Comunicaciones analógicas y digitales

3. CAPÍTULO 1
INTRODUCCIÓN
“Para entender una ciencia es necesario conocer su historia”
 Augusto Comte (17981857)
1.1 Reseña Histórica
Con esta cita de Auguste Comte en mente, comenzamos este estudio introductorio de los sistemas de
comunicación con un breve recuento histórico de esta disciplina que toca nuestras vidas diarias de una u otra
forma. Cada subsección en esta sección se enfoca en algunos eventos importantes y relacionados en la evolución
histórica de la comunicación.
Telégrafo
El telégrafo fue perfeccionado por Samuel Morse, un pintor. Con las palabras “Qué ha forjado Dios”,
transmitidas por el telégrafo eléctrico de Morse entre Washington y Baltimore (Estados Unidos), en 1844, se dio
inicio a un medio completamente revolucionario de transmisión a larga distancia en tiempo real. El telégrafo,
adaptado idealmente para tecleo manual, es el precursor de las comunicaciones digitales. Específicamente, el
código Morse es un código de longitud variable que usa un alfabeto de cuatro símbolos: un punto, una raya, un
espacio entre letras y un espacio entre palabras; una secuencia corta representa letras frecuentes, en tanto que
secuencias largas representas letras poco frecuentes.
Radio
En 1864, James Clerk Maxwell formuló la teoría electromagnética de la luz y predijo la existencia de ondas de
radio; el conjunto subyacente de ecuaciones lleva su nombre. La existencia de ondas de radio fue confirmada
experimentalmente por Heinrich Hertz en 1887. En 1894, Oliver Lodge demostró la comunicación inalámbrica en
una distancia relativamente corta (150 yardas). Entonces, el 12 de diciembre de 1901, Guglielmo Marconi recibió
una señal de radio en Signal Hill en Terranova; la señal de radio se había originado en Cornwall, Inglaterra, a 2700
kilómetros a través del Atlántico. De este modo quedó abierto el camino hacia una tremenda ampliación del
alcance de las comunicaciones. En 1906, Reginald Fessenden, un académico autodidacta, hizo historia al
producir la primera transmisión radial.
En 1928, Edwin H. Armstrong inventó el receptor de radio superheterodino; hasta el día de hoy, casi todos los
radios receptores son de este tipo. En 1933, Armstrong demostró otro concepto revolucionario – a saber, un
esquema de modulación que él denominó modulación de frecuencia (FM). El artículo de Armstrong presentando el
caso para la radio FM se publicó en 1936.
Teléfono
En 1875, el teléfono fue inventado por Alexander Graham Bell, un maestro de sordos. El teléfono convirtió en
una realidad práctica la transmisión en tiempo real de la voz mediante codificación eléctrica y la réplica del
sonido. La primera versión del teléfono fue cruda y débil, permitiendo que las personas hablaran a distancias
cortas solamente. Cuando el servicio telefónico tenía sólo unos pocos años de edad, se desarrolló el interés en
automatizarlo. Notablemente, en 1897, A. B. Strowger, un empresario de pompas fúnebres de Kansas City,
Missouri, Estados Unidos, diseñó el conmutador paso a paso que lleva su nombre. De todos los conmutadores
electromecánicos diseñados en esos años, el conmutador de Strowger fue el más popular y el de mayor uso.

4. 2
Electrónica
En 1904, John Ambrose Fleming inventó el diodo de tubo de vacío, el cual preparó el camino para la invención del
triodo de tubo de vacío por Lee de Forest en 1906. El descubrimiento del triodo fue instrumental en el desarrollo de
la telefonía intercontinental en 1913 e indicó el amanecer de las comunicaciones de voz inalámbricas. En efecto,
hasta la invención y perfección del transistor, el triodo fue el dispositivo supremo para el diseño de los
amplificadores electrónicos.
El transistor fue inventado en 1948 por Walter H. Brattain, John Bardeen y Willian Shockley en los Laboratorios
Bell. El primer circuito de silicio integrado (IC) fue producido por Robert Noyce en 1958. Estas importantes
innovaciones en los dispositivos de estado sólido y en circuitos integrados condujeron al desarrollo de circuitos
integrados a escala muy grande (VLSI) y de microprocesadores de un solo chip, y con ello se cambió para siempre la
naturaleza del procesamiento de señales y la industria de las telecomunicaciones.
Televisión
El primer sistema de televisión todo electrónico fue demostrado por Philo T. Farnsworth en 1928 y después por
Vladimir K. Zworykin en 1929. Para 1939, la British Broadcasting Corporation (BBC) ya estaba transmitiendo
televisión en una base comercial.
Comunicaciones Digitales
En 1928, Harry Nyquist publicó un trabajo clásico sobre la teoría de la transmisión de señales en telegrafía. En
particular, Nyquist desarrolló criterios para la recepción correcta de señales telegráficas transmitidas por canales
dispersivos en la ausencia de ruido. Mucho de los primeros trabajos de Nyquist se aplicó posteriormente a la
transmisión de datos digitales por canales dispersivos.
En 1927, Alex Reeves inventó la modulación codificada de pulsos (PCM) para la codificación digital de señales de
voz. La técnica fue desarrollada durante la segunda guerra mundial para permitir la encriptación de señales de
voz; en efecto, los militares norteamericanos utilizaron un sistema completo de 24 canales en el campo de batalla
al final de la guerra. Sin embargo, la OCM tendría que esperar hasta el descubrimiento del transistor y el
desarrollo posterior de la integración de circuitos a gran escala para su explotación comercial.
La invención del transistor en 1948 aceleró la aplicación de la electrónica a la conmutación y a las
comunicaciones digitales. La motivación fue mejorar la confiabilidad, aumentar la capacidad y reducir los
costos. La primera llamada a través de un sistema con almacenamiento de programas fue realizada en marzo de
1958 en los Laboratorios Bell, y el primer servicio telefónico comercial con conmutación digital comenzó en
Morris. Illinois, en junio de 1960. El primer sistema de portadora T-1 de transmisión fue instalado en 1962 por los
laboratorios Bell.
En 1943, D. O. North diseñó el filtro adaptativo para la detección óptima de una señal conocida que contenía
ruido blanco aditivo. En 1946 se obtuvo independientemente un resultado similar por J. H. Van Vleck y D.
Middleton, quienes acuñaron el término filtro adaptativo.
En 1948, Claude Shannon colocó las fundaciones teóricas de las comunicaciones digitales en un trabajo titulado
“A Mathematical Theory of Communication”. El trabajo de fue recibido con entusiasmo y aclamado de inmediato.
Fue quizás esta recepción lo que llevó a Shannon a enmendar el título de su trabajo y titularlo “The Mathematical
Theory of Communication”, cuando fue reimpreso en un libro que tenía de coautor a Warren Weaver. Es
importante observar que antes de la publicación del trabajo clásico de Shannon en 1948, se creía que si se
incrementaba la tasa de transmisión de información por un canal, se aumentaría la probabilidad de error. La
comunidad de la teoría de la comunicación fue sorprendida cuando Shannon demostró que esto no era cierto,
siempre y cuando la tasa de transmisión estuviese por debajo de la capacidad del canal.
Redes de Computadoras
Durante el periodo de 1943 a 1946, se construyó la primera computadora digital, llamada la ENIAC, en Moore
School de Ingeniería Eléctrica de la Universidad de Pennsylvania, bajo la dirección de J. Presper Eckert, Jr., y
John W. Mauchly. Sin embargo, Las contribuciones de John von Neunmann estuvieron entre las primeras y más
fundamentales a la teoría, diseño y aplicación de las computadoras digitales, las cuales se iniciaron con el primer

5. 3
esbozo de un informe escrito en 1945. Las computadoras y terminales comenzaron a comunicarse entre sí a
largas distancias a principios de los años 1950. Los enlaces utilizados fueron inicialmente canales telefónicos de
grado de voz operando a baja velocidad (300 a 1200 b/s). Diferentes factores han contribuido a un crecimiento
dramático en las tasas de transmisión de datos; notables entre ellos son la idea de compensación adaptativa,
iniciada por Robert Lucky en 1965, y las técnicas eficientes de modulación iniciadas por G. Ungerboeck en 1982.
Otra idea de amplio uso en las comunicaciones por computadoras es la de requisición automática de repetición
(ARQ). El método ARQ fue diseñado originalmente por H. C. van Dauren durante la segunda guerra mundial y
publicado en 1946. Se usó para mejorar la telefonía por radio para la transmisión de telex a largas distancias.
De 1950 a 1970 se hicieron diferentes estudios sobre redes de computadoras. Sin embargo, el más significativo de
ellos en términos del impacto sobre las comunicaciones por computadoras fue el Advanced Research Proyects
Agency Network (ARPANET), puesto en servicio por primera vez en 1971. El desarrollo de ARPANET fue
financiado por la Agencias de Proyectos Avanzados de Investigación del Departamento de Defensa de los
Estados Unidos. El trabajo pionero sobre conmutación de paquetes fue realizado por ARPANET. En 1985,
ARPANET cambio de nombre a Internet. El punto decisivo en la evolución de la Internet ocurrió en 1990 cuando
Tim Berners-Lee propuso una interfaz de software de hipermedio a la Internet, que él llamó World Wide Web. En
el lapso de aproximadamente sólo dos años, la Web pasó de ser no existente a tener popularidad mundial,
culminando en su comercialización en 1994. El crecimiento explosivo de la Internet se puede explicar ofreciendo
dos razones:
 Antes de que explotara la existencia de la Web en, ya los ingredientes para su creación estaban en su lugar.
En particular, gracias a la VLSI, las computadoras personales (PC) ya se habían vuelto ubicuas en hogares
en todo el mundo y en forma creciente estaban siendo equipadas con modems para su interconexión con el
mundo externo.
 Por aproximadamente dos décadas, la Internet ha crecido en forma estable (aunque dentro de una
comunidad de usuarios confinada), logrando un umbral crítico de correo electrónico y de transferencia de
archivos.
 Se han adoptado estándares para la descripción y transferencia de documentos, lenguaje de hipertextos
(HTML) y protocolo de transferencia de hipertextos (HTTP).
Por tanto, todo lo que se requería para crear la Web ya estaba en su sitio excepto por dos ingredientes críticos:
una interfaz de usuario sencilla y un brillante concepto de servicio.
Comunicaciones Satelitales
En 1955, John R. Pierce propuso el uso de satélites para comunicaciones. Sin embargo, esta proposición fue
precedida por un artículo anterior de Arthur C. Clark publicado en 1945, que también proponía la idea de usar
un satélite en órbita terrestre como un punto de relevo para la comunicación entre dos estaciones terrenas. En
1957, la Unión Soviética lanzó el Sputnik I, el cual transmitió señales de telemetría por 21 días. Esto fue seguido
poco después por el lanzamiento del Explorer I por los Estados Unidos en 1958, el cual transmitió señales de
telemetría por aproximadamente cinco meses. Un paso experimental importante en la tecnología de
comunicación satelital se tomó con el lanzamiento del Telstar I desde Cabo Cañaveral el 10 de julio de 1962. El
satélite Telstar fue construido por los Laboratorios Bell, que habían adquirido un conocimiento considerable
desde el trabajo pionero de Pierce. El satélite fue capaz de retransmitir programas de TV a través del Atlántico;
esto fue posible sólo a través del uso de receptores maser y grandes antenas.
Comunicaciones Ópticas
El uso de medios ópticos (por ejemplo, señales de humo y fuego) para la transmisión de información se conoce
desde tiempos prehistóricos. Sin embargo, no se hizo ningún avance importante en las comunicaciones ópticas
hasta 1966, cuando K. C. Kao y G. A. Hockham de los Laboratorios Standard Telephone, Reino Unido,
propusieron el uso de una fibra de vidrio revestida como una guía de ondas dieléctrica. El laser (un acrónimo
para el nombre en inglés Light Amplification by Stimulated Emisión of Radiation) ya había sido inventado y
desarrollado en 1959 y 1960. Kao y Hockman señalaron que (1) la atenuación en una fibra óptica se debía a
impurezas en el vidrio, y (2) la pérdida intrínseca, determinada por la dispersión de Rayleigh, era muy baja.
Efectivamente, predijeron que era posible lograr una pérdida de 20 dB/km. Esta extraordinaria predicción,

