Lineamientos de la Escuela de la Confianza SJA Ccesa.pptx
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1. TRABAJO COLABORATIVO N°2
ECUACIONES LINEALES E INTERPOLACIÓN
CLAUDIA INÉS TAMAYO BARRAGÁN CÓDIGO 49722131
MARYERI GUTIERREZ CLAVIJO CÓDIGO 49698785
LICETH PAOLA LORA MEDINA CÓDIGO
KELVIN DAVID ORCASITA CÓDGO 1065817694
ARMANDO VILLA MARENGO CÓDIGO
CURSO:
MÉTODOS NUMÉRICOS
GRUPO:
100401_47
Presentado a:
CARLOS ANDRÉS GÓMEZ VARGAS
TUTOR
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD
ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLÓGICAS E INGENIERÍAS
PROGRAMA DE INGENIERÍA DE SISTEMAS
CEAD VALLEDUPAR
OCTUBRE DE 2016
VALLEDUPAR
2. INTRODUCCIÓN
Existen muchas aplicaciones en el campo de la ingeniería en las cuales es necesario, no sólo
encontrar el valor de una variable que cumpla una ecuación, sino hallar el valor de diferentes
variables que satisfagan distintas ecuaciones simultáneamente, es decir un sistema de
ecuaciones. En una de las secciones de esta unidad se tratan los diferentes métodos para
resolver sistemas de ecuaciones algebraicas específicamente lineales. Mediante este trabajo
colaborativo se analizarán las características de los métodos de Gauss simple, Gauss-Jordan,
Gauss-Seidel y Jacobi, tales como la convergencia y sus criterios, las iteraciones, tiempos de
ejecución, además de que se ahondará en el mundo de la notación matricial, tipos y
operaciones entre matrices.
Adicionalmente, por medio de ejercicios prácticos y aplicados, se estudiarán los temas de
optimización y ajuste de curvas con el objetivo de obtener valores intermedios de funciones
expresadas de forma tabular, a través de la interpolación, que será de utilidad en diversas
áreas de la ciencia, como el polinomio de interpolación de Newton por diferencias divididas,
diferencias finitas y su variación; el polinomio de interpolación de Lagrange.
3. TRABAJO COLABORATIVO N°2
ECUACIONES LINEALES E INTERPOLACIÓN
1. Solucione el siguiente sistema de ecuaciones utilizando los Método de eliminación de
Gauss.
𝑤 − 2𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = 15 Ec.1
3𝑤 + 4𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = −6 Ec. 2
2𝑤 − 3𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 17 Ec. 3
𝑤 + 𝑥 − 3𝑦 − 2𝑧 = −7 Ec. 4
En primer lugar, se han enumerado cada una de las ecuaciones del Sistema. Ahora, se
procede a solucionarlo por medio de la Eliminación de Gauss, que consiste en dos procesos, la
eliminación hacia adelante y la sustitución hacia atrás.
Eliminación hacia adelante
Se eliminan cada una de las incógnitas de la siguiente manera,
Eliminar w
-Se multiplica la ecuación 1 por 3
(𝑤 − 2𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = 15) × (3) = 3𝑤 − 6𝑥 + 6𝑦 − 9𝑧 = 45
- y luego se resta de la ecuación 2
3𝑤 + 4𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = −6
− (3𝑤 − 6𝑥 + 6𝑦 − 9𝑧 = 45) 10𝑥 − 7𝑦 + 10𝑧 = −51 Ec. 6
-----------------------------------------
-Se multiplica la ecuación 1 por 2
(𝑤 − 2𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = 15) × (2) = 2𝑤 − 4𝑥 + 4𝑦 − 6𝑧 = 30
4. - y luego se resta de la ecuación 3
2𝑤 − 3𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 17
− (2𝑤 − 4𝑥 + 4𝑦 − 6𝑧 = 30) 𝑥 − 2𝑦 + 5𝑧 = −13 Ec. 7
-----------------------------------------
-Se resta la ecuación 1 de la ecuación 4
𝑤 + 𝑥 − 3𝑦 − 2𝑧 = −7
− (𝑤 − 2𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = 15) 3𝑥 − 5𝑦 + 𝑧 = −22 Ec. 8
-----------------------------------------
Tenemos ahora un nuevo sistema de ecuaciones:
𝑤 − 2𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = 15 Ec.1
10𝑥 − 7𝑦 + 10𝑧 = −51 Ec. 6
𝑥 − 2𝑦 + 5𝑧 = −13 Ec. 7
3𝑥 − 5𝑦 + 𝑧 = −22 Ec. 8
(La ecuación 1 se mantiene igual, ya que contiene a w)
Eliminar x
-Se multiplica la ecuación 6 por el término (
1
10
)
(10𝑥 − 7𝑦 + 10𝑧 = −51) × (
1
10
) = 𝑥 − 0,7𝑦 + 𝑧 = −5,1
-Y luego se resta de la ecuación 7
𝑥 − 2𝑦 + 5𝑧 = −13
− (𝑥 − 0,7𝑦 + 𝑧 = −5,1 ) −1,3𝑦 + 4𝑧 = −7,9 Ec. 9
-----------------------------------------
5. -Se multiplica la ecuación 6 por el término (
3
10
)
(10𝑥 − 7𝑦 + 10𝑧 = −51) × (
3
10
) = 3𝑥 − 2,1𝑦 + 3𝑧 = −15,3
-Y luego se resta de la ecuación 8
3𝑥 − 5𝑦 + 𝑧 = −22
− (3𝑥 − 2,1𝑦 + 3𝑧 = −15,3 ) −2,9𝑦 − 2𝑧 = −6,7 Ec. 10
-----------------------------------------
Tenemos ahora un nuevo sistema de ecuaciones:
𝑤 − 2𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = 15 Ec.1
10𝑥 − 7𝑦 + 10𝑧 = −51 Ec. 6
−1,3𝑦 + 4𝑧 = −7,9 Ec. 9
−2,9𝑦 − 2𝑧 = −6,7 Ec. 10
(La ecuación 6 se mantiene igual, ya que contiene a x)
Eliminar y
-Se multiplica la ecuación 9 por el término (
−2,9
−1,3
) =
2,9
1,3
(−1,3𝑦 + 4𝑧 = −7,9) × (
2,9
1,3
) = −2,9𝑦 + 8,923𝑧 = −17,623
-Y luego se resta de la ecuación 10
−2,9𝑦 − 2𝑧 = −6,7
− (−2,9𝑦 + 8,923𝑧 = −17,623 ) −10,923𝑧 = 10,923 Ec. 11
-----------------------------------------
6. Finalmente se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones, que al representarlo en una matriz
se tiene una matriz triangular superior.
