Folleto esta y probabilidades

José Adán Duarte Urbina PhD
Lic. Cliffor Jerry Herrera Castrillo

Física Matemática 2do año UNAN FAREM Chontales2
Estadística y Probabilidades
Facultad Regional Multidisciplinaria de Chontales
FAREM CHONTALES
“CORNELIO SILVA ARGUELLO”
Departamento de Ciencias de la Educación y Humanidades
2020: Año de la Educación con Calidad y Pertinencia
Física Matemática II Año
Elaborado: PhD. José Adán Duarte Urbina.
Con la valiosa Colaboración de Lic. Cliffor Jerry Herrera Castrillo
Marzo 2020

INDICE
Unidad I: Estadística Descriptiva.................................................................................................... 8
1. Conceptos fundamentales de la estadística descriptiva.................................................................8
1.1. Población y Muestra. ...................................................................................................................9
1.2. Variables Estadísticas.................................................................................................................10
1.3. Medición y escalas de medidas (Ordinal, nominal, intervalo y razón). .................................10
1.3.1. Nominal ...............................................................................................................................10
1.3.2. Ordinal.................................................................................................................................10
1.3.3. Intervalo ..............................................................................................................................11
1.3.4. Razón...................................................................................................................................11
1.4. Distribución de frecuencias........................................................................................................12
1.5. Gráficos Estadísticos. .................................................................................................................18
1.6. Medidas de Tendencia Central. .................................................................................................22
1.7. Medidas de Variabilidad. ...........................................................................................................29
1.7.1. Rango o Amplitud................................................................................................................29
1.7.2. Desviación Media. ...............................................................................................................30
1.7.3. Varianza...............................................................................................................................31
1.7.4. Desviación Típica o Estándar...............................................................................................33
1.7.5. Coeficiente de Variación. ....................................................................................................34
1.8. Medidas de Posición. .................................................................................................................37
Unidad II: Teoría Elemental de Probabilidad................................................................................ 42
2.1. Fenómenos Aleatorios y Determinísticos..................................................................................42
2.2. Diagramación de Árbol. .............................................................................................................44
2.3. Principio de Multiplicación, Permutaciones, Combinaciones. ..................................................47
2.4. Relación y diferencia entre Probabilidad y Estadística..............................................................55
2.5. Definición de probabilidad.........................................................................................................56
Unidad III: Estadística Inferencial................................................................................................. 71
3.1. Teorema de límite central..........................................................................................................71
3.2. Variables Aleatorias ...................................................................................................................72
3.2.1. Distribución Binomial ..........................................................................................................72
3.2.2. Distribución Normal ............................................................................................................76
3.3. Muestreo....................................................................................................................................86

3.3. Prueba de hipótesis..................................................................................................................101
3.4. Prueba de hipótesis para la diferencia de media y proporciones de dos poblaciones. ..........102
3.5. Comprobación de resultados con intervalo de confianza. ...........¡Error! Marcador no definido.
Regresión Y Correlación Lineal........................................................................................................117
BIBLIOGRAFIA.............................................................................................................................123

PRUEBA DIAGNÓSTICA
I. Seleccione y marque la letra que contenga la respuesta correcta.
1. Es un subconjunto de la población, se compone de individuos, objetos, medidas u observaciones
seleccionadas de la población.
a) Experimento.
b) Muestra.
c) Población.
d) Dato.
2. Es la recopilación, clasificación, presentación e interpretación de los datos
a) Estadística.
b) Experimento.
c) Muestra.
d) Dato.
3. Actividad realizada según un plan definido, cuyos resultados producen un conjunto de datos.
a) Muestra.
b) Experimento.
c) Población.
d) Dato.
4. Valor de la variable asociado a un elemento de la población o muestra.
a) Muestra.
b) Experimento.
c) Población.
d) Dato.
5. Es el resultado de una medida en números fraccionarios o decimales.
a) Dato Cuantitativo discreto.
b) Dato Cuantitativo continuo.
c) Dato Cualitativo.
d) Valor Estadístico.
6. Es el valor promedio de un conjunto de datos.
a) Media.
b) Mediana.
c) Moda.
d) Rango.
7. Puede existir o no existir, e incluso no ser única en caso de existir.
a) Media.
b) Mediana.
c) Moda.
d) Rango.

8. Si el número de datos es par, se calcula como el valor promedio de los dos valores centrales.
a) Media.
b) Mediana.
c) Moda.
d) Rango.
9. Si yo tengo una canasta llena de peras y manzanas, de las cuales hay 20 peras y 10 manzanas. ¿Qué
opción es correcta?
a) Es casi improbable que saque una manzana.
b) Da igual sacar una o la otra.
c) Es doblemente probable sacar una pera que una manzana.
d) Al menos una de cada tres frutas que saque será manzana.
10. Cristina tiene tres camisas y cuatro pantalones, todos diferentes, ¿de cuantas maneras podrá
vestirse?
a) 7
b) 12
c) 10
d) 64

INTRODUCCIÓN
El uso de los métodos estadísticos se remonta al menos al siglo V a. C. El historiador Tucídides en su
Historia de la Guerra del Peloponeso, describe como los atenienses calculaban la altura de la muralla
de Platea, contando el número de ladrillos de una sección expuesta de la muralla que estuviera lo
suficientemente cerca como para contarlos. El conteo era repetido varias veces por diferentes
soldados. El valor más frecuente (la moda en términos más modernos) era tomado como el valor del
número de ladrillos más probable. Multiplicando este valor por la altura de los ladrillos usados en la
muralla les permitía a los atenienses determinar la altura de las escaleras necesarias para trepar las
murallas.
Aunque era un concepto conocido por los griegos, la media aritmética no fue generalizada a más de
dos valores hasta el siglo 16. La invención del sistema decimal por Simón Stevin en 1585 parece haber
facilitado estos cálculos. Este método fue adoptado por primera vez en astronomía por Tycho Brahe,
el que intentaba reducir errores en sus estimados de las localizaciones de varios cuerpos celestiales.
La idea de la mediana se originó en el libro de navegación de Edward Wright en 1599 en una sección
concerniente a la determinación de una localización con un compás. Wright sintió que este valor era
el que más probablemente estuviera correcto en una serie de observaciones.
Los métodos matemáticos de la estadística surgieron de la teoría de probabilidades, la cual tiene sus
raíces en la correspondencia entre Pierre de Fermat y Blaise Pascal (1654). Christiaan Huygens (1657)
proveyó el primer tratamiento científico sobre el tema que se conozca hasta la fecha.
Hoy el uso de la estadística se ha ampliado más allá de sus orígenes. Individuos y organizaciones usan
las estadísticas para entender los datos y hacer decisiones informadas a través de las ciencias
naturales y sociales, medicina, negocios y otras áreas.
La Estadística, nace de las necesidades reales del hombre. La variada y cuantiosa información
relacionada con éste y que es necesaria para la toma de decisiones, hace que la estadística sea hoy,
una importante herramienta de trabajo.
Entre las tareas principales de la Estadística, está el de reunir la información integrada por un conjunto
de datos, con el propósito de obtener conclusiones válidas del comportamiento de éstos, como
también hacer una inferencia sobre comportamientos futuros.
En cuanto al uso y la aplicación, puede decirse que abarca todo el ámbito humano encontrándose en
las relaciones comerciales, financieras, políticas, sociales, etc. siendo fundamental en el campo de la
investigación y en la toma de decisiones.
Es así también como en el área de las empresas de servicio y manufactura es posible realizar un
análisis profundo del proceso estadístico al control de la productividad y de la calidad.

Unidad I: Estadística Descriptiva.
Objetivos:
➢ Describir adecuadamente la información contenida en los datos, utilizando formas de
presentación funcionales e indicadores de resumen apropiados, según los tipos de variables
objeto de estudio.
➢ Aplicar medidas de tendencia central, variabilidad y de posición para describir la información
contenida en los datos.
➢ Reconocer la importancia de la estadística descriptiva, valorando el aporte que esta hace a la
investigación experimental.
1. Conceptos fundamentales de la estadística descriptiva.
Cuando se habla de Estadística, se suele pensar en conjuntos de datos numéricos presentados de
forma ordenada y sistemática. Esta idea hace referencia a la acepción popular que existe sobre el
término y que cada vez está más extendida.
¿Qué es la Estadística?
La Estadística estudia los métodos y procedimientos para recopilar, organizar, presentar y analizar
datos, siempre y cuando la variabilidad e incertidumbre sea una causa intrínseca de los mismos; así
como de realizar inferencias a partir de ellos, con la finalidad de ayudar a la toma de decisiones y en
su caso formular predicciones.
División de la Estadística
➢ Estadística Descriptiva
Es la parte de la estadística que estudia los métodos de recopilación, organización, presentación y
caracterización o análisis de un conjunto de datos.
➢ Estadística Inferencial
Estudia los métodos que hacen posible la estimación de un parámetro en base a datos muestrales.
Con el fin de ver de una manera más específica la forma con que trabaja esta ciencia, introduciremos
los siguientes conceptos:
Datos Estadísticos: Números o medidas que han sido recopiladas como resultado de la observación.
Los valores posibles de una característica X los denotaremos por x, mientras que los valores realmente
observados de esa característica X, los llamaremos datos y los denotaremos por xi donde el valor del
subíndice i nos indica que es la i-ésima observación de X.

Con frecuencia usaremos el término población para referirnos a la totalidad de datos que podrían
recopilarse en una situación dada, x1 , x2 , … , xn
1.1. Población y Muestra.
Población: Es un conjunto de elementos de naturaleza cualquiera de los cuales estamos interesados
en estudiar al menos una característica común y observable de dichos elementos en un determinado
lugar y en un momento dado.
Por ejemplo, el conjunto de todos los estudiantes matriculados en la UNAN en el presente año.
➢ Elementos: estudiantes.
➢ Características: sexo, Nº asignaturas que lleva, estatura, edad, año que lleva, turno,
procedencia, etc.
Parámetro: Es una medida que proviene de todos los datos de la población. Los parámetros son
constantes que representan por lo general características de la población. Generalmente se
representan por letras griegas.
Por ejemplo, la media poblacional es un parámetro que se denota y define como:
Si X representa la edad entonces µ representa la edad promedio. Existen muchos parámetros más, la
varianza, la desviación; cada una se abordará más adelante.
Muestreo y Censo
Como el fin de la Estadística es llegar a conocer un parámetro esto podemos lograrlo haciendo:
➢ Un muestreo: un examen sobre una parte de la población.
➢ Un Censo: un examen sobre toda la población.
Muestra: Es un subconjunto o una porción de la población. Con frecuencia usaremos el término
muestra para referirnos a los datos muestrales x1, x2 , … , xn.
Estadístico: Es una medida, un valor que se calcula para describir una característica a partir de una
sola muestra.