6. 4
hecha en una época cuando la pérdida de potencia en una fibra de vidrio era de aproximadamente 1000 dB/km,
se demostró mucho después. Actualmente, se logran pérdidas de transmisión tan bajas como 0.1 dB/km.
Los avances espectaculares en microelectrónica, computadoras digitales y sistemas de ondas luminosas de que
hemos sido testigos hasta el presente, y que continuarán en el futuro, son todos responsables por los cambios
dramáticos en el ámbito de las telecomunicaciones. Muchos de estos cambios ya han ocurrido, y más cambios
ocurrirán con el tiempo.
1.2 Aplicaciones
La reseña histórica de la Sección 1.1 toca muchas de las aplicaciones de los sistemas de comunicación, algunas de
las cuales son ejemplificadas por el telégrafo que vino y se fue, en tanto que otras ejemplificadas por la Internet,
son de origen reciente. En lo que sigue, nos dedicaremos a la radio, a redes de comunicación ilustradas por el
teléfono y la Internet, las cuales dominan los medios por los que nos comunicamos en una de dos formas básicas
o en ambas, como se resume aquí:
 Radiodifusión, la cual involucra el uso de un único transmisor poderoso y numerosos receptores, cuya
construcción es de relativamente bajo costo. En esta clase de sistemas de comunicación, las señales
portadoras de información fluyen sólo en una dirección, desde el transmisor hacia cada uno de los
receptores en el campo.
 Comunicaciones punto a punto, en la cual el proceso de comunicación ocurre en un enlace entre un solo
transmisor y un solo receptor. En esta segunda clase de sistemas de comunicación, usualmente se tiene un
flujo bidireccional de señales portadoras de información, lo que, en efecto, requiere el uso de un transmisor
y un receptor (es decir, un transceptor) en cada extremo del enlace.
El diagrama de bloques de la Fig. 1.1 ilustra la composición básica de un sistema de comunicación. El
transmisor, en alguna ubicación en el espacio, convierte la señal del mensaje producida por una fuente de
información en una forma adecuada para la transmisión por un canal. El canal, a su vez, transporta la señal del
mensaje y la entrega al receptor en alguna otra ubicación en el espacio. Sin embargo, en el curso de la
transmisión por el canal, la señal es distorsionada debido a imperfecciones del canal. Además, el ruido y señales
interferentes (que se originan en otras fuentes) se le añaden a la salida del canal, con el resultado de que la señal
recibida es una versión corrompida de la señal transmitida. El receptor tiene la tarea de operar sobre la señal
recibida para producir un estimado de la señal de mensaje original para el usuario de la información. Aquí
hablamos de un “estimado” debido a la inevitable desviación, no importa lo pequeña que ella sea, de la salida
del receptor comparada con la entrada al transmisor, donde la desviación se atribuye a imperfecciones en el
canal, al ruido y a la interferencia.
Sistema de Comunicación
Fuente de
información
Transmisor Receptor
Canal
Usuario de la
información
Señal
recibida
Señal
transmitida
Señal portadora
de información
(mensaje
Estimado de
la señal del
mensaje
FIGURA 1.1 Elementos de un sistema de comunicación.
 RADIO
Hablando en un sentido genérico, la radio encarna los medios para la radio difusión y también para las
comunicaciones punto a punto, dependiendo de cómo se use.
La radio AM y la FM son conocidas por todos nosotros. Ellas dos se construyen en una forma integrada dentro
de una sola unidad y las encontramos en toda vivienda e instaladas en todo automóvil. A través de la radio

7. 5
oímos las noticias sobre eventos locales, nacionales e internacionales, comentarios, música y hasta predicciones
del tiempo. Tradicionalmente, la radio AM y la radio FM han sido construidas usando electrónica analógica. Sin
embargo, gracias a las siempre crecientes mejoras y efectividad de costo de la electrónica digital, la radio digital
(en ambas formas, AM y FM) ya es de uso corriente.
La radio transmite voz mediante señales eléctricas. La televisión, la cual opera con principios teóricos similares
del electromagnetismo y comunicaciones, también transmite imágenes visuales mediante señales eléctricas. Una
señal de voz se define naturalmente como una función del tiempo unidimensional, lo cual se presta rápidamente,
por tanto, a las operaciones de procesamiento de señales. En contraste, una imagen con movimiento es una
función del tiempo bidimensional y, por tanto, requiere una atención más detallada. Específicamente, cada imagen
en un instante particular se considera como un cuadro subdividido en varios cuadrados pequeños denominados
elementos de imagen o pixeles; mientras mayor sea el número de pixeles, mejor será la resolución de esa imagen.
Mediante el escaneo de los pixeles en una secuencia ordenada, la información contenida en la imagen es
convertida en una señal eléctrica cuya magnitud es proporcional al nivel de brillo de los pixeles individuales. La
señal eléctrica generada en la salida del escáner es la señal de video que se transmite. La generación de la señal de
video es el resultado de un proceso de mapeo bien definido que el receptor conoce. Por tanto, dada la señal de
video, el receptor puede reconstruir la imagen original. Igual que en la radio digital, la televisión también es
beneficiaria de los adelantos espectaculares en la electrónica digital. Estos adelantos, en conjunto con la
aplicación de técnicas avanzadas de procesamiento digital de señales y las demandas de los consumidores, han
motivado el desarrollo de la televisión de alta definición (HDTV, por sus siglas en inglés), la cual proporciona una
mejora significativa en la calidad de las imágenes reconstruidas en la salida del receptor.
Ahora estudiamos la escena de la comunicación punto a punto. La radio también ha tocado nuestra vida diaria
en formas altamente significativas a través de dos caminos: las comunicaciones por satélites y las
comunicaciones inalámbricas. Las comunicaciones satelitales, construidas en torno a un satélite en órbita
geoestacionaria, se basa en la propagación por línea de vista para la operación de un enlace ascendente y uno
descendente. El enlace ascendente conecta un terminal terrestre con un transponder (esto es, circuitos
electrónicos) en el satélite, mientras que el enlace descendente conecta el transponder con otro terminal terrestre.
Así, una señal portadora de información se transmite desde el terminal terreno hasta el satélite a través del
enlace ascendente y después es retransmitida desde el satélite, a través del enlace descendente, al otro terminal
en la tierra, como se ilustra en la Fig. 1.2. Al hacer esto, un sistema de comunicación satelital ofrece una
capacidad única: cobertura global.
Estación
transmisora
en tierra
Estación
receptora en
tierra
Satélite
(en órbita geoestacionaria)
Enlace
ascendente
Enlace
descendente
Tierra
FIGURA 1.2 Sistema de comunicación satelital.
En un sentido general, la comunicación inalámbrica opera en una forma similar a las comunicaciones satelitales
en que también involucra un enlace descendente y uno ascendente. El enlace descendente es responsable de la
transmisión por enlace directo desde una estación base hasta sus usuarios móviles. El enlace ascendente es
responsable por la transmisión de enlace inverso desde los usuarios móviles hasta sus estaciones base. A
diferencia de las comunicaciones satelitales, la operación de las comunicaciones inalámbricas es dominada por el
fenómeno de multitrayectorias debidas a reflexiones de la señal transmitida por objetos (por ejemplo, edificios,

8. 6
árboles, etc.) que están en la trayectoria de propagación. Este fenómeno tiende a degradar el desempeño del
receptor, lo cual hace que el diseño del receptor sea una tarea retadora. En cualquier caso, la comunicación
inalámbrica ofrece una capacidad única propia: movilidad. Además, mediante el uso del concepto celular, el
sistema de comunicación inalámbrica permite reutilizar el espectro radial en un área grande tantas veces como
sea posible. Dentro de una celda, los recursos de comunicaciones disponibles pueden ser compartidos por los
usuarios móviles que operan en el interior de esa celda.
 REDES DE COMUNICACIONES
La computadora se concibió originalmente como una máquina que trabajase por sí misma realizando cálculos
numéricos. Sin embargo, dada la habilidad natural de una computadora para ejecutar funciones lógicas, se
reconoció rápidamente que ella estaba idealmente adecuada al diseño de redes de comunicación. Como ilustra la
Fig. 1.3, una red de comunicación consiste de la interconexión de varios enrutadores que están compuestos por
procesadores inteligentes (esto es, microprocesadores). El objetivo principal de estos procesadores en enrutar
voz o datos a través de la red, de ahí el nombre “enrutadores”. Cada enrutador está conectado a uno o más
huéspedes; aquí huéspedes se refiere a los dispositivos que se comunican entre sí. El objetivo de una red es servir
de medio para la entrega o intercambio de voz, video o datos entre huéspedes, lo que se posibilita a través del
uso de conmutación digital. Hay dos formas principales de conmutación: conmutación de circuitos y conmutación
de paquetes.
Huéspedes
Frontera
de subred
Enrutadores
FIGURA 1.3 Red de comunicación.
En la conmutación de circuitos, se establecen trayectorias de comunicación concedidas para la transmisión de
mensajes entre dos o más terminales, denominados estaciones. La trayectoria de comunicación o circuito consiste
de una secuencia conectada de enlaces desde la fuente hasta el destino. Por ejemplo, los enlaces pueden consistir
de periodos de tiempo (como en sistemas multiplexados por división de tiempo), para los cuales se tiene
disponible un canal común para usuarios múltiples. El punto importante a observar es que una vez que
comienza a funcionar, el circuito permanece sin interrupción por toda la duración de la transmisión. La
conmutación de circuitos usualmente es controlada por un mecanismo de control de jerarquía centralizado con
conocimiento de toda la organización de la red. Para establecer una conexión por conmutación de circuitos, se
toma una trayectoria disponible en la red telefónica y luego se concede para el uso exclusivo de dos usuarios que
desean comunicarse. En particular, una señal de pedido de llamada se propaga completamente hasta el destino,
después de lo cual se reconoce antes de que pueda comenzar la comunicación. Entonces, la red es efectivamente
transparente para los usuarios, lo que significa que durante todo el tiempo de conexión, los recursos dedicados
al circuito son esencialmente “poseídos” por los dos usuarios. Este estado de cosas continúa hasta que se
desconecta el circuito.

