.
B) Resuelva el ejercicio gráficamente (wvs.t)
Ymáx = 1500 m
V~ =V~ - 2gyIllÚ.r. V./Y
= 173,21 m/.
DF =Vavión .t = 2598m
VJj' =VOy - gt~t =17,32s
~DF2+DC2
x=Vox.t~Vox= =160,73mls
t
2 2 2
Vo =Vox + VOY ~ Va = 236,29rn I s
Vox 160,73rnl s
b) cos a= Vo = 236,29m /s ~ a= 47,14°
a)
77 ~~ .~
76. ti Al 1, - 1)
O2 ().I, I (t).a.t.'
8, (1.1)
(I) 1
-:;
.at.
/lt
-O
lrev
/lO =12,5 rad.
2trrad
!le =1,99rev .
45.- Una rueda de 2 metros de radio tiene una aceleración angular constante de
rad/s2. En un intervalo de 4 segundos gira un ángulo de 120
alcanzando posteriormente una velocidad angular de 96 rad/s. Suponiendo
partió del reposo. Determinar:
a) El. tiempo que había estado en movimiento antes del intervalo.
b) El ángulo total girado.
e) La longitud de arco de circunferencia reconida por un punto extremo
rueda desde que empezó a moverse.
d) La rapidez med.íade un punto extremo de la rueda.
/lO = (3 - 2).10+ t(3 - 2). (15 - 10)
4
3
o 1 2
A
20
w (rad/s)
t (s)
7~_~ ~
77. a,.2.8.R.t2
a,. = ,
r.R
1I r - 2. al' tan 8 lqqd.
R
R
=
(a,.t)2
a =
e
V> a,.t
V2
a =-
l' R
16.-Demostrar que cuando un cuerpo parte del reposo y gira en una circunferencia
con aceleración tangencial constante; la aceleración centrípeta del cuerpo esta
dada por: a¿ = 2 .a.. tan B
O=wo.t+(t)A]
8 = l.art2
2.R
2.8.R
a, = 2
t
a partir del inicio del m Vll111 nt
w=wot+a.t
V a,
R=]["·t
w.
t= -= 192s
a
WF =w, +a.t
ti = 58s
b) W2 = W02 + 2.a. O
() = 9216 rad
e) s = 8R = 9216.2 = 18432 m
d) Vme/lia = f1= X= 96 mis
(J (J (J ( ) (:1 ) (l 2)
= ~ - ,= WO' 11- t, + 2" .a. 1 - 1,
(J= (~).a.(t2 + tJllt
(12 - ti) = 4s (t2 + ti) 120s
79
78. 4 - os m' vil,' l' rren una pista circular horizontal como se indica en la figu
Palien el misrn in tante de dos puntos A y B diametralmente opuesto
rnoviéndo .~en s ntidos contrarios. Se cruzan por primera vez en el punto
{i.11
- cos D.8.v2
R.D.8
(/,1/
,",
AV
(fllll= -
t
(D.V)2 = V2 + V2 - 2V.V cosfl.8
b) El módulo de la aceleración media será:
D.V
t = D.8.R
V
V
'ti1 = -
R
A) liS = D.8
t
B) El módulo de la aceleración media es: a 111
47 .- Una partícula se mueve con una velocidad de módulo constante V, sobre una
circunferencia de radio R. La partícula se mueve desde la posición A hasta la
posición B, girando un ángulo D.6su vector posición. Demostrar que:
a) El tiempo de A hasta Bes t = R i:J.G/ V
79. (2)
x
11) x - 20 = 20
V.,
V2 = 4 mis
L = 200m
y +20
--=20
~
VI = 6 mis
V2
Vi x +20
-=--
~ z - 20
(1) = (2)
VI x - 40 x + 20
_- =
V2 40 x - 20
x 2 - 60 x + 800 = 40x + 800
x = 100
= 20
(x - 40) + 20 40 + (x - 20)
1) ti=tz
X - 40 = 40 =!> Vj = x - 40 (1)
T{ V2 V2 40
t3= t4
A VI
I N = 40m y una segunda vez en el punto P,AP - 20m. i nrre la primera y
Ii, segunda vez que se cruzan tran curren 2 CglU1 i s. terminar:
1) La longitud de la pista circular.
h) La rapidez de cada móvil (m/s).
81
80. a)
2
aA= a. rad/s
as = - a. radis:
( Va) t' (1)
e, = R .t+a·2
(Va) t' (2)
e2 = R ':":
e, +e, = 21r= 2(~ )'1
TC.R
f=-
Vo
b VJ¡ o {¡jo - a.t = o
Vu Vo v.2
a o
a=-
1'.1
f(T,) TC.R2
49 .- Dos partículas A y B recorren una circunferencia de radio R. en sentidos
opuestos, parten simultáneamente del punto P con la misma rapidez inicial Vo
Ver el gráfico. La partícula A acelera uniformemente con una aceleración
tangencial constante; mientras que B se retarda uniformemente con la misma
aceleración tangencial. Las dos partículas se cruzan en el punto M, en el instante
en que la partícula B invierte su movimiento (comienza a regresar).
Determinar:
a) El tiempo que transcurre hasta su encuentro en función de R y Vo.
b) El valor de la aceleración tangencial en función de R y Vo.
e) El ángulo que forman entre si las aceleraciones totales de las dos partículas
en el punto M.
81. ,
'~
'~ O
- --~~~-_.......
.•
,
,
a +
+
+
+
+
+
tane =.:2. =(~).(.J!:_) =_1
~ TC.R 4~ 4.1r
C/> = 4,55°
Lo = 90 - C/> = 85,45°
11 Un electrón (eJ parte del reposo y se desplaza con movimiento uniforme variado en
una órbita circular de radio R, que forma un ángulo de 60° con la horizontal
ver figura). En el instante en que su rapidez es de 2 x Id mis su aceleración
vale 4 x I07 mls2 y forma un ángul de o n la tangente a la curva en ese
punto; sale disparado dirigiénd a un an 1 le tr magl1étic9 que produce
'o el electrón una aceleraci n r s iltautc !l01 jz<ntnl) de ]1 I ~m/s2 e mo se
indicaen la figura. Determinar:
a) El módulo de la aceleracié n centrípeta en el in tanto le snlir disparad .
h) La aceleración angular.
e) El tiempo que giró el electrón
I} En el campo: el tipo de movimiento del electrón en ada ~e.