𝑤 − 2𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = 15 Ec.1
10𝑥 − 7𝑦 + 10𝑧 = −51 Ec. 6
−1,3𝑦 + 4𝑧 = −7,9 Ec. 9
−10,923𝑧 = 10,923 Ec. 11
Sustitución hacia atrás
Ahora, en la ecuación 11 se despeja la variable z y se procede a solucionar el sistema por
medio de sustituciones.
𝑧 =
10,923
−10,923
= −1
Se despeja y de la ecuación 9, y se reemplaza z hallada anteriormente para obtener y
𝒚 =
−7,9 − 4𝑧
−1,3
=
−7,9 − 4(−1)
−1,3
= 3
Se despeja x de la ecuación 6, y se reemplazan z y y halladas anteriormente para obtener x
𝒙 =
−51 + 7y − 10z
10
=
−51 + 7(3) − 10(−1)
10
= −2
Se despeja w de la ecuación 1, y se reemplaza z, y y x halladas anteriormente para obtener
w
𝒘 = 15 + 2𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 = 15 + 2(−2) − 2(3) + 3(−1) = 2
Entonces la solución del sistema es: 𝒘 = 𝟐 𝒙 = − 𝟐 𝒚 = 𝟑 𝒛 = −𝟏
7. 2. Solucione el siguiente sistema de ecuaciones utilizando el Método de Gauss-Jordán.
𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 − 𝑡 = 0
−3𝑦 + 2𝑧 + 6𝑡 = −8
−3𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 + 𝑡 = 0
2𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 − 𝑡 = −8
Primero, se expresa el sistema como una matriz aumentada (coeficientes más el lado derecho
de las ecuaciones),
[
1
0
−3
2
2
−3
−1
3
−3
2
3
2
−1
6
1
−1
0
−8
0
−8
]
Con el fin de convertir la matriz, en una matriz identidad, y que en el vector de la derecha se
muestren los valores de la solución, se realizan las sguientes operaciones:
-Eliminar el término que contiene a X de los renglones 3 y 4.
Se multiplica por (-3) el renglón 1 y luego se resta del renglón 3
[ 1 2 −3 −1 0 ] × (−3) = [ −3 −6 9 3 0 ]
[ −3 −1 3 1 0 ] − [ −3 −6 9 3 0 ] = [ 0 5 −6 −2 0 ]
Se multiplica (2) por el renglón 1 y luego se resta del renglón 4
[ 1 2 −3 −1 0 ] × (2) = [ 2 4 −6 −2 0 ]
[ 2 3 2 −1 −8 ] − [ 2 4 −6 −2 0 ] = [ 0 −1 8 1 −8 ]
La matriz parcial queda:
[
1
0
0
0
2
−3
5
−1
−3
2
−6
8
−1
6
−2
1
0
−8
0
−8
]
Ahora se normaliza el segundo renglón, dividiendo entre (-3)
[ 0 −3 2 6 −8 ] ÷ (−3) = [ 0 1 −2
3⁄ −2 8
3⁄ ]
8. -Eliminar el término que contiene a y de los renglones 1, 3 y 4.
Se multiplica por (2) el renglón 2 y luego se resta del renglón 1
[ 0 1 −2
3⁄ −2 8
3⁄ ] × (2) = [ 0 2 −4
3⁄ −4 16
3⁄ ]
[ 1 2 −3 −1 0 ] − [ 0 2 −4
3⁄ −4 16
3⁄ ] = [ 1 0 −5
3⁄ 3 −16
3⁄ ]
Se multiplica por (5) el renglón 2 y luego se resta del renglón 3
[ 0 1 −2
3⁄ −2 8
3⁄ ] × (5) = [ 0 5 −10
3⁄ −10 40
3⁄ ]
[ 0 5 −6 −2 0 ] − [ 0 5 −10
3⁄ −10 40
3⁄ ] = [ 0 0 −8
3⁄ 8 −40
3⁄ ]
Se multiplica el renglón 2 por (-1) y luego se resta del renglón 4
[ 0 1 −2
3⁄ −2 8
3⁄ ] × (−1) = [ 0 −1 2
3⁄ 2 −8
3⁄ ]
[ 0 −1 8 1 −8 ] − [ 0 −1 2
3⁄ 2 −8
3⁄ ] = [ 0 0 22
3⁄ −1 −16
3⁄ ]
La matriz parcial queda:
[
1
0
0
0
0
1
0
0
−5
3⁄
−2
3⁄
−8
3⁄
22
3⁄
3
−2
8
1
−16
3⁄
8
3⁄
−40
3⁄
−16
3⁄ ]
Ahora se normaliza el tercer renglón, dividiendo entre (−8
3⁄ )
R2= [ 0 0 −8
3⁄ 8 −40
3⁄ ] ÷ (−8
3⁄ ) = [ 0 0 1 −3 5]
-Eliminar el término que contiene a z de los renglones 1, 2 y 4.