9. 7
La conmutación de circuitos se adapta bien a las redes telefónicas, donde la transmisión de voz constituye el
mayor peso del tráfico telefónico. Decimos esto porque la voz da lugar a un tráfico de cadena, y las
conversaciones de voz tienden a ser de larga duración (aproximadamente 2 minutos en el promedio) en
comparación con el tiempo requerido para establecer el circuito (aproximadamente 0.1 a 0.5 segundos).
En la conmutación por paquetes,1 por otra parte, el compartir los recursos de la red se hace con base en la
demanda. Por tanto, la conmutación por paquetes tiene una ventaja sobre la conmutación de circuitos en que
cuando un enlace tiene tráfico para enviar, el enlace tiende a tener una mayor utilización. A diferencia de las
señales de voz, los datos tienden a ocurrir en la forma de pulsos con una base ocasional.
El principio de red de la conmutación por paquetes es almacenar y enviar. Específicamente, en una red de
conmutación de paquetes, cualquier mensaje cuya longitud sea mayor que un tamaño especificado es subdividido
antes de su transmisión en segmentos que exceden el tamaño especificado. Los segmentos así formados se
denominan paquetes. Luego de transportar los paquetes por diferentes partes de la red, el mensaje original es
armado de nuevo en el destino sobre una base de paquete por paquete. La red puede entonces considerarse
como una fuente de recursos de la red (esto es, ancho de banda del canal, memorias y procesadores de
conmutación), en la cual los recursos se comparten dinámicamente por un comunidad de huéspedes competidores
que desean comunicarse. Este compartimiento dinámico de los recursos de la red está en contraste directo con la
red de conmutación de circuitos, donde los recursos se asignan a un par de huéspedes por todo el periodo en
que están comunicados.
 REDES DE DATOS
Una red de comunicaciones en la cual los huéspedes todos están formados por computadoras y terminales
comúnmente se conoce como una red de datos. El diseño de este tipo de red procede en una forma ordenada
considerando la red en términos de una arquitectura de capas, lo que se considera como una jerarquía de capas
anidadas. Una capa se refiere a un proceso o dispositivo en el interior de un sistema de computadoras que está
diseñado para realizar una función específica. Naturalmente, los diseñadores de una capa tendrán
conocimientos de los detalles internos y de su operación. Sin embargo, a nivel de sistema, un usuario considera
la capa en cuestión simplemente como una “caja negra”, la cual se describe en términos de entradas, salidas y la
relación funcional entre las salidas y entradas. En la arquitectura de capas, cada capa considera la siguiente capa
inferior como una o más cajas negras con alguna especificación funcional dada que debe ser usada por la capa
superior siguiente. De esta forma, el problema de comunicación altamente complejo en la redes de datos se
resuelve como un conjunto manejable de funciones interrelacionadas bien definidas. Esta línea de razonamiento
es la que ha conducido al desarrollo del modelo de referencia de interconexión de sistemas abiertos (OSI). El término
“abierto” se refiere a la habilidad de dos sistemas cualesquiera para interconectarse, siempre y cuando se ajusten
al modelo de referencia y sus estándares asociados.
En el modelo de referencia OSI, las comunicaciones y las funciones de conexión relacionadas están organizadas
como una serie de capas con interfaces bien definidas. Cada capa se construye sobre su predecesora. En
particular, cada capa realiza un subconjunto relacionado de funciones primitivas y depende de siguiente capa
inferior para realizar funciones primitivas adicionales. Además, cada capa ofrece ciertos servicios a la capa
superior siguiente y protege esa capa de los detalles de implementación de esos servicios. Entre cada par de
capas hay una interfaz, la cual define los servicios ofrecidos por la capa inferior a la capa superior.
Como se ilustra en la Fig. 1.4, el modelo OSI está compuesto de siete capas. La figura también incluye una
descripción de las funciones de las capas individuales del modelo. La capa k en el sistema A, digamos, se
comunica con una capa R en algún otro sistema B de acuerdo con un conjunto de reglas y convenciones, lo cual
colectivamente constituye el protocolo de la capa k, donde k = 1, 2, … , 7. (El término “protocolo” se tomo prestado
del uso común que describe la conducta social convencional entre seres humanos.) Las entidades que conforman
las capas correspondientes entres el sistema A y el B se logran haciendo que los dos procesos semejantes en los
1
La conmutación por paquetes fue inventada por P. Baran en 1964 para satisfacer una necesidad de defensa
nacional de los Estados Unidos. La necesidad original era construir una red distribuida con niveles diferentes de
conexiones redundante, que fuese robusta en el sentido de que la red pudiese soportar la destrucción de muchos
nodos debido a un ataque concertado, y que sin embargo los nodos sobrevivientes pudiesen mantener la
intercomunicación para transportar información común y de control; véase Baran (1990).

10. 8
dos sistemas se comuniquen vía protocolo. La conexión física entre procesos semejantes existe solamente en la
capa 1 – vale decir, la capa física. Las capas restantes, 2 hasta 7, están en comunicación virtual con sus semejantes
lejanos. Cada una de estas últimas seis capas intercambia datos e información de control con las capas vecinas
(abajo y arriba) a través de interfaces de capa a capa. En la Fig. 1.4, la comunicación física se muestre con líneas
sólidas, y las comunicaciones virtuales con líneas punteadas.
FIGURA 1.4 Modelo OSI; el acrónimo DLC en el medio de la figura representa el control de enlace de datos.
 INTERNET
El análisis de redes de datos que se acaba de presentar conduce a la Internet. En el paradigma Internet, la
tecnología de redes subyacente se desacopla de las aplicaciones parecidas adoptando una definición abstracta de
servicio de red. En términos más específicos, se puede decir lo siguiente:
 Las aplicaciones se realizan independientemente de la tecnología empleada para construir la red.
 Por la misma razón, la tecnología de redes es capaz de evolucionar sin afectar las aplicaciones.
La aplicación de Internet mostrada en la Fig. 1.5 tiene tres bloques funcionales: huéspedes, subredes y
enrutadores. Los huéspedes constituyen nodos de la red, donde se originan los datos o donde se entregan. Los
enrutadores constituyen nodos intermedios que se usan para cruzar las fronteras de subredes. Dentro de una
subred, todos los huéspedes que perteneces a esa subred intercambian datos directamente; véase, por ejemplo,
las subredes 1 y 3 en la Fig. 1.5. En términos básicos, la operación interna de una subred está organizado en dos
formas diferentes (Tanenbaum, 1996):
1. Forma conectada, donde las conexiones se denominan circuitos virtuales, en analogía con los circuitos
físicos establecidos en un sistema telefónico.
2. Forma sin conexión, en la cual los paquetes independientes se llama datagramas, en analogía con
telegramas.

11. 9
Subconjunto 2
Subconjunto 1
Huéspedes
Subconjunto 3
EnrutadorEnrutador
Huéspedes
FIGURA 1.5 Una red interconectada de subredes.
Igual que otras redes de datos, la Internet tiene un conjunto de protocolos acomodados en capas. E particular,
el intercambio de datos entre los huéspedes y los enrutadores se logra por intermedio del protocolo de Internet
(IP), como se ilustra en la Fig. 1.6. El IP es un protocolo universal que reside en la capa de la red (por ejemplo, la
capa 3 de modelo de referencia OSI). Es sencillo y define un plan de direccionamiento con una capacidad
incorporada para transportar datos en la forma de paquetes de nodo a nodo. Al cruzar una frontera de una
subred, los enrutadores toman las decisiones sobre cómo deben enrutarse los paquetes dirigidos a un destino
específico. Esto se hace con base en tablas de enrutamiento que se desarrollan a través del uso de protocolos para
intercambiar información pertinente con otros enrutadores. El resultado neto de utilizar el conjunto de
protocolos acomodado en capas es la provisión del servicio del mejor esfuerzo. Esto es, la Internet ofrece entregar
cada paquete de datos, pero no hay garantías sobre el tiempo de tránsito experimentado al entregar o aún si los
paquetes serán entregados al recipiente correcto.
FIGURA 1.6 Ilustración de la arquitectura de redes de la Internet.
La Internet ha evolucionado en un sistema mundial, colocando las computadoras en el corazón de un medio
de comunicaciones que está cambiando nuestras vidas diarias en el hogar y en el trabajo de manera profunda.
Podemos enviar un mensaje por e-mail desde un huésped en Norte América hasta otro huésped en Australia en el
otro extremo del globo, con el mensaje llegando a su destino en cuestión de segundos. Esto es todavía más
extraordinario ya que los paquetes que constituyen el mensaje probablemente han tomado diferentes caminos a
medida que fueron transportados a través de la red.
Otra aplicación que demuestra la formidable potencia de la Internet es el uso para surfear la Web. Por ejemplo,
podemos usar una máquina de búsqueda para identificar las referencias que pertenecen a un tópico de interés

12. 10
particular. Una tarea que llevaba horas y algunas veces día buscando en libros y revistas en la biblioteca, ocupa
ahora una cuestión de ¡segundos!
Para utilizar completamente la potencia de cálculo de la Internet desde un huésped ubicado en un sitio remoto,
se necesita un modem de banda ancha (esto es, un modulador-demodulador) para proporcionar un enlace rápido
de comunicación entre ese huésped y su subred. Cuando decimos “rápido”, se quiere decir velocidades de
operación en el orden de los megabits por segundo y mayores. Un dispositivo que satisface este requerimiento
es la llamada línea del suscritor digital (DSL, por sus siglas en inglés). Lo que hace que la DSL sea excepcional es el
hecho de que puede operar por un canal lineal de banda ancha con una respuesta de frecuencia arbitraria. Un
ejemplo de este tipo de canal es un canal telefónico ordinario construido utilizando pares trenzados para la
transmisión de señales. Un par trenzado consiste de conductores sólidos de cobre, cada uno revestido por una
cubierta de cloruro de polivinilo (PVC). Los pares trenzados usualmente vienen en la forma de cables, donde
cada cale consiste de muchos pares trenzados muy próximos entre sí. Desde el punto de vista de transmisión de
una señal, la DSL satisface el requisito retador descrito aquí siguiendo el bien conocido principio de ingeniería
de dividir y conquistar. Específicamente, el canal de banda ancha dado es aproximado por un conjunto de canales
de banda angosta, cada uno de los cuales puede entonces acomodarse en una forma relativamente directa.
Aquí cabe un último comentario. Típicamente, el acceso a la Internet se establece a través de huéspedes en la
forma de terminales de computadora (esto es, servidores). El acceso se expande usando dispositivos manuales que
actúan como huéspedes, los cuales se comunican con subredes de la Internet a través de enlaces inalámbricos.
Por tanto, al añadir movilidad mediante el uso de comunicaciones inalámbricas a la potencia de cálculo de la
Internet para comunicarse, tenemos un nuevo medio de comunicación con posibilidades prácticas enormes.
 INTEGRACIÓN DE TELEFONÍA E INTERNET
Uno de los retos más importantes que enfrenta la industria de las telecomunicaciones es la transmisión de Voz
por el Protocolo Internet (VoIP), lo cual posibilitaría la integración de los servicios telefónicos con las rápidamente
creciente aplicaciones basadas en la Internet. El reto es aún más profundo debido a que el IP está diseñado para
acomodar el intercambio de datos entre los huéspedes y los enrutadores, lo cual dificulta soportar la calidad de
servicio para VoIP. La Calidad de Servicio (QoS) se mide en términos de dos parámetros:
 Razón de pérdida de paquetes, definida como el número de paquetes perdidos al transportarlos por la red
entre el número total de paquetes introducidos en la red.
 Retardo de Conexión, definido como el tiempo que le toma a un paquete de una conexión particular de
huésped a huésped para transitar a través de la red.
Pruebas subjetivas realizadas en VoIp muestran que para proporcionar servicio telefónico de grado de voz, la
razón de pérdida de paquetes debe mantenerse por debajo de 1 por ciento y el retardo de conexión de una vía
puede acumular hasta 160 ms sin una degradación significativa de la calidad. Se han desplegado redes VoIP
bien diseñadas y administradas que satisfacen estos requisitos. Sin embargo, el tópico de control del eco inicial
todavía es un reto. El eco inicial se refiere a eco experimentado al comienzo de una llamada en la primera
palabra o par de palabras que pronuncia el usuario. El eco se produce debido de una mala adaptación de
impedancias en algún punto de la red, donde la señal incidente es reflejada de regreso hacia la fuente.
Mirando al futuro, podemos hacer las observaciones siguientes sobre la telefonía por Internet:
1. El VoIP reemplazará los intercambios privados de ramas (PBX) y otros conmutadores de oficina; los PBX son
unidades remotas de conmutación que tienen sus propios controles independientes.
2. El VoIP actualmente también está teniendo éxito con llamadas de larga distancia, pero esto se debe
principalmente al exceso de capacidad que hay disponible en redes de largas distancias. Si se incrementa el
uso de estas redes, los retardos aumentarán y un servicio en tiempo real como el de VoIP se degradará. En
consecuencia, si los proveedores del servicio siguen aumentando la capacidad de modo que la carga
siempre sea baja y el tiempo de respuesta sea rápido, asegurando así la calidad del servicio, entonces la
telefonía VoIP puede volverse importante y de mayor utilización.