.) La ecuación de la trayectoria en el interior del camp .
y
~=4 (~~
U1 = 2(VO ) •
/ R'
c)
82. ,J3 2
x=-.y -3y
.3
51.- Una partícula se mueve en sentido horario por una circunferencia de radio 1m;
con centro en (x, y) = (1, O)metro. rnpieza desde el reposo en el origen del
istema de coordenadas en el in tante t = O. Luego de recorrer media
circunferencia la magnitud de la aceleración total es a = 1t / 2 (m/i).
, ) ¿Cuánto tiempo tardará en recorrer la mitad de la circunferencia?
b ¿ uál es la velocidad de la partícula en dicho Instante
y
e)
(
2XI07m/s]
2 x 10.3m
t = -'-----~-
.j3X 1020 rad / i
t -,J3 10·1()
--x s
3
d) eje y = movimiento rectilíneo uniforme
eje x = movimiento uniforme variado
ex = ~= .fi x 10-0 rad/s'
R
e) Ci) 1= tAlo +ex .t
7 1: ?
(2 x 10m s y = 2 x 10.3m
2 x 1017 m/s'
R
b) a¿ = 2 xl O" m/s' = v-
R
a) 1j.=2xl07m/s
a = 4 X 10'7m/i
ac = a. sen 30°
ac = 2 x 1017 m/s'
83. O=rt
11=
1t
T
• = a2 + a2
I T 1Jl' (1)
1) ú12p =ú120+ 2.a.a6
..,
an = -rop.R
an = 2.a.A6'.R (2)
a, =(X.R (3)
(3) y (2) en (1)
(~
r= (a:.R )2+ (21XÁ8.R)'
rt2
a=
4.R 2 (1+4A6 2 )
a = O246 rad / s2
A6 = ~o.t + ~.a.t2
t = 5,05 s
I ) Vp = ú1p. R = (a). R = 1,24 mi
Vp = - 1,24 jm / s
84. 7.- I)0. puntos A y B, están directamente opuestos en las orillas de un río de
.111 ho Xkm y el agua fluye con una rapidez de 4 km/h. Un hombre situado
~'11 ti 'S ti ir a un punto e, que esta situado 6 km agua arriba de B. Si el
1',11 ( pll '(k navegar con la rapidez máxima de 10 km/h; y si desea llegar a
(' l'Jll·I '" 11(11 ti mpo posible. Determinar la direc ifn que debe tomar el
b.uvo V '1 tiempo que empleará.
a) El valor mínimo de la rapidez del viento para que el avión se dirija hacia
el Norte. Haga un gráfico.
b) Un pasajero que se encuentra dentro del avión, como vería la velocidad con
que llega al avión el viento en términos de los unitarios i,j
5.- La rapidez de un bote a motor en aguas tranquilas es de 55 km/h. Se quiere ir
de un lugar a otro situado a 80 km en la dirección S 20° E. La corriente en esa
región tiene una rapidez de 20 km/h, en la dirección S 70° O. ¿En qué
di:ección debe enfilarse el bote y que tiempo empleará en recorrer esa distancia?
6.- Un avión desea volar hacia el Norte; sus motores le impulsan a razón de 100
mI en dirección N 30° E. Calcular:
4.-' Un remero que alcanza con su canoa una rapidez de 4 km/h en aguas
remansas, rema contra corriente en un río cuyas aguas tienen una rapidez de 2
km/h. Después de recorrer Y2 km aguas aniba, da vuelta regresando al punto
de partida. Determine el tiempo empleado en la travesía.
-
3.- La velocidad de un LÍohacia la derecha es ~ ; un bote puede moverse con una
velocidad 'lB respecto al agua, VD > VA' Determinar:
a) El tiempo que se demora el bote en ir y regresar hasta un punto situado a
una distancia d a la izquierda del punto de partida.
b) La velocidad media.
2.- Dos automóviles, A y B, parten de un mismo punto; A se dirige hacia el norte
con una rapidez constante de 30 km/h y B hacia el Este con una rapidez constante
de 40 km/h. ¿ Un pasajero del auto B con qué velocidad ve alejarse a A?
Problemas propuestos
1.- Si A se mueve con una velocidad V A Y B con una velocidad V B ¿Con qué
velocidad ve A que se mueve B?
86
85. l In hombre camina sobre W1alancha con una rapid 1, <le4 km /h hacia el
) ste; la hélice de la lancha la lleva a 15 km/h, hu ia el N - E, la marea y el
I .nto llevan la embarcación a 5 km/h, hacia el Sur Determinar:
I La velocidad relativa del hombre respecto él til'!' u.
1) La lirección de su velocidad.
respecto al agua.
suponiendo que deja de soplar el viento.
respecto a tierra.
.onsidérese un avión cuya rapidez con respecto al aire es de 320 km/h. En su
programa hay un viaje redondo entre dos ciudades A y B que rustan 640 km.
I esprecie el tiempo entre despegar, parar y volver.
a) ¿Cuánto tiempo se llevará hac r 1vi j n un día e n -1, ir en calma?
11) ¿ Cuánto tiempo le llevará 11 un día 'n que I vi nto Sl pla nstant .mcnte
a 30 kmIh de B aA?
.) Realice un gráfico en cada ca o.
na lancha es impulsada por su motor con 111111 I'apul i' ti 1) km/l: hacia 1
este, la corriente en la región tiene una rapi 1'1, d· 1111/11, 11 direc ión ur:
'1 viento empuja la embarcación con una rapi Il'/,de I I m/h ha .ia el N-E.
Determinar la velocidad de la lancha:
I '
B' .:
.'
,
..
,
..
