Ecuaciones diferenciales

1. El problema de Dirichlet para un disco
Objetivo principal
Se investigaahoralatemperatura u(r,θ)
estacionariaenundiscode radio “a” con
caras aisladasy temperaturadadaenla
frontera.
Planteamiento del problema
∇2u =
∂2u
∂r2
+
1
r
∂u
∂r
+
1
r2
∂2u
∂θ2
= 0…(1)
Datos
𝑢( 𝑎, θ) = 𝑓(θ), 0 < θ < 2π
Tipo de problema
Ecuación de Laplace aplicado a temperaturas
estacionarias.
Marco teórico
Objetivos secundarios
a. Hallarla solución general de R(𝑟).
b. Hallarla solución general de Θ(𝜃).
Metodología
La solucióngeneralde 𝑢( 𝑟,θ) se resolverá
por el métodode variablesseparables.
Resolución del problema
𝑢( 𝑟, θ) = 𝑢( 𝑟,θ + 2π)…(2)
𝑟 < 𝑎
Por el métodode variablesseparables
𝑢( 𝑟, θ) = 𝑅(𝑟)Θ(𝜃)…(3)
(3) en(1)
𝑅′′Θ+
1
r
𝑅′Θ+
1
r2 𝑅Θ′′ = 0
r2 𝑅′′+r𝑅′
𝑅
= −
Θ′′
Θ
= 𝜆..(4)
Se deduce
r2 𝑅′′ + r𝑅′ + 𝜆𝑅 = 0…(5)
Θ′′ + 𝜆Θ = 0…(6)
En (6)
 𝜆 = 0
Θ′′ = 0
Θ = c1 + c2 𝜃…(7)
 𝜆 = −𝛼2 < 0
Θ′′ − 𝛼2Θ = 0
𝑠2 − 𝛼2 = 0
𝑠 = ±𝛼
Θ = c3cosh 𝛼𝜃 + c4 sinh 𝛼𝜃…(8)
 𝜆 = 𝛼2 > 0
Θ′′ + 𝛼2Θ = 0
𝑠2 + 𝛼2 = 0
s = ±𝛼𝑖
Θ = c5cos 𝛼𝜃 + c6 sin 𝛼𝜃…(9)

2. Aplicandolacondicióndadaen(2) en (7)
c1 + c2 𝜃 = c1 + c2(𝜃 + 2𝜋)
⇒ c2 = 0
Θ( 𝜃) = c1 ⇔ c1 ≠ 0
Aplicandolacondicióndadaen(2) en (8)
c3 cosh 𝛼𝜃 + c4 sinh 𝛼𝜃
= c3 cosh 𝛼(𝜃 + 2𝜋)
+ c4 sinh 𝛼(𝜃 + 2𝜋)
⇒ c3 = c4 = 0
Θ( 𝜃) = 0 Solucióntrivial
Aplicandolacondicióndadaen(2) en (9)
c5 cos 𝛼𝜃 + c6 sin 𝛼𝜃
= c5 cos 𝛼(𝜃 + 2𝜋)
+ c6 sin 𝛼(𝜃 + 2𝜋)
⇒ 𝛼 = 𝑛, 𝑛 = 1,2,3,…
Θ 𝑛( 𝜃) = c5cos 𝑛𝜃 + c6 sin 𝑛𝜃
En (5)
 𝜆 = 0
r2 𝑅′′ + r𝑅′ = 0
r2s2 + r𝑠 = 0
r𝑠(𝑟𝑠 + 1) = 0
𝑠 =
−1
𝑟
𝑅( 𝑟) = c7 + c8 ln 𝑟…(10)
 𝜆 = −𝛼2 < 0
Solucióntrivial.
 𝜆 = 𝛼2 > 0
𝑟2 𝑅′′ + r𝑅′ + 𝛼2R = 0
𝛼 = 𝑛, 𝑛 = 1,2,3,…
𝑟2s2 + r𝑠 + 𝑛2 = 0
𝑅 𝑛( 𝑟) = c9 𝑟n + c10 𝑟−n…(11)
Ademásse requiere que 𝑢( 𝑟,θ) seacontinua
en(𝑟 = 0). Por consiguienteaplicandodicha
condiciónen(10) y (11).
De (10)
𝑅(0) = c7 + c8 ln0 …∄
∃ ⇔ c8 = 0
𝑅( 𝑟) = c7
De (11)
𝑅 𝑛(0) = c9(0)+ c10 (
1
0
) … ∄
∃ ⇔ c10 = 0
Resumiendo
𝜆 𝑅( 𝑟) Θ( 𝜃)
0 c7 c1
< 0 − 0
> 0 c9 𝑟n c5cos 𝑛𝜃 + c6 sin 𝑛𝜃
De (3)
𝑢0 = c7c1 = 𝐴0
𝑢 𝑛 = c9 𝑟n(c5cos 𝑛𝜃 + c6 sin 𝑛𝜃)
= 𝑟n(𝑎 𝑛 cos 𝑛𝜃
+ 𝑏 𝑛 sin 𝑛𝜃)𝑟n
𝑢( 𝑟,θ) = 𝑎0 + ∑ 𝑟n( 𝑎 𝑛 cos 𝑛𝜃
∞
𝑛=1
+ 𝑏 𝑛 sin 𝑛𝜃)
Aplicandolacondiciónde frontera
𝑢( 𝑎, θ) = 𝑓(θ), 0 < θ < 2π
𝑢( 𝑎, θ) = 𝑎0 + ∑ an( 𝑎 𝑛 cos 𝑛𝜃
∞
𝑛=1
+ 𝑏 𝑛 sin 𝑛𝜃)
𝑎0 =
2
2𝜋
∫ 𝑓(θ)
2𝜋
0
𝑑𝜃
an 𝑎 𝑛 =
1
2𝜋
∫ 𝑓(θ)
2𝜋
0
cos 𝑛𝜃 𝑑𝜃

3. an 𝑏 𝑛 =
1
2𝜋
∫ 𝑓(θ)
2𝜋
0
sin 𝑛𝜃 𝑑𝜃
Comprobación