13. 11
 ALMACENAMIENTO DE DATOS
Cuando se consideran aplicaciones importantes de los principios de las comunicaciones digitales, es natural
pensar en términos de sistemas de radiodifusión y de comunicación punto a punto. Sin embargo, los mismos
principios también se aplican al almacenamiento digital de señales de audio y video, y ejemplos son los
reproductores de discos compactos /CD) y de discos versátiles digitales (DVD). Los DVD son refinamientos de los CD
en que su capacidad de almacenamiento (en el orden de las decenas de gigabytes) tiene órdenes de magnitud
más altos que la de los CD y pueden también manejar datos con una velocidad mucho mayor.
Se prefiere el dominio digital sobre el analógico para el almacenamiento de señales de audio y video por las
siguientes razones apremiantes:
(i) La calidad de una señal de audio/video digitalizada, medida en términos de la respuesta de frecuencia,
linealidad y ruido, es determinada por el proceso de conversión digital-a-analógico, cuya parametrización
está bajo el control del diseñador.
(ii) Una vez digitalizada la señal de audio/video, podemos usar técnicas de codificación poderosas y bien
desarrolladas de compresión de datos para reducir el ancho de banda y codificación de control de errores
para proporcionar protección contra la posibilidad de cometer errores en el curso del almacenamiento.
(iii) Para las aplicaciones más prácticas, el almacenamiento de señales de audio y video no se degrada con el
tiempo.
(iv) Mejoras continuadas en la fabricación de circuitos integrados usados para construir CD y DVD aseguran la
siempre creciente relación de costo-efectividad de estos dispositivos de almacenamiento digital.
Con la ayuda de técnicas poderosas de codificación construidas en su diseño, los DVD pueden guardar horas de
contenidos audio visuales de alta calidad, lo que, a su vez, los hace idealmente adecuados para aplicaciones
interactivas de multimedia.
1.3 Recursos Primarios y Requerimientos Operacionales
Los sistemas de comunicación descritos en la Sección 1.2 cubren muchos campos diversos. No obstante, en sus
propias formas individuales, los sistemas están diseñados para la utilización eficiente de dos recursos de
comunicación primarios:
 Potencia transmitida, la cual se define como la potencia primara de la señal transmitida.
 Ancho de banda del canal, el cual se define por el ancho de la banda de paso del canal.
Dependiendo de cuál de estos dos recursos se considera el factor limitante, podemos clasificar los canales de
comunicación en la forma siguiente:
(i) Canales limitados en potencia, en los cuales la potencia transmitida es lo más importante. Ejemplos de estos
canales son:
 Canales inalámbricos, donde es deseable mantener baja la potencia transmitida para prolongar la vida de
las baterías.
 Canales satelitales, donde la potencia disponible en el transponder del satélite está limitada, lo que, a su
vez, necesita mantener en un bajo nivel la potencia transmitida en el enlace descendente.
 Enlaces en el espacio profundo, donde la potencia disponible en una sonda exploradora del espacio lejano
está limitada en extremo, lo que requiere una vez más que la potencia promedio de las señales
portadoras de información enviadas por la sonda hacia la estación terrena se mantenga tan baja como
sea posible.
(ii) Canales limitados en banda, donde lo más importante es el ancho de banda. Ejemplos de esta segunda
categoría de canales de comunicación incluyen los siguientes:

14. 12
 Canales telefónicos, donde, en un ambiente de multiusuarios, el requerimiento es minimizar la banda de
frecuencias asignada a la transmisión de cada señal de voz y al mismo tiempo asegurarse de que se
mantiene la calidad del servicio para cada usuario.
 Canales de televisión, donde el ancho de banda disponible del canal está limitado por agencias
reguladoras y se asegura la calidad de la recepción utilizando una potencia de transmisión lo
suficientemente alta.
Otro punto importante que se debe tener en cuenta es la inevitable presencia del ruido en la entrada del
receptor de un sistema de comunicación. En un sentido genérico, el ruido se refiere a señales indeseadas que
tienden a perturbar la calidad de la señal recibida en un sistema de comunicación. Las fuentes del ruido pueden
ser internas o externas al sistema. Un ejemplo del ruido interno es el siempre presente ruido del canal producido
por la agitación térmica de electrones en terminal de entrada del amplificador del receptor. Ejemplos del ruido
externo incluye el ruido atmosférico y la interferencia debida a señales transmitidas por otros usuarios.
Una forma cuantitativa de incluir el efecto positivo de la potencia transmitida en relación con el efecto
degradador del ruido (esto es, evaluar la calidad de la señal recibida) es pensar en términos de la razón señal-a-
ruido (RSR), que es un parámetro adimensional. En particular, la RSR en la entrada el receptor se define
formalmente como la relación entre la potencia promedio de la señal recibida (esto, la salida del canal) y la
potencia promedio del ruido medida en la entrada del receptor. La práctica de uso común es expresar la RSR en
decibeles (dB), los cuales se definen como 10 veces el logaritmo (de base 10) de la razón de potencia. Por ejemplo,
razones señal-a-ruido de 10, 100 y 1000 son 10, 20 y 30 dB, respectivamente.
A la luz de este análisis, es claro que en lo que se refiere a la evaluación del desempeño, hay solamente dos
parámetros de diseño del sistema: la razón señal-a-ruido y el ancho de banda del canal. Expresado en términos más
concretos:
El diseño de un sistema de comunicación se reduce a un intercambio entre la razón señal-a-ruido y el ancho
de banda del canal.
Por tanto, el desempeño de un sistema se puede mejorar siguiendo una de dos estrategias alternas de diseño,
dependiendo de las restricciones del sistema:
1. Se incrementa la razón señal-a-ruido para adaptarse a alguna limitación impuesta sobre el ancho de banda
del canal.
2. Se incrementa el ancho de banda del canal para adaptare a una limitación impuesta sobre la razón señal-a-
ruido.
De estos dos posibles enfoques de diseño, ordinariamente se encuentra que la estrategia 1 es más sencilla de
implementar que la 2, ya que incrementar la razón señal-a-ruido puede lograrse con simplemente aumentar la
potencia transmitida. Por otra parte, para aprovechar un mayor ancho de banda del canal, es necesario
incrementar el ancho de banda de la señal transmitida, lo que, a su vez, requiere incrementar la complejidad tanto
del transmisor como del receptor.
1.4 Teorías de Soporte de los Sistemas de Comunicación
El estudio de los sistemas de comunicación es un reto no sólo en términos técnicos sino también en términos
teóricos. En esta sección se resaltan cuatro teorías, cada una de las cuales es esencial para entender un aspecto
específico de los sistemas de comunicación.
 TEORÍA DE LA MODULACIÓN
La modulación es una operación de procesamiento de señales que es básica para la transmisión de una señal
portadora de información por un canal de comunicación, ya sea en el contexto de las comunicaciones digitales o
analógicas. Esta operación se logra mediante el cambio de algún parámetro de una onda portadora de acuerdo con
la señal portadora de información (el mensaje). La onda portadora puede tomar una de dos formas básicas,
dependiendo de la aplicación de interés:

15. 13
 Onda portadora sinusoidal, cuya amplitud, fase o frecuencia es el parámetro escogido para su
modificación por la señal portadora de información.
 Secuencia periódica de pulsos, cuya amplitud, anchura o posición es el parámetro escogido para su
modificación por la señal portadora de información.
Indiferentemente de cuál es el enfoque particular que se utiliza para realizar el proceso de modulación, los
temas en la teoría de la modulación que deben examinarse son:
 Descripción en el dominio del tiempo de la señal modulada.
 Descripción en el dominio de la frecuencia de la señal modulada.
 Detección de la señal portadora de información y evaluación del efecto del ruido sobre el receptor.
 ANÁLISIS DE FOURIER
La transformada de Fourier es una operación matemática lineal que transforma la descripción en el dominio del
tiempo de una señal en una descripción en el dominio de la frecuencia sin pérdida de información, lo que
significa que la señal original puede recuperarse exactamente a partir de la descripción en el dominio de la
frecuencia. Sin embargo, para que la señal sea transformable en el sentido de Fourier, se tienen que cumplir
ciertas condiciones. Afortunadamente, la clase de señales encontradas en el estudio de los sistemas de
comunicaciones cumplen con estas condiciones.
El análisis de Fourier proporciona las bases matemáticas para evaluar los tópicos siguientes:
 Descripción en el dominio de la frecuencia de una señal modulada, incluyendo su ancho de banda de
transmisión.
 Transmisión de una señal a través de un sistema lineal ejemplificado por un canal de comunicación o
un filtro (selectivo en frecuencias.
 La correlación (es decir, la semejanza) entre un par de señales.
Estas evaluaciones adquieren una importancia todavía mayor en virtud de un algoritmo conocido como la
transformada de Fourier rápida, la que proporciona un método eficiente para calcular la transformada de Fourier.
 TEORÍA DE DETECCIÓN
Dada una señal recibida, la cual está perturbada por ruido aditivo del canal, una de las tareas que el receptor
debe realizar es cómo detectar la señal original portadora de la información en una forma confiable. El problema de
detección de señales es complicado por dos problemas:
 La presencia de ruido.
 Factores tales como el desplazamiento de fase desconocido introducido en la onda portadora debido a
la transmisión de la señal modulada sinusoidalmente por el canal.
El tratamiento de estos problemas en las comunicaciones analógicas es radicalmente diferente de su tratamiento
en las comunicaciones digitales. En las comunicaciones analógicas, el enfoque común se concentra en la razón
señal-a-ruido de salida y en cálculos relacionados. En las comunicaciones digitales, por otra parte, el problema de
detección de señales se considera como uno de prueba de hipótesis. Por ejemplo, en el caso específico de la
transmisión de datos binarios, dado que se transmitió el símbolo 1, ¿cuál es la probabilidad de que el símbolo se
detecte correctamente y cómo es afectada esa probabilidad por un cambio en la razón señal-a-ruido recibida en
la entrada del receptor?
Por tanto, al tratar con la teoría de la detección, estudiamos los tópicos siguientes en las comunicaciones
analógicas:
 La cifra de mérito para evaluar el desempeño en ruido de una estrategia de modulación específica.
 El fenómeno de umbral que aparece cuando la razón señal-a-ruido transmitida cae por debajo de un
valor crítico.

16. 14
 Comparación del desempeño de una estrategia de modulación contra otra.
Por otra parte, en las comunicaciones digitales se estudia lo siguiente:
 La probabilidad promedio de error de símbolos en la salida del receptor.
 El problema de trabajar con factores no controlables.
 Comparación entre un esquema de modulación digital y otro.
 TEORÍA DE PROBABILIDADES Y PROCESOS ALEATORIOS
De la breve discusión que se acaba de presentar sobre el papel de la teoría de la detección en el estudio de los
sistemas de comunicaciones, es claro que se necesita desarrollar una buena comprensión de lo siguiente:
 La teoría de la probabilidad para describir la conducta de eventos que ocurren aleatoriamente en
términos matemáticos.
 La caracterización estadística de las señales aleatorias y el ruido.
A diferencia de una señal determinista, una señal aleatoria es una sobre la cual existe cierta incertidumbre antes de
que ocurra. Debido a la incertidumbre, una señal aleatoria puede considerarse como perteneciente a un conjunto
o un grupo de señales, donde cada señal en el conjunto tiene una forma de onda que difiere de las otras en el
conjunto. Adicionalmente, cada señal dentro del conjunto tiene una cierta probabilidad de ocurrencia. El
conjunto de señales se conoce como un proceso aleatorio o proceso estocástico. Ejemplos de procesos aleatorios son:
 El ruido eléctrico generado en el lado frontal del amplificador de un receptor de radio o televisión.
 La señal de voz producida por un orador masculino o femenino.
 La señal de video transmitida por la antena de una estación de radiodifusión de TV.
Al tratar con la teoría de las probabilidades, señales aleatorias y ruido, estudiamos los tópicos siguientes:
 Los conceptos básicos de la teoría de la probabilidad y modelos probabilistas.
 La descripción estadística de un proceso aleatorio en términos los promedios de conjunto y en el
tiempo.
 El análisis matemático y el procesamiento de señales aleatorias.