Se multiplica por (−5
3⁄ ) el renglón 3 y luego se resta del renglón 1
[ 0 0 1 −3 5] × (−5
3⁄ ) = [ 0 0 −5
3⁄ 5 −25
3⁄ ]
[ 1 0 −5
3⁄ 3 −16
3⁄ ] − [ 0 0 −5
3⁄ 5 −25
3⁄ ] = [ 1 0 0 −2 3 ]
9. Se multiplica por (−2
3⁄ ) el renglón 3 y luego se resta del renglón 2
[ 0 0 1 −3 5] × (−2
3⁄ ) = [ 0 0 −2
3⁄ 2 −10
3⁄ ]
[ 0 1 −2
3⁄ −2 8
3⁄ ] − [ 0 0 −2
3⁄ 2 −10
3⁄ ] = [ 0 1 0 −4 6 ]
Se multiplica por (22
3⁄ ) el renglón 3 y luego se resta del renglón 4
[ 0 0 1 −3 5] × (22
3⁄ ) = [ 0 0 22
3⁄ −22 110
3⁄ ]
[ 0 0 22
3⁄ −1 −16
3⁄ ] − [ 0 0 22
3⁄ −22 110
3⁄ ] = [ 0 0 0 21 −42 ]
La matriz parcial queda:
[
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
−2
−4
−3
21
3
6
5
−42
]
Ahora se normaliza el cuarto renglón, dividiendo entre (21)
[ 0 0 0 21 −42 ] ÷ (21) = [ 0 0 0 1 −2]
-Eliminar el término que contiene a t de los renglones 1, 2 y 3.
Se multiplica por (-2) el renglón 4 y luego se resta del renglón 1
[ 0 0 0 1 −2] × (−2) = [ 0 0 0 −2 4 ]
[ 1 0 0 −2 3 ] − [ 0 0 0 −2 4 ] = [ 1 0 0 0 −1 ]
Se multiplica por (-4) el renglón 4 y luego se resta del renglón 2
[ 0 0 0 1 −2] × (−4) = [ 0 0 0 −4 8 ]
[ 0 1 0 −4 6 ] − [ 0 0 0 −4 8 ] = [ 0 1 0 0 −2 ]
Se multiplica por (-3) el renglón 4 y luego se resta del renglón 3
[ 0 0 0 1 −2] × (−3) = [ 0 0 0 −3 6 ]
[ 0 0 1 −3 5] − [ 0 0 0 −3 6 ] = [ 0 0 1 0 −1 ]
10. La matriz final queda: Entonces la solución del sistema es:
[
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
−1
−2
−1
−2
] x= -1 y =-2 z= -1 t= -2
Se comprueba la solución, reemplazando los valores en las ecuaciones iniciales:
𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 − 𝑡 = 0 → (−1) + (2 × (−2)) − (3 × (−1)) − (−2) = 0
−3𝑦 + 2𝑧 + 6𝑡 = −8 → (−3 × (−2)) + (2 × (−1)) + (6 × (−2)) = −8
−3𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 + 𝑡 = 0 → (−3 × (−1)) − (−2) + (3 × (−1)) + (−2) = 0
2𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 − 𝑡 = −8 → (2 × (−1)) + (3 × (−2)) + (2 × (−1)) − (−2) = −8
3. Solucione el siguiente sistema de ecuaciones utilizando el Método de Jacobi.
5𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 12
−𝑥 + 9𝑦 + 5𝑧 = 6
2𝑥 + 3𝑦 − 7𝑧 = 4
Utilizar un ξ < 1%
Para resolver por medio de este método iterativo, primero, se obtienen las ecuaciones
necesarias, por medio de la ecuación de Jacobi:
𝒙𝒊+𝟏 = 𝑫−𝟏
𝒃 + 𝑫−𝟏
(𝑳 + 𝑼)𝒙𝒊
Donde tenemos que:
𝑫−𝟏
= 𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎 𝑳 = 𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝒙𝒊 = 𝑉𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑐ó𝑔𝑛𝑖𝑡𝑎𝑠
𝒃 = 𝑉𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑼 = 𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟
Se procede a obtener cada uno de los elementos de la ecuación de Jacobi:
12. Término 𝑫−𝟏
(𝑳 + 𝑼)𝒙𝒊
𝑫−𝟏(𝑳 + 𝑼)𝒙𝒊 = =
[
0
−3
5
1
5
1
9
0
−5
9
2
7
3
7
0 ]
[
𝑥𝑖
𝑦𝑖
𝑧𝑖
] =
[
−3
5
𝑦𝑖 +
1
5
𝑧𝑖
1
9
𝑥𝑖 −
5
9
𝑧𝑖
2
7
𝑥𝑖 +
3
7
𝑦𝑖 ]
Ahora se reemplaza en la fórmula de Jacobi:
𝒙𝒊+𝟏 = 𝑫−𝟏
𝒃 + 𝑫−𝟏
(𝑳 + 𝑼)𝒙𝒊
[
𝒙𝒊+𝟏
𝒚𝒊+𝟏
𝒛𝒊+𝟏
] =
[
12
5⁄
2
3⁄
−4
7⁄ ]
+
[
−3
5
𝑦𝑖 +
1
5
𝑧𝑖
1
9
𝑥𝑖 −
5
9
𝑧𝑖
2
7
𝑥𝑖 +
3
7
𝑦𝑖 ]
Se obtienen las ecuaciones es de Jacobi:
𝒙𝒊+𝟏 =
12
5
−
3
5
𝑦𝑖 +
1
5
𝑧𝑖
𝒚𝒊+𝟏 =
2
3
+
1
9
𝑥𝑖 −
5
9
𝑧𝑖
𝒛𝒊+𝟏 =
−4
7
+
2
7
𝑥𝑖 +
3
7
𝑦𝑖
Si reorganizamos, nos queda:
𝒙𝒊+𝟏 =
12 − 3𝑦 + 𝑧
5
𝒚𝒊+𝟏 =
6 + 𝑥 − 5𝑧
9
𝒛𝒊+𝟏 =
4 − 2𝑥 − 3𝑦
−7
Para realizar la primera iteración se suponen valores iniciales para x, y y z y se sustituyen en
las ecuaciones anteriormente despejadas, y así se obtienen nuevos valores para las variables.
(Chapra, 2007).
