geoestadistica-2.pdf

Cátedra de Geología de Minas
Facultad de Ciencias Naturales y Museo
UNIVERSIDAD NACIONAL DE LA PLATA
APUNTES DIDÁCTICOS DE
GEOLOGÍA DE MINAS
Contenido:
GEOESTADÍSTICA APLICADA A LA
EXPLORACIÓN MINERA
Parte II: TÉCNICAS DE ESTIMACIÓN. KRIGEADO
Raúl Fernández y Mario Tessone
Revisión: Octubre de 2015
La serie de notas o apuntes didácticos de la Cátedra de Geología de Minas, constituyen sólo una guía de los temas
abordados en la materia y no pretenden tener la categoría ni de material completo ni de libro de texto. En los años
en que se ha dictado la materia, los hallazgos, por parte de los alumnos y docentes, de errores y/o desarrollos
confusos así como cambios introducidos a los efectos de su actualización, llevan a continuas revisiones de estos
apuntes.
En ciertas ocasiones el contenido cubre la totalidad del desarrollo que se da en clase, pero en otras sólo se
presentan algunos fundamentos y su profundización y aplicación se brinda en las clases correspondientes.
Estos apuntes fueron confeccionados tomando como base la experiencia y conocimientos de los docentes, pero
también tienen una fuente bibliográfica de gran amplitud, dada la diversidad de temas que se tratan. Se han
consultado tanto libros de texto específicos como artículos de revistas periódicas, los que figuran al final de cada
tema. La mayor parte de esa bibliografía puede ser proporcionada a los alumnos de la materia por los docentes de
la cátedra.
Debe mencionarse que por ser Geología de Minas una materia optativa de la Facultad de Ciencias Naturales y
Museo de la UNLP, que es tomada por estudiantes avanzados en la carrera o por estudiantes de postgrado, hay
numerosos temas, definiciones y términos que se considera, fueron desarrollados previamente en otras materias y
por lo tanto no están comprendidos en estos apuntes

Raúl Fernández y Mario Tessone Geología de Minas (2015) FCNyM-UNLP
Geoestadística aplicada a la exploración minera (Parte 2) 2
GEOESTADÍSTICA APLICADA A LA EXPLORACIÓN MINERA
Parte II: TÉCNICAS DE ESTIMACIÓN. KRIGEADO
INTRODUCCIÓN
Durante las etapas iniciales de exploración se produce una gran cantidad de datos (por ejemplo de
leyes y espesores); aunque esta información está distribuida en todo el depósito representa un volumen
muy pequeño respecto a él; por lo tanto para la estimación de recursos/reservas (etapa final de la
exploración) habrá amplios sectores para los cuales habrá que predecir o estimar el valor de la variable.
Utilizando como ejemplo la variable ley, la estimación puede definirse como: asignar un valor a un
punto o a un bloque que no posee información, a partir de la información de las muestras cercanas.
Entonces la estimación no es la realidad sino una aproximación a la realidad que dependerá de factores
tales como: el conocimiento geológico del depósito, la complejidad de la distribución de las leyes y la
localización y cantidad de muestras utilizadas para la estimación.
Debe mencionarse que todos los métodos que se tratarán consisten en combinaciones lineales
ponderadas, con la siguiente ecuación general
Estimador= ∑
=
=
n
i
i
i
e v
w
v
1
.
donde ve es el valor estimado, vi son los valores individuales de las muestras y wi son los ponderadores
para cada una de ellas. En la mayor parte de los métodos de estimación y a los efectos de evitar el sesgo,
los ponderadores deben sumar 1: ∑ =1
i
w
Este apunte se inicia con una breve síntesis de las técnicas de estimación clásicas utilizadas en
minería y, posteriormente se pasa a describir el método geoestadístico de estimación denominado:
krigeado.
MÉTODOS CLÁSICOS DE ESTIMACIÓN
Estos métodos son ampliamente descriptos en la bibliografía específica (Peters, 1978; Annels, 1991;
Stone y Dunn, 1998). Algunos ejemplos se ilustran en la Figura 1.
distancia
(a)
(b)
( c)
(d)
(e)
(f)
Fig. 1. a) polígonos en una grilla cuadrada uniforme. b) polígonos cuadrados y rectangulares en una grilla no
uniforme. c) polígonos definidos por bisectores perpendiculares. d) polígonos definidos por bisectores angulares. e)
triángulos. f) Método de secciones: la mena (gris) es delineada en perforaciones en cada sección y se determina la
ley promedio en cada sección; las secciones contiguas se interpolan.

En este apunte sólo se describirán sucintamente algunos de esos procedimientos conforme a dos
objetivos de la estimación de leyes: la estimación global de todo el depósito o la estimación local puntual
o de pequeñas porciones de ese depósito.
ESTIMACIÓN GLOBAL
Es poco probable que en una exploración
tengamos una malla de muestreo perfectamente regular
y homogénea. Normalmente hay una mayor densidad de
muestras en los sectores de mayor interés. La Figura 2
ilustra este caso y representa la disposición en planta de
un nivel de un supuesto depósito tipo pórfido cuprífero
que ha sido perforado en 2 etapas; la segunda fueron
perforaciones de relleno para definir sectores de alta
ley.
Fig. 2. Ubicación de perforaciones de las etapas 1 (•) y 2 (+)
Las perforaciones de relleno en la zona de mayor interés, desde luego tienen mayores leyes que las
restantes y es evidente que una ley promedio utilizando todas las muestras sería sesgada y sobrevaluará la
ley media del depósito; la información es redundante. Una solución para evitar esta redundancia podría
ser calcular la ley promedio con las muestras de la primera campaña de perforaciones, pero esto sería
inadecuado ya que perderíamos información.
La mejor solución es aplicar un método que le otorgue distinto peso a las muestras de acuerdo a su
espaciamiento. Hay dos técnicas básicas para ello: desagrupamiento poligonal y desagrupamiento por
celdas.
Desagrupamiento poligonal
Hay distintos métodos de construcción de polígonos. En la Figura 3a, se muestra la utilización de los
bisectores perpendiculares. El ponderador de cada muestra de ley xi será el área del polígono que la
incluye:
Ley media= Σ(área polígonoi * xi)/Σ área polígonoi
En los sectores donde hay mayor densidad (agrupamiento) de muestras los polígonos tendrán menor
superficie (Figura 3b) y por consiguiente el ponderador tendrá un valor más bajo.
Desagrupamiento por celdas
Es similar al método de ventanas móviles. El área es dividida en celdas del mismo tamaño y las
muestras incluidas son ponderadas por la inversa del número de muestras; esto es hacer un promedio con
esas muestras el cual será el valor de ley asignada a la celda.
Si bien es un método sencillo, se debe ser muy cuidadoso al momento de elegir el tamaño de celda
óptimo para que el desagrupamiento sea adecuado.
1700
1600
1500
1400
1300
1200
1100
1200
1300
1400
1500
1600
1700
1800
1900
Perforaciones
Etapa 1
Perforaciones
Etapa 2