17. CAPÍTULO 2
REPRESENTACIÓN DE FOURIER
DE SEÑALES Y SISTEMAS
En términos matemáticos, una señal ordinariamente se describe como una función del tiempo, que es cómo
normalmente vemos la señal cuando se muestra en un osciloscopio. Sin embargo, como se vio en el Capítulo 1,
desde la perspectiva de un sistema de comunicación, es importante que sepamos el contenido de frecuencia de la
señal en cuestión. La herramienta matemática que relaciona la descripción en el dominio de la frecuencia de la
señal con su descripción en el dominio del tiempo es la transformada de Fourier. Existen de hecho diferentes
versiones disponibles de la transformada de Fourier. En este capítulo restringimos el análisis a principalmente
dos versiones específicas:
 La transformada de Fourier continua, o la transformada de Fourier (TF) para simplificar, la cual aplica con
funciones continuas en ambos dominios de tiempo y frecuencia.
 La transformada de discreta, o TFD para simplificar, la cual funciona con datos discretos en ambos
dominios de tiempo y frecuencia.
Mucho del material que se presenta en este capítulo se enfoca en la transformada de Fourier, puesto que la
motivación primaria del capítulo es determinar el contenido de frecuencia de una señal de tiempo continuo o
evaluar lo que le sucede a este contenido de frecuencia cuando la señal se pasa por un sistema lineal e invariante en
el tiempo (LIT). En contraste, la transformada de Fourier discreta, analizada al final del capítulo, aparece por su
propia cuenta cuando el requerimiento es la evaluación del contenido de frecuencia de la señal en una
computadora digital o evaluar qué sucede cuando es procesada por dispositivo digital como en las
comunicaciones digitales.
2.1 La Transformada de Fourier1
DEFINICIÓN Denote por g(t) una señal determinista no periódica, expresada como alguna función del tiempo t. Por
definición, la transformada de Fourier de la señal g(t) la da la integral
 ( ) ( )exp 2G f g t j ft dt


  
 (2.1)
donde 1j   y la variable f denota frecuencia; a la función exponencial  exp 2j ft  se le refiere como el núcleo
de la fórmula que define la transformada de Fourier. Dada la transformada de Fourier G(f), la señal original g(t)
se recupera de forma exacta usando la fórmula para la transformada de Fourier inversa:
1 Joseph Fourier estudió el flujo de calor a principios del siglo 19. Entender el flujo de calor era un problema de importancia
práctica y científica en ese tiempo y requería de la solución de una ecuación diferencial parcial llamada la ecuación de calor.
Fourier desarrolló una técnica para resolver ecuaciones diferenciales parciales basada en la suposición de que la solución era
una suma ponderada de sinusoides relacionadas armónicamente con coeficientes desconocidos, lo que ahora llamamos la
serie de Fourier. El trabajo inicial de Fourier sobre la conducción de calor fue presentado a la Academia de Ciencias de París en
1807 y fue rechazado después de su revisión por Lagrange, Laplace y Legendre. Fourier insistió en el desarrollo de sus ideas
a pesar de ser criticado por sus contemporáneos por su falta de rigor. Finalmente, en 1822, publicó un libro con mucho de su
trabajo, Theorie analytique de la chaleur, que ahora es considerado como uno de los clásicos de la matemática.

18. 16
 ( ) ( )exp 2g t G f j ft df


 
 (2.2)
donde la exponencial  exp 2j ft es el núcleo de la fórmula que define la transformada de Fourier inversa. Los
dos núcleos de las Ecs. (2.1) y (2.2) son por tanto conjugados complejos entre sí.
Observe también que en las Ecs. (2.1) y (2.2) hemos usado una letra minúscula para denotar la función del
tiempo y una mayúscula para denotar la función de frecuencia correspondiente. Las funciones g(t) y G(f)
constituyen un par de transformadas de Fourier. En el Apéndice 2 se derivan las definiciones de la transformada de
Fourier y su inversa, comenzando con la serie de Fourier de una forma de onda periódica.
La Ec. (2.1) se conoce como la ecuación de análisis. Dada la conducta en el dominio del tiempo de un sistema,
podemos analizar su conducta en el dominio de la frecuencia. La ventaja básica de transformar la conducta en el
dominio del tiempo al dominio de la frecuencia es que la resolución en sinusoides eternas presenta la conducta como
la superposición de efectos en estado estacionario. Para sistemas cuya conducta en el dominio del tiempo es descrita
por ecuaciones diferenciales lineales, las soluciones separadas de estado estacionario usualmente son más fáciles
de entender en términos tanto teóricos como experimentales.
Recíprocamente, a la Ec. (2.2) se le conoce como la ecuación de síntesis. Dada la superposición de efectos de
estado estacionario en el dominio de la frecuencia, podemos reconstruir la conducta original del sistema en el
dominio de la frecuencia sin pérdida de información. Las ecuaciones de análisis y síntesis, trabajando conjuntamente
como se muestra en la Fig. 2.1, enriquecen la presentación de señales y sistemas posibilitando ver la
representación en dos dominios interactivos: el dominio del tiempo y el dominio de la frecuencia.
Para que exista la transformada de Fourier de una señal g(t), es suficiente, pero no necesario, que g(t) satisfaga
tres condiciones conocidas colectivamente como las condiciones de Dirichlet:
1. La función g(t) es unívoca, con un número finito de máximos y mínimos en cualquier intervalo finito.
2. La función g(t) tiene un número finito de discontinuidades en cualquier intervalo finito.
3. La función g(t) es absolutamente integrable, es decir,
( )g t dt


 

FIGURA 2.1 Gráfica de la interacción entre las ecuaciones de análisis y síntesis
representadas en la transformación de Fourier.

19. 17
Podemos ignorar sin problemas la cuestión de la existencia de la transformada de Fourier de una función del tiempo g(t)
cuando es una descripción especificada precisamente de una señal físicamente realizable (por ejemplo, una señal de voz, una
señal de video). En otras palabas, la realizabilidad física es una condición suficiente para la existencia de una transformada
de Fourier. Para que una señal g(t) sea físicamente realizable, la energía de la señal definida por
2
( )g t dt

 debe
satisfacer la condición
2
( )g t dt


 

A una señal así se le refiere cono una señal de energía. Lo que estamos diciendo aquí es que todas las señales de energía son
transformables en el sentido de Fourier.
NOTACIONES
Las fórmulas para la transformada de Fourier y su inversa presentadas en las Ecs. (2.1) y (2.2) se escriben en términos de dos
variables: el tiempo t medido en segundos (s) ya la frecuencia f medida en herz (Hz). La frecuencia f está relacionada con la
frecuencia angular  por
2 f  
la cual se mide en radianes por segundo (rad/s). Podemos simplificar las expresiones para los exponentes en los integrandos
de las Ecs. (2.19 y (2.2) usando  en vez de f. Sin embargo, se prefiere el uso de f sobre  por dos razones. Primero, el uso de
la frecuencia resulta en simetría matemática de las Ecs. (2.1) y (2.2) respecto una de otra en una forma natural. Segundo, los
contenidos espectrales de las señales de comunicaciones (es decir, señales de voz y video) usualmente se expresan en hertz.
Una abreviación conveniente para las relaciones de transformación de las Ecs. (2.1) y (2.2) es escribir
( ) ( )G f g t   F (2.3)
y
1
( ) ( )g t G f
   F (2.4)
donde F[ ] y 1
[ ]
F juegan los papeles de operadores lineales. Otra notación abreviada conveniente para el par de
transformadas de Fourier, representadas por g(t) y G(f), es
( ) ( )g t G f (2.5)
Las notaciones abreviadas descritas en las Ecs. (2.3) a (2.5) se usan en el texto cuando sea apropiado.
ESPECTRO CONTINUO
Mediante el uso de la operación de la transformada de Fourier, una señal de pulso g(t) de energía finita se
expresa como una suma continua de funciones exponenciales con frecuencias en el intervalo  a . La
amplitud de una componente de frecuencia f es proporcional a G(f), donde G(f) es la transformada de Fourier de
g(t). Específicamente, para cualquier frecuencia f, la función exponencial  exp 2j ft es ponderada por el factor
( )G f df , que la contribución de G(f) en un intervalo infinitesimal df centrado en la frecuencia f. Así, podemos
expresar la función g(t) en términos de la suma continua de esas componentes infinitesimales, como muestra la
integral
 


 
( ) ( )exp 2g t G f j ft df
Expresando de nuevo lo mencionado previamente, la transformación de Fourier nos proporciona una
herramienta para resolver una señal dada g(t) en sus componentes exponenciales complejas que ocupan todo el

20. 18
intervalo de frecuencias desde  a . En particular, la transformada de Fourier de G(f) de la señal define la
representación en el dominio de la frecuencia de la señal en que especifica las amplitudes complejas de las
diferentes componentes de frecuencia. Equivalentemente podemos definir la señal en términos de su
representación en el dominio del tiempo especificando la función g(t) en cada instante del tiempo t. La señal es
definida en forma única por cualquiera de las representaciones.
En general, la transformada de Fourier G(f) es una función compleja de la frecuencia f, así que podemos
expresarla en la forma
  ( ) ( ) exp ( )G f G f j f (2.6)
donde ( )G f se llama el espectro de amplitud continuo de g(t) y ( )f es el espectro de fase continuo de g(t). Aquí, al
espectro se le refiere como un espectro continuo porque tanto la amplitud como la fase de G(f) están definidos en
forma única para todas las frecuencias.
Par el caso especial de funciones de valores reales g(t), tenemos
     *G f G f
donde el asterisco denota la conjugación compleja. Por tanto, se deduce que si g(t) es una función del tiempo t de
valores reales, entonces
    G f G f
y
      f f
Por consiguiente, podemos hacer las afirmaciones siguientes sobre el espectro de una señal de valores reales:
1. El espectro de amplitud de la señal es una función par de la frecuencia; es decir, el espectro de amplitud
es simétrico con respecto al origen f = 0.
2. El espectro de fase de la señal es una función impar de la frecuencia; es decir, el espectro de fase es
antisimétrico con respecto al origen f = 0.
Estas dos afirmaciones se conjugan diciendo que el espectro de una señal de valores reales exhibe simetría
conjugada.
EJEMPLO 2.1 Pulso Rectangular
Considérese una función caja o pulso rectangular de duración T y amplitud A, como se muestra en la Fig. 2.2(a).
Para definir este pulso matemáticamente en una forma conveniente, usamos la notación

 
 
   

1 1
1,
2 2rect( )
1 1
0, o
2 2
t
t
t t
(2.7)
que representa una función rectangular de amplitud unitaria y duración unitaria centrada en t = 0. Entonces, en
términos de esta función “estándar”, podemos expresar el pulso rectangular de la Fig. 2.2(a) simplemente como
 
  
 
( ) rect
t
g t A
T
La transformada de Fourier del pulso rectangular g(t) es

21. 19
FIGURA 2.2 (a) Pulso rectangular. (b) Espectro de amplitud.
 
 

  
  
  
 

2
2
( ) exp 2
sen
T
T
G f A j ft dt
fT
AT
fT
(2.8)
Para simplificar la notación en los resultados, el que precede y los siguientes, introducimos otra función estándar
– a saber, la función sinc – definida por
 
 

sen
sinc( ) (2.9)
donde  es la variable independiente. La función sinc juega un papel importante en la teoría de la comunicación.
Como muestra la Fig. 2.3, tiene su valor máximo de 1 en  = 0 y tiende a cero cuando  tiende a infinito,
oscilando a través de valores positivos y negativos. Pasa por cero en    1, 2, , y así sucesivamente.
FIGURA 2.3 La función sinc.