E
N
o
Un piloto con un avión desea obrevolar tres I unt s de o servación A By C,
distantes entre si 100 km. La máxima rapi I 'L. t111' des. trolla el avión en aire,
tranquilo es de 400 km/h. Se inf rma al pi! lo que sobr toda la zona existen
vientos de 80 km/h en dirección ·ste. alcular J menor tiempo en recorrer las
distancias AB - BC y CA. Ver figura.
87
86. 15.- Un u-en.que va a 100 km/h pasa por A en el mismo instante que otro tren que va
a 120 kmlh pasa por B y van el uno hacia el otro. La distancia entre los puntos
A y Bes 550 km. ¿ A qué distancia del punto A se encontrarán y a qué hora si
los trenes pasan por A y B a las 8:00 a.m?
16.- a distancia entre los puntos A y Bes 120 km. Un tren de pasajeros sale de A
ha ia B y al mismo instante sale un tren de carga de B hacia A. El tren de
P'lS¡~ r s llega a B, una hora después de haberse cruzado con el de carga y el
Ir n el • carga llega a A dos horas y cuarto después de haberse cruzado con el de
pusajcr. .'. eterminar las velocidades de los dos trenes y el punto de encuentro
r sp cto IA.
17.- Dos mó il .. parten simultáneamente desde los extremos A y B de una trayectoria
rectilínea d 101 gitud 210 metros. Los movimientos de ambos, en dirección
e ntruria, s n unilonucmente acelerados sin velocidad inicial (Vo = O).
Si mio I nlorcs de las aceleraciones a, = 2 m/s' y a2= 4 m/s"
14.-Un tren de carga que va a 42 km/h es seguido 3 horas después por un tren de
pasajeros, que parte del mismo punto inicial, y tiene una rapidez de 60 km/h.
¿En cuántas boras el tren de pasajeros alcanzará al de carga ya que distancia del
punto de partida?
13.- Un hombre de pie en un ascensor, que se mueve con una rapidez constante VA =
4 mis, observa que una mosca se le acerca desde el suelo con una rapidez de 5,
66 mis y un ángulo de depresión de 45° Determinar la velocidad de la
mosca respecto a tierra cuando el ascensor.
a) baja.
b) sube.
12.- La bandera situada en un mástil de lUl bote de vela flamea haciendo un ángulo
de 45° , como se muestra en la figura, pero la bandera situada en una casa a la
orilla se extiende 30° al Suroeste. Si la rapidez del bote es 10 km/h.
Determinar:
a) La velocidad del viento.
b) La velocidad del viento con respecto a un pasajero del bote.
.. ..... ... .... ... .. ..
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¡¡¡~¡~~¡~]~¡¡!¡:::~:~:~¡~¡¡~¡~]¡~¡¡~¡¡~
87. 4.- Se lanza verticalmente una pelota hacia abajo (11 una cierta velocidad inicial
Yo desde lo alto de un precipicio, utilizando 4 I Indos en llegar aJ fondo. Una
egunda pelota es lanzada erticalmente hada an iba con la misma rapidez. Yo,
utilizando lOs en negar .al fondo del precipicio.
Determinar:
- Un móvil tiene tilla velocidad constante ti
durante un cierto tiempo t. En este punto I1t'tll '1 ItlZ"1I1 ti 1111/:.;', h ISW que el
móvil se detiene. Si el espacio total r corral) pCll .J 11111 ti s ti . O metros,
determinar el valor del tiempo t.
~.- Un cuerpo se deja caer libremente y recorre dUI 1111 I último egundo de su
caída la mitad del camino total. Determinar:
a) El tiempo total de caída.
b) La altura total de caída.
1.- Un conductor maneja lID vehículo a una rapidez de 25 mis. Cuando se
encuentra a 75 metros de un bstáculo, lo ve 1ero tarda medio egundo en
aplicar los frenos y se detiene n 5 s nmdos 111 "( ti hub '1' upli udo los frenos
Demuestre si choca o no con l o st:ÍC'1110,
[9.- Un vehículo se mueve sobre una recta con una aceleración constante. Cubre
una distancia de 60 metros entre dos puntos A y B en tres segundos. Al pa al' el
segundo punto (B) se movía a razón de 15 mis. Determinar:
a) El valor de la aceleración.
b) A qué distancia del primer punto (A), el carro se encontraba en reposo?
20.- En el instante en que la señal luminosa del tráfico cambia a verde un automóvil
que ha estado esperando arranca con una aceleración constante de módulo
1,8 rriJs2• En el mismo instante un camión que lleva una velocidad constante de
9Ím/s, alcanza y pasa al automóvil.
a) ¿A qué distancia del punto de partida adelantará el automóvil al camión?
b) ¿Qué velocidad tendrá en ese instante?
respectivamente. Determinar el ti mp qu trans un' hast el encuentro yel
punto de encuentro.
18.- Si en el problema anterior las vel ciclad s inicial s do 1 s móviles A y B son
respectivamente VI = 30i m/s y V; = -20Tm/s y las demás ondiciones son
iguales, determinar el espacio que recone el prir er móvil y el tiempo
transcunido.
89
88. 26.- Desde la terraza de un edificio bien alto construido en una estación lunar se deja
caer un objeto verticalmente. S segundos mas tarde al pasar este objeto por una
ventana situada 20 metros más abajo, se deja caer un segundo objeto desde la
misma terraza. ¿Qué distancia se encontrarán separados los dos objetos cuando,
el primero ha caído 10 segundos?
27- Se lanzan dos cuerpos verticalmente hacia arriba, con la misma velocidad inicial
pero separados 4 segundos. Vo = 30 mis.
a) ¿Qué tiempo transcurrirá desde que se lanzo el primero para que se vuelvan
a encontrar?
b) ¿A qué distancia por encima del suelo se encontrarán?
e) ¿Cuáles son las velocidades de cada uno en el momento de encuentro?
28- La plataforma de un elevador se mueve hacia abajo con una velocidad constante
de -ISjpies/ , cuando la plataforma topa una piedra que sobresale de la pared del
pozo provocand su caída. Suponiendo que la piedra parte del reposo.
d terminar,
a) a distancia que habrá recorrido la piedra cuando alcanza la plataforma.
b) '1tiempo transcurrido.
