Prueba de evaluación Geografía e Historia Comunidad de Madrid 4ºESO
Sistema de ecuaciones de primer grado con dos varialbes
1. SISTEMA DE
ECUACIONES DE PRIMER
GRADO-3ro-Secundaria
UNIDAD 5
PROF. JESÚS CASTRO
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2. DEFINICIÓN Y CARACTERÍSTICAS
MÉTODO DE REDUCCIÓN
MÉTODO POR SUSTITUCIÓN
MÉTODO POR IGUALACIÓN
MÉTODO POR DETERMINANTES
MÉTODO GRÁFICO
EJEMPLO 1-2
EJEMPLO 3
PROPIEDADES
EJEMPLO 4
EJEMPLO 5
EJEMPLO 6
Inicio-créditos
3. Es un sistema de ecuaciones donde ambas ecuaciones
son de primer grado con dos incógnitas, cuyas
soluciones son los valores de las incógnitas que
satisfacen ambas ecuaciones.
En forma general:
𝒂 𝟏 𝒙 + 𝒃 𝟏 𝒚 = 𝒄 𝟏
𝒂 𝟐 𝒙 + 𝒃 𝟐 𝒚 = 𝒄 𝟐
Donde:
x, y : variables o incógnitas
𝒂 𝟏; 𝒂 𝟐; 𝒃 𝟏; 𝒃 𝟐:coeficientes de las variables
𝒄; 𝒄 𝟐: constantes
Sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas
Conjunto solución
Es el conjunto formado por los valores de
las incógnitas que verifican el sistema.
Por ejemplo:
Dado el sistema de ecuaciones:
𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟐𝟎
𝟐𝒙 − 𝟑𝒚 = 𝟒
Los valores de las incógnitas son:
x = 8; y = 4.
Luego, el conjunto solución es:
C.S. = {(8; 4)}
4. Propiedades:
Dada el sistema lineal de dos
ecuaciones con dos incógnitas:
𝒂 𝟏 𝒙 + 𝒃 𝟏 𝒚 = 𝒄 𝟏
𝒂 𝟐 𝒙 + 𝒃 𝟐 𝒚 = 𝒄 𝟐
Se tiene que:
1. El sistema es compatible
determinado (tiene solución única) si
cumple que:
𝒂 𝟏
𝒂 𝟐
≠
𝒃 𝟏
𝒃 𝟐
2. El sistema es compatible
indeterminado (tiene infinitas
soluciones) si cumple que:
𝒂 𝟏
𝒂 𝟐
=
𝒃 𝟏
𝒃 𝟐
=
𝒄 𝟏
𝒄 𝟐
3. El sistema es incompatible (no
tiene solución) si cumple que:
𝒂 𝟏
𝒂 𝟐
=
𝒃 𝟏
𝒃 𝟐
≠
𝒄 𝟏
𝒄 𝟐
Ejemplo:
Calcula el valor de «a+b» si el
siguiente sistema de ecuaciones es
compatible indeterminado.
𝒂 + 𝟏 𝒙 + 𝟓𝒚 = −𝟐
𝒂𝒙 + 𝟕𝒚 = 𝟐 − 𝒃
Solución:
Si el sistema es compatible
indeterminado entonces cumple
que:
𝒂 + 𝟏
𝒂
=
𝟓
𝟕
=
−𝟐
𝟐 − 𝒃
Entonces:
𝒂+𝟏
𝒂
=
𝟓
𝟕
→𝒂 =
−𝟕
𝟐
𝟓
𝟕
=
−𝟐
𝟐−𝒃
→𝒃 =
𝟐𝟒
𝟓
Luego:
𝒂 + 𝒃 =
−𝟕
𝟐
+
𝟐𝟒
𝟓
=
𝟏𝟑
𝟏𝟎
5. I. Método de reducción.
Consiste en reducir una de las
variables al sumar ambas
ecuaciones, por lo que
debemos de multiplicar un valor
a cada ecuación de tal forma
que al sumarlas se simplifique
una variables y de esta manera
se pueda resolver una ecuación
con una sola variable.
Este valor se reemplaza en
cualquiera de las ecuaciones
originales para así obtener el
valor de la otra variable.