𝑥0 = 0 𝑦0 = 0 𝑧0 = 0
13. Iteración 1
𝑥1 =
12 − 3𝑦 + 𝑧
5
=
12
5
= 2,4
𝑦1 =
6 + 𝑥 − 5𝑧
9
=
6
9
= 0,6667
𝑧1 =
4 − 2𝑥 − 3𝑦
−7
=
4
−7
= −0,5714
Iteración 2
Para la iteración 2, se utilizan todos los valores obtenidos para las incógnitas en la iteración 1,
para hallar nuevos valores de x, y y z. Asimismo, para cada una de las siguientes iteraciones,
se utilizarán como base los valores encontrados en la iteración inmediatamente anterior.
𝑥1 = 2,4 𝑦1 = 0,6667 𝑧1 = −0,5714
𝑥2 =
12 − 3𝑦 + 𝑧
5
=
12 − (3 × 0,6667) + (−0,5714)
5
= 1,8857
𝑦2 =
6 + 𝑥 − 5𝑧
9
=
6 + (2,4) − (5 × −0,5714)
9
= 1,250
𝑧2 =
4 − 2𝑥 − 3𝑦
−7
=
4 − (2 × 2,4) − (3 × 0,6667)
−7
= 0,4
Cálculo del error para cada una de las variables
𝜺(𝒙) =
|𝑥 𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙 − 𝑥 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟|
|𝑥 𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙|
× 100 =
|1,8857 − 2,4 |
|1,8857 |
× 100 = 27,27%
𝜺(𝒚) =
|𝑦 𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙 − 𝑦 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟|
|𝑦 𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙|
× 100 =
|1,250 − 0,6667 |
|1,250 |
× 100 = 46,7%
𝜺(𝒛) =
|𝑧 𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙 − 𝑧 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟|
|𝑧 𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙|
× 100 =
|0,4 − (−0,5714)|
|0,4 |
× 100 = 242,85%
Iteración 3
𝑥2 = 1,8857 𝑦2 = 1,250 𝑧2 = 0,4
𝑥3 =
12 − 3𝑦 + 𝑧
5
=
12 − (3 × 1,250) + (0,4)
5
= 1,7295
𝑦3 =
6 + 𝑥 − 5𝑧
9
=
6 + (1,8857) − (5 × 0,4)
9
= 0,6539
14. 𝑧3 =
4 − 2𝑥 − 3𝑦
−7
=
4 − (2 × 1,8857) − (3 × 1,250)
−7
= 0,5034
Cálculo del error para cada una de las variables
𝜺(𝒙) =
|𝑥 𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙 − 𝑥 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟|
|𝑥 𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙|
× 100 =
|1,7295 − 1,8857 |
|1,7295 |
× 100 = 9,03%
𝜺(𝒚) =
|𝑦 𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙 − 𝑦 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟|
|𝑦 𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙|
× 100 =
|0,6539 − 1,250 |
|0,6539 |
× 100 = 91,26%
𝜺(𝒛) =
|𝑧 𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙 − 𝑧 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟|
|𝑧 𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙|
× 100 =
|0,5034 − 0,4|
|0,5034 |
× 100 = 20,54%
De esta misma manera se siguen realizando las iteraciones consecutivamente, hasta alcanzar
el error de menos del 1%. A continuación se muestran las iteraciones en forma tabulada
realizadas en Excel. (El archivo en Excel donde se realizaron los ejercicios se encuentra en el
foro de trabajo colaborativo).
Iteración X Y Z Error X Error Y Error Z
Iniciales 0 0 0
1 2,4 0,66666667 -0,5714286 100 100 100
2 1,88571429 1,25079365 0,4 27,2727273 46,7005076 242,857143
3 1,72952381 0,65396825 0,50340136 9,030837 91,2621359 20,5405405
4 2,10829932 0,57916856 0,2029932 17,9659267 12,9150136 147,989276
5 2,09309751 0,78814815 0,27915776 0,72628313 26,5152678 27,2836985
6 1,98294266 0,74414541 0,36437707 5,55511992 5,91319045 23,3876703
7 2,02638817 0,68456193 0,31404594 2,14398719 8,70388551 16,0266768
8 2,05207203 0,71735094 0,30092316 1,25160647 4,57084722 4,36084054
9 2,02977407 0,72749514 0,32231384 1,09854419 1,39440049 6,63660073
10 2,02796569 0,71313387 0,32029051 0,08917216 2,01382445 0,63171861
11 2,03617778 0,71405702 0,313619 0,40330917 0,1292815 2,1272652
12 2,03428959 0,71867586 0,31636094 0,09281804 0,6426886 0,86671409
13 2,03206667 0,71694276 0,31780097 0,10939207 0,24173497 0,45312134
14 2,03339454 0,71589576 0,31642309 0,0653029 0,14625096 0,4354542
La solución del sistema se encuentra en la iteración N° 12, con los siguientes datos:
𝒙 = 2,03 𝜺(𝒙) = 0,09%
15. 𝒚 = 0,71 𝜺(𝒚) = 0,64%
𝒛 = 0,31 𝜺(𝒛) = 0,86%
4. Solucione el siguiente sistema de ecuaciones utilizando el Método de Gauss-Seidel.
4𝑥1 + 10𝑥2 + 8𝑥3 = 142
2𝑥1 + 6𝑥2 + 7𝑥3 = 89,5
9𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥3 = 56,5
Tenemos que, el criterio de convergencia para método de Gauss-Seidel es:
|𝒂𝒊𝒊| > |𝒂𝒊𝒋|
Donde, el elemento diagonal 𝒂𝒊𝒊 debe ser mayor que el elemento fuera de la diagonal 𝒂𝒊𝒋 para
cada renglón de la matriz.