29.- 'e deja caer una piedra desde un elevado precipicio y lID segundo más tarde es
lanzada otra piedra verticalmente hacia abajo con una rapidez de 18 mis: ¿A
qué distancia por debajo del punto más alto del precipicio, alcanzará la segunda
1 i drt a la primera?
.10.-) or ,1J'l zo de una mina caen gotas de agua a razón de 4 gotas por segundo.
U11 m 11tucargas que sube por el pozo a 10 mis es alcanzado por una gota de
él 11:1 ~'II<1nd está a 100 metros por debajo del suelo, ¿Dónde y cuando
al ·11111.¡1J '1 la pr' xima gota al montacargas?
31. UIl ni, ti qu se encuentra en el suelo de un elevador que desciende a velocidad
.oustan! . d IOj mIs brinca hasta una altura de 50 cm sobre el piso. ¿Qué
distan '141 r ('()I! ,1 elevador mientras el niño llega al piso nuevamente?
32.- D )s vchícul s A y 13circulan por carretera rectas que forman un ángulo entre sí.
~l v hículo A s mueve con velocidad constante y para el tiempo t = 2 s
se '11 II ntra 11 '1 punto de coordenadas (0,30) m, cuando t = 5 s.
1.S.- De un grifo de agua caen 480 gotas por cada minuto. Si cada gota demora O,S
segundos en llegar al suelo, cuando la primera gota toca el suelo determine la
distancia que separa a la segunda y tercera gotas.
a) La rapidez Vo con que fueron lanzadas las pelotas.
b) La altura del precipicio.
90
89. ?
(rn/s -) por un intervalo de 1.°segundos para lu zo s I sorn tida a una
_. -+ _. -+
n eleracióu a2 = i - 2j +k (m/s-) Determinar:
.1) La velocidad de la partícula lOs después dt p utir del punto de
coordenadas (1, 2, 3) m.
11) El tipo de trayectoria a partir del duodécimo s gundo.
Si una particula provista de rapidez 10 mis en 1punt I l· ordenadas (1, 2, 3)
... ...-+
111, realiza un movimiento MRUV con una il '1 I it' n ~t = i + 2j + k
Una partícula que se desplaza e n movi: i nto re IiIf11 'o a l
m reposo en el punto P (3, 2 1) n. Si sol r ' lit ,,'1 '1:1 una ti
n dirección N 30° E y con un ángul d I'[)I' " i1)1I I OH 1 para
I s intervalos de 0- 20 segundos, de 2 . Os I'IIIHI lo le O s zund en
adelante son: 2 mI/ en la dirección indica la: () 111/. 1111/S2 1 dirección
.ontraria. Determinar la posición del punt n II l'u:d la pUIll lila s detiene.
Una partícula que inicialmente se encuentra en el punto B (3,4,5) metros
r specto a un punto A, recorre un espacio Be en 2 s, con una velocidad constante
-+... -
de 2i +j (mis). Otra partícula cubre una distancia DE en O,Sscon una velocidad
-+ -+
constante de -4i + 2k (mis) Si las coordenadas del punto D con respecto a eson:
(1 0,3) m. Determinar:
a) La posición pe A con respecto a E.
b) El vector BD _
,) El vector unitario paralelo a DB.
1) La velocidad del vehículo A.
11) La aceleración de B.
.) La velocidad inicial de B para t = O.
ti) La velocidad de B para cualquier tiempo.
,) La posición de A para t = O
1) Posición inicial de B.
g) Posición de A para cualquier tiempo.
11) Posición de B para cualquier tiempo.
i) El desplazamiento desde los 5 hasta los 10 s.
en el punto (-40, O) m; el vehículo B n 01 vimiento rectilíneo
uniformemente va~do y altiempo t = 4 ncu ntra en I punto (-50, O)m
, n una velocidad VB = 10í mis y al ti mpo t = 14 ' ti n una velocidad de
Isi mis. Determinar:
90. 40.- n vchí ulo se mueve sobre una carretera recta de acuerdo al siguiente gráfico.
a) I ·s riba el tipo de movimiento del vehículo en cada tramo.
b) ,('uí" es el espacio total recorrido?
,CI(L1 'S I vector desplazamiento? _
d) R ulic ., zráfico x - t. Si para t = O;Xo = -500i m.
o tes)
•
• •
----,-_ , -•
r .
3
39.- En la figura calcular en que intervalo de tiempo:
a) La velocidad es negativa.
b) La aceleración es positiva.
r(m)
38.- Mediante un gráfico V - t, dar un ejemplo de un rnovnmento en el cual la
velocidad y la aceleración tengan direcciones contrarias.
36.- Utilizando un gráfico V - t resuelva el siguiente problema: 'Una partícula se
. 2
mueve hacia la derecha partiendo del reposo con una aceleración de 2 (m/s )
hasta que su velocidad es de 6 (mis) hacia la derecha. Se le somete luego a una
aceleración de 6 (rn/s") hacia la izquierda basta que el espacio total recorrido
sobre la recta, desde que partió, es de 24 metros. Hallar el tiempo total.
37.- Un objeto es disparado verticalmente hacia arriba con una rapidez VA desde
un edificio de altura H. Construir el gráfico V - t para todo el movimiento del
proyectil desde que sale hasta que llega al suelo.
e) La velocidad media de la partícula para un intervalo de 15 segundos luego
de partir del punto (1, 2,3) m.
91. La partículas A y B se mueven a lo largo d J t!j 1 1.ls '1 ' runo ' ) gráfico
Vz - t Yque a t = Osegundos ambas partículas S' '11 '1 'Ilfl:llll'll In p ición
-k metros. Determinar:
1) El vector posición de cada partícula para t = 2 ) s
11) La expresión en función del tiempo de la v lo id.u! r Iaíiva de la
partícula A respecto a B.
, ) La velocidad media de la partícula B para J intcr ni
de Oa 30 segundos.
4 8 10 12
6
o 2
I(s)
B
60 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -Y,
----
A
os gráficos V - t para dos móviles A y B están dados en la figura:
1) ¿Después de qué tiempo el móvil A tiene igual velocidad que B?
b) ¿En ese instante, a qué distancia está B por delante de A?