a b
+ +
+
+
+ + +
+
+ + + +++
+ +
+
+
+
+
+
+ +
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ ++ +
+ +
+ +
+
+
+
+
+ +
+
+
+
+ +
+
+
+
Fig. 3. a) construcción de polígonos por el método de bisectores perpendiculares. b) polígonos de distintas
superficies que dependen del agrupamiento de las muestras (+)
ESTIMACIÓN PUNTUAL
En etapas tempranas de la exploración las estimaciones globales que vimos más arriba pueden ser
necesarias; sin embargo este no suele ser el objetivo final. Normalmente se requiere estimadores de áreas
o volúmenes mucho menores y en muchos casos también se desea estimar el valor para una determinada
localización (puntual); esto significa que no sólo hay que tener en cuenta posibles agrupamientos sino
también las distancias con las muestras cercanas.
Se describirán tres metodologías: por polígonos, por triángulos y por inversa de las distancias.
Método de los polígonos
Los polígonos se construyen tal como se ha visto para la estimación global; de esta forma el
estimador será el valor de la muestra mas cercana, ya que el polígono tendrá ese valor de estimación.
Si la red de muestreo es regular, los polígonos serán cuadrados o rectángulos.
En la Figura 4 el estimador del punto 1 será el valor de la muestra que está en su polígono de
influencia y el del punto 2 será el de la muestra que incluye
ese polígono. Conforme a la construcción de los polígonos, el
valor de estimación de un punto será el de la muestra más
cercana. Puede verse además, que el estimador por polígonos
produce una serie discontinua de escalones, que usualmente
no son reales sino producidas por el método.
Fig. 4. Estimación con polígonos de influencia
Método de los triángulos
Elimina las discontinuidades entre las muestras adyacentes y utiliza para la estimación 3 muestras
que constituyen los vértices del triángulo (Fig. 5a); z es el valor (ley) de las muestras por lo que el
triángulo es un plano inclinado y para cualquier punto dentro de él puede estimarse su valor resolviendo
las ecuaciones del plano, cuya formula general es:
c
by
ax
z i
i
i +
+
=
donde zi es el valor de cada muestra, xi, yi son sus cordenadas, y a, b y c son los coeficientes con los
cuales se obtiene el valor del estimador.
1
2

o
i
j
k
ojk
oij
oik
z
c
a b
Fig. 5. a) el triángulo en cuyos vértices están las muestras es un plano inclinado. b) método geométrico para
obtener el estimador. c) construcción de los triángulos de Delaunay. Los círculos negros representan algún punto
que se desea estimar dentro del triángulo.
También puede obtenerse el estimador (ve0) de cualquier punto en forma geométrica, usando como
ponderador de la muestra del vértice la superficie del triángulo interno opuesto, que tendrá como vértices
dos muestras y el punto a estimar; por ejemplo en la Figura 5b el estimador del punto o, es:
ijk
v
oij
v
oik
v
ojk
ve k
j
i
o
*
*
* +
+
=
Este método dependerá de cuales son los tres puntos cercanos a utilizar para definir el plano. Una
técnica para construir los triángulos es la llamada “triangulación de Delaunay” (Fig. 5c) que está
relacionada geométricamente con los polígonos: tres muestras formarán un triángulo si sus polígonos de
influencia tienen un vértice en común.
Método de inversa de las distancias
Su objetivo es otorgar un ponderador mayor a las muestras más cercanas
y uno menor a las más alejadas. Un esquema simple se brinda en la
Figura 6.
Fig. 6. Distancias (di) entre las muestras (+) y el punto a estimar (o) (círculo
negro); vi son los valores de las muestras
El estimador (ve) se obtiene con la siguiente ecuación:
∑
∑
=
=
= n
i i
n
i
i
i
o
d
v
d
ve
1
1
1
*
1
,
donde di son las distancias entre la localización de cada muestra y el punto a estimar, vi son los valores
(ley) de las muestras y veo es el estimador del punto a estimar.
Este método permite una amplia gama de estimadores si a la distancia (di) la elevamos a alguna
potencia (p); de esta forma la ecuación previa se hace:
d1
d2
d3
d4
d5
v1
v2
v3
v5
v4
o

∑
∑
=
=
= n
i
p
i
n
i
i
p
i
o
d
v
d
ve
1
1
1
*
1
La potencia puede variar (p<1 a p>1) dependiendo que peso se quiere otorgar a las distancias. Si
p<1 (por ejemplo 0,2) la distancia será un ponderador de poca importancia y nos estaríamos acercando a
un simple promedio de las muestras. Si p>1 es muy elevado (por ejemplo 10) las muestras alejadas
tendrían un ponderador muy pequeño y tal vez casi todo el peso lo puede tener la muestra más cercana;
así el método sería muy similar al de los polígonos, donde el estimador utiliza sólo la muestra más
cercana.
La elección de la potencia p es arbitraria, pero es tradicional p=2; esto es la inversa de las distancias
al cuadrado.