1.2. Variables Estadísticas.
Variables: Característica o fenómeno de una población o muestra que será estudiada, la cual puede
tomar diferentes valores, utilizaremos variables como X, Y, Z, etc. para representar las características
de los elementos en estudio, existen básicamente 2 tipos de variables:
Variables cualitativas: Son las que producen respuestas categóricas. (Atributos o cualidades).
Las variables cualitativas pueden ser:
➢ Ordinales: si son cualidades no numéricas del individuo, que pueden ordenarse de acuerdo a
una escala establecida: el grado de satisfacción por una música (mucho, poco o nada).
➢ Nominales: cualidades que no pueden ordenarse. Por ejemplo, el color del pelo, el color de la
piel.
Variables cuantitativas: Son las que producen respuestas numéricas. (Valores cuantificables)
Las variables cualitativas pueden ser:
➢ Discretas: Son aquellas cuyos valores posibles tienen interrupción (esto es, se separan sin
haber valores intermedios) Por lo general provienen de un proceso de conteo y no pueden
tomar ningún valor entre dos consecutivos. Por ejemplo, años cumplidos, número de hijos.
➢ Continuas: Son aquellas cuyos valores posibles no tienen interrupción. Por lo general
provienen de un proceso de medición, teóricamente, puede tomar cualquier valor en una
escala de medidas, decimal o fraccionario. Por ejemplo, peso, tamaño.
1.3. Medición y escalas de medidas (Ordinal, nominal, intervalo y razón).
Para realizar un correcto análisis de los datos es fundamental conocer de antemano el tipo de medida
de la variable, ya que para cada una de ellas se utiliza diferentes estadísticos. La clasificación más
convencional de las escalas de medida las divide en cuatro grupos denominados Nominal, Ordinal,
Intervalo y Razón.
1.3.1. Nominal
Son variables numéricas cuyos valores representan una categoría o
identifican un grupo de pertenencia. Este tipo de variables sólo nos
permite establecer relaciones de igualdad/desigualdad entre los
elementos de la variable. La asignación de los valores se realiza en forma
aleatoria por lo que NO cuenta con un orden lógico. Un ejemplo de este
tipo de variables es el Género ya que nosotros podemos asignarles un valor
a los hombres y otro diferente a las mujeres y por más machistas o
feministas que seamos no podríamos establecer que uno es mayor que el
otro.
1.3.2. Ordinal
Son variables numéricas cuyos valores representan una categoría o identifican un grupo de
pertenencia contando con un orden lógico. Este tipo de variables nos permite establecer relaciones
de igualdad/desigualdad y a su vez, podemos identificar si una categoría es mayor o menor que otra.
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Un ejemplo de variable ordinal es el nivel de educación, ya que se puede establecer que una persona
con título de Postgrado tiene un nivel de educación superior al de una persona con título de bachiller.
En las variables ordinales no se puede determinar la distancia entre sus categorías, ya que no es
cuantificable o medible.
Por ejemplo, una variable que mide la calidad de un programa. La variable puede tomar valores
enteros del 1 al 5, donde el valor 1 es el peor y el 5 el mejor, En esta variable sigue sin tener sentido
las operaciones aritméticas, pero ahora sí tiene sentido el orden. Si un programa tiene valor 4 y otro
tiene valor 2, el primero se entiende que es mejor que es segundo.
1.3.3. Intervalo
Son variables numéricas cuyos valores representan magnitudes y la distancia entre los números de
su escala es igual. Con este tipo de variables podemos realizar comparaciones de
igualdad/desigualdad, establecer un orden dentro de sus valores y medir la distancia existente entre
cada valor de la escala.
Las variables de intervalo carecen de un cero absoluto, por lo que operaciones como la multiplicación
y la división no son realizables. Un ejemplo de este tipo de variables es la temperatura, ya que
podemos decir que la distancia entre 10 y 12 grados es la misma que la existente entre 15 y 17 grados.
Lo que no podemos establecer es que una temperatura de 10 grados equivale a la mitad de una
temperatura de 20 grados, en esta escala, los números mayores corresponden a temperaturas
mayores. Es decir, el orden importa, pero a la vez la diferencias entre las temperaturas importa.
1.3.4. Razón
Las variables de razón poseen las mismas características de las variables de intervalo, con la diferencia
que cuentan con un cero absoluto; es decir, el valor cero (0) representa la ausencia total de medida,
por lo que se puede realizar cualquier operación Aritmética (Suma, Resta, Multiplicación y División) y
Lógica (Comparación y ordenamiento). Este tipo de variables permiten el nivel más alto de medición.
Las variables altura, peso, distancia o el salario, son algunos ejemplos de este tipo de escala de
medida.
Debido a la similitud existente entre las escalas de intervalo y de razón, SPSS las ha reunido en un
nuevo tipo de medida exclusivo del programa, al cual denomina Escala. Las variables de escala son
para SPSS todas aquellas variables cuyos valores representan magnitudes, ya sea que cuenten con un
cero (0) absoluto o no. Teniendo esto en cuenta discutiremos a continuación los diferentes
procedimientos estadísticos que se pueden utilizar de acuerdo al tipo de medida de cada variable.
Por ejemplo, una variable que mida el salario de unas personas, en esta variable, si una persona gana
100, y otra 10, la primera gana más que la segunda (comparación). También tiene sentido decir que
la primera gana 90 más que la segunda (diferencia), o que gana 10 veces más (proporción).

Actividad 1. Escriba la letra correspondiente a la par de cada enunciado en el paréntesis, identifique
cuál es la muestra (M) y cuál es la población (P).
1) Se extrae cien tornillos de los que produce una fábrica en un día determinado ( )
2) Obtenemos las calificaciones de todos los estudiantes de Ia UNAN ( )
3) Obtenemos la información de las horas trabajadas en un día por los trabajadores de una
empresa ( )
4) Extraemos 50 galones de agua de un tanque de 500 galones para que sean examinados ( )
5) La estatura de los estudiantes de Estadística de la FAREM Chontales ( )
Actividad 2. Marque con una “x” la casilla donde le corresponda a cada característica.
VARIABLE
CUALITATIVA CUANTITATIVA
ORDINAL NOMINAL DISCRETA CONTINUA
Edad en años cumplidos
Asignaturas aprobadas
Color del cabello
Producción diaria de botellas para gaseosas
Número de profesores de la Universidad
Religión que profesan
El avance de una enfermedad
Salario mensual de los empleados de una obra
Color de los ojos de un grupo de seis personas
Medallas de una prueba deportiva
Altura de los estudiantes de un grado
Número de hijos de una familia
Color de piel de un grupo de personas
Género de los estudiantes de un Colegio
Estado civil
Calificación de la conducta
1.4. Distribución de frecuencias.
Este tema pretende introducir el manejo de datos numéricos, enseñarle a organizar y presentar datos
obtenidos de un estudio mediante la construcción de tablas y gráficas estadísticas.
También será de vital importancia poder condensar la información en medidas que la representen en
forma clara, por tal razón, trataremos de encontrar valores para esas medidas (estadísticos o
parámetros) que logren sintetizar la información. Estas medidas expresarán la posición, dispersión,
asimetría y forma de los datos.
Recopilación De Datos: Consiste en la utilización adecuada de técnicas que permitan recoger la
información de la manera más eficiente.

Los datos pueden ser recopilados de las siguientes maneras:
a) Registros internos
b) Publicaciones
c) Encuestas
Cuando a) y b) no son apropiados para el estudio que estamos haciendo, utilizamos la encuesta, esto
es, un instrumento que nos permite recopilar la información necesaria.
La encuesta está limitada por factores: tiempo, dinero, recursos materiales y humanos disponibles.
Se puede llevar a cabo por dos formas:
a) Por muestreo.
b) Por censo.
ORGANIZACIÓN DE LOS DATOS
Distribuciones De Frecuencias
La distribución de frecuencia es una disposición tabular de datos estadísticos, ordenados ascendente
o descendentemente, de acuerdo a la frecuencia de cada dato. Las frecuencias pueden ser:
Frecuencia Absoluta (fi): Es el número de veces que se repite un determinado valor de la variable (xi).
Se designa por fi.
Propiedad: la suma de todas las frecuencias absolutas es igual al total de observaciones (n).
Frecuencia Acumulada (Fi):
Las frecuencias acumuladas de una distribución de frecuencias son aquellas que se obtienen de las
sumas sucesivas de las fi que integran cada una de las filas de una distribución de frecuencia, esto se
logra cuando la acumulación de las frecuencias se realiza tomando en cuenta la primera fila hasta
alcanzar la última. Las frecuencias acumuladas se designan con las letras Fi. Se calcula:
Propiedad: La última frecuencia acumulada absoluta es igual al total de observaciones.
Frecuencia Relativa (hi):
Es aquella que resulta de dividir cada una de las frecuencias absolutas entre el número total de datos.
Las frecuencias relativas se designan con las letras hi. Se calcula:
Propiedad: la suma de todas las frecuencias relativas es igual o cercano a la unidad.
Frecuencia Relativa Acumulada (Hi): Es aquella que resulta de dividir cada una de las frecuencias
acumuladas entre el número total de datos. Se designa con las letras Hi. Se calcula:

Propiedad: La última frecuencia relativa acumulada es la unidad.
DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS PARA DATOS NO AGRUPADOS
Es la representación estructurada en forma de tabla de toda la información que se ha recogido sobre
la variable que se estudia, es decir, es una tabla que presenta de manera ordenada los distintos
valores de una variable y sus correspondientes frecuencias. Su forma más común es la siguiente:
El gobierno desea averiguar si el número medio de hijos por familia ha descendido respecto de la
década anterior. Para ello ha encuestado a 50 familias respecto al número de hijos, y ha obtenido los
siguientes datos:
0 0 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 5 6
Se pide:
a. Construir la tabla de frecuencias absolutas
b. ¿Cuál es el número de familias que tiene como máximo dos hijos?
c. ¿Cuántas familias tienen más de 1 hijo, pero como máximo 3?
d. ¿Qué porcentaje de familias tiene más de 3 hijos?
Ra) Para construir la tabla de frecuencias hay que tener en cuenta que la variable en estudio es el
número de hijos (discreta), que toma los valores existentes entre 0 y 6 hijos y las frecuencias son el
conjunto de familias, de esta forma tenemos:
xi fi hi Fi Hi
0 2 0.04 2 0.04
1 4 0.08 6 0.12
2 21 0.42 27 0.54
3 15 0.3 42 0.84
4 6 0.12 48 0.96
5 1 0.02 49 0.98
6 1 0.02 50 1

Rb) En la columna de las fi: 2+4+21=27 o en la columna de las Fi: F2=27
Rc) En la columna de las fi: 21+15=36 o en la columna de las Fi: 42-6=36
Rd) En la columna de las hj: 0.12+0.02+0.02=0.16,
que supone un 16% o en la columna de las Hi: 1-0.84=0.16, 16%
DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS PARA DATOS AGRUPADOS
Es aquella distribución en la que la disposición tabular de los datos estadísticos se encuentra
ordenados en clases y con la frecuencia en cada clase; es decir, los datos originales de varios valores
adyacentes del conjunto se combinan para formar un intervalo de clase.
No existen normas establecidas para determinar cuándo es apropiado utilizar datos agrupados o
datos no agrupados; sin embargo, se sugiere que cuando el número total de datos (N) sea “grande”
o sus datos no presenten suficientes repeticiones entre sí.
La razón fundamental para utilizar la distribución de frecuencia de clases es proporcionar mejor
comunicación acerca del patrón establecido en los datos y facilitar la manipulación de los mismos.
Los datos se agrupan en clases con el fin de sintetizar, resumir, condensar o hacer que la información
obtenida de una investigación sea manejable con mayor facilidad.
Al agrupar los datos en una distribución de frecuencia de clase se pierde parte de la información. La
reducción o agrupamiento a que son sometidos los datos de una serie de valores cuando existen
muchos valores diferentes, originan los denominados errores de agrupamiento; sin embargo, estos
errores son en general muy pequeños, razón por la cual la distribución de frecuencia de clase tiene
una validez estadística práctica.
Para agrupar los datos en intervalos de clase se deben seguir las siguientes reglas generales:
• El número de intervalos de clase se toma entre 5 y 15 dependiendo de los datos y del
método que se utilice.
• Cada observación debe estar incluida en una y solo una clase o intervalo.
• El valor más pequeño y más grande deben entrar en la clasificación.
• No deben existir brechas o vacíos entre clases sucesivas.
• Los intervalos no se deben sobreponer.
• En la medida de lo posible, se debe utilizar la misma amplitud para todos los intervalos.
COMPONENTES DE UNA DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS DE CLASES
Clase o Intervalo de clase: Son divisiones o categorías en las cuales se agrupan un conjunto de datos
ordenados con características comunes. Para organizar los valores de la serie de datos hay que
determinar un número de clases que sea conveniente. En otras palabras, que ese número de
intervalos no origine un número pequeño de clases ni muy grande.
Un número de clases pequeño puede ocultar la naturaleza natural de los datos y un número muy alto
puede provocar demasiados detalles como para observar alguna información de gran utilidad en la
investigación. A las fronteras del intervalo, la llamaremos, límites inferior y superior de la clase y los
denotaremos por Li,Lf.