) Para t = 0,01 horas, ¿cuál esta adelante y a qué distancia del otro?
V(mls)
-20
40
20
o
t(
60
20
- ------ -------------
Vx(mls)
93
92. Determinar:
-
a) Para un egundo la V<2f'
b) Para dos segundos la VA../B
-
e) Para tres s. und .. Id Vil;
.... ~ ~-+
u = O 51 - O 68J - ck
e ' ,
-+4.- Dado el gráfico de V - t para la partículas A, B, e y conociendo además que los
vectores unitarios correspondiente a los desplazamientos de A, B Yeson:
.... ~ -Jo: -+
U = O 21 - O 3J - ak
A ' ,
- --
Us= 0,42i - 0,25j - bk
5 15
10
O
20
10
40
A
43.- Dos partículas A y B se desplazan con movimiento rectilíneo uniforme de
acuerdo al siguiente gráfico posición - tiempo. Determinar:
a) La posición relativa de A respecto a B, para los tiempos t = Os; t = 5
s; t = 10 s.
b) La velocidad relativa de A respecto a B, para los instantes indicados
anteriormente.
r.(m)
-12
tes)
~o~------~~-----r--~~~------~
30
5
A
Vx (rn/s)
93. Una pelota se lanza desde la ventana d un 'dil, 11l1'0I1 111111 • {o '¡dad ini ial
Vo, y formando un ángulo de 30° sobre la 1101"1701111,1 -Iio " e n el
edificio que se encuentra al frente con una velocid ,,1 uc forma
1111 ángulo de 60° bajo la horizontal. Determinar:
ti) La velocidad inicial YO de lanzamiento.
h El tiempo que estuvo en movimiento desde I Inuz uni nto hasta cuando
choca.
e) La distancia que separa los dos edificios.
1) La altura que desciende la pelota, desde ni el del lanzamiento hasta
el punto de choque.
f)
t(s)
2
o
t( -2
t(s) 4
y(m)
---
A partir de los gráficos posición - tiempo, determinar en términos de i.j, k.
a) El vector posición a los 2,5 segundos.
b) La velocidad media para el iritervalo de (a 3'seguridós.
z(m)
e
tes)
1
2
3
V(mls)
4
94. 53." I H velo idud de 1111 proyectil cuando se encuentra en la altura máxima es -J6ñ
de su velocidad 'liando esta en la mitad de su altura máxima. Determinar el
ángulo de lanzami nro.
51.- Un artiller dispara lIll nu ón, 10 segundos después ve en el cielo la nubecilla de
la cxpl isión qu . se hullu 122 sobre la horizontal y 8,2 segundos después de
crlu o . I ..tnmpido que el proyectil produce al explotar. Despreciando la
r Slsl 'JH lil ti I .111' Y suponiendo que la rapidez del sonido es 340 mis
'al '"llJl ln l lo .idud inicial del proyectil y el ángulo de tiro.
50.- Desde la cima de una montaña se dispara un proyectil con una velocidad de
70,7 mis formando un ángulo de 45u sobre la horizontal. Determinar:
a) El tiempo cuando su velocidad forme un ángulo de 53° bajo la horizontal.
b) La ecuación de la tray ctr ria.
49.- Se lanza una piedra con una cierta velocidad inicial formando un ángulo de 60°
con la horizontal. Luego de un cierto tiempo, la piedra choca contra un
punto A de un poste vertical cuando su velocidad forma un ángulo de 30° con
la horizontal y cuando está cayendo. Si el punto A está a 5 metros del suelo.
Determinar:
a) La velocidad de lanzamiento
b) El tiempo transcurrido
e) La velocidad media
d) La aceleración centrípeta en el punto A
48.-¿ En qué punto de la trayectoria de un proyectil, la rapidez del mismo es
numéricamente menor que en cualquier otro punto? Explique.
47.- Una pelota se lanza con una velocidad Yo que forma un ángulo de 60°
sobre la horizontal y choca contra un árbol cuando todavía está subiendo con una
velocidad deV45 mis y formando un ángulo de 30° sobre la horizontaL
a) ¿A que distancia está ubicado el árbol?
b) ¿A que altura se estrella la pelota?
e) ¿Cuál es el tiempo transcurrido?
52. LJn"'(lld.lelo al estado en el suelo lanza una granada con una velocidad inicial de
_ 111/:-. 1II1 :1111'1110 de elevación de 53°. ¿Después de que tiempo escuchará el
estallido y a 1" distancia ocurre la explosión? Rapidez del sonido = 340 mis.
95. Un montañero se encuentra al borde de un a anlilndo de 60 metros de altura
1.ste acantilado desciende verticalmente en una altura de 30 metros y a
. ntinuación se encuentra una cornisa horizontal de 3 metros de ancho y
I Dos barcos están navegando en direccione' '11l1' '1 I I ltl 1.11I'( le tr yectorias
Raralelas separadas entre sí una distancia d. l:t I 111 id Id ti . uno de ellos es
VI y la del otro es V2; en el moment II lJlI ln llu H ue los une es
perpendicular a la dirección de sus rumbos, lIllI ti 1 l. I 11" s dispara sobre ~
otro. Suponiendo que la componente horizontal d 11 I ) idad del proyectil Vo
con relación al barco que lo disparó es con 'Wnt • .n .outrar en función de VI ,
V2 , Vo y d , cual debe ser el ángulo e. entre Indu : 1( II del buque blanco y el .
plano vertical que pasa por el eje del cañón n ti !lIt m ItO del disparo, para que
se produzca el impacto.
•
•
•
•
.
,
,
,
,
,
,
-, ,9'........ _- .......
, .
, .••
.... -.......
~-
,- Se lanza una pelota de tal forma que pasa justamente por dos obstáculos cada
uno de 11 metros de altura, que están separados tilla distancia de 52 metros.
Calcular el alcance total del movimiento y la velocidad de lanzamiento
si se conoce que el tiempo empleado en recorrer el espacio entre lo dos
obstáculos es de 2,6 segundos.