Al expresar el sistema de ecuaciones dado, como una matriz tenemos:
[
4 10 8
2 6 7
9 2 3
]
142
89,5
56,5
Se observa que no cumple con el criterio de convergencia requerido, por lo que se procede a
ordenar las ecuaciones, para que la matriz sea diagonalmente dominante, de la siguiente
manera:
9𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥3 = 56,5
4𝑥1 + 10𝑥2 + 8𝑥3 = 142 [
9 2 3
4 10 8
2 6 7
]
56,5
142
89,5
2𝑥1 + 6𝑥2 + 7𝑥3 = 89,5
En el primer paso del método, se despeja la incógnita sobre la diagonal para cada uno de los
renglones:
𝒙 𝟏 =
56,5 − 2𝑥2 − 3𝑥3
9
𝒙 𝟐 =
142 − 4𝑥1 − 8𝑥3
10
𝒙 𝟑 =
89,5 − 2𝑥1 − 6𝑥2
7
16. Con estas ecuaciones, se podrán calcular los valores para x1, x2 y x3 de forma iterativa.
Se suponen valores iniciales para 𝒙 𝟏 = 𝟎, 𝒙 𝟐 = 𝟎 𝒚 𝒙 𝟑 = 𝟎 y conforme se encuentren nuevos
valores de x, estos se usan inmediatamente en la siguiente ecuación para determinar el valor
siguiente, a diferencia del método de Jacobi que utiliza todos los valores de las iteraciones
anteriores.
Ahora se realizan las iteraciones correspondientes hasta encontrar un error de 1%
Iteración 1: valores iniciales
𝒙 𝟏 = 0 𝒙 𝟐 = 0 𝒙 𝟑 = 0
Iteración 2
Se sustituyen los valores iniciales de 𝒙 𝟐 = 𝟎 𝒚 𝒙 𝟑 = 𝟎 para encontrar 𝒙 𝟏 en la primera
ecuación despejada:
𝒙 𝟏 =
56,5 − 2𝑥2 − 3𝑥3
9
=
56,5 − 2(0) − 3(0)
9
=
56,5
9
= 6,2778
Luego para calcular X2 se toma el valor calculado anteriormente para X1
𝒙 𝟐 =
142 − 4𝑥1 − 8𝑥3
10
=
142 − 4(6,2778) − 8(0)
10
= 11,6889
Para calcular X3 se toma el valor calculado anteriormente para X2 y X1
𝒙 𝟑 =
89,5 − 2𝑥1 − 6𝑥2
7
=
89,5 − 2(6,2778) − 6(11,6889)
7
= 0,973
Iteración 2
𝒙 𝟐 = 11,6889 𝒙 𝟑 = 0,973
𝒙 𝟏 =
56,5 − 2𝑥2 − 3𝑥3
9
=
56,5 − 2(11,6889) − 3(0,973)
9
= 3,3559
Para calcular X2 se toma el valor calculado anteriormente para X1
𝒙 𝟐 =
142 − 4𝑥1 − 8𝑥3
10
=
142 − 4(3,3559) − 8(0,973)
10
= 12,0792
Para calcular X3 se toma el valor calculado anteriormente para X2 y X1
𝒙 𝟑 =
89,5 − 2𝑥1 − 6𝑥2
7
=
89,5 − 2(3,3559) − 6(12,0792)
7
= 1,4732
17. Cálculo de errores:
𝜺𝒙 𝟏 =
|𝑥1 𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙 − 𝑥1 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟|
|𝑥1 𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙|
× 100 =
|3,3559 − 6,2778 |
|3,3559|
× 100 = 87,06%
𝜺𝒙 𝟐 =
|𝑥2 𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙 − 𝑥2 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟|
|𝑥2 𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙|
× 100 =
|12,0792 − 11,6889 |
|12,0792|
× 100 = 3,23%
𝜺𝒙 𝟑 =
|𝑥3 𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙 − 𝑥3 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟|
|𝑥3 𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙|
× 100 =
|1,4732 − 0,973 |
|1,4732|
× 100 = 33,95%
Iteración 3
𝒙 𝟐 = 12,0792 𝒙 𝟑 = 1,4732
𝒙 𝟏 =
56,5 − 2𝑥2 − 3𝑥3
9
=
56,5 − 2(12,0792) − 3(1,4732)
9
= 3,1024
Para calcular X2 se toma el valor calculado anteriormente para X1
𝒙 𝟐 =
142 − 4𝑥1 − 8𝑥3
10
=
142 − 4(3,1024) − 8(1,4732)
10
= 11,7804
Para calcular X3 se toma el valor calculado anteriormente para X2 y X1
𝒙 𝟑 =
89,5 − 2𝑥1 − 6𝑥2
7
=
89,5 − 2(3,1024) − 6(11,7804)
7
= 1,8018
Cálculo de errores:
𝜺𝒙 𝟏 =
|𝑥1 𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙 − 𝑥1 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟|
|𝑥1 𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙|
× 100 =
|3,1024 − 3,3559 |
|3,1024|
× 100 = 8,17%
𝜺𝒙 𝟐 =
|𝑥2 𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙 − 𝑥2 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟|
|𝑥2 𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙|
× 100 =
|11,7804 − 12,0792 |
|11,7804|
× 100 = 2,53%
𝜺𝒙 𝟑 =
|𝑥3 𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙 − 𝑥3 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟|
|𝑥3 𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙|
× 100 =
|1,8018 − 1,4732 |
|1,8018|
× 100 = 18,23%
De esta manera continúan las iteraciones, hasta alcanzar un error porcentual menor al 1% para
las tres incógnitas X1, X2 y X3. A continuación se muestran las iteraciones realizadas en Excel:
18. Iteración X1 X2 X3 Error x1 Error x2 Error x3
Iniciales 0 0 0
1 6,27777778 11,6888889 0,97301587 100 100 100
2 3,35590829 12,079224 1,47326279 87,0664284 3,23145839 33,9550363
3 3,10241819 11,7804225 1,80180409 8,17072647 2,53642422 18,2340193
4 3,05930475 11,5348348 2,02462593 1,40925607 2,12909568 11,0055807
5 3,03960584 11,3644569 2,1762924 0,64807448 1,49921735 6,9690299
6 3,02691211 11,2482012 2,27956691 0,41936241 1,03354909 4,53044424
7 3,01832187 11,1690177 2,34989285 0,28460318 0,7089568 2,99272942
8 3,01247622 11,1150952 2,39778231 0,19404776 0,48512846 1,99723975
9 3,00849585 11,0783758 2,43039334 0,13230459 0,33145127 1,34180081
10 3,00578537 11,0533712 2,45260031 0,09017528 0,22621732 0,90544594
11 3,00393963 11,0363439 2,46772248 0,06144387 0,15428371 0,61279848
La solución del sistema se encontró en la iteración N°10, donde se hallaron los siguientes
valores para las incógnitas y sus respectivos errores porcentuales:
𝒙 𝟏 = 3,0057 𝜺𝒙 𝟏 = 0,09%
𝒙 𝟐 = 11,0533 𝜺𝒙 𝟐 = 0,22%
𝒙 𝟑 = 2,4526 𝜺𝒙 𝟑 = 0,9%
5. Determine el Polinomio de Interpolación de Lagrange para la siguiente tabla.
X 1 3 5 7
Y -2 1 2 -3
En primer lugar, se observa que hay cuatro puntos en la tabla por lo que 𝑛 = 3, es decir que el
polinomio de interpolación de Lagrange será de tercer grado.