Punto medio o Marca de clase (x): Es la semisuma del límite inferior y superior de una clase, tal
como lo indica la siguiente formula:
X
Amplitud, Longitud o Tamaño del Intervalo: Los intervalos de clases pueden ser de tres tipos: Clases
de igual tamaño, clases de tamaños desiguales y clases abiertas. En términos generales, las clases de
igual tamaño son los más utilizados y recomendados para los cálculos estadísticos. Se designa por las
letras “Ic” o muchas veces “a”.
Nota: Al número de observaciones de una clase se le llama frecuencia de clase, si dividimos esta
frecuencia por el número total de observaciones, se llama frecuencia relativa de clase, y del mismo
modo que lo hacíamos para datos sin agrupar definiríamos Hi, yFi.
PROCEDIMIENTO PARA CONSTRUIR UNA DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS AGRUPADA EN
INTERVALOS.
1. Ordenar los datos, se recomienda que sea de menor a mayor, sin embargo, también se puede
ordenar de manera descendente.
2. Determinar el máximo y mínimo entre los valores que tenemos en la muestra y calcular el
recorrido de la variable o rango, es decir, R=Xmax-Xmin.
3. Calcular el número de clases (K) a utilizar. Existen diversos criterios para determinar el
número de clases, ante tanta diversidad de criterios, se ha considerado que lo más
importante es dar un ancho o longitud de clases a todos los intervalos de tal manera que
respondan a la naturaleza de los datos y al objetivo que se persigue y esto se logra con la
práctica. El método sugerido por Hebert A. Sturges, el cual establece que: K= 1+3,322 log(n)
lo que da el número de intervalos.
4. Determinamos la amplitud o tamaño de los intervalos través de la siguiente formula:
Es importante mencionar que las clases pueden ser de tres tipos: abiertas, cerradas y semiabiertas.
Se diferencian en que las clases abiertas tienen límites determinados (a,b), pero los valores que la
comprenden contienen valores muy cercanos a los límites sin comprenderlos, lo que se representa
con un intervalo definido entre paréntesis (a,b).
En cambio, las clases cerradas, además de los valores que están entre a y b, los contiene a ellos, y
se representa con corchetes [a,b], existe la opción de construir los intervalos sin signos de
agrupación de tal forma que ambos extremos estén incluidos en él.
Las semiabiertas pueden contener a o b más los valores que están entre ellos, y se puede
representar con un corchete y un paréntesis, por ejemplo, [a,b) o (a,b]. Debe tenerse en cuenta que

cada clase tiene una longitud, o amplitud, que se conoce al restar los valores máximos o mínimos
de dos intervalos consecutivos.
Un nuevo hotel va abrir sus puertas en una cierta ciudad. Antes de decidir el precio de sus
habitaciones, el gerente investiga los precios por habitación de 40 hoteles de la misma categoría de
esta ciudad. Los datos obtenidos (en cientos de Córdobas) fueron:
3.3 3.3 3.7 3.8 3.9 3.9 3.9 4.0 4.1 4.2
4.2 4.3 4.3 4.3 4.3 4.4 4.4 4.5 4.5 4.5
4.5 4.7 4.7 4.7 4.7 4.8 4.9 5.0 5.0 5.1
5.1 5.3 5.3 5.4 5.6 5.8 5.8 6.0 6.1 6.1
Realice una TDF con datos agrupados y analice algunos datos relevantes.
Procedimiento:
1. Los datos ya están ordenados.
2. El menor valor es 3.3 y el mayor 6.1, la diferencia es 2.8 y por tanto R=2.8
3. K= 1+3,322 log (40) = 6.3 números de intervalos
4. Ic = 2.8 / 6.3 = 0.444 ≈ 0.5 tamaño de los intervalos
Así pues, la tabla sería:
CLASES Xi fi Hi Fi Hi
[3.3, 3.8) 3.5 3 0.075 3 0.075
[3.8, 4.3) 4 8 0.2 11 0.275
[4.3, 4.8) 4.5 14 0.35 25 0.625
[4.8, 5.3) 5 6 0.15 31 0.775
[5.3, 5.8) 5.5 4 0.1 35 0.875
[5.8, 6.3) 6 5 0.125 40 1
¿Cuantos hoteles tienen un precio entre 3.3 y 3.8? R: 3
¿Cuantos hoteles tienen un precio superior a 4.8? R: 15
¿Qué porcentaje de hoteles cuestan como mucho 4.3? R: 27.5 %
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1.5. Gráficos Estadísticos.
La forma de la distribución de frecuencias se percibe más rápidamente si la representamos
gráficamente. Se resume la información de la muestra de forma gráfica con fines clarificadores o para
enfatizar y descubrir determinadas características que de otra manera seria muy difícil de apreciar.
Un gráfico siempre es más inmediato de comprender que un conjunto de datos estadísticos. Las
representaciones graficas varían según el tipo de variable:
Diagrama de Barras: Es la representación gráfica usual para variables cuantitativas discretas o para
variables cualitativas. En el eje de ordenadas representamos los diferentes valores de la variable (xi).
Sobre cada valor levantamos una barra de altura igual a la frecuencia (absoluta o relativa). Ejemplo:
Histograma: Es la representación gráfica de las frecuencias agrupadas de una variable continua sobre
intervalos. A diferencia de los diagramas de barras, los histogramas dibujan rectángulos unidos entre
sí, lo que significa que existe continuidad en la variable cuyos valores se representan en el eje
horizontal que se haya dividido en intervalos de igual amplitud. Las áreas de los rectángulos son
proporcionales a las frecuencias que representan.
¿Un histograma es lo mismo que un diagrama de barras?
La primera diferencia es que, en el diagrama de barras los rectángulos van separados, en cambio en
el histograma los rectángulos se unen en uno de sus extremos.
La segunda diferencia es que, el diagrama de barras se usa para representar de forma gráfica datos
cuantitativos discretos o datos cualitativos, en cambio el histograma es exclusivo para representar
datos cuantitativos continuos.
Polígono de Frecuencias: Se forman haciendo que cada marca de clase represente los datos de esa
clase. Luego se toman las frecuencias correspondientes a cada marca de clase para después unir los
puntos resultantes con segmentos. Algunos prolongan el polígono hasta las marcas de clase
imaginarias inferior y superior inmediata.

Polígono de Frecuencias Acumuladas (OJIVA): Ubicamos en el eje horizontal los límites superiores
de todas las clases, algunos prolongan el polígono hasta el límite superior imaginario de la clase
imaginaria inferior inmediata.
Diagrama de Sectores, Circular o de Pastel: Es el más usual en variables cualitativas, se representan
mediante círculos, a cada valor de la variable se le asocia el sector circular proporcional a su
frecuencia.
Para construirlo, se traza un círculo y se asigna cada modalidad un sector circular, cuyo ángulo es
proporcional a su frecuencia relativa, la medida, en grados, de los ángulos centrales se calcula con la
expresión:
Diagrama de Tallo y Hojas: El diagrama "tallo y hojas" (Stem-and-Leaf Diagram) permite obtener
simultáneamente una distribución de frecuencias de la variable y su representación gráfica. Para
construirlo basta separar en cada dato el último dígito de la derecha (que constituye la hoja) del
bloque de cifras restantes (que formará el tallo). Usando un ejemplo:
f
12
10
8
6
4
2
0
10 14 18 22 26 30 34
X

Estas son las notas del último examen de Estadística: 90, 94, 53, 68, 79, 84, 87, 72, 70, 69, 65, 89, 85,
83, 72.
El valor posicional más grande de todos los datos son las decenas. Estos dígitos serán nuestros tallos.
Los escribimos de mayor a menor o de menor a mayor (de ambas formas funciona).
Ahora colocamos los demás dígitos de cada dato en la columna "Hojas." Por ejemplo, para trazar el
valor 84, colocamos el 4 a la derecha del número 8. Allí también colocaremos todos los dígitos
faltantes de los que obtuvieron una puntuación en los ochenta (si obtuviste 87, el 7 irá al lado del 4,
si obtuviste 89, el 9 irá al lado del 7, y así sucesivamente).
Ahora arreglamos los números para que cada fila quede en orden numérico (de menor a mayor).
El diagrama de tallo y hoja es una forma conveniente de ver los datos en bruto. Usando este diagrama
podemos ver que la mayoría de los estudiantes obtuvieron entre 70 y 80 puntos, y solo un estudiante
sacó menos de 65.
Otra manera, es usando una comparativa de la misma variable:

Pictogramas: Los pictogramas, también llamados representaciones visuales figurativas, utilizan
símbolos para representar un conjunto de datos. La mayor frecuencia se identifica por la mayor
acumulación de símbolos, Estas gráficas de datos tienen como objetivo ofrecer una descripción, lo
más explícita posible, de la distribución de datos y se emplean para hacer más entendibles los
informes estadísticos.
Gráficos Relacionados con el Tiempo: Consiste en un conjunto de líneas o segmentos de recta que
muestran los cambios que experimenta una determinada variable, generalmente en función del
tiempo. Las coordenadas se pueden graficar en el centro del período de tiempo.
Ingrese Para ver un
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Caracterización (Análisis) de los Datos
Aquí el investigador trata de resumir la información disponible en algunas expresiones, esto es,
valores o medidas que nos fijen el comportamiento global del fenómeno.
El análisis de los datos consiste básicamente en la determinación de dos medidas que representan
características de los datos.
Entre estas medidas tenemos 3 que a su vez se dividen en otras específicas, es posible que algunas
de ellas las conozca por otro nombre.
MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN O TENDENCIA CENTRAL
Indican los valores más representativos de un conjunto de datos.
➢ Media aritmética
➢ Mediana
➢ Moda
MEDIDAS DE DISPERSIÓN O VARIABILIDAD
Se utilizan para medir el grado de dispersión que existe en la distribución.
➢ Rango o amplitud
➢ Desviación estándar
➢ Varianza
➢ Desviación típica
➢ Coeficiente de variación
MEDIDAS DE POSICIÓN
Nos informa del lugar que ocupa un dato dentro de un conjunto ordenado de valores.
➢ Cuartiles
➢ Deciles
➢ Percentiles
1.6. Medidas de Tendencia Central.
MEDIA ARITMÉTICA
La media aritmética ( X ) o simplemente la media es la medida de posición de más importancia y
utilización en las aplicaciones estadísticas por su fácil calculo e interpretación.
Se trata del valor medio de todos los valores que toma la variable estadística de una serie de datos.
La media es el valor más representativo de la serie de valores, es el punto de equilibrio, el centro de
gravedad de la serie de datos. Por lo general se le designa con X .
MEDIA ARITMÉTICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Las calificaciones obtenidas por 10 estudiantes en una prueba parcial de Matemática son las
siguientes:
Encuentre la media aritmética de estos datos.
MEDIA ARITMÉTICA PARA DATOS AGRUPADOS
LA MEDIANA
La mediana es el valor que divide en dos partes iguales, al conjunto de observaciones ordenadas
respecto de sus magnitudes, de tal manera que el número de datos por encima de la mediana sea
igual al número de datos por debajo de la misma. Se designa por las letras Me. Tal como sucede con
la media, el método de determinación depende de si los datos son agrupados o no.
CÁLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para encontrar la mediana en una serie de datos no agrupados, lo primero que se hace es ordenar los
datos en una forma creciente o decreciente y luego se ubica la posición que esta ocupa en esa serie
de datos; para ello hay que determinar si la serie de datos es par o impar.
Si el número n es impar, entonces la posición de la mediana se determina por la fórmula:
Luego el número que se obtiene indica el lugar o posición que ocupa la mediana en la serie de valores,
luego la mediana será el número que ocupe el lugar de lo posición encontrada.
Si n es par, se aplica la fórmula:
El resultado obtenido, es la posición que ocupará la mediana, pero en este caso se ubica la posición
de la mediana por ambos extremos de la serie de valores y los dos valores que se obtengan se le saca
la media y esta será la mediana buscada, por lo tanto, la mediana, en este caso, es un número que no
se encuentra dentro de la serie de datos dados.
Considere un conjunto de 11 datos: 86 91 84 80 86 64 81 86 86 84 92, calcule la
mediana.
1. Se ordena de menor a mayor.
2. Calculamos la posición central, tomamos en cuenta que el número de datos es impar.