22. 20
Entonces, en términos de la función sinc, podemos reescribir la Ec. (2.8) como
  
 
 
rect sinc
t
A AT fT
T
(2.10)
El espectro de amplitud ( )G f se grafica en la Fig. 2.2(b). El primer cruce en cero del espectro ocurre en
 1f T . Conforme disminuye la duración T del pulso, este primer cruce se mueve hacia arriba en frecuencia.
Recíprocamente, conforme la duración T del pulso aumenta, el primer cruce se mueve hacia el origen.
Este ejemplo muestra que la relación entre las descripciones en los dominios de frecuencia y de tiempo de una
señal es una relación inversa. Es decir, un pulso angosto en el tiempo tiene una descripción significativa en
frecuencia en una amplia banda de frecuencias y viceversa. Diremos más sobre esta relación inversa entre el
tiempo y la frecuencia en la Sección 2.3.
Observe también que en este ejemplo, la transformada de Fourier G(f) es una función real y simétrica de la
frecuencia f. Esto es una consecuencia directa del hecho de que el pulso rectangular g(t) mostrado en la Fig.
2.2(a) es una función simétrica del tiempo t.
EJEMPLO 2.2 Pulso Exponencial
En la Fig. 2.4(a) se un muestra un pulso exponencial truncado que decreciente. Matemáticamente definimos este
pulso en una forma conveniente usando la función escalón unitario:


 


1, 0
1
( ) , 0
2
0, 0
t
u t t
t
(2.11)
Entonces podemos expresar el pulso exponencial decreciente de la Fig. 2.4(a) como
  ( ) exp ( )g t at u t
Reconociendo que g(t) es cero para t < 0, la transformada de Fourier de este pulso es
   
 


   
        


0
0
( ) exp exp 2
1
exp 2
2
G f at j ft dt
t a j f dt
a j f
El par de transformadas de Fourier para el pulso exponencial decreciente de la Fig. 2.4(a) es entonces
  
 
1
exp ( )
2
at u t
a j f
(2.12)
En la Fig. 2.4(b) se muestra un pulso exponencial creciente truncado, y el cual se define por
    ( ) expg t at u t
Observe que u(t) es igual a 1 para t < 0, 1/2 en t = 0 y cero para t > 0. Con g(t) igual a cero para t > 0, la
transformada de Fourier de este pulso es
   

  

0
( ) exp exp 2G f at j ft dt

23. 21
FIGURA 2.4 (a) Pulso exponencial decreciente. (b) Pulso exponencial creciente.
Reemplazando t con t, podemos escribir
 

        0
1
( ) exp 2
2
G f t a j f dt
a j f
El par de transformadas de Fourier para el pulso exponencial creciente de la Fig. 2.4(b) es entonces
   
 
1
exp ( )
2
at u t
a j f
(2.13)
Los dos pulsos exponenciales creciente y decreciente de la Fig. 2.4 son ambos funciones asimétricas del tiempo t.
Sus transformadas de Fourier son por tanto de valores complejos, como muestran las Ecs. (2.12) y (2.13).
Adicionalmente, en estos pares de transformadas vemos que los pulsos exponenciales creciente y decreciente
tienen el mismo espectro de amplitud, pero el espectro de fase de uno es el negativo del espectro de fase del
otro.
 Problema de Práctica 2.1 Evalúe la transformada de Fourier de la onda sinusoidal amortiguada
     ( ) exp sen 2 ( )cg t t f t u t , donde u(t) es la función escalón unitario.
 Problema de Práctica 2.2 Determine la transformada de Fourier inversa de la función de frecuencia G(f)
definida por los espectros de amplitud y fase mostrados en la Fig. 2.5.
FIGURA 2.5 Función de frecuencia G(f) para el Problema 2.2.

24. 22
2.2 Propiedades de la Transformada de Fourier
Es muy útil tener una idea de la relación entre una función del tiempo g(t) y su transformada de Fourier G(f), y
también de los efectos que diferentes operaciones sobre la función g(t) tienen sobre la transformada G(f). Esto
puede lograrse examinando ciertas propiedades de la transformada de Fourier. En esta sección se describen
catorce propiedades, las cuales se demostrarán, una por una. Esta propiedades se resumen en la Tabla A8.1 del
Apéndice 8.
PROPIEDAD 1 Linealidad (Superposición) Supóngase que 1 1( ) ( )g t G f y 2 2( ) ( )g t G f . Entonces, para todas
las constantes 1 2yc c , tenemos que
  1 1 2 2 1 1 2 2( ) (t) ( ) ( )c g t c g c G f c G f (2.14)
La demostración de esta propiedad se deduce simplemente a partir de la linealidad de las integrales de
definición de G(f) y g(t).
La Propiedad 1 nos permite determinar la transformada de Fourier G(f) de una función g(t) que sea una
combinación lineal de otras dos funciones 1 2( ) y ( )g t g t cuyas transformadas de Fourier 1 2( ) y ( )G f G f son
conocidas, como se ilustra en el ejemplo siguiente.
EJEMPLO 2.3 Combinaciones de Pulsos Exponenciales
Considere un pulso exponencial doble definido por (véase la Fig. 2.6(a))
 
 
 
  

 
  
 
exp , 0
( ) 1, 0
exp , 0
exp
at t
g t t
at t
a t (2.15)
Este pulso puede considerarse como la suma de un exponencial decreciente truncado y un pulso exponencial
creciente truncado. Por tanto, usando la propiedad de linealidad y los pares de transformadas de Fourier de las
Ecs. (2.12) y (2.13), encontramos que la transformada de Fourier del pulso exponencial doble de la Fig. 2.6(a) es
 
  
     
22
1 1 2
( )
2 2 2
a
G f
a j f a j f a f
Tenemos entonces el siguiente par de transformadas de Fourier para el pulso exponencial doble de la Fig. 2.6(a):
 
 
 
 
22
2
exp
2
a
a t
a f
(2.16)
Observe que debido a la simetría en el dominio del tiempo, como en la Fig. 2.6(a), el espectro es real y simétrico;
ésta es una propiedad general de estos pares de transformadas de Fourier.
Otra combinación interesante es la diferencia entre un pulso exponencial decreciente truncado y un pulso
exponencial creciente truncado, como se muestra en la Fig. 2.6(b). Aquí tenemos
 
 
  

 
   
exp , 0
( ) 1, 0
exp , 0
at t
g t t
at t
(2.17)

25. 23
FIGURA 2.6 (a) Pulso exponencial doble (simétrico). (b) Otro pulso exponencial doble (simetría impar).
Podemos formular una notación compacta para esta señal compuesta usando la función signo que es igual a +1
para tiempo positivo y a 1 para tiempo negativo, como lo muestra la relación
 

 
  
1, 0
sgn( ) 0, 0
1, 0
t
t t
t
(2.18)
La función signo se muestra en la Fig. 2.7. En consecuencia, podemos reformular la señal compuesta g(t)
definida en la Ec. (2.17) simplemente como
  ( ) exp sgn( )g t a t t
Por tanto, aplicando la propiedad de linealidad de la transformada de Fourier, hallamos fácilmente que a la luz
de las Ecs. (2.12) y (2.13), la transformada de Fourier de la señal g(t) es
 
 
        
 

 
22
1 1
exp sgn( )
2 2
4
2
a t t
a j f a j f
j f
a f
F
Tenemos entonces el par de transformadas de Fourier
 
 
 
 
 
22
4
exp sgn( )
2
j f
a t t
a f
(2.19)

26. 24
FIGURA 2.7 Función signo.
En contraste con el par de transformadas de Fourier de la Ec. (2.16), la transformada de Fourier en la Ec. (2.19) es
impar y puramente imaginaria. Es una propiedad general de los pares de transformadas de Fourier que aplican
a una función del tiempo con simetría impar, que satisface la condición   ( ) ( )g t g t , como en la Fig. 2.6(b); tal
función de tiempo tiene una función impar y puramente imaginaria como su transformada de Fourier.
PROPIEDAD 2 Dilación Sea g(t)  G(f). Entonces, la propiedad de dilación o propiedad de semejanza establece que
   
  
 
1 f
g at G
a a
(2.20)
donde el factor de dilación, a saber, a, es un número real.
Para demostrar esta propiedad, observamos que
   


  
( ) ( )exp 2g at g at j ft dtF
Hacemos   at . Hay dos caso que pueden aparecer, dependiente de si el factor de dilación a es positivo o
negativo. Si a > 0, obtenemos
 


  
             
 
  
 


1
( )exp 2
1
f
g at g j d
a a
f
G
a a
F
Por otra parte, si a < 0, los límites de integración son intercambiados de modo que tenemos el factor de
multiplicación   1 a o, equivalentemente, 1 a . Esto completa la demostración de la Ec. (2.20).
Observe que los factores de dilación a y 1/a usados en las funciones de tiempo y de frecuencia en la Ec. (2.20)
son recíprocos. En particular, la función g(at) representa a g(t) comprimida en el tiempo por el factor a, en tanto
que la función  G f a representa a G(f) expandida en frecuencia por el mismo factor a, suponiendo que
 0 1a . Por tanto, la regla de dilación establece que la compresión de una función g(t) en el dominio del tiempo
es equivalente a la expansión de su transformada de Fourier G(f) en el dominio de la frecuencia por el mismo
factor, o viceversa.

27. 25
Para el caso especial cuando a = 1, la regla de dilación de la Ec. (2.20) se reduce a la propiedad de reflexión, la
cual establece que si ( ) ( )g t G f , entonces
  ( ) ( )g t G f (2.21)
Refiriéndonos a la Fig. 2.4, vemos que el pulso exponencial creciente mostrado en la parte (b) de la figura es la
reflexión con respecto al eje vertical del pulso exponencial decreciente mostrado en la parte (a). En consecuencia,
aplicando la regla de reflexión a la Ec. (2.12) que pertenece al pulso exponencial decreciente, vemos rápidamente
que la transformada de Fourier del pulso exponencial creciente es   1 2a j f , que es exactamente lo que
tenemos en la Ec. (2.13).
PROPIEDAD 3 Regla de Conjugación Sea ( ) ( )g t G f . Entonces para una función del tiempo de valores complejos
g(t), tenemos que
*( ) *( )g t G f  (2.22)
donde el asterisco denota la operación de conjugación compleja.
Para demostrar esta propiedad, sabemos por la transformada de Fourier inversa que
 ( ) ( )exp 2g t G f j ft df


 

Tomando conjugados complejos de ambos lados, se obtiene
 *( ) *( )exp 2g t G f j ft df


  

Ahora, se reemplaza f con f y se obtiene
 
 
*( ) *( )exp 2
*( )exp 2
g t G f j ft df
G f j ft df




   
  


Esto es, g*(t) es la transformada de Fourier inversa de *( )G f , que es el resultado deseado.
Como un corolario a la regla de conjugación de la Ec. (2.22), podemos afirmar que si ( ) ( )g t G f , entonces
*( ) *( )g t G f  (2.23)
Este resultado se deduce directamente de la Ec. (2.22) aplicando la regla de reflexión descrita en la Ec. (2.21).
PROPIEDAD 4 Dualidad Si ( ) ( )g t G f , entonces
( ) ( )G t g f  (2.24)
Esta propiedad se deduce de la relación que define la transformada de Fourier inversa de la Ec. (2.21)
reemplazando primero t con t y después escribiéndola en la forma
 ( ) ( )exp 2g t G f j ft df


   


28. 26
Finalmente, intercambiando t y f (es decir, reemplazando t con f en el lado izquierdo de la ecuación y f con t en el
lado derecho), obtenemos
 ( ) ( )exp 2g f G t j ft dt


   

que es la parte expandida de la Ec. (2.24) al pasar del dominio del tiempo al de la frecuencia.
EJEMPLO 2.4 Pulso Sinc
Considérese una señal g(t) en la forma de una función sinc, es decir,
 ( ) sinc 2g t A Wt
Para evaluar la transformada de Fourier de esta función, aplicamos las propiedades de dualidad y dilación al
par de transformadas de Fourier de la Ec. (2.10). Entonces, reconociendo que la función rectangular es una
función par del tiempo, obtenemos el resultado
 sinc 2 rect
2 2
fA
A Wt
W W
 
  
 