EL MÉTODO DE KRIGEADO
El Krigeado (Kriging) es una técnica de estimación (o predicción) de valores en puntos o volúmenes, cuyo
valor se desconoce; se basa en las muestras vecinas, su ubicación y la variabilidad espacial de la
distribución que surge del variograma. La metodología de krigeado también es de combinaciones lineales
ponderadas y permite obtener tanto el estimador como el error de esa estimación. Actualmente es un
método muy usado en las estimaciones y definiciones de recursos/reservas en minería, pero también se
utiliza en problemas de contaminación de aguas y suelos, estimaciones en reservorios de petróleo,
propiedades geotécnicas de suelos, etc.
INTRODUCCIÓN
Krige, ingeniero de minas de larga trayectoria en los yacimientos de oro de Witwatersrand
(Sudáfrica) reconoció la importancia de la variabilidad espacial de los resultados de muestras de esos
yacimientos; fue quien comenzó a utilizar los datos de muestras internas y externas al volumen de mena a
evaluar, con el fin de obtener mayor seguridad en las leyes medias que se asignan a ese volumen. La
metodología fue luego formalizada matemáticamente en Francia con la teoría de las variables
regionalizadas de Matheron, quien acuñó el término Krigeado (Krigeage en francés).
El Krigeado es un método que permite obtener los ponderadores que se aplicarán a cada muestra
para estimar el valor de un punto o bloque de valor desconocido y la varianza (o error) que se produce en
dicha estimación. El método utiliza los datos de valores de muestras conocidas de su entorno (o internas
al bloque), pero emplea no sólo sus valores numéricos sino también su arreglo espacial, el cual debe
definirse previamente mediante la construcción del variograma experimental y su ajuste a un modelo de
variograma. Por la experiencia en la evaluación de depósitos minerales, el krigeado parece representar
mejor los datos reales respecto a otros estimadores (inversa de las distancias, polígonos, triángulos, etc.).
En algunos textos el Krigeado ha sido calificado con las siglas B.L.U.E (del inglés: Best Linear
Unbiased Estimator = el mejor estimador lineal no sesgado). El término “estimador lineal” es porque es
el resultado de combinaciones lineales ponderadas de los datos disponibles. “No sesgado” se debe a que
produce datos estimados en donde la media de los errores (residual) es igual a cero. “El mejor” es como
consecuencia que minimiza la varianza del error. El Krigeado, por lo tanto, tiende a eliminar los defectos
de sub-estimación y los excesos de sobre-estimación que presentan los métodos clásicos de estimación de
recursos en minería.
En la literatura geoestadística pueden encontrarse diversos tipos de Krigeado: Krigeado Ordinario
(KO), Krigeado Simple (KS), Krigeado Indicador (KI), Co-Krigeado, entre otros, que pueden ser tanto de
puntos como de bloques. Si bien cada uno posee algunas variantes en los datos de partida, los métodos
son esencialmente iguales en cuanto a las operaciones y manejo de ellos. El método se comprenderá a
partir de la síntesis del desarrollo de un Krigeado Ordinario que se tratará a continuación.
KRIGEADO
Como se señaló el objetivo del krigeado es obtener los ponderadores de las muestras que usaremos
para estimar el valor de un punto o bloque de valor desconocido y establecer el error de dicha estimación.
Recordemos que los métodos típicos de estimación en la mayor parte de las situaciones geológicas y
mineras, son combinaciones lineales ponderadas del tipo:
∑
=
=
n
i
i
i
e v
w
v
1
.

donde ve es el valor estimado, vi son los valores individuales de las muestras y wi son los ponderadores
para cada una de ellas. En la mayor parte de los métodos de estimación y a los efectos de evitar el sesgo,
los ponderadores deben sumar 1: ∑ =1
i
w
En la Figura 7 se ilustra un ejemplo para la estimación de un punto o un bloque de valor
desconocido a partir 5 muestras. En el caso más sencillo podría aplicarse el mismo ponderador (1/5) a
cada muestra y con él estimar el valor del punto desconocido (0) o del bloque (con el valor de su centro=
0) es decir un simple promedio que no tiene en cuenta la distribución de las muestras. Sin embargo,
podemos suponer que las muestras más cercanas deberían tener un ponderador mayor que las muestras
más alejadas por lo que una mejor alternativa sería aplicar el método de inversa de las distancias, en el
que cada ponderador será 1/di (di es la distancia al punto o centro del bloque a estimar).
Si bien el método de inversa de las distancias puede ser adecuado (aunque no es eficaz para estimar
bloques) veremos como funciona el krigeado con el ejemplo sencillo presentado en la Figura 7.
1
1,05
2
0,65
3
1,95
4
1,70
1
1,05
2
0,65
3
1,95
4
1,70
?
0
5
5
1,35 1,35
100
100
150
150
100
100
150
150
a b
Fig. 7. Ubicación de 5 muestras (círculos llenos) para el desarrollo de un ejemplo sencillo de krigeado ordinario
(KO). Por encima de cada punto se consigna el número de muestra y por debajo su valor en % Cu. (a) krigeado
puntual de una localización denominada 0 (círculo vacío) cuyo valor se desconoce, y (b) krigeado de bloque; con
las 4 muestras externas y una muestra interna se krigeará el bloque (2D) de 20 x 20 m (en gris) en vez del punto 0.
KRIGEADO ORDINARIO (KO) PUNTUAL
Para su mejor comprensión trataremos primero la estimación del valor de un punto y el error (o
varianza) de esa estimación. Posteriormente se desarrollará el krigeado para estimar un bloque (que es la
forma en que se lo emplea en la evaluación minera).
Como se definió el objetivo será hallar los ponderadores que, en una ecuación lineal den un valor de
estimación con un promedio de los errores igual a cero y la mínima varianza de los errores. Ya fue
señalado (ver Parte 1 de este apunte) que todos los métodos de estimación se basan en un modelo. Por
ejemplo, en el comentario anterior sobre la Figura 7, el primer método tiene como modelo que todas las
muestras tienen el mismo peso (1/5), en cambio en el segundo fue que el peso de las muestras es
inversamente proporcional a la distancia que las separa del punto a evaluar. En cambio para el krigeado,
el método geoestadístico utiliza el modelo de variograma definido previamente del conjunto de datos.

Ejemplo trabajado
Este ejemplo hipotético1
se basa en 5 muestras a partir de las cuales deseamos estimar la ley de un
sitio no muestreado y por lo tanto de valor desconocido. La ubicación espacial (2D) de esas muestras y la
del punto a estimar son las presentadas en la Figura 7a. Con el objetivo de comprender el procedimiento,
resolveremos un sistema de krigeado para definir los ponderadores de cada muestra y así estimar el valor
del punto de ley desconocida y la varianza o error de la estimación.
Como se señaló, el primer paso es obtener un modelo de variograma para la distribución;
supongamos que es el de la Figura 8a, con los siguientes parámetros:
modelo esférico; isótropo; C0= 0,15; C1= 0,45; a= 50
(h)
a a
a b
h h
C0
C1
C +C
0 1
Fig. 8. a) Variograma esférico con efecto pepita (C0), meseta (C0+C1) y (a)= alcance. b) Función de covarianza
para ese variograma.
En la Figura 8b se muestra la covarianza en h, que como hemos visto al desarrollar el tema de
variogramas es igual al variograma modelo pero invertida. Se ilustra esta curva para mencionar que a los
efectos de los cálculos, el krigeado puede utilizar indistintamente el variograma o la covarianza
La ecuación del modelo esférico de variograma es:














−






+
=
3
1
0 5
,
0
5
,
1
a
h
a
h
C
C
h
γ (1)
Si se emplea la covarianza, la ecuación es:














−






−
+
=
3
1
0 5
,
0
5
,
1
1
a
h
a
h
C
C
Covh
(2)
En el ejemplo que se desarrolla se utilizará el variograma (ecuación 1).
Reemplazando los valores de C0, C1 y a, establecidos previamente, la ecuación (1) resulta:
)
.
000004
,
0
.
03
,
0
(
45
,
0
15
,
0
50
5
,
0
50
5
,
1
45
,
0
15
,
0 3
3
h
h
h
h
h −
+
=














−






+
=
γ (3)
Ahora debe obtenerse el valor del variograma para las distintas distancias h, que es la única incógnita
de la ecuación precedente que queda por definir.
Las coordenadas de las muestras (puntos en la Fig. 7) y del sitio que deseamos estimar se dan en la
Figura 9; cualquier distancia geométrica h entre 2 puntos puede calcularse conforme al ejemplo y
ecuación del lado derecho de esa figura.
1
Por tratarse de un ejemplo muy simplificado y con suposiciones (por ejemplo el modelo y parámetros del variograma) que
tiene sólo el fin de mostrar la metodología de krigeado, posee algunas inconsistencias (por ejemplo al hacer la validación
cruzada) pero estas no lo descalifican a los efectos de explicar el método.

2
2
N
E
h ∆
+
∆
=
x1 x2
y1
y2
h
E= x -x
2 1
N=
y
-y
2
1
puntos x y Ley Cu%
1 136,00 170,50 1,05
2 166,00 166,20 0,65
3 136,70 133,40 1,95
4 166,00 136,60 1,70
5 153,60 158,70 1,35
0 150,00 150,00 ?
Fig. 9. Coordenadas y ley de las muestras de la Figura 7a y coordenadas del punto que se desea estimar(0). Con la
ecuación de la derecha (2D) se calculan las distancias en el plano.
Las distancias geométricas calculadas entre pares de muestras (1 a 5) y entre las muestras y el punto
a estimar (0) se presentan en la Figura 10.
puntos 1 2 3 4 5 0
1 0,00 30,31 37,11 45,27 21,19 24,82
2 30,31 0,00 43,98 29,60 14,49 22,77
3 37,11 43,98 0,00 29,47 30,43 21,27
4 45,27 29,60 29,47 0,00 25,34 20,87
5 21,19 14,49 30,43 25,34 0,00 9,42
Fig. 10. Distancias geométricas h (en metros) entre las muestras (1 a 5) y de las muestras al punto a estimar (0)
Estos serán los valores de la distancia h que utilizaremos para obtener γh. Reemplazando el valor de
h en la ecuación (3) obtenemos una matriz de los valores γh para cada par de muestras (xi,xj), que
denominaremos [C] y un vector (matriz de una columna) para los pares correspondientes a cada muestra
y el punto a estimar (xi,0), que denominaremos [D]. Estos resultados se consignan en las tablas de la
Figura 11. Puede verse que en las matrices se han agregado las variables 1 y 0; esto se debe a que la
operación matemática de resolución de matrices que plantea el krigeado ordinario se resuelve con un
nuevo multiplicador denominado de Lagrange (µ). Este concepto matemático no se desarrolla en este
apunte y sólo se verá como interviene en la estimación de la varianza de krigeado.
Matriz C
γ(1,1) γ(1,2) γ(1,3) γ(1,4) γ(1,5) 1 0,00 0,51 0,56 0,59 0,42 1
γ(2,1) γ(2,2) γ(2,3) γ(2,4) γ(2,5) 1 0,51 0,00 0,59 0,50 0,34 1
γ(3,1) γ(3,2) γ(3,3) γ(3,4) γ(3,5) 1 = 0,56 0,59 0,00 0,50 0,51 1
γ(4,1) γ(4,2) γ(4,3) γ(4,4) γ(4,5) 1 0,59 0,50 0,50 0,00 0,46 1
γ(5,1) γ(5,2) γ(5,3) γ(5,4) γ(5,5) 1 0,42 0,34 0,51 0,46 0,00 1
1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0
Vector D
γ(1,0) 0,46
γ(2,0) 0,44
γ(3,0) = 0,42
γ(4,0) 0,42
γ(5,0) 0,28
1 1
Fig. 11. Valores del variograma entre muestras (matriz C) y entre muestras y el punto a estimar (vector D)
Debe hacerse notar que los valores de la matriz [C] y del vector [D] ya no son distancias
geométricas; al ser transformadas por la ecuación del variograma dichos valores conforman “distancias
geoestadísticas”. Puede verse que la diagonal de la matriz [C] tiene valor cero; esto se debe a que se trata
de la misma posición y el variograma para h=0 es cero.
El krigeado se resuelve como un producto matricial:

[C].[w]= [D]
donde la matriz [C] y el vector [D] se definieron más arriba. El vector [w] es hasta ahora desconocido y
corresponde a los ponderadores wi que deseamos obtener. Para ello la operación matricial es multiplicar
ambos términos por la matriz inversa de C cuya notación es [C-1
]:
[C-1
].[C].[w] = [C-1
].[D]
[C-1
].[C] es la matriz identidad= 1; por lo tanto
[w] = [C-1
].[D] (4)
esto es: el producto de la matriz inversa de C (entre las muestras) por el vector D (entre muestras y el
punto a estimar) permite obtener los ponderadores wi. Los ponderadores resultantes de este producto de
matrices (ecuación 4) se muestran en la Figura 12.
Ponderadores
w1 0,10
w2 0,06
w3 = 0,22
w4 0,19
w5 0,43
µ 0,01
Fig. 12: Resultado de los ponderadores a aplicar a cada muestra, obtenidos por el producto de la ecuación (4); µ
es el parámetro de Lagrange.
Una vez calculados los ponderadores (wi) para cada una de las muestras se obtiene el estimador (Zk)
de la ley para el punto de valor desconocido y el error de ese estimador, medido por la varianza (sk
2
),
mediante las siguientes ecuaciones:
Estimador de krigeado: ∑
= i
i
k x
w
Z . (5)
Varianza de krigeado: [ ] )
0
,
0
(
)
0
,
(
.
2
γ
µ
γ −
+
= ∑ i
i
k x
w
s (6)
Donde wi son los ponderadores, xi son las muestras, γ(xi,0) es el valor del variograma entre las
muestras y el punto a estimar, µ es el parámetro de Lagrange y γ(0,0) es el valor del variograma para la
distancia cero (γ(0,0)=0); este último no tiene ningún efecto, pero se muestra en la ecuación sólo para
compararla con la ecuación de la varianza de krigeado de bloques que se verá más adelante.
De acuerdo a los resultados de este ejemplo trabajado,
el estimador para el punto 0 (ecuación 5) es:
Zk= (0,10x1,05) + (0,06x0,65) + (0,22x1,95) + (0,19x1,70)
+ (0,43x1,35)= 1,47 % Cu
El error de la estimación o varianza de krigeado
(ecuación 6) es:
sk
2
= [(0,10x0,46) + (0,06x0,44) + (0,22x0,42) + (0,19x0,42)
+ (0,43x0,28)] + 0,01= 0,38 (% Cu)2
Estos resultados se grafican en la Figura 13.
Fig. 13. Además de las leyes de Cu, a la derecha del número de
muestra se consigna el ponderador resultante del krigeado.
Debajo del punto a estimar (0) están los resultados de la
estimación (Zk) y la varianza de krigeado (sk
2
).
1(w= 0,10)
1,05
2 (w= 0,06)
0,65
3(w= 0,22)
1,95
4(w= 0,19)
1,70
Z = 1,47 % Cu
s = 0,38 (% Cu)
k
k
2 2
0
5(w=0,43)
1,35
100
100
150
150

Debe mencionarse que si en vez del variograma se utiliza el modelo de covarianza (ecuación 2) se
obtendrá un resultado idéntico; como los ponderadores serán los mismos no habrá ningún cambio en la
fórmula del estimador Zk (ecuación 5) pero la fórmula de la varianza de kriegado sk
2
(ecuación (6)) tendrá
la siguiente modificación:
µ
+
−
= )
0
,
(
.
)
0
,
0
(
2
i
i
k x
Cov
w
Cov
s
donde Cov(0,0) es el valor de la covarianza a la distancia cero (es la meseta del variograma), Cov(xi,0) es
el valor de la covarianza entre las muestras y el punto a estimar y los restantes símbolos como en la
ecuación (6).
ANÁLISIS PRÁCTICO DEL SISTEMA DE KRIGEADO
El estimador y la varianza
El estimador (Zk) es la suma del producto de las leyes de las muestras por el ponderador wi de cada
una de ellas y por lo tanto dependerá tanto de esas leyes como del modelo de continuidad espacial
(variograma) y de la ubicación de las muestras.
En cambio en la varianza de krigeado (sk
2
) por ser la suma del producto del ponderador por las
distancias geoestadísticas desde las muestras al punto a estimar, las leyes de las muestras no tienen
ninguna intervención y por lo tanto dependerá solamente del modelo de continuidad espacial
(variograma) y de la ubicación de las muestras. Esto significa que para el mismo modelo de variograma y
la misma distribución de muestras, cualquier cambio en sus leyes no afectará la varianza.
Vector D
Puede considerarse que este vector, que es el valor del variograma entre las muestras y el punto de
valor desconocido a estimar, tiene similitudes con el método de inversa de las distancias pero en forma
contraria, cuanto mayor es la distancia el valor del variograma es más elevado. Analizando las distancias
en metros (Fig. 10) y el vector D (Fig. 11) puede verse que la muestra 5 es la más próxima al punto a
estimar (9,42 m) y el γ(5,0)= 0,28; la muestra 1 es la más alejada al punto a estimar y el γ(1,0)= 0,46; las
muestras 3 y 4 están prácticamente a la misma distancia del punto a estimar y poseen el mismo valor de γ.
Debe mencionarse que si en vez del variograma se hubiese utilizado la covarianza (ecuación 2) a mayor
distancia entre las muestras, menor será la covarianza (comparar figuras 8a y 8b).
Un aspecto que diferencia el vector D de la inversa de las distancias, es que estas no son geométricas
sino distancias geoestadísticas resultantes del modelo de continuidad espacial definido por el variograma.
Matriz C
Representa el valor del variograma entre las muestras y para la operación matricial se usa la inversa
de la matriz C: [C-1
].
Por un lado, el producto: [D] x [C-1
] hace que los ponderadores sumen 1: ∑ =1
i
w
Otro efecto importante de [C] es que brinda información sobre el agrupamiento de las muestras. En
este ejemplo trabajado, la muestra 1 está más lejos del punto a estimar que la muestra 2 (24,82 y 22,77 m
respectivamente en la Fig. 10); sin embargo el ponderador que le corresponde a la muestra 1 es mayor que
el de la muestra 2 (w1= 0,10 y w2= 0,06, ver Fig. 12); esto se debe a que [D] x [C-1
] produce un ajuste
para evitar las redundancias; esto es, la muestra 2 está bastante cerca de la muestra 5 (a 14,49 m) y se
produce el denominado “efecto pantalla” que provoca que parte del ponderador a asignar a la muestra 2 se
redistribuya en las muestras más alejadas debido a que la muestra 5 le hace de “pantalla”; de este modo
disminuye la información redundante.