Ahora, se deben aplicar las fórmulas de Lagrange:
𝐹𝑛(𝑥) = ∑ 𝐿𝑖(𝑥) 𝐹(𝑥𝑖)
𝑛
𝑖=0
𝐿𝑖(𝑥) = ∏
𝑥 − 𝑥𝑗
𝑥𝑖 − 𝑗𝑗
𝑛
𝑗=0
𝑗≠𝑖
Donde 𝐹(𝑥𝑖) corresponden en la tabla a los valores de 𝑦𝑖 y los valores de x son:
19. X 𝒙 𝟎 = 𝟏 𝒙 𝟏 = 𝟑 𝒙 𝟐 = 𝟓 𝒙 𝟑 = 𝟕
Se calculan los 𝐿𝑖(𝑥)
Cuando 𝒊 = 0 𝑳𝒐(𝒙) =
(𝑥−𝑥1)
(𝑥0−𝑥1)
(𝑥−𝑥2)
(𝑥0−𝑥2)
(𝑥−𝑥3)
(𝑥0−𝑥3)
=
(𝑥−3)
(1−3)
(𝑥−5)
(1−5)
(𝑥−7)
(1−7)
𝑳𝒐(𝒙) =
−(𝑥−3)(𝑥−5)(𝑥−7)
48
Cuando 𝒊 = 1 𝑳𝟏(𝒙) =
(𝑥−𝑥0)
(𝑥1−𝑥0)
(𝑥−𝑥2)
(𝑥1−𝑥2)
(𝑥−𝑥3)
(𝑥1−𝑥3)
=
(𝑥−1)
(3−1)
(𝑥−5)
(3−5)
(𝑥−7)
(3−7)
𝑳𝟏(𝒙) =
(𝑥−1)(𝑥−5)(𝑥−7)
16
Cuando 𝒊 = 2 𝑳𝟐(𝒙) =
(𝑥−𝑥0)
(𝑥2−𝑥0)
(𝑥−𝑥1)
(𝑥2−𝑥1)
(𝑥−𝑥3)
(𝑥2−𝑥3)
=
(𝑥−1)
(5−1)
(𝑥−3)
(5−3)
(𝑥−7)
(5−7)
𝑳𝟐(𝒙) =
−(𝑥−1)(𝑥−3)(𝑥−7)
16
Cuando 𝒊 = 3 𝑳𝟑(𝒙) =
(𝑥−𝑥0)
(𝑥3−𝑥0)
(𝑥−𝑥1)
(𝑥3−𝑥1)
(𝑥−𝑥2)
(𝑥3−𝑥2)
=
(𝑥−1)
(7−1)
(𝑥−3)
(7−3)
(𝑥−5)
(7−5)
𝑳𝟑(𝒙) =
(𝑥−1)(𝑥−3)(𝑥−5)
48
Entonces se sustituyen los 𝐿𝑖(𝑥) en la formula general, se multiplican por su respectivo 𝐹(𝑥𝑖) 𝑜 𝑦𝑖
como se dan en la tabla inicial:
𝐹𝑛(𝑥) = ∑ 𝐿𝑖(𝑥) 𝐹(𝑥𝑖)
𝑛
𝑖=0
𝑭𝟑(𝒙) = 𝐿𝑜(𝑥) 𝐹(𝑥𝑜) + 𝐿1(𝑥) 𝐹(𝑥1) + 𝐿2(𝑥) 𝐹(𝑥2) + 𝐿3(𝑥) 𝐹(𝑥3)
𝑭𝟑(𝒙) =
−(𝑥−3)(𝑥−5)(𝑥−7)
48
× (−2) +
(𝑥−1)(𝑥−5)(𝑥−7)
16
× (1) +
−(𝑥−1)(𝑥−3)(𝑥−7)
16
× (2) +
(𝑥−1)(𝑥−3)(𝑥−5)
48
× (−3)
20. 𝑭𝟑(𝒙) =
(𝑥−3)(𝑥−5)(𝑥−7)
24
+
(𝑥−1)(𝑥−5)(𝑥−7)
16
−
(𝑥−1)(𝑥−3)(𝑥−7)
8
−
(𝑥−1)(𝑥−3)(𝑥−5)
16
Si se resuelven los paréntesis se tiene,
𝑭𝟑(𝒙) =
(𝑥3−15𝑥2+71𝑥−105)
24
+
(𝑥3−13𝑥2+47𝑥−35)
16
−
(𝑥3−11𝑥2+31𝑥−21)
8
−
(𝑥3−9𝑥2+23𝑥−15)
16
𝑭𝟑(𝒙) =
𝑥3
24
−
15𝑥2
24
+
71𝑥
24
−
105
24
+
𝑥3
16
−
13𝑥2
16
+
47𝑥
16
−
35
16
−
𝑥3
8
+
11𝑥2
8
−
31𝑥
8
+
21
8
−
𝑥3
16
+
9𝑥2
16
−
23𝑥
16
+
15
16
Finalmente, se obtiene el polinomio de tercer grado que pasa por los puntos mencionados en la
tabla:
𝑭𝟑(𝒙) =
−𝑥3
12
+
𝑥2
2
+
7𝑥
12
− 3
Se verifica con la siguiente gráfica y su respectiva tabla, que al evaluar los puntos (x) en la
función polinomial hallada, se encuentran unos puntos (y) que coinciden con los de la tabla.
