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Entregable 1 calculo vectorial
- 1. UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DEMEXICO CAMPUS CUITLAHUAC CALCULO VECTORIAL ENTREGABLE 1 FECHA DE ENTREGA 7/06/2020 LUIS EDUARDO CORTES MIGUEL INSTRUCCIONES: A continuación, siga los puntos a seguir para resolver el entregable: • Según los casos que se presentan, determina la solución específica que se pide, incluyendo el procedimiento que respalde dicho resultado, según el caso. • No olvides incluir referencias, ya que es un requisito indispensable. • Utiliza la herramienta de WORD para incluir las ecuaciones respectivas para cada caso SECCIÓN TEÓRICA 1. - ¿Qué significa que una función (𝑥, 𝑦) sea diferenciable? Explique su respuesta. Significa que la función g en un punto (x,y) tiene derivada, es decir, la derivada en ese punto existe y es diferente de cero; si estas condiciones se cumplen la función es diferenciable. Función diferenciable es una generalización para el cálculo en varias variables del concepto más simple de función derivable. En esencia una función diferenciable admite derivadas en cualquier dirección y puede aproximarse al menos hasta primer orden por una aplicación afín. La formulación rigurosa de esta idea intuitiva sin embargo es algo más complicada y requiere de conocimientos de álgebra lineal. Debe notarse que aunque una función de varias variables admita derivadas parciales según cada una de sus variables no necesariamente eso implica que sea una función diferenciable. De función diferenciable 𝑓 Es diferenciable en ℝ2 por ser una función con derivadas parciales continuas en ℝ2 (condición suficiente para la diferenciabilidad). 