Espacios vectoriales, álgebra lineal, espacios vectoriales

1. Ejercicios espacios Vectoriales
1. Determinarsi el subconjuntoHdel subespaciovectorial de V esun subespaciode V
V=M22 𝐻 = {𝐴𝜖𝑀22: 𝐴 = (
𝑎 𝑏
−𝑏 𝑐
)}
Solución
𝑥⃗ 𝜖𝐻, 𝑦⃗ 𝜖𝐻
𝑥⃗ + 𝑦⃗ = (
𝑎1 𝑏1
−𝑏1 𝑐1
) + (
𝑎2 𝑏2
−𝑏2 𝑐2
) = (
𝑎1 + 𝑎2 𝑏1 + 𝑏2
−𝑏1 − 𝑏2 𝑐1 + 𝑐2
) = (
𝑎1 + 𝑎2 𝑏1 + 𝑏2
−(𝑏1 + 𝑏2) 𝑐1 + 𝑐2
) 𝑥⃗ + 𝑦⃗ 𝜖𝐻
α 𝑥⃗⃗ = α( 𝑎 𝑏
−𝑏 𝑐
) = (
αa αb
α(−b) 𝑐
) = (
αa αb
−(αb) αc
) α 𝑥⃗⃗ 𝜖𝐻
Respuesta
∴ H es un subconjunto de V
2. Sea S el conjuntode todoslosvectoresde laforma 𝑣⃗(a,b,c) talesque 3a+2b-c=0 , pruebe que es
un espacioque esunsub espacio.Encuentre unabase Sy su dimensión
Solución
Seau⃗⃗ = (a1, b1,c1) y v⃗⃗ = (a2, b2,c2) H = {(a,b,c): 3a + 2b − c = 0} u⃗⃗⃗⃗+ v⃗⃗ = (a1 + a2,b1+b2,c1 + c2)
u⃗⃗ + v⃗⃗ = 3(a1 + a2) + 2(b1+b2) − (c1 + c2) = (3a1 + 2b1 − c1) + (3a2 + 2b2 − c2) = 0 + 0 = 0 ∴ u⃗⃗ + v⃗⃗ϵH
αv⃗⃗ = (αa1,αb1,αc1) αv⃗⃗= (3αa1 + 2αb1 − αc1) = α(3a1 + 2b1 − c1) = α0 = 0 ∴ v⃗⃗⃗ϵ H
∴ Es unsub espaciovectorial
v⃗⃗ = (
𝑎
𝑏
𝑐
) = (
𝑎
𝑏
3𝑎 + 𝑏
) = (
𝑎
0
3𝑎
) + (
0
𝑏
2𝑏
) = 𝑎 (
1
0
3
) = +𝑏 (
0
1
2
) 𝑆 = {(
1
0
3
), (
0
1
2
)} dim(s)=2
3. Exprese el PolinomioP(x)=-4x2
-7x-2comounacombinaciónlineal de P1(x)=x2
-3x+1
P2(x)=-2x2
+x-5 P3(x)=3x2
-5
𝑃1( 𝑥) = (
1
−3
1
) 𝑃2( 𝑥) = (
−2
1
−3
) 𝑃3(𝑥) = (
3
0
−5
) 𝑃( 𝑥) = 𝑎 (
1
−3
1
) + 𝑏 (
−2
1
−3
) + 𝑐 (
3
0
−5
) = (
−4
−7
−2
)
Solución
(
1 −2 3
−3 1 0
1 −5 −5
|
−4
−7
−2
) → (
1 −2 3
0 −5 9
0 −3 −8
|
−4
−19
2
) → (
1 −2 3
0 1 −9/5
0 3 −8
|
4
19/5
2
) → (
1 0 −3/5
0 1 −9/5
0 0 −67/5
|
18/5
19/5
67/5
) → (
1 0 −3/5
0 1 −9/5
0 0 1
|
−4
−19
2
) → (
1 0 0
0 1 0
0 0 1
|
3
2
−1
)
a=3 b=2 c=-1
Respuesta:
𝑃( 𝑥) = 3 (
1
−3
1
) + 2 (
−2
1
−3
) − 1 (
3
0
−5
) = (
−4
−7
−2
)