X -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
Y 67 46 29,5 17 8 2 -1,5 -3 -3 -2 -0,5 1 2 2 0,5 -3 -9
21. 6. Determine el Polinomio de Interpolación usando la Interpolación de Diferencias
Divididas de Newton, e interpole en el punto x = 4.
X 7 6 4 2 -4
Y 1430 908 278 40 -242
La fórmula general del polinomio de interpolación de Newton es:
𝑭𝒏(𝒙) = 𝑏0 + 𝑏1(𝑥 − 𝑥 𝑜) + 𝑏 𝑛(𝑥 − 𝑥 𝑜)(𝑥 − 𝑥1) … (𝑥 − 𝑥 𝑛−1)
Como se tiene que el 𝑁°𝐷𝑎𝑡𝑜𝑠 = 𝑛 + 1, entonces el polinomio de grado n, para este caso
donde 𝑁°𝐷𝑎𝑡𝑜𝑠 = 5, sería de grado 4.
-90
-70
-50
-30
-10
10
30
50
70
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
X
Y
27. X F(x) X F(x) X F(x)
-5 -0,190275 -1,6 3,658320973 1,8 5,355766485
-4,8 0,151160397 -1,4 3,797840597 2 5,409368
-4,6 0,473023189 -1,2 3,931541133 2,2 5,456177429
-4,4 0,776530061 -1 4,059773 2,4 5,495678925
-4,2 1,062846741 -0,8 4,182835661 2,6 5,527305685
-4 1,333088 -0,6 4,300977621 2,8 5,550439949
-3,8 1,588317653 -0,4 4,414396429 3 5,564413
-3,6 1,829548557 -0,2 4,523238677 3,2 5,568505165
-3,4 2,057742613 0 4,6276 3,4 5,561945813
-3,2 2,273810765 0,2 4,727525077 3,6 5,543913357
-3 2,478613 0,4 4,823007629 3,8 5,513535253
-2,8 2,672958349 0,6 4,913990421 4 5,469888
-2,6 2,857604885 0,8 5,000365261 4,2 5,411997141
-2,4 3,033259725 1 5,081973 4,4 5,338837261
-2,2 3,200579029 1,2 5,158603533 4,6 5,249331989
-2 3,360168 1,4 5,229995797 4,8 5,142353997
-1,8 3,512580885 1,6 5,295837773 5 5,016725
8. Para la siguiente tabla obtenga el Polinomio de Interpolación de diferencias finitas de
Newton e Interpole en el punto x = -13/14
X 0 -1 -1/3 -2/3
Y -2 -4 -8/3 -32/9
Para aplicar el polinomio de interpolación de Newton de diferencias finitas, los datos
correspondientes a los valores de X de la tabla deben cumplir con un espaciamiento constante:
𝒉 = 𝒙 𝒏 − 𝒙 𝒏−𝟏
𝒉 𝟏 = 𝑥1 − 𝑥0 = (−1) − (0) = −1
𝒉 𝟐 = 𝑥2 − 𝑥1 = (
−1
3
) − (−1) =
2
3
𝒉 𝟑 = 𝑥3 − 𝑥2 = (
−2
3
) − (
−1
3
) =
−1
3
El espaciamiento no es constante, entonces el método de Interpolación de diferencias finitas de
Newton no puede aplicarse en este caso, así que se interpolará por medio del método de
diferencias divididas. (como en el punto 6)
28. La fórmula general del polinomio de interpolación de Newton es:
𝑭𝒏(𝒙) = 𝑏0 + 𝑏1(𝑥 − 𝑥 𝑜) + 𝑏 𝑛(𝑥 − 𝑥 𝑜)(𝑥 − 𝑥1) … (𝑥 − 𝑥 𝑛−1)
Como se tiene que el 𝑁°𝐷𝑎𝑡𝑜𝑠 = 𝑛 + 1, entonces el polinomio de grado n, para este caso
donde 𝑁°𝐷𝑎𝑡𝑜𝑠 = 4, sería de grado 3.
𝑭𝟒(𝒙) = 𝑏0 + 𝑏1(𝑥 − 𝑥 𝑜) + 𝑏2(𝑥 − 𝑥 𝑜)(𝑥 − 𝑥1) + 𝑏3(𝑥 − 𝑥 𝑜)(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2)
Inicialmente se deben calcular las diferencias divididas (se denotan como la evaluación de la
función entre corchetes) que permiten hallar el valor de los coeficientes del polinomio.