El siguiente conjunto de datos corresponde a las calificaciones finales de Matemática de 10
estudiantes. Se pide encontrar la mediana para este conjunto de datos.
1. Se ordena de menor a mayor.
2. Calculamos la posición central, tomamos en cuenta que el número de datos es par.
PASOS PARA DETERMINAR LA MEDIANA EN DATOS AGRUPADOS
1. Se elabora la tabla de frecuencia de datos con sus diferentes intervalos de clases, se ubican las
frecuencias fi y se calculan las frecuencias acumuladas Fi de esa distribución.
2. Se determina la ubicación o posición de la mediana en el intervalo de la distribución de frecuencia,
mediante la fórmula:
𝑛
2
El resultado obtenido determinará la clase donde se encuentra ubicada la
mediana, lo cual se conseguirá en la clase donde la frecuencia acumulada Fi sea igual o superior a
este resultado. Luego se aplica la fórmula:

LA MODA
La moda es la medida de posición que indica la magnitud del valor que se presenta con más frecuencia
en una serie de datos; es pues, el valor de la variable que más se repite en un conjunto de datos. De
las medidas de posición la moda es la que se determina con mayor facilidad, ya que se puede obtener
por una simple observación de los datos en estudio, puesto que es el dato que se observa con mayor
frecuencia. Se designa con las letras Mo.
La moda de un conjunto de datos estadísticos no agrupados es el valor que ocurre con mayor
frecuencia.
En el primer corte evaluativo de Matemática 10 estudiantes obtuvieron las calificaciones siguientes:
Calcule la Moda.
MODA PARA DATOS AGRUPADOS
La moda en datos agrupados, requiere la utilización de la siguiente formula:

Las edades de 205 profesores del Municipio de Juigalpa se muestran en la siguiente tabla:
1. Represente a través de un gráfico estos datos e interprételo.
2. Calcule las medidas de tendencia central e interprételos.
(RESOLVER EN LA PIZARRA)
Relación Entre: Media, Mediana y Moda.
Las diferencias entre los valores de la media, la mediana y la moda permiten saber la forma de la
distribución de frecuencias.
Si en una distribución de frecuencias, la media, la mediana y la moda coinciden entonces decimos
que la distribución es simétrica.
Entra al Enlace y
míralo paso a paso.

Si los valores de la media, la mediana y la moda no coinciden entonces decimos que la distribución es
asimétrica. Para distribuciones asimétricas unimodales las posiciones relativas de las tres medidas
serán tales que la mediana estará siempre entre la media y la moda.
Distribución asimétrica a la izquierda o negativa.
La cola mayor se extiende a la izquierda o dirección negativa y por tanto la media es la menor de las
tres medidas.
Distribución asimétrica a la derecha o positiva.
La cola mayor se extiende a la derecha o dirección positiva motivo por el cual la media es la mayor de
las tres medidas.
Actividad 1. Lea los siguientes ejercicios, resuelva y conteste lo que se plantea.
1) Los siguientes datos son las calificaciones de conjunto de 20 estudiantes de la asignatura
Estadística, calcule las medidas de tendencia central y represente los datos en un gráfico.
82 74 88 66 58 74 78 84 96 76 62 68 72 92 86 76 52 76 82 78
2) A continuación, se proporcionan los pesos (redondeados a la libra más próxima) de los bebés
nacidos durante un cierto intervalo de tiempo en un hospital "Bertha Calderón" de la ciudad de
Managua.

4, 8, 4, 6, 8, 6, 7, 7, 7, 8, 10, 9, 7, 6, 10, 8, 5, 9, 6, 3, 7, 6, 4, 7, 6
9, 7, 4, 7, 6, 8, 8, 9, 11, 8, 7, 10, 8, 5, 7, 7, 6, 5, 10, 8, 9, 7, 5, 6, 5
a. Construir una tabla de distribución de frecuencias de estos pesos.
b. Construir un gráfico de barra.
c. Construir un diagrama de sectores circulares.
d. Calcular las medidas de tendencia central.
3) Los siguientes datos corresponden a consumos mensuales registrados (en cienes de córdobas) en
30 familias del barrio Calicanto.
Datos originales de los consumos mensuales
24 16 26 31 17 25 17 23 23 19
21 17 13 20 30 24 19 22 21 18
25 14 29 20 26 15 27 21 22 23
Fuente: Encuesta realizada por INEC
a. Realice una TDF con datos agrupados.
b. Calcule las medidas de tendencia central.
c. Elabore un Gráfico.
1.7. Medidas de Variabilidad.
1.7.1. Rango o Amplitud.
Una manera muy sencilla de determinar el grado de dispersión de los datos es observar la separación
entre el dato más grande y el más pequeño de la distribución estadística.
Rango o recorrido de una variable estadística es la diferencia entre el mayor y el menor valor de la
variable estadística. Se representa por R.

1.7.2. Desviación Media.
En estadística, La desviación absoluta promedio o desviación media es también conocida como
promedio de las desviaciones absolutas o la distancia entre cualquier dato y la media aritmética, es
así que la Desviación Media de una variable estadística es la media aritmética de las desviaciones de
todos los datos, se representa por Dm.
Desviación media para datos no agrupados:
Obtener la desviación media para los datos 5, 7, 8, 10, 16.
Desviación media para datos agrupados:
Determine la desviación media de los siguientes datos agrupados:

1.7.3. Varianza
La varianza se define como el promedio aritmético de las diferencias entre cada uno de los valores
del conjunto de datos y la media aritmética del conjunto elevadas al cuadrado.
Varianza para datos no agrupados.
Determine la varianza del siguiente conjunto de datos:

Varianza para datos agrupados:
Considere la tabla con los datos de las edades de 26 personas:
Las fórmulas anteriores para calcular la Varianza muestral tienen una forma abreviada:

1.7.4. Desviación Típica o Estándar.
En estadística, la desviación Estándar es también conocida como desviación Típica y es la raíz
cuadrada positiva de la Varianza.
Desviación estándar para datos no agrupados:
Para el conjunto de datos 25, 12, 23, 28, 17, 15 calcule la desviación estándar.
(HACERLO EN LA PIZARRA)
Desviación estándar para datos agrupados:
Calcule la desviación estándar para el problema de las 26 edades.
(HACERLO EN LA PIZARRA)

La varianza y la desviación estándar miden la dispersión "promedio" en torno a la media aritmética,
es decir, cómo fluctúan las observaciones mayores por encima de la media aritmética y cómo se
distribuyen las observaciones menores por debajo de ella.
1.7.5. Coeficiente de Variación.
El coeficiente de variación es una medida relativa de dispersión. Se expresa como porcentaje y es útil
cuando se compara la variabilidad de dos o más conjuntos de datos expresados en diferentes o iguales
unidades de medición.
Los siguientes datos representan saldos en miles de córdobas de 5 cuentas de ahorro, 20, 10, 15,
25, 20; Determine:
a) El saldo promedio de las cuentas.
b) La varianza y la desviación estándar de los saldos.
c) El coeficiente de variación.

Este valor no tendrá sentido a menos que lo comparemos con otro conjunto de cuentas.
Consideremos otro conjunto de cuentas: 21, 15, 25, 19.
Actividad 1. Lea los siguientes ejercicios y resuelva.
1) Hallar el rango del siguiente conjunto de datos: 2, 3, 3, 5, 5, 5, 8, 10, 12.
2) Hallar la desviación media del siguiente conjunto de números: 2, 3, 6, 8, 11.
3) En el mes de mayo, 8 vendedores de artículos electrónicos, vendieron los siguientes números de
aparatos: 8, 11, 5, 14, 8, 11, 16, 11, las cuales se realizaron en “Tepito Electronics”. Encontrar la
desviación media, varianza y desviación típica.
4) En el restaurante “Nueva Asia”, se obtuvieron las siguientes cifras por el consumo de 15 personas
de diversos platillos a la carta.
Determine el coeficiente de variación y analícelo.
5) Los siguientes datos representan el número total de pasajeros que utiliza la ruta Juigalpa Acoyapa
de la empresa “Número Uno Buses”. El total de corridas en un día de servicio son un total de 38 viajes.
52 23 29 32 54 50 48 40 34 32

36 28 22 26 27 35 38 40 46 44
50 43 36 30 26 23 25 28 24 31
23 39 33 22 24 27 22 29
Hallar:
(a) El viaje con mayor número de pasajeros.
(b) El viaje con menor número de pasajeros.
(c) Los 5 viajes con más pasajeros.
(d) Los 5 viajes con menos pasajeros.
(e) Construir una tabla de registro de datos.
(f) Construir un histograma y un polígono de frecuencias.
(g) Hallar la media, mediana, moda, desviación media, varianza y desviación típica.