𝑓( 𝑥, 𝑦) = 𝑒 𝑥+𝑦 2. - ¿Cuál es la diferencia entre los extremos locales y los extremos absolutos? Justifique su respuesta. Una función 𝑓 definida en un conjunto 𝐷 tiene un m´aximo local (o relativo) en un punto 𝑐 si existe un 𝛿 > 0 tal que 𝑓 (𝑐) ≥ 𝑓 (𝑥)∀𝑥 ∈ (𝑐 − 𝛿, 𝑐 + 𝛿) ∩ 𝐷.
- 2. UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DEMEXICO CAMPUS CUITLAHUAC CALCULO VECTORIAL ENTREGABLE 1 FECHA DE ENTREGA 7/06/2020 LUIS EDUARDO CORTES MIGUEL Una función 𝑓 definida en un conjunto 𝐷 tiene un mínimo local (o relativo) en un punto c si existe un 𝛿 > 0 tal que 𝑓 (𝑐) ≤ 𝑓 (𝑥)∀𝑥 ∈ (𝑐 − 𝛿, 𝑐 + 𝛿) ∩ 𝐷 Si 𝑓 tiene un extremo local en un punto interior c y 𝑓′(𝑐) existe, entonces 𝑓’(𝑐) = 0 Un conjunto 𝐴 ⊂ 𝑅2 es convexo si para cualesquiera dos puntos de 𝐴, el segmento que los une está dentro de 𝐴. Extremos relativos o locales Sea , 𝑓: 𝐴 ⊂ ℝ 𝑛 → ℝ, sea 𝑥0y sea 𝑃 = 𝑥0; 𝑓(𝑥0) un punto perteneciente a la gráfica de la función. Se dice que 𝑃 es un máximo local de 𝑓 si existe un entorno reducido de centro 𝑥0, en símbolos 𝐸′(𝑥0), donde para todo elemento 𝑥 de 𝐸′(𝑥0) ⊂ 𝐴 se cumple 𝑓(𝑥) ≤ 𝑓(𝑥0). Para que esta propiedad posea sentido estricto debe cumplirse 𝑓(𝑥) < 𝑓(𝑥0). Análogamente se dice que el punto 𝑃 es un mínimo local de 𝑓 si existe un entorno reducido de centro 𝑥0, en símbolos 𝐸’(𝑥0), donde para todo elemento 𝑥 de 𝐸’(𝑥0), se cumple 𝑓(𝑥) ≥ 𝑓(𝑥0). Extremos absolutos o globales Sea 𝑓: 𝐴 ⊂ ℝ 𝑛 ↦ ℝ sea 𝑥0 ∈ 𝐴 y sea 𝑃 = (𝑥0; 𝑓(𝑥0)) un punto perteneciente a la gráfica de la función. Se dice que 𝑃 es un máximo absoluto de 𝑓 si, para todo 𝑥 