(2.25)
que se muestra en la Fig. 2.8. Vemos entonces que la transformada de Fourier de un pulso sinc es cero para
f W . Observe también que el pulso sinc mismo está limitado en el tiempo en el sentido de que tiende a cero
conforme el tiempo t tiende a infinito; esta característica asintótica es lo que convierte a la función sinc en una
señal de energía y por tanto transformable en el sentido de Fourier.
FIGURA 2.8 (a) Pulso sinc g(t). (b) Transformada de Fourier G(f).
PROPIEDAD 5 Corrimiento (Desplazamiento) en el Tiempo Si ( ) ( )g t G f , entonces
   0 0( )exp 2g t t G f j ft    (2.26)
donde t0 es una constante real de desplazamiento en el tiempo.
Para demostrar esta propiedad, tomamos la transformada de Fourier de  0g t t y entonces hacemos
 0t t   o, su equivalente, 0t t  . Obtenemos entonces

29. 27
     
 
0 0
0
exp 2 ( )exp 2
exp 2 ( )
g t t j ft g j d
j ft G f


          
  
F
La propiedad de desplazamiento en el tiempo establece que si una función g(t) es desplazada a lo largo del eje
del tiempo por una cantidad t0, el efecto es equivalente a multiplicar su transformada de Fourier G(f) por el
factor  0exp 2j ft  . Esto significa que la amplitud de G(f) no es afectada por el desplazamiento, pero su fase sí
cambia por el factor 02 ft  , el cual varía linealmente con la frecuencia f.
PROPIEDAD 6 Desplazamiento en Frecuencia Si ( ) ( )g t G f , entonces
   exp 2 ( )c cj f t g t G f f   (2.27)
donde fc es una constante de frecuencia real.
Esta propiedad se deduce del hecho de que
   
 
exp 2 ( ) ( )exp 2c c
c
j f t g t g t j t f f dt
G f f


          
 
F
Esto es, la multiplicación de una función g(t) por un factor  exp 2 cj f t es equivalente a correr su transformada
de Fourier G(f) por la cantidad fc. Esta propiedad es un caso especial del teorema de modulación analizado más
adelante bajo la Propiedad 11; básicamente, un desplazamiento de la banda de frecuencias en una señal se
obtiene usando el proceso de modulación. Observe la dualidad entre las operaciones de desplazamiento en
tiempo y desplazamiento en frecuencia descritas en las Ecs. (2.26) y (2.27).
EJEMPLO 2.5 Pulso de Radio Frecuencia (RF)
Considérese la señal de pulso g(t) mostrada en la Fig. 2.9(a), la cual consiste de una onda sinusoidal de amplitud
unitaria y frecuencia fc, que se extiende en duración desde t = T/2 hasta t = T/2. Esta señal algunas veces recibe
el nombre de pulso RF, cuando la frecuencia fc cae en la banda de radio frecuencias. La señal g(t) de la Fig. 2.9(a)
puede expresarse matemáticamente como
 ( ) rect cos 2 c
t
g t f t
T
 
  
 
(2.28)
Para hallar la transformada de Fourier de la señal RF, primero usamos la fórmula de Euler para escribir
     
1
cos 2 exp 2 exp 2
2
c c cf t j f t j f t        
Por tanto, si aplicamos la propiedad de desplazamiento en frecuencia al par de transformadas de Fourier de la
Ec. (2.10), y después invocamos la propiedad de linealidad de la transformada, obtenemos el resultado deseado
      rect cos 2 sinc sinc
2
c c c
t T
f t T f f T f f
T
 
              
(2.29)
En el caso especial de 1cf T  , es decir, la frecuencia fc es grande comparada con el recíproco de la duración del
pulso T, podemos usar el resultado aproximado

30. 28
FIGURA 2.9 (a) Pulso de RF de amplitud unitaria y duración T. (b) Espectro de amplitud.
 
 
sinc , 0
2
( ) 0 0
sinc , 0
2
c
c
T
T f f f
G f f
T
T f f f

    

 

     
(2.30)
Bajo la condición 1cf T  , el espectro de amplitud del pulso de RF se muestra en la Fig. 2.9(b). Este diagrama,
en relación con el de la Fig. 2.2(b), muestra claramente la propiedad de corrimiento en frecuencia de la
transformada de Fourier.
PROPIEDAD 7 Área Bajo g(t) Si ( ) ( )g t G f , entonces
( ) (0)g t dt G



 (2.31)
Es decir, el área bajo una función g(t) es igual al valor de su transformada de Fourier G(f) en f = 0.

31. 29
Este resultado se obtienen con simplemente hacer f = 0 en la Ec. (2.1) que define la transformada de Fourier de
la función g(t).
 Problema de Práctica 2.3 Supóngase que g(t) es de valores reales con una transformada de Fourier de
valores complejos G(f). Explique cómo esta señal puede satisfacer la regla de la Ec. (2.31).
PROPIEDAD 8 Área Bajo G(f) Si ( ) ( )g t G f , entonces
(0) ( )g G f df



 (2.32)
Es decir, el valor de una función g(t) en t = 0 es igual al área bajo su transformada de Fourier G(f).
El resultado se obtiene con simplemente hacer t = 0 en la Ec. (2.2) que define la transformada de Fourier
inversa de G(f).
 Problema de Práctica 2.4 Continuando con el Problema 2.3, explique cómo la señal descrita allí puede
satisfacer la regla de la Ec. (2.32).
PROPIEDAD 9 Diferenciación en el Dominio del Tiempo Sea ( ) ( )g t G f y supóngase que la primera derivada
de g(t) con respecto al tiempo t es transformable en el sentido de Fourier. Entonces
( ) 2 ( )
d
g t j f G f
dt
  (2.33)
Es decir, la diferenciación de una función del tiempo g(t) tiene el efecto de multiplicar su transformada de Fourier G(f) pos el
factor puramente imaginario 2j f .
Este resultado se obtiene en simplemente dos pasos. En el paso 1, tomamos la primera derivada de ambos
lados de la integral en la Ec. (2.2) que define la transformada de Fourier inversa de G(f). En el paso 2,
intercambiamos las operaciones de integración y diferenciación.
La Ec. (2.33) puede generalizarse para derivadas de orden superior de la función g(t):
 ( ) 2 ( )
n
m
n
d
g t j f G f
dt
  (2.34)
la cual incluye la Ec. (2.33) como un caso especial. La Ec. (2.34) supone que la transformada de Fourier de las
derivadas de orden mayor de g(t) existen.
EJEMPLO 6 Pulso Gaussiano Unitario
Típicamente, una señal de pulso g(t) y su transformada de Fourier G(f) tienen diferentes formas matemáticas.
Esta observación es ilustrada por los pares de transformadas de Fourier estudiados en los Ejemplos 2.1 a 2.5. En
este ejemplo, consideramos una excepción a esta observación. En particular, usamos la propiedad de
diferenciación de la transformada de Fourier para deducir la forma particular de una señal de pulso que tiene la
misma forma matemática que su propia transformada de Fourier.
Denote por g(t) la señal de pulso expresada como una función del tiempo t y por G(f) su transformada de
Fourier. Diferenciando la fórmula de la transformada de Fourier de la Ec. (2.1) con respecto a f, podemos escribir

32. 30
2 ( ) ( )
d
j tg t G f
df
  
o su equivalente
2 ( ) ( )
d
tg t j G f
df
  (2.35)
Supóngase que ahora se impone la siguiente condición sobre los lados izquierdos de las Ecs. (2.33) y (2.35:
( ) 2 ( )
d
g t tg t
dt
   (2.36)
Entonces, en un forma correspondiente, se deduce que los lados derechos de estas dos ecuaciones deben,
después de cancelar el factor común de multiplicación j, satisfacer la condición
( ) 2 ( )
d
G f f G f
df
   (2.37)
La Ecs. (2.36) y (2.37) muestran que la señal de pulso g(t) y su transformada de Fourier G(f) tienen exactamente la
misma forma matemática. En otras palabras, siempre que la señal de pulso g(t) satisfaga la ecuación diferencial
(2.36), entonces G(f) = g(f), donde g(f) se obtiene a partir de g(t) sustituyendo f por t. Despejando g(t) en la Ec.
(2.36), obtenemos
   2
( ) expg t t (2.38)
El pulso definido por la Ec. (2.38) se denomina un pulso gaussiano, donde el nombre se deriva de la semejanza de
la función con la función de densidad de probabilidades gaussianas de la teoría de probabilidades (véase el
Capítulo 8). Su gráfica se muestra en la Fig. 2.10. Aplicando la Ec. (2.31), encontramos que el área bajo este pulso
gaussiano es igual a la unidad, como muestra la relación
 2
exp 1t dt


 
 (2.39)
FIGURA 2.10 Pulso gaussiano.
Cuando la ordenada central y el área bajo la curva de un pulso son ambas iguales a uno, como en las Ecs. (2.38) y
(2.39), decimos que el pulso gaussiano es un pulso unitario. Concluimos entonces que el pulso gaussiano unitario
es su propia transformada de Fourier, es decir,
   2 2
exp expt f   (2.40)

33. 31
PROPIEDAD 10 Integración en el Dominio del Tiempo Sea ( ) ( )g t G f . Entonces, siempre que G(0) = 0, tenemos
1
( ) ( )
2
t
g d G f
j f
  
 (2.41)
Esto es, la integración de una función del tiempo g(t) tiene el efecto de dividir su transformada de Fourier G(f) por el factor
2j f , siempre que G(0) sea cero.
Esta propiedad se verifica expresando g(t) como
( ) ( )
t
d
g t g d
dt 
 
   
 
y después aplicando la propiedad de diferenciación en el tiempo de la transformada de Fourier para obtener
 ( ) 2 ( )
t
G f j f g d

  
     
  F
y de aquí se deduce de inmediato la Ec. (2.41).
Es un proceso directo generalizar la Ec. (2.41) a la integración múltiple; sin embargo, la notación se vuelve algo
engorrosa.
La Ec. (2.41) supone que G(0), es decir, el área bajo g(t), es cero. El caso más general perteneciente a G(0)  0 se
difiere para la Sección 2.4.
EJEMPLO 2.7 Pulso Triangular
Considere el pulso doblete g1(t) mostrado en la Fig. 2.11(a). Integrando este pulso con respecto al tiempo,
obtenemos el pulso triangular g2(t) mostrado en la Fig. 2.11(b). Notamos que el pulso doblete g1(t) consiste de dos
pulsos rectangulares: uno de amplitud A, definido para el intervalo T  t  0, y el otro de amplitud A, definido
para el intervalo 0  t  T. Aplicando la propiedad de desplazamiento en el tiempo de la transformada de
Fourier a la Ec. (2.19), encontramos que las transformadas de estos dos pulsos rectangulares son iguales a
   sinc expAT fT j fT y    sinc expAT fT j fT   , respectivamente. Por tanto, invocando la propiedad de
linealidad de la transformada de Fourier, encontramos que la transformada de Fourier 1( )G f del pulso doblete
1( )g t es
     
   
1( ) sinc exp exp
2 sinc sen
G f AT fT j fT j fT
jAT fT fT
       
  (2.42)
Observamos también en la Ec. (2.42) que 1(0)G es cero. Por tanto, usando las Ecs. (2.41) y (2.42), encontramos
que la transformada de Fourier 2( )G f del pulso triangular 2( )g t de la Fig. 2.11(b) es
 
 
 
2 1
2 2
1
( ) ( )
2
sen
sinc
sinc
G f G f
j f
fT
AT fT
f
AT fT





 (2.43)