1,- Dos proyectiles A y B ,son lanzados como se indica en la figura, después de
cierto tiempo se encuentran en C y se demoran 1 segundo y 0,5 segundos
respectivamente en llegar al suelo. Si la distancia entre los dos impactos es de
200 metros. Determinar
a) El alcance de cada proyectil
b) Los tiempos de vuelo
e) Las alturas máximas
d) La altura correspondiente al punto C
1.- Un proyectil es disparado desde lo alto de un a antilado bacia arriba con una
velocidad Vo = 40{2 mis, formando un ángul de 450 con la horizontal.
Determinar la velocidad del proyectil cuando forma un ángulo de 60° con la
horizontal(indique en un gráfico).
96. 62.- S ' deja caer verticalmente una pelota sobre el punto A de un plano inclinado
2(}'"la pelota rebota formando un ángulo de 40° con la vertical, sabiendo que el
próximo rebote tiene lugar en B. Calcular:
a) La velocuhul ion la cual rebota la pelota en A
b) El tiern¡ () l' qu .rido para que la pelota se mueva de A hasta B.
6 t- Desde un lugar situado a una altura de 100 metros se lanza horizontalmente un
proyectil con una rapidez inicial de 240 mis.
a) ¿Dónde se encontrará el proyectil al cabo de 4 segundos?
b) ¿Cuál es la velocidad del proyectil en ese instante?
60.- Una pelota se lanza con una velocidad Vo = 12 mis. que forma un ángulo de
45° con el horizonte. La pelota cae a tierra a una distancia x del sitio de
lanzamiento. Desde que altura H se debe lanzar horizontalmente esta misma
pelota con la misma rapidez Vo, para que caiga en el mismo sitio.
200m
.
• ••
A~---------·--------------------~
,
, ....
10m'.
B
..
e ..,,--------
, ..
, ..
..
,
,
#
.. ..-........
59.- Dos cazadores A y B, están enfrentados y situados a 200 metros de distancia,
disparan con ángulos de 45° y 60° respectivamente, con una diferencia de
tiempo de 1 segundo hacia un mismo blanco que se encuentra a 10 metros de
altura sobre el plano en el que los dos se ballan. Si sus proyectiles hacen impacto al
mismo tiempo en el blanco. Determinar:
a) Las velocidades iniciales
b) Las distancias horizontales desde el blanco hacia los cazadores
e) .Los tiempos respectivos .
Nuevamente presenta una pared vertical de 30 metros. El montañero arroja una
piedra de tal manera que a la mitad de su recorrido pasa rozando al borde de la
comisa.
a) Si lanza la roca horizontalmente, ¿cuál debe ser la velocidad inicial?
b) Calcular el módulo y la dirección de la velocidad cuando la roca está a la
altura de la cornisa.
97. I 11 el gráfico determinar. Si Vo= 10 mIs
1) El tiempo que tarda el proyectil en recorrer el '11'('0 ( >H.
h) -1 tiempo que tarda el proyectil en recorrer el él! () 1 '.
) El radio de curvatura en el punto C.
1) La variación del vector velocidad entre los punto: U y C.
El vector unitario de la velocidad media para el jI l.rvalo B y C.
1I El vector posición del punto C.
.,
H
..•
.. ----- ..
.•
•,
•
•
y
8H
la rapidez inicial:
G(R2 + 16H2)
Vo =
I • quiere que un proyectil tenga una altura máxima tI y un alcance R como se
indica en la figura. Demostrar que debe ser disparado con ángulo de
l.urzamientc.
e = arcsen ( 4H J
JR2 + 16H2
3m
•
•
.•
•
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· B •
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•
• I
"
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•
•
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.,
•
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• ¡'¡'
99
98. 66.- Una partícula se mueve sobre una mesa horizontal. Al pasar por el origen de
- - -
coordenadas al tiempo t = O tiene una velocidad inicial Vo= 4i - 3k (mis), en
ese instante comienza a actuar constantemente sobre la partícula una aceleración
- - -
a = -Zi - 2k (m/s"). Determinar:
a) La velocidad en el instante t = 5 segundos.
b) Las aceleraciones tangencial, normal y el radio de curvatura a t = 10
segundos.
e) Realice LID dibujo aproximado de la trayectoria,
)7. Una partícula que se esta moviendo en el espacio con una velocidad constante
~ 17- 27 (mIs ). Determinar, al cabo de [O segundos de ingresar al campo
ten .rndo por la tierra.
íl Sil ti splazamiento.
1) l.u V 'lo .idad.
e) I as uc -l -raci nes tangencial y normal.
d) El radio de rurvatura para t = 10 segundos.
e) 'ti v locul ,d III xlia en el intervalo de Oa 10 segundos.
•
•
•
•
.
•
#
•
#
.
.
.
#
65.- Un pequeño objeto se lanza pen~ente abajo en la forma indicada en la figura.
Determinar la velocidad inicial ('o) .
y
99. I Sobre un eje que gira a razón de 1600 RPM están montados dos discos que se
encuentran entre sí a una distancia de 50 centímetros. Una bala disparada
paralelamente al eje atraviesa los dos discos, con la particularidad de que el agujero
que se produce en el segundo disco resulta desviado un ángulo de 12° con relación
al primero. Determinar la velocidad de la bala.
a) El tiempo total de rotación.
h) Resuelva el ejercicio gráficamente.
Una rueda parte del rep so y acelera de tal manera que su rapidez angular aumenta
uniformemente a 200 RPM en 6 segundos. Después de haber estado girando por
algún tiempo a esta rapidez, se aplican los frenos y la rueda tarda 5 minutos en
detenerse. Si el número total de revoluciones de la rueda es de 3.1OO. Calcular:
IO·-Undisco gira con movimiento uniformemente e cel rado. re Ll I riferia se
realizan tres disparos, de de el mi m lugar sin ruubiar la truy 'j(riuynintervalos
iguales de un segundo. La rapid 'l,<Id dis o '11 -1in. tunt I I( nm r 1111 u 'to os e
18 revoluciones por minut (Rl M), I ,t 'fIllllWI '11 und " los I ngulos rOl 111,dos
por los radios de los irnpact . a 0.1 ra tI:' .