distinto de 𝑥0 perteneciente al subconjunto A, su imagen es menor o igual que la de 𝑥0 Esto es: 𝑃(𝑥0, 𝑓(𝑥0) Máximo absoluto de 𝑓 ⇔ ∀𝑥 ≠ 𝑥0, 𝑥 ∈ 𝐴, 𝑓(𝑥0) ≥ 𝑓(𝑥) Análogamente, 𝑃 es un mínimo absoluto de 𝑓 si, para todo 𝑥 distinto de 𝑥0 perteneciente al subconjunto 𝐴, su imagen es mayor o igual que la de𝑥0 Esto es: 𝑃(𝑥0, 𝑓(𝑥0) Mínimo absoluto de 𝑓 ⇔ ∀𝑥 ≠ 𝑥0, 𝑥 ∈ 𝐴, 𝑓(𝑥0) ≤ 𝑓(𝑥)
- 3. UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DEMEXICO CAMPUS CUITLAHUAC CALCULO VECTORIAL ENTREGABLE 1 FECHA DE ENTREGA 7/06/2020 LUIS EDUARDO CORTES MIGUEL SECCIÓN PRÁCTICA 3. Determine si el límite de las siguientes funciones existe o no existe. Explique su respuesta. a) 𝐥𝐢𝐦 (𝒙,𝒚)→(𝟎,𝟎) 𝒙 𝟓−𝟓𝒚 𝟓 𝒙 𝟒+𝟗𝒚 𝟏𝟐 = lim (𝑥,𝑦)→(0,0) (0)5−5(0)5 (0)4+9(0)12 = (0)5−0 (0)4+0 = 0−0 0+0 = 0 0 Nos encontramos con una indeterminación. Para obtener el valor del límite tendríamos que buscar la forma de simplificarlo por medio de factorización, pero en este caso la expresión no es factorizable con números racionales. Por lo tanto el limite de la función no existe. b) 𝐥𝐢𝐦 (𝒙,𝒚)→(𝟎,𝟎) 𝑰𝒏 𝟏𝟎+𝒚 𝟒 𝒙 𝟒+𝟒 = 𝐼𝑛 10+(0)4 (0)4+4 = 𝐼𝑛 10 (0)4+4 = 𝐼𝑛 10 4 = 𝐼𝑛 5 2 = 0.91629 Un límite es determinado cuando al evaluar la función en el valor al cual tiende "x" este límite existe o es un número real como lo mostramos en nuestra expresión. 4. Dada la siguiente función 𝑠(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 1 √𝑥2+𝑦2+𝑧2 verifique que satisface la ecuación de Laplace en sus tres dimensiones. ∂2 s ∂x2 + ∂2 s ∂y2 + ∂2 s ∂z2 = 0 (𝜕²𝑠) (∂x²) = 𝜕 𝑑𝑥 = 𝜕 𝑑𝑥 1 √(x²+y²+z²)) = 𝜕 𝑑𝑥 −0.5 /√(x² + y² + z²)³) 2𝑥 = 𝜕 𝑑𝑥 −0.75 /√(x² + y² + z²)5) 4𝑥2 = 𝟑𝒙² √(𝐱² + 𝐲² + 𝐳²)⁵