1.8. Medidas de Posición.
Los cuartiles, deciles y percentiles se parecen mucho a la media porque también subdividen una
distribución de mediciones de acuerdo con la proporción de frecuencias observadas. Mientras que la
mediana divide a la distribución en dos mitades, los cuarteles la dividen en cuatro cuartos, los deciles
en diez décimos y los puntos percentiles la dividen en cien partes.
a) Si divides tus datos en cuatro partes se llaman cuartiles. (Qn)
b) Si los divides en diez partes, deciles. (Dn)
c) Si lo haces en cien partes, percentiles. (Pn)
Percentiles: Dado un conjunto de datos, se define como percentil “p” aquel valor Pp, que supera al
p% de los datos a lo más, y simultáneamente es superado por el (100 - p) % de los datos a lo más.
Así, por ejemplo, si en un grupo de personas el percentil 70 de las estaturas es de 1.73 metros; esto
significa que a lo sumo el 70% de las personas es más baja que 1,73, y que a lo sumo el 30%, es más
alta que 1.73. El cálculo de un percentil es diferente, según los datos estén sin agrupar o agrupados.
Cálculo de Cuartiles, Deciles y Percentiles para Datos sin Agrupar.
1. Ordenarlos de menor a mayor.
2. Calcular el p% de n. Al hacer este cálculo, puede ocurrir que resulte o no un número entero.
3. Si el p% de n, no resulta entero entonces Pp es único, y es el valor que ocupa la posición entera
siguiente dentro del conjunto de datos ordenados de menor a mayor. Es decir, si:
𝑛𝑝
100
∈ 𝑁, entonces:
En la notación anterior [
𝑛𝑝
100
] significa “parte entera” de
𝑛𝑝
100
.
En caso de que el p% de n resulte entero, se toma como Pp, al punto medio entre el dato que ocupe
la posición
𝑛𝑝
100
, y el siguiente.
NOTA: Este procedimiento es el mismo para los Cuartiles y Deciles, cada uno con su propia fórmula.
Para el Cuartil 𝑸 𝒌 =
𝒏𝒌
𝟒
Para el Decil 𝑫 𝒌 =
𝒏𝒌
𝟏𝟎

Al medir las estaturas de 9 personas, se encuentran los siguientes resultados: 1.83, 1.72, 1.76, 1.62,
1.56, 1.78, 1.60, 1.66 y 1.58. Encuentre el percentil 30.
Se ordenan de menor a mayor: 1.56 , 1.58 , 1.60 , 1.62 , 1.66 , 1.72 , 1.76 , 1.78 , 1.83
A continuación, se calcula el
(9)(30)
100
, que resulta ser 2.70, Como 2.70 no es entero, entonces el
percentil 30 es el valor que ocupa la posición entera siguiente, es decir, la tercera que corresponde al
valor 1.60
En conclusión, P30 = 1.60
Al tomar a 20 alumnos un examen de Matemática, las calificaciones fueron: 54 , 21 , 34 , 78 , 93 , 45,
66 , 38 , 50 , 87 , 63 , 88 , 31 , 62 , 96 , 80 , 71 , 59 , 35 y 42 . Halle el percentil 60 de las calificaciones
obtenidas.
Se comienza ordenándolas de menor a mayor: 21, 31 ,34 ,35 ,38 ,42 , 45 ,50 ,54 , 59 , 62 , 63 , 66 ,
71 ,78 ,80 , 87 , 88 , 93 , 96
En este paso, de existir valores repetidos, hay que colocar cada uno tantas veces como se repita.
Como se está buscando el percentil 60, se calcula
(20)(60)
100
, que resulta ser un número entero 12.
En este caso, existen infinitos percentiles 60, que son todos aquellos valores comprendidos entre el
que ocupa la posición 12 y el que ocupa la posición 13, ambos inclusive, es decir, todos los valores
comprendidos en el intervalo cerrado [63, 66]. Por este motivo, al existir infinitos percentiles 60, se
toma como representante de todos ellos, al punto medio del intervalo, por tanto:
El peso en kilogramos, de un grupo de 15 personas es el siguiente: 75 , 56 , 66 , 75 , 61 , 66 , 78 , 83,
60 , 66 , 56 , 60 , 91 , 56 y 70 . Hallar el Cuartil 1, decil 4, y percentil 80 de los datos.
Ordenar de menor a mayor, hay algunos valores que se repiten. Estos se colocan tantas veces como
se repitan. 56 , 56 , 56 , 60 , 60 , 61 , 66 , 66 , 66 , 70 , 75 , 75 , 78 , 83 , 91

(CONTINUAR EN LA PIZARRA)
Cálculo de Percentiles para Datos Agrupados.
Para el cálculo de los cuartiles en datos agrupados en una distribución de frecuencia existe un método
por análisis gráfico y otro por determinación numérica, por fines prácticos en esta cátedra se utilizará
el último método. Para calcular los cuartiles por el método numérico se procede de la siguiente
manera:
NOTA: Este procedimiento es el mismo para los Deciles y Percentiles, cada uno con su propia
fórmula.
Para el Cuartil 𝑫 𝒌 = 𝑳𝒊 + [
𝒏𝒌
𝟒
−𝑭𝒊−𝟏
𝒇𝒊
] 𝑰𝒄 Para el Decil 𝑷 𝒌 = 𝑳𝒊 + [
𝒏𝒌
𝟏𝟎𝟎
−𝑭𝒊−𝟏
𝒇𝒊
] 𝑰𝒄

Actividad 1. Lea los siguientes problemas y conteste.
1) Los salarios ofrecidos a 16 personas son (en miles de pesos) son: 165, 149, 166, 167, 154, 165, 144,
135, 155, 170, 150, 151, 142, 148, 149, 100; Determine e interprete C1, D4, P40.
2) Las edades de los aficionados a un equipo de fútbol son: 18, 16, 21, 20, 18, 16, 21, 18, 21, 18, 20,
19, 36, 24, 18, 20, 18, 19, 20. Calcula y analice los cuantiles C2, D3, P80.
3) Los impuestos pagados por un grupo de contribuyentes han dado origen a la siguiente tabla de
frecuencia:
Determine: C1, D3, P70.
4) Las respuestas correctas a un test de 80 preguntas realizado por 600 personas son las que se
recogen a continuación, Determine: C2, D7, D8, P40.

Unidad II: Teoría Elemental de Probabilidad.
Objetivos:
➢ Utilizar los conceptos, definiciones, propiedades, teoremas y distribuciones de la teoría de
probabilidades, como herramientas básicas de las técnicas estadísticas para la toma de
decisiones.
➢ Aplicar correctamente los conceptos, definiciones, propiedades, teoremas y distribuciones de
la teoría de probabilidades.
➢ Valorar la importancia de la teoría de probabilidad como herramienta básica de las técnicas
estadísticas.
El término probabilidad se refiere al estudio del azar y la incertidumbre en cualquier situación en la
que varios posibles sucesos pueden ocurrir; la disciplina de la probabilidad proporciona métodos para
cuantificar las oportunidades y probabilidades asociadas con los varios sucesos. El lenguaje de
probabilidad se utiliza constantemente de manera informal tanto en el contexto escrito como en el
hablado.
El estudio de la probabilidad como una rama de las matemáticas se remonta más de 300 años y su
origen se relaciona con cuestiones que implican juegos de azar. Muchos libros se han ocupado
exclusivamente de la probabilidad, pero el objetivo en este caso es abarcar sólo la parte de la materia
que tiene más aplicación directa en problemas de inferencia estadística.
2.1. Fenómenos Aleatorios y Determinísticos.
Supongamos que disponemos de un dado regular con todas las caras pintadas de blanco y con un
número, que irá de 1 a 6 sin repetir ninguno, en cada una de las seis caras.
Definamos los dos experimentos siguientes:
Experimento 1: Tirar el dado y anotar el color de la cara resultante.
Experimento 2: Tirar el dado y anotar el número de la cara resultante.
¿Qué diferencia fundamental observamos entre ambos experimentos?
En el experimento 1, el resultado es obvio: saldrá una cara de color blanco. Es decir, es posible
predecir el resultado. Se trata de un experimento o fenómeno determinista.
En cambio, en el experimento 2 no podemos predecir cuál será el valor resultante. El resultado puede
ser: 1, 2, 3, 4, 5 o 6. Se trata de un experimento o fenómeno aleatorio.

Un fenómeno es aleatorio o de azar cuando, aun conociendo las posibilidades que pueden
presentarse, no se puede asegurar cuál será el resultado final. A los resultados posibles de un
fenómeno aleatorio también se los llama eventos.
Entre los fenómenos aleatorios se encuentran todos los juegos de azar y una gran cantidad de
situaciones cotidianas que son todas aquellas que tienen más de un resultado posible. Es por ello que
no podemos saber cuál de esos resultados ocurrirá la próxima vez que se observe ese fenómeno,
aunque conozcamos todos los resultados posibles.
➢ Lanzar un dado y obtener el 5. Este fenómeno presenta una serie de resultados (1, 2, 3, 4, 5,
6), de los cuales no se puede asegurar cuál se dará; obtener el 5 es una posibilidad.
➢ Al lanzar una moneda al aire, se ignora si saldrá cara o sello.
➢ Al sacar una boleta de la lotería, se ignora qué cifra del 0 al 9 va a salir.
Un fenómeno es determinista cuando el fenómeno tiene únicamente una respuesta.
➢ Al extraer una canica roja de una caja que contiene sólo canicas rojas.
➢ Después de las 6:00 son las 7:00.
➢ Después del día sigue la noche.
➢ Ir a la escuela todos los días.
➢ Alimentarse al mediodía.
Actividad 1. Escribe al frente de cada una “a” si corresponde a un fenómeno aleatorio y “d” si
corresponde a un fenómeno determinista.
1. Ir a la escuela de lunes a viernes………
2. Ganar el premio de la lotería…………
3. Bañarse todos los días………………….
4. La semana tiene 7 días……………………
5. Ganar la rifa de un carro……………………
6. Después de miércoles sigue jueves……..
7. Diciembre tiene 31 días……………
8. Ganar la competencia de natación…………
9. El año tiene 12 meses…………………

10. Las niñas escogerán un papelito de una bolsa, la que escoja el papelito que dice
“reina”, ganará……………..
11. Mi papá va a trabajar de lunes a sábado……………………..
12. Cada niño sacará un papelito de una bolsita y contestará la pregunta que le toque……………….
13. El equipo de fútbol jugará el domingo……………………………….
14. Probar una bombilla defectuosa ……………………………….
15. Escoger al azar un apellido en el directorio telefónico ……………………………….
16. Elegir al azar una vocal de la palabra moto ……………………………….
17. Elegir al azar una vocal de la palabra mariposa ……………………………….
18. Predecir el clima ……………………………….
19. Elegir una fruta de una caja de manzanas. ……………………………….
20. Elegir una fruta de una caja con diferentes frutas. ……………………………….
2.2. Diagramación de Árbol.
Un árbol de probabilidad o diagrama de árbol es una herramienta que se utiliza para determinar si en
realidad en el cálculo de muchas opciones se requiere conocer el número de objetos que forman
parte del espacio muestral, estos se pueden determinar con la construcción de un diagrama de árbol.
El diagrama de árbol es una representación gráfica de los posibles resultados del experimento, el cual
consta de una serie de pasos, donde cada uno de estos tiene un número infinito de maneras de ser
llevado a cabo. Se utiliza en los problemas de conteo y probabilidad.
Para la construcción de un diagrama en árbol se partirá poniendo una rama para cada una de las
posibilidades, acompañada de su probabilidad. Cada una de estas ramas se conoce como rama de
primera generación.
En el final de cada rama de primera generación se constituye, un nudo del cual parten nuevas ramas
conocidas como ramas de segunda generación, según las posibilidades del siguiente paso, salvo si el
nudo representa un posible final del experimento (nudo final).
Un médico general clasifica a sus pacientes de acuerdo a: su sexo (masculino o femenino), tipo de
sangre (A, B, AB u O) y en cuanto a la presión sanguínea (Normal, Alta o Baja). Mediante un diagrama
de árbol diga en cuantas clasificaciones pueden estar los pacientes de este médico.

Un hombre tiene tiempo de jugar ruleta cinco veces como máximo, él empieza a jugar con un dólar,
apuesta cada vez un dólar y puede ganar o perder en cada juego un dólar, él se va a retirar de jugar
si pierde todo su dinero, si gana tres dólares (esto es si completa un total de cuatro dólares) o si
completa los cinco juegos, mediante un diagrama de árbol, diga cuántas maneras hay de que se
efectué el juego de este hombre.

Juan quiere regalar a su hermana un jersey, pero duda si abierto o cerrado; rosa, amarillo o verde; y
de algodón o de lana. ¿Cuántas posibilidades tiene?
Por tanto, tiene 12 posibilidades de elegir jersey.
Actividad 1. Escribe al frente
1) Se lanzan una moneda y un dado cúbico con las caras numeradas del 1 al 6. ¿Cuántos elementos
tiene el espacio muestral?
2) Se efectúa un experimento que consiste en el lanzamiento de una moneda y un dado y la extracción
de una carta de una baraja. ¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral del experimento
compuesto?
3) Dos equipos denominados A y B se disputan la final de un partido de baloncesto, aquel equipo que
gane dos juegos seguidos o complete un total de tres juegos ganados será el que gane el torneo.
Mediante un diagrama de árbol diga de cuantas maneras puede ser ganado este torneo.