2. 4. En P3 escribael Polinomio2x3
-2x2
+5x-6entérminosde labase {1,1+x, x+x2
,x2
+x3
}
Solución
P1 = (
0
0
0
1
) P2 = (
0
0
1
1
) P3 = (
0
1
1
0
) P4 = (
1
1
0
0
) P(x) = (
+2
−2
+5
−6
) a (
0
0
0
1
) + b (
0
0
1
1
) + c (
0
1
1
0
) + d (
1
1
0
0
) = (
+2
−2
+5
−6
)
(
0 0 0 1
0 0 1 1
0
1
1
1
1
0
0
0
|
2
−3
5
−6
)
.
↔ (
1 1 0 0
0 0 1 1
0
0
1
0
1
0
0
1
|
−6
−3
5
2
) → (
1 1 0 0
0 1 1 0
0
0
0
0
1
0
1
1
|
−6
5
−3
2
) → (
1 0 −1 0
0 1 1 0
0
0
0
0
1
0
1
1
|
−11
5
−3
2
) → (
1 0 0 1
0 1 1 0
0
0
0
0
1
0
1
1
|
−14
5
−3
2
)
→ (
1 0 0 1
0 1 0 −1
0
0
0
0
1
0
1
1
|
−14
8
−3
2
) → (
1 0 0 0
0 1 0 0
0
0
0
0
1
0
1
1
|
−16
10
−3
2
) → (
1 0 0 0
0 1 0 0
0
0
0
0
1
0
0
1
|
−16
10
−5
2
) a=2, b=10c=-5 d=2
2x3
-2x2
+5x-6=-16(1)+10(x+1)-5(x-x2
)+2(x2
+x3
)
5. Sea A=[
1 0 2
0 0 1
]
Demostrarque [1,1,1] no pertenece al espaciode renglonesde A yque el renglón[2,0,3] si
pertenece adichoespacio
Solución
𝑎 (
1
0
2
) + 𝑏(
0
0
1
) = (
1
1
1
)
𝑎 = 1 𝑎 = 1
0𝑎 + 0𝑏 = 1 0 = 1
2𝑎 + 𝑏 = 1 2𝑎 + 𝑏 = 1
1 no es igual a 0 ∴ (1,1,1) no pertenece a A
𝑎 (
1
0
2
) + 𝑏(
0
0
1
) = (
2
0
3
)
𝑎 = 2 2(2) + 𝑏 = 3
2𝑎 + 𝑏 = 1 𝑏 = −1
2 (
1
0
2
) − 1 (
0
0
1
) = (
2
0
4
) + (
0
0
−1
) = (
2
0
3
) (2,0,3) si pertenece a A
6. Sea una matrizde Anxn y supóngase laecuaciónA𝑥⃗=0 tiene infinidadde solucionesparalas
matrices 𝑥⃗nx1 ¿Qué se puede deciracercadel rango de A?
Solución
(
𝑎11 𝑎12 …
⋮ ⋮ ⋱
𝑎 𝑛1 𝑎 𝑛2 …
𝑎1𝑛
⋮
𝑎 𝑛𝑛
)(
𝑎1
⋮
𝑎 𝑛
) = (
0
⋮
0
) (
𝑎11 𝑎12 …
⋮ ⋮ ⋱
0 0 …
𝑎1𝑛
⋮
0
)
Al tenerA infinitassolucionesdebe existirmínimounrenglóncon0’s
Respuesta:
Rango(A)<n o Rango(A)≤n-1 donde n=al númerode renglones

3. 7. En R2
supóngase que (𝑥⃗)B=(
2
−1
) donde B1={(
1
1
) ,(
2
3
)} B2={(
0
3
) ,(
5
−1
)}
Solución
(
0 5
3 −1
|
1 2
1 3
)
𝑅1 𝑅2
↔ (
3 −1
0 5
|
1 3
1 2
) → (
1 −1/3
0 5
|
1/3 1
1 2
) → (
1 −1/3
0 1
|
1/3 1
1/5 2/5
) → (
1 0
0 1
|
6/15 17/5
1/5 2/5
)
(
6/15 17/15
1/5 2/5
)(
2
−1
) = (
(
6
15
)(2) + (
17
15
)(−1)
(
1
5
) (2) + (
2
5
)(−1)
) = (
12
15
−
17
15
2
5
−
2
15
) = (−
1
3
0
)
8. Para que valoresde “α” sonlinealmente dependienteslosvectores(1,-2,3) (2,-1,4) (3, α ,4)
Solución
|
1 2 3
2 −1 α
3 4 4
| → |
1 2 3
0 −5 α − 6
0 −2 −5
| → |
1 2 3
0 −5 α − 6
0 0 −
2
5
α −
13
5
|
2α+13=0
Respuesta
α= −
13
2