- 4. UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DEMEXICO CAMPUS CUITLAHUAC CALCULO VECTORIAL ENTREGABLE 1 FECHA DE ENTREGA 7/06/2020 LUIS EDUARDO CORTES MIGUEL (𝜕²𝑠) (∂y²) = 𝜕 𝑑𝑦 = 𝜕 𝑑𝑦 1 √(x²+y²+z²)) = 𝜕 𝑑𝑦 −0.5 /√(x² + y² + z²)³) 2𝑦 = 𝜕 𝑑𝑦 −0.75 /√(x² + y² + z²)5) 4𝑦2 = 𝟑𝒚² √(𝐱² + 𝐲² + 𝐳²)⁵ (𝜕²𝑠) (∂z²) = 𝜕 𝑑𝑧 = 𝜕 𝑑𝑧 1 √(x²+y²+z²)) = 𝜕 𝑑𝑧 −0.5 /√(x² + y² + z²)³) 2𝑧 = 𝜕 𝑑𝑧 −0.75 /√(x² + y² + z²)5) 4𝑧2 = 3𝑧² √(x² + y² + z²)⁵ 𝟑𝒙²/√(𝒙² + 𝒚² + 𝒛²)⁵ + 𝟑𝒚²/√(𝒙² + 𝒚² + 𝒛²)⁵ + 𝟑𝒛²/√(𝒙² + 𝒚² + 𝒛²)⁵ = 𝟎 R= No satisface la ecuación de Laplace 5. Mediante el método de la regla de la cadena determine 𝜕𝑧 ∂n y 𝜕𝑧 ∂m para las siguientes expresiones matemáticas Por medio del método de la regla de la cadena se obtiene: a) 𝑧 = 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑠𝑒𝑛 𝛼, 𝜃 = 𝑛𝑚4 , 𝛼 = 𝑛4 𝑚 𝑧 = 𝐶𝑜𝑠𝜃 𝑆𝑒𝑛𝛼 𝜃 = 𝑛𝑚4 ; 𝛼 = 𝑛4 𝑚 La regla de la cadena; 𝜕𝑧 𝜕𝑛 = 𝜕𝑧 𝜕𝜃 ∙ 𝜕𝜃 𝜕𝑛 + 𝜕𝑧 𝜕𝛼 ∙ 𝜕𝛼 𝜕𝑛 𝜕𝑧 𝜕𝜃 = −𝑆𝑒𝑛𝜃𝑆𝑒𝑛𝛼 = −𝑆𝑒𝑛( 𝑛𝑚4) 𝑆𝑒𝑛 (𝑛4 𝑚) 𝜕𝜃 𝜕𝑛 = −𝑚4 𝐶𝑜𝑠( 𝑛𝑚4) 𝑆𝑒𝑛( 𝑛4 𝑚) − 4𝑛3 𝑚𝐶𝑜𝑠( 𝑛4 𝑚) 𝑆𝑒𝑛(𝑛𝑚4 )
- 5. UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DEMEXICO CAMPUS CUITLAHUAC CALCULO VECTORIAL ENTREGABLE 1 FECHA DE ENTREGA 7/06/2020 LUIS EDUARDO CORTES MIGUEL 𝜕𝑧 𝜕𝛼 = cos 𝜃𝑐𝑜𝑠 𝛼 = 𝐶𝑜𝑠( 𝑛𝑚4) 𝐶𝑜𝑠(𝑛4 𝑚) 𝜕𝛼 𝜕𝑛 = −𝑚4 𝑆𝑒𝑛( 𝑛𝑚4) 𝐶𝑜𝑠( 𝑛4 𝑚) − 4𝑛3 𝑚 𝑆𝑒𝑛( 𝑛4 𝑚) 𝐶𝑜𝑠(𝑛𝑚3 ) 𝜕𝑧 𝜕𝑛 = (−𝑆𝑒𝑛(𝑛𝑚4) 𝑆𝑒𝑛 ( 𝑛4 𝑚))( −𝑚4 𝐶𝑜𝑠( 𝑛𝑚4) 𝑆𝑒𝑛( 𝑛4 𝑚) − 4𝑛3 𝑚𝐶𝑜𝑠( 𝑛4 𝑚) 𝑆𝑒𝑛( 𝑛𝑚4)) + 𝐶𝑜𝑠( 𝑛𝑚4) 𝐶𝑜𝑠(𝑛4 𝑚)( −𝑚4 𝑆𝑒𝑛( 𝑛𝑚4) 𝐶𝑜𝑠( 𝑛4 𝑚) − 4𝑛3 𝑚 𝑆𝑒𝑛( 𝑛4 𝑚) 𝐶𝑜𝑠( 𝑛𝑚3)) La regla de la cadena; 𝜕𝑧 𝜕𝑛 = 𝜕𝑧 𝜕𝜃 ∙ 𝜕𝜃 𝜕𝑛 + 𝜕𝑧 𝜕𝛼 ∙ 𝜕𝛼 𝜕𝑛 𝜕𝑧 𝜕𝜃 = −𝑆𝑒𝑛𝜃𝑆𝑒𝑛𝛼 = −𝑆𝑒𝑛( 𝑛𝑚4) 𝑆𝑒𝑛 (𝑛4 𝑚) 𝜕𝜃 𝜕𝑚 = −4𝑚3 𝑛𝐶𝑜𝑠( 𝑛𝑚4) 𝑆𝑒𝑛( 𝑛4 𝑚) − 𝑛4 