Conforme a lo señalado en el párrafo anterior puede verse que las muestras con “pantalla” tienen
muy poca influencia en la estimación. Por ejemplo, si la muestra 2 hubiese tenido una ley 5 veces mayor
(3,25 % Cu) el estimador para del punto 0 resultaría: Zk= 1,63 % Cu (con la misma varianza) es decir,
sólo levemente mayor que el estimado con la ley de la muestra 2 de 0,65 % Cu (1,47% Cu; Fig. 13).
Influencia del variograma y sus parámetros
En ciertos casos el “efecto pantalla”, por ser una causa artificial (matemática) suele tener
consecuencias no deseadas en los ponderadores. Supongamos el mismo caso que hemos desarrollado para
mostrar el procedimiento de krigeado pero con una diferencia en el efecto pepita del modelo de
variograma: C0= 0 y meseta de 0,45 (C1= 0,45). Los restantes parámetros son los mismos, así como la
ubicación de las muestras y las leyes de Cu. Resolvemos el
sistema de krigeado tal como se hizo más arriba y los resultados
se muestran en la Figura 14.
Fig. 14. Resultados de un ejemplo similar al
de la Figura 13, pero con el efecto pepita
C0= 0. Las referencias pueden verse en la
mencionada figura
Comparando los resultados expuestos en las Figuras 13 y 14, en esta última se obtuvo un estimador
más alto del punto 0= 1,57 % Cu con una varianza menor (0,17 % Cu2
). En este ejemplo simple, la causa
del incremento del estimador puede apreciarse visualmente ya que disminuyeron los ponderadores de las
muestras 1 y 2, de menor ley que las restantes. La ausencia de “efecto pepita”, por lo cual la meseta
decrece a 0,45, hace que la varianza sea menos de la mitad respecto al ejemplo original. Pero un hecho
que debe hacerse notar, es que el “efecto pantalla” sobre la muestra 2 provocó que su ponderador sea
negativo (-0,06) y por esta causa (w1+w3+w4+w5)= 1,06, de modo que Σwi= 1. Un ponderador negativo
no parece razonable ya que le dará un valor negativo a la muestra (en este caso -0,039 % Cu) que no será
real (el valor mínimo será 0 % Cu)
Los modelos de continuidad espacial que tienen baja variabilidad cerca del origen, suelen arrojar
ponderadores negativos; esto es particularmente el caso del modelo de variograma gaussiano y, en
ocasiones, los modelos esférico o exponencial sin efecto pepita (como se ejemplificó).
Debe prestarse mucha atención a los ponderadores negativos ya que bajo ciertas circunstancias
suelen traer serios problemas para la estimación de recursos/reservas.
Otra alternativa que merece comentarse es con un variograma similar al del ejemplo inicial pero en
el que el efecto pepita es C0= 0,45, es decir muy alto respecto al C1= 0,15 (C0+C1= 0,60); el alcance, la
ubicación de las muestras y sus leyes son las mismas. También resolvemos el sistema de krigeado como
se hizo anteriormente y los resultados se exponen en la Figura 15.
Puede verse que, respecto al ejemplo original, disminuyó el estimador de la ley y se incrementó
fuertemente la varianza. Pero además merece resaltarse que los ponderadores son mucho más similares
entre si (entre 0,17 y 0,25) que en el caso original (donde varían entre 0,06 y 0,43) y de este modo
estaríamos acercándonos a aplicar el mismo ponderador (1/5) a cada muestra tal como se propuso al
inicio de este tema, es decir la distancia entre muestras tendría muy poca influencia. El caso extremo de
influencia nula de la distancia sucedería cuando no hay correlación espacial (efecto pepita puro).
1(w= 0,04)
1,05
2(w= -0,06)
0,65
3(w= 0,22)
1,95
4(w= 0,17)
1,70
Z = 1,57 % Cu
s = 0,17 (% Cu)
k
k
2 2
0
5(w=0,63)
1,35
100100
150
150

Fig. 15. Resultados de un ejemplo similar al de la Figura 13, pero
con el efecto pepita C0= 0,45 y el C1= 0,15. Las referencias pueden
verse en la mencionada figura
Como se mencionó en el desarrollo del tema referido a variogramas (ver este apunte Parte 1) debido
a que una concentración mineral es generada por fenómenos geológicos, difícilmente no haya un control
espacial de la mineralización y que esta sea solamente aleatoria; por lo tanto es poco probable que las
leyes de un depósito respondan a un modelo de variograma con “efecto pepita puro” al que se acerca el
último caso. Por otra parte, casi siempre en un depósito mineral, además del fenómeno estructurado hay
un fenómeno aleatorio en la distribución de las leyes; por esta razón también son improbables los que
presenten variogramas sin efecto pepita (el caso anterior).
En los ejemplos mencionados más arriba, el modelo de variograma tiene un comportamiento
isótropo, pero en muchas ocasiones esto no sucede y el modelo de distribución espacial es anisótropo y
tendrá una marcada influencia en los resultados del krigeado (para detalles ver Isaaks y Srivastava, 1989).
Sólo como demostración, puede verse la Figura 16, en la que se muestra la misma distribución de
muestras de los ejemplos anteriores y elipses de anisotropía (geométrica) con distintas orientaciones.
1
2
3
4
0
5
1
2
3
4
0
5
100
100
150
150
a
100
100
150
150
b
Fig. 16. Modelo de variograma con anisotropía geométrica mostrado como elipses de anisotropía, con dos
orientaciones diferentes, a) NE-SO y b) NO-SE. La ubicación de muestras es la de los ejemplos anteriores.
En las Figuras 16a y 16b el eje mas largo de la elipse representa la mayor continuidad espacial
(mayor alcance) y el de menor continuidad es perpendicular; en el sistema de krigeado esta anisotropía
afectará a las muestras 2, 3 y 5 de distinta manera que a las muestras 1 y 4.
Conforme a los ejemplos precedentes, surge con claridad la importancia de comprender
adecuadamente el modelo de continuidad espacial (correlación o dependencia espacial son sinónimos)
representado por el variograma, debido a su influencia en la estimación.
1(w= 0,18)
1,05
2 (w= 0,17)
0,65
3(w= 0,21)
1,95
4(w= 0,20)
1,70
Z = 1,37 % Cu
s = 0,61 (% Cu)
k
k
2 2
0
5(w=0,25)
1,35
100
100
150
150

