Este documento describe los árboles binarios, incluyendo sus componentes (nodos, raíz, hojas), tipos (binario, binario de búsqueda), operaciones (inserción, eliminación) y métodos de almacenamiento. Explica con un ejemplo cómo funciona un árbol binario de búsqueda y cómo se insertan y eliminan elementos de manera eficiente.

1. REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
UNIVERSIDAD FERMIN TORO
FACULTAD DE INGENIERIA
Alumnos:
Jonathan Bastidas C.I. 17.048.561
Cleiver Manzanilla C.I. 17.304.303
Cabudare, Enero 2013

2. Es la unidad sobre la que se construye el árbol y puede tener
Es una estructura de datos cero o más nodos hijos conectados a él. Se dice que un nodo a
ampliamente usada que imita la
es padre de un nodo b si existe un enlace desde a hasta b (en
forma de un árbol (un conjunto de
nodos conectados). ese caso, también decimos que b es hijo de a). Sólo puede
haber un único nodo sin padres, que llamaremos raíz.
ÁRBOL
NODO
Es un nodo que no tiene hijos.
NODO EXTERNO E INTERNO
HOJA
ÁRBOLES
RAMA
Si algún hijo tiene como referencia a null,
es decir que no almacena ningún dato. En
Son los demás nodos que tienen el caso contrario el hijo es llamado un nodo
padre y uno o varios hijos. interno.
ÁRBOL BINARIO
USOS COMUNES DE LOS ÁRBOLES BINARIOS
Es una estructura de datos en la cual cada nodo
siempre tiene un hijo izquierdo y un hijo derecho. - Los árboles binarios de búsqueda.
No pueden tener más de dos hijos (de ahí el - Los montículos binarios.
nombre "binario"). - Codificación de Huffman.

3. ÁRBOLES
OPERACIONES COMUNES EN
TIPOS DE ÁRBOLES BINARIOS ÁRBOLES
- Enumerar todos los elementos.
Árbol binario: Es un árbol con raíz en el que - Buscar un elemento.
cada nodo tiene como máximo dos hijos. - Dado un nodo, listar los hijos (si los hay).
- Borrar un elemento.
Árbol binario lleno: Es un árbol en el que - Eliminar un subárbol (algunas veces llamada podar).
- Añadir un subárbol (algunas veces llamada injertar).
cada nodo tiene cero o dos hijos.
- Encontrar la raíz de cualquier nodo.
Usos comunes de los árboles:
Árbol binario perfecto: Es un árbol binario lleno - Representación de datos jerárquicos.
en el que todas las hojas (vértices con cero hijos) - Como ayuda para realizar búsquedas en conjuntos de datos.
están a la misma profundidad (distancia desde la
raíz, también llamada altura).
MÉTODOS PARA ALMACENAR
ÁRBOLES BINARIOS DE BUSQUEDA ÁRBOLES BINARIOS
Es una estructura sobre la cual se pueden realizar eficientemente las
operaciones de búsqueda, inserción y eliminación.
Los árboles binarios pueden ser construidos a partir de lenguajes de programación de varias formas.
En un lenguaje con registros y referencias, los árboles binarios son construidos típicamente con una
estructura de nodos y punteros en la cual se almacenan datos, cada uno de estos nodos tiene una
referencia o puntero a un nodo izquierdo y a un nodo derecho denominados hijos.

4. EJEMPLO DE ÁRBOL BINARIO DE BÚSQUEDA
120
140
87
43
99 130
22
65
93 135
56
Observe que si en el árbol mostrado se sustituye el valor 140 del nodo por 160, 99 por 105 y 43 por 55; el árbol continúa siendo un árbol
binario de búsqueda. Ahora bien, si en dicho árbol se remplaza el valor 87 del nodo por 125, entonces el árbol deja de ser un árbol binario
de búsqueda puesto que viola el principio que dice que: “Todos los nodos del subárbol izquierdo del nodo T deben ser menores o iguales al
nodo T” (en este caso 125 no es menor a 120).
120
140
87
43
99 130
22
65
93 135
56
También es posible observar que si se efectúa un recorrido inorden sobre un árbol de búsqueda se obtendrá una clasificación de los nodos
en forma ascendente. El recorrido inorden del árbol de la figura anterior produce el siguiente resultado:
22-43-56-65-87-93-99-120-130-135-140

5. ÁRBOL BINARIO
INSERCIÓN EN UN ÁRBOL BINARIO DE
BÚSQUEDA BORRADO EN UN ÁRBOL BINARIO DE
BÚSQUEDA
La inserción es una operación que se puede
realizar eficientemente en un árbol binario de
búsqueda. Consiste en eliminar un nodo del árbol sin violar los
principios que definen justamente un árbol binario
de búsqueda.
PASOS QUE DEBEN REALIZARSE PARA INSERTAR UN ELEMENTO A UN ÁRBOL BINARIO DE
BÚSQUEDA
1.Debe compararse la clave a insertar con la raíz del árbol. Si es mayor, debe avanzarse hacia el subárbol derecho.
Si es menor, debe avanzarse hacia el subárbol izquierdo.
2. Repetir sucesivamente el paso 1 hasta que se cumpla alguna de las siguientes condiciones:
2.1 El sub árbol derecho es igual a vacío, o el subárbol izquierdo es igual a vació; en cuyo caso se
procederá a insertar el elemento en el lugar que le corresponde.
2.2 La clave que quiere insertarse es igual a la raíz del árbol; en cuyo caso no se realiza la inserción.

6. PARA BORRAR UN ELEMENTO EN UN ARBOL SE DEBE DISTINGUIR LOS
SIGUIENTES CASOS
1. Si el elemento a borrar es terminal u hoja, simplemente se suprime.
2. Si el elemento a borrar tiene un solo descendiente, entonces tiene que
sustituirse por ese descendiente.
3. Si el elemento a borrar tiene los dos descendientes, entonces se tiene que sustituir por el nodo que se
encuentra más a la izquierda en el subárbol derecho o por el nodo que se encuentra más a la derecha en el
subárbol izquierdo.
ARBOLES BALANCEADOS
La búsqueda más eficiente se efectúa en un árbol binario balanceado.
Desafortunadamente, la función Inserta no asegura que el árbol permanezca
balanceado, el grado de balance depende del orden del orden en que son
insertados los nodos en el árbol.
Un árbol binario balanceado es un árbol binario en el cual las alturas de los dos sub árboles de todo
nodo difieren a lo sumo en 1.
El balance de un nodo en un árbol binario se define como la altura de su subárbol izquierdo menos la altura de su
subárbol derecho.
Los árboles balanceados también pueden usarse para una implantación eficiente de colas de prioridad.