,1),- Cuando un cuerpo se mueve sobre una circunferencia con rapidez constante,
explique si permanece constante su aceleración.
tes)
2
2 tes)
()
5
1
o
V/._rnIs)
Vv(m/s)
2
}- t s)
o
ML- Los gráficos corresponden al movimiento de un proyectil. Determinar para este
movimiento:
a) La aceleración del proyectil.
b) El significado del área rayada.
e) El vector posición a t = 6 s.
d) La velocidad a t = 6 s.
e) El radio de curvatura a t = 6 s.
101
100. y,
í7.- En la figura se indican los vectores velocidad y aceleración instantáneas.
Determinar los valores del módulo de la velocidad y de la aceleración
tangencial en ese instante. Si el radio es igual a 5 metros y el módulo de la
2 _
aceleración cs igual a 50 mis. V 4-~..--~_
Va
76.- E111afigura determinar la aceleración media de la partícula entre las posiciones
A y B Sabiendo que V1 = 2 011' y que Vn = 48,2 mIs.
A VA
75.- Una partícula se mueve sobre una circunferencia de radio 10 centímetros con
una aceleración tangencial de módulo constante. Hallar la aceleración centrípeta
de la partículaal cabo de 20 segundos. Si se conoceque al finalizarla quintavuelta su.
rapidez es de 0,1 mis.
74.- Una atleta lanza un martillo que gira en un plano horizontal con movimiento
uniformemente variado, antes del lanzamiento. El momento en el cual sale el
martillo de la trayectoria circular descrita tiene una rapidez de 100 mis, y se conoce
que el martillo dio dos vueltas antes de salir disparado y el radio de giro es 2
Determinar:
a) Su aceleración angular
b) El tiempo que se demoró en las dos vueltas.
75.- Un automóvil entra a una curva de 1000 metros de radio con una rapidez de
72 Km/h. La magnitud de la velocidad se incrementa constantemente en 2,5
metros por segundo por cada segundo transcurrido. Cuando el automóvil ha
recorrido 500 metros sobre la curva. Determinar:
a) El tiempo transcurrido desde que tomó la curva.
b) El ángulo formado por la aceleración instantánea con el radio.
101. •'í las características del movimient duna paf'li .uln 11 I punto B St{1I1 dada..
I la figura. Determinar en términ d los V do! 1111it'11 jo, u !n nlivado: 1, j, J'
1.1 velocidad de la partícula en dich punt . .' ()IU t qu el I 1l dul ti la
I .cleración en el punto B es igual a 2 mi 2; qu l rn lío ti l c rcul ,i iual a 1 2
lit. Y que el ángulo entre el radio OB y el v ctor m t l "1IH'!ÚII • i 'I! 1) U 20tl•
IJna partícula parte del reposo desde el punto P con una aceleración tangencial de
magnitud constante igual a de irnIs2 , siguiendo una trayectoria circular de radio 10 metros.
('uando ha-S!_t:ado
un ángulo igual a 21t/3 radiane . Calcular en términos de los
unitarios ¡,jo
1) La velocidad de la partícula
1, La aceleración normal.
,,) La aceleración .
VB
IJna partícula se mueve sobre una ClrCW1f1 rencia de radio 4 metros. Parte del
punto A con una rapidez de 5 mis y con una a el ra i n tangencial constante en módulo
luego pasa por el punto B con una rapidez d 1 mis. ctcrminar:
11 El vector aceleración media entre lo puntos 1. y .
h La aceleración tangencial en B.
-) La aceleración normal en B.
103
102. y
83.- Una partícula parte del reposo en el punto P y se mueve sobre un trayectoria
circular con MCUV, 4 segundos mas tarde la magnitud de su aceleración es a =
8.246 m/s' .Calcular:
a) La aceleración angular.
) La velocidad de lapartícula a los 4 segundos.
82.-Una partícula se mueve por una trayectoria circular de radio 1 m como se
indica en la figura. Al instante t = 0,5 s se encuentra en el punto A, a partir
del cual su movimiento es uniformemente retardado, con una aceleración
angular = rad/d. ~la rapidez inicial Vo = 4 mis, determinar para a
intervalo de Oa 10segundos.
a) El número de revoluciones efectuadas.
b) El vector desplazamiento.
e) La velocidad media.
d) La aceleración instantánea a t = lOs
Z
81.- Una partícula se desplaza antihorariamente con movimiento circular uniforme
alrededor del origen de coordenadas a una distancia de 10m. Si al tiempo t = °s
- - -
tiene una velocidad Vo = 70,7i - 70,7j mIs. Determinar:
a) Su posición angular inicial
b) Su posición angular para cualquier tiempo.
c) La velocidad a los 10 segundos.
d) La aceleración para cualquier tiempo.
103. Una partícula semueve antihorariamente sobr 1111. il IIlkl ncia de radio
-
10m. En el instante en que t = 5 s, se CII(;I '1111 1 11 la posición 10i ID, Y
- - -
su aceleración es a = - 5i -1- 4} mls2 • Determinar pBI I r instante t = Os:
a) La velocidad inicial en términos de los unitarios 1I0111l1l11nldos.
b) La aceleración angular.
,) La aceleración normal en términos de los un; (;11i ..
110 matizados.
130
x
o
y
H.I_Dos partículas Ay B_se muven en el plano XV. La partícula A se mueve con
. velocidad constante VA= - 2j mis, la partí ula B se de. plaza a lo largo del círculo
de radio R, = 4 m. y su centro es el punto n (10,0) 1)1 antihorariarnente con
velocidad angular constante w = re k r~d . Las dos partículas inician su
movimiento almismo instantet=Os en Ios puntos A¿ (0;10)m.yBo (10;-4)01.
Determinar al instante t= 1.5 segundos, en términos de los unitari os normal izado'.
a) La posición de A con respecto a B.
b) La velocidad de B con respecto aA.