KRIGEADO DE BLOQUES
Hemos visto como se resuelve el sistema de krigeado para un punto (o localización) en el espacio;
sin embargo en la etapa de evaluación de un depósito mineral el objetivo difícilmente sea la estimación de
un punto, sino la estimación de bloques (Fig. 17). No obstante
esto, el conocimiento de krigeado puntual es una buena base
para comprender el correspondiente a bloques, debido a que no
hay diferencias conceptuales sino un pequeño cambio
metodológico.
Fig. 17. Bloques a estimar en un depósito y bloque discretizado por
4x4x4= 64 puntos
Usualmente para la estimación de bloques se define, en el espacio que lo comprende, una malla
regular de puntos (discretización). En la Figura 17, cada uno de esos puntos representa el centro de los
sub-bloques pequeños en que se dividió el bloque discretizado. Conforme a la experiencia se considera
que para 3 dimensiones el conjunto de 4x4x4= 64 puntos de discretización es suficiente. Podría
procederse a su estimación mediante el krigeado de cada punto y luego promediarlos para dar la ley
estimada del bloque; este procedimiento implicaría que para cada uno de los 64 puntos dentro del bloque
debe resolverse el sistema de krigeado tal como se explicó en el ejemplo de krigeado puntual desarrollado
más arriba, con las matrices y cálculos que se ilustran en la Figura 18.
En el ejemplo que se desarrolla a continuación el modelo de variograma corresponde al del caso
inicial del krigeado puntual (modelo esférico; isótropo; C0= 0,15; C1= 0,45; a= 50).
Matriz C Ponderadores Vector D
γ(1,1) γ(1,2) γ(1,3) γ(1,4) γ(1,5) 1 w1 γ(1,0)
γ(2,1) γ(2,2) γ(2,3) γ(2,4) γ(2,5) 1 w2 γ(2,0)
γ(3,1) γ(3,2) γ(3,3) γ(3,4) γ(3,5) 1 ∗ w3 = γ(3,0)
γ(4,1) γ(4,2) γ(4,3) γ(4,4) γ(4,5) 1 w4 γ(4,0)
γ(5,1) γ(5,2) γ(5,3) γ(5,4) γ(5,5) 1 w5 γ(5,0)
1 1 1 1 1 0 µ 1
[ ] [ ] [ ]
D
C
w *
1
−
=
Fig. 18. Matrices del krigeado puntual; corresponden a las de las figuras 11 y 12.
Normalmente un depósito mineral se divide en varios miles de bloques, por lo que con ese
procedimiento deberían resolverse centenas de miles de sistemas de krigeado y, aunque los equipos de
computación son cada vez más poderosos, esto demandaría mucho tiempo de cálculo.
Por esta razón el krigeado de bloques hace un pequeño cambio en el vector D que disminuye
notablemente los cálculos. En la Figura 18, vemos que la matriz C (valor del variograma entre las
muestras) no tiene ninguna relación con el bloque, en cambio el vector D es el valor del variograma entre
las muestras y el punto a estimar que en este caso en vez de un punto será un bloque que contiene
bloque
discretizado
mineral
estéril

numerosos puntos (por ejemplo los 64 puntos mencionados). El krigeado de bloques en vez de resolver
un sistema de krigeado para cada punto y luego promediarlos, hace primero un variograma promedio de
cada muestra con los 64 puntos discretizados dentro del bloque y luego resuelve el sistema de krigeado
sólo una vez por bloque.
En la Figura 19 se muestra gráficamente el
procedimiento; para mejor visualización del gráfico sólo
fueron discretizados 4 puntos dentro del bloque (para 2D es
recomendable 4x4= 16 puntos); la ubicación de muestras es
la misma que se utilizó en el ejemplo del krigeado puntual.
Cuando se trata de un variograma promedio, se simboliza
como γp.
Fig. 19. B: bloque; mi: muestras. γ(mi,mj): valor del variograma
entre las muestras (matriz C). γp(mi,B): valor promedio del
variograma entre las muestras y cada uno de los puntos de
discretización (símbolo x) dentro del bloque a estimar (vector D).
γp(B,B): valor promedio del variograma entre todos los pares de
puntos de discretización dentro del bloque a estimar (por
simplicidad no se graficaron todos los pares de puntos).
En la Figura 19 se ha incluido γp(B,B), que es un valor que interviene en la ecuación de la varianza
de krigeado de bloques de la misma forma que en el krigeado puntual lo hace γ(0,0) que en ese caso es =
0 (ver ecuación 6).
El cambio que se produce en las matrices del krigeado de bloques (vector D) respecto al puntual se
muestra en la Figura 20 (comparar con la Figura 18)
Matriz C Ponderadores Vector D
γ(1,1) γ(1,2) γ(1,3) γ(1,4) γ(1,5) 1 w1 γ p(1,B)
γ(2,1) γ(2,2) γ(2,3) γ(2,4) γ(2,5) 1 w2 γ p(2,B)
γ(3,1) γ(3,2) γ(3,3) γ(3,4) γ(3,5) 1 ∗ w3 = γ p(3,B)
γ(4,1) γ(4,2) γ(4,3) γ(4,4) γ(4,5) 1 w4 γ p(4,B)
γ(5,1) γ(5,2) γ(5,3) γ(5,4) γ(5,5) 1 w5 γ p(5,B)
1 1 1 1 1 0 µ 1
Fig. 20. Matrices del krigeado de bloques; el cambio respecto al krigeado puntual está en el vector D
Con esa modificación del vector D que representa el variograma promedio de las muestras con todos
los puntos discretizados dentro del bloque, se procede a resolver el sistema de krigeado una sola vez por
bloque (una sola inversión de matriz y un solo producto de matrices). Se utiliza la misma ecuación:
[ ] [ ] [ ]
D
C
w *
1
−
= , donde D expresa que se trata de variogramas promedio entre muestras y bloque. En la
Figura 21 se muestran los resultados de la matriz D , de los ponderadores resultantes (wi) y del
variograma promedio del bloque γp(B,B). Dado que la posición de las muestras es la que se utilizó en el
ejemplo del krigeado puntual la matriz C es la misma (comparar matriz C de las figuras 11 y 20).
Con estos valores se calcula el estimador de la ley del bloque y la varianza o error de la estimación,
usando las ecuaciones 7 y 8 respectivamente
Krigeado de bloques
Estimador: ∑
= i
i
k x
w
Z * (7)
1
2
3
4
5
100
100
150
150
p(B,B)
(m
,m
)
1
3
(m
,m
)
1
5
(m ,m )
1 2
p(m ,B)
4