𝒃 𝟎 = 𝑓(𝑥0) 𝒃 𝟏 = 𝑓[𝑥1, 𝑥0]
𝒃 𝟐 = 𝑓[𝑥2, 𝑥1, 𝑥0] 𝒃 𝟑 = 𝑓[𝑥3, 𝑥2, 𝑥1, 𝑥0]
Diferencias divididas
X F(x) Primeras
diferencias
divididas
Segundas diferencias
divididas
Terceras
diferencias
divididas
Xo 0 -2
X1 -1 -4 𝑓[𝑥1, 𝑥0]
X2 -1/3 -8/3 𝑓[𝑥2, 𝑥1] 𝑓[𝑥2, 𝑥1, 𝑥0]
X3 -2/3 -32/9 𝑓[𝑥3, 𝑥2] 𝑓[𝑥3, 𝑥2, 𝑥1] 𝑓[𝑥3, 𝑥2, 𝑥1, 𝑥0]
A continuación se muestran los cálculos en detalle de las diferencias divididas:
Primeras diferencias divididas
𝒇[ 𝒙 𝟏, 𝒙 𝟎] =
𝑓(𝑥1)− 𝑓(𝑥0)
𝑥1 − 𝑥0
=
−4 − (−2)
−1 − 0
= 2 𝒇[ 𝒙 𝟐, 𝒙 𝟏] =
𝑓(𝑥2)− 𝑓(𝑥1)
𝑥2 − 𝑥1
=
(
−8
3) − (−4)
(
−1
3
) − (−1)
= 2
𝒇[𝒙 𝟑, 𝒙 𝟐] =
𝑓(𝑥3)− 𝑓(𝑥2)
𝑥3 − 𝑥2
=
(
−32
9 ) − (
−8
3)
(
−2
3) − (
−1
3)
=
8
3
29. Segundas diferencias divididas
𝒇[𝒙 𝟐, 𝒙 𝟏, 𝒙 𝟎] =
𝑓[𝑥2, 𝑥1] − 𝑓[𝑥1, 𝑥0]
𝑥2 − 𝑥0
=
2 − 2
(
−1
3
) − 0
= 0
𝒇[𝒙 𝟑, 𝒙 𝟐, 𝒙 𝟏] =
𝑓[𝑥3, 𝑥2] − 𝑓[𝑥2, 𝑥1]
𝑥3 − 𝑥1
=
8
3
− 2
(
−2
3) − (−1)
= 2
Tercera diferencia dividida
𝒇[𝒙 𝟑, 𝒙 𝟐, 𝒙 𝟏, 𝒙 𝟎] =
𝑓[ 𝑥3, 𝑥2, 𝑥1] − 𝑓[ 𝑥2, 𝑥1, 𝑥0]
𝑥3 − 𝑥0
=
2 − 0
(
−2
3) − 0
= −3
Los resultados de las diferencias divididas que están en negrita en la tabla, representan los
valores de los coeficientes del polinomio como se dijo anteriormente.
X F(x) Primeras
diferencias
divididas
Segundas diferencias
divididas
Tercera diferencia
dividida
Xo 0 -2
X1 -1 -4 2
X2 -1/3 -8/3 2 0
X3 -2/3 -32/9 8/3 2 -3
𝒃 𝟎 = 𝑓(𝑥0) = −2 𝒃 𝟏 = 𝑓[𝑥1, 𝑥0] = 2
𝒃 𝟐 = 𝑓[𝑥2, 𝑥1, 𝑥0] = 0 𝒃 𝟑 = 𝑓[𝑥3, 𝑥2, 𝑥1, 𝑥0] = −3
Ahora se reemplazan los coeficientes en el polinomio:
𝑭𝟑(𝒙) = −2 + 2(𝑥 − 𝑥 𝑜) + 0(𝑥 − 𝑥 𝑜)(𝑥 − 𝑥1) − 3(𝑥 − 𝑥 𝑜)(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2)
Se sustituyen los valores de x y se realizan las operaciones de los paréntesis:
𝑭𝟑(𝒙) = −2 + 2(𝑥 − 0) + 0(𝑥 − 𝑥 𝑜)(𝑥 − 𝑥1) − 3(𝑥 − 0)(𝑥 + 1) (𝑥 +
1
3
)
30. 𝑭𝟑(𝒙) = −2 + 2𝑥 − 3𝑥(𝑥 + 1) (𝑥 +
1
3
)
𝑭𝟑(𝒙) = −2 + 2𝑥 − 3𝑥3
− 𝑥2
− 3𝑥2
− 𝑥
𝑭𝟑(𝒙) = −3𝑥3
− 4𝑥2
+ 𝑥 − 2
Finalmente, se obtiene el polinomio de tercer grado que pasa por los puntos mencionados en la
tabla.
Interpolación en el punto 𝑥 =
−13
14
𝑭𝟑(𝒙) = −3𝑥3
− 4𝑥2
+ 𝑥 − 2 = −3 (
−13
14
)
3
− 4 (
−13
14
)
2
+ (
−13
14
) − 2
𝑭𝟑(𝒙) = 2,40196793 − 3,448979592 − 0,92857142 − 2
𝑭𝟑(𝒙) = −3,975583
A continuación se observa la gráfica correspondiente:
-7000
-6000
-5000
-4000
-3000
-2000
-1000
0
1000
-10 -5 0 5 10 15
x
y
31. CONCLUSIONES
Las técnicas tradicionales para resolver sistemas de ecuaciones algebraicas lineales, son
arduas, complicadas y requieren mucho tiempo, esto limitó por un largo periodo la
solución de problemas ingenieriles complejos, sin embrago, se puede concluir que
gracias a la ciencia computacional y sus recursos dichos métodos pueden realizarse de
manera más práctica, rápida y aplicada a sistemas de ecuaciones de cualquier
magnitud.
La eliminación de Gauss en todas sus variaciones constituye el método no sólo más antiguo,
sino uno de los más importantes y fundamentales al resolver problemas en ingeniería,
es la base de muchos softwares y algoritmos numéricos.
El método de Gauss-Seidel converge de manera más rápida y efectiva que el método de
Jacobi, dando la mejor aproximación, siempre y cuando el criterio de convergencia se
cumpla, en donde la matriz debe ser diagonalmente dominante. El método de Gauss-
Jordan requiere de un 50% más de operaciones matemáticas que el método de
eliminación Gaussiana, es por esto que se considera como “simple”.
A la hora de escoger el método ideal para resolver un sistema de ecuaciones lineales, se
deben evaluar tanto las características del sistema como la densidad, la diagonal y el
tamaño, así como las ventajas y desventajas de los métodos, que incluyen su nivel de
precisión, estabilidad y rango de aplicación.
Se pudo observar que cuando se quiere estimar el polinomio único de n-ésimo grado que pase
por cada uno de los puntos de una función tabulada, que tanto el polinomio de
interpolación de Newton por diferencias divididas y el polinomio de interpolación de
Lagrange no requieren de la condición de igual espaciamiento entre los valores de X u
orden ascendente en el caso de los valores de Y, como si lo requiere el polinomio de
interpolación de Newton por diferencias finitas.
El método de interpolación es una herramienta muy utilizada en el ámbito laboral, ya que
gracias a sus procesos de aproximación en la mayoría de los casos se pueden
restablecer datos perdidos de diversas bases de datos como el control de pedidos en un
almacén, ingresos o egresos del mismo etc.
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