Ejemplo:
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:
𝟓𝒙 + 𝟐𝒚 = −𝟏𝟖 … (𝑰)
𝟐𝒙 − 𝟑𝒚 = 𝟖 … (𝑰𝑰)
Solución:
Multiplicamos a la ecuación (I) por 3 y a la
ecuación (II) por 2 para eliminar la incógnita
«y»:
𝟓𝒙 + 𝟐𝒚 = −𝟏𝟖 … (𝒙𝟑)
𝟐𝒙 − 𝟑𝒚 = 𝟖 … (𝒙𝟐)
Tenemos:
𝟏𝟓𝒙 + 𝟔𝒚 = −𝟓𝟒
𝟒𝒙 − 𝟔𝒚 = 𝟏𝟔
Sumando ambas ecuaciones:
19x = -38 →x=-2
Reemplazamos «x=-2» en (I):
5(-2) + 2y =-18 →y=-4
Luego: C.S. = {(-2; -4)}
Métodos de solución
6. Métodos de solución
II. Método de sustitución.
Consiste en despejar una de las
variables de una de las ecuaciones y
esta, reemplazarla en la otra; esto
conduce a resolver una ecuación con
una sola variable.
De este modo, obtendremos el valor
de una variable y reemplazando
dicho valor en cualquiera de las
ecuaciones originales, obtendremos
el valor de la segunda variable.
Ejemplo:
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:
𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟕 … (𝑰)
𝟐𝒙 − 𝒚 = 𝟒 … (𝑰𝑰)
Solución:
Despejamos «y» de la ecuación (II):
y = 2x - 4
Reemplazamos en la ecuación (I):
x + 2(2x – 4) = 7
x + 4x – 8 =7 →x = 3
Reemplazamos «x=3» en la ecuación (I):
3 + 2y =7 →y= 2
Luego: C.S. = {(3; 2)}
7. III. Método de igualación.
Consiste en despejar una de las
variables de cada una de las
ecuaciones para luego igualarlas
y obtener el valor de la otra
variable.
Este valor se reemplaza en
cualquiera de las ecuaciones
originales para así obtener el
valor de la otra variable.
Ejemplo:
Resuelve el siguiente sistema de
ecuaciones:
𝟒𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟓 … (𝑰)
𝟑𝒙 − 𝟐𝒚 = −𝟗 … (𝑰𝑰)
Solución:
Despejamos «y» de las dos
ecuaciones:
En (I): 𝒚 =
𝟓−𝟒𝒙
𝟑
En (II): 𝒚 =
𝟑𝒙+𝟗
𝟐
Igualamos ambas expresiones:
𝟓 − 𝟒𝒙
𝟑
=
𝟑𝒙 + 𝟗
𝟐
10 - 8x = 9x + 27 →x=-1
Reemplazamos «x=-1» en (I):
4(-1) + 3y = 5→y=3
Luego: C.S. = {(-1; 3)}
8. Dado el sistema de dos
ecuaciones con dos
variables:
𝒂 𝟏 𝒙 + 𝒃 𝟏 𝒚 = 𝒄 𝟏
𝒂 𝟐 𝒙 + 𝒃 𝟐 𝒚 = 𝒄 𝟐
Se define Δs, como el
determinante del sistema.
Δs =
𝒂 𝟏 𝒃 𝟏
𝒂 𝟐 𝒃 𝟐
≠ 𝟎
Δx es el determinante
respecto a «x».
Δx =
𝒄 𝟏 𝒃 𝟏
𝒄 𝟐 𝒃 𝟐
Δy es el determinante
respecto a «y».
Δy =
𝒂 𝟏 𝒄 𝟏
𝒂 𝟐 𝒄 𝟐
IV. Método por determinantes.
No olvidemos que una determinante
es un arreglo de filas y columnas.
Entonces consiste en:
- Hallar la determinante del sistema.
- Luego hallar la determinante
respecto a “x”
- Posteriormente hallar la
determinante respecto a “y”
- Finalmente dividir la determinante
del sistema, entre la determinante
de las variables.
Luego, la solución del sistema es: x =
∆𝒙
∆𝒔
; y =
∆𝒚
∆𝒔 Debes continuar
9. EJEMPLO
Determina el C.S. del siguiente sistema:
𝟓𝒙 + 𝟒𝒚 = 𝟐
𝟑𝒙 − 𝟐𝒚 = −𝟏𝟐
Calculamos la determinante del
sistema (Δs):
Δs =
𝟓 𝟒
𝟑 −𝟐
= −𝟏𝟎 − 𝟏𝟐 = −𝟐𝟐 ≠ 𝟎
Calculamos los determinantes
respecto a «x» e «y»:
Δx =
𝟐 𝟒
−𝟏𝟐 −𝟐
= −𝟒 + 𝟒𝟖 = 𝟒𝟒
Δy =
𝟓 𝟐
𝟑 −𝟏𝟐
= −𝟔𝟎 − 𝟔 = −𝟔𝟔
Luego:
x =
∆𝒙
∆𝒔
=
𝟒𝟒
−𝟐𝟐
= −𝟐
y =
∆𝒚
∆𝒔
=
−𝟔𝟔
−𝟐𝟐
= 𝟑
El conjunto solución (C.S.):
C.S. = {-2; 3}
10. V. Método de
gráfico.