𝐶𝑜𝑠( 𝑛4 𝑚) 𝑆𝑒𝑛(𝑛𝑚4 ) 𝜕𝑧 𝜕𝛼 = cos 𝜃𝑐𝑜𝑠 𝛼 = 𝐶𝑜𝑠( 𝑛𝑚4) 𝐶𝑜𝑠(𝑛4 𝑚) 𝜕𝛼 𝜕𝑛 = −4𝑚3 𝑛𝑆𝑒𝑛( 𝑛𝑚4) 𝐶𝑜𝑠( 𝑛4 𝑚) − 𝑛4 𝑆𝑒𝑛( 𝑛4 𝑚) 𝐶𝑜𝑠(𝑛𝑚3 ) 𝜕𝑧 𝜕𝑛 = (−𝑆𝑒𝑛(𝑛𝑚4) 𝑆𝑒𝑛 ( 𝑛4 𝑚))(−4𝑚3 𝑛𝐶𝑜𝑠( 𝑛𝑚4) 𝑆𝑒𝑛( 𝑛4 𝑚) − 𝑛4 𝐶𝑜𝑠( 𝑛4 𝑚) 𝑆𝑒𝑛( 𝑛𝑚4)) + (𝐶𝑜𝑠( 𝑛𝑚4) 𝐶𝑜𝑠( 𝑛4 𝑚))( −4𝑚3 𝑛𝑆𝑒𝑛( 𝑛𝑚4) 𝐶𝑜𝑠( 𝑛4 𝑚) − 𝑛4 𝑆𝑒𝑛( 𝑛4 𝑚) 𝐶𝑜𝑠( 𝑛𝑚3)) b) 𝑧 = 𝑒 𝑟 cos 𝛿 , 𝑟 = 𝑛𝑚, 𝛿 = √𝑛3 + 𝑚3 𝑟 = 𝑛𝑚 𝛿 = √ 𝑛3 + 𝑚3 𝑧 = 𝑒 𝑟 cos 𝛿 𝝏𝒛 𝝏𝒏 = 𝝏𝒛 𝝏𝒓 ∙ 𝝏𝒓 𝝏𝒏 + 𝝏𝒛 𝝏𝜹 ∙ 𝝏𝜹 𝝏𝒏 𝜕𝑧 𝜕𝑟 = 𝑒 𝑟 cos 𝛿 = 𝑒 𝑛𝑚 𝐶𝑜𝑠√ 𝑛3 + 𝑚3 𝜕𝑟 𝜕𝑛 = 𝑚𝑒 𝑛𝑚 𝐶𝑜𝑠√ 𝑛3 + 𝑚3 − (𝑛𝑠𝑒𝑛 √𝑛3 + 𝑚3 √𝑛3 + 𝑚3 ) 𝑒 𝑛𝑚 𝜕𝑧 𝜕𝛿 = −𝑒 𝑟 sen 𝛿 = −𝑒 𝑛𝑚 𝑆𝑒𝑛√ 𝑛3 + 𝑚3 𝜕𝛿 𝜕𝑛 = −𝑚𝑒 𝑛𝑚 𝑆𝑒𝑛√ 𝑛3 + 𝑚3 − (𝑛𝐶𝑜𝑠 √𝑛3 + 𝑚3 √𝑛3 + 𝑚3 ) 𝑒 𝑛𝑚
- 6. UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DEMEXICO CAMPUS CUITLAHUAC CALCULO VECTORIAL ENTREGABLE 1 FECHA DE ENTREGA 7/06/2020 LUIS EDUARDO CORTES MIGUEL 𝝏𝒛 𝝏𝒏 = (𝑒 𝑛𝑚 𝐶𝑜𝑠√𝑛3 + 𝑚3) ( 𝑚𝑒 𝑛𝑚 𝐶𝑜𝑠√𝑛3 + 𝑚3 − (𝑛𝑠𝑒𝑛 √𝑛3+𝑚3 √𝑛3+𝑚3 ) 𝑒 𝑛𝑚 ) + (−𝑒 𝑟 sen 𝛿 = −𝑒 𝑛𝑚 𝑆𝑒𝑛√𝑛3 + 𝑚3)(−𝑚𝑒 𝑛𝑚 𝑆𝑒𝑛√𝑛3 + 𝑚3 − (𝑛𝐶𝑜𝑠 √𝑛3+𝑚3 √𝑛3+𝑚3 ) 𝑒 𝑛𝑚 ) 𝝏𝒛 𝝏𝒎 = 𝝏𝒛 𝝏𝒓 ∙ 𝝏𝒓 𝝏𝒎 + 𝝏𝒛 𝝏𝜹 ∙ 𝝏𝜹 𝝏𝒎 𝜕𝑧 𝜕𝑟 = 𝑒 𝑟 cos 𝛿 = 𝑒 𝑛𝑚 𝐶𝑜𝑠√ 𝑛3 + 𝑚3 𝜕𝑟 𝜕𝑚 = 𝑛𝑒 𝑛𝑚 𝐶𝑜𝑠√ 𝑛3 + 𝑚3 − (𝑚𝑠𝑒𝑛 √𝑛3 + 𝑚3 √𝑛3 + 𝑚3 ) 𝑒 𝑛𝑚 𝜕𝑧 𝜕𝛿 = −𝑒 𝑟 sen 𝛿 = −𝑒 𝑛𝑚 𝑆𝑒𝑛√ 𝑛3 + 𝑚3 𝜕𝛿 𝜕𝑚 = −𝑛𝑒 𝑛𝑚 𝑆𝑒𝑛√ 𝑛3 + 𝑚3 − (𝑚𝐶𝑜𝑠 √𝑛3 + 𝑚3 √𝑛3 + 𝑚3 ) 𝑒 𝑛𝑚 𝝏𝒛 𝝏𝒏 = (𝑒 𝑛𝑚 𝐶𝑜𝑠√ 𝑛3 + 𝑚3) (𝑛𝑒 𝑛𝑚 𝐶𝑜𝑠√ 𝑛3 + 𝑚3 − (𝑚𝑠𝑒𝑛 √𝑛3 + 𝑚3 √𝑛3 + 𝑚3 ) 𝑒 𝑛𝑚 ) + (−𝑒 𝑟 sen 𝛿 = −𝑒 𝑛𝑚 𝑆𝑒𝑛√ 𝑛3 + 𝑚3)(−𝑛𝑒 𝑛𝑚 𝑆𝑒𝑛√ 𝑛3 + 𝑚3 − (𝑚𝐶𝑜𝑠 √𝑛3 + 𝑚3 √𝑛3 + 𝑚3 ) 𝑒 𝑛𝑚 ) Referencias https://www.youtube.com/watch?v=8kEz2DSH9BA https://es.khanacademy.org/math/differential-equations/laplace-transform/laplace-transform- tutorial/v/laplace-transform-1 https://clubdematematicasnewton.blogspot.com/2014/03/ejercicios-de-limites-determinados-e.html