2.3. Principio de Multiplicación, Permutaciones, Combinaciones.
Considere un grupo de n individuos u objetos distintos (“distintos” significa que existe alguna
característica que diferencia a cualquier individuo u objeto de cualquier otro).
¿Cuántas maneras existen de seleccionar un subconjunto de tamaño k del grupo? Por ejemplo, si un
equipo de ligas pequeñas tiene 15 jugadores registrados, ¿cuántas maneras existen de seleccionar
nueve jugadores para una alineación inicial? O, si una librería universitaria vende diez computadoras
portátiles diferentes, pero tiene espacio para mostrar sólo tres de ellas, ¿de cuántas maneras pueden
ser elegidas las tres?
Factorial de un número.
El factorial de un número entero positivo, es el producto consecutivo de todos los números enteros,
desde el uno hasta el número dado n, inclusive, su Notación es:
Por así convenir, invocando la propiedad conmutativa de la multiplicación, la fórmula anterior se
escribe más comúnmente como:
Propiedades Importantes:
1) Si n existe, el valor de “ ” es entero y positivo.
2) y
3) Si el factorial de un número es igual al factorial de otro, entonces los números son iguales.
Sí:
4) Debe tenerse en cuenta que:
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Calcular el valor de la expresión
8!
6!3!
Simplifique la expresión
𝑥!
(𝑥−1)!
Actividad 1. Evalúe las siguientes expresiones.
1) 4!
2) 9!
3) 2!3!
4) 4!7!
5)
8!
5!
6)
3!
6!
Actividad 2. Simplifique las siguientes expresiones.

Principio Fundamental del Conteo.
Una gran variedad de problemas prácticos requiere contar el número de maneras en las que puede
ocurrir algo. Por ejemplo, el prefijo de los números de teléfono de cierta ciudad, la cantidad de formas
que se puede tener para llegar de una ciudad A a una B teniéndose varias carreteras.
Comencemos por considerar un problema más abstracto. ¿Cuántos arreglos se pueden hacer con tres
letras a, b y c, usando dos letras al mismo tiempo? Una manera de resolver este problema es
enumerar todos los posibles arreglos. Se puede usar un diagrama de árbol para ilustrar todas las
posibilidades.
Desde el punto llamado “comienzo”, segmentos de recta salen hacia cada una de las tres posibles
elecciones para la primera letra. Desde cada uno de éstos, un segmento de recta sale hacia cada una
de las posibles opciones para una segunda letra. Cada posible combinación corresponde a un camino
o rama del árbol, que empieza en el punto “comienzo” y va a la derecha a través del árbol. Vemos
que hay seis arreglos:
Otra forma de resolver este problema es reconocer que cada arreglo consta de una selección de letras
para llenar los dos espacios en blanco indicados:

Cualquiera de las tres letras a, b o c puede escogerse para la primera posición. Una vez que se haya
hecho esta elección, cualquiera de las dos letras restantes puede elegirse para la segunda posición.
Puesto que cada una de las tres letras de la primera posición se puede asociar con cualquiera de las
dos restantes, el número total de arreglos está dado por el producto:
Este ejemplo sencillo ilustra el principio fundamental de conteo.
Este principio fundamental de conteo puede extenderse a tres o más sucesos de manera obvia:
Simplemente multiplique el número de maneras en que cada suceso puede ocurrir.
Un estudiante universitario tiene cinco camisas, tres pantalones y dos pares de zapatos. ¿Cuántos
conjuntos de una camisa, un pantalón y un par de zapatos puede usar?
Tres selecciones o sucesos pueden ocurrir, con cinco opciones para el primero (elegir una camisa),
tres para el segundo (escoger un pantalón) y dos para el tercero (seleccionar un par de zapatos).
Según el principio fundamental de conteo, el número de conjuntos es el producto 5 * 3 * 2= 30.
Ahora regresamos al problema planteado en la introducción.
El prefijo telefónico de Juigalpa es 2512, Si al prefijo le siguen cuatro dígitos, ¿cuántos números
telefónicos son posibles antes de que se necesite un segundo prefijo?
Pueden ocurrir cuatro sucesos: seleccionar el primer dígito después del prefijo, elegir el segundo
dígito después del prefijo y así sucesivamente. Puesto que los dígitos repetidos se permiten en los
números telefónicos, cualquiera de los 10 dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 o 9 pueden escogerse para
cada posición. Entonces hay 10 * 10 * 10 * 10 =10 000 números telefónicos posibles con el prefijo
2512.

¿Cuántas formas hay de ordenar las letras de la palabra CARTÓN?
Puesto que CARTÓN tiene seis letras diferentes, hay seis sucesos: escoger la primera letra, escoger la
segunda, etcétera. Se puede elegir cualquiera de las seis letras para la primera posición; entonces,
cualquiera de las cinco letras restantes se puede escoger para la segunda posición; luego, cualquiera
de las cuatro letras restantes se puede escoger para la tercera posición y así sucesivamente. El
número total de ordenaciones es 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 720.
Permutaciones.
Una permutación es un arreglo que se hace usando algunos o todos los elementos de un conjunto,
sin repetirlos. Esto significa que ningún elemento del conjunto aparece más de una vez en el arreglo.
Por ejemplo, 312 es una permutación de los dígitos del conjunto {1, 2, 3}, pero 112 no lo es.
Calcule a) P(5, 3); b) P(5, 1), y c) P(5, 5).
En una pista se encuentran seis atletas y entran en el carril de los 100 metros. ¿De cuántas maneras
se pueden organizar para ganar medallas de oro, de plata y de bronce?
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Deseamos contar el número de maneras de organizar a tres de los seis
atletas en las posiciones ganadoras. La solución está dada por el número
de permutaciones de seis elementos (los atletas) tomando tres a la vez:
Combinaciones.
En el análisis anterior estábamos interesados en el número de maneras de
arreglar o de escoger r elementos de un conjunto de n elementos, donde
se consideraba el orden en el que se debían arreglar o escoger. Sin embargo, en ciertas aplicaciones
el orden de los elementos no es importante. Por ejemplo, si se debe escoger un comité de dos entre
cuatro estudiantes: Angie, Brandon, Cecilia y David, el comité formado al escoger a Angie y a Brandon
es el mismo que el formado al elegir a Brandon y a Angie. Una selección de objetos en los que el orden
no establece ninguna diferencia se llama combinación.
Calcule a) C(5, 3), b) C(5, 1) y c) C(5, 5).
¿Cuántas rondas diferentes de cinco cartas pueden distribuirse de una baraja de 52 cartas?
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Puesto que una ronda es la misma, no importa el orden de las cartas, usamos combinaciones para
resolver este problema. La solución es:
Un club de accionistas tiene ocho miembros.
a) ¿De cuántas maneras se puede escoger a tres miembros para que sean presidente, secretario y
tesorero?
b) ¿De cuántas maneras se puede escoger un comité de tres miembros?
Para elegir los funcionarios sí importa el orden, en tanto que para escoger a un comité el orden de la
selección no afecta al comité resultante. Así, en a) contamos permutaciones y en b) contamos
combinaciones. Obtenemos:
Un equipo de béisbol de la liga pequeña tiene seis jardineros, cinco pitchers y dos receptores. Cada
uno de los jardineros puede jugar cualquiera de las tres posiciones de jardines y cada jugador de
cuadro puede jugar cualquiera de las cuatro posiciones del campo corto. ¿En cuántas formas puede
escogerse un equipo de nueve jugadores?
El número de formas de escoger tres jardineros de los seis candidatos es:

Un almacén de quesos tiene 10 variedades de queso nacional y ocho variedades de queso importado.
¿De cuántas maneras se puede colocar en una vitrina una selección de seis quesos, que tenga dos
variedades de queso nacional y cuatro de queso importado?
Las variedades nacionales se pueden escoger de C(10, 2) maneras y las variedades importadas de C(8,
4) maneras. Así, por el principio fundamental de conteo, los seis quesos se pueden seleccionar de
C(10, 2) * C(8, 4) formas. Hasta este momento de la solución, el orden no ha sido importante para
hacer la selección de los quesos. Ahora observamos que cada selección de seis quesos se puede
colocar o arreglar en la vitrina de P(6, 6) maneras. Así, el número total de maneras en que se pueden
exhibir los quesos es:
Actividad 1. Encuentre el Número.
Actividad 2. Lea detenidamente y resuelva.
1) Una cafetería ofrece ocho ensaladas, seis entradas, cuatro platos fuertes y tres postres.
¿Cuántas comidas pueden formarse eligiendo una porción de cada categoría?
2) ¿Cuántos números de teléfono celular de 8 dígitos son posibles si ni 0 ni 1 pueden ocupar el
primer lugar?
3) Si una placa tiene tres letras seguidas de tres números, ¿cuántas placas son posibles si la
primera letra no puede ser O ni I?

4) Laura, Iván, Valeria y María quieren estar juntos en una foto. María y Laura son las mejores
amigas y quieren estar juntas. Iván quiere estar junto a Laura porque le gusta. ¿De cuántas
formas pueden acomodarse para la foto?
5) Carlos tiene en una repisa los libros de Matemática, inglés, Biología, Ciencias y Dibujo, si tiene
que ordenarlos uno tras otro:
➢ ¿Cuántos arreglos diferentes puede hacer?
➢ ¿Cuántos arreglos diferentes puede hacer si Matemáticas e inglés siempre deben estar
juntos?
➢ ¿Cuántos arreglos diferentes puede hacer si Matemáticas, Ingles y Dibujo, siempre
tienen que estar juntos?
➢ ¿Cuántos arreglos diferentes puede hacer si Matemáticas, Biología e inglés tienen que
estar siempre Juntos, pero Matemáticas no puede estar junto a Dibujo?
6) ¿De cuántas maneras se puede formar una familia de cuatro en una fila para que le tomen un
retrato familiar?
7) Como parte de una campaña para recaudar fondos, se proporcionan a un voluntario cinco
nombres para que se comunique con esas personas. ¿En cuántos órdenes puede realizar la
tarea el voluntario?
8) En una clase de 24 se celebran elecciones para presidente, vicepresidente, secretario y
tesorero. ¿De cuántas maneras se pueden ocupar los cargos?
9) Un estudiante debe responder a 10 preguntas cualesquiera de un examen de 12 preguntas.
¿De cuántas maneras puede el estudiante seleccionar las preguntas?
2.4. Relación y diferencia entre Probabilidad y Estadística.
Los conceptos de estadísticas y probabilidad se encuentran estrechamente relacionados, de forma
que provocan ciertas confusiones a la hora de diferenciarlos. Por ello, es necesario conocer
exactamente la diferencia entre estadística y probabilidad para no caer en el
error y confundir los términos ¿Aún no conoces esta diferencia?
¿Qué diferencia hay entre estadística y probabilidad?
Cabe decir que es bastante común confundir los términos estadística y
probabilidad. Sin embargo, debemos conocer cuáles son las relaciones y
diferencias entre estadística y probabilidad para no caer en errores
conceptuales en la aplicación de estas materias.
Por un lado, podemos definir la estadística como una parte de las matemáticas
que se basa en el estudio de los datos para analizarlos e intentar esclarecer conclusiones
determinadas sobre fenómenos que ocurren de forma aleatoria. En estadística se utiliza el método
deductivo, que se basa en la observación de los hechos ocurridos para generar leyes o hipótesis
generales. Cabe decir que la estadística se puede utilizar en cualquier tipo de disciplina ya sea
matemática, científica o social entre otra muchas.
Por otro lado, la probabilidad es otra rama de las matemáticas que se encarga del estudio de variables
aleatorias para medir la frecuencia con la que se consigue un resultado determinado en un fenómeno
aleatorio que en la mayoría de ocasiones depende del azar. La probabilidad hace uso del método
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deductivo para intentar establecer patrones que permitan determinar qué es lo que va ocurrir en
condiciones estables, dentro de todos los resultados posibles.
Podemos ver fácilmente la diferencia entre estadística y probabilidad con un ejemplo. En el caso de
que todos los zanates que hubiéramos visto en nuestra vida fueran negros, nos atreveríamos a decir,
en estadística, que todos los zanates son negros. Sin embargo, si sobre una muestra de zanates,
tuviéramos la certeza de que 80 son negros, sería muy probable que encontráramos un zanate negro,
ya que tendríamos una probabilidad del 80%.
2.5. Definición de probabilidad.
EXPERIMENTO ALEATORIO (E)
Es aquel que al repetirse bajo condiciones aproximadamente idénticas el resultado no
es necesariamente el mismo.
Podríamos decir que todos los juegos de azar son experimentos aleatorios o estocásticos:
1. Lanzar un dado y observar el número de puntos que aparecen en la cara superior.
2. Elegir al azar un naipe de la baraja común de 52 naipes.
3. Lanzar una moneda y observar la cara superior.
En cambio, un experimento del cual sabemos su resultado de antemano se llama determinísticos o
no aleatorio, como ejemplo: echar agua en el congelador; comprar un vestido talla M, encender la
t.v, entre otros.
La característica principal de estos experimentos es la existencia de incertidumbre en el resultado
que se puede obtener al realizar el fenómeno.
También existen otros experimentos que son considerados de naturaleza aleatoria como:
E1: Un contador revisa 10 facturas de una empresa. Luego cuenta el número de facturas con algún
error en su valor total.
E2: De una lista formada por todas las cuentas de ahorro de un Banco, seleccionar al azar una y luego
anotar su valor actual.
EL ESPACIO MUESTRAL (S) ASOCIADO A UN EXPERIMENTO
Es el conjunto de todos los resultados posibles del experimento.
A cada elemento de este conjunto le llamaremos punto muestral. Para el ejemplo 1 el de las
facturas.
S1= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
Si el espacio muestral tiene un número finito de elementos es posible enlistar a todos estos, y si el
número de elementos es grande o infinito el espacio muestral se describirá mediante un enunciado
o regla.