Consiste en despejar
la variable “y” de la (I)
y (II) del sistema.
Luego tabulamos de
tal forma que
podamos construir
una función lineal
(recordando que dos
puntos pueden ser
unidos por una recta)
Construimos las dos
rectas en un sistema
cartesiano.
El conjunto solución
es la intersección de
las rectas.
Ejemplo:
Resuelve el siguiente sistema de
ecuaciones:
𝟒𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟓 … (𝑰)
𝟑𝒙 − 𝟐𝒚 = −𝟗 … (𝑰𝑰)
Solución:
Despejamos «y» de las dos
ecuaciones:
En (I): 𝒚 =
𝟓−𝟒𝒙
𝟑
En (II): 𝒚 =
𝟑𝒙+𝟗
𝟐
Tabulamos para I y II
Observando el gráfico el conjunto
solución es: C.S. = {(-1; 3)}
x
y
2
-1
-1
3
x
y
-3
0
-1
3
11. Ejercicios
1. Resuelve el siguiente sistema de
ecuaciones por el método de sustitución.
𝟒𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟏𝟏 … (𝑰)
𝟓𝒙 − 𝒚 = −𝟏𝟎 … (𝑰𝑰)
Solución:
Despejamos «y» de la ecuación (II):
y = 5x + 10
Reemplazamos en la ecuación (I):
4x + 3(5x + 10) = 11
4x + 15x + 30 =11
19x = -19 →x = -1
Reemplazamos «x=-1» en la ecuación (I):
4(-1) + 3y =11 →y= 5
Rpta.:C.S. = {(-1; 5)}
2. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones por
el método de igualación.
𝟕𝒙 − 𝟐𝒚 = −𝟑𝟐 … (𝑰)
𝟓𝒙 + 𝟑𝒚 = −𝟏𝟒 … (𝑰𝑰)
Solución:
Despejamos «y» de las dos ecuaciones:
En (I): 𝒚 =
𝟕𝒙+𝟑𝟐
𝟐
En (II): 𝒚 =
−𝟓𝒙−𝟏𝟒
𝟑
Igualamos ambas expresiones:
𝟕𝒙 + 𝟑𝟐
𝟐
=
−𝟓𝒙 − 𝟏𝟒
𝟑
21x + 96 = -10x - 28 →x=-4
Reemplazamos «x=-4» en (I):
7(-4) - 2y =-32 →y= 2
Rpta.:C.S. = {(-4; 2)}
12. 3. Resuelve el siguiente sistema de
ecuaciones por el método de
reducción:
𝟐𝒙 + 𝟓𝒚 = 𝟕 … (𝑰)
𝟒𝒙 − 𝟑𝒚 = 𝟐𝟕 … (𝑰𝑰)
Solución:
Multiplicamos a la ecuación (I) por 3 y
a la ecuación (II) por 5 para eliminar la
incógnita «y»:
𝟐𝒙 + 𝟓𝒚 = 𝟕 … (𝒙𝟑)
𝟒𝒙 − 𝟑𝒚 = 𝟐𝟕 … (𝒙𝟓)
Tenemos:
𝟔𝒙 + 𝟏𝟓𝒚 = 𝟐𝟏
𝟐𝟎𝒙 − 𝟏𝟓𝒚 = 𝟏𝟑𝟓
Sumando ambas ecuaciones:
26x = 156 →x=6
Reemplazamos «x=6» en (I):
2(6) + 5y =7 →y=-1
Rpta.:C.S. = {(6; -1)}
13. 4. La suma de dos números es igual a
124 y su diferencia es igual a 78. Calcula
la diferencia entre el doble del mayor y
el triple del menor.
Solución:
Sean x, y los números a encontrar.
De los datos del problema:
𝒙 + 𝒚 = 𝟏𝟐𝟒 … (𝑰)
𝒙 − 𝒚 = 𝟕𝟖 … (𝑰𝑰)
Sumamos ambas ecuaciones:
2x = 202 →x=101
Reemplazamos «x=101» en (I):
101 + y =124 →y=23
Luego:
2x - 3y = 2(101) – 3(23)
= 202 – 69
= 133
Rpta.:133
14. 5. La suma de dos números es igual a
124 y su diferencia es igual a 78. Calcula
la diferencia entre el doble del mayor y
el triple del menor.
Solución:
Sean x, y los números a encontrar.
De los datos del problema:
𝒙 + 𝒚 = 𝟏𝟐𝟒 … (𝑰)
𝒙 − 𝒚 = 𝟕𝟖 … (𝑰𝑰)
Sumamos ambas ecuaciones:
2x = 202 →x=101
Reemplazamos «x=101» en (I):
101 + y =124 →y=23
Luego:
2x - 3y = 2(101) – 3(23)
= 202 – 69
= 133
Rpta.:133