Vector D Ponderadores
γ p(1,B) 0,46 w1 0,12
γ p(2,B) 0,44 w2 0,07
γ p(3,B) = 0,42 w3 = 0,22 γ p(B,B)= 0,30
γ p(4,B) 0,42 w4 0,19
γ p(5,B) 0,29 w5 0,40
1 1,00 µ 0,02
Fig. 21. Variogramas promedio entre muestras y los puntos discretizados dentro del bloque γp(xi,B) o vector D ;
ponderadores (wi) resultantes de [ D ] x [C-1
] y valor del variograma promedio entre todos los puntos discretizados
dentro del bloque: γp(B,B).
Varianza: [ ] )
,
(
)
,
(
*
2
B
B
p
B
x
p
w
s i
i
k γ
µ
γ −
+
= ∑ (8)
Donde wi son los ponderadores, xi son las muestras, )
,
( B
x
p i
γ es el valor del variograma promedio
entre las muestras y las posiciones discretizadas dentro del bloque (B) a estimar, µ es el parámetro de
Lagrange y )
,
( B
B
p
γ es el valor del variograma promedio entre los
puntos discretizados dentro del bloque a estimar.
Zk= (0,12x1,05) + (0,07x0,65) + (0,22x1,95) + (0,19x1,70) +
+(0,40x1,35)= 1,46 % Cu
sk
2
= (0,12x0,46) + (0,07x0,44) + (0,22x0,42) + (0,19x0,42) +
+(0,40x0,29) + 0,02 - 0,30= 0,09 (% Cu)2
Estos resultados se ilustran en la Figura 22.
Fig. 22. Ponderadores y resultado de la estimación y su
varianza por el método de krigeado de bloques (x son los
puntos discretizados)
VALIDACIÓN CRUZADA
Este es un procedimiento ampliamente utilizado para evaluar la calidad de la estimación.
Consiste en suprimir una de las muestras (con valor conocido) y luego estimar su valor con las
muestras vecinas restantes; este procedimiento se repite para cada una de las muestras dentro de una
determinada área (área de búsqueda) y de esta forma, en cada punto que tiene un valor real (o conocido)
se obtiene un valor de estimación; con ellos puede estimarse el error (err) y el error promedio (merr):
i
i v
ve
err −
= ∑ ∑
= =
−
=
=
n
i
n
i
i
i
i
err v
ve
n
err
n
m
1 1
1
1
donde vei son los valores estimados y vi son los valores reales (conocidos). Este tipo de error del valor
estimado respecto al valor real (o conocido) se denomina: residual.
Los resultados suelen analizarse haciendo un histograma de los errores (univariante) y también con
gráficos de dispersión (bivariante) del valor real (el de las muestras) contra los valores estimados.
A pesar de empleo muy aceptado, el método debe controlarse rigurosamente ya que algunos
defectos se producen particularmente cuando hay sectores con muestras agrupadas o cuando hay valores
excepcionales. Estos problemas son tratados por Isaaks y Srivastava (1989).
1 (w1= 0,12)
2 (w2= 0,07)
3 (w3= 0,22)
4 (w4= 0,19)
5 (w5= 0,40)
1,05
1,35
0,65
1,70
1,95
Z = 1,46 % Cu
s = 0,09 (% Cu)
k
k
2 2
100
100
150
150
b

Análisis del error (univariante)
Un procedimiento como el de la validación cruzada, puede aplicarse a cualquier método de
estimación, ya sea convencional (polígonos, triángulos o inversa de la distancia) o geoestadístico
(krigeado) por lo que tiene utilidad para confrontarlos y decidir cual es el método más apropiado; este
será aquel en el que la media del error, su dispersión y su asimetría sean los mas cercanos a cero. En la
figura 23 se ilustran ejemplos hipotéticos de la distribución del error (residual).
frecuencia
%
frecuencia
%
frecuencia
%
residual residual residual
frecuencia
%
frecuencia
%
residual residual
0 0 0
0 0
a b c
d e
Fig. 23. Histogramas de residuales (errores). En (a) hay una asimetría positiva y el resto son histogramas
simétricos. Nótese que los histogramas (b) y (c) son los mismos que en (d) y (e), respectivamente; salvo que en (e)
está desplazado respecto al cero (0), es decir tiene un sesgo positivo. Ver explicación en el texto.
En el histograma asimétrico de la Fig. 23a, la media del error= 0, puede ser el resultado de muchas
subestimaciones pequeñas combinadas con pocas sobrestimaciones muy altas. Siempre serán preferibles
histogramas simétricos de los errores como los de las Figs. 23b y 23c y de ellos, por su menor dispersión
(menor varianza), el de la Fig. 23c. En la práctica, no siempre es posible lograr la menor dispersión y que
la distribución de los errores esté centrada en 0; entre la representación de los errores de las Figs. 23d y
23e, en muchos casos será preferible una menor dispersión, a pesar de un pequeño sesgo como el de la
Fig. 23e en donde la media (mayor frecuencia de los errores) tiene un valor positivo.
KRIGEADO INDICADOR
Este tipo particular de krigeado resuelve el sistema de la misma forma que el krigeado ordinario
(puntual o de bloques), pero el cambio se produce en la transformación de los valores de las muestras.
En la Parte 1 de este apunte (distribuciones espaciales y variograma) entre las herramientas
descriptivas gráficas se mencionaron los mapas indicadores en los cuales las muestras tomaban 2 posibles
valores (0 ó 1, celda blanca o celda negra) de acuerdo a si su valor era ≤ ó > a una determinada ley de
corte (ver la Figura 2 del mencionado apunte). Para realizar el Krigeado Indicador, se utiliza esta
transformación de los valores de las muestras: ≤ ley de corte= 0, > ley de corte= 1; normalmente se repite
esta transformación para varias leyes de corte. Por supuesto, antes de efectuar este krigeado, deben
construirse los variogramas indicadores, con los mismos valores transformados para las distintas leyes de
corte y ajustar el modelo de variograma.
En la figura 24a se muestra la ubicación espacial de un pequeño grupo de datos de muestras de un
depósito de oro y dos transformaciones (indicadores) para distintas leyes de corte (figuras 24b y 24c)

1,12 0,64
0,87
0,81
0,47
1,25
0,49
0,71
1 1
1
1
0
1
0
1
1 0
1
1
0
1
0
0
a
LC= 0,50
a b
LC= 0,75
c
Fig. 24. a) ubicación de las muestras (puntos negros) con su ley en % Cu (arriba del punto). b) transformación de
los valores a 0 ó 1 conforme a la ley de corte de 0,50 % Cu. c) transformación de los valores a 0 ó 1 conforme a la
ley de corte de 0,75 % Cu y punto (a) que se desea estimar
Consideremos en la figura 24c que, con el modelo de variograma apropiado y los datos que lo
rodean, estimamos el punto (a) mediante el Krigeado Indicador; este estimador estará entre 0 y 1 y para
desarrollar el ejemplo supongamos que el resultado es: 0,56. De acuerdo a Sinclair y Blackwell (2002)
este valor del estimador puede tener dos interpretaciones:
a) 0,56 es la probabilidad que el valor verdadero del punto (a) sea igual a 1. Es decir, un 56 % de
probabilidad que tenga una ley superior a la ley de corte (0,75 g/t Au) o un 44 % de que tenga una
ley igual o menor.
b) Suponiendo que hay un agrupamiento de muestras cercanas al punto (a) 56 % es la proporción de
ellas que tendrá una ley superior a la ley de corte
PARA BIBLIOGRAFÍA VER PARTE 1 DE ESTE APUNTE

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