34. 32
Observe que el pulso dobles de la Fig. 2.11(a) es real y tiene simetría impar y su transformada de Fourier es por
tanto impar e imaginaria pura, en tanto que el pulso triangula de la Fig. 2.11(b) es real y simétrico y su
transformada de Fourier es entonces simétrica y puramente real.
FIGURA 2.11 (a) Pulso doblete g1(t). (b) Pulso triangular g2(t) obtenido al
integrar g1(t) con respecto al tiempo t.
EJEMPLO 2.8 Partes Real e Imaginaria de una Función del Tiempo
Hasta ahora en este capítulo, hemos analizado la representación de Fourier de diferentes señales, algunas eran
puramente reales, otras eran puramente imaginarias y todavía otras eran de valores complejos con partes reales
e imaginarias. Por tanto, es apropiada que en esta etapa en el análisis de Fourier de señales, usemos este ejemplo
para desarrollar varias fórmulas generales que perteneces a señales complejas y sus espectros.
Cuando expresamos una función g(t) de valores complejos en términos de sus partes real e imaginaria,
podemos escribir
   ( ) Re ( ) Im ( )g t g t j g t  (2.44)
El conjugado complejo de g(t) es
   *( ) Re ( ) Im ( )g t g t j g t  (2.45)
Sumando las Ecs. (2.44) y (2.45), se obtiene
   
1
Re ( ) ( ) *( )
2
g t g t g t  (2.46)
y si las restamos, obtenemos
   
1
Im ( ) ( ) *( )
2
g t g t g t  (2.47)

35. 33
Por tanto, al aplicar la regla de conjugación de la Ec. (2.22), obtenemos los dos pares de trasformadas de Fourier
siguientes:
   
   
1
Re ( ) ( ) *( )
2
1
Im ( ) ( ) *( )
2
g t G f G f
g t G f G f

   

  

(2.48)
De la segunda línea en la Ec. (2.48), es claro que en el caso de una función del tiempo de valores reales g(t),
tenemos que ( ) *( )G f G f  ; es decir, la transformada de Fourier ( )G f exhibe simetría conjugada, lo que
confirma un resultado ya establecido anteriormente en la Sección 2.2.
PROPIEDAD 11 Teorema de Modulación Sean 1 1( ) ( )g t G f y 2 2( ) ( )g t G f . Entonces
1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )g t g t G G f d


   
 (2.49)
Para demostrar esta propiedad, primero denotamos la transformada de Fourier del producto 1 2( ) ( )g t g t por
12( )G f , de modo que podemos escribir
1 2 12( ) ( ) ( )g t g t G f
donde
 12 1 2( ) ( ) ( )exp 2G f g t g t j ft dt


  

A continuación, por 2( )g t sustituimos la transformada de Fourier inversa
   2 2( ) exp 2g t G f j f t df


   

en la integral que define a , para obtener
   12 1 2( ) ( ) exp 2G f g t G f j f f t df dt
 
 
        
Ahora defina f f    . Entonces, eliminando la variable f  e intercambiando el orden de integración
obtenemos, después de reacomodar términos,
 12 2 1( ) ( ) ( )exp 2G f G f g t j t dt d
 
 
 
     
  
suponiendo que f es fija. La integral interna es simplemente 1( )G  ; por tanto, podemos escribir
12 1 2( ) ( ) ( )G f G G f d


   

que es el resultado deseado. Esta integral se conoce como la integral de convolución expresada en el dominio de la
frecuencia, y la función 12( )G f se conoce como la convolución de 1( )G f y 2( )G f . Concluimos que la multiplicación
de dos señales en el dominio del tiempo se transforma en la convolución de sus transformadas de Fourier individuales en el
dominio de la frecuencia. Esta propiedad también se conoce como el teorema de modulación. En los capítulos
subsiguientes se dirá mucho más sobre las implicaciones prácticas de esta propiedad.
En un análisis de la convolución, la siguiente notación abreviada se usa con frecuencia:

36. 34
12 1 2( ) ( ) ( )G f G f G f 
En consecuencia, podemos reformular la Ec. (2.49) en la forma simbólica siguiente:
1 2 2 2( ) ( ) ( ) G ( )g t g t G f f  (2.50)
donde el asterisco denota la convolución. Observe que la convolución es conmutativa; es decir
1 2 2 1( ) ( ) ( ) ( )G f G f G f G f  
la cual se obtiene directamente de la Ec. (2.50).
PROPIEDAD 12 Teorema de Convolución Sean 1 1( ) ( )g t G f y 2 2( ) ( )g t G f . Entonces
1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )g g t d G f G f


    
 (2.51)
La Ec. (2.51) se deduce directamente combinando la Propiedad 4 (dualidad) y la Propiedad 11 (modulación).
Podemos entonces afirmar que la convolución de dos señales en el dominio del tiempo es transformada en la
multiplicación de sus transformadas de Fourier individuales en el dominio de la frecuencia. Esta propiedad se conoce
como el teorema de convolución. Su uso nos permite intercambiar una operación de convolución en el dominio del
tiempo por una multiplicación de dos transformadas de Fourier, una operación que ordinariamente es más fácil
de manipular. Tendremos más que decir sobre la convolución más adelante en este capítulo cuando se estudie el
tema de filtrado.
Usando la notación abreviada para la convolución, podemos reescribir la Ec. (2.51) en la forma más sencilla
1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )g t g t G f G f  (2.52)
Observe que las Propiedades 11 y 12, descritas por las Ecs. (2.49) y (2.51), respectivamente, son duales entre sí.
 Problema de Práctica 2.5 Desarrolle los pasos detallados que muestran que los teoremas de modulación y
convolución son efectivamente duales entre sí.
PROPIEDAD 13 Teorema de Correlación Sean 1 1( ) ( )g t G f y 2 2( ) ( )g t G f . Entonces, suponiendo que 1( )g t
y 2( )g t son de valores complejos,
1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )g t g t d G f G f

 

   
 (2.53)
donde 2( )G f
es el conjugado complejo de 2( )G f y  es la variable de tiempo involucrada en la definición de la
transformada inversa del producto 1 2( ) ( )G f G f
.
Para demostrar la Ec. (2.53), comenzamos por reformular la integral de convolución con los papeles de las
variables de tiempo t y  intercambiados, en cuyo caso simplemente reescribimos la Ec. (2.51) como
1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )g t g t dt G f G f


  
 (2.54)
Como ya se señaló en el enunciado de la Propiedad 13, la transformada de Fourier inversa del término producto
1 2( ) ( )G f G f tiene a  como su variable de tiempo; es decir,  exp 2j f  es su núcleo. Con la fórmula de la Ec.

37. 35
(2.54) a mano, la Ec. (2.53) se deduce directamente combinando la regla de reflexión (caso especial de la
propiedad de dilación) y la regla de conjugación.
La integral en el lado izquierdo de la Ec. (2.53) define una medida de la semejanza que pueda existir entre un
par de señales de valores complejos. Esta medida se denomina correlación, sobre la cual se dirá más
posteriormente en este capítulo.
 Problema de Práctica 2.6 Desarrolle los pasos detallados involucrados en la deducción de la Ec. (2.53),
comenzando desde la Ec. (2.51).
 Problema de Práctica 2.7 Demuestre las propiedades siguientes del proceso de convolución:
(a) La propiedad conmutativa: 1 2 2 1( ) ( ) ( ) ( )g t g t g t g t  
(b) La propiedad asociativa:    1 2 3 1 2 3( ) ( ) g ( ) ( ) ( ) ( )g t g t t g t g t g t    
(c) La propiedad distributiva:  1 2 3 1 2 1 3( ) ( ) g ( ) ( ) ( ) ( ) ( )g t g t t g t g t g t g t     
PROPIEDAD 14 Teorema de Energía de Rayleigh Sea ( ) ( )g t G f . Entonces
2 2
( ) ( )g t dt G f df
 
 

  (2.55)
Para demostrar la Ec. (2.55), hacemos 1 2( ) ( ) ( )g t g t g t  en la Ec. (2.53), en cuyo caso el teorema de correlación
se reduce a
2
( ) *( ) ( ) *( ) ( )g t g t dt G f G f G f


   

En forma expandida, podemos escribir
 2
( ) *( ) ( ) exp 2g t g t dt G f j f df
 
 
    
  (2.56)
Finalmente, tomando  = 0 en la Ec. (2.56) y reconociendo que
2
( ) ( ) ( )g t g t g t , obtenemos el resultado deseado.
La Ec. (2.55), conocida como el teorema de energía de Rayleigh, establece que la energía total de una señal Fourier
transformable es igual al área total bajo la curva del cuadrado del espectro de amplitud de esta señal. La
determinación de la energía con frecuencia es simplificada al invocar el teorema de energía de Rayleigh, como se
ilustra en el ejemplo siguiente.
EJEMPLO 2.9 Pulso Sinc (continuación)
Considérese una vez más el pulso  sinc 2A Wt . La energía de este pulso es igual a
 2 2
sinc 2E A W t dt




La integral en el lado derecho de esta ecuación es bastante difícil de evaluar. Sin embargo, del Ejemplo 2.4
tenemos que la transformada de Fourier del pulso  sinc 2A Wt es igual a    2 rect "A W f W ; por tanto,
aplicando el teorema de energía de Rayleigh a este problema, obtenemos fácilmente el resultado deseado:

38. 36
2
2
2
2
rect
2 2
2
2
W
W
fA
E df
W W
A
df
W
A
W



  
    
   
 
  
 



(2.57)
Este ejemplo ilustra claramente la utilidad del teorema de la energía de Rayleigh.
 Problema de Práctica 2.8 Considere la función pulso sinc( )t y demuestre que 2
sinc ( ) 1t dt



 .
2.3 La Relación Inversa Entre el Tiempo y la Frecuencia
Las propiedades de la transformada de Fourier estudiadas en la Sección 2.2 muestran que las descripciones en el
dominio del tiempo y en el de la frecuencia de una señal están relacionadas inversamente entre sí. En particular,
podemos hacer dos afirmaciones importantes:
1. Si se cambia la descripción en el dominio del tiempo de una señal, la descripción en el dominio de la
frecuencia de la señal es cambiada en una forma inversa, y viceversa. Esta relación inversa evita
especificaciones arbitrarias de una señal en ambos dominios. En otras palabras, podemos especificar una
función arbitraria del tiempo o un espectro arbitrario, pero no podemos especificar ambas al mismo tiempo.
2. Si una señal está estrictamente limitada en frecuencia, la descripción en el dominio del tiempo de la señal se
extenderá indefinidamente, aunque su amplitud puede asumir un valor progresivamente menor. Decimos
que una señal está estrictamente limitada en frecuencia o estrictamente limitada en banda si su transformada de
Fourier es exactamente cero fuera de una banda finita de frecuencias. El pulso sinc es un ejemplo de una
señal estrictamente limitada en banda, como muestra la Fig. 2.8. Esta figura también muestra que el pulso
sinc está solamente limitado asintóticamente en el tiempo. En una forma inversa, si una señal está estrictamente
limitada en tiempo (es decir, la señal es exactamente cero fuera de un intervalo finito en el tiempo), entonces
el espectro de la señal es infinito en extensión, aunque el espectro de amplitud puede asumir un valor
progresivamente menor. Esta conducta es ejemplificada tanto para el pulso rectangular (descrito en la Fig.
2.2) como para el pulso triangular (descrita en la Fig. 2.11(b)). En consecuencia, podemos afirmar que una
señal no puede estar estrictamente limitada tanto en tiempo como en frecuencia.
ANCHO DE BANDA
El ancho de banda de una señal proporciona una medida de la extensión del contenido espectral significativo de la señal
para frecuencias positivas. Cuando la señal está estrictamente limitada en banda, el ancho de banda está bien
definido. Por ejemplo, el pulso sinc descrito en la Fig. 2.8(a) tiene un ancho de banda igual a W. La dificultad
surge porque el significado de la palabra “significativo” anexado al contenido espectral de la señal es
matemáticamente impreciso. Como consecuencia, no hay una definición de ancho de banda aceptada
universalmente.
No obstante, hay algunas definiciones de ancho de banda usadas comúnmente. En esta sección se considerarán
tres de esas definiciones; la formulación de cada definición depende de si la señal es de pasabajas o de
pasabanda. Se dice que una señal es de pasabajas si su contenido espectral significativo está centrado alrededor
del origen 0f  . Se dice que una señal es de pasabanda si su contenido espectral significativo está centrado
alrededor de cf , donde cf es una frecuencia constante.