A continuación, se dan algunos experimentos aleatorios y sus correspondientes espacios muéstrales:
1) El experimento aleatorio de lanzar un dado y observar el resultado obtenido, es de una sola prueba,
cuyo espacio muestral se puede escribir como el siguiente conjunto de puntos muéstrales:
S1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
2) El experimento aleatorio de lanzar una moneda 3 veces, consiste de 3 pruebas, cuyo espacio
muestral puede escribirse como el conjunto de ternas ordenadas:
S2 = {CCC, CCS, CSC, SCC, SSC, SCS, CSS, SSS}.
Los espacios muestrales de experimentos aleatorios que consisten de dos o más pruebas sucesivas
se obtienen también de un diagrama tipo árbol, como el de la figura para S2.
S
C
C
S
C
S
C
S
C
S
C
S
C
S
Puntos muestrales
CCC
CCS
CSC
CSS
SCC
SCS
SSC
SSS
1a.Prueba
2a.prueba
3a.prueba
Diagrama del árbol.
3) Si el experimento aleatorio es lanzar una moneda tantas veces como sea necesario hasta que
aparezca la primera cara, su espacio muestral es el conjunto:
S4 = {C, SC, SSC, SSSC,...etc.}.
4) Si el experimento aleatorio es medir la vida útil (en horas) de una marca de artefacto eléctrico, su
espacio muestral es el conjunto:
𝑆5 = { 𝑡 ∈ ℝ/𝑡 ≥ 0}
(Aquí, ℝ representa a los números reales).
Clasificación de los espacios muestrales.
Por el número de elementos o puntos muestrales, los espacios muestrales se clasifican en:
1) Discretos finitos, consisten de un número finito de elementos, por ejemplo, los espacios S1, S2,
S3.

2) Discretos infinitos, consisten de un número infinito numerable de elementos, por ejemplo, el
espacio S4.
3) Continuos, consisten de un número infinito no numerable de elementos, por ejemplo, los
espacios S5, y S6
EVENTOS
Un evento A de un espacio muestral S es un subconjunto de resultados posibles del experimento, esto
es, A ⊂ S.
Consideremos que el evento A representa “cuenta a lo más 3 facturas con algún error.”
Entonces A = {0, 1, 2, 3}
TIPOS DE EVENTOS
Evento Imposible (): Es un evento que nunca ocurre.   S
Para el ejemplo 1:
Supongamos que el evento F representa: “cuenta 12 facturas con algún error”, entonces
F = 
Evento Seguro (S): Es un evento que siempre ocurre.
Para el ejemplo 1:
El evento S1 representa extraer una factura con error, entonces es un evento seguro.
Evento simple: Es el que describe solamente una característica.
Para el ejemplo 1:
El evento A es simple.
Evento conjunto: Es el que describe dos o más características.
El evento conjunto de A y B denotado por AB ocurre cuando A y B suceden juntos.
Para el ejemplo 1:
Supongamos que el evento B representa “cuenta un número impar de facturas con algún error”, esto
es:
B = {1, 3, 5, 7, 9}, Entonces: AB representa: “cuenta a lo más 3 y un número impar de facturas con
algún error”
AB = {1, 3} es un evento conjunto y #(AB) = 2
Evento unión: El evento unión de A y B denotado por AB es aquel que ocurre si A ocurre ó B

ocurre ó si ocurren ambos.
Para el ejemplo 1:
AB representa “cuenta a lo más 3 ó un número impar de facturas con algún error.”
AB = {0, 1, 2, 3, 5, 7, 9} y #(AB) = 7
Eventos Complementarios
Dos eventos son complementarios cuando su unión es igual al espacio muestral, es decir, sean A y B
Dos eventos de un experimento. Así AA’ = S.
EJEMPLO: Lanzar un dado.
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Sale par Sale impar.
E1 = {2, 4 ,6} E2 = {1, 3, 5}
Así E1 y E2 son eventos complementarios.
EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES
Sean A y B 2 eventos de un experimento, A y B son mutuamente excluyentes si y sólo si:
Es decir, no pueden ocurrir simultáneamente.
Ejemplo:
En el lanzamiento de un dado, sea A: “aparece un 2” y sea B:” aparece un número impar” aquí A y B
son eventos excluyentes.
ENFOQUES DE PROBABILIDAD
El propósito de la teoría de probabilidad es asignar un número a cada evento E, el cual llamaremos
probabilidad de que ocurra E y lo denotaremos así P(E).
La probabilidad de cualquier evento indicará que tan factible es que ocurra el evento, entre mayor
sea la probabilidad, más grande será la factibilidad de que ocurra el evento.
ENFOQUE DE PROBABILIDAD CLÁSICA DE LAPLACE O A PRIORI
Esta definición es de uso limitado puesto que descansa sobre la base de las siguientes dos
condiciones:
1. El espacio muestra de todos los resultados posibles S es finito.
2. Los resultados del espacio muestra deben ser igualmente probables.
Bajo estas condiciones y si E es el evento formado por n(E) resultados del espacio muestra y, el
número total de resultados posibles es n(S), entonces:

Al lanzar un dado, ¿cuál es la probabilidad de obtener un número par?
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, y hay tres pares, luego,
En un solo lanzamiento de un dado, obtenga la probabilidad:
a) de obtener un 4.
b) de obtener un número impar.
c) de obtener un número que no sea un 4.
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Una bolsa contiene cinco canicas blancas y tres negras. Si se sacan tres canicas al azar, ¿cuál es la
probabilidad de que todas sean blancas?
REGLAS BASICAS DE PROBABILIDAD
1. P ( ) = 0 y P (S ) = 1
2. Para cualquier evento A, 0  P(A)  1
3. Si A y B son eventos mutuamente excluyentes entonces
P(A  B) = P(A) + P (B)
4. Regla del complemento.
P(A) + P( A’ ) = 1  P( A’ ) = 1 – P( A )
5. Regla de la adición.
• Sean A y B eventos cualesquiera definidos en un espacio muestral S.
P( A  B ) = P( A ) + P( B ) – P( A  B)
• Si A y B son eventos mutuamente excluyentes
P(A  B)= P(A) + P(B)

Supongamos que, para cierto día de negociaciones de una acción, los siguientes eventos:
• A representa que el precio se mantiene sin cambios.
• B representa que el precio sube.
Consideremos que P(A) = 0.64 y P (B) = 0.21
Cuál es la probabilidad de que:
i) El precio cambie
Supongamos que el evento A’ representa que el precio cambia
P ( A’) = 1 – P(A) = 1 – 0.64 = 0.36
ii) El precio se mantiene sin cambios y el precio sube.
P (A B) = P(  ) = 0
iii) El precio se mantiene sin cambios o el precio sube.
P(A  B) = P(A) + P (B) = 0.64 + 0.21 = 0.85
En una ciudad se seleccionó una muestra de 500 personas para determinar diversas informaciones
relacionadas con el comportamiento del consumidor. Entre las preguntas hechas, se encontraba
“¿Prefiere comprar productos nacionales o importados?”. De 240 hombres 104 contestaron que
preferían productos nacionales. De 260 mujeres 36 preferían productos nacionales.
1. Elabore una tabla de contingencia (o de clasificación cruzada).
2. Se selecciona al azar un entrevistado, determinar la probabilidad de que:
a) Sea mujer.
b) Sea hombre.
c) Prefiera comprar productos importados.
d) Sea mujer o prefiera productos nacionales.
e) Sea hombre o mujer.
f) Sea hombre y mujer
1) Elabore una tabla de contingencia (o de clasificación cruzada).
Nac. Imp. Total
(H) Hombre
(M) Mujer
104 136 240
36 224 260
Total 140 360 500
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2) Se selecciona al azar un entrevistado, determinar la probabilidad de que:
a) Sea mujer
P(M) = # M = 260 = 0.52
P(S) #S 500
b) Sea hombre
P(H) = 1 – P (M) = 1 – 0.52 = 0.48
c) Prefiera comprar productos importados
P(I)=360/500= 0.72
d) Sea mujer o prefiera productos nacionales
P (M  N) = 260/500 + 140/500 -36/500 = 0.728
e) Sea hombre o mujer
P(H  M )= P( H ) + P( M )= 0.48 + 0.52 = 1
e) Sea hombre y mujer
P(H M) = P(  ) = 0
PROBABILIDAD CONDICIONAL
En esta sección examinaremos como la probabilidad de ciertos eventos depende o se ve influida por
la ocurrencia de otros. La probabilidad de que un evento B ocurra supuesto que otro evento A
ha ocurrido se denota y define como:
Definición de Probabilidad Condicional: Para dos eventos cualesquiera A y B en un espacio muestra
S, tales que P(A) > 0 con P(A)  0, la probabilidad del evento B dado el evento A, se define:
P(AB) probabilidad conjunta de A y B.
P(A) probabilidad marginal de A

Suponga que el entrevistado seleccionado es mujer (del ejercicio anterior), ¿cuál es la probabilidad
de que prefiera comprar productos nacionales
Suponga que el entrevistado seleccionado prefiere comprar productos importados, ¿cuál es la
probabilidad de que sea hombre?
Se seleccionan dos semillas aleatoriamente, una por una, de una bolsa que contiene 10 semillas de
flores rojas y 5 de flores blancas. ¿Cuál es la probabilidad de que:
a. La primera semilla sea roja.
b. La segunda semilla sea blanca dado que la primera fue roja.
a) La probabilidad de que la primera semilla sea roja es 10/15, puesto que hay 10 semillas de flores
rojas de un total de 15. Escrito con notación de probabilidad tenemos:
b) La probabilidad de que la segunda semilla sea blanca se ve influida por lo que salió primero, es
decir esta probabilidad está sujeta a una condición, la de que la primera semilla sea roja. Este tipo de
probabilidad se le llama probabilidad condicional y se denota por:
y se lee: la probabilidad de B2 dado R1, eta probabilidad, puesto que todavía hay 5 semillas blancas
en un total de 14 restantes.