105
106. --
~Fy=o
(6) R,- RE sen 37° - W = °
R·= 1,36.W
Ro= 0,75W
--
~Fx=o
(5) REcos 37° = Ro
Rr=0,6 W
(3) R =(2,05W- 1,25W) cas 53°
E cos 37°
R¡¡=2,05 W
=-+
~Fy=o
RB sen53° + RE sen 37° - RF sen 53° - W = °
(4) RE sen 37°
(3) RE cos 37°
w + (1,25W)0,8 - O,8RB
0,6RB - (l,25W) 0,6
x
--
~Fx=o
R, cos 53° - RE cos37° - RF cos 53°= °
(3) Re cos37° = R, co 53° - RF cos 53°
--
~Fx=o
(2)_ RFsen 53° W
R cos 53°=R (1) --
F A
(1r RFcos 53° RA
--
x ~Fy=o
R sen53°=W (2)
RA= 0,75 W
F
RF= 1,25W
e
y
11
1.- En el sistema de la figura, todos los cilindros tienen igual peso (W) e igual radio
( R ). Expresar en función de W, los valores de las reacciones en A, B, e y D.
107. I)¡ s cilindros liso , cada uno de peso W = 100 NI y de Imito J 5 cm, están conectados
11. centro por medio de una cuerda AB de Ion ritu I 40 cm., y descansando
nhr un plano horizontal sin rozamiento. Un tercer cilindro, también liso se coloca
11 -ima de los dos anteriores como se indica n la figura, su peso es 200 N
ti radio 15 cm.
')() N.
(1) Wl sen 53° - Ta- FrJ = O
11) t- (2) =(3) WJ sen 53° - W) sen37° - ti (NI +Nl IN) ()
I W1
W = W lsen53° - 0,25 cos 53° - 0,25)
3 sen 37° + 0,25 cos 37()
/.'.
.~~~~.
- -
N=W 1
l' =0
..
Fx = o
~)Tb- W3 sen 37° - Fr3=0
Fy=o
N, = W3cos 37°
En el sistema de la figura, determinar el valor le W-"S1 el sistema está a punto de
moverse hacia la derecha.
WJ = W2 = 100 N. El coeficiente de r zamient entre toda las uperficies en
contacto es igual a 0,25
1 9
108. 4.- Dos S eras totalmente lisas e idénticas, cada una de peso 100 N, están
'{ 111 ) se indica en la figura. Suponiendo que las paredes son lisas, determinar
rcn~'iones producidas en los puntos de apoyo A, B, e, D. La línea que une
e ntros ti lasesferas forma conla horizontal un ángulo de 30°.
-
.2 ~Fy = o
Ro - R, Sen 53,13° - W A= O
Ro = Re = 200 N
-
.1 ~Fx = o
T = R, cos 53,13° = 75 N
x
-
~Fx = o
R, cos 53,13° = RII cos 53,13
R, = Ru
Determinar:
a) La tensión en la cuerda.
B) Las fuerzas ejercidas sobre el piso en los puntos de contacto D y E.
-
~Fy = o
2 R, Sen 53,13° = Wc R, = Rn = 125 N
109. - 2/3 mg.
(1) en (2)
mg mg
R=--~-
2 cos ~Oo - 2 ( Y5:__) :2
2
(2)
N= mg (1)
cos 30°
~Fp =
N - R , r : U - R cos 30° = O
N = 2 f 30°
rng
-
~Fy=o
N. cos 30° = mg
30
N y
x
-
:-¿Fy = O
Re - Re sen 30° - W = O
Re = 143,5 N
1111 esfera homogénea lisa de masa m descansa sobre una acanaladura en V y no
pll cienrodar a causa del contacto que tiene con la superficie vertical lisa A, que es
lhlt mal al plano x - y de simetría. Determinar la expresión de la fuerza de contacto
I cutre la esfera y cada cara de la acanaladura.
-
:-¿Fx = O
RA - Re cos 30° = O RA = 87 N
-
:-¿Fy = O
2 Re sen 30° = W . R = R = W = 100 N
, e o
x
-
:-¿Fx = o
Re cos 30° - Ro cos 30° = O; Re = Rl)
y
1
110. Solución 28, 61 Kg. ~ m ~96,69 Kg.
m2 = mi (s n 300 - fJ. cos 300b 28,61 Kg.
sen 0° + IJ. cos 60°
x -
(3) Ig sen 30° - T - fr, = O
(3) + (4) m, sen 30° - m2g sen 60°-
-
~Fx =0
(4) T - m2g sen 60° - fr2 = O
J.L (N1 + N2) = O
-
-
~Fx =0
(1) m2g sen 60° - T - fr2 = O
(1) + (2) = m2g sen 60° - m19 sen 30° - J.L (N1 + N2) = O
m
= m1i (sen 30° + J.L cos 30°) =
2 96,69 Kg.
IJ(sen 60° - J.L cos 60°)
m, tiende a subir:
. mlnima masa m2
-
~Fy =0
N2 = m29 C(i)S 60°
m, tiende a bajar:
. máxima masa m2
.
•
y
6.- Sobre un plano inclinado se encuentra un bloque mi = 100 Kg. que está
pqr medio de un cable a otro de masa m, como se indica. Si el coeficiente
de rozamiento entre cada bloque y el plano es 0,25; determinar los val
extremos de m., entre los cuales debe variar para que exista equilibrio .
111. 1TI2
1I 0,5
1111= 10 kg.
1112= 5 kg.
II En el sistema mostrado en la figura. Determinar:
n) El valor de la aceleración,
b) El valor de la fuerza de rozamiento total en I si. 1 m.
-
~Fx = o
f rozo = F GOS 30° = 17,3 N
Cuerp n
8 < O
x
F
-
:f Fy = o
(2) F GOS 30° - ~ = m18
-
~Fy = o
F sen 30° + N = m1g
(1) N = m,g - F sen 30°
y
F = 20 N.
m2 = 5 Kg.
u = 0,6
X.-En el sistema de la figura determinar el valor de la fuerza de rozamiento
-
~Fy = o
N - m1g GOS 30° = O
N = m1g GOS 30°
m2 = 6 Kg.
m1 = 3 Kg,
7.- En la figura, cual es el valor de la fuerza qu hac 1bl qu mi sobre el bloque m, .