Al 25% de tus amigos le gusta la fresa y el chocolate, mientras que al 60% le gusta el chocolate.
¿Cuál es la probabilidad de que a un amigo que le gusta el chocolate, le guste la fresa?
Vamos a trabajar con 2 eventos: que a un amigo le guste la fresa, y que a un amigo le guste el
chocolate.
• Evento A: que a un amigo le gusten los fresa. P(A) = ?
• Evento B: que a un amigo le guste el chocolate. P(B) = 60 %.
• Evento A y B: que a un amigo le guste la fresa y el chocolate. P(A∩B) = 25 %.
Ahora calculamos la probabilidad de que a un amigo le guste la fresa, dado que le gusta el
chocolate.
La probabilidad de que a un amigo le guste la fresa dado que le gusta el chocolate es del 41,67 %.
Regla de la multiplicación
Sean A y B dos eventos contenidos en S (espacio muestral), entonces la probabilidad de que se dé A
y B es igual al producto de la probabilidad de B por la probabilidad de A dado B; es decir:
P (A ∩ B) =P(B) . P (A / B)
Una urna contiene 5 pelotas rojas, 3 azules y 2 blancas. Si se extraen dos de ellas (primero una y
después la otra) y sin remplazamiento. Hallar la probabilidad de que:
a) ambas sean rojas
b) una sea roja
c) la primera sea roja
d) al menos una sea roja
e) ninguna sea roja.

a) P (RR) = P(R) . P(R) = (5/10) . (4/9) = 20 / 90 = 2/9
b) P (una sea roja) = P (RA) + P (RB) + P (AR) + P/BR)
= (5/10) (3/9 ) + (5/10) ( 2/9 ) + (3/10) (5/9) + (2/10) (5/9)
= 15/90 + 10/90 + 15/90 + 10/90 = 50/90 = 5/9
c) P (la primera es roja) = P(RR) + P/RA) + P(RB)
= (5/10) (4/9) + (5/10) (3/9) + (5/10) (2/9)
= 20/90 + 15/90 + 10/90 = 45/90= 1 / 2
d) P (al menos una sea roja) = P(1 roja) + P(2 rojas) = 5 / 9 + 2 / 9 = 7 / 9
e) P (ninguna sea roja) = P (AA) + P (AB) + P (BA) + P (BB)
= (3/10) (2/9) + (3/10) (2/9) + (2/10) (3/9) + (2/10) (1/9)
= 6 / 90 + 6 / 90 + 6 / 90 + 2 / 90 = 20 / 90 = 2/9
EVENTOS INDEPENDIENTES

Se extrae una carta de una baraja de 52 cartas, se coloca de nuevo en el paquete y se extrae una
segunda carta.
Considere el ejemplo siguiente. Sea A el evento “Aparece 2 en un dado blanco”; y B “Aparece 2 en
un dado negro”. Si ambos dados se lanzan una vez, ¿Cuál es la probabilidad de que ocurran dos
números 2?
P(A)=
1
6
y P(B)=
1
6
Observe
( B) 1
( )
( ) 36
n A y
P A y B
n S
= =
Pero también el producto
1
6
*
1
6
=
1
36
, en este caso la multiplicación produce la respuesta correcta.
No obstante, la multiplicación no siempre funciona.
Al lanzar un dado P (la suma es siete y se obtiene un número doble) = 0, sin embargo, P (7) * P(doble)
=
1 1 1
*
6 6 36
= .
La Independencia es la propiedad necesaria para multiplicar probabilidades. La falta de
independencia, es lo que llamamos dependencia.
Dos eventos A y B son independientes si:
P(A )B =P(A), o si P(B )A = P(B).
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Actividad 1. Contextualicemos algunos elementos de probabilidad, Para tal efecto, conteste las
siguientes preguntas.
1) ¿Cuál es la diferencia entre un fenómeno aleatorio y uno determinístico?
2) ¿A partir de qué podemos construir un espacio muestral?
3) ¿Cómo se denomina a un subconjunto de un espacio muestral?
4) ¿A qué es igual la probabilidad del evento total?
5) ¿A qué es igual la probabilidad del evento vacío?
6) ¿Cuál es el rango de valores que puede tomar la probabilidad de un evento?
7) ¿Qué opinión le merece la afirmación de Henri Poincaré: “El azar no es más que la medida de
nuestra ignorancia. Los fenómenos fortuitos son, por definición, aquéllos cuyas leyes
ignoramos”?
8) Carlos, es matemático ¿porque no cree en la astrología?
Actividad 2. Lea detenidamente y conteste.
1) La probabilidad de que, de un envío de 20 repuestos, del cual se sabe que 3 son defectuosos,
un repuesto escogido aleatoriamente resulte defectuoso.
2) En un bolillero hay 20 bolillas blancas y 5 azules:
a. Calcular la probabilidad de sacar una blanca
b. Calcular la probabilidad de sacar una azul
c. Calcular la probabilidad de sacar una blanca o una azul.
3) Supóngase que A y B son eventos independientes, tales que la probabilidad de que no ocurre
ninguno de los dos es a, y la probabilidad de que ocurra B es b. Demuestre que:
4) Si se lanza un par de dados, encuentre la probabilidad de obtener
a. un total de 8.
b. cuando mucho, un total de 5.
5) En una universidad se gradúan 100 estudiantes, 54 estudiaron matemáticas,
69 historia y 35 ambas materias. Si se selecciona aleatoriamente uno de estos estudiantes,
encuentre la probabilidad de que:
a) Se haya dedicado a matemáticas o historia.
b) No haya cursado ninguna de estas materias.
c) Haya estudiado historia, pero no matemáticas.

6) La probabilidad de que una industria China se ubique en Managua es de 0.7;
De que se localice en Chontales, de 0.4, y de que ubique en ambas, de 0.8. Cuál es la
probabilidad de que la industria se localice
a. En ambas ciudades?
b. En ninguna de ellas?
7) Si se seleccionan al azar 3 libros de un estante que contiene 5 novelas, 3 libros de
poemas y un diccionario, Cual es la probabilidad de que
a. se tome el diccionario?
b. Se escojan 2 novelas y un libro de poemas?
8) En una empresa, la probabilidad de que un empleado escogido al azar tenga más de
30 años es de 0.55. ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado escogido al azar tenga 30
años o menos?
9) En cierta ciudad el 40% de la población tiene el cabello castaño, el 20% tiene los
ojos negros y el 5% tiene los ojos negros y el cabello castaño. Se escoge una persona al azar,
halle la probabilidad de que:
a. tenga el cabello castaño o los ojos negros
b. tenga solo el cabello castaño, pero no los ojos negros
c. no tenga el cabello castaño ni los ojos negros
10) Un grupo de estudiantes está formado por 20 hombres y 10 mujeres. Del grupo se
escogen aleatoriamente tres estudiantes. ¿Cuál es la probabilidad de que sean escogidos dos
hombres y una mujer?
11) El 30% de los habitantes de Juigalpa presencia el noticiero de televisión de la mañana;
el 40% ve el noticiero de la noche y el 10% presencia ambos noticieros. Se escoge una persona
al azar de esta ciudad. Halle la probabilidad de que:
a. presencie el noticiero de la mañana o de la noche.
b. No presencie ninguno de los dos.
c. Presencie solo el de la mañana o solo el de la noche.
12) Una empresa farmacéutica llevó a cabo un estudio para evaluar el efecto de una medicina
para el alivio de alergias. Para tal estudio se seleccionaron 250 pacientes quienes presentaban
síntomas que incluían ojos irritados y trastornos epidérmicos. Estos 250 pacientes recibieron
el nuevo medicamento. Los resultados del estudio son como sigue: 90 de los pacientes
tratados experimentaron mejora total en los ojos, 135 se curaron de su afección cutánea y 45
experimentaron tanto alivio total en los ojos y curación total en la piel. ¿Cuál es la probabilidad
de que un paciente que toma el medicamento experimente alivio en uno de los dos síntomas
o en ambos?
13) Se selecciona al azar 5 libros de un estante que contiene 15 novelas, 7 libros de poesía, 4 libros
de ensayo y 5 diccionarios. ¿Cuál es la probabilidad de que?
a. se tome un diccionario
b. se escoja 2 novelas y 3 libros de poesía.

14) En un experimento para estudiar la relación entre la hipertensión y el hábito de fumar, se
reunieron los siguientes datos de 180 individuos:
Si se selecciona al azar a uno de estos individuos, encuentre la probabilidad de que la persona.
a. Padezca de hipertensión, dado que es un fumador empedernido.
b. Sea un no fumador, dado que no padece de hipertensión.
15) Un espacio muestral de 1 000 adultos se clasifica de acuerdo con su sexo y nivel de educación:
16) Si se selecciona aleatoriamente a una persona de este grupo, encuentre la probabilidad de
que:
a. Sea hombre, dado que tiene educación de nivel universitario.
b. No tenga grado universitario dado que es mujer.

Unidad III: Estadística Inferencial.
Objetivos:
➢ Comprender la metodología de la inferencia estadística y sus aplicaciones como apoyo a la
investigación científica.
➢ Diferenciar las propiedades de la población en estudio, basándose en los resultados obtenidos
en una muestra representativa de la misma.
➢ Manifestar interés por aplicar la metodología de la inferencia estadística en la investigación
científica.
3.1. Teorema de límite central.
El teorema central del límite (TCL) es una teoría estadística que establece que, dada una muestra
suficientemente grande de la población, la distribución de las medias muestrales seguirá una
distribución normal.
Además, el TCL afirma que a medida que el tamaño de la muestra se incrementa, la media muestral
se acercará a la media de la población. Por tanto, mediante el TCL podemos definir la distribución de
la media muestral de una determinada población con una varianza conocida. De manera que la
distribución seguirá una distribución normal si el tamaño de la muestra es lo suficientemente grande.
El teorema central del límite tiene una serie de propiedades de gran utilidad en el ámbito estadístico
y probabilístico. Las principales son:
1) Si el tamaño de la muestra es suficientemente grande, la distribución de las medias muestrales
seguirá aproximadamente una distribución normal. El TCL considera una muestra como
grande cuando el tamaño de la misma es superior a 30. Por tanto, si la muestra es superior a
30, la media muestral tendrá una función de distribución próxima a una normal. Y esto se
cumple independientemente de la forma de la distribución con la que estamos trabajando.
2) La media poblacional y la media muestral serán iguales. Es decir, la media de la distribución
de todas las medias muestrales será igual a la media del total de la población.
3) La varianza de la distribución de las medias muestrales será σ²/n. Que es la varianza de la
población dividido entre el tamaño de la muestra.
Que la distribución de las medias muestrales se parezca a una normal es tremendamente útil. Porque
la distribución normal es muy fácil de aplicar para realizar contrastes de hipótesis y construcción de
intervalos de confianza. En estadística que una distribución sea normal es bastante importante, dado
que muchos estadísticos requieren este tipo de distribución. Además, el TCL nos permitirá hacer

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